时间序列分析及相空间重构
相空间重构matlab
相空间重构matlab
相空间重构是一个非常重要的信号处理方法，在信号分析和数据挖掘中得到了广泛应用。
在Matlab中，相空间重构可以通过一些常见的函数和工具来实现。
相空间重构的第一步是准备数据，通常是一个时间序列。
可以使用Matlab中的load函数从文件中加载数据，也可以从Web服务或其他数据源中实时获取数据。
一旦获取了数据，就可以使用工具箱中的函数进行进一步的处理。
在进行相空间重构之前，需要先选择合适的参数，如嵌入维度、延迟时间等。
这些参数对相空间重构的效果和准确度影响很大，需要根据具体情况进行调整。
可以使用Matlab中的自动调参工具或手动调整来选择最佳参数。
一旦选择了合适的参数，就可以开始进行相空间重构。
可以使用Matlab中的takens函数进行初步的相空间重构，或编写自己的代码来实现更复杂的重构算法。
重构完成后，可以使用Matlab中的其他函数来进行信号分析和可视化。
总之，相空间重构是一个非常有用的信号处理工具，在Matlab 中可以轻松实现。
通过合适的参数选择和重构算法，可以从时间序列中获取更多有用的信息，并为进一步的分析和挖掘奠定基础。
相空间重构 互信息法
相空间重构互信息法1.引言1.1 概述概述相空间重构是一种重要的数据分析技术，通过将高维数据映射到低维子空间中，可以提取出数据中隐藏的关系和结构。
互信息法则是相空间重构中常用的方法之一，它利用互信息的度量来判断数据之间的依赖关系，从而帮助我们在进行相空间重构时选择合适的参数。
本文将重点介绍相空间重构和互信息法的原理以及它们在实际应用中的意义。
我们将首先介绍相空间重构的基本概念和意义，包括什么是相空间重构以及它的应用领域。
然后，我们将详细解释互信息法的原理，包括互信息的计算方法和其在数据分析中的作用。
在正文部分，我们将进一步探讨相空间重构的具体方法和技巧，包括如何选择适当的相空间重构算法和参数。
同时，我们将介绍互信息法在相空间重构中的应用，并举例说明其在实际问题中的效果和意义。
最后，在结论部分，我们将总结相空间重构的重要性和互信息法在相空间重构中的应用价值。
我们希望通过本文的阐述可以使读者对相空间重构和互信息法有更深入的理解，并能将其应用于自己的研究或实际工作中。
文章结构部分的内容应包括文章的组织结构和各个部分的内容概述，以帮助读者了解文章的整体框架和各部分的关系。
在这篇文章中，我们将按照以下结构来呈现内容：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 相空间重构2.1.1 什么是相空间重构2.1.2 相空间重构的应用2.2 互信息法2.2.1 互信息法的原理2.2.2 互信息法在相空间重构中的应用3. 结论3.1 总结相空间重构的重要性3.2 总结互信息法在相空间重构中的应用引言部分将对文章的主题进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文将重点讨论相空间重构和互信息法这两个主要内容。
在相空间重构部分，我们将首先介绍相空间重构的基本概念和原理，然后探讨其在实际应用中的具体作用。
在互信息法部分，我们将详细解释互信息法的原理，并说明其在相空间重构中的应用方法。
最后，结论部分将对相空间重构的重要性和互信息法的应用进行总结和归纳。
非线性时间序列的相空间重构技术研究_秦奕青
非线性时间序列的相空间重构技术研究_秦奕青第20卷第11期系统仿真学报?V ol. 20 No. 11 2008年6月Journal of System Simulation Jun.,2008 非线性时间序列的相空间重构技术研究秦奕青1,3，蔡卫东2,3，杨炳儒3(1.北京信息科技大学计算机学院, 北京 100192; 2.济南大学信息科学与工程学院, 济南 250022;3.北京科技大学信息工程学院, 北京 100083)摘要：分析了混沌时间序列相空间重构中常用的C-C方法所存在的四点不足，提出了改进的C-C-2方法。
该方法改进了时间序列关联积分的计算方法和参数，利用混沌序列周期N的概念，提出了通过寻找S cor(t)的第一个属于混沌序列周期N的局部极小峰值，来确定最优延迟时间窗口的判断方式；并只寻找平均?S2(t)的第一个极小值来确定最优时间延迟，所得结果更合适、稳定，而且将原算法的抗噪能力由30%提高到80%。
关键词：相空间重构；关联积分；延迟时间窗口；非线性时间序列中图分类号:TP18; O415.5 文献标识码:A 文章编号：1004-731X (2008) 11-2969-05 Research on Phase Space Reconstruction of Nonlinear Time SeriesQIN Yi-qing1,3, CAI Wei-dong2,3, YANG Bing-ru3(1. Computer School, Beijing Information Science & Technology University, Beijing 100192, China;2. School of Information Science and Engineering, University of Ji’nan, Ji’nan 250022, China;3. School of Information Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)Abstract: A new method called C-C-2 is presented based on the analysis for the C-C method which is usually used to reconstruct the phase space of chaotic time series. First, the C-C-2 method improves the correlation integral algorithm of time series on the computing way and the parameters. Moreover, the method proposes a new way to determine the optimal delay time window by finding the first local minimum peak value of S cor(t) belonging to the period N of the chaotic time series based on the theory of the chaotic system period