选修2-1阶段质量检测(四) 模块综合检测

阶段质量检测(四) 模块综合检测
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
第Ⅰ卷 (选择题)
一
、
选
择
题
(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1<0”的否定是( )
A ．不存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0
B ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0
C ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0
D ．对任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0
2．(重庆高考)命题“若p 则q ”的逆命题是( ) A ．若q 则p B ．若綈p 则綈q C ．若綈q 则綈p
D ．若p 则綈q
3．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.5 32 B.212 C.372 D.3 52
4．设椭圆
x 2
m 2
＋
y 2n 2
＝1(m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为1
2
，则此椭圆的方程为( )
A.x 212＋y 216＝1
B.x 216＋y 212＝1
C.x 248＋y 264＝1
D.x 264＋y 2
48＝1 5．(北京高考)双曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )
A ．m ＞1
2 B ．m ≥1 C ．m ＞1 D ．m ＞2
6．下列说法中正确的是( )
A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价
C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
7．在各棱长都等于1的正四面体OABC 中，若点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC
(x ＋y ＋z ＝1)，则|OP |的最小值为( )
A ．2 B.
33 C.6
3
D. 2 8．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3
9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.
23 B.33 C.23 D.6
3
10．若抛物线y 2＝2x 上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )
A ．－52 B.52 C.12 D ．－12
答 题 栏
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP ·OA ＝4，则动点P 的轨迹方程是____________________．
12．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是__________________． 13．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．
14．在双曲线
x 2
a 2
－
y 2b 2
＝1上有一点P ，F 1、F 2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 22＋y 2
m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀
x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．
16．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
(2)求B点到平面PCD的距离．
17.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝
3，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．
18．(本小题满分14分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．
(1)若线段AB 中点的横坐标是－1
2
，求直线AB 的方程；
(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA ·MB 为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答 案
阶段质量检测(四) 模块综合检测
1．选C 全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0. 2．选A 根据逆命题的概念可知，“若p 则q ”的逆命题为“若q 则p ”． 3．选D 由已知可得
2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)． 又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0. ∴2n ＝5，n ＝5
2.
∴|a |＝
1＋4＋254＝3 52
.
4．选B 抛物线的焦点为(2,0)，∴4＝m 2－n 2，
又
m 2－n 2m ＝1
2
，解得：m ＝4，n ＝2 3，
故椭圆的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
5．选C 双曲线x 2
－y 2
m
＝1中，a ＝1，b ＝m ，则c ＝
1＋m ，离心率e ＝c
a
＝
1＋m
1
＞2，解得m ＞1故选C.
6．选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性．
7．选C ∵点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y ＋z ＝1)，∴P ，A ，B ，C 共面，故|OP |的最小值即为O 到面ABC 的距离，即正四面体的高h ＝
1－⎝⎛
⎭⎫332
＝63
. 8．选B 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2
b 2＝1
可得y 2
＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2
a
＝2×2a .
∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c
a
＝ 3.
9．选D 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则
1BB ＝(0,0,1)．
∵B 1D ⊥面ACD 1，∴取1B D ＝(－1，－1，－1)为面ACD 1的法向量． 设BB 1与面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝|1BB ·1B D |
|1BB ||1B D |＝13＝33，
∴cos θ＝
6
3
. 10．选A 法一：直线AB 的斜率为 k AB ＝
y 1－y 2
x 1－x 2＝y 1－y 2
12y 21－12y 22
＝－1， 即y 1＋y 2＝－2，y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2
－2y 1y 2＝6.
线段AB 的中点为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 21＋y 224，－1＝⎝⎛⎭⎫32，－1， 代入y ＝x ＋b ，得b ＝－52
.
法二：设直线AB 的方程为y ＝－x ＋m 与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2＋2y －2m ＝0. 则y 1＋y 2＝－2，y 1y 2＝－2m . 由y 1y 2＝－1得m ＝1
2.
设AB 的中点为M (x 0，y 0)， 则y 0＝y 1＋y 2
2＝－1，
x 0＝m －y 0＝3
2
，
又M (3
2，－1)在y ＝x ＋b 上，
∴b ＝－5
2
.
