【附15套精选模拟试卷】湖南省百所重点名校大联考2020届高三高考冲刺数学(理)试卷含解析

湖南省百所重点名校大联考2020届高三高考冲刺数学（理）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若两个正实数,x y
满足141x y +=，且不等式2y
x m 3m 4
+<-有解，则实数m 的取值范围( ) A ．()1,4- B ．()(),14,∞∞--⋃+
C ．
()4,1-
D ．
()(),03,∞∞-⋃+
2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()()1,,2,A a B b --，且
3sin22cos αα=，则a b -=（ ）
A ．22
B ．2
4 C ．322
D ．2
3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，(2sin 3cos )3cos a B C A -=，点D 是边BC 的中点，且13
2
AD =
，则ABC ∆的面积为（ ） A ．3 B ．3
2 C ．3或2
3 D ．334或
3
4．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x
x
x x <恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．e
B ．e
C ．1
e
D ．1
5．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
223
B ．20
C ．206+
D ．2010+ 6．等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知集合22{|log (4)}M x y x x ==--，1{|()4}2
x
N x =≥，则M N =I （ ）
A ．(4,2]--
B ．[2,0)-
C ．(4,2]-
D ．(,4)-∞- 8．若
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A ．1
B ．
C ．4
D ．2
9．已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为12e ,e ，则
2212
11
e e +=（ ） A ．3
2 B ．2 C ．5
2 D ．4
10．已知ln 0a b -=，1c d -=，则（22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
11．已知2()4f x x =
-，()2g x x =-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()h x f x g x =+是偶函数
B ．()()()h x f x g x =是奇函数
C ．()()
()2f x g x h x x
=
-是偶函数
D ．
()
()2()f x h x g x =
-是奇函数
12．函数()24
41
2x f x x -+=的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量
(sin2,cos)
aθθ
=
r
，
(cos,1)
bθ
=
r
，则“//
a b
r r
”是“
1
tan
2
θ=
”成立的条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .
14．如图，已知圆柱和半径为3的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱体积的最大值为_______．
15．已知实数0
a<，函数()sin23cos2
f x a x a x
=-的定义域为
[0,]
2
π
，若该函数的最大值为1，则a 的值为__________．
16．已知奇函数
()
y f x
=的图象关于直线x=2对称，且()2
f m=，则(4)
f m-=__________
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系
xOy中，曲线1C的参数方程为
1cos
sin
x
y
α
α
=+
⎧
⎨
=
⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（
[)
0,0,2
ρθπ
>∈
），点A为曲线1
C
上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足8
OA OB
⋅=
，点B的轨迹为2
C。

求12
,
C C
的极坐标方程；设点C的极坐标为
2,
2
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭，求ABC
∆面积的最小值。

18．（12分）已知公比为正数的等比数列
{}
n
a
，首项1
3
a=
，前n项和为
()*
n
S n N
∈
，且33
S a
+
，55
S a
+
，44
S a
+
成等差数列.求数列
{}
n
a
的通项公式；设6
n
n
na
b=
，求数列
{}
n
b
的前n项和
()*
n
T n N
∈
19．（12分）如图：在ABC
∆中，10
a=，4
c=，
5
cos
5
C=-.
求角A；设D为AB的中点，求中线CD的长.
20．（12分）在ABC
∆中，内角,,
A B C的对边分别为,,,3
a b c a=，
1
cos
15
C=-，
()()
5sin3sin
B C A C
+=+．
()1求边c ；
()2求sin 3B π⎛
⎫- ⎪
⎝⎭的值．
21．（12分）如图：在三棱锥P ABC -中，PB ABC ⊥平面，ABC ∆是直角三角形，
902B AB BC ∠=︒==，，
45PAB ∠=︒，点D E F 、、分别为AC AB BC 、、的中点.
求证：EF PD ⊥；求直线PF 与平面PBD 所成角的大小；
求二面角E PF B --的正切值.
