湖北省监利县第一中学高二数学选修4-5导学案32一般形式的柯西不等式

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人教版高中数学选修4-5《3.2 一般形式的柯西不等式》

五. 当堂检测：
[练1](1)已知2 x 3 y 4z 10, 求x 2 y 2 z 2最小值;
(2)若9 x 2 12 y 2 5z 2 9, 求x 6 y 5z的最大值.
[练2]设x1 , x2 ,..., xn是正数, 求证 : 1 1 1 2 ( x1 x2 ... xn )( ... )n x1 x2 xn
三、归纳推理，形成新知：
3、三维形式的柯西不等式：
(a1b1 a2b2 a3b3 ) (a a a )(b b b )
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
当且仅当与共线时, 等号成立.
【探究】根据二维、三维形式的柯西不等式，若 ( a1 , a 2 , a 3 ,...,a n ), (b1 , b2 , b3 ,...,bn )
3.2一般形式的柯西不等式
选修4-5
一、温故知新：
1、柯西不等式的向量形式: 【定理2】设 , 是两个向量, 则| | | | | |
将平面向量的坐标 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )代入, 则上述不等式可化简为:
2、二维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 适用范围: 对任意实数都成立.
六.课堂小结: 基础三维形式知识：
一般形式
证明不等式
柯西不等式
求最值
基本思想方法： 1.探究方法：从特殊到一般. 2.思维方法：观察→归纳→证明. 七.课后作业: 1.巩固性作业:P41 习题3.2 第1,2, 4,6. 2.探究作业: 小组合作证明一般形式的柯西不等式.

高中数学选修4-5：32 一般形式的柯西不等式学案

3.2 一般形式的柯西不等式【学习目标】1. 掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条件2.基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值【自主学习】1. 三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？2. 一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件3. 结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用. 【自主检测】1. 已知,,0a b c > ，且1a b c ++=，则222a b c ++的最小值为＿＿＿＿ A.1 B.4 C. 13 D. 142. 设12,,,,n a a a R ∈，则22212n a a a n+++与12na a a n+++的大小关系为＿＿＿3. 若111,,0,1a b c abc>++=，则a b c ++的最小值是＿＿＿＿【典型例题】例1. 已知,,0a b c >，求证：()1. 9b c a a b c a b c b c a ⎛⎫⎛⎫++++≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222. 9a b c a b c abc ++++≥ ()2222222.b c c a a b abc a b c++≥++例2.(1)已知12,,,n a a a R ∈.求证：2211n ni i i i a n a ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑（2）已知1212,,,0,1n n a a a a a a >+++=.求证：2222231121223341112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --+++++≥+++++（3）已知1212,,,,,,,0n n a a a R b b b ∈>.求证：()222221231212312n n n na a a a a a ab b b b b b b +++++++≥+++例3.（1）已知22222212121,1n n a a a x x x +++=+++=，求1122n n a x a x a x +++的最大值（2）设,,,1a b c R a b c +∈++=，求222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值（3）若19x y z ++=,求函数2224916u x y z =+++++的最小值【课堂检测】1. 设12,,,,n a a a R ∈，则12naa a P n+++=与12111nnQ a a a =+++的大小关系为( )A. P Q >B. P Q ≥C. P Q <D. P Q ≤2. 设a,b,c ，d R +∈，且()1111P a b c d ab c d ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭，则P 的最小值为3. 已知491x y z ++=，则222x y z ++的最小值为4. 把一条长为m 的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四个正方形的面积和最小？【总结提升】1.由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，对不等式等号成立的条件更要对比来研究.2. 一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，形成一定的思维模式，在解决问题时才能灵活使用.。

人教版高中数学选修4-5第三讲第二节一般形式的柯西不等式教案1(2)

