向量组的秩

合集下载

向量组的秩向量空间简介

规定：零向量组的秩为0.
定理1 若一向量组的秩为r,则该向量组中的任意
r+1个向量都线性相关.
推论若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个
线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定理2 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m
线性表示，则 R{1, 2 , , s } R{1,2 , ,m }.
推论等价的向量组的秩相同. 定理3 对任意向量组 1,2 , ,m，有
R{1,2 , ,m } R(1,2 , ,m ).
注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例1.设 1 (1,0,1,2)T ,2 (0,1,1,2)T ,3 (1,1,0, k)T , 4 (1,2, k,6)T ,5 (1,1,2,4)T，求向量组1,2 ,3 ,4 ,5
注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是不同的.
§3 向量组的秩、向量空间简介
基变换
（1）定义6 设V是一个向量空间，1,2 , ,m;1, 2 , , m
为V中的两个基，设
1 a111 a212 am1m

2 a121 a222
am1 am2
a1m
a2m

amm
为由基 1,2 , ,m到基 1, 2 , , m 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m
的基变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
（2）性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 2）若由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m过渡矩阵为A,

向量组的秩

0 0
1 2 3
21 20 3 0
r3
3 2
r2
r2
(
1 2
)
1 0 0
1 1 0
2 1
10 00
因为 R( A) 2 ,所以向量组1,2 ,3,4的秩为2。A 的一个最
高阶非零子式为
11 D 2 0
20
由此可知, 1,2 是向量组1,2 ,3,4 的一个极大无关组。
设向量组A 满足:
矩阵的秩=矩阵列向量组的秩(称为矩阵的列秩)=矩阵行向量组的秩(称为矩阵的行秩)
证
设 (1,2 , ,n ), R() r ,并设r 阶子式Dr≠0。由Dr
≠0知Dr所在的r 列线性无关;又由A 中所有r+1阶子式均为零知， A 中任意r+1个列向量都线性相关。因此Dr 所在的r 列是A 列向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r。
设向量组 0 :1,2 , ,r 是向量组A 的一个部分组,且满足
(1)向量组A0 线性无关; (2)向量组A 的任一向量都能由向量组A0 线性表示, 那么向量组A0便是向量组A 的一个极大无关组。
推论
例4 设齐次线性方程组
x1 2x2 x3 2x4 0 2x1 3x2 x4 0 x1 x2 5x3 7x4 0
等价。
(2)设向量组A 有两个极大无关组,分别为 1,2 , ,s 及 1, 2 , , t 。由(1)知,向量组 1,2 , ,s 与向量组A 等价, 向量组A 也与向量组 1, 2 , , t 等价,由等价的传递性得,向量组1,2 , ,s 与向量组 1, 2 , , t 等价。
再证明 s=t
1,2 , ,与n
1, 2 , ,有n

向量组的秩的定义

向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。

由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。

定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。

2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。

3、等价的向量组具备成正比的秩。

4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。

5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。

6、任意n+1个n维向量线性相关。

矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。

一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。

行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。

矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

线性代数4-2 向量组的秩

第二节向量组的秩最大线性无关向量组第四章向量空间向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩的关系12r r ∴≤推论等价向量组秩相等.反之不一定.定理1 给定向量组和，若设12V V {}{}1122,.r V r r V r ==且可由线性表出，则12V V .12r r ≤证明：设分别为的最大无关组，,12U U ,12V V 则所含向量个数分别为,12U U ,12r r 可由线性表出12V V 12U U ⇒可由线性表出又线性无关，1U,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα ,1),,,,(21+=k r n γααα =),,,,,(21γβαααn r 【例1】已知且则（）(A) k (B) k + 1 (C) 2k + 1 (D) 1【解】由,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα 知可由线性表出，βn ααα,,,21 所以向量组与等价，βααα,,,,21n n ααα,,,21 从而与等价, γβααα,,,,,21n γααα,,,,21n 1),,,,(),,,,,(2121+==k r r n n γαααγβααα 故【例2 】求向量组的最大无关组及秩．123456121021121020120111001111120111αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪======----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，,,,,,123456αααααα方法：将每一向量作为一列构造矩阵，再对其进行行变换化为行梯形阵，然后在每个台阶上取一列，则得最大无关组的序号。