22．（10分）如图，D 是直角ABC V 斜边BC 上一点，3AC DC =．
(Ⅰ)若60BAD ∠=o ，求ADC ∠的大小；
(Ⅱ)若2BD DC =，且6AB =，求AD 的长．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．A 8．A 9．B 10．C 11．D
12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．必要不充分 14．2π
15
．
3-
16．2-
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (Ⅰ) 1C :2cos ρθ=;2C :cos 4ρθ=(Ⅱ)2 【解析】 【分析】
（1）由曲线C 1的参数方程能求出曲线C 1的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；设点B 的极坐标为（ρ，θ），点A 的极坐标为（ρ0，θ0），则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，从而ρ•ρ0＝8，由此能求出C 2的极坐标方程．
（2）由|OC|＝2，S △ABC ＝S △OBC ﹣S △OAC 1
2
=|OC|•|ρB cosθ﹣ρA cosθ|＝|4﹣2cos 2θ|，由此能求出S △ABC 的最小值． 【详解】
（1）∵曲线C 1的参数方程为1x cos y sin α
α
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），
∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 2﹣2x ＝0， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，
设点B 的极坐标为（ρ，θ），点A 的极坐标为（ρ0，θ0）， 则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0， ∵|OA|•|OB|＝8，∴ρ•ρ0＝8， ∴
8
2cos θρ
=，ρcosθ＝4，
∴C 2的极坐标方程为ρcosθ＝4． （2）由题设知|OC|＝2， S △ABC ＝S △OBC ﹣S △OAC 1
2
=
|OC|•|ρB cosθ﹣ρA cosθ|＝|4﹣2cos 2θ|， 当θ＝0时，S △ABC 取得最小值为2． 【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（Ⅰ）a n ＝6×（12）n ，（Ⅱ）T n ＝2﹣（n+2）•（1
2
）n 【解析】 【分析】
（Ⅰ）设公比为q ＞0，由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q ，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得b n n na 6=
=n•（1
2
）n ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和． 【详解】 （Ⅰ）a n ＝6×（
12）n ，（Ⅱ）T n ＝2﹣（n+2）•（12
）n 依题意公比为正数的等比数列{a n }（n ∈N *），首项1a ＝3，
设a n ＝3q n ﹣
1，
∵33S a +，55S a +，44S a +成等差数列， ∴2（55S a +）＝33S a ++44S a +
即2（12345a a a a 2a ++++）＝(123a a 2a )+++（1234a a a 2a +++）， 化简得45a ＝3a ，
从而4q 2＝1，解得q ＝±1
2
， ∵{a n }（n ∈N *）公比为正数，
∴q 1
2
=
，a n ＝6×（12）n ，n ∈N*；
（Ⅱ）b n n na 6==n•（1
2）n ，
则T n ＝1•（12）+2•（12）2+3•（12）3+…+（n ﹣1）•（12）n ﹣
1+n•（12
）n ，
12T n ＝1•（12）2+2•（12）3+3•（12）4+…+（n ﹣1）•（12）n +n•（1
2
）n+1， 两式相减可得12T n 12=+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）n ﹣n•（1
2
）n+1
n 11
122112
⎛⎫-
⎪
⎝⎭=
--n•（12
）n+1，
化简可得T n ＝2﹣（n+2）•（12
）n ． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．
19．（1）4
A π
=；（2
【解析】 【分析】
（1）通过cos C 求出sin C 的值，利用正弦定理求出sin A 即可得角A ；（2）根据()sin sin B A C =+求出sin B 的值，由正弦定理求出边b ，最后在ACD ∆中由余弦定理即可得结果. 【详解】 （1
）∵cos 5
C =-
，∴sin C ===
由正弦定理sin sin a c A C
=
，即sin A =
.
得sin A =
cos 05
C =-<，∴C 为钝角，A 为锐角， 故4
A π
=
.
（2）∵()B A C π=-+，
∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=
+252510⎛⎫=
⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. 由正弦定理得sin sin b a B A
=
2
=
b =在ACD ∆中由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC A =+-⋅
⋅242222
=+-⨯=，
∴CD =.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题. 20．（1）6；（2
）518
-. 【解析】 【分析】
()1运用诱导公式和正弦定理可得53a b =，求得5b =，再由余弦定理计算可得c 6=,由余弦定理计算
cos B ，再由同角的平方关系可得sin B ，运用两角差的正弦公式，计算即可得到所求值．
【详解】
()13a =，1cos 15
C =-
， ()()5sin 3sin B C A C +=+，
即为5sin 3sin A B =， 可得53a b =，5b =，
2222cos c a b ab C =+-
19252353615⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
解得6c =；
()222369255
2cos 22369
c a b B ac +-+-=
==⨯⨯，
sin B ==
可得1
sin cos 32B B B π⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭
1529=
⨯-
=
． 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和差的正弦公式，以及同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．
21．（1）证明见解析；（2）arcsin 10
；（3. 【解析】
试题分析：以,,BA BC BP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.（1）计算0EF PD ⋅=u u u r u u u r
，可得两直线垂直；（2）计算直线PF 的方向向量和平面PBD 的法向量，可求得线面角的余弦值，用反三角函数表示出这个角的大小；（3）分别求出平面EPF ，平面BPF 的法向量，利用法向量求两个平面所成角的余弦值，然后转化为正切值. 试题解析：
解法一（1）连接BD 。

在ABC ∆中，90B ∠=︒.