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

人教版数学高二A版选修4-5知识导学3.2一般形式的柯西不等式

二一般形式的柯西不等式知识梳理1.三维形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3是实数，则(a 12+a 22+a 32)（b 12+b 22+b 32）≥__________,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2,3)时等号成立. 2.一般形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3, …,b n 是实数，则(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥_______,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2, …,n)时，等号成立. 知识导学由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广.这样易于记忆不等式的结构与特征.对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究. 一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，因此，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用. 疑难突破1.一般形式的柯西不等式的应用我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等一些问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题. 2.“1”的利用数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应对“1”视而不见. 典题精讲【例1】已知a,b,c ∈R +，求证：（b a +c b +a c )(a b +b c +ca )≥9. 思路分析：对应三维形式的柯西不等式，a 1=b a ,a 2=c b ,a 3=a c ,b 1=a b ,b 2=b c ,b 3=ca ,而a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=1，因而得证. 证明：由柯西不等式，知左边=［(b a )2+(c b )2+(a c )2］×［(a b )2+(b c )2+(ca )2］ ≥(a b ×b a +c b ×b c )+a c ×ca )2=(1+1+1)2=9. ∴原不等式成立.绿色通道：由a,b,c 构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出来.【变式训练】已知a,b,c ∈R +，且a+b+c=1，求证：cb a 111++≥9. 思路分析：利用“1”的代换来构造柯西不等式. 证法一：c b a 111++=(a+b+c)(cb a 111++) =［(a )2+(b )2+(c )2］×［(a 1)2+(b 1)2+(c1)2］ ≥(a ×a 1+b ×b 1+c ×c1)2=(1+1+1)2=9. 证法二：a 1+b 1+c 1=(a+b+c)(a 1+b 1+c 1) =1+b a +c a +a b +1+c b +a c +bc +1=3+(b a +c a +c b +a c +b c +ab)≥3+66a b b c a c c b c a b a ⨯⨯⨯⨯⨯=3+6=9.【例2】已知a 1,a 2, …,a n 都是正实数，且a 1+a 2+…+a n =1.求证：1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 思路分析：已知条件中a 1+a 2+…+a n =1,可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为,,322211a a a a a a ++, …,所以a 1+a 2+…+a n =1.应扩大2倍后再利用，本题还可以利用其他的方法证明.证法一：根据柯西不等式，得左边=1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- =［(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+(a 3+a 4)+ …+(a n-1+a n )+(a n +a 1)］× ［(211a a a +)2+(322a a a +)2+(433a a a +)2+…+(n n n a a a +--11)2+(1a a a n n +)2］×21=［(21a a +)2+(32a a +)2+…+(nn a a +-1)2+(1a a n +)2］×［(211a a a +)2+(322a a a +)2+…+（n n n a a a +--11）2+(1a a a n n +)2］×21≥［(21a a +×211a a a +)+(32a a +×322a a a +)+…+(n n a a +-1×n n n a a a +--11)+(1a a n +×1a a a n n +)］2×21=(a 1+a 2+…+a n )2×21=21=右边.∴原不等式成立.证法二：∵a ∈R +,则a+a1≥2, a≥2-a1. 利用上面的结论，知4)22(22221121121112121a a a a a a a a a a a a a +-=+-≥+⨯=+ 同理，有43223222a a a a a a +-≥+,…411121n n n n n n a a a a a a +-≥+----,4121a a a a a a nn n n n +-≥+-. 以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21（a 1+a 2+…+a n ）=21. 证法三：对于不等式左边的第一个分式2121a a a +,配制辅助式k(a 1+a 2)，k 为待定的正数，这里取k=41,则412121++a a a (a 1+a 2)≥)(412212121a a a a a +⨯+=a 1. 同理，413222++a a a (a 2+a 3)≥a 2.……41121++--n n n a a a (a n-1+a n )≥a n-1，4112++a a a n n (a n +a 1)≥a n .以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21(a 1+a 2+…+a n ). ∵a 1+a 2+…+a n =1,∴1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 绿色通道：通过以上不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.【变式训练】设x 1,x 2,x 3, …,x n 都是正实数，且x 1+x 2+x 3+…+x n =S.求证：12222121-≥-++-+-n Sx S x x S x x S x n n . 思路分析：对比例2及本题要证明的不等式，知需要构造出S-x 1+S-x 2+…+S-x n .证法一：根据柯西不等式，得左边=nn x S x x S x x S x -++-+-2222121=［(S-x 1)+(S-x 2)+ …+(S-x n )］×S n x S x x S x x S x S n n n )1(1][)1(12222121-=-++-+-- nn n x S x x S x x S x x S x S x S -++-+-⨯-++-+- 221122221][])()()[(≥2222111)]()()[()1(1nn n x S x x S x S x x S x S x x S S n -⨯-++-⨯-+-⨯--=S n )1(1-(x 1+x 2+…+x n )2=S n )1(1-×S 2=1-n S=右边.∴原不等式成立. 证法二：∵a ∈R +，则a+a1≥2. ∴a≥2-a1. ∴22)1(12])1(2[1)1(1----=---⨯-≥--⨯-=-n x S n x x n x S n x x S x n n x x S x i i i i i i i i i . n 个式子相加，有])1()1()1([12121222221212222121--++--+----++-+-≥-++-+-n x S n x S n x S n x n x n x x S x x S x x S x n n n n=1)1(122-=----n Sn S nS n S .∴原不等式成立. 证法三：22)1(1-+-n x S x i i (S-x i )≥ 12)()1(1222-=--•-n x x S n x S x i i i i . ∴22)1()1(2----≥-n x S n x x S x i i i i , ∴1)1()1(12)1(12212112-=----=----≥-∑∑∑===n S n S n n S n x S n x x S x ni i n i i ni ii . ∴原不等式成立. 问题探究问题：全班同学的体重与年龄有某种关系，如果让每人的体重都去乘所有人的年龄，再求其和，就可以比较得出各班之间体重间的一些问题，问这种值最小是多少？导思：设其人数及年龄，利用柯西不等式解答.探究：设全班为60人，年龄设为x 1,x 2, …,x 60,对应的体重为y 1,y 2,…,y 60.则（x 1+x 2+…+x 60）(y 1+y 2+…+y 60) ≥(60602211y x y x y x +++)2.∴最小值是(60602211y x y x y x +++ )2.。

