非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义教案资料
第3讲 定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理一、知识梳理 1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ．(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．常用结论1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、习题改编1．(选修2-2P66T14改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.2．(选修2-2P66A 组T14改编)⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝________． 解析：⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1.答案：13．(选修2-2P55A 组T1改编)若⎠⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－14．(选修2-2P60A 组T6改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________m.解析：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t 21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)误解积分变量致误； (2)不会利用定积分的几何意义求定积分；(3)f (x )，g (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错． 1．定积分⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝________．解析：⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝(t 2＋1)x |2－1＝2(t 2＋1)＋(t 2＋1)＝3t 2＋3. 答案：3t 2＋3 2.⎠⎛22－x 2d x ＝________解析：⎠⎛022－x 2d x 表示以原点为圆心，2为半径的14圆的面积，故⎠⎛022－x 2d x ＝14π×(2)2＝π2.答案：π23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪20＝－83＋4＝43.答案：43[学生用书P53]定积分的计算(多维探究) 角度一 利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛122x d x ；(2)⎠⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x . 【解】 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121xd x ＝2ln x ⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛0πcos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪31＋1x ⎪⎪⎪31＝223. 角度二 利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ；(2)⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x .【解】 (1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )， 所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5，5]上是奇函数． 所以⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x .所以⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．1.⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪⎪1-1＋e x ⎪⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C. 2.⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝________． 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分求平面图形的面积(师生共研)(一题多解)求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积． 【解】如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.设阴影部分的面积为S ，则对如图所示的四种情况分别有：(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .1．已知曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线为l ，则由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域的面积等于________．解析：因为y ′＝2x ＋2，所以曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝2，所以切线方程为y ＝2x ，所以由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S ＝⎠⎛1(x 2＋2x －2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13.答案：132.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 答案：－1定积分在物理中的应用(师生共研)(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.【解析】 (1)令v (t )＝0得，3t 2－4t －32＝0， 解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去. 汽车的刹车距离是⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(t ＋1)]⎪⎪⎪40 ＝4＋25ln 5.(2)由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42 ＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．【答案】 (1)C (2)36定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .1．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，因为(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2＋1－10t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t－5t 2＝5，整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.2．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位： N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ，因为⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ′＝x 2＋1，所以原式＝342(J)．答案：342[学生用书P274(单独成册)][基础题组练]1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e. 2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）d x |1＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈（1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3C.π4＋43D ．π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.5.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13 B ．310C.14D ．15解析：选A.由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛1x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝⎠⎛－111d x ＝x |1－1＝2.答案：28．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x＝1时F (x )所做的功等于________．解析：由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎫110e x ＋x d x＝－⎝⎛⎭⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25. 答案：－e 10－259．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22⎪⎪⎪21－x 33⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x＝sin x ⎪⎪⎪0－π＋e x ⎪⎪⎪－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43. [综合题组练]1．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )A.329B ．4－ln 3C ．4＋ln 3D ．2－ln 3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.（舍） 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.故阴影部分的面积为⎠⎛13⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝ ⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪31＝4－ln 3. 2．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：33 3.⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________． 解析：⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2. 而⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )⎪⎪⎪1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案：π2＋e －1e－2 4．若函数f (x )在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________． 解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 44－x 3⎪⎪⎪20＝－4. 答案：－45．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t 1(x 2－t 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t＝⎝⎛⎭⎫13－t 2－⎝⎛⎭⎫13t 3－t 3＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33. 所以当S 1＝S 2时，t ＝33.。
