相似三角形专题复习(改)
相似三角形专题复习
考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是a mb n=，或写成a ：b=m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足a cb d=或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2、比例的性质 （1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项） ⇒=dcb a ac bd =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：cda b d c b a =⇒= （4）合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
相似三角形的专题复习课
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与
CB边上的点E重合，若A善D于=1在0复, A杂B图=形8,
则EF=___5___
中寻找基本型
D
A
F
C
EE
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
长线于点E.
求证：OC2＝OA·OE.
旋转型
例3. D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1＝
∠2，∠3＝∠4.
求证：(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.
证明：(1)∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)， ∴△ABD∽△CBE.
双垂直型 例4：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于 点D.
A
D E
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
B
C
∴ AD DE
AC BC
∴ AD·BC=AC·DE
练1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判 定△ADC∽△ACB．
①
∠ACD=∠B
，
②
∠ACB=∠ADC
，
D
③
AD AC
AC 或AC2 AB
AD• AB。
学习目标
1、进一步熟练相似三角形的性质与判定。 2、归纳总结相似三角形的几种基本图形， 能利用这些基本图形进行相关的计算与证明。
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
(完整版)相似三角形专题复习教案
C．3 对
D．4 对
例 4、（2010 江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为 24cm、30cm、36cm，要做一
个与它相似的铝质三角形框架，现有长为 27cm、45cm 的两根铝材，要求以其中的一
根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A.0 种
B. 1 种
C. 2 种 D. 3 种
）课时 ）课时
教学重 点、难点
考点分析
用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。 理解相似三角形的概念，总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，掌握它们的基本运用。
学生活动
知识要点
1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似 比。 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
D .3 5
（第 3 题）
5、（2011 山东滨州）如图，直线 PM 切⊙O 于点 M,直线 PO 交⊙O 于 A、B 两点，弦 AC∥PM, 连接 OM、BC.
求证：（1）△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC.
M C
B
O
A
P
【聚焦中考】
（第 5 题）
1．（2012•潍坊）已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将△ABE 向上折 叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（ ）
①② B ④⊙O ③
D
⊙o
⊙
o⊙
o
（⊙第 7 题）⊙
C
2．（2011 新疆乌鲁木齐，10，4 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 P 为 BC 边上
相似三角形期末复习
2 : 3
2 : 3
4 : 9
2、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？
4
D
A
B
C
5
3
三,相似三角形的应用
例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274， 求金字塔的高度OB。
即
a b b c
= ，
(或 a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
2
ac
b
=
即：
一.比例线段
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
AC
BC
=
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
∴ =
AD AE
AC AB
∴ AD·AB＝AE·AC
作业:如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: AD·EF＝AE·EC
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90°
∵E是BC中点，FC= BC
∴
∴
∴△ADE∽△ECF（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）
（1）对应角相等,对应边成比例 （2）相似三角形对应高、中线的比等于相似比 （3）相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
------万州德澳中学初三数学备课组
九年级《相似三角形》专题复习
九年级《相似三角形》专题复习1．相似图形的概念我们把的 图形叫做相似图形，相似多边形的 相等，对应边的比 ．2．比例的概念与性质通常我们把a 、b 、c 、d 四个实数成比例表示成_ _．四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做_ _．一般地，如果三个数a 、b 、c a ∶b= b ∶c ），则b 叫做a 、c 的_ _．在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC C 叫做线段AB 的_ _．其中a 、b 、c 、d 都不等于零）．如果a b ＝c d ，那么a ±b b＝_ _．3．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线 ，所得的对应线段_ _；平行与三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的线段对应_ _．4．相似三角形的判定一般地，对应角相等，_ _的两个三角形叫做相似三角形．平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形_ _．_ _的两个三角形相似；两边对应成比例且_ _的两个三角形相似；三边对应_ _的两个三角形相似；_ _的两个直角三角形相似．5．相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的_ _等于相似比；相似三角形的面积比等于_ _．《典例精析，提升能力》考点一相似图形的概念例1．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是.温馨提示：判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到，全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．