【K12学习】XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2

XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2一般形式的柯西不等式教学目的：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点：维柯西不等式的应用。

教学过程：一、温故1、定理1：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbd，当且仅当bcad时取等号22、变式：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbda2b2c2d2acbd显然当a2b21,c2d21时，acbd13、定理2：设,是两个向量，则当且仅当,中有一个是零向量或存在实数k使得k时，等号成立。

4、定理3、设x1,x2,x3,y1,y2,y3R，那么22x12y12x2y222x1x2y1y2 22x1x3y1y35、配凑的思想x2x3y2y322x1x2y1y222二、新课：推广柯西不等式1、柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则这里,是平面向量，若,为空间向量呢。

构造向量a1,a2,a3,b1,b2,b3,设,间的夹角为。

则仍有cos即a1b1a2b2a3b3a21a32a32b12b22b32 2所以a12a32a32b12b22b32a1b1a2b2a3b31 / 5当且仅当aikbii1,2,3时取等号 2、归纳推理：n维上的柯西不等式：a12a32an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn2证明：回顾前面的证法视Aa12a32an2,Cb12b22bn2,Ba1b1a2b2anbn 则不等式为B2AC构造二次函数yAx22BxC即fxa12a22an2x22a1b1a2b2anbnx+b12b22bn2 当a1a2an0或b1b2bn0时不等式显然成立当a1,a2,,an至少有一个不等于0时，a12a22an20 而fxa1xb1a2xb2anxbn0恒成立。

所以其4a1b1a2b2anbn-4a1a2anb1b2bn22222222220得：a1a2anb1b2bn222222abab1122 ab2nn当且仅当fx 有唯一零点时，0以上不等式取等号。

高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-5《32一般形式的柯西不等式》

第二节一般形式的柯西不等式
【课标要求】 1．理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西
不等式的一般形式． 2．会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等
式和求函数的最值．【核心扫描】 1．一般形式的柯西不等式的应用是本节考查的重点． 2．常与不等式、最值等问题综合考查．(难点)
课前自主学习
或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n) 时，等号成立．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能达标演练
想一想：在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为
ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示不可以．不仅仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立，当bi＝0(i＝1,2，…，n)时等号也成立．
b＋1 c＋
c＋a·
1
2
c＋a
＝(1＋1＋1)2＝9.
课前自主学习
课堂讲练互动
知能达标演练
∴a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a≥a＋9b＋c. ∵a，b，c 互不相等， ∴等号不可能成立，从而原不等式成立．
规律方法有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的．
课堂讲练互动
知能达标演练
自学导引
1．三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥
(a1b1＋a2b2＋a3b3)2
.当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在
一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 时，等号成
立．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能达标演练

解 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1 ＝ 4a＋1·1＋ 4b＋1·1＋ 4c＋1·1 ≤(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)12(12＋12＋12)12 ＝ 7× 3＝ 21. 当且仅当 4a1＋1＝ 4b1＋1＝ 4c1＋1时取等号．即 a＝b＝c＝13时，所求的最大值为 21.

2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：3.2一般形式的柯西不等式预习案 Word版含解析

3.2 一般形式的柯西不等式预习目标1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.一、预习要点1.三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 2＋a 23)(b 21＋b 2＋b 23)≥____________.当且仅当b 1＝b 2＝b 3＝0或存在一个数k ，使得______________时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式定理：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥__________.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得________(i ＝1,2，…，n )时，等号成立.二、预习检测1．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ()．A.65B.635C.3635D ．6 2．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为()． A ．24 B ．30C ．36D ．483．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c的最小值是________． 4．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )(4a ＋9b ＋36c)的最小值为________． 5．若a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 2＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[－1,1]三、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。

参考答案一、预习要点1.答案 C2.解析利用柯西不等式，(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛⎭⎫x·1x ＋y·2y ＋z·3z 2＝36， ∴1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时等号成立．答案 C3.解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a·2a ＋b·2b ＋c·2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c≥2. 4.【解析】由a ，b ，c 为正数，∴(a ＋b ＋c )(4a ＋9b ＋36c) ＝[(a)2＋(b)2＋(c)2][(2a )2＋＋(3b )2＋(6c)2] 5.【解析】 ∵(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， ∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4，∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2，即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B. 【答案】 B。