AB BC =Q ，点D 为AC 的中点，
∴BD AC ⊥.
又PB ABC ⊥Q 平面，即BD 为PD 在平面ABC 内的射影，∴PD AC ⊥.
E F Q 、分别为AB BC 、的中点，
∴//EF AC ， ∴EF PD ⊥.
（2）PD ABC ⊥Q 平面，∴PB EF ⊥.
连结BD 交EF 于点O ，,EF PB EF PD ⊥⊥，∴EF PBD ⊥平面， ∴FPO ∠为直线与PF 平面PBD 所成的角，EF PO ⊥.
PB ABC ⊥Q 面，∴,PB AB PB BC ⊥⊥，又45PAB ∠=︒Q ，
∴2PB AB ==.12
42
OF AC =
=
Q ，∴225PF PB BF =+= ∴在Rt EPO ∆中，10sin 10OF FPO PF =
=
，∴10
arcsin 10
FPO ∠=， 即直线PF 与平面PBD 所成角的大小为10
. （3）过点B 作BM PF ⊥于点M ，连结EM ，,AB PB AB BC ⊥⊥Q ， ∴AB PBC ⊥平面，即BM 为EM 在平面PBC 内的射影，
EM PF ⊥，∴EMB ∠为二面角E PF B --的平面角.
∴Rt PBF ∆中，·5
PB BF BM PF =
=， ∴5tan EB EMB BM =
=
E P
F B --5
. 解法二 建立空间直角坐标系B xyz -，如图
则()()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2B A C D E F P .
（1）∴()()1,1,0,1,1,2EF PD =-=-u u u r u u u r
，
∴·110EF PD =-+=u u u r u u u r
， ∴EF PD ⊥.
（2）由已知可得()1,1,0EF =-u u u r
，为平面的法向量，
，
∴·cos ,·PF EF PF EF PF EF
===u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r
∴直线PF 与面PBD
. ∴直线PF 与面PBD
所成角的为arcsin
. （3）设平面PEF 的一个法向量为(),,a x y z =r
，
∴()()1,1,0,0,1,2EF PF =-=-u u u r u u u r
，
∴·0,?20a EF x y a PF y z =-+==-=u u u r u u u
r r r ，令1z =， ∴()2,2,1a =r
.
由已知可得，向量()2,0,0BA =u u u r
为平面PBF 的一个法向量，
∴·42cos ,323
·a BA a BA a BA ===⨯u u u r r u u u r r
u u u r r
，
∴tan ,2
a BA =u u u
r r .
∴二面角E PF B --
. 考点：空间线面关系的证明，求面面角.
22．(Ⅰ)120(o Ⅱ【解析】 【分析】
(Ⅰ)由已知可求DAC 30∠=o ，在ADC V 中，由正弦定理可得sin ADC 2
∠=，即可解得
ADC 120∠=o ．
(Ⅱ)由已知在ABC V 中，由勾股定理可得DC 1=，BD 2=，AC =，令ADB θ∠=，由余弦定理2
6AD 44ADcos θ2
3AD 12ADcos θ=+-⎧⎪=++⎨⎪⎩
，即可解得AD 的值．
【详解】
(Ⅰ)BAD 60∠=o Q ，BAC 90∠=o ，
DAC 30o ∠∴=，
在ADC V 中，由正弦定理可得：
DC AC
sin DAC sin ADC
∠∠=，
AC sin ADC sin DAC DC ∠∠∴=
=
， ADC 120∠∴=o 或60o ，
又BAD 60∠=o ，ADC 120∠∴=o
(Ⅱ)BD 2DC =Q ，
BC 3DC ∴=，
在ABC V 中，由勾股定理可得：222BC AB AC =+，可得：229DC 63DC =+，
DC 1∴=，BD 2=，AC =，
令ADB θ∠=，由余弦定理：
在ADB V 中，222AB AD BD 2AD BD cos θ=+-⋅⋅， 在ADC V 中，()2
2
2
AC AD CD 2AD CD cos πθ=+-⋅⋅-，
可得：2
6AD 44ADcos θ2
3AD 12ADcos θ=+-⎧⎪=++⎨⎪⎩
，
∴
解得：2AD 2=，可得：AD =
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于
中档题．
青岛第二十六中学2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过x 轴正半轴上一点0(,0)M x ，作圆C
：22(1x y +-=的两条切线，切点分别为A ，B
，若
AB ≥0x 的最小值为（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．3
2．将函数y=2sin （ωx+π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2
B ．1
C ．12
D ．1
4
3．已知双曲线2222:1x y C a b -=(,0)a b >
满足b a =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的
方程为
A ．22145x y -=
B ．221810x y -=
C ．22
1
54x y -=
D ．22
143x y -=
4．已知集合{1,2,3,4,5}A =,1212{|,,}B y y x x x A x A ==+∈∈，则A B =I （ ） A ．
{}1,2,3,4,5
B ．
{}2,3,4,5
C ．
{}3,4,5 D ．{}4,5
5．已知函数()2
2
cos sin (6f x x x π
=++
），则（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π,最小值为1
2
B ．()f x 的最小正周期为π,最小值为1
-2
C ．()f x 的最小正周期为2π,最小值为1
2
D ．()f x 的最小正周期为2π,最小值为1
-2
6．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是( )
A ．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟
B ．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高
C ．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80
D ．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟． 7．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
8．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表
示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（ ）
附：若
，则
，
A ．171
B ．239
C ．341
D ．477
9．已知函数()()2(0,0)sin =+>>f x ωx φωφ的最小正周期为π，且()4⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