考点二黄金分割的应用例2．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0．618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0．60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）温馨提示：黄金比是“最美丽”的几何比率，在现实生活中有着广泛的应用，“黄金分割”也是建筑、艺术等学科之间必然联系的纽带．学习“黄金分割”不仅实现了新课程对比例线段的基本要求，更体现了数学的文化价值和应用价值，考点三比例性质的运用例3．温馨提示：本题两次运用了比例的基本性质，充分体现了这一性质的重要性．证明线段成比例时也经常会用到比例的性质，通过性质将线段的位置进行变换．考点四平行线分线段成比例定理例4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝ 4，CE＝ 6，BD＝ 3，则BF＝( )A．4．5 B．7．5 C．8 D．8．5温馨提示：运用平行线分线段成比例定理时，特别要注意按“对应”来写比例线段，否则容易出现问题．考点五相似三角形的判定例5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于点F．(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)求EF的长．温馨提示：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．考点六相似三角形的性质例6．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么边AB的长为___．温馨提示：相似三角形的性质要熟练掌握，注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．对于面积的比较还常用等底等高的面积相等，等底不等高的三角形面积之比等于底之比这一结论，注意不要混淆．另外在证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间比来“搭桥”．考点七利用相似三角形解决实际问题例7．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是30 m．例8.一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD=1.0m，又测地面部分的影长BC=3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？针对性练习题：1．下列四组图形中，一定相似的是（）A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：23.如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B． C． D．4. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个5.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB ⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A． 60m B． 40m C． 30m D． 20m6.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）7.如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为．9.如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．10.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．针对性练习题参考答案：1.D2.D3.C4.B5.B6.B7.D8.1.5米9.10.。
相似三角形专题复习(精品)
相似三角形的解题技巧与策略
相似三角形的解题思路与步骤
明确解题目标：确定要证明的结论和所求的量明确解题方向。
观察图形特征：分析相似三角形的形状、大小关系确定解题方法。
寻找相似条件：根据相似三角形的性质寻找对应边、对应角的关系构建相似三角形。
推导解题过程：利用相似三角形的性质和相关定理推导解题过程得出结论。
相似三角形对应中线的比等于相似比
相似三角形的性质
对应角相等
对应边成比例
面积比等于相似比的平方
周长比等于相似比
相似三角形的判定条件
定义：两个三角形如果对应角相等则它们相似
判定条件：SS、S、SSS、S、HL
应用：证明三角形相似求解线段长度和角度大小
性质：相似三角形对应边成比例对应角相等
03
相似三角形在解题中的应用
题目：在△BC中B=CD是BC上一点∠BD=40°E是D上一点且∠BE=∠CD则∠DEC= _______．题目：在△BC中B=CD是BC上一点E是D上一点且∠BE=∠CD则下列结论正确的是( ) .△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCB C.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB.△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCBC.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB题目：在△BC中B=CD是BC上一点E是D上一点且∠BE=∠CD则下列结论正确的是( ) .△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCB C.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB.△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCBC.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB题目：在等腰三角形BC中B=CD是BC上一点且D=BD若∠CD=50°则∠CB的大小为 _______．
,
《相似三角形》单元复习
《相似三角形》单元复习相似三角形是初中数学中的重要内容，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为后续学习三角函数、解析几何等知识奠定了基础。
在这个单元的复习中，让我们一起系统地梳理相似三角形的相关知识。
一、相似三角形的定义相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，那么它们就是相似三角形。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果角 A 等于角 A'，角B 等于角 B'，角 C 等于角 C'，且 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，记作：三角形 ABC ∽三角形A'B'C'。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，若角 A ＝角 D，角 B ＝角 E，那么三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
当两个三角形两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等时，这两个三角形相似。
假设在三角形 MNP 和三角形 QRS 中，MN/QR ＝NP/RS，且角 M ＝角 Q，那么三角形 MNP 相似于三角形 QRS。
3、三边成比例的两个三角形相似。
若两个三角形的三条边对应成比例，那么它们相似。
例如三角形XYZ 的三边分别为 3、4、5，三角形 UVW 的三边分别为 6、8、10，因为 3/6 ＝ 4/8 ＝ 5/10，所以三角形 XYZ 相似于三角形 UVW。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等。
这是相似三角形的基本性质之一，也是判定相似三角形的重要依据。
相似三角形专题强化复习加经典练习.doc