定理3T()()()()()()()r A r A r A r A r A B r A r B λ==+≤+，，()r AB ()min ()()r A r B ≤，()()r A r B s +-≤(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵，数，则0λ≠(2) 若A 是m ×s 矩阵, B 是s ×n 矩阵，则证明(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵, 则r (A +B )≤r (A )+r (B ).1212,,,;,,,sti i i j j jαααβββ {}{}12121122,,,,,,,s t n n i i i j j j r r αβαβαβαααβββ∴+++≤ ，，，s t≤+()()()r A B r A r B ⇒+≤+()()1212n n A B αααβββ== ，，，，，，，将A , B 列分块，()1122n n A B αβαβαβ+=+++ ，，，则若r (A ) = s , r (B ) = t ，则可分别设向量组1212n n αααβββ ，，，，，，与的最大无关组为：从而向量组可由向量组1122n n αβαβαβ+++ ，，，1212,,,,,,,sti i i j j j αααβββ 线性表出．11()()s n A AB ααγγ== ，，，，，111111(,,)(,,)n n s s sn b b b b γγαα⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ()()r AB r A ∴≤利用此结论可得：()()()TTTT()r AB r BAr B =≤()()r AB r B ≤()()min ()()r AB r A r B ∴≤，(2) 对A m ×s , B s ×n 有()r AB ()min ()()r A r B ≤，将A 和AB 列分块：设B = ( b ij )，则由知矩阵AB 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表出即【例3】设A 为n 阶方阵，且A 2=I ，证明：()()r A I r A I n++-=()()()()r A I r A I r A I r I A ++-=++-()(2)r A I I A r I ≥++-=()()r A I r A I n++--()()()r A I A I ≤+-2()()0r A I r O =-==()()n r A I r A I n∴≤++-≤()()r A I r A I n⇒++-=()()r A r B n+≤【证明】n=又一般地，对n 阶方阵A ，B ，若A B ＝O ，则有。

第三节向量组的秩

11
返回Байду номын сангаас
k1a 11 k 2 a21 kr ar 1 0, k1a12 k 2a22 kr ar 2 0, k1a1 s k 2 a2 s kr ars 0.
以上述 r 个数 k1 ,k2 , ,kr 作线性组合
又 Ar 线性无关, 由定理五知 r s.
同理可得 s r.
故
r s.
17
证毕.
返回
注意: 秩相等的向量组未必等价.
例如: A : 1 (1,0,0), 2 (0,1,0).
A的秩=2. B : 1 (0,1,0), 2 (0,0,1). B的秩=2.
1可由1 , 2线性表示,
则称A为T 的一个最大无关组. 例1. 向量组 T : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 试求T 的一个最大无关组, 其中
1 (1,1,1), 2 (0,2,4), 3 (1,1,5), 4 ( 2,0,6), 5 ( 3,1,7).
4
返回
证明: 反证法. 若 r > s . A可由B线性表示, 即 1 a11 1 a12 2 a1 s s , 2 a21 1 a22 2 a2 s s , r ar 1 1 ar 2 2 ars s . (1)式的系数构成 r 个 s 维向量
但 2不能由1 , 2线性表示.
A与B不等价.
18
返回
思考题 1.已知两向量组
s1 : 1 , 2 m ; s2 : 1 , 2 t
有相同的秩,且 s1能被s2表示证明：两向量组等价２．已知某向量组的秩为r,证明任意r个线性无关的部份向量组都为该向量组的一个最大线性无关组．

