2018年北京市延庆区高考一模考试数学试题及答案(文)含答案

延庆区2017—2018学年度高三模拟试卷数学（文科） 2018.3本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{|02},{|10}A x x B x x =≤≤=->，则A B = （A ）{|02}x x ≤≤ （B ）{|12}x x <≤（C ）{|0}x x ≥（D ）{|1}x x >2. 在复平面内，复数21i +的对应点位于的象限是（A ） 第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ）第四象限3. 下列函数在其定义域内是增函数的是（A ）cos y x = （B ）lg(1)y x =+ （C ）x y e -= （D ）1y x =+4. 已知函数()2sin()3f x x πϕ=++,则“23πϕ=”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若x ，y 满足030x y x y x ≤≥≥-⎧⎪+⎨⎪⎩则22x y +的最小值为（A ）0 （B ）3 （C ）4.5 （D ）56. 该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，4，则输出的a 为 （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）147. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （A（B（C（D ）8. 某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）所组成的有序数对(),t P，点(),t P 落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示,且Q 与t 满足一次函数关系，那么在这30天中第几天日交易额最大 （A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为 ． 10. 已知00x ,y >>,且244x y ⋅=，则xy 的最大值为 ． 11. 已知(1,2)(3,，==a b )x ，()+⊥a b a 则x = ．12. 无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,需要在报名的2名男教师和3名女教师中，选取2人参加无偿献血，则恰好选中一名男教师和一名女教师的概率为 ． 13. 已知()f x ，()g x 在定义域内均为增函数，但()()f x g x ⋅不一定是增函数，例如当()f x = 且()g x = 时，()()f x g x ⋅不是增函数.正（主）视图侧（左）视图俯 视 图（7题图） 5tPO 302010652314. 有4个不同国籍的人，他们的名字分别是A 、B 、C 、D ，他们分别来自英国、美国、德国、法国（名字顺序与国籍顺序不一定一致）. 现已知每人只从事一个职业，且：(1)A 和来自美国的人他们俩是医生； (2)B 和来自德国的人他们俩是教师； (3)C 会游泳而来自德国的人不会游泳； (4)A 和来自法国的人他们俩一起去打球.根据以上条件可推测出A 是来自 国的人，D 是来自 国的人.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中数列{}n b 的前n 项和为n S ，11a =-，11b =，222a b +=，335a b +=.（Ⅰ）求{}n b 的通项公式和前n 项和n S ；（Ⅱ）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 16.（本小题满分13分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A A =0，a b =2. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）求边c 及△ABC 的面积.17.（本小题满分13分）为了鼓励市民节约用电，某市实行“阶梯式”电价，将每户居民的月用电量分为二档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户，为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年7月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）试估计该小区今年7月份用电费用不超过260元的户数；（Ⅲ）估计7月份该市居民用户的平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．18.（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是正方形，AB ⊥平面BEC ，BE EC ⊥，2BE EC ==，点,G H 分别是线段,BE EC 的中点，点,F N 分别是线段,CD BC 的中点.（Ⅰ）求证：//GH 平面ADE ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面ENF ；（Ⅲ）在线段CD 上是否存在一点P ，使得D AEP V -=DP 的长，若不存在，请说明理由.19.（本小题满分13分）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过点(0,，且离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线:1,()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点G 9,04⎛⎫-⎪⎝⎭与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数x e x f x -=)(（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当[]0,2x ∈时,不等式ax x f >)(恒成立,求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设()()g x f x ax =-，当函数()g x 有且只有一个零点时,求a 的取值范围.延庆区2017-2018学年度一模考试数学文评分标准一、选择题：C DBA CBDB 二、填空题：9. 12y x =±10. 12 11. -4 12. 3513. 答案不唯一 14.英, 德（第一空3分，第二空2分）13题参考答案：3,;,;,ln ;,lg ;,xx x x x x x x x x e三、解答题：15．（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为(0)q q ≠， ………1分则1(1)n a n d =-+-，1n n b q-=(0.0010.0030.004)1001a=0.002a +++⨯=解得⎩⎨⎧=++-=++-,5)21(,2)1(2q d q d 解得⎩⎨⎧==21q d 或⎩⎨⎧==03q d （舍去）. ………4分 所以12n n b -= ，.122112nn n S -==-- ………7分 （Ⅱ） 1(1)2n a n n =-+-=-， ………8分122log 2log 223n n n n c a b n n -=+=-+=- ………10分显然，数列{}n c 是首项为-1，公差为2的等差数列 ………11分 所以，2(123)22n n T n n n -+-==-. ………13分16．