高二数学人教A版选修4-5教案3.2一般形式的柯西不等式 Word版含解析

一般形式的柯西不等式一、教学目标．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排课时三、教学重点．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数，，满足＋＋＝，求＝＋＋的最小值．【解】由柯西不等式得(＋＋)(＋＋)≥(＋＋).∵＋＋＝，∴(＋＋)≥，即＋＋≥.当且仅当＝＝＝，即＝，＝，＝时等号成立．故＋＋的最小值为. （二）讲授新课教材整理三维形式的柯西不等式设，，，，，∈，则(＋＋)·(＋＋)≥.当且仅当或存在一个数，使得＝(＝)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理一般形式的柯西不等式设，，，…，，，，，…，是实数，则(＋＋…＋)(＋＋…＋)≥.当且仅当＝(＝，…，)或存在一个数，使得＝(＝，…，)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例已知，，∈(，＋∞)，＋＋＝，求＋＋的最小值及取得最小值时，，的值．【精彩点拨】由于＋＋＝，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】∵，，∈(，＋∞)，∴·(＋＋)＝[＋＋][()＋()＋()]≥＝(＋＋)＝.又＋＋＝，∴＋＋≥，当且仅当＝＝＝时等号成立，综上，当＝＝＝时，＋＋取得最小值.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]。

高中数学选修4-5教案第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式

一二维形式的柯西不等式（1）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a b a b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ …..证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y ?要点：利用变式22||ac bd c d ++. 二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y = → 推广：(,,,,,)y b c d e f x a b c d e f R+=-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法（数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b ++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a b x y x y x y+=++=…. → 其它证法 ② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题。

人教版高中数学选修4-5《第三讲柯西不等式与排序不等式一般形式的柯西不等式》

2 2 2 2
3 3 =3 ( x 0)
6
复习引入
设<m, n , 则m n | m | | n | cos | m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n | 当且仅当m // n时,等号成立. m (a, b, c), n (d , e, f ) m n ad be cf
2 2
1 1 2 (1 x 2 y ) 5 5
1 2 (当 x , y ) 5 5
4
复习引入下面我们来做几个巩固练习: 1 2 3.设 x, y R ,且 x+2y=36,求的最小值． x y
1 2 1 1 2 ( )( x 2 y) x y 36 x y 1 2 y 2x (1 4 ) 36 x y 1 2 y 2x (5 2 ) 36 x y
(a b c d ) (a b c d )(b c d a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab bc cd da )
2 2 2 2
2
(ab bc cd da )
即 a b c d ab bc cd da
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景，其应用广泛。
9
一般形式的柯西不等式示例源自例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证： 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) ≤ a1 a2 an n 1 1 2 2 ( a a a ) (1 a 1 a 1 a ) 证明： 1 2 n 1 2 n n n 1 2 2 2 2 2 (1 1 12 )(a1 a2 an ) n

2018年选修4-5 《一般形式的柯西不等式》参考教案2

3.2 一般形式的柯西不等式教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。

教学过程：一、温故1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若,,,,a b c d R ∈则()()()22222ab c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时取等号2、变式：若,,,,a b c d R ∈ac bd ≥+ac bd +显然当22221,1a b c d +=+=时，1ac bd +≤3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ 是两个向量，则αβαβ⋅≤当且仅当,αβ 中有一个是零向量或存在实数k 使得k αβ=时，等号成立。

4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设123123,,,,,x x x y y y R ∈，那么≥≥5、配凑的思想二、新课：推广柯西不等式1、由柯西不等式的向量形式：设,αβ是两个向量，则αβαβ⋅≤这里,αβ 是平面向量，若,αβ为空间向量呢，构造向量()()123123,,,,,,a a a b b b αβ==设,αβ间的夹角为θ，则仍有cos αβαβθαβαβ⋅=⇒⋅≤即112233a b a b a b ++≤所以()()()2222222133123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当()1,2,3i i a kb i ==时取等号 2、归纳推理：n 维上的柯西不等式：()()()222222213121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++证明：回顾前面的证法视22222213121122,,n n n n A a a a C b b b B a b a b a b =+++=+++=++ 则不等式为2B AC ≤构造二次函数22y Ax Bx C =++即()()222212n f x a a a x =+++- ()x b a b a b a n n +++ 22112+()22212n b b b +++ 当120n a a a ==== 或120n b b b ==== 时不等式显然成立当12,,,n a a a 至少有一个不等于0时，222120n a a a +++> 而()()()()22211220n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥ 恒成立。

