关于隐函数存在定理证明教学的新探讨
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周刊 2011年第79期 ○ 数学教学与研究 着一函数 y=y （x ）， 使得 ： 1 ）y0=y （x0 ）； 2 ）y （x ） 在 ［x0-η ，x0+η ］ 上连续 ； 初学者有所助益 。 2. 隐函数存在定理的证明分析 数 学 上 任 何 命 题 ，定 理 的 讨 论 ，都 离 不 开 对 定 理 精 细 、透 彻的分析 。 我们习惯用的分析方法是由结论找需知 ， 具体说 来 ， 就是从 “ 未知 ” 出发 ， 通过层层剖析 ， 看 “ 需知 ” 什么 ， 再根据 “ 未知 ” 和 “ 已知 ” 条件或隐含的 “ 已知 ” 条件之间的联系 、 转化 ， 逐步 “ 运用已知 ” 想到 “ 可知 ”。 这种方法对于此定理的分析也 是适宜的 。 分析 ： （1 ） 因 为 我 们 限 定 在 （x 0 ，y 0 ） 某 领 域 内 找 方 程 F （x ，y ） =0 的 解 ， 可利用泰勒公式用线性函数来逼近函数 F （x ，y ）： F （x ，y ）=F （x0 ，y0 ）+F′x （x0 ，y0 ）（x-x0 ）+F′y （x0 ，y0 ）（y-y0 ）+0 （ρ ） ， 所以在 （x0 ，y0 ） 附近 ， 函数 F （x ， y ） 可 近 似 看 成 线 性 函 数 （ 忽 略 0 （ρ ））， 这 样 求 方 程 F （x ，y ） =0 的 其中 ρ=
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1400 =35 时 ，Pmax=4500 （ 元 ）. 2× （-20 ）
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a=
1 ， 8
2 1 1 2 ∴y=- （x-8 ） +9=- x +2x+1. 8 8 2 1 令 y=0 ， 得 - （x-8 ） +9=0 ， 8
（ 或通过配方 ，P=-20 （x-35 ） +4500 ， 也可求得最大值 ） 答 ： 当 销 售 单 价 为 35 元 / 千 克 时 ， 每 天 可 获 得 最 大 利 润 4500 元 . （3 ）∵4180≤-20 （x-35 ） +4500≤4480
图1 在定理题设中有 ， F′y （x0 ，y0 ）≠0 ， 不 妨 假 定 它 大 于 0 ， 由 于
F′y （x ，y ） 连续 ， 因此存在 （x0 ，y0 ） 的某个领域 ， 其中 每 一 点 F′y 都
大于 0 。 在该领域内 ， 固定 x=x ， 令 φ （y ）=F （x ，y ）， 由于 φ′ （y ）>0 ， 因此 φ （y ） 是单调上升的 ， 只要证明存在 y1 及 y2 ， 使得 φ （y1 ）>0 ，φ （y2 ）<0 ， 则 由 一 元 连 续 函 数 的 中 值 定 理 ， 就 存 在 一 点 M （x ，y ） 使 F （x ，y ）=0 ， 这是定理证明的核心 。 其几何意义是 ： 曲面 z=F （x ，y ） 垂直于 x 轴 的 平 面 x=x 的 交 线 z=F （x ，y ）， 剖 面 图 形 如 图 2 所示 。
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yn+1=yn-
F ′y （ x ， y n ） 为了使分母简单 ， 固定 （x0 ，y0 ）， 有 F （ x ， yn ） F ′y （ x 0 ， y 0 ） 其几何意义 ， 可参看图 3 。
yn+1=yn-
