常系数线性常微分方程复习

方程的通解为 y = c1e−t + c2 cos 2t + c3 sin 2t + t(c4 cos 2t + c5 sin 2t)
三、常系数线性非齐次常微分方程的解法
y(n) + a1 y(n−1) + " + an−1 y′ + an y = f (t)
其中 a1，a2，"，an 是常数，f(t)为连续函数。
则方程的通解为 y = c1eα t cos β t + c2eα t sin β t + c3eλ3t +" + cneλnt
例 求齐次微分方程 2 y′′′ + 3y′′ + 8y′ − 5y = 0 的通解
特征方程 2λ3 + 3λ 2 + 8λ − 5 = 0 求出特征方程的根为 λ 1= 1/ 2，λ 2= λ 3= −1 ± j2
上述一阶微分方程的特解为 uCf (t) = 1V 。
全解为
由初值定积分常数：
uC (t) = uCe (t) + uCf (t) = 1+ Ce− t
uC (0+ ) = 2 = 1+ C → C = 1
所以
uC (t) = 1+ e− t V (t ≥ 0)
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例2 iL(t) 。
然后将其代入方程来确定所猜的函数中的系数。
例 求方程 (3 − t) y′′ + (t − 2) y′ − y = t2 − 6t + 6 的一个特解。
通过观察可知 y = at2 + bt + c 可能是上述方程的一个特解，将其代入方程得
(3 − t)(2a) + (t − 2)(2at + b) − (at2 + bt + c) = t2 − 6t + 6
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常系数线性常微分方程复习
一、常系数线性常微分方程的形式和名词解释
1．n 阶常系数线性常微分方程的标准形式为：
y(n) + a1 y(n−1) + " + an−1 y′ + an y = f (t)
其中 a1，a2，"，an 是常数，f(t)为连续函数 2．n 阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解，叫作一般解（通解）。3．微分方程不 含任意常数的解，叫作特解。 4．把微分方程与初始条件合在一起叫作微分方程的初值问题。初值问题的解是既满足
at2 − 6at + (6a − 2b − c) = t2 − 6t + 6
⇒ a = 1 , c = −2b
取 b = 0，则 c = 0，于是 y = t2 是方程的一个特解
常见函数 f(t) 所对应的特解函数类型
f(t)（自由项）
特解的函数类型
C（常数）
C1（常数）
eat
Ceat
a≠齐次方程特征方程的特征根
第 3 步：将自由分量与强制分量相加，得到待求常系数线性非齐次常微分方程的通解； 第 4 步：根据初始条件确定通解中的待定系数，从而得到满足方程初值问题的解。
求常系数线性非齐次微分方程的一个特解（强制分量），可用待定系数法。
待定系数法 根据方程等式右端自由项 f(t)的函数类型，猜想它的特解是何种函数类型（包括常数），
（3）全解为
iL (t) = iLe (t) + iLf (t) = 1+ Ke−100t sin(100t +θ )
（4）由初值定积分常数
iL
(0+
)
=
iL
(0−
)
=
2A
，
uC
(0+
)来自百度文库
=
uC
(0−
)
=
0
（已知）
diL dt
0+
=
1 L
uL (0+ )
=
1 L
uC
(0+ )
=
0
diL = −100Ke−100t sin(100t +θ ) +100Ke−100t cos(100t + θ ) dt
解的形式为 y = y(t) + Y (t) 。其中： y(t ) 是方程对应的常系数线性非齐次常
微分方程 y (n) + a1 y (n−1) + " + an−1 y′ + an y = 0 的通解。Y(t)是常系数非齐次常微分方程的
任何一个特解。
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求解步骤： 第 1 步：求方程对应的常系数线性齐次常微分方程的通解（称作自由分量）； 第 2 步：求常系数线性非齐次常微分方程的任一个特解（称作强制分量）；
λ n + a1λ n−1+ " + an−1λ + an = 0
2．求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。 3．根据求得的特征方程的 n 个特征根可得到微分方程的 n 个线性无关的一般解（根的
形式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有 n 个互异的实根 λ1， λ2 ，"，λn。
则方程的通解为 y = c1eλ1t + c2eλ2t +" + cneλnt 例 求齐次微分方程 y′′ − 2 y′ − 3y = 0 的通解
微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次常微分方程的解法