向量组的秩

3
6 9
7
9
0
0
00
0
可以看出：
b3 = − b1 − b2 b5 = 4b1 + 3b2 − 3b4
所以
a3 = − a1 − a2 a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4
例求向量组A的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示余下的向量。
1 1,1, 2,3,2 1, 1,1,1,3 1,3,3,5,
二、矩阵的秩与向量组的秩的关系
定义：矩阵 A 的行向量组的秩称为矩阵A的行秩．矩阵 A 的列向量组的秩称为矩阵A的列秩．
定理：矩阵行秩等于矩阵的列秩，都等于矩阵的秩．
定理：矩阵的初等行（列）变换不会改变列（行）向量间的线性关系。
例求矩阵向量组a1 , a2 , a3 , a4 , a5的一个极大无关组，并用该极大无关组表示余下的向量.
1 2，1，4,3T ,2 -1，1，- 6，6T , 3 （-1，- 2，2，- 9）T ,4 1，1，- 2，7T , 5 2，4，4，9T .
解：把矩阵 A (a1, a2 , a3 , a4 , a5 ) 初等行变换变成行最简形矩阵
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A
1
1 2
1
4
r
~
0
1
1
0
3
B
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3
6 9
7 9 0 0
00
0
于是矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量组有相同的线性关系.
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A
1
1 2
1
4
r

4.3向量组的秩

向量组的秩向量组秩的定义向量组秩的求法及相关结论向量组秩的定义满足12,,,αααr 定义：设有向量组，A 记作.A R =r 在中选取个向量A r (1) 向量组无关;012:,,,αααr A (2) 向量组中任意个向量(若存在)都线性相关，A 1r +则称向量组是向量组的一个最大线性无关向量0A A 组，简称最大无关组.最大无关组所含向量个数称r 为向量组的秩，A1230ααα，+-=例：向量组123123:303112,,ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 注：全部由零向量组成的向量组没有最大无关组，规定这样的向量组的秩为零.2A R =该向量组的秩为.为最大无关组，12,αα13,αα，23,αα注：1. 一个向量组的最大无关组是向量组中所含向量个数最多的线性无关的子组之一.2.一个向量组的最大无关组不一定是惟一的．3.一个向量组与它的最大无关组是等价的．证：线性相关，12,,,,r αααα向量组是向量组的部分组，0A A 故组可由0A 组线性表示.A 对中任一向量，αA 从而组可由组线性表示.0A A 从而可由线性表示，α12,,,r ααα部分组，且满足推论：（最大无关组的等价定义）线性表示，设向量组是向量组的一个012:,,,r A αααA (1) 向量组线性无关；012:,,,r A ααα(2) 向量组的任一向量都能由向量组A 0A 则向量组是向量组的一个最大无关组.A 0A证：于是有设是中任意个向量，121,,,,r r ββββ+1r +A 它们都能由组线性表示，0A ()()12112,,,,,,,,r r r R R r ββββααα+≤=所以中任意个向量线性相关.A 1r +的一个最大无关组及秩. 例：求维向量的全体构成的向量组n 1212,,,n n n a a a a a a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭α解121000100,0,,0001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e 线性无关，.n R n =维单位坐标向量n 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αn ∀∈，α1122,n n a a a =+++e e e1234124123422023 0570x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩例：设齐次线性方程组12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的通解是，试求全体解向量构成的向量组的秩．S解2R .S =1122c c ξξx =+{}112212c c c c ξξ,S x ==+∈，线性无关,12ξξ,12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭通解是向量组秩的求法及相关结论11121314342122232431323334a a a a a a a a a a a a ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ()1234,,,αααα=T1T 2T 3βββ⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭回顾，的列向量组，A 1234,,,αααα的行向量组.T T T 123,,βββA定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于证它的行向量组的秩.设，，()R r A =12(,,)m ααα=A 阶子式.r 0r D ≠所在的列构成的矩阵的秩为,r D r r n r ⨯r 此列线性无关；又因为中所有阶子式均为零，A +1r A 所以中先证明：矩阵的秩等于它的列向量组的秩.任意个列向量构成的矩阵的秩小于，+1r (1)n r ⨯+r+1r 故此列线性相关.所在的列构成的列向r D r A 量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩为.r 也等于它的行向量组的秩.的秩等于的列向量组的秩，TA TA 的列向量组就是的行向量组，TA A 而，()()TR R =AA 所以矩阵的秩例：求向量组的一个最大无关组, 并用最大123451241611314,,,,0002210203ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解无关组表示其它向量.设，12345(,,,,)ααααα=A 并将矩阵化为行最简形.A1020301102~000110000r ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭12416113140002210203⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭A ()12345βββββ,,,,,B =()3R .A ==B故由所以线性无关，124,,ααα()()124124,,,,rαααβββ可知，()124,,3R ααα=从而是列向量组的一个最大无关组.也就是方程0Ax =因为与同解，0Bx =1122334455x x x x x ααααα++++=01122334455x x x x x βββββ++++=0与同解，因此向量之间的线性关系12345,,,,ααααα与向量之间的线性关系是相同的.12345βββββ,,,,由于，,512432ββββ=+-3122βββ=+因此，.3122ααα=+512432αααα=+-关于向量组秩的结论，可以推广到所含向量个数无限的向量组.线性表示的充分必要条件是定理向量组能由向量组12,,mααα12,,l βββ()()121212,,,,,,,.m m l R R ααααααβββ=向量组的秩矩阵的秩例若向量组可由向量组线性表示，则.B A R R ≤B A 其中等号成立当且仅当向量组与向量组等价.A B 设，,A B R s R t ==证明并设向量组和的最大A B 无关组分别为和.012:,,,αααs A 012:,,,βββt B 由于向量组能由向量组线性表示，0B B 能由向量组线性表示，A B 向量组0A 向量组能由向量组AB A R R ≤.A B R R ≤并且向量组与向量组等价B A 向量组可由向量组线性表示.BA .A B R R=向量组可由向量组线性表示，并且B A 0A 因此向量组能由向量组线性表示.0B 线性表示，即.t s ≤于是，()()1212,,,,,,βββααα≤t s R R证明从而这两个向量组等价.的秩相等，证明：向量组与向量组等价.B A 例向量组可由向量组线性表示，且它们B AC 设向量组是由向量组与合并而成的，AB .AC R R =由向量组可由向量组线性表示知B A 又已知，A B R R =所以有，A B C R R R ==。

