2019届江苏省苏锡常镇四市高2016级高三二调考试数学试卷(含附加题)及解析

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江苏省苏锡常镇四市2016届高三第二次模拟考试数学试卷

2016届高三年级第二次模拟考试（一）数学本试卷满分160分，考试时间为120分钟.-、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A = ｛x|x<3 , x€ R｝, B = ｛x|x>1 , x€ R｝，贝U AA B = __2. 已知i为虚数单位，复数z满足Z + 4= 3i,则复数z的模为____________ .3. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40, 0.125,则n 的值为_________ .2 24. 在平面直角坐标系xOy中，已知方程-------- =匚=1表示双曲线，则实数m的取4 —m 2+ m值范围为_________ .5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是____________ .6. ____________________________________________ 执行如图所示的程序框图，输出的x（第6题图）（第7题图）值为____________________________________________________7. 如图，正方体ABCDA i B i C i D i的棱长为1, P是棱BB i的中点，则四棱锥PAA i C i C的体积为________ .8. 设数列｛a n｝是首项为i,公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，若S i, S2, S n成等比数列，则数列｛a n｝的公差为_________ ._ t x2+ 49. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f（x）= （x>0）的图象上任意一点，过M 点向直线y= x和y轴作垂线，垂足分别是A, B，则MA • MB = ___________ .i0.若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是_________ .2 211.在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 0的动直线l 与圆C : x + y - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A,B ，若点A 恰为线段0B 的中点，则圆心C 到直线I 的距离为 ________________________.W 6时，f(x i ) = f(X 2)，则X l f(X 2)的取值范围是 ___________ .13.已知函数 f(x)= 2X —1 + a, g(x) = bf(1 — x)，其中 a, b € R ，若关于 x 的不等式 f(x) > g(x) 的解的最小值为2,则a 的取值范围是 ______________ .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)已知函数 f(x) = sin 2x +nn — .3sin 2x -才. (1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x € — n ,亍时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值.16. (本小题满分14分)如图，已知四棱柱 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，PA 丄平面ABCD , M 是AD 的中点，N 是PC 的中点.(1)求证：MN //平面PAB ;17.(本小题满分14分)如图是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图，其中支架OA , OB , OC 两两成12012. 已知函数f (x )= -x 2+ 4x , <Iog 2 ( x — 2)0< x<4, + 2, 4 W x W 6,若存在 x i , X 2^ R ，当 O W X i <4 W X 214.若实数x , y 满足 x 2— 4xy + 4y 2+ 4x 2y 2= 4，则当x + 2y 取得最大值时,(2)若平面 PMC 丄平面PAD ,(第16题图)OC = 1, AB= OB + OC,且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）；在厶AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与厶AOC的面积成正比，比例系数为4.3k.设OA =x, OB = y.（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）求N —M的最大值及相应的x的值.（第17题图）18.(本小题满分16分)(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ ABP 大值；②若直线l 的斜率为于，试探究0A 2+ OB 2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由.19.(本小题满分16分)设函数f (x )= x 「2e x — k (x — 2lnx )(k 为实常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数). (1) 当k = 1时，求函数f (x )的最小值；在平面直角坐b 2 = 1(a>b>0)过点P 1,弓，离心率为2.三条边所在直线的斜率的乘积为 t ,求t 的最(2) 若函数f(x)在区间(0, 4)内至在三个极值点，求k的取值范围.20.(本小题满分16分)已知首项为1的正项数列｛a n ｝满足空+1 + a n <|a n +仙，n € N *. 3(1) 若a 2= 2, a 3= x , a 4= 4,求x 的取值范围；1(2) 设数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.若-S n <S n + i <2S n , n € N *，求q 的取值范围；(3) 若a i , a 2,…，a k (k >3)成等差数列，且 a i + a ?+…+ a k = 120,求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列 a i , a 2,…，a k 的公差.2016届高三年级第二次模拟考试(一)数学附加题21. 【选做题】在 A , B , C , D 四小题中只.能选•做•两题.，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图，直线AB 与O O 相切于点B ,直线AO 交O O 于D , E 两点，BC 丄DE ，垂足为C , 且AD= 3DC , BC = 2，求O O 的直径.C.选修4-4:坐标系与参数方程点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，O C 的极坐标方程为 P= 2 , 3sin 0 .设P 为直线I 上1,1 0-0 设M =,N = 2-0 2-一 0 1 -试求曲线y = sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程.在平面直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数),以原点0为极选修4-2：矩阵与变换 B.一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标.D.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)= 3x + 6, g(x)= 14-x ,若存在实数 x 使f(x) + g(x)>a 成立，求实数 a 的取值范围.【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)如图，在长方体 ABCDA i B i C i D i 中，AA i = AB = 2AD = 2, E 为AB 的中点，F 为上的一点，D i F = 2FE.(1) 证明：平面 DFC 丄平面D i EC ; (2) 求二面角ADFC 的大小.23.(本小题满分10分)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示.(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3 :4 : 5?若存在,试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n , r 为正整数，且n > r + 3.求证：任何四个相邻的组合数C ；, C n 1, C n 2,c n +3不能构成等差数列.I 1 II 2 I13 3 1 14 6 4 1 I 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1(第22题图)2016届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)亍亍亍亍亍亍亍0 12 3 4 5 6(第22题图)数学参考答案填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70 分.2 … 4. (-2, 4) 5. 5 6. 610.(2， +8)11.芈 12.3, 2576 113.( —a,-6小题，共计90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算一n n2 n 八15. 解：(1)由题意知，f(x) = 3sin2x + 三 + cos(2x + y)=2sin2x + 可 ,(4 分)2 n所以f(x)的最小正周期为T = -^= n .(6分)n^2 n 冗当一2 + 2k n w 2x +gW - + 2k n (k € Z )时，f(x)单调递增，解得 x € — 7^+ k n ，—土;+ k n (k € Z )，所以f(x)的单调递增区间为[—务+ k n ，- 12+ k n ](k € Z ). (8分) (2)因为x € —才，nn ，所以才w 2x +夺三午，⑴分)当2x +=—，即x =— 12时，f(x)取得最大值2， (12分) 3 2 12当2x +号=4了，即x =才时，f(x)取得最小值—.3.(14分)116. 证明：(1)取 PB 中点 E ，连 EA ，EN ，△ PBC 中，EN // BC 且 EN = ^BC ，又 AM = ?AD ，AD // BC ，AD = BC ，(3 分)得EN // AM ，EN = AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) 得 MN // AE ，MN ?平面 PAB ，AE?平面 PAB ， ••• MN // 平面 PAB(7 分)(2)过点A 作PM 的垂线，垂足为 H ，•/平面PMC 丄平面 PAD ，平面 PMC 门平面 PAD = PM ，AH 丄PM ，AH?平面PAD ， • AH 丄平面PMC ， • AH 丄 CM.(10 分)•/ PA 丄平面 ABCD ，CM?平面 ABCD ，• PA 丄CM.(12 分)PA n AH = A ，PA ，AH ?平面 PAD ，CM 丄平面 PAD ， •/ AD?平面 PAD ，• CM 丄AD.(14 分)17. 解：(1)因为 OA = x ，OB = x ，AB = y + 1，1. (1 , 3)2. 53. 320 1 7. 3 8. 2 9. - 2 2] U - 4 ,+^14. 2二、解答题：本大题共步骤.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70 分.