《相似三角形》专题复习加经典练习一、基础知识相似三角形的定义三边对应成,三个角对应的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的性质1.相似三角形的对应边,对应角・2.相似三角形的对应边的比叫做, -•般用k表示.3.相似三角形的对应角平分线，对应边的线,对应边上的线的比等于比，周长之比也等于比，面积比等于・相似三角形的判定方法1、两个角对应相等的两个三角形相似.2、两边对应成________ 且夹角相等的两个三角形相似.3、三边的两个三角形相似.射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边h的射影和斜边的比例中项即：若CD为RtAABC斜边上的高（如图）则RtAABC<^RtAACD<^ RtACBD,且AC2=, CD2=, BC2=.证明比例式或等积式的一般思路：先证明三角形相似，再利用对应边成比例。
二次相似问题：对于有些比例式或等积式的证明，往往要先后证明两次三佑形相似，通过代换转化达到解答目的。
直角三角形的相似问题：需要熟练射影定理和“等积法”的运用。
四种基本的相似类型：平行底边相似；对顶平行相；双垂直相似；子母或旋转相似；.AD AE • AB ~ AC 八 DE AE C.——=——BC AB n AE AD B.——=—— BC BD r DE AD D. ---- = ---- 2、在ZXABC 与B'C 中,有下列条件: z , AB BC ,、 BC AC (1) ---- = ----- ； (2) ----- = ----- A f B f B'C' B'C' AC'(3) ZA=ZA r ； (4) ZC=ZC •如果从中任取两个条件组成一组, 那么能判断△ ABCs/^ B' C'的共有多少 组（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、 如图，在位中，Zr=90° ,将沿直线妣翻折后，顶点。
(完整版)相似三角形专题
上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右 全比上=全比上，全比下=全比下 下比上=下比上【一】知识梳理 【1】比例 ① 定义：四个量a,b,c,d 量成比例 ② 形式：a:b=c:d ， 中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个a cb d③性质：基本性质： — —<=ac=bd b d1、可以把比例式与等积式互化。
2、可以验证四个量是否成比例 4，比例中项：—乞一> c 2 ab c b 注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负 【2】黄金分割 定义：如图点 C 是AB 上一点，若AC 2 AB?BC ，则点C 是AB 的黄金分割 占八、、） 一条线段的黄金分割点有两个 AC AB 0.618A 21- BC3 5 AD AB 0.382A B2 5 1BC AC 0.618A 2 注意：如图△ ABC / A=36°, AB=AC 这是一个黄金三角 形， 亦1BC AB 0.618AB 2 【3】平行线推比例3、相似三角形的常见图形'A 型图''母子图’母子图中的射影定理般母子图’A C=AD ?AB【4】相似三角形1相似三角形的判定① AA 相似：I/ A=Z D, / B=Z E ② ‘s A S ' 俎 BC, BDE EF•••△ ABC^ DEF① 相似三角形的对应角相等，对应边成比例② 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的 比都等于相似比③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方 ③ ‘S S S 'AB AC BCD E D F EF④平行相似: •••DE// BC2、相似三角形的性质AC2=AD?AB BC 2=BD?ABCD2=AD?BD【二】题型1、求线段的比求a比b的方法：①求a,b的长度，②设k法，③利用三角形相似的性质，④平行推比例线段⑤比例分配【例题1】如图，直线丨1//丨 2 //丨3,直线AC分别交l l , l 2, l 3于点A, B, C;直线DF分别交l i, 12, I 3于点D, E, F. AC与DF相较于点H,且AH=2 HB=1 BC=5则匹的值为EF【例题2】如图，已知在厶ABC中，点D E、F分别是边AB AC BC上的点,DE// BC EF// AB,且AD： DB = 3 : 5,那么CF： CB等于【例题3】如图，点 D 是厶ABC 的边AB 上一点，且 AB=3AD 点P 是厶ABC 的外接圆上的一点，且/ ADP=/ ACB 则PB:PD=【例题5】已知a C 2，则2a 3bb d 3 3a 4b【例题4】如图，已知ABC 的角平分线,DE// AB 交 AC 于 E ,D2, 则 a =【例题6】如图，将矩形纸片ABCD （AD>D 的一角沿着过点D 的直线折叠，使 点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交 AB 于点F.若BE:EC=m ：n 则 AF:FB=【例题7】如图所示，将矩形ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上,点B 与点F 重合, 折痕为AE,此时,矩形EDCF 与矩形ABCD 相似,则竺=.AB -------------------【例题8】如图，Rt △ ABC 内接于。
(完整word版)初三相似三角形压轴题专题复习
1.如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD＝6cm，DC＝8cm，BC＝12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长．（2）当t为何值时，MN∥CD？（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．2．（2017?二模）如图①，已知矩形ABCD中，AB＝60cm，BC＝90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t＝s时，△BPQ为等腰三角形；（2）当BD平分PQ时，求t的值；（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF＝EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．3．（2016?苏州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．动点P从点A出发沿AC 向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；②当l经过点B时，求t的值．4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q 两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）5.如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA＝10，cos∠COA＝．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA 上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）C点的坐标为，当t＝时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．6.在Rt△AOB中，OA＝3，sin B＝，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点．点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．（1）线段AP的长度为（用含a、t的代数式表示）；（2）如图①，连结PO、PM，若a＝1，△PMO的面积为S，试求S的最大值；（3）如图②，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由．7．（2018?常熟市一模）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC＝．设AP的长为x．（1）AB＝；当x＝1时，＝；（2）①试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．（3）当△PCE是等腰三角形时．请求出x的值；8.△ABC，△DEC均为直角三角形，B，C，E三点在一条直线上，过D作DM⊥AC于M．（1）如图1，若△ABC≌△DEC，且AB＝2BC．