πf x f ，则φ的最小值为（ ）
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．2π
10．已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>的最小正周期为π，且12
x π
=是函数()f x 图象的一条对称
轴，则()f x 的最大值为（ ） A ．1
B ．2
C ．5
D ．2
11．已知函数f （x ）=x 2-ln|x|，则函数y=f （x ）的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图所示的程序框图是为了求出满足的最大正整数的值，那么在
和
两
个空白框中，可以分别填入（ ）
A ．“”和“输出”
B ．“”和“输出”
C ．“
”和“输出
”
D ．“”和“输出”
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知圆
22
:210C x y x +--=，直线:34120l x y -+=，在圆C 内任取一点P ，则P 到直线的距离大于2的概率为__________． 14．已知函数
()2f x kx x
=+，
()2
g x x =，
()()()
1ln 1h x x x =++，若当
[]
1,x e ∈时，不等式组
()()
()()2f x g x f x x h x ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩恒成立，则实数k 的取值范围为__________．
15．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为________．
16．已知函数()sin()(0)
3f x x π
ωω=->的最小正周期为π，若将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，
则所得函数图像的一条对称轴为__________．（任意写出一条即可）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2
sin .x t y t =⎧=⎨⎩
(
t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()()1
sin cos 2
a a R ρθθ-=
∈． ()1写出曲线1C 的普通方程和直线2C 的直角坐标方程；
()2若直线2C 与曲线1C 有两个不同交点，求a 的取值范围．
18．（12分）设数列{}
n a 是等差数列，数列
{}
n b 的前n 项和
n
S 满足
()
231n n S b =-且
11
a b =，
42
a b =.
求数列
{}
n a 和
{}
n b 的通项公式；求
{}
n n a b ×的前n 项和n T .
19．（12分）已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋
2x
.求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；已知
△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A
满足π26A f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，且sin sin B C +=
，求bc 的值．
20．（12分）已知直线l 过点()1,0P ，且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
()1求圆C 的直角坐标系方程及直线l 的参数方程； ()2若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求
11
PA PB
+的最大值和最小值．
21．（12分）已知函数
ln ()x
f x ax x =
-，曲线(y f x =）在1x =处的切线经过点(2,1)-.求实数a 的值；设
1b >，求()f x 在区间1
[,]
b b 上的最大值和最小值.
22．（10
分）在平面直角坐标系中，已知曲线
2:1x t C y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（t 为参数），
22
:40M x y x +-=.以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.写出曲线C 与圆M 的极坐标方程；在极坐标系中，已知
射线
()
:0l θαρ=≥分别与曲线C 及圆M 相交于,A B ，当
0,2
πα⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭时，求OMB
OMA S S ∆∆的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 2．B 3．A 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B
9．D 10．D 11．A 12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．324ππ+
14．[2,2]e - 15．30
16．
π6x =
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）1C 的普通方程为()2
111y x x =--≤≤，2C 的直角坐标方程为102ax y -+=，
（2）11
,.22
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
()1利用平方关系消去参数t 可得1C 的普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=可得2C 的直角坐标方程； ()2根据直线的斜率可得．
【详解】
解：()1曲线1C 的普通方程为()2
111y x
x =--≤≤，
把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()1cos sin 2
a ρθθ-=
， 得直线2C 的直角坐标方程为12y ax -=，即1
02
ax y -+=，
()2由直线2C ：102ax y -+=，知2C 恒过点1
0,2
M ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由()2
111y x
x =--≤≤，当0y =时，得1x =±，
所以曲线1C 过点()1,0P -，()1,0Q ，
则直线MP 的斜率为11
012102k -
=
=--， 直线MQ 的斜率21012102
k -
=
=--， 因为直线2C 的斜率为a ，且直线2C 与曲线1C 有两个不同的交点，
所以21k a k ≤≤，即1122
a -
≤≤， 所以a 的取值范围为11,.22⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦ 【点睛】
本题考查了参数方程与直角坐标方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，属中档题．
18．（1）21n a n =+,3n
n b =；（2）13n n +⋅.