由余弦定理，x2+ y2—2xycos120 ° = (y + 1)2，x 2—1解得y= x，(3分)2 —x由 x>0, y>0 得 1<x<2，又 x>y ，得 x>-1,解得 1<x< 1 +j 3, （6 分）2— x 21，呼〕（7（2） M = kOB = ky , N = 4 .3S AOC = 3kx ,（x 2 — 1、则 N — M = k （3x — y ） = k 3x — , （8 分） \、 2 — x /3 91 y 『2-2（y 1+ y 2）+ 4 ~2 • m y 1y 2所以 t = k AB • k AP •陆一器—4m =- m +1 + 64,（9 分）所以当m =-殳时，t 有最大值討分）所以OA 的取值范围是则 N —M =k3（ 2—t ）—（2—t t ）2—1=k 10—W k 10— 2 4t3 = （10— 4 ,3）k.（11 分）当且仅当4t = 3即t =~^€号，此时 x = 2 — ~23, （13 分）,N — M 的最大值是（10 — 4.3）k.（14分）& 1 9 18.解：⑴孑+ 4b 2 =2 2 所以椭圆C :牛+牛=4 3 1, 'a — b = 1，得 a 2= 4, b 2= 3.（2 分）1.（3 分） ⑵①设直线I 的方程为x = my + 1,直线I 与椭圆C 的交点为A （X 1, %）, B （X 2,x = my + 1,y 2）,__ 9 __所以y1+y 2=—3mm 爲,y1y2=—37扁,3 、 y1—2 所以 k AP • k BP= - X 1— 13 y2—2 X 2 — 13 y1 —2 my 13 y2—2my 2设 2 — x =t € ,1， 4t + 3所以当x =2 —x②设直线l 的方程为y = ~2x + n ,直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1, y i ), B (X 2, y 2), 丫=亍+ n ,22得 3x 2 + 2 3nx + 2n 2— 6 = 0,乞+乞=1 4十3 ，△ = (2 ,3n)2— 4X 3(2n 2— 6)>0, 即—*'6<n< 牛七.,_ 2鈕 _2n 2— 6X l + x 2= ------- 亍,x i X 2 = 3—， (12 分)OA 2+ OB 2= X 1+ y 1 + x 2 + y 2= (x 2 + x 2)+ (y ? + y 2)+ n + "2x 2+ n = 7(x 2 + x 2)十 3n (X 1 + x ?)+ 2n=x 1 + x 2 +=7(x 1 + X 2)2 — 3x 1x 2+ . 3n(X 1 + X 2) + 2『(14 分) =7 -^V — 7 咛 + 3n(—穿n) +=7.(16 分)Xef(x) =(x — 2lnx)(x>0), X(e x — x 2)~3X19.解：(1)由函数(2分)因为当x>0时，e X >x 2.理由如下：要使x>0时，e X >x 2 设 $ (x )= x — 2lnx ,，只要 x>2lnx , , 2 x — 2$(x)=1—x =丁$ ' (x)<0 ；于是当 0<x<2 时，当 x>2 时，O' (x)>0. 即 $ (x = x — 2lnx 在 x = 2 处取得最小值 $ (2= 2— 2ln2>0，即 x>0 时，x>21nx , 所以 e x — x 2>0, (5 分) 于是当 0<x<2 时，f ' (x)<0 ; 当 x>2 时，f ' (x)>0.所以函数f(x)在(0, 2)上为减函数，(2,+^ )上为增函数.(6分)2所以f(x)在x = 2处取得最小值f(2) = e — 2 + 2ln2.(7分)4⑵因为 f ' (=)(X- 2)(齐 kx2)( X — 2)x当 k w 0 时，e— k>0,x 值点，所以k>0.(8分) 所以f(x)在(0, 2)上单调递减，(2, 4)上单调递增，不存在三个极又 f , (= (x -八e x- g(x—2)exe 2 •( X -2)令 g(x )= X 2 得 g '(冷X 3，易知g(X )在(0, 2)上单调递减，在(2,+^ )上单调递增，在X = 2处取得极小值, 24e e得 g(2) = 4，且 g(4) =(10 分)Xe于是可得y = k 与g(X )= -2在(0, 4)内有两个不同的交点的条件是k €X-设y = k 与g(X )=十在(0,4)内有两个不同交点的横坐标分别为 F 面列表分析导函数 f '(及原函数f(x):可知f(x)在(0, x i )上单调递减，在(x i , 2)上单调递增.在(2 , X 2)上单调递减，在(X 2, 4)上单调递增，所以f(x)在区间(0, 4)上存在三个极值点.(15分)e e 、即函数f(x)在(0, 4)内存在三个极值点的 k 的取值范围是 e ，16 .(16分)120.解：(1)由题意得，2a n <a n +1<2a n , (2 分) 3 -所以 4<X <3，2<4<2X ，解得 x € (2, 3). (4 分)n + 1 n1 - q1 — q<2 • , 1 - q 1 - qq n (q -2) >- 1, q 1 (q -2) > — 1, q n (2q - 1) <1, q 1 (2q - 1) <11⑵ 由题意得，•••2a n <a n + 1<2a n ,且数列｛a n ｝是等比数列，a 1= 1,e，16 .(12 分)1n -1尹n n -1<q <2q1(q -2｝0， [q n -1(q -2) <0,••• q €£，2](6 分)又••• ^S n <S n + 1<2S n , 而当q = 1时，S 2= 2S 1不满足题意.(7分)X 1,X 2,则有 0<X 1<2<X 2<4 ,1 1-q n2 1-q<1, 10 2又.a 1 + a ? +…+ 比=120,「. S k = #k 2+ a 1 — dk=炎+1=120,••• d =晋,k — k 240—2k 厂 2 € k — k1, 1，解得 k € （15, 239）, k € N *,所以k 的最小值为 1316,此时公差为4=亦.（16分）附加题21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.A.选修4-1:几何证明选讲解：因为DE 是O O 的直径，则/ BED + Z EDB = 90°, 又 BC 丄 DE ,所以/ CBD + Z EDB = 90°, （3 分）又 AB 切O O 于点 B ，得/ ABD =Z BED ，所以/ CBD = Z DBA.（5 分）即 BD 平分/ CBA ，则 BC = ADD = 3,又 BC = 2,从而 AB = 3 2, 所以 AC = AB 2— BC 2= 4，所以 AD = 3, （8 分）AB 2AE =-A — = 6,故 DE = AE — AD = 3，即O O 的直径AD由切割线定理得 AB 2 = AD ・AE ，即为3.（10分）B.选修4-2:矩阵与变换半0 L 0 1解：MN =-0 2,（4 分）设（x , y ）是曲线y = sinx 上的任意一点，在矩阵 MN 变换下对应的点为（x ', y '）. _ 11 01 1所以 x'= ?X , y '= 2y ,且 x = 2x', y = ?y ', （8 分）解得q € 1, 1 ; （9分）②当q € （1 , 2）时，•- q € g, 1 ]（11 分）1⑶••• 2a n <a n + 1<2a n ,且数列a 1, a ?,…，a k 成等差数列，1,1二 2【1 + （n — 1）d]<1 + nd<2[1 + （n — 1）d] , n = 1, 2，…，k — 1.d （n + 1）>— 1,- d €〔— 1, 1）（13 分） d （ 2— n ） <1 ,k丁（q -2） <— 1, q n（2q - 1） >1, q 1 （q -2） <- 1, q 1（2q - 1） >1 ,无解.（6分）1代入 y = sinx ,得2y '= sin2x 即 y'= 2sin2x '.即曲线y = sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为 y = 2sin2x.(10分)C.选修4-4:坐标系与参数方程解：由 p= 2 3sin 0，得 p 2= 2 3sin 0，从而有 x 2 + y 2 = 2 3y , (3 分) 所以 x 2+ (y —.③2= 3.(5 分) 设 P 3+ $，于t , C(0, ,3), PC =3 + ；t + jt —■ 3 = .t 2+ 12, (8 分)故当t = 0时，PC 取得最小值，此时 P 点的坐标为(3, 0). (10分) D.选修4-5:不等式选讲解：存在实数x 使f(x) + g(x)>a 成立，等价于f(x) + g(x)的最大值大于 a , (2分)因为 f(x) + g(x) = 3x + 6 +• 14 — x = ；3X x + 2+ 1X 14 — x , (4 分)由柯西不等式： (“ 3X ：x + 2 + 1X ‘14 — x)2< (3 + 1)(x + 2 + 14 — x) = 64, (7 分) 所以 f(x) + g(x) = 3x + 6 + 14 — x < 8，当且仅当 x = 10 时取“ =”，(9 分) 故常数a 的取值范围是(一a, 8). (10分)【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分.22.解：(1)以D 为原点，分别以 DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y轴、z 轴建立如A(1 , 0, 0), B(1 , 2, 0), C(0, 2, 0), D 1(0, 0, 2).E 为AB 的中点， E 点坐标为E(1 , 1 , 0), D 1F =2FE ,D T F = 2D TE = 3(1 , 1, — 2) = (3 , 2, 一 3),=I , I , 2 .(2 分)2 2 22x +屏+ 3z =0 ,2y = 0 , 取x = 1得平面FDC的一个法向量 n = (1, 0, — 1) , (3分) 设p = (x , y , z)是平面ED 1C 的法向量，贝y°，2 D 1C = 0,图所示空间直角坐标系，则 DF = D D 1+ D 7F = (0 ,(2设n = (x , y , z)是平面 DFC 的法向量，则n DF = 0 ,n DC = 0 ,12 • n ! 1n r 1n !r !( n — r )!n !2 - n !n != +(r + 2) !( n — r — 2)!(r + 1)!( n — r — 1)!(r + 3)!)n! __________ (n — r — 3)! .(6所以有________ 21)_______ 1 ______ (r + 1)(r + 2),11)(n — r )22) _________ 1 _________ (n — r — 2)( n — r — 1)(r + 2)(r + 3)，经整理得到 n 2— (4r + 5)n + 4r(r + 2) + 2= 0, n 2— (4r + 9)n + 4(r + 1)(r + 3)+ 2= 0. 两式相减可得n = 2r + 3,2 2 4,3x +3y —3z =0，2y — 2z = o ,取y = 1得平面D I EC 的一个法向量p = (1 , 1 , 1), (4分) •- np = (1 , 0, — 1)(1,1,1) = 0, •••平面DFC 丄平面D 1EC.(5分)⑵ 设q = (x , y , z)是平面ADF 的法向量，贝U2 2 2 _丿3x + 3y + 3z_ 0,取y = 1得平面 ADF 的一个法向量 q = (0, 1, ,=0,设二面角A-DF-C 的平面角为0,由题中条件可知灰牙,n i ,q DF = 0, q DA = 0,—1), (7 分)贝U cos 0=—n q |n ||q |0 + 0+ 1,2 — 22, (9 分)面角A-DF-C 的大小为120° .（10分）23.解：1, 2,n 组成.如果第n 行中有C n —1"CTkk 3 C n k +1 4,—k + 1 =即么 3n — 7k = — 3, 4n — 9k =5, (2 分)解这个联立方程组，得 k = 27, n = 62.（3分）即第62行有三个相邻的数 C 66, C67 , C28的比为3： 4： 5.（4⑵ 若有 n , r(n > r + 3)，使得 C ：, C +1, C +2,c n 十3成等差数列,则 2c ；+1=c n +c n +2r +2 r +1 r + 3,2C n = C n 十 C n ,于是 C 2r + 3 , C 2r + 3 , C 2r + 3 , C 2r + 3成等差数列，（8 分）而由二项式系的性质可知c 2r + 3= C2++33<C 2++13= C 2；+3,这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立. （10分）。