求向量组的秩的三种方法

求向量组的秩的三种方法1. 向量秩的定义向量组的秩是指向量组中线性无关的向量的个数，用r(V)表示。

向量秩可以理解为向量组的维数，是一个表示向量组重要性和有效性的指标。

2. 第一种方法：高斯消元法高斯消元法是一种通过初等变换求解线性方程组的方法，也可以用来计算向量组的秩。

具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。

假设向量组V有m个向量，每个向量有n个分量，则矩阵A的大小为n×m。

步骤2：进行初等行变换利用高斯消元法的思想，对矩阵A进行一系列初等行变换，使得矩阵A化为行阶梯形。

步骤3：计算行阶梯形矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数。

统计非零行的个数，即可得到向量组V的秩r(V)。

3. 第二种方法：矩阵的秩与行列式的关系矩阵的秩与矩阵的行列式之间存在一定的关系。

根据这个关系，我们可以通过计算矩阵的行列式来求解向量组的秩。

具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式和上述方法一样，将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。

步骤2：计算矩阵的行列式计算矩阵A的行列式|A|。

步骤3：求解向量组的秩向量组的秩r(V)等于矩阵的秩r(A)等于矩阵的行列式|A|不等于零的最大阶数。

4. 第三种方法：向量组的线性相关性向量组的线性相关性也可以用来求解向量组的秩，即判断向量组中是否存在线性相关的向量。

具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式同样地，将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。