N. Finally, the method estimates the optimal delay time only by finding the first local minimum of the average ?S2(t). The experimental results shows that the C-C-2 method are more stable and more appropriate and also improves the robustness of C-C method from 30% to 80%.Key words: phase space reconstruction; correlation integral; delay time window; nonlinear time series引言混沌时间序列分析与预测的基础是Takens、Packard等提出的状态空间的重构理论[1,2]，即把具有混沌特性的时间序列重建为一种低阶非线性动力学系统。
第四章 混沌时间序列分析及相空间重构
Lyapunov Exponents
f
• Quantifies separation in time between trajectories, assuming rate of growth (or decay) is exponential in time, as: n
1 i lim ln( eig J(p)) n n p 0
估计吸引子维数的算法，需要大量的数据点作为输入，当这些点的 输入被选择为最大化的包含吸引子信息情况下，输入数据点的数量可以减 少。（由Holzfuss和Mayer—kress 1986年提出） 重构相空间所需要解决的关键问题，就是确定重构维数m。 在重构相空间维数未知的情况下，可用以下方法获得： 令 nr 为重构空间的维数。首先把nr （或m）设置为1，计算重构吸引子 的维数Dcap，然后增加 nr （或m）的大小，并重复计算重构吸引子的维数 Dcap,直到Dcap不再改变为止（如曹书p103），最后的Dcap是正确的相 关维数，产生正确的Dcap的最小 nr (m) 即重构空间的最小维数m.
Time delay embedding
Differs from traditional experimental measurements
Provides detailed information about degrees of freedom beyond the scalar measured Rests on probabilistic assumptions - though not guaranteed to be valid for any particular system Reconstructed dynamics are seen through an unknown “smooth transformation” Therefore allows precise questions only about invariants under “smooth transformations” It can still be used for forecasting a time series and “characterizing essential features of the dynamics that produced it”
非线性信号处理-3.相空间重构
0.5
1.0
xn+1
-0.5
xn
0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Lag = 3t = 1.5
-1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
xn
xn+3
Taken延迟嵌入定理(充分条件)
当嵌入维数m大于2倍的吸引子实际维数D(盒 子维数)时(m≥2D+1)，延迟法重构得到的吸 引子与原吸引子是等价的
延迟重构法
观察到的信号是标量时间序列： s={s(0), s(Δt), s(2Δt), …, s(nΔt),…} m维延时重构法重构的状态向量：
x={x(0), x(Δt), x(2Δt),…, x(nΔt), …} x(nΔt) ={s(nΔt-(m-1)τ) , s(nΔt)}T
s(nΔt-(m-2)τ) ,…,
x={x(0), x(Δt), x(2Δt),…, x(nΔt), …} X(nΔt)
={x1(nΔt) , x2(nΔt) ,…, xD(nΔt)}T
求导法
方程的标准形式：
x1 f1 ( x1 , x2 ,, xD ) x2 f 2 ( x1 , x2 ,, xD ) xD f D ( x1 , x2 ,, xD )
r 10
r 15
[1] Kennel M B, Brown R, Abarbanel H D I. Determining embedding dimension for phase space reconstruction using a geometrical construction. Physical Review A, 1992, 45(6): 3403-3411 [2] Abarbanel H D I. Analysis of Observed Chaotic Data. New York: SpringerVerlag Inc., 1996
时间序列分析及相空间重构
Lorenz系统的吸引子(x-y-z ）
20
10
0
-10
-20 60
40 20
0 -20 0 -40
40 20
Lorenz系统的吸引子(x,y相图）
30 20 10
0 -10 -20 -30
Lorenz系统的吸引子(y,z 相图） 5500
4455
4400
35
35
30
30
25
2250
2105
1150
(x(2),y(2),z(2))=(x(20),x(11),x(2)) (x(3),y(3),z(3))=(x(21),x(12),x(3))
……
20
20
10
10
0
0
-10
-10
-20 20
10
-2200
0
0
10
60
-10
-10
-20 -20
40
20
20
0
-20
重构后的相图(x-y-z)
原始系统0相-图40 (x-y-z)
? ? C(? ) ?
1 N
N ??
( xn??
n?1
?x
)(xn ?
x)
1 N
N
( xn
n?1
?
x)2
,
? 其中x ?
1 N
N
xn
n?1
选择使得自相关函数C(τ)第一次为零时的τ的值为延迟时间
平均互信息法
对于时间序列 xn , 定义平均互信息为
? I (? ) ?