江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2019届高三年级二模联考数学答案

所以抛物线的解析式为y＝ (400－x2)．(5分)
因为点C在抛物线上,
所以n＝ (400－m2),0<m<20.(6分)
(2)设等腰梯形ABCD的面积为S,
则S＝ ×(2m＋40)× ×(400－m2),(8分)
S＝ (－m3－20m2＋400m＋8000)．(9分)
因为S′＝ (－3m2－40m＋400)＝－ (3m－20)(m＋20),(10分)
h′(x)＝
＝ ≤0,
令u(x)＝－(1＋x＋x2)lnx－ax2＋x＋1,
则u′(x)＝－(1＋2x)lnx－－(2a＋1)x<0,
即函数u(x)区间在[1,e]上单调递减,
所以u(x)max＝u(1)＝－a＋2≤0,
所以a≥2.(11分)
2°若a≤－ ,g(x)≤0,h(x)＝－ ,
由1°知,h′(x)＝ ,又函数h(x)在区间[1,e]上是单调减函数,
则φ′(x)＝1－ ≥0,函数φ(x)在区间[1,e]上单调递增．(5分)
因为φ(x)≥φ(1)>0,(6分)
所以g′(x)>0,函数g(x)在区间[1,e]上单调递增,所以函数g(x)的最大值为g(e)＝ .(8分)
②同理,单调增函数g(x)＝ ∈[a,a＋1＋ ],(9分)
则h(x)＝ · .
1°若a≥0,g(x)≥0,h(x)＝ ,
16.(1)设向量a与b的夹角为θ.
因为|a|＝2,
|b|＝＝ ,(4分)
所以cosθ＝
＝
＝＝ .(7分)
因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角为 .(9分)
(2)若(λb－a)⊥a,则(λb－a)·a＝0,
即λb·a－a2＝0.(12分)