【解析】 【分析】
（1）利用项和公式求数列{}n b 的通项公式，再求数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法求{}n n a b ×的前n 项和n T . 【详解】
（1）由()231n n S b =-，当1n =时，13b =， 当2n ≥时，()11231n n S b --=-，
()()112223131n n n n n b S S b b --=-=---，
即13n n b b -=，∴n b 是首项为3，公比为3的等比数列，
所以数列{}n b 的通项公式为3n
n b =，
又因为数列{}n a 是等差数列，且113a b ==，429a b ==， 所以41
23
a a d -=
=， 可得数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.
（2）123433537393(21)3n
n T n =⋅+⋅+⋅+⋅+++⋅L ①
23451333537393(21)3n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅+++⋅L ②
①-②得(
)1
2341
23323333
(21)3
n
n n T n +-=⋅+++++-+⋅L
()1119312332
(21)331
n n n T n -+--=⋅+-+⋅-，
整理得1
3n n T n +=⋅.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求等比数列的通项，考查错位相减法求数列的前n 项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．（1）f(x)的最小正周期为T ＝π，f(x)的单调递减区间为7,(Z)12
12k k k π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
（2）40 【解析】 【分析】
（1）先利用二倍角公式和辅助角公式得到π()2sin 23f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再利用三角函数的周期公式和单调性进行求解；（2
）先利用π26A f ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭求得角A ，再利用正弦定理和余弦定理进行求解． 【详解】
(1)2
π()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛
⎫=+=+=+ ⎪⎝
⎭
， 因此f(x)的最小正周期为T ＝
22
π
＝π. ππ3π2π22π()232
k x k k +++∈Z 剟．
即f(x)的单调递减区间为π7ππ,π(Z)1212k k k ⎡
⎤
+
+∈⎢⎥⎣
⎦
． (2)
由πππ2sin 22sin 26263A A f A ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=-+
== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦A 为锐角，则A ＝π
3
.
由正弦定理可得
2sin sin 214a b c R B C A R +=
==+==， 则b ＋c
＝
14＝13， 又22222()21
cos 222
b c a b c bc a A bc bc +-+--===，可求得bc ＝40.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及三角恒等变换，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．解决本题的关键在于恰当利用正弦定理的变形进行边角转化，正弦定理“
2sin sin sin a b c R A B C
===（2R 是ΔABC 外接圆的直径）”的变形主要有： （1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R
=
==； （3）::sin :sin :sin a b c A B C =；
（4）
sin sin ,sin sin a B b A
b B A a =
=.
20．（1）()2
2
24x y -+=,1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩
（t 为参数）；（2）最大值为43
【解析】 【分析】
（1）直接代极坐标公式求出圆C 的直角坐标方程，写出直线l 的参数方程.(2)利用直线的参数方程t 的几
何意义求11
PA PB
+的最大值和最小值. 【详解】
（1）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，即22
4x y x +=，
所以圆C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=，
直线l 的参数方程为1,
x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．
（2）将1,x tcos y tsin αα
=+⎧⎨=⎩代入()2
224x y -+=，
得22cos 30t t α--=，()2
2cos 120t α∆=+>， 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，
则
1212
11
AB t t PA PB PA PB t t -+==⋅
=
，
因为[]
cos 1,1α∈-，
所以11PA PB +的最大值为4
3． 【点睛】
(1)本题主要考查极坐标参数方程和直线的参数方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数t 的几何意义是这样的：如果点A 在定点的上方，则点
对应的参数
就表示点
到点
的距离
,即
.如果点在定点
的下方，则点B 对应的参数
B
t 就表示点B 到点P 的距离||
PB 的相反数，即
B t PB
=-.