〖2021年整理〗《定积分与微积分基本定理》优秀教案
§定积分与微积分基本定理考纲解读分析解读 1.了解微积分基本定理,会求函数的定积分.2.理解定积分的几何意义,会求曲边梯形的面积.3.本节在高考中分值为5分左右,属中低档题.五年高考考点一定积分的计算1.(2014陕西,3,5分)定积分(2x+e x)dx的值为()+2+1答案C2.(2014湖南,9,5分)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()====答案A3.(2013江西,6,5分)若S1=()<S2<S3<S1<S3<S3<S1<S2<S1答案B4.(2015湖南,11,5分)dx=.答案0教师用书专用(5—7)5.(2014湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是().1答案C6.(2013湖南,12,5分)若x2dx=9,则常数T的值为.答案37.(2013福建,15,5分)当x∈R,|x|<1时,有如下表达式:1+x+x2+…+x n+…=.两边同时积分得:答案考点二定积分的意义1.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()答案D2.(2013湖北,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()+25ln5+25ln+25ln5+50ln2答案C3.(2015天津,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案4.(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案教师用书专用(5)5.(2014辽宁,14,5分)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是.答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一定积分的计算1.(2018北师大附中期中,5)若a=e x dx,b=xdx,c=dx,则a,b,c的大小关系是()<b<c<c<a<a<b<b<a答案D2.(2017湖南摸底联考,5)设实数a=log23,b=lo,c=,则()>b>c>c>b>a>c>c>a答案A3.(人教A选2—2,一,1-6A,1,变式)已知f(x)=(e为自然对数的底数),则f(x)dx=()C. D.答案D考点二定积分的意义4.(2018江西重点中学联考,6)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,过C,M,D三点的抛物线与CD围成阴影部分,则向正方形内随机撒一粒黄豆,黄豆落在阴影部分的概率是()A. B. C. D.答案D5.(2017山西大学附中第二次模拟,13)曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为.6.(人教A选2—2,一,1-7B,1,变式)计算:dx=.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018湖南衡阳联考,10)如图,函数f(x)=的图象与x轴围成一个山峰形状的图形,设该图形夹在两条直线x=t,x=t+2(-2≤t≤2)之间的部分的面积为S(t),则下列判断正确的是()(0)=4ln2+2(-2)=2S(2)(t)的最大值为S(1)(t)在[-2,2]上的最大值与最小值之差为6-4ln2答案D2.(2017湖北百所重点校联考,5)“b≤dx”是“函数f(x)=为R上的单调函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B3.(2017湖南郴州第一次教学质量监测,9)如图,△ABC中的阴影部分是由曲线y=x2与直线x-y+2=0所围成的,向△ABC内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为()A. B. C. D.答案D4.(2016河北保定一模,7)若二项式的展开式中的常数项为-540,则(3x2-1)dx=()二、填空题(共5分)5.(2017福建泉州晋江平山中学期中,13)曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=所围成的图形的面积为.答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1定积分的求解1.(2017江西仿真模拟,3)设f(x)+g(x)=2tdt,x∈R,若函数f(x)为奇函数,则g(x)的解析式可以为()x+x答案C2.(2016安徽池州二模,5)dx=()2222答案C方法2求曲边梯形的面积3.(2017湖南衡阳第二次联考,14)我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图所示,在空间直角坐标系的xOy平面内,若函数f(x)=的图象与x轴围成一个封闭的区域A,将区域A沿z轴的正方向平移4个单位,得到几何体如图(1),现有一个与之等高的圆柱如图(2),其底面积与区域A的面积相等,则此圆柱的体积为.答案π+4。
数学《定积分与微积分基本定理》教案
定积分与微积分基本定理一. 教学内容：定积分与微积分基本定理二. 教学目的：1. 了解定积分的定义和定积分的几何意义；2. 会用定积分求一些平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力所做的功。
三. 重点、难点：定积分的定义和定积分的几何意义；微积分基本定理。
［知识分析］知识点1：定积分的定义1. 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的．它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下： （1）把闭区间［a ，6］用n ＋1个分点（包括两个端点0n x a,x b ==）分为任意n 个小区间，并非要求一定分成n 等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用n 等分的方法去布列分点． （2）在每个小区间i x ∆上，点ξ的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即i i 1i x x 2-+ξ=，也可以取在小区间的两个端点，即i i x ξ=或i i 1x -ξ=，还可以取在小区间的其他任何位置（i ＝1，2，…，n ）． （3）从几何意义上讲，i i f ()x ξ⋅∆（i ＝1，2，…，n ）表示以i x ∆为底边，以i f ()ξ为高的第i 个小矩形的面积，而不是第i 个小曲边梯形的面积，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑表示n 个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑可以近似地表示曲边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高． （4）总和n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑取极限时的极限过程为“i x 0∆→”（n →∞），当分割无限变细，即n →∞时，不一定能保证和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积．（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义n 1bi iax 0i 0f (x)dx lim f ()x -∆→==ξ⋅∆∑⎰实际上给出了定积分baf (x)dx⎰的一个计算方法，在实际问题中，由于它太繁琐，故很少使用．2. 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即bb ba a a f (x)dx f (u)du f (t)dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分baf (x)dx⎰与积分区间［a ，b ］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同，例如12(x1)dx+⎰与320(x 1)dx+⎰的值就不同。
定积分的概念与微积分基本定理(优质课)教案
定积分的概念与微积分基本定理（优质课）教案教学目标：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.教学过程：一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，()()i ni n ni i x f n x f S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim ()()i ni n n i i t v nt v S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b −=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x −上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==−=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→−1lim其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ−∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=−∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=−=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
高考数学Ι轮教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理
高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理》一、教学目标：1. 理解定积分与微积分的基本定理的概念。
2. 掌握定积分的性质和计算方法。
3. 学会应用定积分解决实际问题。
二、教学重点：1. 定积分与微积分的基本定理的概念。
2. 定积分的性质和计算方法。