2019年苏锡常镇高三二模数学试卷及答案

苏锡常镇高三二模数学试卷及答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{－3，0}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z 满足z·i ＝3－4i (i 为虚数单位)，则|z|＝________．3. 双曲线x 24－y 23＝1的渐近线方程为________．4. 某中学共有1 800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n ＝________．5. 将一颗质地均匀的正四面骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4)先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为________．6. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．7. 若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为8cm 2，则它的体积为________cm 3.8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＝2，S 2＋S 4＝1，则a 10＝________． 9. 已知a>0，b>0，且2a ＋3b＝ab ，则ab 的最小值是________．10. 设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan A tan B ＝3c －bb ，则cos A ＝________．11. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ， x<1，x ＋4x ， x ≥1(e 是自然对数的底数)．若函数y ＝f(x)的最小值是4，则实数a 的取值范围为________．12. 在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP →|＝3，|CA →|＝4，∠ACB ＝2π3，则CP →·CA →＝________．13. 已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．14. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)在区间[1，2]上有两个不同的零点，则f （1）a 的取值范围为________________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(2sin α，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.(1) 若角α的终边过点(3，4)，求a·b 的值；(2) 若a ∥b ，求锐角α的大小．16. (本小题满分14分)如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1) B 1M ∥平面A 1BN ； (2) AD ⊥平面A 1BN.17. (本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点⎝⎛⎭⎫3，12，⎝⎛⎭⎫1，32，点A 是椭圆的下顶点． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过点A 且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y ＝x 分别相交于E ，F 两点，已知OE ＝OF ，求直线l 1的斜率．18. (本小题16分)如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 为圆心，且OC ⊥AB ，在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝2π3，计划在BC ︵上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(1) 当θ＝π3时，求∠OPQ 的大小；(2) 当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g(x)＝ln x.(1) 若a ＝0，b ＝－2，且f(x)≥g(x)恒成立，求实数c 的取值范围； (2) 若b ＝－3，且函数y ＝f(x)在区间(－1，1)上是单调减函数． ①求实数a 的值；②当c ＝2时，求函数h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥g （x ），g （x ），f （x ）<g （x ）的值域．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝3，且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对于正整数i ，j ，k (i <j <k )，已知λa j ，6a i ，μa k 成等差数列，求正整数λ，μ的值； (3) 设数列{b n }的前n 项和是T n ，且满足对任意的正整数n ，都有等式a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n－2＋…＋a n b 1＝3n ＋1－3n －3成立．求满足等式T n a n ＝13的所有正整数n .高三年级第二次模拟考试(十)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA ＝DC .(1) 求证：AB ＝2BC ；(2) 若AB ＝2，求线段CD 的长．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 5，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b . (1) 求矩阵AB ；(2) 若B －1A －1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51，求a ，b 的值．C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫22，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知x ，y 都是正数，且xy ＝1，求证：(1＋x ＋y 2)(1＋y ＋x 2)≥9.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分) 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝AD ＝2AB ，点Q 为线段PA(不含端点)上的一点．(1) 当点Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；(2) 已知二面角QBDP 的正弦值为23，求PQPA的值．23. (本小题满分10分)在含有n 个元素的集合A n ＝{1，2，…，n}中，若这n 个元素的一个排列(a 1，a 2，…，a n )满足a i ≠i(i ＝1，2，…，n)，则称这个排列为集合A n 的一个错位排列(例如：对于集合A 3＝{1，2，3}，排列(2，3，1)是A 3的一个错位排列；排列(1，3，2)不是A 3的一个错位排列)．记集合A n 的所有错位排列的个数为D n .(1) 直接写D 1，D 2，D 3，D 4的值；(2) 当n ≥3时，试用D n －2，D n －1表示D n ，并说明理由； (3) 试用数学归纳法证明：D 2n (n ∈N *)为奇数.2018届苏锡常镇四市高三年级第二次模拟考试(十)数学参考答案1. {1}2. 53. y ＝±32x4. 635. 316 6. 257.433 8. 8 9. 26 10. 1311. a ≥e ＋4 12. 6 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，5 14. [0，1)15. 解析：(1) 由题意sin α＝45，cos α＝35，(2分)所以a·b ＝2sin α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin α＋sin αcos π4＋cos απ4＝425＋45×22＋35×22＝322.(6分) (2) 因为a ∥b ，所以2sin αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1，即2sin α⎝⎛⎭⎫sin αcos π4＋cos αsin π4＝1，所以sin 2α＋sin αcos α＝1，(10分)则sin αcos α＝1－sin 2α＝cos 2α，对锐角α有cos α≠0，所以tan α＝1，所以锐角α＝π4.(14分)16. 证明：(1) 连结MN ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，则四边形AA 1C 1C 是平行四边形，因为点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，所以MN ∥AA 1，且MN ＝AA 1，(2分)因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1，所以MN ∥BB 1，且MN ＝BB 1，所以四边形MNBB 1是平行四边形，所以B 1M ∥BN ，因为B 1M ⊄平面A 1BN ，BN ⊂平面A 1BN ，所以B 1M ∥平面A 1BN.(6分)(2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， BN ⊂平面ABC ，所以BN ⊥AA 1，在正△ABC 中，N 是AB 的中点，所以BN ⊥AC.因为AA 1，AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，所以BN ⊥平面AA 1C 1C. 因为AD ⊂平面AA 1C 1C ，所以AD ⊥BN ，(10分)由题意，得AA 1＝6，AC ＝2，AN ＝1，CD ＝63，所以AA 1AC ＝AN CD＝32，因为∠A 1AN ＝∠ACD ＝π2，所以△A 1AN 与△ACD 相似，则∠AA 1N ＝∠CAD ，所以∠ANA 1＋∠CAD ＝∠ANA 1＋∠AA 1N ＝2，所以AD ⊥A 1N.因为BN ∩A 1N ＝N ，BN ，A 1N ⊂平面A 1BN ，所以AD ⊥平面A 1BN.(14分)17. 解析：(1) 由题意得⎩⎨⎧3a 2＋14b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝14，1b 2＝1，(4分) 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(6分)(2) 由题意知A(0，－1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零，设直线l 1：y ＝k 1x －1，与直线y ＝x 联立方程有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y ＝x ，解得E ⎝⎛⎭⎫1k 1－1，1k 1－1，设直线l 2：y ＝－1k 1x －1，同理F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 1－1，1－1k 1－1，(8分)因为OE ＝OF ，所以|1k 1－1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11k1－1 ，(10分)①1k 1－1＝1－1k 1－1 ，k 1＋1k 1＝0无实数解；(11分)②1k 1－1＝－1－1k 1－1 ，k 1－1k 1＝2，k 2－2k 1－1＝0，解得k 1＝1±2，综上可得，直线l 1的斜率为1±2.(14分)18. 解析：(1) 设∠OPQ ＝α，由题意，得在Rt △OAQ 中，OA ＝3，∠AQO ＝π－∠AQC ＝π－2π3＝π3，所以OQ ＝3，在△OPQ 中，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ＝π2－π3＝π6，由正弦定理得OQ sin ∠OPQ ＝OPsin ∠OQP ， (2分)即3sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫π－α－π6，所以3sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫π－α－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－α，则3sin α＝sin 5π6cos α－cos 5π6sin α＝12cos α＋32sin α，所以3sin α＝cos α，(4分)因为α为锐角，所以cos α≠0α＝π6.