①过B作BN⊥AC于N，则线段AN，BN，MN之间的数量关系为：；（直接写出答案）②连接ME，求的值；（2）如图2，若AB＝CE＝DE，DM＝2，MC＝1，求ME的长．9.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG 重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD 的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x （s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y＝3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1﹣S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．10．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．（1）如图①，当PA的长度等于时，∠PAD＝60°；当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P 点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值．11.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线OD⊥直线AB于点D．现有一点P从点D出发，沿线段DO向点O运动，另一点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到O时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）点A的坐标为；线段OD的长为．（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系（不要求写出取值范围），并确定t 为何值时S的值最大？（3）是否存在某一时刻t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，写出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．12.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18B．C．D．13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=．14.如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC 交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=．15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=．16.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．17.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：2518.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．19.如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S△ACE=，S△BDE=，则AC=．。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
《相似三角形》复习题课件
汇报人姓名
汇报时间：12月20日
Annual Work Summary Report
#2022
O1
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catalogue
O2
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目 录
相似三角形的定义与性质
O1
定义
两个三角形对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似。
详细描述
在三角形ABC中，D是AB边上的一点，E是AC边上的一点，DE平行于BC。求BD的长度。
示例
综合题三：求线段长度问题
THANK YOU
感谢观看
Bye 202X
总结词
在三角形ABC中，D是AB边上的一点，E是AC边上的一点，DE平行于BC。求∠A的度数。
示例
01
03
02
这类问题通常涉及到相似三角形的内角和性质，通过已知角度和相似比，可以推导出其他未知角度。
详细描述
总结词
2
1
3
利用相似三角形的性质和边长比例关系，求解未知线段长度。
这类问题通常涉及到相似三角形的边长比例关系，通过已知边长和相似比，可以推导出其他未知边长。
相似三角形的证明方法
O3
平行线法
1
总结词
通过平行线性质证明三角形相似
2
详细描述
利用平行线性质，如交替内角相等或同位角相等，来证明两个三角形相似。
3
示例
在三角形ABC和三角形DEF中，如果AB平行于DE，且BC平行于EF，则三角在三角形ABC和三角形DEF中，如果角A等于角D，角B等于角E，则三角形ABC与三角形DEF相似。
通过相似三角形的性质，利用代数方法求取最值。
《相似三角形》单元复习
《相似三角形》单元复习同学们，咱们一起来好好复习一下《相似三角形》这个单元！还记得上次在课堂上，我给大家出了一道题，让大家判断两个三角形是否相似。
结果好多同学都有点迷糊，抓耳挠腮的样子可太有趣了。
有个同学还小声嘀咕：“这相似三角形咋就这么难分辨呢？”其实啊，只要咱们掌握了方法，相似三角形那就是小菜一碟！咱们先来说说相似三角形的定义。
简单来讲，就是三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形就是相似三角形。
这就好比两个人，长得像不像，咱们得看五官、身材比例是不是差不多。
三角形也一样，角和边都对上号了，那就是相似的。
那怎么判断两个三角形相似呢？这可有好几种方法。
第一种就是两角对应相等的两个三角形相似。
比如说，一个三角形的两个角分别是60 度和 80 度，另一个三角形也有两个角是 60 度和 80 度，那它们肯定相似，这就好比两个人都有一样的大眼睛和高鼻梁，那能不像吗？再说说三边对应成比例。
假如一个三角形的三条边分别是3、4、5，另一个三角形的三条边是 6、8、10，因为 3:6 ＝ 4:8 ＝ 5:10 ，所以这两个三角形相似。
这就好像两个人，胳膊、腿、身子的比例都一样，那能不相似嘛！还有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
比如说，一个三角形两条边是 2 和 3，夹角是 45 度，另一个三角形两条边是 4 和 6，夹角也是 45 度，那它们就是相似的。
这就好比两个人，上半身和下半身的比例一样，而且姿势也相同，那看起来肯定像呀！咱们在做题的时候，一定要仔细看清题目给出的条件，千万别粗心大意。
有一次考试，有个题就是让判断两个三角形是否相似，有个同学把边的比例算错了，结果丢了分，多可惜啊！相似三角形的性质也很重要哦！相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
而且它们的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
这就像两个相似的模型，大的那个模型的周长和面积肯定比小的那个大，而且它们之间的关系是有规律的。
咱们来做几道题练练手。
中考数学考点23相似三角形总复习(解析版)
相似三角形【命题趋势】在中考中.相似三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主.常考的3种相似模型经常以解答题形式考查.常结合二次函数、圆综合考查。