三、教学难点：1. 定积分与微积分的基本定理的理解和应用。
2. 定积分的计算方法的掌握。
四、教学准备：1. 教材或教辅资料。
2. 投影仪或黑板。
3. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：通过复习微积分的基本概念，引导学生思考微积分的应用，引出定积分与微积分的基本定理。
2. 讲解：讲解定积分与微积分的基本定理的概念，解释定积分的性质和计算方法。
3. 示例：给出定积分的计算示例，引导学生理解定积分的计算方法。
4. 练习：给出练习题，让学生独立完成，老师进行讲解和解析。
5. 总结：总结本节课的重点内容，强调定积分与微积分的基本定理的理解和应用。
6. 作业：布置相关的作业题，让学生进行巩固练习。
六、教学拓展：1. 引导学生思考定积分在实际问题中的应用，例如物理学、经济学等领域。
2. 介绍定积分的进一步研究，如定积分的广义概念、多重积分等。
七、教学反思：1. 课后对自己的教学进行反思，观察学生的学习情况，看是否达到了教学目标。
2. 针对学生的学习情况，调整教学方法，以便更好地引导学生理解和掌握定积分与微积分的基本定理。
八、课后作业：1. 完成教材或教辅资料中的相关练习题。
九、课后辅导：1. 对学生在课堂上的疑问进行解答。
2. 针对学生的学习进度，提供个性化的辅导。
十、教学评价：1. 通过课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等方面，对学生的学习情况进行评价。
2. 结合学生的反馈，对教学方法进行改进，提高教学效果。
重点和难点解析一、教学目标：在制定教学目标时，需要明确学生应掌握的知识点和技能，以及培养学生的能力。
对于定积分与微积分的基本定理，学生应理解其概念，掌握定积分的性质和计算方法，并能够应用定积分解决实际问题。
定积分与微积分基本定理同步辅导教案
学生姓名： 年级 授课时间 教师姓名 课时课 题 定积分的计算与应用 教学目标 了解定积分的定义，理解定积分的几何意义及性质，掌握微积分基本定理，分求常见函数的定积分，掌握定积分的简单应用。
重点难点定积分的计算与应用一、知识梳理1、定积分概念定积分定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i ina x x x x x xb -=<<<<<<<=，将区间[,]a b 等分成几个小区间，在每一个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=，作和1()()ni i i b af xi f nξξ=-∆=∑，当n →∞时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作1[,]i i x x -()b af x dx ⎰，即1()lim()nb ai n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰，这里a 、b 分别叫做积分的下限与上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.2、定积分的几何意义：由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，曲线y ＝f (x )( f(x)在区间[a,b]上连续且f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积.d )(x x f S ba ⎰=;若f(x)<=0，则定积分为面积的相反数。
3、定积分性质（1）()()bb a a kf x dx k f x dx =⎰⎰（K 为常数）； （2）1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()()cb b ac a f x dx f x dx f x dx a c b +=<<⎰⎰⎰4、微积分基本定理一般地，如果()f x 是在[,]a b 上有定义的连续函数，()f x 是在[,]a b 上可微，并且'()()F x f x =，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把()()F b F a -，记作()|b a F x ，即()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-⎰.5、常见求定积分的公式（1）11|(1)1b nn b aa x dx x n n +=≠-+⎰ （2）|b ba a cdx cx =⎰（C 为常数） （3）sin cos |b ba a xdx x =-⎰（4）cos sin |b b a a xdx x =⎰ （5）1ln |(0)b b a a dx x b a x=>>⎰（6）|b x x b a a e dx e =⎰（7）|(01)ln x b xbaa a a dx a a a=>≠⎰且6、定积分的简单应用 （1）求曲边梯形的面积：①由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积.d )(x x f S ba ⎰=②由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)围成的曲边梯形的面积.d )(d )(x x f x x f baba⎰⎰-=③由两条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )(f (x )＞g (x ))围成的平面图形的面积.d )]()([x x g x f S ba ⎰-=④由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，一条曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积-=⎰ca x x f S d )(x x f bcd )(⎰，即在区间[a ，b ]上，f (x )有正有负，求曲边梯形的面积时应分段计算．（2）变速直线运动问题：作变速运动物体在[,]a b 时间内的路程s 是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程()b a s v t dt =⎰；如果()0()v t a t b ≤≤≤时，则路程()b a s v t dt =-⎰.（3）变力作功问题：物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x=a 到x=b 所作的功为x x bc d )(F ⎰二、典型例题分析例1 计算下列定积分：(1)x x d 220⎰；(2)x x d sin π⎰；(3)⎰3e d xx ；(4)x x x d )sin 3(2π0⎰-； (5)x c bx ax d )(12⎰++；(6)x x x d )cos (sin π2π⎰-．例2 计算下列定积分：(1)x x d ||11⎰-； (2)设⎩⎨⎧>-≤=.0,1cos ,0,)(2x x x x x f 求x x f d )(11⎰-练习1. 求下列定积分（1）33x dx ⎰ （2）⎰πcos xdx （3）201dx x⎰（4）220sin 2x dx π⎰（5）⎰-+11)1(||dx x x练习2. 计算：22(sin 2)x dx -+=⎰练习3..设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩ 则20()f x dx ⎰=（ ）A.34B.45C.56D.不存在例3.（2010山东卷）由曲线y=x 2,y=x 3围成的封闭曲线图形面积为( )A 1/12B 1/4C 1/3D 7/12练习4：求曲线y ＝e x ，y ＝e --x 及直线x ＝1所围成图形的面积．练习5：过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a ＞0)所围成图形的面积为329a ，求直线l 的方程．例4. 例2. 汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解题思路】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.解析：由题意，054v =千米/时米/秒0()153v t v at t ∴=-=-，令()0v t ∴=得15－3t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为55250003()(153)(15)|37.5()0.03752s v t dt v t dt t t ==-=-==⎰⎰米公里 答：汽车走了0.0373公里.三、课后练习 (1)定积分的运算1.已知f (x )为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．162．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则20⎰f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 3．计算以下定积分： (1) 21⎰(2x 2－1x )d x ；(2)32⎰(x ＋1x)2d x ； (3)30π⎰(sin x －sin2x )d x ；(2)求曲多边形的面积4．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 B.43 C. 3 D ．25．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分 的面积为43，则k ＝________.6．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P的坐标为________．(3)定积分在物理中的应用7.一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为 ( )A.176B.143C.136D.1168．若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要花费的功为( )A ．0.05 JB ．0.5 JC ．0.25 JD ．1 J(4)定积分的综合应用9.(2010·烟台模拟)若y ＝0x ⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72 D ．010．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x ＝5，10⎰xf (x )d x ＝176，那么21⎰f (x )x d x 的值是________．。