(6分)(2) 设∠OPQ ＝α，在△OPQ ，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ＝π2－π3＝π6，由正弦定理得OQ sin ∠OPQ ＝OP sin ∠OQP ，即3sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫π－α－⎝⎛⎭⎫π2－θ，(8分)所以3sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫π－α－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－（α－θ）＝cos (α－θ)＝cos αcos θ＋sin αsin θ，所以(3－sin θ)sin α＝cos αcos θ，其中3－sin θ≠0，cos α≠0，所以tan α＝cos θ3－sin θ，(11分)记f(θ)＝cos θ3－sin θ，f ′(θ)＝1－3sin θ（3－sin θ）2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2；令f′(θ)＝0，sin θ＝33，存在唯一θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得sin θ0＝33，(13分) 当θ∈(0，θ0)时，f ′(θ)>0，f (θ)单调递增，当θ∈⎝⎛⎭⎫θ0，π2时f′(θ)<0，f (θ)单调递减，所以当θ＝θ0时，f (θ)最大，即tan ∠OPQ 最大，因为∠OPQ 为锐角，所以∠OPQ 最大，此时sin θ＝33. 故观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为33. (16分) 19. 解析：(1) 函数y ＝g(x)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0，b ＝－2，f(x)＝x 3－2x ＋c ，因为f(x)≥g(x)恒成立，所以x 3－2x ＋c ≥ln x 恒成立，即c ≥ln x －x 3＋2x.(2分) 令φ(x)＝ln x －x 3＋2x ，则φ′(x)＝1x －3x 2＋2＝1＋2x －3x 3x ＝（1－x ）（1＋3x ＋3x 2）x，令φ′(x)≥0，得x ≤1，所以φ(x)在区间(0，1]上单调递增，令φ′(x)≤0，得x ≥1，所以φ(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，(4分) 所以当x ＝1时，[φ(x)]max ＝φ(x)＝1，所以c ≥1.(6分)(2) ①当b ＝－3时，f(x)＝x 3＋ax 2－3x ＋c ，f ′(x)＝3x 2＋2ax －3. 由题意，得f′(x)＝3x 2＋2ax －3≤0对x ∈(－1，1)恒成立， (8分)所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3＋2a －3≤0，f ′（－1）＝3－2a －3≤0，所以a ＝0，即实数a 的值为0. (10分) ②函数y ＝h(x)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0，b ＝－3，c ＝2时，f(x)＝x 3－3x ＋2.f ′(x)＝3x 2－3，令f′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝1.(12分)所以当x ∈(0，1)时，f(x)>0，当x ＝1时，f(x)＝0，当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>0. 对于g(x)＝ln x ，当x ∈(0，1)时，g(x)<0，当x ＝1时，g(x)＝0，当x ∈(1，＋∞)时，g(x)>0.(14分)所以当x ∈(0，1)时，h(x)＝f(x)>0，当x ＝1时，h(x)＝0，当x ∈(1，＋∞)时，h(x)>0. 故函数y ＝h(x)的值域为[0，＋∞). (16分)20. 解析：(1) 由2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)得2S n ＋1＝a n ＋2－3，两式作差得2a n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1(n ∈N *). (2分)a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝9，所以a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，a n ≠0，则a n ＋1a n＝3(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n (n ∈N *)．(4分)(2) 由题意，得λa j ＋μa k ＝2×6a i ，即λ3j ＋μ3k ＝2×6·3i ，所以λ3j －i ＋μk －i ＝12，其中j －i ≥1，k －i ≥2，所以λ3j －i ≥3λ≥3，μ3k －i ≥9μ≥9, (6分)12＝λ3j －i ＋μ3k －i ≥12，所以j －i ＝1，k －i ＝2，λ＝μ＝1. (8分)(3) 由a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3n ＋1－3n －3得a 1b n ＋1＋a 2b n ＋a 3b n －1＋…＋a n b 2＋a n ＋1b 1＝3n ＋2－3(n ＋1)－3，a 1b n ＋1＋3(a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n －1b 2＋a n b 1＝3n ＋2－3(n ＋1)－3，a 1b n ＋1＋3(3n ＋1－3n －3)＝3n ＋2－3(n ＋1)－3，所以3b n ＋1＝3n ＋2－3(n ＋1)－3－3(3n ＋1－3n －3)，即3b n ＋1＝6n ＋3，所以b n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *), (10分)因为a 1b 1＝31＋1－3·1－3＝3，所以b 1＝1，所以b n ＝2n －1(n ∈N *)，所以T n ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝1＋2n －12n ＝n 2(n ∈N *)，T n a n ＝n 23n (n ∈N *)，当n ＝1时，T 1a 1＝13；当n ＝2时，T 2a 2＝49；当n ＝3时，T 3a 3＝13.(12分)下面证明：对任意正整数n >3都有T n a n <13，T n ＋1a n ＋1－T n a n＝(n ＋1)2⎝⎛⎭⎫13n ＋1－n 2⎝⎛⎭⎫13n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1((n ＋1)2－3n 2)＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1(－2n 2＋2n ＋1)，当n ≥3时，－2n 2＋2n ＋1＝(1－n 2)＋n (2－n )<0，即T n ＋1a n ＋1－T na n<0，所以当n ≥3时，T n a n 递减，所以对任意正整数n >3都有T n a n <T 3a 3＝13，综上，满足等式T n a n ＝13的正整数n 的值为1和3.(16分)21. A . 解析：(1) 连结OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°，AB ＝2OB . 因为CD 是圆O 的切线，所以∠CDO ＝90°，因为DA ＝DC ，所以∠A ＝∠C ，所以△ADB ≌△CDO ，所以AB ＝CO ，所以AO ＝BC ，所以AB ＝2BC .(6分)(2) 由AB ＝2，AB ＝2BC ，得CB ＝1，CA ＝3.由切割线定理，得CD 2＝CB ·CA ＝1×3＝3，所以CD ＝ 3.(10分)B . 解析：(1) AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001⎣⎢⎡⎦⎥⎤1205＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4805.(4分)(2) 由B －1A －1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51，解得X ＝AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤51＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4805⎣⎢⎡⎦⎥⎤51＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤285.因为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，所以a ＝28，b ＝5. (10分)C . 解析：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以圆C 的圆心的极坐标为(2，0). (5分) 因为圆C 的半径PC ＝（22）2＋22－2×22×2×cos π4＝2，(7分)所以圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (10分) D . 证明：因为x ，y 都是正数，所以1＋x ＋y 2>33xy 2>0， 1＋y ＋x 2≥33yx 2>0, (6分)(1＋x ＋y 2)(1＋y ＋x 2)≥9xy ，因为xy ＝1，所以(1＋x ＋y 2)(1＋y ＋x 2)≥9. (10分)22. 解析：(1) 以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝t ，则D(0，0，0)，A(2t ，0，0)，B(2t ，l ，0)，C(0，t ，0)，P(0，0，2t)，Q(t ，0，t)，所以CQ →＝(t ，－t ，t)，DB →＝(2t ，t ，0)，DP →＝(0，0，2t)，设平面PBD 的一个法向量n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n 1＝0，DP →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2tx ＋ty ＝0，2tz ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，z ＝0，所以平面PBD 的一个法向量n 1＝(1，－2，0)，(3分) 则cos 〈n 1，CQ →〉＝n·CQ →|n 1||CQ →|＝3t 5×3t ＝＝155，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为155. (5分) (2) 由(1)知平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1，－2，0)，设PQ P A ＝λ(0<λ<1)，则PQ →＝λP A →，DQ →＝DP →＋PQ →＝(0，0，2t )＋λ(2t ，0，－2t )＝(2tλ，0，2t (1－λ))，DB →＝(2t ，t ，0)，设平面QBD 的一个法向量n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DQ →·n 2＝0，DB →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t λx ＋2t （1－λ）z ＝0，2tx ＋ty ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λx ＋（1－λ）z ＝0，2x ＋y ＝0，所以平面QBD 的一个法向量n 2＝(1－λ，2λ－2，－λ), (7分) 由题意得1－⎝⎛⎭⎫232＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1||n 2|| ＝|5（1－λ）5（1－λ）2＋（2λ－2）2＋（－λ）2|，所以59＝5（1－λ）26λ2－10λ＋5，即(λ－2)⎝⎛⎭⎫λ－23＝0，因为0<λ<1，所以λ＝23，则PQ P A ＝23.(10分)23. 解析：(1) D 1＝0，D 2＝1，(前2个全对方得分) (1分)D 3＝2, (2分) D 4＝9. (3分)(2) D n ＝(n －1)(D n －1＋D n －2), (4分) 理由如下：对A n 的元素的一个错位排列(a 1，a 2，…，a n )，若a 1＝k(k ≠1)，分以下两类：若a k ＝1，这种排列是n －2个元素的错位排列，共有D n －2个；若a k ≠1，这种错位排列就是将1，2，…，k －1，k ＋1，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n －1个元素的错位排列，共有D n －1个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到D n ＝(n －1)(D n －1＋D n －2)．(6分)(3) 根据(2)的递推关系及(1)的结论，D n均为自然数．当n≥3，且n为奇数时，n－1为偶数，从而D n＝(n－1)(D n－1＋D n－2)为偶数，又D1＝0也是偶数，故对任意正奇数n，有D n均为偶数. (7分)下面用数学归纳法证明D2n(其中n∈N*)为奇数．当n＝1时，D2＝1为奇数；假设当n＝k时，结论成立，即D2k是奇数，则当n＝k＋1时，D2(k＋1)＝(2k＋1)(D2k＋1＋D2))，注意到D2k＋1为偶数，又D2k是奇数，所以D2k＋1＋D2k为奇数，又2k＋1为奇数，所以D2(k＋1)＝(2k＋1)(D2k＋1＋D2k)，即结论对n＝k＋1也成立；综上，对任意n∈N*，都有D2n为奇数．(10分)。