【中考考查重点】一、比例线段及性质二、相似三角形性质与判定考点1：比例线段及性质1、比例线段的有关概念：在比例式a c b d =（::a b c d =）中.a 、d 叫外项.b 、c 叫内项.a 、c 叫前项.b 、d 叫后项.d 叫第四比例项.如果b c =.那么b 叫做a 、d 的比例中项．2、把线段AB 分成两条线段AC 和BC.使2·AC AB BC =.叫做把线段AB 黄金分割.C 叫做线段AB 的黄金分割点．3比例性质：①基本性质：a b c dad bc =⇔=. ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒=. ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0. 4、平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线.所得的对应线段成比例． 如图.已知1l ∥2l ∥3l .可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DF AC DF DE EF=====或或或或等．（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．由DE∥BC可得：AD AE BD EC AD AEDB EC AD EA AB AC===或或．此推论较原定理应用更加广泛．（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．那么这条直线平行于三角形的第三边．此定理给出了一种证明两直线平行方法.即：利用比例式证平行线．（4）定理：平行于三角形的一边.并且和其它两边相交的直线.所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．1．（2021秋•金安区校级期末）如图.已知直线l1∥l2∥l3.直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F.若DE＝3.DF＝8.则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵l1∥l2∥l3.∴.∵DE＝3.DF＝8.∴.即＝.故选：B．2．（2021•兰州）如图.小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时.标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm.当测试距离为3m 时.最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【答案】B【解答】解：由题意得：CB∥DF..∵AD＝3m.AB＝5m.BC＝72.7mm..∴DF＝43.62（mm）.故选：B．考点2 相似三角形的性质与判定性质（1）相似三角形的对应角相等.（2）相似三角形的对应边成比例.（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（4）相似三角形周长的比等于相似比.（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方.判定（1）两角对应相等.两个三角形相似.（2）两边对应成比例且夹角相等.两三角形相似.（3）三边对应成比例.两三角形相似.三大常考相似模型模型一A字型模型二8字型模型三K型3．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）.用去一部分液体后如图2所示.此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解答】解：如图：过O作OM⊥CD.垂足为M.过O'作O'N⊥AB.垂足为N.∵CD∥AB.∴△CDO∽△ABO'.即相似比为.∴＝.∵OM＝15﹣7＝8（cm）.O'N＝11﹣7＝4（cm）.∴＝.∴AB＝3cm.故选：C．4．（2021秋•南岸区期末）如图.在△ABC中.D.E分别是AB和BC上的点.且DE∥AC...则△ABC与△DBE的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵.∴＝.∴＝.∵DE∥AC.∴△BDE∽△BAC.∴△ABC与△DBE的面积比＝（）2＝．故选：D5．（2021秋•椒江区期末）如图.点D.E分别在△ABC的边AB.AC上.且满足△ADE∽△ACB.∠AED＝∠B.若AB＝10.AC＝8.AD＝4.则CE的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵△ADE∽△ACB.∠AED＝∠B.∴＝.∴＝.∴AE＝5.∴CE＝AC﹣AE＝3.故选：B．6．（2021秋•贞丰县期末）如图AC与BD相交于点E.AD∥BC．若AE：AC＝1：3.S△AED：S△CEB为（）A．1：9B．1：4C．D．【答案】B【解答】解：∵AD∥BC．∴△ADE∽△BCE.∵AE：AC＝1：3.∴AE：EC＝1：2.∴S△AED：S△CEB＝1：4．故选：B．7．（2021•临沂）如图.点A.B都在格点上.若BC＝.则AC的长为（）A．B．C．2D．3【答案】B【解答】解：方法一：作CD⊥BD于点D.作AE⊥BD于点E.如右图所示.则CD∥AE.∴△BDC∽△BEA.∴.∴＝.解得BA＝2.∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝.故选：B．方法二：AB＝＝＝2.∵BC＝.∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝.故选：B．8．（2021•韩城市模拟）如图.矩形ABCD中.E.F分别为CD.BC的中点.且AE⊥EF.BC ＝2.则AC的长为（）A．B．2C．3D．2【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是矩形.∴AD＝BC＝2.∠D＝90°.∴∠DAE+∠AED＝90°.∵AE⊥EF.∴∠AEF＝90°.∴∠DEA+∠CEF＝90°.∴∠DAE＝∠CEF.∴tan∠DAE＝tan∠CEF.即.∵E.F分别为CD.BC的中点.∴DE＝CE.CF＝BC＝1.∴DE2＝AD•CF＝2×1＝2.∴DE＝（﹣舍去）.∴DC＝2DE＝2.在Rt△ADC中.根据勾股定理.得AC＝＝2．故选：D．9．（2021•安徽模拟）如图.在△ABC中.∠B＝60°.∠C＝45°.AB＝4.E为AC中点.D 为AB上一点.连接DE.当∠AED＝60°时.AD的长为（）A．2B．C．3D．【答案】C【解答】解：如图.过点A作AH⊥BC于H.∵∠B＝60°.AH⊥BC.∴∠BAH＝30°.∴BH＝AB＝2.AH＝BH＝2.∵sin C＝.∠C＝45°.∴＝.∴AC＝2.∵点E是AC的中点.∴AE＝EC＝.∵∠AED＝60°＝∠B.∠BAC＝∠DAE.∴△DAE∽△CAB.∴.∴＝.∴AD＝3.故选：C．10．（2020秋•长安区期末）如图.△ABC中.CD⊥AB于D.AD＝9.CD＝6.如果△ADC与△CDB相似.则BD的长度为．【答案】4或9【解答】解：∵CD⊥AB.∴∠ADC＝∠CDB＝90°,∵△ADC与△CDB相似.∴＝或,∵AD＝9.CD＝6.∴＝或＝,∴BD＝4或9．故答案为：4或9．11．（2021•连云港）如图.BE是△ABC的中线.点F在BE上.延长AF交BC于点D．若BF＝3FE.则＝．【答案】【解答】解：如图.∵BE是△ABC的中线.∴点E是AC的中点.∴＝.过点E作EG∥DC交AD于G.∴∠AGE＝∠ADC.∠AEG＝∠C.∴△AGE∽△ADC.∴.∴DC＝2GE.∵BF＝3FE.∴.∵GE∥BD.∴∠GEF＝∠FBD.∠EGF＝∠BDF.∴△GFE∽△DFB.∴＝＝.∴.∴＝.故答案为：．12．（2021•安徽模拟）（1）如图.Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.D为BC中点.E、F 分别为AB、AC上的动点.且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF.（2）如图2.Rt△ABC中.∠BAC＝90°.AC＝4.AB＝3.AD⊥BC.∠EDF＝90°．①求证：DF•DA＝DB•DE.②求EF的最小值．【答案】（1）略（2）略.【解答】（1）证明：如图1.连接AD.∵AB＝AC.∠BAC＝90°.BD＝CD.∴AD⊥BC.AD＝BD＝DC.∠B＝∠DAE＝45°.∵∠ADB＝∠EDF＝90°.∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF.即∠ADE＝∠BDF.在△BDF和△ADE中..∴△BDF≌△ADE（ASA）.∴DE＝DF.（2）①证明：∵AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠ADB＝∠EDF.∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF.即∠BDF＝∠ADE.∵∠BAD+∠DAE＝90°.∠BAD+∠B＝90°.∴∠B＝∠DAE.∴△BDF∽△ADE.∴＝.∴DF•DA＝DB•DE.②解：如图2.连接EF.在Rt△ABC中.∠BAC＝90°.AC＝4.AB＝3.