21．（1）1；（2）最大值-1，最小值1
ln b b b
-- 【解析】 【分析】
（1）根据导数求出切线斜率为1a -，再利用()()
1,1f 与()2,1-连线斜率为1a -构造出方程，求出结果；（2）由导函数可判断出()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞上单调递减；由此可得最大值为()1f ；再判断1f b ⎛⎫
⎪⎝⎭
与()f b 的大小，较小的为最小值. 【详解】
（1）()f x 的导函数为()2
2
1ln x ax f x x
'--= ()10111a f a --⇒='=- 依题意，有()()11112
f a --=--，即
1
112
a a -+=-- 解得1a =
（2）由（1）得()2
2
1ln x x f x x
--'= 当01x <<时，210x ->，ln 0x ->
()0f x '∴>，故()f x 在()0,1上单调递增；
当1x >时，210x -<，ln 0x -<
()0f x '∴<，故()f x 在()1,+∞上单调递减
()f x ∴在区间()0,1单调递增，在区间()1,+∞上单调递减
1
01b b
<
<<Q ()f x ∴最大值为()11f =-. 设()()111ln h b f b f b b b b b b ⎛⎫⎛⎫=-=+-+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，其中1b > 则()2
11ln 0h b b b ⎛
⎫
=-
> ⎪⎝
⎭
' 故()h b 在区间()1,+∞单调递增
当1b →时，()0h b → ()0h b ⇒> ()1f b f b ⎛⎫
⇒> ⎪⎝⎭
故()f x 最小值11ln f b b b b
⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查导数的几何意义、利用导数求解函数的最值问题.关键在于能够通过导函数的正负得到原函数的单调性，则最大值即为极大值，最小值必产生在区间端点处，进而判断出最小值的取值.
22．（I ）sin()14
π
ρθ+
=,4cos ρθ=；（II ）2+.
【解析】 【分析】
（I ）将曲线C 的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆M 的普通方程转化为直角坐标方程.（II ）由于两个三角形的高相同，故将面积的比转化为
OB OA
，
将θα=代入曲线C 和圆M 的极坐标方程，求得OA ，OB ，由此求得
OB OA
的表达式，利用辅助角公
式进行化简，并根据三角函数的值域，求得OMB
OMA
S S ∆∆的最大值.
【详解】
(Ⅰ)曲线C 的普通方程为1x y +=，由普通方程与极坐标方程的互化公式的C 的极坐标方程为：
()cos sin 1ρθθ+=，即sin 14πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
. 曲线M 的极坐标方程为：4cos ρθ= . (Ⅱ)因为OBM ∆与OAM ∆以点M 为顶点时，它们的高相同，即OMB OMA OB
S S OA
∆∆= , 由(Ⅰ)知，1
,4cos sin cos A B OA OB ρρααα
==
==+，所以
()(
)24cos sin cos 2sin24cos 21sin2cos2224OB
OA παααααααα⎛
⎫=+=+=++=++ ⎪⎝
⎭ , 由0,2πα<<得52444ππ
πα<+<，所以当2,42ππα+=即8
πα=时，OA OB
有最大值为2+,
因此 OMB
OMA
S S ∆∆
的最大值为2+.
【点睛】
本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查普通方程转化为极坐标方程，考查三角形面积的比，考查极坐标系下长度的计算，属于中档题.
山东师大附中2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）
A．
7 10
B．
5
8C．
3
8D．
3
10
2．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）
A．25 B．56 C．119 D．246
3．函数32
()32
f x x x
=-+在区间[－1，1]上的最大值是（）
A．4 B
．2 C ．0 D．－2
4．如图所示，等边的边长为2，位边上的一点，且，也是等边三角形，若，则的值是（）
A．B．C．D．
5．已知2
1n
x
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x的系数为（）
A．5 B．10 C．20 D．40
6．已知F为抛物线2
:4
C y x
=的焦点。

点A在抛物线上，若点P是抛物线准线上的动点，O为坐标原点，且5
AF=，则PA PO
+的最小值为（）
A5B13C．5D．13
7．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
8．小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（）
A ．13
B ．14
C ．16
D ．17
9．已知点(0,0)O ，(1,3)A -，(2,4)-B ，OP OA mAB =+u u u r u u u r u u u r
.若点P 在y 轴上，则实数m 的值为（ ） A ．
1
3
B ．
14
C ．15
D ．16
10．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点为1F ，2F ，若在椭圆上存在一点P ，使得12PF F ∆的内心I
与重心G 满足12//IG F F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．
22
B ．
23
C ．13
D ．12
11．已知20(,)|20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪
=-+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪
-+≥⎩⎩⎭
，给出下列四个命题：
1P ：(,)x y D ∀∈，22x y -≤+≤；2P ：(,)x y D ∀∈，
03
y
x >+； 3P ：(,)x y D ∃∈，2x y +<-；4P ：(,)x y D ∃∈，222x y +≤；其中真命题是（ ）
A ．
1P 和2P B ．1P 和4P C ．2P 和3P D ．2P 和4P
12．设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界. 若,a b R +
∈，且1a b +=，则12
2a b
-
-的上确界为（ ） A ．5- B ．4- C ．9
2-
D ．92
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束.则第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率是_______；若记试验次数为X ，则X 的数学期望()E X ＝________.
