高考数学一轮复习 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理学案 文(1)

第六节正弦定理和余弦定理

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掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

1．正弦定理和余弦定理

定理正弦定理

余弦定理

内容

a

sin A

＝

b

sin B

＝

c

sin C

＝2R

(R是△ABC外接圆半径)

a2＝b2＋c2－2bc cos A，

b2＝a2＋c2－2ac cos_B，

c2＝a2＋b2－2ab cos_C

变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；

②sin A＝

a

2R

，sin B＝

b

2R

，sin C＝

c

2R

；

③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；

④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin

C＝c sin A

cos A＝

b2＋c2－a2

2bc

，

cos B＝

a2＋c2－b2

2ac

，

cos C＝

a2＋b2－c2

2ab

解决三角形的问题

①已知两角和任一边，求另一角和其他两

条边；

②②已知两边和其中一边的对角，求另一

边和其他两角

①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他

两角

2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况

A为锐角A为钝角或直角

图形

关系

式

a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b

解的

个数

一解两解一解一解无解(1)S＝

1

2

ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝

1

2

bc sin A＝

1

2

ac sin B＝

1

2

ab sin C；

(3)S＝

1

2

r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．

1．在三角形ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的什么条件？“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的什么条件？

提示：“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的充要条件．

2．在三角形中，“a 2＋b 2＜c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的什么条件？“a 2＋b 2＞c 2

”是“△ABC 为锐角三角形”的什么条件？

提示：“a 2＋b 2＜c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件；“a 2＋b 2＞c 2

”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件．

1．(2013·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝1

3，则sin B ＝( )

A.15

B.59

C.5

3

D ．1 解析：选B 依题意，由a sin A ＝b sin B ，即313

＝5sin B ，得sin B ＝5

9

.

2．在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( ) A ．2 3 B ．12 C ．27 D ．28

解析：选A 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2

－2ac cos B ，

即b 2

＝4＋16－8＝12，所以b ＝2 3.

3．(2013·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )

A.π3

B.π4

C.π6

D.π12 解析：选A 由正弦定理可得，2a sin B ＝3b 可化为2sin A sin B ＝3sin B ，又sin

B ≠0，所以sin A ＝32，又△AB

C 为锐角三角形，得A ＝π

3

.

4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1

3

，则△ABC 的面积为________．

解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝22

3

，

∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×22

3＝4 3.

答案：4 3

5．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1

4

，则b ＝________.

解析：由余弦定理得b 2＝4＋(7－b )2

－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14，解得b ＝4.

答案：4

答题模板(三)

利用正、余弦定理解三角形

[典例] (2013·江西高考)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.

(1)求角B 的大小；

(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．

[快速规范审题]

第(1)问

1．审结论，明解题方向

观察所求结论：求角B 的大小――→应求B 的某一三角函数值

转化为求sin B 、cos B 或tan B 的值．

2．审条件，挖解题信息

观察条件：cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0A ＋B ＋C ＝π, cos [π－(A ＋B )]＋(cos A －3sin A )cos B ＝0，即sin A sin B －3sin A cos B ＝0.

3．建联系，找解题突破口

sin A sin B －3sin A cos B ＝0――→sin A ≠0

sin B ＝3cos B ――→cos B ≠0

tan B ＝3――→B ∈0，π

B ＝π3. 第(2)问

1．审结论，明解题方向

观察所求结论：求b 的取值范围――→应建立关于b 的方程或不等式 b 2＝a 2＋c 2

－2ac cos B . 2．审条件，挖解题信息

观察条件：B ＝π3

，a ＋c ＝1――→角B 为边a ，c 的夹角

可考虑利用余弦定理建立联系． 3．建联系，找解题突破口

b 2＝a 2＋

c 2－2ac cos B →b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14

――→确定a 的范围 求b 2

的范围，进而求得结论．, [准确规范答题]

(1)由已知得

－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，⇨2分

此处易忽视对sin A ≠0，cos B ≠0的说明，直接得出tan B ＝3，造成解题步骤不完整因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，

又cos B ≠0，所以tan B ＝3，⇨4分

此处易忽视B 的范围，直接得出B ＝π3又0＜B ＜π，所以B ＝π

3

.⇨6分

(2)由余弦定理，得b 2＝a 2

＋ c 2－2ac cos B .

因为a ＋c ＝1，cos B ＝1

2

，

所以b 2

＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14

.

⇨10分

此处易忽视隐含条件0＜a ＜1，而错误地认为b 2

≥14

，从而造成解题错误又0＜a ＜1，