步骤2：计算矩阵的秩计算矩阵A的秩r(A)。

步骤3：判断向量组的线性相关性如果矩阵A的秩r(A)等于向量组的维数，则向量组中的向量线性无关，秩r(V)等于向量组的维数。

否则，向量组中的向量线性相关，秩r(V)等于矩阵的秩r(A)。

5. 总结通过以上三种方法，我们可以求解向量组的秩。

高斯消元法通过初等变换得到行阶梯形矩阵，通过统计非零行的个数得到向量组的秩；矩阵的秩与行列式的关系可以通过计算矩阵的行列式来求解向量组的秩；向量组的线性相关性可以通过判断矩阵的秩和向量组的维数之间的关系来求解向量组的秩。

向量组的秩

5 = −1 − 2 + 4
向量组中每一个向量由极大无关组的
向量线性表出的表达式是唯一确定的。
例2
练习
求矩阵A列向量组的一个极大无关组，并求出其
余向量由此极大无关组线性表出的表达式
首非零元所在列对应的原来的向量分
别为
故
为其向量组的一个极大无关组
3 = −1 − 2
5 = 41 + 32 − 34
推论 1 两个等价的线性无关向量组个等价的向量组有相同的秩.
列向量组通过初等行变换不改变线性相关性!
向量组
矩阵
阶梯形矩阵
但再加上一个向量（秩为4<5）
就是线性相关的,
所以极大无关组就是左侧的列向量组，
显然，列向量组是线性无关的
（秩为 4）
即首非零元所在列对应的原来的向量组
例1
解：
1
0
0
0
0
1
0
0
3
1
0
0
2
1
1
0
1
0
1
0
所以 r(A)=3
首非零元所在列对应的原来的向量分别为
故
为其向量组的一个极大无关组
，
求出其余向量由此极大无关组线性表出的表达式
1
0
0
0
0
1
0
0
3
1
0
0
2
1
1
0
1
0
1
0
3 = 31 + 2
定理
1
0
0
0
0
1
0
0
3
1
0
0
0 −1

求向量组的秩的三种方法

求向量组的秩的三种方法一、概述向量组的秩，即向量组中线性无关向量的个数。

秩是线性代数中非常重要的概念，涉及到向量组的基、解空间及解的唯一性等概念。

本文将详细介绍求向量组秩的三种方法：高斯消元、矩阵的秩和行列式的秩，同时附上实例说明。

二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种基本方法，用于消元、求解下三角矩阵和上三角矩阵。

在求向量组秩时，可以将向量组构成增广矩阵，通过高斯消元将其变为简化阶梯形矩阵，然后根据主元的数量，即非零行数，即可得到向量组的秩。

对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成增广矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过高斯消元可得简化阶梯形矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知主元是1，非零行数是1，因此向量组的秩是1。

三、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常基础的概念之一，也是求向量组秩的一种方法。

矩阵的秩是指在矩阵的行（或列）空间中，线性无关的向量的个数。

对于一个m\times n矩阵A，如果它的秩为r，则有以下三条性质：1. 行秩：A的行空间的秩为r；2. 列秩：A的列空间的秩为r；3. 行列式：A的任意r\times r子式的行列式不为0，而r+1阶子式的行列式为0。

由此可知，对于一个向量组，可以将其构成矩阵，然后求出矩阵的秩来得到向量组的秩。

对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成矩阵：A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过对A做初等行变换，得到简化阶梯形矩阵：R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知A的秩为1，因此向量组的秩也为1。