则BC＝＝5.∴AD＝＝.由勾股定理得：DC＝＝.∵∠B＝∠B.∠ADB＝∠CAB.∴△ADB∽△CAB.∴＝.由①可知.＝.∴＝.∵∠EDF＝∠CAB＝90°.∴△EDF∽△CAB.∴＝.即＝.∴EF＝.当DE最小时.EF取最小值.当DE⊥AC时.DE最小.此时.DE＝＝＝.∴EF的最小值为：＝．13．（2021•靖西市模拟）如图.在△ABC中.点D.F.E分别在AB.BC.AC边上.DF∥AC.EF ∥AB．（1）求证：△BDF∽△FEC．（2）设．①若BC＝15.求线段BF的长.②若△FEC的面积是16.求△ABC的面积．【答案】（1）略（2）BF＝5.S△ABC＝16×＝36【解答】（1）证明：∵DF∥AC.∴∠BFD＝∠C.∵EF∥AB.∴∠B＝∠EFC.∴△BDF∽△FEC.（2）解：①∵EF∥AB.∴＝＝.∵BC＝15.∴＝.∴BF＝5.②∵＝.∴＝.∵EF∥AB.∴∠CEF＝∠B.∵∠C＝∠C．∴△EFC∽△BAC.∴＝（）2＝.∵S△EFC＝16.∴S△ABC＝16×＝36．1．（2021春•永嘉县校级期中）如图.已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC）.则下列结论正确的是（）A．B．C．AB2＝AC2+BC2D．BC2＝AC•BA【答案】A【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点.且AC＞BC.∴＝＝.∴选项A符合题意.AC2＝BC•AB.∴选项D不符合题意.∵＝＝.∴选项B不符合题意.∵AB2≠AC2+BC2.∴选项C不符合题意.故选：A2．（2021秋•南京期末）如图.在△ABC中.DE∥BC.＝.则下列结论中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】C【解答】解：∵DE∥BC.∴△ADE∽△ABC.∴＝＝＝.故A.B错误.∴＝.故C正确.∴＝（）2＝．故D错误．故选：C．3．（2021•平南县三模）如图.在△ABC中.点D在AC上.点F是BD的中点.连接AF并延长交BC点E.BE：BC＝2：7.则AD：CD＝（）A．2：3B．2：5C．3：5D．3：7【答案】A【解答】解：如图.过点D作DH∥AE交BC于H．∵BF＝DF.FE∥DH.∴BE＝EH.∴BE：BC＝2：7.∴EH：CH＝2：3.∵AE∥DH.∴＝＝.故选：A．4．（2021•吉安模拟）如图平行四边形ABCD.F为BC中点.延长AD至E.使DE：AD＝1：3.连结EF交DC于点G.若△DEG的面积是1.则五边形DABFG的面积是（）A．11B．12C．D．【答案】D【解答】解：如图.连接BG.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC.AD＝BC.∴∠E＝∠CFG.∵F为BC中点.∴FC＝BC＝AD.∵DE：AD＝1：3.∴DE：BC＝1：3.∴DE：CF＝2：3.∵∠E＝∠CFG.∠DGE＝∠CGF.∴△DGE∽CGF.∴DG：CG＝DE：CF＝2：3.∴S△DEG：S△CFG＝4：9＝1：S△CFG.∴S△CFG＝.取AD的中点Q.连接FQ.∴FQ∥DG.∴△EDG∽△EQF.∴DE：EQ＝1：2.5＝2：5.∴S△DEG：S△QEF＝4：25＝1：S△EQF.∴S△EQF＝.∴S四边形DQFG＝﹣1＝.∴S四边形ABFQ＝S四边形DQFG+S△CFG＝+＝.∴S五边形DABFG＝+＝．故选：D5．（2021•蚌埠二模）如图.在△ABC中.点D是AB上一点.且∠A＝∠BCD.S△ADC：S△BDC＝5：4.CD＝4.则AC长为（）A．5B．6C．9D．【答案】B【解答】解：∵S△ADC：S△BDC＝5：4.∴S△BCD：S△ABC＝4：9.∵∠A＝∠BCD.∠ABC＝∠CBD.∴△ABC∽△CBD.∴＝（）2＝.∴＝.∴AC＝6.故选：B．6．（2021•东港区校级二模）如图.AB为⊙O的直径.BC为⊙O的切线.弦AD∥OC.直线CD交BA的延长线于点E.连接BD．求证：（1）△EDA∽△EBD.（2）ED•BC＝AO•BE．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）连接DO.如图：∵AB为⊙O的直径.BC为⊙O的切线.∴∠CBO＝90°.∵AD∥OC.∴∠DAO＝∠COB.∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADO.∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中..∴△COD≌△COB（SAS）.∴∠CDO＝∠CBO＝90°.∵AB为⊙O的直径.∴∠EDO＝∠ADB＝90°.即∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°.∴∠EDA＝∠BDO.∵OD＝OB.∴∠BDO＝∠DBO.∴∠EDA＝∠DBO.即∠EDA＝∠DBE.∵∠E＝∠E.∴△EDA∽△EBD.（2）由（1）知：∠EDO＝∠EBC＝90°.又∠E＝∠E.∴△EOD∽△ECB.∴＝.∴ED•BC＝OD•BE∵OD＝AO.∴ED•BC＝AO•BE．1．（2021•阿坝州）如图.直线l1∥l2∥l3.直线a.b与l1.l2.l3分别交于点A.B.C和点D.E.F．若AB：BC＝2：3.EF＝9.则DE的长是（）A．4B．6C．7D．12【答案】B【解答】解：∵l1∥l2∥l3.∴AB：BC＝DE：EF．∵AB：BC＝2：3.EF＝9.∴DE＝6．故选：B．2．（2021•巴中）两千多年前.古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割.即：如图.点P 是线段AB上一点（AP＞BP）.若满足.则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见.例如：主持人在舞台上主持节目时.站在黄金分割点上.观众看上去感觉最好．若舞台长20米.主持人从舞台一侧进入.设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上.则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对【答案】A【解答】解：由题意知.点P是AB的黄金分割点.且PB＜P A.PB＝x.则P A＝20﹣x.∴.∴（20﹣x）2＝20x.故选：A．3．（2021•巴中）如图.△ABC中.点D、E分别在AB、AC上.且＝＝.下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC【答案】D【解答】解：∵＝＝.∴AD：AB＝AE：AC＝1：3.∵∠A＝∠A.∴△ADE∽△ABC.∴DE：BC＝1：3.故A错误.∵△ADE∽△ABC.∴△ADE与△ABC的面积比为1：9.周长的比为1：3.故B和C错误.∵△ADE∽△ABC.∴∠ADE＝∠B.∴DE∥BC．故D正确．故选：D．4．（2021•湘西州）如图.在△ECD中.∠C＝90°.AB⊥EC于点B.AB＝1.2.EB＝1.6.BC ＝12.4.则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.3【答案】C【解答】解：∵EB＝1.6.BC＝12.4.∴EC＝EB+BC＝14.∵AB⊥EC.∴∠ABE＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ABE＝∠C.又∵∠E＝∠E.∴△ABE∽△DCE.∴＝.即＝.解得：CD＝10.5.故选：C．5．（2021•温州）如图.图形甲与图形乙是位似图形.O是位似中心.位似比为2：3.点A.B 的对应点分别为点A′.B′．若AB＝6.则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15【答案】B【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形.位似比为2：3.AB＝6.∴＝.即＝.解得.A′B′＝9.故选：B．6．（2021•遂宁）如图.在△ABC中.点D、E分别是AB、AC的中点.若△ADE的面积是3cm2.则四边形BDEC的面积为（）A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2【答案】B【解答】解：如图.在△ABC中.点D、E分别是AB、AC的中点.∴DE∥BC.且＝.∴△ADE∽△ABC.∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4.∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3.