图2 这种证 法 比 较 直 观 ，容 易 被 接 受 ，但 只 给 出 了 解 的 存 在 性 证 明 。 在 很 多 问 题 的 研 究 中 ，我 们 不 仅 仅 需 要 知 道 隐 函 数 的 存 在 ，更 重 要 的 是 要 求 得 隐 函 数 ，而 这 种 证 法 并 不 能 解 决 这个问题。 我们看到在近期出版的一些数学分析教科书上， 关于隐函数存在定理的证明 ， 使用了逐次逼近法 。 这种证法 ， 不 仅 证 明 了 隐 函 数 的 存 在 ，而 且 包 含 了 解 的 求 法 。 我 们 使 用 逐 次 逼 近 造 就 出 所 要 求 的 函 数 y=f （x ）， 这 在 电 子 计 算 机 得 到 广 泛 应 用 的 今 天 ，是 很 容 易 得 到 所 要 求 的 结 果 的 ，可 见 此 证 法 较 之 传 统 的 证 明 方 法 颇 有 可 取 之 处 。 但 这 种 证 法 ，涉 及 的 知 识 面 很 广 ，证 明 篇 幅 又 长 ，初 学 者 在 晦 涩 的 证 明 面 前 ，常 感 到惘然 ， 而不得要领 。 我就这一证明方法 ， 作以剖析 ， 希望能对
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解之得 x=8±6 姨 2 ， 即 C （8+6 姨 2 ，0 ），∴OC=8+6 姨 2 ≈16.5 （ 米 ）. 评注 ： 从 “ 形 ” 到 “ 数 ” 的问题时 ， 应注意观察函数图像的形 状 特 征 ，充 分 挖 掘 图 像 的 已 知 条 件 ，确 定 函 数 的 解 析 式 ，从 而 利用函数的性质来解 . 四 、“ 数形结合 ” 思想的综合应用 例 4. 市 “ 健 益 ” 超 市 购 进 一 批 20 元 / 千 克 的 绿 色 食 品 ， 如 果 以 30 元 / 千克销售 ， 那么每天可售出 400 千克 . 由销售经验知 ， 每 天 销 售 量 y （ 千 克 ） 与 销 售 单 价 x （ 元 ）（x ≥30 ） 存 在 如 下 图 所 示 的一次函数关系式 . （1 ） 试求出 y 与 x 的函数关系式 ； （2 ） 设 “ 健 益 ” 超 市 销 售 该 绿 色 食 品 每 天 获 得 利 润 P 元 ， 当 销售单价为何值时 ， 每天可获得最大利润 ？ 最大利润是多少 ？ （3 ） 根据市场调查 ， 该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元 ， 现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元 ， 请你帮助该
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1≤ （x-35 ） ≤16 ∴31≤x≤34 或 36≤x≤39.
评注：在解决二次函数问题时 ，要注意 “由数想形 ，以形助数 ” 的方法，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题. 五 、 结语 在 学 习 二 次 函 数 中 “ 数 ”、“ 形 ” 并 进 ， 让 学 生 见 “ 数 ” 想 到 “ 形 ”， 见 “ 形 ” 不忘 “ 数 ”. 在数形转化结合的过程中 ， 必须遵循下述原则 ： 转化等价 原 则 ；数 形 互 补 原 则 ；求 解 简 单 原 则.当 然 在 学 习 渗 透 数 形 结 合的思想时 ， 还应掌握以下几点 . 1. 善于观察图形 ， 以揭示图形中蕴含的数量关系 . 2. 正确绘制图形 ， 以反映图形中相应的数量关系 . 3. 切实把握 “ 数 ” 与 “ 形 ” 的对应关系 ， 以图识性 ， 以性识图 . 参考文献 ： ［1 ］姚立新.数形结合的数学思想方法在解题中的应用 ［J］， 2005，1. ［2 ］ 蔡 东 兴 . 数 形 结 合 思 想 方 法 的 应 用 ［J ］. 中 学 数 学 教 与 学 ，2009 ，2.