（Ⅰ）由sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ………2分 即()ππ3A k k +=∈Z ， ………3分 又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =. ………5分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅， ………6分又∵12,cos 2a b A ===- ………8分代入并整理得()2125c +=，故4c =； ………11分11sin 2422S bc A ==⨯⨯= ………13分17.（Ⅰ）………3分（Ⅱ）当用电量为400度时，用电费用为2000.5+2000.8100160260⨯⨯=+=元 所以此100户居民中用电费用超过260元的户数为0.0001100100=10⨯⨯户 所以此100户居民中用电费用不超过260元的户数为90户 ………7分 所以该小区1000户居民中用电费用不超过260元的户数为900户………8分 （Ⅲ）该市居民平均用电费用为(1500.32000.7)0.5(500.41500.22500.1)0.8152.5⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=元………13分18.（Ⅰ）如图，点,G H 分别是线段,BE EC 的中点所以点GH 是BEC ∆的中位线，所以//GH BC ， ………1分 由ABCD 是正方形得，AB CD =， //AD BC ，所以 //GH AD ，……2分 又AD ⊂平面ADE ，GH ⊄平面ADE 所以//GH 平面ADE ………4分 （Ⅱ）如图，点,F N 分别是线段,CD BC 的中点 所以FN 是BCD ∆的中位线，所以//FN BD ， 由ABCD 是正方形得，A C B D ⊥，所以AC FN ⊥， ………6分又因为 BE EC =，点N 是BC 的中点 所以EN BC ⊥. ………7分 又因为 AB ⊥平面BEC ，EN ⊂平面BEC .EN AB ⊥ ABBC B =，EN ⊥平面ABCD ………8分AC ⊂平面ABCD ,EN AC⊥ ………9分FNEN N =,AC ⊥平面ENF ； ………10分（Ⅲ）假设在线段CD 上存在一点P，使得D AEP V -=设DP a =,D AEP E ADP V V --= ………11分13E ADP ADP V S -=4ADP S ∴= ………12分142，ADP S AD DP =⨯=所以DP的长为 ………14分19．（Ⅰ）由已知 解得所以椭圆E的方程为22142x y += . ………4分（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x .222b ca ab c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩由221142得x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()222230m y my +--=, ………6分 所以1212222322m y y ,y y m m -+==++ ………7分方法一：从而022my m =+. ………8分所以222222200000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216x =++=++=. …10分22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--==22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-,故 ………12分222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外. ………13分方法二：1212121299554444GA GB x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅++=+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…9分()()()22121222525352251141641622=m m m y y m y y m m m -++++=+⋅+⋅+++ ()()22222248484025501720162162=m m m m m m --++++=>++ ………12分说明AGB ∠为锐角，故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外. ………13分20.（Ⅰ）,1)('-=x e x f 所以切线的斜率()00k f '== 又因为()01f =， ………2分 所以切线方程为 1y =. ………3分 （Ⅱ）由ax x f >)(得x e x a <+)1(.当0=x 时， 上述不等式显然成立，故只需考虑]2,0(∈x 的情况.……4分将xe x a <+)1(变形得1-<xe a x………5分 令1)(-=x e x g x ，2)1()('xe x x g x-= ………6分 令0)('>x g ，解得1>x ；令0)('<x g ，解得.1<x从而)(x g 在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增. ………8分 所以,当1=x 时，)(x g 取得最小值1-e ，从而所求实数的取值范围是)1,(--∞e . ………9分 （Ⅲ）法一：令()0,0x g x e x ax =--=即1.当0x =时，()0g x ≠，函数()g x 无零点. ………10分2.当0x ≠时，0xe x ax --=，即1xe a x=- 令()1xe T x x=-，2(1)()x e x T x x -'=………11分令2(1)()0x e x T x x-'==，则1x = ………12分由题可知，当1a <-，或1a e =-时，函数()g x 有一个函数零点. ………14分 法二：()()(1)x g x f x ax e a x =-=-+()(1)x g x e a '=-+ ………10分令()0,(1)0x g x e a '=-+=1.当10a +=，即1a =-时，()0g x '>函数()0x g x e =>，无零点 ………11分2. 当10a +<，即1a <-时，()0g x '>，函数()(1)x g x e a x =-+在定义域上单调递增，(0)10g =>，111()101a g e a+=-<+故函数()g x 有一个零点. ………12分 3. 当10a +>，即1a >-时，()0g x '=，此时，ln(1)x a =+()()()()ln 1ln 11ln 1g a a ea a ++=-++⎡⎤⎣⎦[](1)1ln(1)a a =+-+ 由题可知，当[]ln(1)0g a +=时，函数()g x 有一个零点.∵10a +>，故1ln(1)0a -+=，即1a e =- ………13分 综上，当1a <-，或1a e =-时，函数()g x 有一个函数零点. ………14分。