14．已知
10
a =r
，
530
a b ⋅=
r r ，()()15a b a b -+=-r r r r ，则a r 与b r 夹角为__________． 15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.
16．若
()
12n
x x -的展开式中3
x 的系数为80，其中n 为正整数，则
()
12n
x x
-的展开式中各项系数之和为
__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为 (t 为参数)．求曲线的直角坐标方程与直线的
普通方程；设点
，直线与曲线交于
两点，求
的值．
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知点F 为抛物线
的焦点，点A 在抛物线E 上，
点B 在x 轴上，且
是边长为2的等边三角形。

求抛物线E 的方程；设C 是抛物线E 上的动点，直
线为抛物线E 在点C 处的切线，求点B 到直线距离的最小值，并求此时点C 的坐标。

19．（12分）已知关于的函数．若对所有的R 恒成立，求实数的取值范围；
若关于的不等式
的解集非空，求实数的取值范围．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中,圆()2
2:11F x y -+=外的点P 在y 轴的右侧运动,且P 到圆F 上
的点的最小距离等于它到y 轴的距离,记P 的轨迹为E .求E 的方程；过点F 的直线交E 于A ,B 两点,以
AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ,线段DM 交E 于点N ,证明：AMB ∆的面积是
AMN ∆的面积的四倍.
21．（12分） [选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α=-+⎧⎨
=-+⎩（t 为参数，0a π≤<），以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.若
4π
α=
，求直线l 的普
通方程及曲线C 的直角坐标方程；若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求sin α的取值范围. 22．（10分）如图，平面ABCD ⊥平面CDEF ，且四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，
90,BAD CDA AB AD ∠=∠===o 1
2
DE CD =
，M 是线段DE 上的点，满足DM=2ME ． 证明：BE//平面MAC ；求直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．B
8．D 9．A 10．D 11．B 12．C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．12 65
42
14．6π.
15．24π 16．1-
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1），
；（2）.
【解析】 试题分析：(1)在
两边同乘以，利用公式
即可将曲线的极坐
标方程化为直角坐标方程，两参数方程相加消去参数即可化为普通方程；（2）将直线的参数方程为程化
为直线标准的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，由参数的几何意义求之即可. 试题解析： （1）由，得
．∴
.
即曲线的直角坐标方程为.
由
，消去参数，得直线的普通方程
. （2）由（1）知直线的参数方程为程化为，代入曲线的直角坐标方程为，
得
.
由韦达定理，得
，则
.
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.参数方程与普通方程的互化；3.直线与圆的位置关系；4.直线参数的几何意义. 18．（1）（2）最小值为2，
【解析】 【分析】
（1）先求出p的值，即得抛物线的方程.(2)
设点，求出直线的方程为，再求得点到直线的距离为
，再利用基本不等式求函数的最小值及其点C的坐标．
【详解】
（1）因为是边长为2的等边三角形，所以，
将代入得，，
解得或（舍去）.
所以抛物线的方程.
(2)设点，直线的方程为，
由，得，
因为直线为抛物线在点处的切线，
所以，解得，
所以直线的方程为，
所以点到直线的距离为
，
当且仅当，即时取得最小值2，此时.
【点睛】
本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的最值问题的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
19．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出的最小值，解不等式即可；（Ⅱ）等价于
，即，分为和两种情形讨论即可.
【详解】
（Ⅰ），
∴或，
∴或.
故m 的取值范围为.
（Ⅱ）∵的解集非空，∴
，
∴，
①当时，，恒成立，即均符合题意；
②当时，
，，
∴不等式
可化为
，解之得.