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案章节一：定积分的概念1.1 引入定积分的概念1.2 定积分的几何意义1.3 定积分的性质1.4 定积分的计算方法章节二：定积分的计算2.1 定积分的换元法2.2 定积分的分部积分法2.3 定积分的三角函数法2.4 定积分的特殊函数法章节三：定积分的应用3.1 定积分在几何中的应用3.2 定积分在物理中的应用3.3 定积分在经济学中的应用3.4 定积分在其他领域的应用章节四：微积分基本定理4.1 微积分基本定理的引入4.2 微积分基本定理的证明4.3 微积分基本定理的应用4.4 微积分基本定理的拓展章节五：定积分的进一步应用5.1 定积分的双重积分5.2 定积分的三重积分5.3 定积分的线积分5.4 定积分的面积分《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节六：定积分的数值计算6.1 梯形法则6.2 辛普森法则6.3 柯特斯法则6.4 蒙特卡洛方法章节七：定积分的误差分析7.1 梯形法则的误差分析7.2 辛普森法则的误差分析7.3 柯特斯法则的误差分析7.4 蒙特卡洛方法的误差分析章节八：微积分基本定理的应用8.1 微积分基本定理在求解不定积分中的应用8.2 微积分基本定理在求解定积分中的应用8.3 微积分基本定理在求解极限中的应用8.4 微积分基本定理在求解导数中的应用章节九：定积分的优化问题9.1 利用定积分求解最大值和最小值9.2 利用定积分求解极值问题9.3 利用定积分求解最值问题的应用实例9.4 利用定积分求解实际问题中的优化问题章节十：定积分与微积分基本定理的综合应用10.1 利用定积分和微积分基本定理解决实际问题10.2 定积分和微积分基本定理在工程中的应用10.3 定积分和微积分基本定理在科学研究中的应用10.4 定积分和微积分基本定理在其他领域的应用《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节十一：定积分的物理意义11.1 定积分在物理学中的作用11.2 定积分与力学中的功11.3 定积分与电磁学中的电场强度11.4 定积分在热力学中的应用章节十二：定积分在工程中的应用12.1 定积分在土木工程中的应用12.2 定积分在机械工程中的应用12.3 定积分在电子工程中的应用12.4 定积分在生物医学工程中的应用章节十三：定积分在经济与管理中的应用13.1 定积分在经济学中的优化问题13.2 定积分在金融学中的应用13.3 定积分在运筹学中的应用13.4 定积分在管理科学中的应用章节十四：定积分在现代科技中的应用14.1 定积分在计算机科学中的应用14.2 定积分在数据科学中的应用14.3 定积分在中的应用14.4 定积分在其他现代科技领域的应用章节十五：定积分与微积分基本定理的复习与提高15.1 定积分的基本概念与性质的复习15.2 微积分基本定理的复习与应用15.3 定积分的计算方法的巩固与提高15.4 定积分在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析重点：1. 定积分的概念和几何意义2. 定积分的计算方法：梯形法则、辛普森法则、柯特斯法则和蒙特卡洛方法3. 定积分的应用领域：几何、物理、经济学等4. 微积分基本定理的引入、证明和应用5. 定积分的数值计算和误差分析6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等难点：1. 定积分的换元法和分部积分的具体操作2. 定积分的三角函数法和特殊函数法的应用3. 微积分基本定理的证明过程中的理解和应用4. 定积分的数值计算方法的误差分析5. 定积分在实际问题中的优化问题和应用实例6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等，这些应用领域的理解和实际问题解决能力的培养。
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定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念：在f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质：①kf(x)d x＝kf(x)d x.②[f(x)±f2(x)]d x＝f1(x)d x±f2(x)d x.1③f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x.[探究] 1.若积分变量为t，则f(x)d x与f(t)d t是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)d x＝F(x)＝F(b)－F(a)．课前预测：1.d x等于()A．2ln2B．－2ln2C．－ln2 D．ln22．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()A.B.C. D.23．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．4．(教材改编题)d x ＝________.5．由y ＝，直线y ＝－x ＋所围成的封闭图形的面积为________ 考点一利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)(sin x －cos x )d x ；(3)x (x ＋1)d x ；(4)d x ； (5)20π⎰sin 2d x .——————————————————— 求定积分的一般步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．强化训练：1．求下列定积分：(1)|x －1|d x ；(2)20π⎰d x .考点二利用定积分的几何意义求定积分[例2] d x ＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求d x 的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．强化训练：2．(2014·福建模拟)已知函数f(x)＝(cos t－sin t)d t(x>0)，则f(x)的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3](2014·山东高考)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.B．4 C. D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．4强化训练：3．(2014·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为()A. B. C. D.考点四：定积分在物理中的应用[例4]列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v(t)d t.2．变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b 所做的功为F(x)d x.强化训练：4．一物体在力F(x)＝(0≤x≤2),3x＋4(x>2)))(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为() A．44J B．46J C．48J D．50J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负，而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例](2013·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()6A. B. C. D.2．(2014·山东高考)设a>0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.d x＝()A．ln x＋ln2x B.－1 C. D.2．(2012·湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A. B. C. D.3．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)d x＝3f(x0)，则x0等于() A．±1 B.C．±D．24．设f(x)＝x∈[0，1]，,2－x，x∈ 1，2]，))则f(x)d x＝()A. B. C. D．不存在5．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.mB.mC.mD.m6．(2013·青岛模拟)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为()A.B．1 C. D.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)87．设a ＝sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中，首项a 1＝，a 4＝(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．9．(2013·孝感模拟)已知a ∈，则当(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．计算下列定积分：(1)20π⎰sin 2x d x ；(2)2d x ；(3)120⎰e 2x d x .11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在s ～6s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分：(1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)d x . 3．求曲线y ＝，y ＝2－x ，y ＝－x 所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝(0≤t ≤10)，,4t ＋60(10<t ≤20)，,140(20<t ≤60).))某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1min 行驶的路程超过7673m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测：1.Ｄ ２.Ａ ３. ４.π ５.－2ln2例１：(1). (2)2. (3). (4)e 4－e 2＋ln2. (5).变式１：解：(1)|x －1|＝x ∈[0，1),x －1，x ∈[1，2]))故|x －1|d x ＝(1－x )d x ＋(x －1)d x ＝＋＝＋＝1.(2)20π⎰d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x )24ππ＝－1＋(－1＋)＝2－2.例２：[自主解答] d x 表示y ＝与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又∵0≤x ≤1，∴y ＝与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为个圆，其面积为. ∴d x ＝.互动：解：d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以 d x ＝.变式２. －1 例３.Ｃ 互动：. 变式３.Ｄ例４：[自主解答]a＝－0.4m/s2，v＝72km/h＝20m/s.设t s后的速度为v，则v＝20－0.4t.令v＝0，即20－0.4t＝0得t ＝50(s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝v d t＝(20－0.4t)d t＝(20t－0.2t2)＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动．变式４.46 典例：[解析]由题意可得f(x)＝所以y＝xf(x)＝与x轴围成图形的面积为12⎰10x2d x＋112⎰错误！未指定书签。
定积分和微积分基本定理 优质辅导讲义
b
v(t)dt ；
a
若 v(t) <0，则相应的时间段[a，b]上的路程为 s
b
v(t)dt
a
二、基本性质
性质 1 b1dx b a . a
性质 2
b kf (x)dx k
b
f (x)dx
(其中k是不为0的常数) （定积分的线性性质）.
a
a
性质 3
b
[
a
f1(x)
f2 (x)]dx
b a
f1(x)dx
b
a f2 (x)dx （定积分的线性性质）.