Leabharlann Baidu
姨（x-x ） +（y -y ）
0 0 0
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0。
（ 三 ） 要这曲线在 x0 附近连续 ， 只需曲面 z=F （x ，y ） 在 （x0 ，y0 ） 附近连续 。 （ 四 ） 要 曲 线 唯 一 ， 也 就 需 证 ， 对 x0 附 近 任 一 x ， 有 唯 一 确 定 的 y。
解 ， 就近似相当于求线性方程 ： F （x0 ，y0 ）+F′x （x0 ，y0 ）（x-x0 ）+F′y （x0 ，y0 ）（y-y0 ）=0 的解 。 需要注意的是 ： 首先 ， 要使上式在 （x0 ，y0 ） 附近有解 ， 必须 F （x0 ，y0 ）=0 ， 否则 当 动 点 （x ，y ） 与 （x 0 ，y 0 ） 充 分 靠 近 时 ， 上 式 第 一 项 不 为 零 ， 而 后 二项值可任意小 ， 其和不能为零 ， 即线性方程在 （x0 ，y0 ） 附近无 解 ， 于是我们得出线性方程在 （x0 ，y0 ） 附近有解的第一条件为 ：
F （x0 ，y0 ）=0 ；
其次 ， 使线性方程有解 ， 还必须在 （x0 ，y0 ） 有一个偏导数不 为 0 ， 比如 F′y （x0 ，y0 ）≠0 ， 这样才能把 y 写成 x 的函数 。 这是线性 方程在 （x0 ，y0 ） 附近有解的第二个条件 。 由定理知 ， 这两个条件均在题设中给出 。 （2 ） 以前讲到过求一元方程 f （x ）=0 的近似根的切线法 。 出 现过逐步迭代程序 ： f （ xn ） 。 xn+1=xnf′ （ xn ） 现在 ， 在二元方程 F （x ，y ）=0 中 ， 视 x 固定 ， 容易想到 下 面 迭 代程序 ： F （ x ， yn ）
3 ） 在 ［x0-η ，x0+η ］ 上恒等式 F （x ，y （x ））=0 成立 ； 4 ） 满足条件 1 ）— 3 ） 的函数 y （x ） 是唯一的 。
在定理所给条件下 ， 找到满足结论条件的隐函数 y=f （x ）， 从几何直观来看就是 ： 若在 （x0 ，y0 ） 附近 z=F （x ，y ） 为 光 滑 曲 面 ， 则 它 在 点 （x 0 ，y 0 ） 附 近 与 z=0 的 交 线 为 光 滑 曲 线 ， 并 能 表 示 为 y 为 x 的函数 （ 当 F′y （x0 ，y0 ）≠0 ）， 如图 1 所示 。 对于这个定理 ， 一般的分析教科书上多采用的传统证法 是基于它的几何意义 ， 而从下面几方面去进行推断 。 （ 一 ） 定理的结论 ， 实 质 是 找 曲 面 z=F （x ，y ） 和 平 面 z=0 的 交 线 y=f （x ）， 使得这曲线过 （x0 ，y0 ） 且在 x0 附近连续 ， 唯一 。 （ 二 ） 要 这 曲 线 过 （x0 ，y0 ） 必 须 曲 面 过 （x0 ，y0 ）， 即 F （x 0 ，y 0 ） =
复 杂 ，不 易 被 学 生 很 快 理 解 和 掌 握 的 定 理 。 现 把 该 定 理 复 述 如下 ： 定理 ： 设 F （x ，y ） 在 （x0 ，y0 ） 的领域内连续 ， 并有 连 续 的 偏 导 数 F′y （x ，y ）， 如果
1. 问题的提出
数 学 分 析 教 学 中 “隐 函 数 存 在 定 理 ”的 证 明 ，是 一 个 较 为
∞ ，0 ］ 和 ［1 ，＋∞ ）， 函数的单调递减区间为 ［0 ，1 ］.
评注 ： 数形结合可用于解决二次函数方程的解的问题 ， 准 确合理地作出满足题意的图像是解决这类问题的关键 . 三 、 从 “ 形 ” 到 “ 数 ” 的思想应用 例 3. 如 图 ， 一 小 孩 将 一 只 皮 球 从 A 处 抛 出 去 ， 它 所 经 过 的 路线是某个二次函数图像的一部分 ， 如果他的出手处 A 距地面 的 距 离 OA 为 1m ， 球 路 的 最 高 点 B （8 ，9 ）， 则 这 个 二 次 函 数 的 表 达式为 %% %% ， 小孩将球抛出了约 %% %% 米 （ 精确到 0.1m ）.