N
P(xn ,
n?1
xn?? ) log 2
非线性时间序列预测
相空间重构方法用于动力学的分析研究
相空间重构方法用于动力学的分析研究一、引言动力学是研究物体运动过程的科学，是物理学、力学等学科的重要分支。
为了深入理解物体的运动状态和规律，研究人员提出了许多分析方法。
其中，相空间重构方法是一种重要的手段，通过将动力学系统的状态空间转化为相空间，能够更直观地揭示运动的特征和行为。
本文将介绍相空间重构方法的原理和应用，以及在动力学研究中的实际应用。
二、相空间重构方法的原理相空间重构方法是由统计力学中的一系列概念发展而来的。
在动力学系统中，物体的状态可以用一组状态变量来描述，比如位置、速度等。
在经典动力学中，这些状态变量是连续变量。
为了方便分析，我们需要将连续的状态空间转化为离散的相空间。
相空间重构方法的基本思想是：从动力学系统中选择合适的状态变量，并采样它们的值，然后按照一定的规则将这些值组合起来，形成一个表示系统状态的向量。
通过收集足够多的这样的向量，就可以构建出一个描述系统状态的相空间。
为了保证相空间的有效性，我们通常需要选择合适的状态变量，并在采样时遵循一定的原则，比如均匀采样、等时间间隔采样等。
三、相空间重构方法的应用相空间重构方法在动力学研究中有着广泛的应用。
下面将介绍几个典型的应用领域。
1. 混沌系统分析混沌系统是指在非线性动力学中表现出复杂非周期性行为的系统。
相空间重构方法可以帮助我们理解和描述混沌现象。
通过将混沌系统的状态空间重构为相空间，我们可以观察到混沌轨迹的特征，比如奇异吸引子、分岔等。
这对于深入研究混沌系统的行为规律非常重要。
2. 动力学预测相空间重构方法在动力学预测中也起到了关键作用。
通过在相空间中查找轨迹的性质和规律，可以预测系统的未来行为。
这对于一些需要提前做出决策的应用场景非常重要，比如天气预测、股票走势预测等。
3. 物理系统建模相空间重构方法还可以用于物理系统的建模。
通过对物理系统进行观测和采样，然后进行相空间重构，我们可以得到一个描述物理系统状态的数学模型。
这些模型可以用于进一步研究系统的性质和行为，比如流体力学中的流动现象研究、量子力学中的概率分布研究等。
相空间重构方法
相空间重构方法相空间重构是物理学和工程学中一个重要的概念，尤其在非线性动力学和时间序列分析中具有广泛应用。
本文将详细介绍相空间重构的方法及其在数据分析中的应用。
在研究复杂系统的动力学行为时，相空间重构提供了一种将时间序列数据转换到高维状态空间的方法。
通过这种方法，我们可以更深入地理解系统的演化轨迹和内在结构。
以下是相空间重构的主要方法及其原理。
### 相空间重构的原理相空间重构的基础是假设系统的动力学行为可以由一组变量的演化轨迹来描述。
这些变量可以是原始系统的状态变量，也可以是通过某种方式构造的代理变量。
在重构过程中，我们试图通过时间序列数据恢复出这些状态变量在相空间中的轨迹。
### 相空间重构的主要方法#### 延迟坐标法（Time Delay Embedding）延迟坐标法是最常用的相空间重构方法。
它基于时间序列的自身历史信息来构造相空间的坐标。
具体步骤如下：1.选择适当的时间延迟（τ），这是重构过程中的关键参数。
2.选择嵌入维数（m），它决定了相空间的维度。
3.利用时间序列数据{x(t)}，构造相空间中的点：X(t) = [x(t), x(t+τ),x(t+2τ), ..., x(t+(m-1)τ)]。
#### 窗口法（Phase Space Windowing）窗口法通过在不同时间尺度上观察时间序列，以确定合适的延迟时间和嵌入维数。
这种方法适用于确定时间序列的局部预测误差，以此来确定最优的相空间重构参数。
#### 线性预测法（Linear Predictive Method）线性预测法通过最小化时间序列的线性预测误差来确定延迟时间和嵌入维数。
这种方法对噪声较为敏感，但在处理实际数据时仍有一定的应用价值。
### 应用相空间重构方法在许多领域都有广泛应用，例如：- 预测复杂系统的未来行为。
- 识别混沌吸引子及其性质。
- 分析时间序列的混沌特性，如李雅普诺夫指数和分岔。
- 生物医学信号处理，如心率变异性和脑电图分析。
多维时间序列在相空间重构中的应用
关键 词 ：多 变量 时 间序 列 ；重 构相 空 间 ；嵌 入 理论
中图分 类 号 ：Ｆ２ 文 献 标 识码 ：Ａ 文章 编 号 ：１ ７ ｌＸ２０）２ ０Ｏ — ５ ２４ ０ 一ｌ３（０Ｚ０ — ０９ ０ ０ 相空 间重构 技 术 是 分析 由非 线性 系 统 产 生 的 时 间序 列 的 一 种 常 用 方 法 ， 其 相 当 广 泛 的 应 用 范 围 ， 有 可 用 于预 测经 济 系 统 中的某 些 指 标 ． 过 ， 目前 为 止 ， 们 一 般 使 用 单 变 量 时 间序 列 来 进 行 重 构 ． 不 到 我 根据 嵌 入原 理 ， 从理 论 上 讲 ， 如果 选 取 合 适 的嵌 入 维 数 ， 变 量 时 间序 列 也 可 以取得 较 理 想 的 预 测效 果 ． 是 ， 单 但 在 解决 实 际 问题 中 ， 们 往 往难 以确 定 单 变 量 时 间序 列 是 否包 含 了重 构 动 力 系 统 的充 分 信 息 ． 对 这 一 我 针 情况 ， ａ ｉ ｇｕ ， ｋｓ ｉ Ｍ ｅ， ｅｉＪｄ …提 出使 用 多变 量 时 间序 列 来 重构 相 空 间 ． 大 多数情 况 下 ， ＣｏＬａ ｙｅ Ａ ｉａ ｅｓ Ｋ ｕ ｕｄ ｎ ｔｎ ｎ 在 特 别是 系 统有 噪 声 的 时候 ， 一 思 路 比使 用 单 变 量 时 间序 列 更 为 理 想 ， 是 由于 多 变 量 时 间 序 列 包 含 了 这 这 关 于原 动 力 系统 更 丰 富更 完 整 的 系统 信息 ， 以起 到过 滤 噪 声 ， 高 预测 质 量 的作 用 ． 可 提 本 文将 首 先 具 体 论述 多 变 量 时 间序 列 重 构 相 空 间 技 术 ， 后 以 上 证 指 数 的 预 测 为 例 ， 其 预 测 效 果 然 将