《向量组的秩》课件

定理3
若向量组A可由向量组B线性表示，则A的秩不大于B 的秩。
向量组的秩的推论
推论1
若向量组A线性相关，则A的秩小于A中向量的个数。
推论2
若向量组A线性无关，则A的秩等于A中向量的个数。
推论3
若矩阵A的行（或列）向量线性相关，则A的秩小于其行（或列）向量的个数。
向量组的秩的证明方法
方法1
01
最多的线性无关组。
向量组的秩的性质
如果向量组a₁, a₂, ..., an线性相关，则其秩小于向量的个数；反之，如果向量组a₁, a₂, ..., an线性无关，则其秩等于向
量的个数。
向量组秩的性质
性质1
向量组的秩是唯一的。
性质2
如果向量组a₁, a₂, ..., an可以由向量组b₁, b₂, ..., bn线性表示，那么向量组a₁, a₂, ..., an 的秩不大于向量组b₁, b₂, ..., bn的秩。
线性相关
如果存在不全为零的数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁a₁ + k₂a₂ + ... + knan = 0，则称向量组a₁, a₂, ..., an线性相关。
向量组的秩的定义
向量组的秩
向量组中线性无关向量的个数称为向量组的秩。
最大线性无关组
在给定向量组中，选取的线性无关向量组中含有的向量个数
向量组的秩在求解线性方程组中的应用
通过判断向量组的秩，可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解，从而选择合适的求解方法。
在矩阵分解中的应用
向量组的秩与矩阵分解的关系
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。通过矩阵分解，可以将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积。

第三节向量组的秩

例如: A: 1=(1,0,0),2=(0,1,0) B: 1=(0,1,0),2=(0,0,1)
A的秩=2 B的秩=2
1可由1,2线性表示但2不能由1,2线性表示
A与B不等价
∵A与B等价, 且都线性无关 A与B所含向量个数相同
可见,一个向量组的最大无关组虽然不是唯一的,但最大无关组所含的向量的个数总是确定的.
二、向量组的秩
定义10 向量组的最大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 注: (1)n维向量组Rn的秩是n.
(2)设向量组A: 1,2,,m
A线性无关A的最大无关组是A本身
3 : 1 1 5
1,2,3线性相关 3可由1,2线性表示
1 : 1 1 1
2 : 0 2 4 =0
4 : 2 0 6
1,2,4线性相关 4可由1,2线性表示同理,5可由1,2线性表示 1,2是T的一个最大无关组
同法: 2,3也是T的一个最大无关组
注: (1)一般来说,一个向量组的最大无关组不是唯一的. (2)一个向量组与它的最大无关组等价.
A中的向量线性表示,则称B可由A线性表示. 若A与B可互相线性表示,则称A与B等价.
等价性质: (1)反身性: A与A等价. (2)对称性: 若A与B等价,则B与A等价. (3)传递性: 若A与B等价,B与C等价,则A与C 等价.
定义9 一个向量组T中的部分向量1,2,, m若具有性质: (1)1,2,,m线性无关; (2)向量组T中任一向量都可由1,2,,m线
k11+k22++krr
(4) (5)
把(1)式代入(5)式,整理得:
k11+k22++krr
=k1(a111+a122++a1ss) +k2(a211+a222++a2ss) ++ kr(ar11+ar22++arss)

向量组的秩

因此，可以选取1, 2 , 4 也可选 1, 2 , 5 或 1, 3 , 4 作为极大无关组，现不妨按
1, 2 , 4
从变换后的矩阵可见： x11 x2 2 3
方程的增广矩阵为 (1, 2 , 3 ) 经初等变换得到U的前三列，其等价方程为
T
b (0, b2 ,bm )T V
a b (0, a2 b2 ,am bm ) V 则：
T
a (0, a2 ,am )T V
例2、集合V {x (1, x2 ,xm )T x2 ,xm R} 就不是一个向量空间。因为，若 a (1, a2 ,am ) V
2 2 1 例5、设 A ( a1 , a2 , a3 ) 2 1 2 1 2 2 1 4 a1 , a2 , a3 是R3 验证 B (b1 , b2 ) 0 3 4 2 的一个基，
并把 b1 , b2 用这个基线性表示。
例2、求向量组 1 , 2 ,, 5 的极大无关组，
并将其余向量用极大无关组来表示。其中
1 (1,1,0,0)、2 (1,2,1,1)、3 (0,1,1,1)
4 (1,3,2,1)、5 (2,6,4,1)
T T A (1T , 2 ,, 5 ) 的秩。
并求矩阵
1 1 0 1 2 1 2 1 3 6 解： A 0 1 1 2 4 0 1 1 1 1 1 1 0 1 经初等变换得：A ~ 0 0 0 0 0 1 2 1 2 4 U 0 1 1 0 0 0
例1、设矩阵
3 2 1 3 A 2 1 3 1 4 5 5 6

