第3章微分中值定理与导数的应用习题课

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高等数学第三章中值定理与导数的应用习题课

(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型：其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数阶导数如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。的驻点。
3．函数的单调区间的判别．
函数在[a,b]上连续在(a,b)内可导上连续,在内可导. 函数在上连续内可导

辽宁工业大学高数习题课(3)

1 cos x ~
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析当 x 0 分子分母均趋近于0, 为型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或

型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!

同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课

一点的个 , 果在点一邻 , 于邻内如存着 x0的个域对这域的任点 ,除点 0外 f (x) < f (x0 )均立就何 x 了 x , 成 , 称 f (x0)是数 (x)的个大 ; 函 f 一极值果在点一邻 , 于邻内如存着 x0的个域对这域的何 x 了 x , 任点 ,除点 0外 f (x) > f (x0 )均立就成 , 称 f (x0)是数 (x)的个小 . 函 f 一极值
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
上页下页返回
定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如果 x 取极值有f '(x) < 0， f (x)在 0处得大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如果 x 取极值有f '(x) > 0， f (x)在 0处得小 . 则 x (3)如当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符如果 , (x x 无值号同则f (x)在 0处极 . 相 ,则定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处有阶数 x 具二导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那末 f ''(x0 ) < 0时函 f (x)在 0 处得大 ; x 取极值 (1)当 , 数当 '' x 取极值 (2)当f (x0) > 0时函 f (x)在 0 处得小 . , 数当

3微分中值定理与导数的应用习题

第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。

T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。

7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。

L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。

9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。

⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解

第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。

解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。

令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。

（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。

令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。

解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。

又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ±=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。

★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

第03章微分中值定理与导数的应用习题详解

M 12丿」I 2丿第三章微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。

可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。

—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。

可见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。

「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。

高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用

高等数学习题课
（3）
中值定理与导数的应用
第二课中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理；会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件，则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x

微分中值定理与导数的应用习题课(一)

【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1

高等数学(同济版)第三章-习题课

m f (0), f (1), f (2) M
m
f (0) f (1) f (2) 3
M
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
由罗f分(c尔析) 定: 所想理f f(给到3知(c)条找),必1件一,存f且可点(0在)写fc(f,为x3(使1))在(cff[(,f(c032(,)))c3)]f上3(11()0连f,(3f0续())2,),使f在3(11)(f,c(,ff3((2))3)内)0可1. 导,
一、主要内容
Cauchy 中值定理
F(x) x
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange 中值定理
f (a) f (b)
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
常用的泰勒公式
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数图形的描绘; 曲率;求根方法.
( x)
1 ln(1
x)
1
1 x
2
0
(x 0)
故 x 0时, (x)单调增加 , 从而 (x) (0) 0
即
ln(1 x) arctan x (x 0)
1 x
思考: 证明 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 1 x arcsin x
函数更好 ?
提示: (x) (1 x) ln(1 x) 1 x2 arcsin x
y
2 x( x2 (x2
3) 1)2
(
x
1 1)3
(x
1 1)3

第三章微分中值定理和导数的应用习题66道

第三章微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。

3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。

3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。

3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。

3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。

3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。

3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。

3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。

3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。

3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-；（5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。

3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。

3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

>第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为，最小值为． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

高等数学习题课3-2

-2-
习题课（二）习题课（
例2 证明当 x > − 1 时,
第三章中值定理与导数的应用
x2 x3 ln(1 + x ) ≤ x − . + 2 3 证当 x > − 1 时, 2 3 x x 1 x4 ln(1 + x ) = x − + − x 3 4(1 + ξ )4 其中 ξ 介于 0与x之间. 之间.
-7-
习题课（二）习题课（
第三章中值定理与导数的应用
上连续，当例6 设函数 f ( x ) 在 [a ,+∞ ) 上连续， x > a 时， f ′( x ) > k > 0, 且 f (a ) < 0, 证明：证明：方程 f ( x ) = 0 在区间
[a ,+∞ ) 有且仅有一个根。有且仅有一个根。
第三章中值定理与导数的应用
x 的单调区间，极值，例12 求曲线 y = x + 2 的单调区间，极值，凹凸 x −1 区间，拐点。区间，拐点。
解
函数的定义域为( −∞ , −1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, +∞ )
2 x ( x 2 + 3) y′′ = ( x 2 − 1)3
第三章中值定理与导数的应用
确定 a , b, c 使当 x → 0 时， x2 x 2 f ( x) = a − + e + x ln(1 + x ) + b sin x + c sin 2 x 2 的四阶无穷小。为关于 x 的四阶无穷小。 x2 x3 x4 ex = 1+ x + + + + o( x 4 ) 解 2 6 24 x3 x ln(1 + x 2 ) = x 3 + o( x 4 ) sin x = x − + o( x 4 ) 6 3 4x 4 sin 2 x = 2 x − + o( x ) 3 1 b 4c 3 1 4 f ( x ) = a + 1 + (1 + b + 2c ) x + ( + 1 − − ) x + x 24 6 6 3 + o( x 4 ) 11 8 a = −1 b = − , c = 所以 3 6-5 例4