性质 4 b f (x)dx c f (x)dx b f (x)dx (其中a c b) （定积分对积分区间的可加性）
a
a
c
推广 1
b
[
a
f1(x)
f2(x)
fm (x)]dx
b a
f1(x)dx
b a
f2 (x)dx
2x A. -2 ln 2 B. 2 ln 2 C. -ln2
D. ln 2
变式 2 1(ex 2x)dx 0
A.1 B e1 . C. e D. e+1
变式 3
设函数 f x ax2 c a 0 ，若
1 f x dx
0
f x0
0 x0 1 ，则 x0 的值为
．
变式 4
i i 1,2,,n ，作和式：Sn n f (i )x i1
n i 1
ba n
f (i ) ，当 Dx
无限接近于 0（亦即 n ）时，
上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区间[a, b] 上的定积分．记为：
定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。
3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。
2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。
4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。
2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。
3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。
2. 第二课时：微积分基本定理的证明。
3. 第三课时：微积分基本定理的应用。
4. 第四课时：定积分的综合练习。
六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。
2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。
3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。
七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。
2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。
八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。
2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。
微积分基本定理教案
微积分基本定理教案教案标题：微积分基本定理教案教学目标：1. 理解微积分基本定理的概念和意义；2. 掌握微积分基本定理的两个部分：第一部分——积分与原函数的关系，第二部分——定积分的计算；3. 能够运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。
教学准备：1. 教材：微积分教材；2. 教具：黑板、粉笔、投影仪；3. 学生辅助教学资料：练习题、习题答案。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用导数的概念引出积分的概念，复习导数的定义和求导法则。
2. 提问学生：如果已知一个函数的导数，能否还原出原函数？为什么？二、讲解微积分基本定理的第一部分（10分钟）1. 定义积分和原函数的关系：如果函数F(x)在[a, b]上连续，且F'(x) = f(x)，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
2. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第一部分求函数的不定积分。
三、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。
3. 对部分练习题进行讲解和解答，引导学生理解微积分基本定理的应用。
四、讲解微积分基本定理的第二部分（10分钟）1. 定义定积分的概念：如果函数f(x)在[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]上的面积或曲线长度。
2. 引出微积分基本定理的第二部分：如果函数f(x)在[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
3. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第二部分计算定积分。
五、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。
3. 对部分练习题进行讲解和解答，巩固学生对微积分基本定理的掌握。
六、拓展应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。
(复习指导)3.3 定积分与微积分基本定理含解析
3.3 定积分与微积分基本定理必备知识预案自诊知识梳理1.定积分的定义如果函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点ξi (i=1,2,…,n ),作和式∑i=1nf (ξi )Δx=∑i=1n b -a nf (ξi ),当n →+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫作函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作∫baf (x )d x.2.定积分的几何意义(1)当函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续且恒有f (x )≥0时,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是由直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0和曲线y=f (x )所围成的曲边梯形(图①中阴影部分)的面积.图①图②(2)一般情况下,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y=f (x )以及直线x=a ,x=b之间的曲边梯形(图②中阴影部分)面积的代数和,其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.3.定积分的性质(1)∫ba kf (x )d x= (k 为常数); (2)∫ba [f (x )±g (x )]d x= ;(3)∫baf (x )d x= (其中a<c<b ).4.微积分基本定理一般地,如果f (x )是图像在区间[a ,b ]上连续的函数,并且F'(x )=f (x ),那么∫baf (x )d x= .这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫作f(x)的一个原函数.为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作,即∫ba f(x)d x=F(x)|a b=F(b)-F(a).5.定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=∫ba v(t)d t.(2)变力做功:某物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=∫baF(x)d x.1.定积分与曲边梯形的面积的关系:设图中阴影部分的面积为S,则(1)如图(1),S=∫baf(x)d x;(2)如图(2),S=-∫baf(x)d x;(3)如图(3),S=∫ca f(x)d x-∫bcf(x)d x;(4)如图(4),S=∫ba[f(x)-g(x)]d x.2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有:(1)若f(x)是偶函数,∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;(2)若f(x)是奇函数,则∫a-af(x)d x=0.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续,则∫ba f(x)d x=∫b a f(t)d t.()(2)若f(x)是图像连续的偶函数,则∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;若f(x)是图像连续的奇函数,则∫a-af(x)d x=0.()(3)在区间[a,b]上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba|f(x)|d x.() (4)若∫baf(x)d x<0,则由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()(5)已知质点移动的速度v=10t,则质点从t=0到t=t0所经过的路程是∫t010t d t=5t02.()2.已知函数f(x)={√x,1<x≤4,x|x|,-1≤x≤1,则∫4-1f(x)d x=()A.14B.143C.7D.2123.汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是()A.5 mB.112mC.6 mD.132m4.(2020湖南师大附中测试)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2√2B.4√2C.2D.45.