由①②得，实数的取值范围为. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，转化与化归思想，属于中档题. 20．（1）()2
40y x x =>（2）见解析
【解析】 【分析】
法一：（1）设P （x ，y ），x ＞0，F （1，0）．由点P 在⊙F 外，可得点P 到⊙F 上的点的最小距离为|PF|﹣1，由题意可得：|PF|﹣1＝x ，利用两点之间的距离公式即可得出． （2）设N （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则D （
122x x +，12
2
y y +）．由题意可设直线AB 的方程为：y ＝k （x ﹣1）（k≠0）．与抛物线方程联立化为：k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2＝0．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D ，M ，N 的坐标．再利用三角形面积计算公式即可得出．
法二：（1）由题意得，点P 到圆()1,0F 的距离PF 等于P 到直线1x =-的距离，根据抛物线的定义求得轨迹方程. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可设直线AB 的方程为：()10x ty t =+≠与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D 的坐标，结合
1
2
DM AB =
，可得1m =-，进而求出N 的坐标，利用点的位置关系得到面积的关系. 法三：（1）与法一同；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可设直线AB 的方程为：()10x ty t =+≠与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D ，M 的坐标，利用斜率公式计算得到
1MF AB k k ⋅=-，再利用长度关系得到面积的关系.
【详解】
解法一：（1）设(),P x y ，依题意0x >，()1,0F .
因为P 在圆F 外，所以P 到圆F 上的点的最小距离为1PF -
依题意得1PF x -=1x =，
化简得E 的方程为()2
40y x x =>.
（2）设()00,N x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则1212
,22x x y y D ++⎛⎫
⎪⎝⎭
. 依题意可设直线AB 的方程()()10y k x k =-≠，
由()2
1,4y k x y x
⎧=-⎨=⎩得()2222
240k x k x k -++=. 因为()
2
24224
416160k k k ∆=+-=+>，
所以2122
24
k x x k
++=， 则有124
y y k +=，故22
22,k D k
k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由抛物线的定义知2122
44
2k AB x x k
+=++=. 设(),M M M x y ，依题意得2M y k =，所以22
2
M k MD x k +=-.
又因为2AB
MD =，所以222
22
2M k x k k +-=+， 解得1M x =-，所以21,M k ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.，
因为02,
N x k ⎛
⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，所以02
1x k =，即212,N k k ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以21212211
2AMB
k S MD y y y y k
∆+=-=-， 211212*********AMN
D k S MN y y MN y y y y k
∆+=-=⨯-=-，
故4.AMB AMN S S ∆∆=
解法二：（1）设(),P x y ，依题意0x >.
因为P 在圆F 外，所以P 到圆F 上的点的最小距离为1PF -. 依题意得，点P 到圆()1,0F 的距离PF 等于P 到直线1x =-的距离，
所以P 在以()1,0F 为焦点，1x =-为准线的抛物线上. 所以E 的方程为()2
40y x x =>..
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，
因为直线AB 过()1,0F ，依题意可设其方程()10x ty t =+≠
由21,4x ty y x
=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=， 因为216160t ∆=+>，所以124y y t +=， 则有()()2
12121142x x ty ty t +=+++=+.
因为D 是AB 的中点，所以(
)
2
21,2D t t +.
由抛物线的定义得()()2
121144AB x x t =+++=+.，
设圆D 与:l x m =相切于M ，
因为DM 与抛物线相交于N ，所以0m <，且DM l ⊥， 所以12DM AB =
，即()
221
21442
t m t +-=+，解得1m =-， 设()00,N x y ，则02y t =，且()2
024t x =，所以2
0x t =，
因为
()
222112
t t ++-=，所以N 为DM 的中点，所以2AMD AMN S S ∆∆=，
又因为D 为AB 的中点，2AMB AMD S S ∆∆=，所以4AMB AMN S S ∆∆=. 解法三：（1）同解法一.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，连结MF ，NF .
因为直线AB 过()1,0F ，依题意可设其方程()10x ty t =+≠
由2
1,4x ty y x
=+⎧⎨
=⎩得2
440y ty --=.， 因为216160t ∆=+>，所以124y y t +=， 所以2M D y y t ==. 因为2
AB MD =
，122AB x x =++，又因为12
2
M x x MD x +=
-， 所以
1212
222
M x x x x x +++=-，解得1M x =-，所以()1,2M t -， 所以21111MF AB t k k t ⎛⎫
⋅=
⨯=- ⎪--⎝⎭
，故90MFD ︒∠=. 又因为NM NF =，所以NF ND =，从而MN ND =. 所以1
2
AMN AMD S S ∆∆=， 又1
2
AMD AMB S S ∆∆=，所以4AMB AMN S S ∆∆=. 【点睛】
本题考查了抛物线与圆的标准方程及性质的应用，考查了一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（Ⅰ）普通方程为y x =.直角坐标方程为22
2x y x +=;（Ⅱ）40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据参普互化的公式，以及极坐标和直角坐标互化的公式得到结果；（Ⅱ）通过分析临界情况，即直线和圆的相切的情况，进而得到满足有2个交点是直线的倾斜角的范围. 【详解】。