线性代数第三次作业

第四章 第三次作业

1.设A 是n 阶方阵，且0=A ，但A 中某元素kl a 的代数余子式0≠kl A ，则齐次线性方

程组0

=X A 基础解系中线性无关解向量的个数为 1。

解 因0≠kl

A

，故A 中有不为零的n-1阶子式，又因0=A 及()1-=n A R ，故解

空间维数为1。

2．设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1-=n A R

，

则齐次线性方程组0

=X A 的通解为：()

1,1,,1,T

k

k R ∈

解 解空间维数为1，又A 的各行元素的和为1及()1,,1,1 是0

=X A 的一个非零解。

3．设

A 为n m ⨯矩阵，则有（D ）

4．已知2

1,ββ

是非齐次线性方程组b X A =的两个不同解，

21,αα 是对应齐次线性方程组0 =X A 的基础解系，2

1,k k 是任意常数，则

b X A

=的通解为（B ）

5．设非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=++-=+-+=++--=--+7

739183332154321432143214

321x x x x x x x x x x x x x x x x ，（1）求对应齐次线性方程组的一个基础解

系；（2）求该非齐次线性方程组的通解。 解 因

()⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛------==77391111833312111151b A B ⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛------484140442704427011151~⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----00000000004427011151~31313107772440

1~7770000000

⎛

⎫

⎪ ⎪ ⎪-

-

-

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

对应齐次线性方程同解方程组为

134234313772277x x x x x x ⎧

=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

取3470,07x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得13313,24x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即得对应的齐次线性方程组基础解系为：()1

3,2,7,0T ξ=- ，

()

213,4,0,7T

ξ=-

该非齐次线性方程组同解方程组为

13423431313777224

777x x x x x x ⎧

=--+⎪⎪⎨

⎪=+-⎪⎩

取042==x x 得2,131==x x 因而得该非齐次

方程组的一个特解为

()

T

0,2,0,1*

=η ，故该非齐次方程组通解为：

121212343131240,,702070x x c c c c R x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6．已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，,1β 32,ββ

是该齐次线性方程组

的3个解向量，且=+21ββ

T

)

2,0,1,1(，T

)3,1,0,1(3

2=+ββ

，求该非齐次线性方程组的通解。 解

1,3,4=-==r n r n ，对应齐次方程组基础解系中只有一个线性无关解向量，可取为

()()213213ββββββ

+-+=-()T 1,1,1,0-=，非齐次方程组一个解

可取为

()T

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=+=1,0,21,212121*

ββη

∴非齐次方程组通解为

R c c x x x x ∈⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛,10212111104321