微分中值定理与导数的应用练习题

题型1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一．中值定理 1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理二．洛比达法则一些类型（00、∞∞、∞•0、∞-∞、0∞、00、∞1等）三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点五．函数的渐近线水平渐近线、垂直渐近线典型例题题型I 方程根的证明题型II 不等式（或等式）的证明题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值题型IV 求函数的凹凸区间及拐点自测题三一．填空题二．选择题三．解答题4月13日微分中值定理与导数应用练习题基础题：一．填空题1．函数12-=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。

3．1)(2-+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。

4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。

5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有个实根，分别位于区间中． 7. =→xxx 3cos 5cos lim2π35-8.=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 9.)tan 11(lim 20x x x x -→=31 10.0lim(sin )xx x +→=1 二．选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件２．下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（）．A .x e x f =)( B.||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f ３．若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ4．下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）A ． ==∞→∞→nnnn n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e5．在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． xx x x sin lim +∞→ D ． x nx e x +∞→lim综合题：三．证明题1．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。

微分中值定理与导数的应用

第3章微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理习题 3-11.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ.(1) 2()23f x x x =--，[]1,1.5-； (2) ()f x =[0,3].2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[0,1]上的正确性，并求出满足定理的数值ξ.3.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.4.一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为65公里/小时的收费道路上在2小时内走了159公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？5.函数3()f x x =与2()1g x x =+在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ.6.设()f x 在[0,]π上连接，在(0,)π内可导，求证：存在(0,)ξπ∈，使得()()cot f f ξξξ'=-.7.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导函数，且123()()()f x f x f x ==12(a x x <<3)x b <<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=.8.证明：方程015=-+x x 只有一个正根. 9.证明下列不等式：(1)当0a b >>，1n >时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-; (2)当0b a >>时，ln b a b b a b a a--<<； (3)当1>x 时，x e e x⋅>； (4)当0>x 时，x x x x <<+arctan 12； (5)当0>x 时，x x +>⎪⎭⎫⎝⎛+1111ln .10.证明下列等式：(1)arctan cot ,(,)2x arc x x π+=∈-∞+∞;(2)π=++212arcsin arctan 2xxx (1)x ≥. 11.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内有二阶导数，且有()()0f a f b ==，()0f c >()a c b <<，试证在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''<.12.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-.13.设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导.试证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使[]2()3(1)(0)f f f ξξ'=-.14.设函数()y f x =在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，且(1)(0)(0)(0)0n f f f-'====，试用柯西中值定理证明： ()()()!n n f x f x x n θ=(01)θ<<. §3.2 洛必达法则习题 3-21.用洛必达法则求下列极限：(1)0cos lim sin x x e x x →-； (2)2tan 5lim sec 4x x x π→-+； (3)22ln sin lim (2)x xx ππ→-； (4)x xx 1arctan 2lim -+∞→π； (5)x xx 2tan ln 7tan ln lim 0+→； (6)ee x x x x -+-→ln 1lim 31； (7)x x x x x sin tan lim0--→； (8)x x x 2cot lim 0→； (9)2120lim x x e x →； (10))1(lim 1-∞→xx e x ； (11)⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ； (12)2lim(sec tan )x x x π→-；(13)xx xtan 0lim +→； (14)21lim(cos )x x x →； (15)10lim(1sin )xx x →+；(16)xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1ln lim 0； (17)1ln 0lim(cot )xx x +→； (18)211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭；(19)0x →(20)20lim ln(1)x x x x→+-. 