∵△ADE的面积是3cm2.∴四边形BDEC的面积是9cm2.7．（2021•南充）如图.在△ABC中.D为BC上一点.BC＝AB＝3BD.则AD：AC的值为．【答案】【解答】解：∵BC＝AB＝3BD.∴.∵∠B＝∠B.∴△ABC∽△DBA.∴,∴AD:AC＝,故答案为：．8．（2021•百色）如图.△ABC中.AB＝AC.∠B＝72°.∠ACB的平分线CD交AB于点D.则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2.则BD＝．【答案】3﹣【解答】解：∵AB＝AC＝2.∴∠B＝∠ACB＝72°.∠A＝36°.∵CD平分∠ACB.∴∠ACD＝∠BCD＝36°.∴∠A＝∠ACD.∴AD＝CD.∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°.∴∠CDB＝∠B.∴BC＝CD.∴BC＝AD.∵∠B＝∠B.∠BCD＝∠A＝36°.∴△BCD∽△BAC.∴BC：AB＝BD：BC.∴AD：AB＝BD：AD.∴点D是AB边上的黄金分割点.AD＞BD.∴AD＝AB＝﹣1.∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣.故答案为：3﹣．9．（2021•包头）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.过点B作BD⊥CB.垂足为B.且BD ＝3.连接CD.与AB相交于点M.过点M作MN⊥CB.垂足为N．若AC＝2.则MN的长为．【答案】【解答】解：∵∠ACB＝90°.BD⊥CB.MN⊥CB.∴AC∥MN∥BD.∠CNM＝∠CBD.∴∠MAC＝∠MBD.∠MCA＝∠MDB＝∠CMN.∴△MAC∽△MBD.△CMN∽△CDB.∴..∴.∴.∴MN＝．故答案为：．10．（2021•菏泽）如图.在△ABC中.AD⊥BC.垂足为D.AD＝5.BC＝10.四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形.且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上.那么△AEM与四边形BCME的面积比为．【答案】1：3【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形.∴EF＝EH＝HM.EM∥BC.∴△AEM∽△ABC.∴.∴.∴EF＝.∴EM＝5.∵△AEM∽△ABC.∴＝（）2＝.∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM.∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3.故答案为：1：3．11．（2021•玉林）如图.在△ABC中.D在AC上.DE∥BC.DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED.（2）若CD＝AC.求的值．【答案】（1）略（2）【解答】（1）证明：∵DF∥AB.DE∥BC.∴∠DFC＝∠ABF.∠AED＝∠ABF.∴∠DFC＝∠AED.又∵DE∥BC.∴∠DCF＝∠ADE.∴△DFC∽△AED.（2）∵CD＝AC.∴＝由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝.故：＝（）2＝（）2＝．12．（2021•南通）如图.利用标杆DE测量楼高.点A.D.B在同一直线上.DE⊥AC.BC⊥AC.垂足分别为E.C．若测得AE＝1m.DE＝1.5m.CE＝5m.楼高BC是多少？【答案】9m【解答】解：∵DE⊥AC.BC⊥AC.∴DE∥BC.∴△ADE∽△ABC.∴＝.∴＝.∴BC＝9（m）.答：楼高BC是9m．13．（2021•滨州）如图.在⊙O中.AB为⊙O的直径.直线DE与⊙O相切于点D.割线AC ⊥DE于点E且交⊙O于点F.连接DF．（1）求证：AD平分∠BAC.（2）求证：DF2＝EF•AB．【答案】（1）略（2）略【解答】（1）证明：连接OD.如右图所示.∵直线DE与⊙O相切于点D.AC⊥DE.∴∠ODE＝∠DEA＝90°.∴∠ODA＝∠DAC.∵OA＝OD.∴∠OAD＝∠ODA.∴∠DAC＝∠OAD.∴AD平分∠BAC.（2）证明：连接OF.BD.如右图所示.∵AC⊥DE.垂足为E.AB是⊙O的直径.∴∠DEF＝∠ADB＝90°.∵∠EFD+∠AFD＝180°.∠AFD+∠DBA＝180°.∴∠EFD＝∠DBA.∴△EFD∽△DBA.∴.∴DB•DF＝EF•AB.由（1）知.AD平分∠BAC.∴∠F AD＝∠DAB.∴DF＝DB.∴DF2＝EF•AB．14．（2021•盐城）如图.O为线段PB上一点.以O为圆心.OB长为半径的⊙O交PB于点A.点C在⊙O上.连接PC.满足PC2＝P A•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线.（2）若AB＝3P A.求的值．【答案】（1）略（2）【解答】（1）证明：连接OC.∵PC2＝P A•PB.∴.∴△P AC∽△PCB.∴∠PCA＝∠B.∵∠ACB＝90°.∴∠CAB+∠B＝90°.∵OA＝OC.∴∠CAB＝∠OCA.∴∠PCA+∠OCA＝90°.∴OC⊥PC.∴PC是⊙O的切线.（2）解：∵AB＝3P A.∴PB＝4P A.OA＝OC＝1.5P A.PO＝2.5P A.∵OC⊥PC.∴PC＝＝2P A.∵△P AC∽△PCB.∴＝＝＝．1．（2021•武都区二模）如图所示.若点C是AB的黄金分割点.AB＝2.则AC的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点.∴AC＝AB＝＝．故选：C．22．（2021•香洲区二模）如图.AB∥CD∥EF.AF与BE相交于点G.若BG＝2.GC＝1.CE ＝5.则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵GC＝1.CE＝5.∴EG＝CE+CG＝5+1＝6.∵AB∥EF.∴∠BAG＝∠GFE.∠ABG＝∠GEF.∴△ABG∽△FEG.∴＝.∵BG＝2.EG＝6.∴＝＝.故选：B．2．（2021•武进区校级模拟）如图.在△ABC中.DE∥BC..则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵.∴.∵DE∥BC.∴.△ADE∽△ABC.∴.故B错误..故C正确..故D错误.已有的条件不能说明＝.故A错误．故选：C．3．（2021•镇江）如图.点D.E分别在△ABC的边AC.AB上.△ADE∽△ABC.M.N分别是DE.BC的中点.若＝.则＝．【答案】【解答】解：∵M.N分别是DE.BC的中点.∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线.∵△ADE∽△ABC.∴＝＝.∴＝（）2＝.故答案为：．4．（2021秋•阳山县期末）如图.已知△ABC∽△AMN.点M是AC的中点.AB＝6.AC＝8.则AN＝．【答案】【解答】解：∵△ABC∽△AMN.∴.∵M是AC的中点.AB＝6.AC＝8.∴AM＝MC＝4.∴.解得AN＝.故答案为：．5．（2021•兰州模拟）如图.已知△ABE∽△CDE.AD、BC相交于点E.△ABE与△CDE 的周长之比是.若AE＝2、BE＝1.则BC的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解答】解：∵△ABE∽△CDE.△ABE与△CDE的周长之比是.∴AE：CE＝2：5.∵AE＝2.∴CE＝5.∵BE＝1.∴BC＝BE+EC＝1+5＝6.故选：D．6．（2021•云南模拟）如图.在Rt△ABC中.∠ABC＝90°.BD⊥AC于点D.AD＝4.AB＝5.则AC长为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∵∠BAC＝90°.∴∠ADB＝∠ABC.∵∠DAB＝∠BAC.∴△ADB∽△ABC.∴＝.即＝.解得：AC＝故选：B．7．（2021•元阳县模拟）如图.点E是正方形ABCD的边CD上的一点．且＝.延长AE交BC的延长线于点F.则△CEF和四边形ABCE的面积比为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴AB＝BC＝CD.AB∥CD.∵.∴.∵AB∥CD.∴△CEF∽△BAF.∴＝（）2.∴S△BAF＝9S△CEF.∴S四边形ABCD＝8S△CEF.故选：C．8．（2021•滦南县二模）如图.