非线性时间序列的建模与预测
非线性时间序列的建模与预测近年来，非线性时间序列分析方法在各个领域得到了广泛的应用。
非线性时间序列的模型与预测是一项复杂而具有挑战性的任务，因为非线性时间序列数据的生成过程可能受到多个非线性因素的影响，传统的线性模型无法准确描述这些变化趋势和特征。
为了建立非线性时间序列的模型和进行准确的预测，我们需要采用一些常见的非线性时间序列分析方法，例如相空间重构、近邻嵌入、分形分析等。
其中，相空间重构是一种常用的方法，它通过将时间序列数据映射到更高维的相空间中，就可以揭示出数据的非线性结构和动力学特征。
这种方法不仅可以帮助我们理解时间序列的内在机制，还可以为后续的模型建立和预测提供基础。
除了相空间重构方法外，近邻嵌入技术也是一种常用的非线性时间序列分析方法。
该方法通过在时间序列数据中寻找相似性较高的子序列，然后将这些子序列重组成一个新的时间序列，从而揭示出时间序列数据的非线性结构。
近邻嵌入方法主要涉及到参数的选择和邻居的确定，这是一个需要仔细考虑和调整的过程。
通过选择合适的参数和邻居，我们可以准确地建立非线性时间序列的模型，并进行精确的预测。
此外，分形分析也是一种重要的非线性时间序列分析方法。
分形分析通过计算时间序列数据的分形维数，可以揭示出数据的复杂性和自相似性。
这种方法适用于许多复杂系统的研究，例如金融市场、气象系统等。
通过分形分析，我们可以获得时间序列数据中的分形维数，从而为后续的模型建立和预测提供重要的依据。
在非线性时间序列的建模和预测中，还有一些其他的方法，例如神经网络、支持向量机等。
这些方法的应用已经得到了广泛的认可，并在许多实际问题中取得了良好的效果。
与传统的线性模型相比，这些方法可以更好地处理复杂的非线性关系和非稳态数据，从而提高模型的准确性和预测能力。
总之，非线性时间序列的建模和预测是一项具有挑战性的任务，需要运用各种先进的非线性时间序列分析方法。
通过相空间重构、近邻嵌入、分形分析等方法，我们可以揭示出非线性时间序列中的隐藏结构和动力学特征。
动力系统中的混沌控制策略评估方法
动力系统中的混沌控制策略评估方法混沌控制是指利用混沌动力学原理对非线性系统进行控制的一种方法。
混沌动力学的特点是系统具有无序的特性，且对初始条件敏感，即微小的变化可能引起系统状态的巨大不同。
因此，混沌控制的目标是通过调节系统参数或设计控制器来实现系统性能的改善。
在混沌控制中，评估混沌控制策略的有效性是非常重要的。
下面将介绍一些常见的混沌控制策略评估方法。
一、相空间重构相空间重构是混沌控制中常用的一种方法，通过将一维时间序列映射到高维空间中，可以还原出系统的相空间结构。
在相空间中，系统的动态行为体现为相轨迹的形状和演化特征。
通过观察相轨迹的形态、判定其混沌性质，可以评估混沌控制策略的效果。
二、Lyapunov指数Lyapunov指数是评估动力系统稳定性和混沌性的重要指标。
其基本思想是通过计算系统中每个状态点相邻轨道之间的敏感度指数，来判断系统的演化行为。
对于混沌系统，Lyapunov指数为正值，表明系统具有混沌行为；而对于稳定系统，Lyapunov指数为负值，则系统趋于稳定。
三、Poincaré截面Poincaré截面是一种常用的评估混沌控制策略的方法。
截面是在系统相空间中选择的一个二维平面，通过观察系统在该平面上的交点分布，可以判断系统的混沌行为。
当截面上的交点密集且无规律性时，表明系统呈现混沌特征，反之则为稳定行为。
四、Lorenz吸引子Lorenz吸引子是混沌系统中最为著名的吸引子之一，用于评估混沌控制策略的效果。
通过计算系统状态变量的时间序列，绘制相空间中的吸引子结构，可以判断系统的混沌性质。
Lorenz吸引子通常呈现出扭曲的螺旋形状，其分支数量和形状可以反映系统的演化行为。
综上所述，相空间重构、Lyapunov指数、Poincaré截面和Lorenz吸引子等方法是评估动力系统中混沌控制策略有效性的常用手段。
在实际应用中，可以结合多种评估方法进行综合分析，以得出准确的评估结果。
混沌时间序列处理之第一步：相空间重构方法综述