人教版数学高二选修4-5导学案二一般形式的柯西不等式

学习目标 1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．知识点一三维形式的柯西不等式思考1类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？思考2三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？梳理三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥__________________________，当且仅当____________或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2,3)时等号成立．知识点二一般形式的柯西不等式(1)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥__________________________________.(2)柯西不等式等号成立的条件当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得__________________(i＝1,2，…，n)时等号成立．类型一利用柯西不等式证明不等式命题角度1 三维柯西不等式的应用例1 设a ，b ，c 为正数，且不全相等．求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c.反思与感悟有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的． (4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9.命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用例2 设a 1，a 2，…，a n 为正整数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .反思与感悟一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．跟踪训练2 已知a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2n a n ＋a 1≥12.类型二利用柯西不等式求函数的最值例3 (1)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1.求1x ＋4y ＋9z 的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29.求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值．反思与感悟利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．跟踪训练3 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．1．已知：x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝2，则x ＋2y ＋3z 的最大值为( ) A ．27 B ．2 3 C ．4D ．52．若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝1，则a ＋2b ＋3c 的最小值为( )A ．9B ．3C.3D ．63．设a ，b ，c ，d 均为正实数，则(a ＋b ＋c ＋d )⎝⎛ 1a ＋1b ＋1c⎭⎫＋1d 的最小值为________． 4．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.1．柯西不等式的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题． 2．要求ax ＋by ＋z 的最大值，利用柯西不等式(ax ＋by ＋z )2≤(a 2＋b 2＋12)(x 2＋y 2＋z 2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它．答案精析问题导学知识点一思考1 设α＝(a 1，a 2，a 3)，β＝(b 1，b 2，b 3)，则|α|＝a 21＋a 22＋a 23， |β|＝b 21＋b 22＋b 23.∵|α||β|≥|α·β|，∴a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23≥|a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3|， ∴(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2. 思考2 当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k ，使a 1＝kb 1，a 2＝kb 2，a 3＝kb 3时，等号成立．梳理 (a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2 b 1＝b 2＝b 3＝0 知识点二(1)(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2 (2)a i ＝kb i 题型探究例1 证明构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c ，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )·⎝⎛ 1a ＋b ＋1b ＋c⎭⎪⎫＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，① 即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因题设中a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c. 跟踪训练1 证明由柯西不等式知，左边＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2 ≥⎝⎛a b×b a＋b c×c b⎭⎫＋c a×a c 2＝(1＋1＋1)2＝9， ∴原不等式成立．例2 证明由柯西不等式，得⎝⎛⎭⎫a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1(a 2＋a 3＋…＋a 1)≥⎝⎛ a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…⎭⎫＋a na 1·a 1 2 ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，故a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 跟踪训练2 证明∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n a n ＋a 1×2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n a n ＋a 1≥⎝⎛a 21a 1＋a 2·a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3·a 2＋a 3＋…⎭⎪⎫＋a 2na n ＋a 1·a n ＋a 12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝1， ∴a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2na n ＋a 1≥12. 例3 解 (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )≥⎝⎛⎭⎪⎫1x ·x ＋2y ·y ＋3z ·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．∴1x ＋4y ＋9z 的最小值为36. (2)根据柯西不等式，有 (2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2≤·(1＋1＋1)3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120. 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230，当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax ＝230.跟踪训练3 解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c ，又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝⎛⎭⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12 ＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87，当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 当堂训练 1．C 2.A 3.164．证明由柯西不等式及题意，得 (x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ) ·≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183， ∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．。