2.验证极限sin limsin x x xx x→∞+-存在，但不能用洛必达法则求出.3.若()f x 有二阶导数，证明20()2()()()lim h f x h f x f x h f x h →+-+-''=.4.设当0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶的无穷小，试确定a 和b 的值.5.讨论函数1112(1),0(),0xx x x f x e e x -⎧⎡⎤+>⎪⎢⎥=⎨⎣⎦⎪≤⎩在点0=x 处的连续性. §3.3 泰勒公式习题 3-31.按(1)x -的幂展开多项式42()34f x x x =++.2.求函数3()ln f x x x =在01x =处的四阶泰勒公式.3. 求函数()tan f x x =带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.4.求函数()x f x xe -=的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式.5.求函数()ln f x x =按(2)x -的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式.6.求函数13y x=-在1x =处的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 7.0.01.8.用泰勒公式取5n =，求ln1.2的近似值，并估计其误差. 9.利用函数的泰勒展开式求下列极限:202(1)lim x x →; 222012(2)lim (cos )sin x x x x e x→+-.§3.4 函数的单调性与极值习题 3-41.证明函数2ln(1)y x x =-+单调增加.2.判定函数()sin (02)f x x x x π=+≤≤的单调性.3.求下列函数的单调区间：321(1)31;3y x x x =--+ 8(2)2(0);y x x x =+> 2(3)3y x =-(4)ln(y x = 1233(5)(1);y x x =- 2(6)2ln y x x =-.4．证明下列不等式：(1)当0>x 时，x x +>+1211; (2)当0>x 时，21ln(1)2x x x +>-; (3)当0≥x 时，(1)ln(1)arctan x x x ++≥; (4)当20π<<x 时，.31tan 3x x x +> 5．试证方程x x =sin 有且仅有一个实根.6.求下列函数的极值：(1)32395y x x x =--+; (2)ln(1)y x x =-+; (3)2ln xy x=;(4)y x =(5)cos x y e x =; (6)()(f x x =-7．试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在3π=x 处取得极值，并求此极值.§3.5 函数的最值及应用习题 3-51.求下列函数的最值:(1)4282,[1,3]y x x =-+-; (2)sin cos ,[0,2]y x x π=+;(3)5,1]y x =-; (4)21,[,1]12x y x =-+.2.求数列的最大项.3.问函数254(0)y x xx=-<在何处取得最小值？4.从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子(如图3-5-11所示)，问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？图3-5-11 图3-5-125.光源S的光线射到平面镜Ox的哪一点在反射到点A，光线所走的路径最短？(如图3-5-12所示)6.设工厂A到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B，铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C，如图3-5-13.现在要在铁路BC段D处修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5，那么，D应选在何处，才能使从原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？图3-5-137.甲船以每小时20浬的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82浬处以每小时16浬的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？8.一抛射体以速度840m/s和抛射角/3π发射.它经过多长时间沿水平方向行进21千米？9.求最大射程为24.5千米的枪的枪口速度.10.假设高出地面0.5m的一个足球被踢出时，它的初速度30m/s，并与水平线成30g=10m/s.角.假定足球被踢出后在空中的运动过程中受到的阻力为零，2(1)足球何时达到最大高度，且最大高度是多少？(2)求足球的飞行时间和射程.11.光学中的费马原理说光线从一点到另一点永远行进最短的路径行进.如图3-5-14所示，从光源A出发，从一平面镜反射到一接受点B.试证明入射角一定等于发射角.图3-5-1412.设生产某产品时的固定成本为10000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨时，总成本为10320元，问:日产量为多少吨时，能使平均成本最低？并求最低平均成本(假定日最高产量为100吨).13.某零售电器商店每年销售2500台电视机.库存一台电视机一年，商店需要花费10元.为了再订购，需付20元的固定成本，再每台另付9元.为了最小化存货成本，商店应按多大的批量再订购且每年应订购几次？14.某家电厂在生产一款新冰箱，它确定，为了卖出x台冰箱，其单价应为280p= -.同时还确定，生产x台冰箱的总成本可表示成20.4x=+.C x x()50000.6R x.(1)求总收入()L x.(2)求总利润()(3)为使利润最大化，工厂必须生产并销售多少台冰箱？(4)最大利润是多少？(5)为实现这一最大利润，其冰箱的单价应定为多少？15.根据连续记录，某影院测定，如果入场票是20元，则影院取1000人为观影的平均人数.但是每提价1元，影院就从平均人数中失去100个顾客.每位顾客在让价上平均花费1.8元.为使总利润最大化，影院应当确定的入场票价是多少？§3.6 曲线的凹凸性与拐点习题 3-61.求下列函数的凹凸区间及拐点：(1)25363223+--=x x x y ; (2)1(0)y x x x=+>; (3)12-+=x xx y ; (4)x x y arctan =; (5)4(1)x y x e =++; (6)2ln(1)y x =+.2.利用函数图形的凹凸性，证明不等式:(1)22y x y x ee e +>+()x y ≠; (2)2cos cos 2cosy x y x +>+，⎪⎭⎫⎝⎛-∈∀2,2,ππy x ; (3)ln ln ()ln2x yx x y y x y ++>+0()0,,x y x y >>≠. 3.试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 4.问a 及b 为何值时，点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点？5.试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得在2-=x 处曲线有水平切线，(1,10)-为拐点，且点在曲线上.