(2020江西南昌模拟)设a>0,若曲线y=√x与直线x=a,y=0所围成的封闭图形的面积为a2,则a=.关键能力学案突破考点定积分的计算【例1】计算下列定积分.(1)∫1(-x2+2x)d x;(2)∫π(sin x-cos x)d x;(3)∫21(e2x+1x)d x;(4)∫π2√1-sin2x d x.?解题心得计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分.(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.对点训练1(1)∫3-1(3x2-2x+1)d x;(2)∫21(x-1x)d x;(3)∫π-π(x3cos x)d x;(4)∫2|1-x|d x.考点利用定积分的几何意义求定积分【例2】已知函数f(x)={-x+2,x≤2,√1-(x-3)2,2<x≤4,则定积分∫412f(x)d x的值为()A.9+4π8B.1+4π4C.1+π2D.3+2π4?解题心得当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图像与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边图形形状规则,面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.对点训练2(2020四川成都一中测试)∫1-1(√1-x2+sin x)d x=()A.π4B.π2C.πD.π2+2考点定积分的应用(多考向探究)考向1求曲线围成的平面图形的面积【例3】(1)如图所示,曲线y=x2-1,x=2,x=0,y=0围成的阴影部分的面积为() A.∫2|x2-1|d xB.∫21(1-x2)d x+∫1(x2-1)d xC.∫2(x2-1)d xD.∫21(x2-1)d x+∫1(1-x2)d x(2)(2020云南昆明一中测试)如图是函数y=cos2x-5π6在一个周期内的图像,则阴影部分的面积是()A.34B.5 4C.3 2D.32−√34?2已知曲线围成的面积求参数【例4】(2020安徽合肥摸底)由曲线f(x)=√x与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为83,则m的值为()B.3C.1D.8?3定积分在概率中的应用【例5】(2020山西太原联考)如图,在矩形ABCD中的曲线是y=sin x,y=cos x的一部分,点A(0,0),B(π2,0),D(0,1),在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.4π(√3-1) B.4π(√2-1) √3-1)π D.4(√2-1)π?4定积分在物理中的应用【例6】(1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t 的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25ln 113C.4+25ln 5D.4+50ln 2(2)一物体在力F (x )={5,0≤x ≤2,3x +4,x >2(单位:N )的作用下沿与力F 相同的方向从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F (x )做的功为 J .?解题心得1.对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再应用方程的思想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.3.与概率相交汇问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算.4.利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.对点训练3(1)如图,由两条曲线y=-x 2,y=-14x 2及直线y=-1所围成的平面图形的面积为 .(2)已知t>1,若∫t1(2x+1)d x=t 2,则t= .(3)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线y=x 3(x>0)和曲线y=√x 围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.512B.16C.14D.13(4)汽车以36 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度a=-2 m/s 2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是 m .(5)设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10,已知F (x )=x 2+1,且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为 J(x 的单位:m;力的单位:N).1.求定积分的方法:(1)利用定义求定积分,可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分的步骤如下: ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x );②计算F (b )-F (a ).(3)利用定积分的几何意义求定积分. 2.定积分∫baf (x )d x 的几何意义是x 轴、曲线f (x )以及直线x=a ,x=b 围成的曲边梯形的面积的代数和.在区间[a ,b ]上连续的曲线y=f (x )和直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba |f (x )|d x.1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.3.3 定积分与微积分基本定理必备知识·预案自诊知识梳理3.(1)k ∫ba f (x )d x(2)∫ba f (x )d x ±∫ba g (x )d x (3)∫c af (x )d x+∫bcf (x )d x4.F (b )-F (a ) F (x )|ab 考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.B 函数f (x )={√x ,1<x ≤4,x |x |,-1≤x ≤1,则∫4-1f (x )d x=∫1-1x|x|d x+∫41√x d x=0+23x 3214=143.故选B .3.D S=∫21(3t+2)d t=(32t 2+2t) 12=92+2=132.故选D .4.D 由{y =4x ,y =x 3,得x=0或x=2或x=-2(舍),∴S=∫2(4x-x 3)d x=2x 2-14x 402=4.5.49 封闭图形如图阴影部分所示,则∫a√x d x=23x 32 0a =23a 32=a 2,解得a=49.关键能力·学案突破例1解(1)∫1(-x 2+2x )d x=∫1(-x 2)d x+∫12x d x=(-13x 3) 01+(x 2) 01=-13+1=23. (2)∫π0(sinx-cosx )dx=∫π0sinxd x-∫πcos x d x=(-cos x ) π0-sin x π0=2.(3)∫21(e 2x +1x )dx=∫21e 2x dx+∫211x x=12e d 2x12ln x 12=12e+4-12e 2+ln2ln1=e-4-12e 122+ln2. (4)∫π2√1-sin2x dx=∫π2|sinx-cos x|d x=∫π4(cos x-sin x )d x+∫π2π4(sin x-cos x )d x=(sinx+cos x ) 0π4+(-cos x-sin x ) π4π2=√2-1+(-1+√2)=2√2-2.对点训练1解(1)∫3-1(3x 2-2x+1)d x=(x 3-x 2+x )|-13=24. (2)∫21(x -1x )d x=12x 2-ln x 12=32-ln2.(3)因为y=x 3cos x 为奇函数, 所以∫π-π(x 3cos x )d x=0.(4)∫2|1-x|dx=∫1(1-x)dx+∫21(x-1)d x=(x -12x 2) 01+12x 2-x 12=(1-12)-0+12×22-2-12×12-1=1.例2A 因为f (x )={-x +2,x ≤2,√1-(x -3)2,2<x ≤4,所以∫412f (x )dx=∫212(-x+2)dx+∫42√1-(x -3)2d x ,∫212(-x+2)d x=-12x 2+2x122=98. ∫42√1-(x -3)2d x 的几何意义为以(3,0)为圆心,以r=1为半径的圆在x 轴上方的部分,因而S=12×π×12=π2, 所以∫412f (x )d x=98+π2=9+4π8.故选A .对点训练2B ∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=∫1-1√1-x 2d x+∫1-1sin x d x ,∵y=sin x 为奇函数,∴∫1-1sin x d x=0. 又∫1-1√1-x 2d x 表示以坐标原点为圆心,以1为半径的圆的上半圆的面积,∴∫1-1√1-x 2d x=π2. ∴∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=π2.例3(1)A (2)B (1)由曲线y=x 2-1,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积为S=∫1(1-x 2)d x+∫21(x 2-1)d x.