y(n) + a1 y(n−1) + " + an−1 y′ + an y = 0
其中 a1，a2，"，an 是常数，等号右端自由项为零。 1.求常系数线性齐次常微分方程的特征方程（只要将常系数线性齐次常微分方程式中的 y(k)换写成 λk，k = 0，1，"，n，即得其特征方程）。
二阶电路如图所示。已知 iL(0－)=2A，uC(0－)=0，R=50Ω，L=0.5H，C=100μF。求
S t=0 +
50V −
R
iR
+
+
L uL C uC
iL − iC −
解 以 iL 为变量列出微分方程：
d2iL dt 2
+ 200 diL dt
+ 2 ×104 iL
=
2 ×104
（1）求通解(自由分量) 特征方程为
sin at ， cos at
C1 sin(at + C2 )或 C1 sin at + C2 cos at
±j a≠齐次方程特征方程的特征根
tk
C1t k + C2t k−1 + " + Ck t + Ck+1
求特解也可用常数变易法，可参考线性常微分方程的相关资料1。
如果 f(t)为指数或者正余弦函数，同时其指数系数或正余弦系数等于齐次方程特征方程 的特征根，则非齐次方程的特解也需要通过常数变易法来求得。
2 × i + uC = 2 ， uC = 2i2
由电容的元件特性，有
i = i1 + i2
i1
=
duC dt
上述两个方程中，消去电流 i、 i1 和 i2 ，可得以 uC 为未知量的方程：
上述一阶微分方程的特征方程为
duC dt
+ uC
=1
特征根为 λ = −1 ，则通解为
λ +1= 0
uCf (t) = Ce− t
电压 uC。
2Ω
+
2V −
+
S
1F uC
−
2Ω
解 换路前电路处于稳态，此时电容相当于开路，则 uC (0− ) = 2V 。 换路后，由换路定则有 uC (0+ ) = uC (0− ) = 2V 。
换路后的电路如图所示，列写其方程。
2Ω
+
2V −
i
i1
i2
+
1F uC
2Ω
−
由 KVL，有
由 KCL，有
λ 2 + 200λ + 20000 = 0
特征根为 λ1,2 = −100 ± j100 。通解为
iLf (t) = C1e−100 t sin100 t + C2e−100 t cos100 t = Ke−100 t sin(100t + θ )
（2）特解（强制分量，稳态解）为
iLe (t) = 1A
特征方程 λ 2− 2λ − 3 = 0 ，求出特征方程的根 λ 1= −1， λ 2= 3
方程的通解 y = c1e3t + c2e−t
(2) 特征方程有 n 个实根，但存在重根（设λ0 是方程的 k 重根）。
则方程的通解为
y
=
(c1
+
c2t
+"+
ckt k −1)eλ0t
+
c eλk+1t k +1
+" +
cneλnt
例 求齐次微分方程 y′′′ + 3y′′ − 4 y = 0 的通解
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特征方程 λ 3+ 3λ 2− 4 = 0 ，求出特征方程的根为 λ 1= 1，λ 2= λ 3= −2
方程的通解为
y = c1et + c2e−2t + c3te−2t
(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明） a. 存在 1 对不重复的复数根 a ± jβ ，n-2 个互异的实根。
方程的通解为 y = c1et / 2 + c2e−t cos 2t + c3e−t sin 2t
b. 存在 2 对重复的复数根 a ± jβ ，n-4 个互异的实根。
则方程的通解为 y = c1eα t cos β t + c2eα t sin β t + c3teα t cos β t + c4teα t sin β t + c5eλ5t +" + cneλnt
例 求齐次微分方程的通解 y(5) + y(4) + 4 y(3) + 4 y(2) + 4 y′ + 4 y = 0
特征方程 λ 5+ λ 4+ 4λ 3+ 4λ 2+ 4λ + 4 = 0 ⇒ (λ + 1)(λ 2+ 2)2 = 0
求出特征方程的根
λ 1= −1 λ 2= λ 3= ± j 2 （二重根）
1 郑钧，《线性系统分析》，科学出版社，1978 年。 王高雄等，《常微分方程》（第二版），高等教育出版社，1983 年。 居余马等，《高等数学》第 II 卷，清华大学出版社，1996 年。
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四、电路应用的例子
例 1 一阶电路如图所示，换路前电路已达稳态。t=0 时闭合开关 S。求换路后的电容
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⎧⎪iL (0+ ) = 2 → 1+ K sinθ = 2
⎨ ⎪⎩
diL dt
0+ = 0
→
−100K sinθ +100K cosθ = 0
解得 K = 2 ，θ = 45° 。所以全解为
iL (t) = iLe (t) + iLf (t) = 1+ 2e−100 t sin(100t + 45°) A (t ≥ 0)