江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研(二)数学试题(二模) Word版含答案

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()U A B = ð ▲ ． 2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等于 ▲ ．（第7题）8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12SS 的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若c ，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ，D 是AB 的中点．C B 1A 1PDCBA（1）求证：1BC ∥平面1A CD ；（2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1A CD ．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，0x>）时，销售量()q x（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则1260()1q xx=+；若x大于或等于180，则销售量为零；当20180x≤≤时，()q x a=-（a，b为实常数）．（1）求函数()q x的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左，右焦点分别是1F，2F，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C C的方程；（2）若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线2PF交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点1F的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828= 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围；（2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．（第21-A 题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求M A M B ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++= ，且12||||||1n a a a +++ ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{125}，， 2．1- 3．65 4．12 5．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 10 11．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)- 14．1 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分 ∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==，∴2ab =﹒① …………9分∵c =，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =，所以b∴a b = …………14分 16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分又∵OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，∴1BC ∥平面1A CD ． …………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ， CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB ，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ，从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分又∵1CD A D D = ，CD ⊂平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD∴AP ⊥平面1A CD ． …………14分17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， …………2分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增，所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分（2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分把1k =代入方程（*），得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--，令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+ ，212=(,)+b c FQ c a c， …………13分从而42112()+b c F P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==，又∵221a b +=，222=+a b c ， ∴110F P FQ ⋅= ﹒ …………15分所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+，从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分（1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=，又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=． …………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分又163(1)3033c -=+=≠--λλλ，所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分（3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-．从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，． (9)分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---．若3λ>时， 103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ，因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，，要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤． (15)分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． (16)分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln 2x =．当ln 2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln 2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减，从而当ln 2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． …………3分（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()ex x G x =，则(2)()e xx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，，当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24ea <-，所以当0a =或24e a <-时，函数()yf x =只有一个零点． …………8分（3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+，即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x mx m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒两边同除以e m，得2e 1e tt t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =， ∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分 ∴BAE ADC ∠=∠． …………4分又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分 ∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，为参数)， …………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， …………6分设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为右—左=432222x x x --+ …………2分 =3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， …………8分所以，原不等式成立． …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分（2）由题意，得=0123，，，X ， 044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分∴X 的分布列为 (10)分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分（2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++= ，且12||||||1k a a a +++ ≤时，有1211||22k b b b k +++- ≤． …………3分则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++= ，且121||||||1k a a a ++++ ≤， ∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++ ≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++= ，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++ ≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a ab b b b b b b k k ++-++++=++++++1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++ -)|≤-111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-，即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。

2016年苏锡常镇四市高三数学情况调研(二)数学II(附加题)试题

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院 2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．（第21-A 题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n +++-≤(*)n ∈N ．。

江苏省苏锡常镇四市2019届高三数学二模考试试题(十)

格，另一件不合格的概率为 ________．
6. 在等差数列 {a n} 中， a4＝ 10，前 12 项的和 S12＝ 90，则 a18的值为 ________．
7.
在平面直角坐标系
xOy 中，已知
A 是抛物线
y 2＝ 4x
与双曲线
x2 y2 4 － b2＝ 1(b>0)
的一个
交点．若抛物线的焦点为 F，且 FA＝5，则双曲线的渐近线方程为 ____________________ ．
设向量 a＝ (cos
α ， λ sin
α ) ，b＝ (cos
β， sin
β) ，其中
λ
天，说说话放松一下。
03 遇事都往好处想
看大题时，先不想该怎么做，只是看它如何表述，甚至跟自己说“这题我会做，第一问认真
看就能做对” ，让自己有一个平和的心态答题。即使是弱科，我们也要知足常乐，我只要把会
做的都做上，在一场考试中把会的都做对其实就是很好的发挥了。
时刻给自己打一打气，阿 Q 一下，这样把对自己的期待放低一些，心态就平稳了，也就高兴
况下因匆忙而涂错、涂串或是没有涂完而造成遗憾。
02
考前看相关资料转换思维考英语前最好看看复习资料，并不是要记住什么知识点，而是让大
脑提前进入状态。而数学试卷对一些学生来说比较发怵，建议在心中回忆梳理一下相关知识
点，可驱使自己进入状态，效果不错。考试紧张，这是很正常的事情，考试不紧张，就不正
常了。但是不能过度紧张，那样会给自己很大的压力不利于水平的发挥。可以和同学聊一聊
了，这可以使得思路更顺畅，而超水平发挥也就很正常了。
04 别看他人答题的速度
考场上不要左顾右盼，观察别人做题的进度，万一人家比自己快，会给自己压力。在考场上