混沌时间序列处理之第一步：相空间重构方法综述第1章相空间重构第1章相空间重构 (1)1.1 引言 (2)1.2 延迟时间τ的确定 (3)1.1.1自相关函数法 (4)1.1.2平均位移法 (4)1.1.3复自相关法 (5)1.1.4互信息法 (6)1.2嵌入维数m的确定 (7)1.2.1几何不变量法 (7)1.2.2虚假最近邻点法 (8)1.2.2伪最近邻点的改进方法－Cao方法 (9)1.3同时确定嵌入维和延迟时间 (10)1.3.1时间窗长度 (10)1.3.2 C-C方法 (10)1.3.3 改进的C-C方法 (12)1.3.4微分熵比方法 (14)1.4非线性建模与相空间重构 (14)1.5海杂波的相空间重构 (15)1.6本章小结 (16)1.7 后记 (16)参考文献 (17)1.1 引言一般时间序列主要是在时间域或变换域中进行研究，而在混沌时间序列处理中，无论是混沌不变量的计算、混沌模型的建立和预测都是在相空间中进行，因此相空间重构是混沌时间序列处理中非常重要的第一步。
为了从时间序列中提取更多有用信息，1980年Packard 等人提出了用时间序列重构相空间的两种方法：导数重构法和坐标延迟重构法[1]。
从原理上讲，导数重构和坐标延迟重构都可以用来进行相空间重构，但就实际应用而言，由于我们通常不知道混沌时间序列的任何先验信息，而且从数值计算的角度看，数值微分是一个对误差很敏感的计算问题，因此混沌时间序列的相空间重构普遍采用坐标延迟的相空间重构方法[2]。
坐标延迟法的本质是通过一维时间序列{()}x n 的不同时间延迟来构造m 维相空间矢量：{(),(),,((1))}x i x i x i m ττ=++?x(i) (1.1) 1981年Takens 等提出嵌入定理：对于无限长、无噪声的d 维混沌吸引子的标量时间序列{()}x n ，总可以在拓扑不变的意义上找到一个m 维的嵌入相空间，只要维数21m d ≥+[3]。
相空间重构 python
相空间重构 python相空间重构是一种用于分析、模拟和预测动力系统行为的方法。
在许多科学和工程领域中，相空间重构已被广泛应用，尤其是在混沌理论、非线性动力学和时间序列分析中。
本文将介绍相空间重构的基本原理和在Python中的实现方式。
相空间是描述动力系统状态的一种抽象概念，它由系统的关键变量构成的多维空间。
相空间重构的基本思想是通过观察系统的时间序列数据，将其转化为相空间中的轨迹，从而揭示系统的内在结构和演化规律。
在相空间重构中，关键的一步是选择合适的延迟时间和嵌入维度。
延迟时间表示相邻数据点之间的时间间隔，而嵌入维度则表示在相空间中描述系统动力行为所需的维度数。
这两个参数的选择对于相空间重构的结果和分析效果至关重要。
在Python中，有许多库和工具可以用来进行相空间重构。
其中最常用的是NumPy和matplotlib库。
NumPy提供了高性能的数值计算功能，而matplotlib则用于绘制轨迹和相图等图形。
我们需要导入所需的库：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt接下来，我们可以使用NumPy生成一个示例时间序列数据：t = np.linspace(0, 10, 1000)x = np.sin(t)然后，我们可以定义延迟时间和嵌入维度：delay = 10dimension = 3接下来，我们可以使用延迟时间和嵌入维度来重构相空间：def phase_space_reconstruction(data, delay, dimension):N = len(data)reconstructed_data = np.zeros((N - (dimension - 1) * delay, dimension))for i in range(dimension):reconstructed_data[:, i] = data[i * delay:N - (dimension - i - 1) * delay]return reconstructed_datareconstructed_data = phase_space_reconstruction(x, delay, dimension)我们可以使用matplotlib绘制相空间重构后的轨迹：fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.plot(reconstructed_data[:, 0], reconstructed_data[:, 1], reconstructed_data[:, 2])plt.show()通过上述步骤，我们就可以在Python中实现相空间重构并绘制出相空间中的轨迹。
时间序列分析及相空间重构.52页PPT
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
利用MATLAB进行相空间重构
一、原理概述相空间重构是复杂系统动力学分析中的一个重要方法，它通过从单变量的时间序列数据中恢复出系统的多维相空间，从而揭示系统的行为特征。
这种方法尤其适用于处理混沌时间序列，因为混沌系统通常表现出对初值的高度敏感性，但整体行为却可以通过相空间中的吸引子来描述。
二、基本步骤选择延迟时间（Embedding Delay）：延迟时间是指在构造相空间时，每个数据点与其后续点之间的间隔时间。
选择合适的延迟时间对于避免相空间中的信息重叠和失真至关重要。
确定嵌入维数（Embedding Dimension）：嵌入维数反映了系统状态变量的数量。
选择合适的嵌入维数可以确保相空间中的近邻关系在重构后保持不变。
构建相空间轨迹：根据选定的延迟时间和嵌入维数，将单变量时间序列转换为多维向量，形成相空间轨迹。
