第四章+方差分析

§4 方差分析¾问题的提出[引例1] 为研究光照条件对某种有机物降解速度的影响，在人工控制的六种不同光强条件下，测定了该有机物24小时内的降解速度。

光强条件重复测定结果117.724.827.925.224.3219.422.62722.123320.72120.518.818.6417.319.419.116.920.851719.49.111.915.8614.312.411.811.614.2光照条件是否影响该有机物的降解速度？－不同的光照条件下降解速度是否存在显著性差异？单因素方差分析¾问题的提出[引例2] 为比较3种松树在4个不同地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选取5株，测量它们的胸径。

在不同地区松树的胸径是否存在显著性差异？双因素等重复方差分析¾问题的提出[引例3]为研究3种不同作物对污泥中镉吸收能力的差别，选择了4个地块进行栽培试验。

将每一个地块划分成三个小区，三种作物随机地分种在每个地块的三个小区上。

在所有地块上施用同等数量的污泥，作物收获后分别测定了其中镉的积累量（ug/kg)：不同作物对镉的吸收是否有显著性差异？不同地块下作物对镉的吸收是否有显著性差异？双因素无重复方差分析§4 方差分析¾研究论文¾利用t 检验进行2个以上总体均值比较的弊端¾检验过程烦琐¾无统一的试验误差，犯第I类错误的概率增大=2510C ααα−10.4’10＝0.05＝（1-）＝¾方法的提出英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出方差分析方法(analysis of variance，ANOVA)。

方差分析的基本思想是：把全部数据关于总均值的离差平方和分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平作用所产生的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认某些因素或交互作用的重要性。

方差分析可用于多个样本均值的比较、分析多个因素的交互作用、方差的同质性检验、回归方程的显著性检验。

各种因素引起由个体差异引起（误差）总变异＝组间变异＋组内变异¾前提条件•采样的随机性难以用数学方法进行检验•样本的独立性游程检验（runs test)•分布的正态性正态性检验（Shapiro-Wilk test，K-S test）•方差的同质性方差同质性（齐性）检验（Levene test、Brown-Forsythe's Test ）§4 方差分析¾主要内容•§4.1 基本概念•§4.2 单因素方差分析•§4.3 双因素方差分析•§4.4 多因素方差分析•§4.5 重复测量方差分析•§4.6 其它¾基本概念•因素（factor)试验中所研究的影响试验指标的原因或原因组合称为试验因素（experimental factor ），简称因素或因子（factor ），通常用A ，B ，C ，D 表示。

•水平（level)因素在试验中所取的不同条件或状态。

若某因素记为A ，则因素A 的个不同水平分别记为。

•处理（treatment ）指对受试对象给予的某种外部干预（或措施），是试验中实施的因素水平的一个组合。

12,,a A A A L α¾基本概念•重复（repetition）在试验中，各处理实施的试验单位数，称为处理的重复数。

•主效应（main effect)某因素单独对试验结果所产生的影响或作用，称该因素的主效应。

•交互效应（interaction)在多因素试验中，两个及以上的因素相互作用，联合对试验结果产生影响或作用，称为交互效应（作用）。

§4.1 基本概念¾基本概念•可控因素（Controllable factor）在试验种可以人为地加以调控的因素，也称固定因素（fixed factor）。

该因素的水平可以准确控制，且水平固定后其效应也固定，进行重复试验时可得到相同的结果。

•非控因素（uncontrollable factor）在试验中不能人为调控的因素，也称随机因素（random factor）。

该因素的水平不能严格控制，或虽水平能控制，但其效应仍为随机变量，进行重复试验时不易得到相同的结果。

§4.1 基本概念¾基本概念•条件误差（conditional error)由试验条件不同所造成的差异，它属于系统误差（systematic error）。

方差分析中又称之为组间误差(between groups)。

•试验误差（test error，random error)试验中各种偶然（随机）原因对试验结果产生的影响，在方差分析中所说的误差均指试验误差，又称之为组内误差(within groups)，通常用E或e表示。