人教A版选修4-5 3.2 一般形式的柯西不等式学案

二一般形式的柯西不等式第10课时一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a 2b2＋a3b3)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2,3)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b2n＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．知识点一三维形式的柯西不等式的应用1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是( ) A．1 B. 3C．3 D．9解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)[(a)2＋(b)2＋(c)2]≥(a＋b＋c)2，∴(a＋b＋c)2≤3(a＋b＋c)＝3×1＝3，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．∴a＋b＋c的最大值为 3.答案：B2．(2019·安徽合肥一中月考)设a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋4c2＝1，则a＋b＋2c的最大值为( )A．5 B.10 2C．8 D.13 2解析：由柯西不等式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫122(a ＋b ＋4c 2)≥(a ＋b ＋2c )2，∴a ＋b ＋2c ≤52，当且仅当a ＝25，b ＝25，c ＝510时，等号成立，∴a ＋b ＋2c 的最大值为102，故选B.答案：B3．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2](12＋12＋12)≥[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x ＋y ＋z ＋1)2＝4，故(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43等号成立，当且仅当x －1＝y ＋1＝z ＋1，而又因x ＋y ＋z ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝－13，时等号成立z ＝－13.所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：证法一：因为(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13，所以[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x －2＝y －1＝z －a ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ＋23，y ＝1－a ＋23，z ＝a －a ＋23时有[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2＝(a ＋2)2成立．所以(a ＋2)2≥1成立，所以有a ≤－3或a ≥－1.证法二：若a ≤－3或a ≥－1不成立，那么－3<a <－1成立，则(a ＋2)2<1，而[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]·(12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2左面等号成立，当且仅当x －2＝y －1＝z －a ，又因为x ＋y ＋z ＝1，所以x －2＝y －1＝z －a ＝－a ＋23.故此时[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2＝(a ＋2)2<1，即(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2<13，与原命题矛盾．故假设错误，即a ≤－3或a ≥－1.知识点二一般形式的柯西不等式的应用4．(2019·广东梅州检测)已知a ，b ，c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B＝a ＋b ＋c 3，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B解析：因为(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c29，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，又a ，b ，c 均大于0，所以a ＋b ＋c >0，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，即A ≥B ，故选B.答案：B5．实数a i (i ＝1,2,3,4,5,6)满足(a 2－a 1)2＋(a 3－a 2)2＋(a 4－a 3)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 5)2＝1，则(a 5＋a 6)－(a 1＋a 4)的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 6D ．1解析：因为[(a 2－a 1)2＋(a 3－a 2)2＋(a 4－a 3)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a 2－a 1)×1＋(a 3－a 2)×1＋(a 4－a 3)×1＋(a 5－a 4)×2＋(a 6－a 5)×1]2＝[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2，所以[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2≤8，即(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)≤2 2.答案：B6．设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证： 1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.证明：∵x 1，x 2，…，x n 都是正数， ∴(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n·1x n 2＝n 2， ∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.一、选择题1．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是( )A. 2 B．1C．3 D．9解析：∵2x＋5y＝2x·1＋5y·1≤2x2＋5y2·12＋12＝1·2＝2，∴2x＋5y的最大值为 2.答案：A2．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为( )A．5 B．4C．4 5 D．－4 5解析：a·b＝(1,0，－2)·(x，y，z)＝x－2z，由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥[1×x＋0×y＋(－2)×z]2＝(x－2z)2，当a 与b共线时，等号成立．∴(x－2z)2≤5×16，∴－45≤x－2z≤45，即－45≤a·b≤4 5.∴a·b的最大值为4 5.答案：C3．若2x＋3y＋5z＝29，则函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值为( )A. 5 B．215C．230 D.30解析：由柯西不等式得u2＝(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)2＝(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2≤(12＋12＋12)(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)＝3(2x ＋3y＋5z＋11)＝3×(29＋11)＝120，∴u≤230，故选C.答案：C4．(2019·山东武城期中)已知a，b，c，d，e是满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16的实数，则e的最大值为( )A．3 B．4C．5 D.16 5解析：因为(a＋b＋c＋d)2≤4(a2＋b2＋c2＋d2)，所以(8－e)2≤4(16－e2)，解得0≤e≤165，所以e的最大值为165，故选D.答案：D5．(2019·辽宁沈阳二阶考试)已知a2＋b2＋c2＝1，若a＋b＋2c≤|x ＋1|对任意实数a，b，c恒成立，则实数x的取值范围是( ) A．x≥1或x≤－3 B．－3≤x≤1C．x≥－1或x≤3 D．－1≤x≤3解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)[12＋12＋(2)2]≥(a＋b＋2c)2，∵a 2＋b 2＋c 2＝1，∴(a ＋b ＋2c )2≤4，∴a ＋b ＋2c ≤2，又a ＋b ＋2c ≤|x ＋1|对任意实数a ，b ，c 恒成立，∴|x ＋1|≥2，解得x ≤－3或x ≥1，故选A. 答案：A 二、填空题6．设x ，y ，z 为正数，且x ＋2y ＋3z ＝7，则4x ＋2y ＋3z的最小值是__________．解析：∵(x ＋2y ＋3z )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2y ＋3z ≥(2＋2＋3)2＝49，∴4x ＋2y ＋3z ≥7.当x ＝2，y ＝z ＝1时取等号．答案：77．已知x 2＋y 2＋z 2＝14，则|x ＋2y ＋3z |的最大值是________．解析：∵(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)＝142，当且仅当x 1＝y 2＝z3时取等号．∴|x ＋2y ＋3z |≤14.答案：148．(2019·河北邢台训练)设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.解析：由柯西不等式知，25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36.当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取等号，∴a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，∴a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)，即25＝36k 2，∴k ＝56，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k x ＋y ＋zx ＋y ＋z＝k ＝56.`答案：56三、解答题9．设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解：由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22≥⎝⎛⎭⎪⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴|x ＋y ＋z |≤5，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5，即x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．10．(2019·皖江八校联考)若n 是不小于2的正整数，求证：47<1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n <22. 证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＋12n －2⎝ ⎛ 12＋14＋⎭⎪⎫ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 所求证不等式转化为47<1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <22. 由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n )]≥n 2，所以1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n≥n 2n ＋1＋n ＋2＋ (2)＝n 2n 3n ＋12＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47.又由柯西不等式，得 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n < 12＋12＋…＋12]n 项⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋12＋1n ＋22＋…＋12n2) <n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22. 综上所述，原不等式成立．。