三、MATLAB代码示例及分析首先需要确定延迟时间，延迟时间tau的取值是延迟向量的互相关系数第一次出现零点时的值。
但在实际代码实现中，tau必须为整数，因此互相关系数有可能取不到零点。
这种情况下，延迟函数的互相关系数首次从正值变为负值时的延迟向量的k值被认为是tau。
下面是确定延迟时间的MATLAB代码：% data是需要重构的时间序列，N是序列的长度data=xlsread('C:\Users\Desktop\data.xlsx');N=length(data);% 假设该向量移动位数为kk=1;%初始化kwhile k <= N %从k=1开始寻找data_shifted = circshift(data, -k);% 使用circshift函数将向量整体向右移动k个元素，构造延迟向量c= corrcoef(data, data_shifted);%利用MATLAB自带的互相关函数进行计算互相关系数if (c(2, 1)) < 0 % c(2, 1)是互相关系数，可以先试一下k=1是大于0还是小于0，如果k=1 c(2,1)小于0，此处改为>0disp('找到0，跳出循环');tau=kbreak; % 找到0，跳出循环endk = k + 1; % 移动到下一个元素end下面是进行三维（m=3）时的相空间重构，并绘制相空间运动轨迹的MATLAB代码：clear;clc;close all;data=xlsread('C:\Users\Desktop\1.xlsx');m=3;tau=2;x=data;n=length(x);%生成重构矩阵X= zeros(n-(m-1)*tau,m); for i=1:n-(m-1)*tauX(i,:)=x(i:tau:i+(m-1)*tau); endFigure%%绘制轨迹plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))。
第四章 混沌时间序列分析及相空间重构
where x j are points on the attractor (which has N such points).
• Theiler’s correction: Used to prevent temporal correlations in the time series from producing an underestimated dimension. • Correlation integral is used in the computation of both correlation dimension and Kolmogorov entropy.
Lyapunov Exponents
f
• Quantifies separation in time between trajectories, assuming rate of growth (or decay) is exponential in time, as: n
1 i lim ln( eig J(p)) n n p 0
估计吸引子维数的算法，需要大量的数据点作为输入，当这些点的 输入被选择为最大化的包含吸引子信息情况下，输入数据点的数量可以减 少。（由Holzfuss和Mayer—kress 1986年提出） 重构相空间所需要解决的关键问题，就是确定重构维数m。 在重构相空间维数未知的情况下，可用以下方法获得： 令 nr 为重构空间的维数。首先把nr （或m）设置为1，计算重构吸引子 的维数Dcap，然后增加 nr （或m）的大小，并重复计算重构吸引子的维数 Dcap,直到Dcap不再改变为止（如曹书p103），最后的Dcap是正确的相 关维数，产生正确的Dcap的最小 nr (m) 即重构空间的最小维数m.
非线性时间序列分析方法综述
非线性时间序列分析方法综述引言时间序列分析是一种用于研究时间上连续观测数据的统计方法。
在传统的时间序列分析中，线性模型被广泛应用，但随着对非线性现象的认识不断增加，非线性时间序列分析方法逐渐受到关注。
本文将对非线性时间序列分析方法进行综述，包括非线性动力学方法、复杂网络方法和机器学习方法。
非线性动力学方法非线性动力学方法是研究非线性时间序列的一种重要方法。
其中，相空间重构是一个核心概念。
相空间重构通过将一维时间序列转化为高维相空间中的轨迹，揭示了时间序列中的非线性结构。
常用的相空间重构方法有延迟重构和嵌入维度选择。
延迟重构通过选择不同的延迟时间，将一维时间序列转化为多维相空间中的轨迹，从而恢复出时间序列中的非线性动力学信息。
嵌入维度选择是指确定相空间重构中的嵌入维度，常用的方法有自相关函数法和最小平均互信息法。
复杂网络方法复杂网络方法是一种基于图论的非线性时间序列分析方法。
它将时间序列数据转化为网络结构，通过研究网络的拓扑特性来揭示时间序列中的非线性关系。
常用的复杂网络方法包括小世界网络、无标度网络和模块化网络。
小世界网络描述了网络中节点之间的短路径长度和高聚集性特征，可以用来分析时间序列中的局部关联。
无标度网络描述了网络中节点的度分布呈幂律分布的特性，可以用来分析时间序列中的长尾分布。
模块化网络描述了网络中节点的聚类特性，可以用来分析时间序列中的模式和结构。