江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调研(3月)数学试题Word版含答案

江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调研（3月）数学试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B = ． 2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是．10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b -=，则cos A = ．11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a的取值范围为．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为． 14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值；（2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC AB C -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11AC ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ；（2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，(1,2，点A 是椭圆的下顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =；（2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调研（3月）数学试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 257.38. 8 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+4552=+⨯3522+⨯=（2）因为//a b ，所以sin()14a πα+=α(sin cos cos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，CD =1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BNA N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---， ①1111111k k =---，1110k k +=无实数解； ②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为1±18.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=cos αα=，因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠3sin(())2ππαθ=---，sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tanα=，记()f θ=，'()f θ=，(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin 3θ=答：观赏效果达到最佳时，θ. 19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+， ∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x x ϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x-++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增，令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >. ∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263j k i λμ+=⋅⋅，所以3312j i k i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j i λλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =；下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n n n nT T a a ++-<，所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=；综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠，于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =，所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =.B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =. C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=.D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-， 111cos ,n CQn CQ n CQ ⋅<>===，则CQ 与平面PBD （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PA λλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则2200D Q n D B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=，因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D =，32D =，49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+，理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类：若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数，又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数.。

江苏省苏锡常镇2019届高三数学二模试题

31江苏省苏锡常镇 2019 届高三数学二模试题第 I 卷(必做题，共 160 分)、填空题(本大题共 14小题，每小题 5 分，共 70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．)1．已知集合 A ＝ x x 1 ， B ＝ x 0 x 3 ，则 A I B ＝．3 4i 2．已知复数 z ，其中 i 是虚数单位，则 z ＝． 5ix223．已知双曲线 C 的方程为y 21，则其离心率为．44．根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为．5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：4： 3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为 15，则抽取的样本容量为．6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为 1，2， 3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于 6 的概率为． S7．已知等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 6 2a 2 ，则 12＝．n n 6 2S88．函数 f (x) cos( x )(0) 的图像关于直线 x 对称，则的最小值为．2a21 2b2 49．已知正实数 a ，b 满足 a ＋b ＝ 1，则的最小值为．ab10．已知偶函数 f (x)的定义域为 R ，且在［0 ， )上为增函数，则不等式 f(3x) f(x 22) 的解集为．11．过直线 l ： y x 2上任意点 P 作圆 C ： x 2y 21的两条切线，切点分别为 A ，B ，当切线最小时，△ PAB 的面积为．1212．已知点 P 在曲线 C ： y x 2上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l ，过点 P 且与直线 l 垂直2的直线与曲线 C 的另一交点为 Q ，O 为坐标原点，若 OP ⊥OQ ，则点 P 的纵坐标为．13．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝2，以 AB 为直径在△ ABC 外作半uuru uuru 8 uuur uuur圆 O ，P 为半圆弧 AB 上的动点，点 Q 在斜边 BC 上，若 AB AQ ＝，则 AQ CP 的最小值为．314．已知 e 为自然对数的底数，函数f （x） e x ax2的图像恒在直线y ax 上方，则实数 a 的取值范围为．二、解答题（本大题共 6 小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14 分）如图，在三棱锥P—ABC中，过点P作PD⊥AB，垂足为D，E，F 分别是PD，PC的中点，且平面PAB⊥平面PCD．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）求证：CE⊥ AB．16．（本小题满分14 分）1）求角 A 的大小；12）若cos（B ＋）＝，求cosC 的值．在△ ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a c 2 cosAsinC6417．（本小题满分14 分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π 立方米的有盖圆锥形容器．（1）若该容器的底面半径为 6 米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分16 分）22如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C：x2y21（a>b>0）的左、右顶点分a2b2别为A1（﹣2，0），A2（2 ，0），右准线方程为 x＝4．过点A1的直线交椭圆C于 x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D．直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D 交于点H．1）求椭圆 C 的标准方程；2）若HG⊥ A1D，试求直线A1D的方程；uuuur uuuur3）如果A1H A1P，试求的取值范围．19．（本小题满分16 分）2x2 (2 a)x aln x ，其中 a R．（1）如果曲线y f（x）在 x＝1处的切线斜率为1，求实数 a的值；（2）若函数f （x）的极小值不超过a，求实数 a 的最小值；2（3）对任意x1 [1 ，2] ，总存在x2 [4 ，8] ，使得f （x1）＝f （ x2 ）成立，求实数 a的已知函数f（x）取值范围．20．（本小题满分 16 分）已知数列 a n 是各项都不为 0 的无穷数列，对任意的 n ≥3， n Na 1a 2 a 2a 3 L a n 1a n(n 1)a 1a n 恒成立．1111）如果 1， 1， 1成等差数列，求实数的值； a1 a2 a3a n第 II 卷（附加题，共 40 分）21．【选做题】本题包括 A ， B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修 4— 2：矩阵与变换2）已知＝1．①求证：数列11 是等差数列；②已知数列a na n中， a 1 a 2 ．数列 b n 是公比为 q 的等比数列，满足11b 1 1， b 2 1， b 3a 1a 21(ia i）．求证：q 是整数，且数列 b n 中的任意一项都是数列1中的项．10 分共计 20 分，已知矩阵A＝ 2 1，其逆矩阵A1＝ b c，求A2．0 a 0 1B．选修4—4：坐标系与参数方程x 2 2cos在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C的参数方程为y 3 2sin标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M，（2，0），（2 3 ，），求直线 l 被曲线C截得的弦长．6C．选修4—5：不等式选讲（为参数）．以坐N的极坐标分別为已知正数a，b，c 满足a＋b＋c＝2，求证：a2b2b c c a2cab1．必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线C：y2 4x的焦点为F，过 F 的直线l 交抛物线C于A，B 两点．1）求线段AF 的中点M的轨迹方程；2）已知△ AOB的面积是△ BOF面积的 3 倍，求直线 l 的方程．23．（本小题满分10 分）已知数列a n，a1 2 ，且a n 1 a n2a n 1对任意 n N 恒成立．( 1)求证：a n 1 a n a n 1a n 2L a2a1 1(n N ) ；( 2)求证：a n 1 n n1(n N ) ．。

精品解析：【市级联考】江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查(二)数学试题含附加题(解析版)

江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合A＝，B＝，则A B＝_______．【答案】【解析】【分析】直接由交集运算得解。