B
解 ：（1 ） 设 y=kx+b ， 由图像可知 ，
30k+b=400 k=-20 ， 解得 ≥ ， ≥ 40k+b=200 b=1000
即一次函数表达式为 y=-20x+1000 （30≤x≤50 ）. （2 ）p= （x-20 ）y= （x-20 ）（-20x+1000 ）=-20x +1400x-20000 ∵a=-20＜0 ， ∴P 有最大值 . 当 x= 解 ： 由题意和图像可设 y=a （x-8 ） +9 ， 将点 A （0 ，1 ） 代 入 ， 得
○ 数学教学与研究 2011 年 第 79 期
周刊
关于隐函数存在定理证明教学的新探讨
刘 颖 曾伟梁
150080 ）
（ 哈尔滨师范大学 数学科学学院 ， 黑龙江 哈尔滨 摘 要 ： 在 数 学 分 析 教 学 中 ，“ 隐 函 数 存 在 定 理 ” 的 证 明 较为复杂 ， 不易被学生接受和掌握 。 作者依据长期从事数学分 析 教 学 的 经 验 ，从 八 个 方 面 对 该 定 理 进 行 分 析 ，深 入 浅 出 ，明 了易懂 ， 达到了很好的教学效果 。 关键词 ： 隐函数存在定理 分析证明 分析论证思想
F （x0 ，y0 ）=0%%% F′y （x0 ，y0 ）≠0 则 在 （x 0 ，y 0 ） 的 某 领 域 内 ， 方 程 F （x ，y ） =0 有 唯 一 的 连 续 解 y=f （x ）， 也就是说 ， 这时存在某 η>0 ， 使得在 ［x0-η ，x0+η ］ 上存在
超市确定绿色食品销售单价 x 的范围 .
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周刊 2011年第79期 ○ 数学教学与研究 着一函数 y=y （x ）， 使得 ： 1 ）y0=y （x0 ）； 2 ）y （x ） 在 ［x0-η ，x0+η ］ 上连续 ； 初学者有所助益 。 2. 隐函数存在定理的证明分析 数 学 上 任 何 命 题 ，定 理 的 讨 论 ，都 离 不 开 对 定 理 精 细 、透 彻的分析 。 我们习惯用的分析方法是由结论找需知 ， 具体说 来 ， 就是从 “ 未知 ” 出发 ， 通过层层剖析 ， 看 “ 需知 ” 什么 ， 再根据 “ 未知 ” 和 “ 已知 ” 条件或隐含的 “ 已知 ” 条件之间的联系 、 转化 ， 逐步 “ 运用已知 ” 想到 “ 可知 ”。 这种方法对于此定理的分析也 是适宜的 。 分析 ： （1 ） 因 为 我 们 限 定 在 （x 0 ，y 0 ） 某 领 域 内 找 方 程 F （x ，y ） =0 的 解 ， 可利用泰勒公式用线性函数来逼近函数 F （x ，y ）： F （x ，y ）=F （x0 ，y0 ）+F′x （x0 ，y0 ）（x-x0 ）+F′y （x0 ，y0 ）（y-y0 ）+0 （ρ ） ， 所以在 （x0 ，y0 ） 附近 ， 函数 F （x ， y ） 可 近 似 看 成 线 性 函 数 （ 忽 略 0 （ρ ））， 这 样 求 方 程 F （x ，y ） =0 的 其中 ρ=
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1400 =35 时 ，Pmax=4500 （ 元 ）. 2× （-20 ）
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a=
1 ， 8
2 1 1 2 ∴y=- （x-8 ） +9=- x +2x+1. 8 8 2 1 令 y=0 ， 得 - （x-8 ） +9=0 ， 8
（ 或通过配方 ，P=-20 （x-35 ） +4500 ， 也可求得最大值 ） 答 ： 当 销 售 单 价 为 35 元 / 千 克 时 ， 每 天 可 获 得 最 大 利 润 4500 元 . （3 ）∵4180≤-20 （x-35 ） +4500≤4480
图1 在定理题设中有 ， F′y （x0 ，y0 ）≠0 ， 不 妨 假 定 它 大 于 0 ， 由 于