机器学习方法机器学习方法是一种基于统计学习理论的非线性时间序列分析方法。
它通过构建预测模型来揭示时间序列中的非线性关系。
常用的机器学习方法包括支持向量机、人工神经网络和随机森林。
支持向量机是一种基于结构风险最小化理论的分类器，可以用于时间序列的分类和回归分析。
人工神经网络是一种模拟大脑神经元工作原理的计算模型，可以用于时间序列的模式识别和预测分析。
随机森林是一种基于集成学习的分类器，可以用于时间序列的多样本预测和异常检测。
结论非线性时间序列分析方法是研究时间序列中非线性关系的重要工具。
如何计算时间序列的一维李雅普诺夫指数谱
时间序列的一维李雅普诺夫指数谱是一种用于衡量时间序列非线性动力学特征的重要指标。
通过计算时间序列的一维李雅普诺夫指数谱，我们可以了解时间序列的混沌程度、非线性动力学特征以及系统的演化规律。
下面将从计算一维李雅普诺夫指数谱的基本原理、计算步骤以及应用案例等方面进行介绍。
一、计算一维李雅普诺夫指数谱的基本原理1. 时间序列的非线性动力学特征在进行一维李雅普诺夫指数谱的计算之前，我们首先需要了解时间序列的非线性动力学特征。
时间序列通常是由一系列按时间顺序排列的数据点组成，而这些数据点之间可能存在着复杂的非线性关系。
传统的线性分析方法已经不能完全满足对时间序列的分析需求，非线性动力学理论的引入为我们提供了一种新的分析时间序列的思路。
2. 李雅普诺夫指数的概念李雅普诺夫指数是刻画动力学系统混沌行为的重要指标，它能够反映系统中微小扰动的增长率，从而揭示系统的混沌特性。
对于一维的时间序列数据，我们可以通过计算一维李雅普诺夫指数来揭示时间序列的混沌特征。
3. 一维李雅普诺夫指数谱一维李雅普诺夫指数谱可以帮助我们更直观地了解时间序列的非线性动力学特征。
它能够给出时间序列中各个频率对应的李雅普诺夫指数，从而揭示时间序列在不同频率下的混沌特性，为我们深入分析和理解时间序列提供了重要的参考。
二、计算一维李雅普诺夫指数谱的步骤1. 数据预处理我们需要对时间序列数据进行预处理，包括数据清洗、去噪等操作。
在数据预处理的过程中，我们需要确保数据的准确性和完整性，以保证后续计算的准确性和可靠性。
2. 计算傅里叶变换接下来，我们需要对预处理后的时间序列数据进行傅立叶变换，将时间序列数据转换到频域中。
通过傅立叶变换，我们可以将时间序列从时域转换到频域，从而得到时间序列在不同频率下的分量。
3. 计算相空间重构在得到时间序列在不同频率下的分量之后，我们需要进行相空间重构，将时间序列的不同分量映射到相应的高维空间中。
相空间重构是计算一维李雅普诺夫指数谱的关键步骤，它能够帮助我们更好地理解时间序列的非线性动力学特征。
r语言求解相空间重构
r语言求解相空间重构相空间重构是一种非线性时间序列分析方法,它可以从高维相空间中重构出系统的动力学行为。
这种方法在许多领域都有广泛应用,如气象学、经济学、生物学等。
下面介绍如何使用R语言进行相空间重构。
1. 导入所需的R包```rlibrary(tseriesChaos)library(nonlinearTseries)```2. 生成测试数据```r# 生成Lorenz吸引子数据lorenz <- lorenz.map(r=28, sigma=10, b=8/3, dt=0.01, x0=c(-8,8,27), n=5000)```3. 相空间重构```r# 使用时延坐标嵌入法进行相空间重构embed_dim <- embed_dim(lorenz[,1], max.embedding=20)# 最优嵌入维度为3m <- embed_dim$m # 嵌入维度# 计算时延tau <- embed_tau(lorenz[,1], m=m, lag.max=20)# 最优时延为18delay <- tau$tau # 时延# 相空间重构reconstructed <- embed(lorenz[,1], m=m, delay=delay)```4. 可视化相空间```r# 绘制三维相空间plot(reconstructed[,1], reconstructed[,2], reconstructed[,3],type="l", xlab="x(t)", ylab="x(t+tau)", zlab="x(t+2*tau)")```以上代码展示了如何使用R语言对Lorenz吸引子进行相空间重构。
首先导入所需的R包,然后生成测试数据。
接着使用时延坐标嵌入法确定最优嵌入维度和时延,并进行相空间重构。
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•如果RMSE比较大，则说明预测效果不好。但是RMSE •和观测序列的数值大小有关，为克服这一问题，我们定义 •正规化均方根误差NRMSE
•
•若NRMSE接近于1，则预测效果不好 •若NRMSE接近于0，则预测效果较好
•
预测效果的另一个评价标准是相关系数
•若r接近于1，则预测效果较好
•
上证指数预测
为相空间重构。
•
相空间重构法基本思想是: 系统中任一分量的演化都是由与之相互作
用着的其它分量所决定的,因此这些相关 分量的信息就隐含在任一分量的发展过 程中。
•
为了重构一个等价的状态空间,只需考察一 个分量,并将它在某些固定的时间延迟点 上的测量作为新维处理,它们确定了某个 多维状态空间中的一点.