【详解】因为A＝，B＝，所以【点睛】本题主要考查了交集的运算，属于基础题。

2.已知复数，其中是虚数单位，则＝_______．【答案】1【解析】【分析】利用复数的除法及乘法运算求得，再利用复数的模的公式求解。

【详解】因为所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，还考查了复数的模的定义，考查计算能力，属于基础题。

3.已知双曲线C的方程为，则其离心率为_______．【答案】【解析】【分析】由双曲线C的方程可求得，，问题得解。

【详解】由双曲线C的方程可得：所以，所以【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题。

4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为_______．【答案】8【解析】【分析】按程序图依次执行即可得解。

【详解】依据程序图依次执行得：成立成立成立不成立，结束循环输出【点睛】本题主要考查了循环结构语句及其执行流程，属于基础题。

5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______．【答案】55【解析】【分析】设高一、高二分别抽取，个人，按分层抽样方法列出比例关系，解方程即可求得，，问题得解。

【详解】设高一、高二分别抽取，个人，由题可得：，解得：，所以抽取的样本容量为（人）【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，考查方程思想，属于基础题。

6.口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为_______．【答案】【解析】【分析】从袋中随机抽取两个球共有6个不同的结果，其中取出的两个球的编号之积大于6的有2种不同的结果，利用古典概型概率公式即可得解。

江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查(二)数学试题含附加题(原卷版)

江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合A ＝，B ＝，则A B＝_______．2.已知复数，其中是虚数单位，则＝_______．3.已知双曲线C 的方程为，则其离心率为_______．4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为_______．5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______．6.口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为_______．7.已知等比数列的前n 项和为，若，则＝_______．8.函数图像关于直线对称，则的最小值为_______．9.已知正实数，b 满足＋b＝1，则的最小值为_______．10.已知偶函数的定义域为R，且在[0，)上为增函数，则不等式的解集为_______．11.过直线：上任意点P作圆C ：的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，△PAB 的面积为_______．12.已知点P在曲线C ：上，曲线C在点P 处的切线为，过点P 且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为_______．13.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，以AB为直径在△ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若＝，则的最小值为_______．14.已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数的取值范围为_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在三棱锥P—ABC中，过点P作PD⊥AB，垂足为D。

2019年最新江苏省四市高三教学情况调研(二)数学试题及答案解析

江苏省四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B = ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ． 3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ． 6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等于 ▲ ． 8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ． 9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V ，则12SS 的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若c =，△ABC 的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ；（2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1ACD ．C B 1A 1PDCBA17．（本小题满分14分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数）．（1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C ，求椭圆C 的方程；（2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围；（2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．（第21-A 题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{125}，， 2．1- 3．65 4．12 5．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 10．3211．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)-14． 1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分∵A B C ++=，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈， 1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c =，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =负），所以b =，∴a b =． …………14分16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ (8)分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ，从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒， ∴1AP A D ⊥． …………12分又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， (2)分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ (4)分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增，所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒由题设ab =，化简，得221a b +=﹒① (2)分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ (5)分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分（2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分把1k =代入方程（*），得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--，令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ (12)分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c， …………13分从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==，又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+，从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分（1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=，又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=． …………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分又163(1)3033c -=+=≠--λλλ，所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分（3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-．从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---．若3λ>时， 103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ，因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，，要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减，从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln22b -≥． …………3分（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x x G x =，则(2)()e xx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，，当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24e a <-，所以当0a =或24ea <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分（3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+，即000()()()2f x f m x m f x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-，00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )e x m x m a a x m+-=-﹒......（*）﹒ (10)分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒ 两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， (12)分令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分∴BAE ADC ∠=∠． …………4分又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， (2)分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， …………6分设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为右—左=432222x x x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， (8)分所以，原不等式成立． …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分（2）由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分∴X 的分布列为…………10分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分（2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． …………3分则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， (5)分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k +-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++-)|≤- 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-，即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。

江苏省苏锡常镇四市2019届高三数学二模考试试题(十)

2019届高三年级第二次模拟考试(十)数学（满分160分，考试时间120分钟)一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1。

已知集合A＝｛x|1〈x〈3｝，B＝｛x|2〈x<4}，则A∪B＝________．2。

若复数z满足错误!＝i（i为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a的值为________．3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13),［13，14），[14，15),［15，16)，[16，17］，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．(第3题) (第4题)4。

如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．5。

现有5件相同的产品,其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．6. 在等差数列{a n｝中，a4＝10,前12项的和S12＝90,则a18的值为________．7。

在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线错误!－错误!＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．8。

若函数f(x）＝2sin（ωx＋φ）(ω>0，0<φ〈π)的图象经过点（错误!，2)，且相邻两条对称轴间的距离为错误!，则f(错误!)的值为________．9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等,高为错误!，则该正四棱锥的表面积为________．10. 已知函数f(x）是定义在R上的奇函数,且当x≥0时，f（x)＝x2－5x，则不等式f(x－1）>f（x)的解集为________．11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－1,0），B（5，0)．若在圆M:(x－4)2＋(y－m）2＝4上存在唯一一点P,使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为________．12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足（错误!＋错误!）·错误!＝4 2。

江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2019届高三年级二模联考数学试题

绝密★启用前江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2019届高三年级第二次高考模拟联考数学试题(满分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．1. 已知集合A ＝{0,1,2},B ＝{x|－1<x<1},则A ∩B ＝________．2. 已知i 为虚数单位,则复数(1－2i)2的虚部为________．3. 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为________．4. 已知箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球,一次摸出2只球,则摸到的2只球颜色相同的概率为________．5. 如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图,已知从左到右的前3组的频率成等差数列,则第2组的频数为________．6. 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值是________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤0，2x －1， x>0，若f(a －1)＝12,则实数a ＝________． 8. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题“今有马行转迟,次日减半疾,七日行七百里”,意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天行走的里程是前一天的一半,七天一共行走了700里,则这匹马在最后一天行走的里程数为________．9. 已知圆柱的轴截面的对角线长为2,则这个圆柱的侧面积的最大值为________．10. 设定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝33sin x 的图象与y ＝3cos 2x ＋2的图象交于点P,则点P 到x 轴的距离为________．11. 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知5a ＝8b,A ＝2B,则sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝________．12. 若在直线l ：ax ＋y －4a ＝0上存在相距为2的两个动点A,B,在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点C,使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点),则实数a 的取值范围是________．13. 在△ABC 中,已知AB ＝2,AC ＝1,∠BAC ＝90°,D,E 分别为BC,AD 的中点,过点E 的直线交AB 于点P,交AC 于点Q,则BQ →·CP →的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝x 2＋|x －a|,g(x)＝(2a －1)x ＋aln x,若函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图,在三棱锥DABC 中,已知AC ⊥BC,AC ⊥DC,BC ＝DC,E,F 分别为BD,CD 的中点．求证：(1) EF ∥平面ABC ；(2) BD ⊥平面ACE.16. (本小题满分14分)已知向量a ＝(2cos α,2sin α),b ＝(cos α－sin α,cos α＋sin α)．(1) 求向量a 与b 的夹角；(2) 若(λb －a )⊥a ,求实数λ的值．。