F′y （x ，y ） 连续 ， 因此存在 （x0 ，y0 ） 的某个领域 ， 其中 每 一 点 F′y 都
大于 0 。 在该领域内 ， 固定 x=x ， 令 φ （y ）=F （x ，y ）， 由于 φ′ （y ）>0 ， 因此 φ （y ） 是单调上升的 ， 只要证明存在 y1 及 y2 ， 使得 φ （y1 ）>0 ，φ （y2 ）<0 ， 则 由 一 元 连 续 函 数 的 中 值 定 理 ， 就 存 在 一 点 M （x ，y ） 使 F （x ，y ）=0 ， 这是定理证明的核心 。 其几何意义是 ： 曲面 z=F （x ，y ） 垂直于 x 轴 的 平 面 x=x 的 交 线 z=F （x ，y ）， 剖 面 图 形 如 图 2 所示 。
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F ′y （ x ， y n ） 为了使分母简单 ， 固定 （x0 ，y0 ）， 有 F （ x ， yn ） F ′y （ x 0 ， y 0 ） 其几何意义 ， 可参看图 3 。
yn+1=yn-
图2 这种证 法 比 较 直 观 ，容 易 被 接 受 ，但 只 给 出 了 解 的 存 在 性 证 明 。 在 很 多 问 题 的 研 究 中 ，我 们 不 仅 仅 需 要 知 道 隐 函 数 的 存 在 ，更 重 要 的 是 要 求 得 隐 函 数 ，而 这 种 证 法 并 不 能 解 决 这个问题。 我们看到在近期出版的一些数学分析教科书上， 关于隐函数存在定理的证明 ， 使用了逐次逼近法 。 这种证法 ， 不 仅 证 明 了 隐 函 数 的 存 在 ，而 且 包 含 了 解 的 求 法 。 我 们 使 用 逐 次 逼 近 造 就 出 所 要 求 的 函 数 y=f （x ）， 这 在 电 子 计 算 机 得 到 广 泛 应 用 的 今 天 ，是 很 容 易 得 到 所 要 求 的 结 果 的 ，可 见 此 证 法 较 之 传 统 的 证 明 方 法 颇 有 可 取 之 处 。 但 这 种 证 法 ，涉 及 的 知 识 面 很 广 ，证 明 篇 幅 又 长 ，初 学 者 在 晦 涩 的 证 明 面 前 ，常 感 到惘然 ， 而不得要领 。 我就这一证明方法 ， 作以剖析 ， 希望能对
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解之得 x=8±6 姨 2 ， 即 C （8+6 姨 2 ，0 ），∴OC=8+6 姨 2 ≈16.5 （ 米 ）. 评注 ： 从 “ 形 ” 到 “ 数 ” 的问题时 ， 应注意观察函数图像的形 状 特 征 ，充 分 挖 掘 图 像 的 已 知 条 件 ，确 定 函 数 的 解 析 式 ，从 而 利用函数的性质来解 . 四 、“ 数形结合 ” 思想的综合应用 例 4. 市 “ 健 益 ” 超 市 购 进 一 批 20 元 / 千 克 的 绿 色 食 品 ， 如 果 以 30 元 / 千克销售 ， 那么每天可售出 400 千克 . 由销售经验知 ， 每 天 销 售 量 y （ 千 克 ） 与 销 售 单 价 x （ 元 ）（x ≥30 ） 存 在 如 下 图 所 示 的一次函数关系式 . （1 ） 试求出 y 与 x 的函数关系式 ； （2 ） 设 “ 健 益 ” 超 市 销 售 该 绿 色 食 品 每 天 获 得 利 润 P 元 ， 当 销售单价为何值时 ， 每天可获得最大利润 ？ 最大利润是多少 ？ （3 ） 根据市场调查 ， 该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元 ， 现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元 ， 请你帮助该
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1≤ （x-35 ） ≤16 ∴31≤x≤34 或 36≤x≤39.