根据对称性,它和函数y=|x 2-1|,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积相等,如图所示,即S=∫2|x 2-1|d x.(2)阴影部分的面积为S=-∫π6cos 2x-5π6d x+∫2π3π6cos 2x-5π6d x =-12sin 2x-5π60π6+12sin 2x-5π6π62π3= -12sin -π2-12sin -5π6+12sin π2−12sin -π2=14+1=54.故选B .例4A 由题知曲线f (x )=√x 与直线y=m 的交点为(m 2,m ),则∫m 20(m-√x )d x=mx-23x 320m 2=m 3-23m 3=83,解得m=2.例5BS 阴影=2∫π4(cos x-sin x )d x=2[sin x+cos x ] 0π4=2(√2-1),S ABCD =π2×1=π2,由测度比是面积比可得,此点取自阴影部分的概率是P=S 阴影SABCD=2(√2-1)π2=4π(√2-1).故选B .例6(1)C (2)36 (1)由v (t )=7-3t+251+t =0,可得t=4,t=-83(舍去),因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s,此期间行驶的距离为∫40v (t )d t=∫47-3t+251+t d t=7t-32t 2+25ln(1+t )04=4+25ln5(m).(2)由题意知,力F (x )所做的功为W=∫42F (x )d x=∫425d x+∫42(3x+4)d x=5×2+32x 2+4x 24=10+32×42+4×4-32×22+4×2=36(J).对点训练3(1)43 (2)2 (3)A (4)25(5)342 (1)由{y =-x 2,y =-1得交点A (-1,-1),B (1,-1).由{y =-14x 2,y =-1得交点C (-2,-1),D (2,-1).所以所求面积S=2∫2(-14x 2+1)−∫1(-x 2+1)=43.(2)∫t1(2x+1)d x=(x 2+x ) 1t =t 2+t-2,从而得方程t 2+t-2=t 2,解得t=2.(3)此题为关于面积的几何概型,边长为1的正方形AOBC 的面积为1,叶形图(阴影部分)的面积S (A )=∫1(√x -x 3)d x=(23x 32-14x 4) 01=512. 所以所求概率P (A )=512.故选A .(4)t=0时,v 0=36km/h=10m/s ,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v 0+at=10-2t ,由v (t )=0得t=5s,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为∫5v(t)dt=∫5(10-2t )d t=(10t-t 2)05=25(m).(5)变力F (x )=x 2+1使质点M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=∫101F (x )d x=∫101(x 2+1)d x=(13x 3+x) 110=342(J).。
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分解释定积分的定义通过实际例子说明定积分的意义1.2 定积分的性质定积分的基本性质定积分的可加性和可乘性1.3 定积分的计算方法定积分的计算公式分段函数的定积分计算方法第二章：微积分基本定理2.1 微积分基本定理的引入解释微积分基本定理的含义通过实际例子说明微积分基本定理的应用2.2 微积分基本定理的证明利用极限的定义证明微积分基本定理利用导数的定义证明微积分基本定理2.3 微积分基本定理的应用利用微积分基本定理计算定积分利用微积分基本定理求解不定积分第三章：定积分的应用3.1 面积和体积的计算利用定积分计算平面区域的面积利用定积分计算旋转体的体积3.2 曲线的长度和弧长利用定积分计算曲线的长度利用定积分计算弧长3.3 质心、转动中心和面积分布利用定积分计算质心利用定积分计算转动中心利用定积分分析面积分布第四章：定积分的进一步应用4.1 函数的平均值和累积量利用定积分计算函数的平均值利用定积分计算函数的累积量4.2 曲线的曲率和弧长利用定积分计算曲率利用定积分计算弧长4.3 变限积分的导数利用定积分求解变限积分的导数利用变限积分的导数求解定积分第五章：定积分的近似计算5.1 数值积分方法解释数值积分的概念介绍常用的数值积分方法5.2 梯形公式和辛普森公式解释梯形公式和辛普森公式的原理利用梯形公式和辛普森公式进行数值积分5.3 蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛方法的基本原理利用蒙特卡洛方法进行数值积分第六章：定积分的几何意义6.1 定积分与曲线围成的面积解释定积分与曲线围成的面积之间的关系利用定积分计算由曲线和坐标轴围成的封闭区域的面积6.2 定积分与曲线的弧长解释定积分与曲线的弧长之间的关系利用定积分计算曲线的弧长6.3 定积分与曲线的质心解释定积分与曲线的质心之间的关系利用定积分计算曲线的质心第七章：定积分的物理应用7.1 定积分在物理学中的基本应用解释定积分在物理学中的基本应用，如速度、位移的累积等利用定积分计算物理学中的基本量7.2 定积分在动力学中的应用利用定积分计算物体的速度、加速度等物理量利用定积分求解动力学方程7.3 定积分在电磁学中的应用利用定积分计算电场、磁场等物理量利用定积分求解电磁学方程第八章：定积分的数值计算8.1 数值积分的基本概念解释数值积分的基本概念和原理介绍常用的数值积分方法8.2 梯形公式和辛普森公式的应用利用梯形公式和辛普森公式进行数值积分解释梯形公式和辛普森公式的误差估计8.3 蒙特卡洛方法的应用介绍蒙特卡洛方法的基本原理和步骤利用蒙特卡洛方法进行数值积分第九章：定积分的不定积分9.1 不定积分的概念和性质解释不定积分与定积分的关系介绍不定积分的性质和运算规则9.2 基本积分表和换元积分法掌握基本积分表和常用积分公式利用换元积分法求解不定积分9.3 分部积分法和不定积分的应用利用分部积分法求解复杂的不定积分介绍不定积分在几何和物理中的应用第十章：定积分的实际应用案例分析10.1 定积分在经济学中的应用利用定积分计算经济变量如消费、生产等量的累积变化分析定积分在经济学中的优化问题10.2 定积分在生物学中的应用利用定积分计算生物种群的增长、衰减等过程分析定积分在生物学中的模型建立和预测10.3 定积分在其他领域的应用介绍定积分在工程、环境科学等领域的应用案例分析定积分在不同领域中的重要作用重点和难点解析一、定积分的概念与性质：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，如可加性、可乘性等，以及定积分的计算方法。
高考数学一轮复习讲义2.13讲 定积分与微积分基本定理
第13讲 定积分与微积分基本定理[最新考纲]1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )．(2)定积分的几何意义①当f (x )≥0时，定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．(图1)②当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，如图2所示，则定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示介于x轴．曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分曲边梯形面积的代数和，即⎠⎛a b f (x )d x ＝A 1＋A 3－A 2. 2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a b f (x )d x＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．辨 析 感 悟1．关于定积分概念的理解(1)定积分概念中对区间[a ，b ]的分割具有任意性．(√)(2)当n →＋∞时，和式∑i ＝1nf (ξi )·Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )无限趋近于某一确定的常数．(√)(3)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .(√)2．定积分的几何意义与物理意义(4)在区间[a ，b ]上的连续的曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab |f (x )|d x .(√)(5)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．(×)(6)(教材习题改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是s ＝＝5t 20.(√)3．定积分的性质及微积分基本定理 (7)若f (x )是连续的偶函数，则＝2⎠⎛0af (x )d x .(√)(8)若f (x )是连续的奇函数，则＝0.(√)(9)(2013·湖南卷改编)如果⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T ＝3.(√)[感悟·提升]1．一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，如(2)、(3)．2．一个定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算，如(9)中，可确定一个原函数F (x )＝13x 3，进而求T .3．