§3.7 函数图形的描绘习题 3-71.求下列曲线的渐近线:(1)3221xy x =+; (2)xe y 1-=; (3)23y =; (4)xy x e -=+; (5)xe y x+=1; (6)x x y arctan =. 2.描绘下列函数的图形:(1)1222-=x x y ; (2)21x x y +=; (3)2(3)4(1)x y x -=-;(4)x x y -=3; (5)xxy ln =.总习题三1.设()f x 在[0,1]上可导，且0()1f x <<，对任何一个(0,1)x ∈都有()1f x '≠，试证：在(0,1)内，有且仅有一个数ξ，使()f ξξ=.2.设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()0f f g ξξξ''+=.3.设()f x 在[1,2]上具有二阶导数()f x ''，且(2)(1)f f ==.若()(1)()F x x f x =-，证明：至少存在一点(1,2)ξ∈，使得()0F ξ''=.4.设()f x 在[,]a b 上可微，且()0f a +'>，()0f b -'<，()()f a f b A ==，试证明()f x '在(,)a b 内至少有两个零点.5.设()f x 在[0,1]上连接，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =，试证：对任意给定的正数a ,b ,在(0,1)内存在不同的ξ，η，使()()a ba b f f ξη+=+''. 6.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内存在点ξ和η，使()()2a bf f ξηη+''=. 7.设()f x 可导，试证()f x 的两个零点之间一定有函数()()f x f x '+的零点. 8.设121(1)0321n na a a n --++-=-，证明方程 12cos cos3cos(21)0n a x a x a n x +++-=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个实根. 9.设在[1,)+∞上处处有()0f x ''≤，且(1)2f =，(1)3f '=-，证明在(1,)+∞内方程()0f x =仅有一实根.10.设函数()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b +-''⋅<，则在(,)a b 内存在一点ξ，使得()0f ξ'=.11.用洛必达法则求下列极限：20ln(1)(1)lim sec cos x x x x →+-; 0(2)x →; 1(3)lim(1)tan 2x x x π→-; 111(4)lim 1ln(2)x x x →-⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦;11cos 0sin (5)lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭; 2(6)lim arctan xx x π→+∞⎛⎫⎪⎝⎭.12.设lim ()x f x k →∞'=，求lim[()()]x f x a f x →∞+-.13.当a 与b 为何值时，320sin 3lim 0x x a b x x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭.14.设(),0()0,0xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，其中()g x 具有二阶连续导数，且(0)1g =，(0)1g '=-，求()f x '.15.证明不等式: 当02x π<<时，2sin 1xxπ<<. 16.设()f x 在00x =的某个邻域内有二阶导数，且130()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，求(0),(0),(0)f f f '''.17.求()ln(1sin )f x x =+的四阶麦克劳林公式.18.证明不等式:当02x π<<时，221cos 2x x x π<-<.19.利用函数的泰勒展开式求下列极限:21(1)lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦; 2220cos (2)lim [ln(1)]x x x e x x x -→-+-.20.若30sin 6()lim0x x xf x x →+=，求206()lim x f x x →+.21.求一个二次多项式2()p x ，使222()()x p x x ο=+，式中2()x ο代表0x →时比2x 高阶的无穷小.22.求下列函数的单调区间:(1)(0)y a =>; (2)(0,0)n x y x e n x -=>≥;(3)sin 2y x x =+.23.证明下列不等式:(1) 当0x >时，1ln(x x +>(2)当4>x 时，;22x x > (3)当0x >时，31sin 3x x x x -<<;(4)设02x π<<，则sin tan 2x x x +>;(5)当0x >时，1arctan 2x x π+>. 24.证明下列不等式:(1)设0b a >>，证明: 2()lnb b a a a b->+; (2)设b a e >>，证明:b a a b >. 25.求下列函数图形的拐点及凹凸区间:4(1)(12ln 7)y x x =-; (2)x y xe -=; (3)1y =26.利用函数图形的凹凸性，证明不等式:当0x π<<时，有sin2x xπ>. 27.设32()f x x ax bx =++在1x =处有极值-2，试确定系数a 与b ，并求出()y f x =的所有极值点及拐点.28.设逻辑斯蒂函数()1bxcf x ae -=+，其中0a >，0abc ≠.(1)证明：若0abc >，则f 在(,)-∞+∞上是增函数；若0abc <，则f 在(,)-∞+∞上是减函数;(2)证明ln ax b=是f 的拐点. 29.求下列函数的极值: (1)y =; (2)2x x y e e -=+;(3)tan y x x =+; (4)1x y x e--=. 30.求下列函数的最大值、最小值： (1)21x y x =+,1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦; (2)1x y x =,(0,)x ∈+∞. 31.设0a >,求11()11f x x x a=+++-的最大值. 32.求数列32(1)(1)n n ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的最小项的项数及该项的数值. 33.证明：11(1)12p p p x x -≤+-≤(01)x ≤≤.34.以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物.已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只小船则一日能来回10次.如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大?35.求下列曲线的渐近线: (1)1ln (0)y x e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭; (2)2211x x e y e--+=-; (3)1sin (0)y x x x =>; (4)1ln(1)x y e x=++. 36.求笛卡尔曲线3330x y axy +-=的斜渐近线.。