2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案3.2一般形式的柯西不等式导学案 Word版含解析

一般形式的柯西不等式
学习目标
.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．
.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.
一、自学释疑
根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究
探究．如何理解柯西不等式的结构特征？
探究．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为＝(＝…，)，可以吗？
名师点拨：
.三维形式的柯西不等式
三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对不等式等号成立的条件加深理解．
．一般形式的柯西不等式
定理称为柯西不等式的一般形式，它主要用来证明不等式和解决一些实际应用的最值问题．在使用柯西不等式时需要掌握一些方法技巧，如：巧拆常数，重新安排某些项的次序，
适当的拼凑项、添项等，以构造出符合柯西不等式的形式及条件，达到使用柯西不等式证明的目的．
对于许多不等式问题，应用柯西不等式来解往往简单快捷，要正确理解柯西不等式，只有掌握了它的结构特征，才能灵活应用.
【例】已知，，∈＋，
求证：≥.
【变式训练】已知，，∈＋，且＋＋＝.
求证：＋＋≥.
【例】设，，为正实数，且＋＋＝，求证：＋＋≤.
【变式训练】已知，，∈＋，且＋＋＝，求＋＋的最大值．。

人教A版选修4-5 第三章二一般形式的柯西不等式学案

二一般形式的柯西不等式1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式．2．会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题．1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，b i＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，3)时，等号成立．2设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况．( ) (2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来．( )(3)柯西不等式中的字母a ，b ，c ，…具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变．( )(4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知x ，y ，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．1B ．13C ．12D ．3答案：B3．设a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1B ． 3C ．3D ．9 答案：B4．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时，等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：12利用柯西不等式证明不等式(1)设a ，b ，c 为正数，求证a 2b ＋b 2c＋c 2a≥a ＋b ＋c . (2)设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 为正实数，求证：a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n. 【证明】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c )2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2. 因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a ＋b ＋c ＞0，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n (b 1＋b 2＋…＋b n )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋…＋a n b n ·b n 2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2.因为b 1，b 2，…，b n 为正实数，所以b 1＋b 2＋…＋b n >0.所以a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n.当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.1.已知正数a ，b ，c ，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明：构造两组数ab ，bc ，ca ；ca ，ab ，bc ，则由柯西不等式得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2·c 2a 2＋a 2b 2＋b 2c 2≥ab ·ca ＋bc ·ab ＋ca ·bc ，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .2．已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1. 求证：|a ＋b ＋c |≤ 3.证明：由柯西不等式，得(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3. 所以－3≤a ＋b ＋c ≤3，所以|a ＋b ＋c |≤ 3.用三维形式柯西不等式求最值设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．【解】因为(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3）2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫a ×3＋2b ×1＋3c ×132＝(3a ＋2b ＋c )2，所以(3a ＋2b ＋c )2≤13×⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13＝1323.所以3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a3＝2b 1＝3c 13时，等号成立．又a ＋2b ＋3c ＝13，所以当a ＝9，b ＝32，c ＝13时，(3a ＋2b ＋c )max ＝1333.利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值．解：根据柯西不等式，有(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2 ≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40 ＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230，当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax ＝230.1．对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．2．一般形式柯西不等式成立的条件由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0⇔f (x )min ＝0⇔a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0⇔b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n. 【规范解答】构造三维柯西不等式求最值(本题满分7分)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．【解】 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(3分) (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得(14a 2＋19b 2＋c 2)(4＋9＋1)≥(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. (5分)当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.(7分)(1)结合本题特征，用绝对值三角不等式求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值简单快捷非常方便，此外本题也可作出函数f (x )的图象，利用数形结合思想方法求解．(2)本题第(2)问的求解显然需要构造三维形式柯西不等式的条件及结构特点，因为现有的两组数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2，19b 2，c 2和(a ，b ，c )，因此需构造一组常数(4，9，1)才能符合三维柯西不等式的条件．1．若x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝1，求m ＝2x ＋2y ＋5z 的最大值．解：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)[(2)2＋(2)2＋(5)2]≥(2x ＋2y ＋5z )2，当且仅当x2＝y 2＝z5时，等号成立，所以－3≤2x ＋2y ＋5z ≤3，因此m 的最大值为3.2．已知α1，α2，…，αn是平面凸n边形的内角的弧度数，求证：1α1＋1α2＋…＋1αn≥n2（n－2）π.证明：由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn)(1α1＋1α2＋…＋1αn)≥(α1·1α1＋α2·1α2＋…＋αn·1αn)2＝n2.因为α1＋α2＋…＋αn＝(n－2)π，所以1α1＋1α2＋…＋1αn≥n2（n－2）π，当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝n－2nπ时，等号成立．。