第2节向量组的秩-精品文档

。 ts
, ◆ 若向量组 r，则 1, 2, 的秩为 s
性相关的。
◆ 设向量组
, p，向量组 1, 2, 的秩为 s
组
r p。
可由向量组 , 1, 2, t
, ,r 的秩为，如果向量 1 2, t
, 线性表示，则 1, 2, s
定理4.2.2 设向量组 B 能由向量组 : , , , 1 2 t
§2 向量组的秩
, 定义4.2.1 设向量组A中的一个部分组，满足 1, 2, r
, ⑴ 1, 2,线性无关； r
⑵ 向量组A中任意r+1个向量（如果有）都线性相关. 则称是向量组 A的一个最大线性无关向量组 , 1, 2, r
（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数r称
3 2 1 3 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
可见 R () A 2 , R (, A B ) 2
容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式，故
R(B) 2
于是知 R(B) 2 因此
R () AR () BR (, A B )
定理4.2.3 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。
R () AR () BR (, A B )
例1 设
1 1 1 1 1 2 1 0 ,2 , ,b ， 1 3 2 1 4 3 2 3 0 1
( , ) , B ( , , ) 证记A 。根据推论4.2.4，只要证 1 2 1 2 3
R () AR () BR (, A B ) 为此把(A,B)化成行阶梯形：

3.4向量组的秩

1 2 3
2、结论：（P104）若对矩阵A仅施以初等行变换得矩阵B，则B的列向量组与A的列向量组有相同的线性关系，即行的初等变换保 A~ B 持了列向量间的线性无关性和线性相关性。 r A r B 即得出求极大无关组的方法：
以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量组的极大无关组。自学例1、例4 例2：设矩阵
单位坐标向量
α1 α 2 ,
α 5 4 α 1 3α 2 3α 4
3.4
例3：求向量组 α 1 1, 2 , 1,1 , α 2 2 , 0 , t , 0 ,
T T
α 3 0 , 4 , 5 , 2 , α 4 3 , 2 , t 4 , 1
注：向量组的极大无关组可能不止一个，向量的个数是否相同的？
例：二维向量组 α 1
0 ,1 , α 2 1, 0 , α 3 1,1 , α 4 0 , 2
T T T
T
(1)任何三个二维向量的向量组必定线性相关；即 (2) 线性α 1 , α 2 无关， α 1 , α 2 是该向量组的一个极大线性无关组；
3.4 向量组的秩
一、极大线性无关向量组
1、定义：设向量组 A : α 1 , α 2 , , α s ，若在向量组A中能选出r个向量 α j 1 , α j 2 , , α jr ，满足： (1)向量组 A0 : α j 1 , α j 2 , , α jr 线性无关； (2)向量组A中任意r+1个向量(若有的话)都线性相关。则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组 (简称为极大无关组)
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9