评注：在解决二次函数问题时 ，要注意 “由数想形 ，以形助数 ” 的方法，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题. 五 、 结语 在 学 习 二 次 函 数 中 “ 数 ”、“ 形 ” 并 进 ， 让 学 生 见 “ 数 ” 想 到 “ 形 ”， 见 “ 形 ” 不忘 “ 数 ”. 在数形转化结合的过程中 ， 必须遵循下述原则 ： 转化等价 原 则 ；数 形 互 补 原 则 ；求 解 简 单 原 则.当 然 在 学 习 渗 透 数 形 结 合的思想时 ， 还应掌握以下几点 . 1. 善于观察图形 ， 以揭示图形中蕴含的数量关系 . 2. 正确绘制图形 ， 以反映图形中相应的数量关系 . 3. 切实把握 “ 数 ” 与 “ 形 ” 的对应关系 ， 以图识性 ， 以性识图 . 参考文献 ： ［1 ］姚立新.数形结合的数学思想方法在解题中的应用 ［J］， 2005，1. ［2 ］ 蔡 东 兴 . 数 形 结 合 思 想 方 法 的 应 用 ［J ］. 中 学 数 学 教 与 学 ，2009 ，2.
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姨（x-x ） +（y -y ）
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（ 三 ） 要这曲线在 x0 附近连续 ， 只需曲面 z=F （x ，y ） 在 （x0 ，y0 ） 附近连续 。 （ 四 ） 要 曲 线 唯 一 ， 也 就 需 证 ， 对 x0 附 近 任 一 x ， 有 唯 一 确 定 的 y。
解 ， 就近似相当于求线性方程 ： F （x0 ，y0 ）+F′x （x0 ，y0 ）（x-x0 ）+F′y （x0 ，y0 ）（y-y0 ）=0 的解 。 需要注意的是 ： 首先 ， 要使上式在 （x0 ，y0 ） 附近有解 ， 必须 F （x0 ，y0 ）=0 ， 否则 当 动 点 （x ，y ） 与 （x 0 ，y 0 ） 充 分 靠 近 时 ， 上 式 第 一 项 不 为 零 ， 而 后 二项值可任意小 ， 其和不能为零 ， 即线性方程在 （x0 ，y0 ） 附近无 解 ， 于是我们得出线性方程在 （x0 ，y0 ） 附近有解的第一条件为 ：
F （x0 ，y0 ）=0 ；
其次 ， 使线性方程有解 ， 还必须在 （x0 ，y0 ） 有一个偏导数不 为 0 ， 比如 F′y （x0 ，y0 ）≠0 ， 这样才能把 y 写成 x 的函数 。 这是线性 方程在 （x0 ，y0 ） 附近有解的第二个条件 。 由定理知 ， 这两个条件均在题设中给出 。 （2 ） 以前讲到过求一元方程 f （x ）=0 的近似根的切线法 。 出 现过逐步迭代程序 ： f （ xn ） 。 xn+1=xnf′ （ xn ） 现在 ， 在二元方程 F （x ，y ）=0 中 ， 视 x 固定 ， 容易想到 下 面 迭 代程序 ： F （ x ， yn ）
3 ） 在 ［x0-η ，x0+η ］ 上恒等式 F （x ，y （x ））=0 成立 ； 4 ） 满足条件 1 ）— 3 ） 的函数 y （x ） 是唯一的 。