(x(2),y(2),z(2))=(x(20),x(11),x(2)) (x(3),y(3),z(3))=(x(21),x(12),x(3))
……
•
•重构后的相图(x-y-z)
•原始系统相图(x-y-z)
•
•重构后的相图(x-y)
•原系统的相图(x-y)
•
•重构后的相图(y-z)
•原系统的相图(y-z)
•这是向量表达式，取第一个分量得
•
局部线性预测法
局部线性预测模型为
•仍设X(T1),…X(TK)为X(T)的K个邻近点， •确定Ci的方法：最小二乘法 •即 求Ci使得
•
•
局部多项式预测法
•局部多项式预测模型为（以二次多项式为例）
•仍以最小二乘法确定系数
•
•
预测效果评价
为了检验预测的精确性，可以比较预测值 与实际观测值之间的差。一次预测可能 较好或较差பைடு நூலகம்偶然性较大。为了克服这 种偶然性，可以取多个点的预测误差的 平均。
•
嵌入维数m的选取
主要方法 虚假邻点法 关联积分法 奇异值分解法
•
虚假邻点法
虚假邻点的定义
•
上面的距离差由于和时间序列数据的大 小有关，不太容易确定虚假邻点。实际采用 相对度量法
•
•
虚假邻点法确定嵌入维数
对实测时间序列, m 从2 开始,取R = 30 , 计算虚假最近邻点的比例,然后增加m ,直 到虚假最近邻点的比例小于5 % 或虚假 最近邻点不再随着m 的增加而减少时,可 以认为此时的m 为合适的嵌入维数。
对于一个非线性系统,通过观测,可以得到一组测量值 x ( n)，n=1,2,…N
利用此测量值可以构造一组m 维向量
X( n) = ( x ( n) , x ( n -τ) , ⋯,x ( n -( m - 1)τ) ) n= ( m - 1)τ) +1,…N
如果参数τ, m 选择恰当,则X( n) 可描述原系统。 τ称为延迟时间，m称为嵌入维数。由x(n)构造X(n) 称
数据文件000001.day 1990.12.19-2008.06.19 共4292个记录
每一条记录的长度为40字节: 1-4字节为日期 5-8字节=开盘指数*1000 9-12字节=最高指数*1000 13-16字节=最低指数*1000 17-20字节=收盘指数*1000 21-24字节=成交金额(元)/1000 25-28字节=成交量(手) 其余12字节未使用 读取数据matlab文件为readdata.m
•
•重构后的相图(x-z)
•原系统的相图(x-z)
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如何确定延迟时间和嵌入维数？
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延迟时间间隔τ的选取
主要方法 线性自相关函数法 平均互信息法
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线性自相关函数法
•定义自相关函数为
•选择使得自相关函数C(τ)第一次为零时的τ的值为延迟时间
•
平均互信息法
•选择使I(τ) 为第一个局部极小的τ为延迟时间间隔。
时间序列分析及相空间 重构
2020年5月31日星期日
时间序列例1
德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期
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时间序列例2
•上证指数
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相空间重构
如果把一个时间序列看成是由一个确定性 的非线性动力系统产生的,要考虑的是以 下反问题:如何由时间序列来恢复并刻划 原动力系统?
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由时间序列恢复原系统最常用的方法利用Takens 的 延迟嵌入定理
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重复这一过程并测量相对于不同时间的各 延迟量,就可以产生出许多这样的点,它可 以将原系统的许多性质保存下来,即用系 统的一个观察量可以重构出原动力系统 模型,可以初步确定原系统的真实信息。
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相空间重构例
Henon 映射
•该系统虽然有两个状态变量，但如果观测到状态变 量 •Xn的信息，我们可以从Xn建立原系统的模型
•对状态变量Xn进行相空间重构:Zn=(Xn,Xn-1) •由Zn 可以重构原来的系统
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Lorenz系统
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Lorenz系统的吸引子(x-y-z）
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Lorenz系统的吸引子(x,y相图）
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Lorenz系统的吸引子(y,z相图）
•
Lorenz系统的吸引子(x,z相图）
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如果只观测到变量x的值，利用x作相空间重构 取延迟时间为9，嵌入维数为3 即令(x(1),y(1),z(1))=(x(19),x(10),x(1))
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上证指数预测文件为shangzhen1.m 相关文件为readdata.m
juli.m dataconstruct1.m reconstruct1.m
•
多变量时间序列
以两个变量为例说明多变量情形 设给定时间序列x(n),y(n)
x(n)的嵌入维数为m1,延迟时间为τ1 y(n)的嵌入维数为m2,延迟时间为τ2
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非线性时间序列预测
基本思想 设时间序列来自确定性系统 X(n)=F(X(n-1)),F(.)为连续函数。 若 X(n)和X(j)距离很小，则F(X(n))和F(X(j))距
离也应很小，即X(n+1)和X(j+1)间的距离很 小，从而 可以用X(j+1)作为X(n+1)的预测值 。
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基本方法 局域预测法
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多变量时间序列的相空间重构
X(n)=(x(n),x(n-τ1 ),…x(n-(m1-1)τ1, ,y(n),y(n-τ2 ),…y(n-(m2-1)τ2)
局部平均预测法 局部线性预测法 局部多项式预测法 全域预测法 神经网络 小波网络 遗传算法
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局部平均预测法
设时刻T的状态向量为
X(T)=(x(T),x(T-τ),…x(T-(m-1)τ))
找X(T)的最近邻点X(T1),…X(TK), 以X(T1+1),…X(TK+1)的平均值作为X(T+1)的预测值