(整理)第三章微分中值定理与导数的应用习题详解wang1

第三章微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。

可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即：22120(21)ξξ-=+ ，满足，0ξ=；（2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。

可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，且1,0<1(), =01,1<0x f x x x <⎧⎪'=⎨⎪--<⎩不存在,因此不存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=.2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件.3．解：令33arccosarccos(34)y x x x =--，2y '=，化简得0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。

4．证明：显然(),(f x F x 都满足在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内可导()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西中值定理条件。

(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭==='-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1()12f x F x π'='-，即t a n 1422x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时2a r c t a n 142x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2arctan 10,422πππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∃=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，使得(0)(3)2(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎫- ⎪'⎝⎭='⎛⎫- ⎪⎝⎭。

高数)第3章：微分中值定理与导数的应用

这 f(x 样 0 0 ) lx 0 im f(x 0 x x ) f(x 0 ) 0 f(x 0 0 ) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0) 0 .
而f(x)在点 x0可导，所f以 (x0)0.
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2. 罗尔(Rolle)定理
如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a, b]上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f(a)f(b)，则至少
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b),都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a)f(b),
最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
则 (a ,b )，使 f()M .
由费马引理, f()0.
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注意：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结
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推论2 如果 f(x)和 g(x)在 (a,b) 内可导 ,且在 (a,b)内恒有 f(x)g(x),则在 (a,b) 内 f(x) 和 g(x)最多相差一个常数 .
证明作辅助函数 F(x) f(x)g(x) ,
则 F(x) f(x)g(x)0,
由推论1即得结论.
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例4 证明恒等式arcxsianrcxcos,x1,1
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证设f(x)arcxsa inrcxc,x o s1,1
f(x) 1 1 0,x1,1
1x2 1x2
由推论1知, f(x)C,x1,1
而 f ( 0 ) , 且 f (1) f (1) ,
第三章
微分中值定理与导数的应用
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