向量组的秩

, ,,
i1
i2
ir
线性表出, 并且
t t t .
s
1 i1
2 i2
r ir
例
1 1 2 2 1
(
1
,
2
,
3
,
4
,
5
)
0 2
2 0
1 3
5 1
1 3 -2
1 1 0 4
1
-1
1 1 2 2 1
0 0
2 2
1 1
5 5
1 1 -1
-1/2
0 0 2 2 0
1 1 2 2 1
解因α1, α2, α3显然线性无关，而α1, α2, α3, α4, α5 均可由α1, α2, α3 线性表出. 所以α1, α2, α3 构成向量组 α1, α2, α3, α4, α5 的最大线性无关组.
可以验证α1, α2, α4与 α1, α3, α4 都是向量组的最大线性无关组. 因此对于向量组而言, 最大线性无关组不是唯一的.
0
0 3 2
判断: α1, α2, α3 或α1, α2, α4或α1, α3(α4 ), α5是最大线性无关组.
0 0
1 0
0 1
3 1
1 2 0
0 0 0 0 0
若取最大无关组α1, α2, α3, 则有
α4=α1+3α2– α3，
α5=3/2α1–1/2α2.
求最大无关组并用其表示其余向量的方法
利用136页20题结论: 对矩阵Amn作行(或列)的初等变换不改变矩阵列(或行)向量组的线性关系(线性相关性). 含义：
对列向量而言, 设矩阵A=(α1, α2, …, αn)经有限次行初等变换得到矩阵B=(β1, β2, …, βn), 则A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相关性. 即

第讲向量组的秩

R(A) =R(A,B)
R(B) R( A)
向量组 B 与向量组A 等价（P83定义）
R(A) =R(A,B)=R(B)
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关（P87定义）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关（P87定义）
R(A) < m R(A) = m
1
1
5
例设:
R (α1, α2, α3) = R (b1, b2 )
=R (α1, α2, α3 b1, b2 )
向量组1,2 ,3线性相关
R(A) < 3
R(1 ,2 ,3 ) 3
向量组构成的矩阵的秩 < 向量个数
向量组1,
2
,
线性无关
3
R(A) = 3
R(1 ,2 ,3 ) 3
向量组构成的矩阵的秩 = 向量个数
r 1, ..., m , ......
A
(2) A中的任一个向量都能由部分组A0线性表示则称部分组A0为向量组A的一个最大无关组。
2 向量组A的秩： RA 最大无关组所含向量的个数
=r
向量组 A 与其最大无关组 A0 关系？
P83定义3
向量组B：b1, b2, …, bl
相互线性表示
向量组A： α1, α2, … αm 等价（P83定义3）
线性表示其中向量组为：
2
1
1 4
3
或
1
2
1 6
6
1
3
2
2
9
1
4
1
2
7
2
5
4
4
9
1 2 1 4 3 2 1 1 6 6 3 1 2 2 9 4 1 1 2 7 5 2 4 4 9

向量组的秩

把向量组中所有向量考察一遍，即可得到该向量组的一个极大线性无关组.这个方法称为逐个“扩充法”。
例3.3.3 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
解由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的极大线性无关组。
从这个例子可以看出，一个线性相关的非零向量组，一定存在极大线性无关组，并且它的极大线性无关组不是唯一的。那么，同一个向量组的不同的极大线性无关组所含向量的个数是否相同? 下面将回答这一问题。
即C的列向量组可由A的列向量组线性表出，由定理3.3.3及3.3.4知,
R(C) R(A)
又
R(C) R(AB) R(( AB)T ) R(BT AT ) R(BT ) R(B)
故
R(AB) min R(A), R(B)
定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，那么向量组线性相关。
证设
i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,, m),
j (b j1, b j2 ,, b jn ) ( j 1,2,, r)
例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为 r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组。

向量组的秩

向量组的秩向量空间简介

向量组 的秩

向量组的秩的定义

线性代数4-2 向量组的秩

第三节 向量组的秩

向量组的秩

4.3向量组的秩

求向量组的秩的三种方法

向量组的秩

求向量组的秩的三种方法

《向量组的秩》课件

第三节 向量组的秩

向量组的秩

第2节 向量组的秩-精品文档

3.4向量组的秩

向量组的秩

第讲向量组的秩

向量组的秩

向量组的秩

第三节向量组的秩

第三节向量组的秩

第2节向量组的秩-精品文档