高中数学人教A版选修4-5 3-2 一般形式的柯西不等式导

3.2一般形式的柯西不等式【学习目标】1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。

2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。

【重点难点】一般形式的柯西不等式学做思一：自学探究问题1：推导柯西不等式的代数形式:设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

学做思二问题2：推导柯西不等式的向量形式:设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

问题3：推导三角形不等式:设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β|思考: 根据对比二维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？问题4：讨论一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++即:211212)(∑∑∑===≥ni i i ni i ni i b a b a ，其中等号当且仅当n n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

【例1】设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c .【变式1】已知a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数．求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥(a 1＋a 2＋a 3)2b 1＋b 2＋b 3题型二利用三维柯西不等式求函数的最值【例2】已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值．【变式2】已知x ＋4y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．题型三一般形式柯西不等式的应用【例3】设a 1，a 2，…，a n 为正整数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【变式3】已知a 、b 、c 、d ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥14.方法技巧利用柯西不等式求最值【示例1】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最大值变式反馈一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为 ( )．A ．9B ．3 C.3D ．12．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为 ( )．A ．1B ．n C.nD ．23．已知a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 有( )．A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值3D ．最小值3二、填空题4．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________． 5．设a ，b ∈R ＋，则a ＋b2与a ＋b 的大小关系是________．三、解答题6．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．7．设a1>a2>…>a n>a n＋1，求证：1a1－a2＋1a2－a3＋…＋1a n－a n＋1＋1a n＋1－a1>0.8．设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．。

湖北省监利县第一中学高中数学 3.2一般形式的柯西不等式导学案(无答案)新人教版选修45

3.2一般形式的柯西不等式【学习目标】1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。

2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。

【重点难点】一般形式的柯西不等式一、自主学习要点1：三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a ＋a ＋a )·(b ＋b ＋b )≥ .当且仅当时，等号成立．要点2：一般形式的柯西不等式，当且仅当时，等号成立。

二、合作，探究，展示，点评题型一利用柯西不等式证明不等式【例1】设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.【变式1】已知a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数．求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥a 1＋a 2＋a 32b 1＋b 2＋b 3题型二利用三维柯西不等式求函数的最值【例2】已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值．【变式2】已知x ＋4y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．题型三一般形式柯西不等式的应用【例3】设a 1，a 2，…，a n 为正整数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【变式3】已知a 、b 、c 、d ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥14.方法技巧利用柯西不等式求最值【示例1】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最大值【示例2】 “数学史与不等式选讲”模块已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1.(1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x ＋4y ＋4z的最小值．三、知识小结《一般形式的柯西不等式》课时作业一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c的最小值为( )．A ．9B ．3 C. 3D ．12．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( )．A ．1B ．n C.nD ．23．已知a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 有( )．A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值3D ．最小值3二、填空题4．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________． 5．设a ，b ∈R ＋，则a ＋b2与a ＋b 的大小关系是________．三、解答题6．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值．7．设a 1>a 2>…>a n >a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0.8．设x ＋y ＋z ＝1，求函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值．。

高二数学人教A版选修4-5导学案第三讲柯西不等式与排序不等式复习导学案 Word版含解析

第三讲柯西不等式与排序不等式复习
一、知识梳理
二、题型、技巧归纳
题型一、利用柯西不等式证明简单不等式
柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．
例已知，，是实数，且＋＋＝，求证：＋＋≤.
[再练一题]
．设，，，都是正数，且＋＝＋，求证：＋≥.
题型二、排序原理在不等式证明中的应用
应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．
例已知，，为正实数，求证：＋＋≤＋＋.
[再练一题]
．设，，∈＋，求证：＋＋≥＋＋.
题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值
有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．
例设，，为正实数，且＋＋＝，求＋＋的最大值．
[再练一题]
．已知实数，，，，满足＋＋＋＋＝.求＋＋＋＋的最大值.
三、随堂检测
．已知关于的不等式＋<的解集为{<<}．
()求实数，的值；
()求＋的最大值．
．已知>，>，>，函数()＝＋＋－＋的最小值为.
()求＋＋的值；
()求＋＋的最小值．
．已知>，>，且＋＝，那么·的最大值是()
．．
．已知，∈＋，且＋＝，则(＋)的最大值是()
．。

湖北省监利县第一中学高二数学选修4-5导学案32一般形式的柯西不等式

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高二数学人教A版选修4-5导学案 第三讲柯西不等式与排序不等式复习导学案 Word版含解析

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