在定理所给条件下 ， 找到满足结论条件的隐函数 y=f （x ）， 从几何直观来看就是 ： 若在 （x0 ，y0 ） 附近 z=F （x ，y ） 为 光 滑 曲 面 ， 则 它 在 点 （x 0 ，y 0 ） 附 近 与 z=0 的 交 线 为 光 滑 曲 线 ， 并 能 表 示 为 y 为 x 的函数 （ 当 F′y （x0 ，y0 ）≠0 ）， 如图 1 所示 。 对于这个定理 ， 一般的分析教科书上多采用的传统证法 是基于它的几何意义 ， 而从下面几方面去进行推断 。 （ 一 ） 定理的结论 ， 实 质 是 找 曲 面 z=F （x ，y ） 和 平 面 z=0 的 交 线 y=f （x ）， 使得这曲线过 （x0 ，y0 ） 且在 x0 附近连续 ， 唯一 。 （ 二 ） 要 这 曲 线 过 （x0 ，y0 ） 必 须 曲 面 过 （x0 ，y0 ）， 即 F （x 0 ，y 0 ） =
复 杂 ，不 易 被 学 生 很 快 理 解 和 掌 握 的 定 理 。 现 把 该 定 理 复 述 如下 ： 定理 ： 设 F （x ，y ） 在 （x0 ，y0 ） 的领域内连续 ， 并有 连 续 的 偏 导 数 F′y （x ，y ）， 如果
1. 问题的提出
数 学 分 析 教 学 中 “隐 函 数 存 在 定 理 ”的 证 明 ，是 一 个 较 为
∞ ，0 ］ 和 ［1 ，＋∞ ）， 函数的单调递减区间为 ［0 ，1 ］.
评注 ： 数形结合可用于解决二次函数方程的解的问题 ， 准 确合理地作出满足题意的图像是解决这类问题的关键 . 三 、 从 “ 形 ” 到 “ 数 ” 的思想应用 例 3. 如 图 ， 一 小 孩 将 一 只 皮 球 从 A 处 抛 出 去 ， 它 所 经 过 的 路线是某个二次函数图像的一部分 ， 如果他的出手处 A 距地面 的 距 离 OA 为 1m ， 球 路 的 最 高 点 B （8 ，9 ）， 则 这 个 二 次 函 数 的 表 达式为 %% %% ， 小孩将球抛出了约 %% %% 米 （ 精确到 0.1m ）.
B
解 ：（1 ） 设 y=kx+b ， 由图像可知 ，
30k+b=400 k=-20 ， 解得 ≥ ， ≥ 40k+b=200 b=1000
即一次函数表达式为 y=-20x+1000 （30≤x≤50 ）. （2 ）p= （x-20 ）y= （x-20 ）（-20x+1000 ）=-20x +1400x-20000 ∵a=-20＜0 ， ∴P 有最大值 . 当 x= 解 ： 由题意和图像可设 y=a （x-8 ） +9 ， 将点 A （0 ，1 ） 代 入 ， 得
○ 数学教学与研究 2011 年 第 79 期
周刊
关于隐函数存在定理证明教学的新探讨
刘 颖 曾伟梁
150080 ）
（ 哈尔滨师范大学 数学科学学院 ， 黑龙江 哈尔滨 摘 要 ： 在 数 学 分 析 教 学 中 ，“ 隐 函 数 存 在 定 理 ” 的 证 明 较为复杂 ， 不易被学生接受和掌握 。 作者依据长期从事数学分 析 教 学 的 经 验 ，从 八 个 方 面 对 该 定 理 进 行 分 析 ，深 入 浅 出 ，明 了易懂 ， 达到了很好的教学效果 。 关键词 ： 隐函数存在定理 分析证明 分析论证思想
F （x0 ，y0 ）=0%%% F′y （x0 ，y0 ）≠0 则 在 （x 0 ，y 0 ） 的 某 领 域 内 ， 方 程 F （x ，y ） =0 有 唯 一 的 连 续 解 y=f （x ）， 也就是说 ， 这时存在某 η>0 ， 使得在 ［x0-η ，x0+η ］ 上存在
超市确定绿色食品销售单价 x 的范围 .