某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔AB的高度.他们先在水平地面上一点E放置了一个平面镜.镜子与铁塔底端B的距离BE＝16m.当镜子与观测者小芳的距离ED＝2m时.小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A.已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5m.铁塔AB的高度为（）（根据光的反射原理.∠1＝∠2）A．9m B．12m C．15m D．18m【答案】B【解答】解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE.∴＝.∴＝.∴AB＝12（米）．故选：B．9．（2021•城关区校级模拟）如图.AB、CD都是BD的垂线.AB＝4.CD＝6.BD＝14.P是BD上一点.联结AP、CP.所得两个三角形相似.则BP的长是．【答案】2或12或【解答】解：设BP＝x.则PD＝14﹣x.当△ABP∽△PDC时.＝.即＝.解得.x1＝2.x2＝12.当△ABP∽△CDP时.＝.即＝.解得.x＝.综上所述.当所得两个三角形相似时.则BP的长为2或12或.故答案为：2或12或．10．（2021•二道区校级一模）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.CD是斜边AB的中线.过点C、D分别作CE∥AB.DE∥AC交于点E.连结BE．（1）求证：四边形CDBE是菱形．（2）若AB＝10.tan A＝.则菱形CDBE的面积为．【答案】（1）略（2）24【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°.CD是斜边AB的中线.∴CD＝AD＝DB＝AB.∵CE∥AB.DE∥AC.∴四边形ADEC是平行四边形.∴CE＝AD.∴CE＝DB.∴四边形CDEB是平行四边形.∵CD＝DB.∴四边形CDBE是菱形.（2）解：∵∠ACB＝90°.AB＝10.tan A＝.∴＝.∴设BC＝3x.AC＝4x.∵AC2+BC2＝AB2.∴（4x）2+（3x）2＝102.∴x＝2或x＝﹣2（舍去）.∴BC＝6.AC＝8.∵四边形ADEC是平行四边形.∴AC＝DE＝8.∴菱形CDBE的面积＝BC•DE＝×6×8＝24.故答案为：24．11．（2020•曹县二模）如图.AB是⊙O的直径.C为⊙O上一点.PC切⊙O于C.AE⊥PC 交PC的延长线于E.AE交⊙O于D.PC与AB的延长线相交于点P.连接AC、BC．（1）求证：AC平分∠BAD.（2）若PB：PC＝1：2.PB＝4.求AB的长．【答案】（1）略（2）12【解答】解：（1）如图所示：连接OC．∵PC是⊙O的切线.∴OC⊥EP．又∵AE⊥PC.∴AE∥OC．∴∠EAC＝∠ACO．又∵∠ACO＝∠AOC.∴∠EAC＝∠OAC．∴AC平分∠BAD.（2）∵AB是⊙O的直径.∴∠ACB＝90°.∴∠BAC+∠ABC＝90°．∵OB＝OC.∴∠OCB＝∠ABC．∵∠PCB+∠OCB＝90°.∴∠PCB＝∠P AC．∵∠P＝∠P.∴△PCA∽△PBC.∴＝.∴P A＝＝16．∴AB＝P A﹣PB＝16﹣4＝12．。
专题复习 《相似三角形》复习指导
《相似三角形》复习指导安徽李庆社●复习目标通过相似形一章的复习，了解利用类比的思想矛盾转化的思想去探索发现新问题的方法，了解可以将多边形的问题转化为三角形的问题来解决，初步培养发现问题和研究问题的习惯以及分析问题的能力．感受相似、位似变换等在日常生活中的应用，体会从运动的角度研究图形的方法．●重难点本章的重点是相似三角形的识别及相似三角形的性质。
难点是相似三角形的性质与判定定理的应用。
按照“特殊——一般——特殊”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展过程，有利于突破本章的重难点。
1.平行线分线段成比例定理所对应的基本图形(如图).要求：(1)用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式，会分线段成已知比；(2)对图(a),(b)要求会用比例式证明两直线平行.2.相似三角形所对应的基本图形.(1)类比推广：从特殊到一般，如图；(2)从一般到特殊：如图.要求：用对比的方法掌握相似三角形和相似多边形的定义及性质，系统总结相似三角形的判定方法和使用范围，尤其注意利用中间相似三角形的方法.3.熟悉一些常用的基本图形中的典型结论有助于探求解题思路.(1)在图(a)中的相似三角形及相似比、面积比；(2)在图(b)中有公边共角的两个相似三角形：公边的平方等于两相似三角形落在一条直线上的两边之积；(3)在图(d)中射影定理及面积关系等常用的乘积式.●思想方法本章体现的数学思想方法主要有：方程的思想，用其中一个字母表示其他字母；转化思想；特殊与一般的思想、分类讨论的思想等。
●知识要点回顾1、相似形的概念生活中,我们常常会遇到很多这样形状相同而大小不一定相同的图形，在数学上,我们把具有相同形状的图形称为相似形.相似形定义影注意两点：（1）相同点:形状相同；（2）不同点:大小不一定相同.2、成比例线段在四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =（或a:b=c:d ）,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段.其中ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或cb b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．3、相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等。
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A D
∠ACB =Rt∠ CD⊥AB
B C
发现
题目具备基本图形 所有特征，可直接 通过基本图形性质 作答的简单应用。 题目具备基本图形 部分特征，可稍作 变形才能求解。
基本 图形
构造
活用
基本图形的运用只 是求解的一个重要 环节，运用转化思 想可化难为易。
A D B E C
B D
A
E C
1.已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上 的两点，连接DE.(2)若AB=6cm,AC=4cm,AD=2cm, 且△ADE与△ABC相似，则AE的长为 .
A D B E C
B D
A
E C
1.已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上 的两点，连接DE.(3)若AB=6cm,AC=4cm,AD=2cm, SADE : S四边形BCED 且△ADE与△ABC相似，则 为 .
x a-x
A
m
E
a-m
B
4.变：如图，已知：∠A=∠GEF=Rt∠，AB=10, BF=4,∠B=60°,设AE=x,AG=y,求y与x的函数 关系式。
G F
A
E
B
相似三角形基本图形的小结：
A
A B C
“A”型
B
D
E C
D
“8”型EΒιβλιοθήκη AA D B E C
B E C D
D
A B C E
A D B C
A D B E C
B D
A
E C
2.如图，已知：AB⊥BD于点B ，CD⊥BD于点D， AB=6，CD=4，BD=14.问：线段BD上是否存在一 点P，使以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、 P为顶点的三角形相似？若存在，求P的位置； 若不存在，请说明理由.
A C 6 4 B P D
3.如图,在矩形ABCD中，点G，F分别在AD，BC上运动 （点G不与A重合，点F不与B重合），E是AB上的动点 （点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持 GE⊥EF，且AG+GE=AB=a．设AE=m，请探究：△BEF的 周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示 △BEF的周长；若无关请说明理由． D C G F
相似三角形基本图形的归纳：
A
A B C
“A”型
B
D
E C
D
“8”型
E
A D B E C
D
A B C E
A D B C
A D
∠ACB =Rt∠ CD⊥AB
B C
1.已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的 两点，连接DE.(1)要使△ADE与△ABC相似，则 需添加的一个条件是_____________.