11．解析：由OP ·OA ＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋2y －4＝0
12．解析：∵∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ] 13.解析：建系如图，
则M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，N ⎝⎛⎭⎫1，1，1
2， A (1,0,0)，C (0,1,0) ∴AM ＝⎝⎛⎭⎫0，1
2，1， CN ＝⎝
⎛⎭⎫1，0，12. ∴cos 〈AM ，CN 〉＝AM ·
CN | AM ||CN |＝1
254＝25
.
即直线AM 与CN 所成角的余弦值为2
5.
答案：25
14．解析：不妨设点P 在右支上， 则2|PF 1|＝|PF 2|＋|F 1F 2|， 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
∴|PF 1|＝2c －2a ，|PF 2|＝2c －4a . 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴e 2－6e ＋5＝0. 又e ＞1，∴e ＝5. 答案：5
15．解：p 真时，m ＞2.
q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0,1≤m ≤3. ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2. ∴所求m 的取值范围为[1,2]．
16．解：(1)在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD .
又在直角梯形ABCD 中，易得OC
⊥AD ，所以以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系， 则P (0,0,1)，A (0，－1,0)，B (1，－1,0)， C (1,0,0)，D (0,1,0)，
∴PB ＝(1，－1，－1)，易证：OA ⊥平面POC ， ∴OA ＝(0，－1,0)是平面POC 的法向量，
cos 〈PB ，OA 〉＝PB ·OA |PB ||OA |＝33
.
∴直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为63
. (2) PD ＝(0,1，－1)，CP ＝(－1,0,1)，
BP ＝(－1,1,1)．
设平面PDC 的一个法向量为u ＝(x ，y ，z )．
则⎩⎪⎨⎪⎧
u ·CP ＝－x ＋z ＝0，u ·
PD ＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)．
∴B 点到平面PCD 的距离为d ＝|BP ·u ||u |＝33
.
17．解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1. 在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°， 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ， ∴AB ⊥平面ACC 1A 1，
又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C . (2)如图
，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD ，又AB ⊥A 1C ， ∴A 1C ⊥平面ABD ， ∴BD ⊥A 1C ，
∴∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，
AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3× 36＝6
2，
在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝
AB AD ＝6
3
， ∴二面角A －A 1C －B 的正切值为
63
.
法二：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，
∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°，
由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，
即AB ⊥AC .如图建立空间直角坐标系．
则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB ＝(1,0,0)，1AC ＝(0，3，－3)， ∵AB ·1AC ＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .
(2)取m ＝AB ＝(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量．设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BC ＝0，n ·1AC ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋ 3 y ＝0，
3y －3z ＝0，
∴x ＝3y ，y ＝z ，令y ＝1，则n ＝(3，1,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n
|m |·|n |
＝
3×1＋1×0＋1×0
(3)2＋12＋12·12＋02＋02
＝
15
5
， ∴sin 〈m ，n 〉＝1－(155)2＝105
， ∴tan 〈m ，n 〉＝
63
， ∴二面角A －A 1C －B 的正切值为
6
3
. 18．解：(1)依题意，直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)， 将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，
消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩
⎨⎧
Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＞0， ①
x 1
＋x 2
＝－6k
2
3k 2
＋1. ②
由线段AB 中点的横坐标是－1
2
，
得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，
解得k ＝±3
3，适合①.
所以直线AB 的方程为
x －3y ＋1＝0，或x ＋3y ＋1＝0.
(2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA ·MB 为常数． 当直线AB 与x 轴不垂直时，
由(1)知x 1＋x 2＝－6k 2
3k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1
.③
所以MA ·MB ＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将③代入，整理得
MA ·MB ＝(6m －1)k 2－5
3k 2
＋1＋m 2 ＝(2m －13)(3k 2＋1)－2m －
143
3k 2
＋1＋m 2 ＝m 2＋2m －13－6m ＋14
3(3k 2＋1)
.
因为MA ·
MB 是与k 无关的常数， 从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA ·MB ＝4
9.
当直线AB 与x 轴垂直时，点A ，B 的坐标分别为⎝
⎛⎭⎫－1，
23，⎝⎛⎭
⎫－1，－2
3， 当m ＝－73时，亦有MA ·MB ＝4
9
.
综上，在x 轴上存在定点M ⎝⎛⎭⎫－7
3，0，使MA ·MB 为常数．。