•误差效应（error effect)误差给试验结果带来的影响。

¾概述•单因素方差是仅仅讨论一种试验条件对试验结果有无显著影响的分析。

•单因素方差分析对因素的水平数没有限制，可任意选择，但一般多见的是选3至6个水平。

•单因素方差分析对重复性有要求，重复次数一般应在3次以上。

各水平下的重复次数则可以不同，但这时的计算要复杂一些，精度也相对低一些。

•原假设备择假设不完全相等。

112r :,,H μμμL 012r:H μμμ==L¾重复数相等的单因素方差分析设因素A 的个水平为：，在每一水平下各做次重复试验。

12,,A A A αL r a (2)r ≥。

A2 X21 X22 ………X2r 序号结果水平 1 2 ………r A1 X11 X12 ………X1r Aa Xa1 Xa2 ………Xar¾单因素方差分析的数学模型•（1）模型的结构假设因素的第水平下的理论平均值为，为所有的平均值，即，因素的水平的效应为第i 个处理的第j 个观测值为即数据＝总平均+水平效应+误差效应μμ=−i i a μi A μi 11αμμα==∑i i μεμαε=+=++ij i ij i ijy i A μi A i绝对值小的远多于绝对值大的¾单因素方差分析的数学模型•（1）模型的结构表示水平下第次试验结果关于水平理论均值的试验误差，即在多次试验中，它的取值具有一定的规律性。

i A ij εij ε2()0(0,)ij ij ij E N εεσε=⎧⎪⎨⎪⎩～ij y μi i ij ij iy εμ=−是期望值为0的随机变量ij ε相互独立¾单因素方差分析的数学模型•（1）模型的结构2()0(0,)ij i ij i ij ij ij ijy E N μεμαεεεσε=+=++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪⎩～独相互立方差分析的线性可加模型¾单因素方差分析的数学模型•（1）模型的结构－模型的类型在线性可加模型中，关于部分的假定，由于对有不同的解释产生了固定模型(Ⅰ)、随机模型(Ⅱ)和混和模型（III ）。

固定模型是指各个处理的平均效应是固定的一个常量，且满足，但常数未知；主要是研究并估计处理效应；固定模型中所得的结论仅在于推断关于特定的处理。

§4.2 单因素方差分析i i αμμ=−0i α=∑i αi α012:H αμμμ===L¾单因素方差分析的数学模型•（1）模型的结构－模型的类型随机模型是指各个处理效应不是一个常量，而是从均值为0、方差为的正态总体中得到的一个随机变量，即。

主要是研究并估计总体变异度即方差。

而随机模型中试验结论则将用于推断处理的总体。

混合模型是既包括有固定模型的试验因素，又包括有随机模型的试验因素的模型。

i i αμμ=−2(0,)i i N ασ～2iσ20:0iH σ=¾单因素方差分析的数学模型•（1）模型的结构－固定模型的结构由，可得μεμαε=+=++ij i ij i ij y ..11..11.1.i=11111()11()1 0 11 r r i ij i ij i i j j i i i i i r i i ij j r ij i j i y y r r y y r ar αααααμαεμαεμαεμεαααεεεεεα=========++=++==++=+===∑∑∑∑∑∑∑∑∑i=1其中＝¾单因素方差分析的数学模型•（2）离差平方和的结构()22111122..111122..1111()()()()()rrT ij i ij i j i j rrA i ii i j i j rre ij i iji i j i j SS y y SS y y SS y y αααααααεεαεεεε============⎡⎤=−=+−⎣⎦=−=+−=−=−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑¾单因素方差分析的数学模型•（3）均方差的无偏估计222.222222..22.112.11(0, ) (0, ) (0, )()()()0 () () ()()()(1) E(S )()ij i ij i ij i r ij i i j r A i i i j N N N r rE E E E E E r r E SSe E r S E αασσεσεεασσεεεεσεεαεεασαεε====⇒⇒======⎡⎤⇒=−=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+−⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑Q 2212212(1)()11() =(1)i i ii A A e e r r E SS S E SS S r αααασασαασα===+−⇒==+−−=−∑∑¾单因素方差分析的数学模型•（4）构造原假设和统计量012012221H : = H : =0()0 =11()() 1(1)/1ii A A e A A A e r E SS S SE SS E SS rF S S αααμμμαααασαααα==⇔==⇒⇒=−−⇒−−⇒=→∑L L ＝＝假定原假设成立说明条件误差引起的波动与试验误差引起的波动差不多。

§4.2 单因素方差分析¾方差分析原理与程序•（5）统计量的分布由分布定义可知，当是来自总体的一个子样时，有那么如果原假设是正确的，根据分布的性质，有2χ12,,n y y y L 2(,)N μσ22211()~(1)ni i y y n χσ=−−∑2χ222222.222.2.22.22211()~(1)11()~()~(,)()11()~(1)T ije iji i i A i SS y y ar SS yy ar a y N rr y y SS yy a χσσχσσσμχσσσ=−−=−−−⇒==−−∑∑∑∑∑∑∑Q¾方差分析原理与程序•（5）统计量的分布根据F 分布的定义可知:也即这表明统计量服从F 分布。