两点提醒 一是重视定积分性质在求值中的应用，如(7)、(8)．二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负，如(4).学生用书第46页考点一 定积分的计算【例1】 (1)若＝2，则实数a 等于( )．A ．－1B ．1 C. 3D ．－ 3(2)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．(3)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，则的值为________． 解析 (1)∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1， ∴a ＋1＝2.∴a ＝1.(2)由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.答案 (1)B (2)94π (3)π规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则＝0.【训练1】 (1)定积分＝________. (2)(2014·广东六校模拟)＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ′＝x 2＋sin x ，∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ⎪⎪⎪1－1＝23.(2)由定积分的几何意义知，是由曲线y ＝1－x 2，直线x ＝－1，x＝0，y ＝0围成的封闭图形的面积，故＝π·124＝π4.答案 (1)23 (2)π4考点二 利用定积分求平面图形的面积【例2】 (1)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．A.2π5B.43C.32D.π2(2)曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________. 审题路线 (1)先求二次函数f (x )的解析式，再利用定积分的几何意义求面积．(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积． 解析 (1)设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2.答案 (1)B (2)2规律方法 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．【训练2】 (1)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.(2)曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为________． 解析 (1)S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 23 ⎪⎪⎪a 0＝23a 23＝a 2，∴a ＝49.(2)由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ， 得交点B (3，－1)． 故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2236132 ⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31＝23＋16＋43 ＝136.答案 (1)49 (2)136考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )． A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 答案 C学生用书第47页规律方法 (1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误． 【训练3】 设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)． 解析 由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342.答案 3421．求定积分常用的方法 (1)利用微积分基本定理．(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积． 2．定积分计算应注意的问题+(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数 的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．(3)面积非负，而定积分的结果可以为负．利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论．易错辨析4——对定积分的几何意义理解不到位致误【典例】 (2011·课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )． A.103 B ．4 C.163D ．6[错解] 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，∴y ＝x 与直线y ＝x －2的交点为(4,2)， 于是，围成图形的面积是 S ＝⎠⎛04[x －(x －2)]d x －⎠⎛24(x －2)d x＝⎪⎪⎪4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪40－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪42＝163－2＝103. [答案] A[错因] (1)不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示．(2)求错原函数，导致计算错误．[正解] 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x＝ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 22132223⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案] C[防范措施] (1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．【自主体验】曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为________．解析 作出曲线y ＝1x ，直线y ＝x 和x ＝2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝1x ，y ＝x得交点(1,1)．因此y ＝1x 与y ＝x 及x ＝2所围成的图形的面积为S ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝12x 2⎪⎪⎪21－ln x ⎪⎪⎪21＝32－(ln 2－ln 1)＝32－ln 2. 答案 32－ln 2基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题 1.⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析 ⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x＋x 2)⎪⎪⎪1＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e. 答案 C2．(2014·济南质检)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图 形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32D. 3解析 由题意知S ＝＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3.答案 D3．(2014·广州模拟)设f (x )＝⎠⎛0x sin t d t ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值等于( )．A ．－1B ．1C ．－cos 1D ．1－cos 1 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝＝1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f (1)＝⎠⎛01sin t d t ＝(－cos t )⎪⎪⎪10＝1－cos 1. 答案 D4.如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14，所围成的图形(阴影部分)的面积为 ( )．A.23B.13C.12D.14解析 由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪ 120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14. 答案 D5．一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧10，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )．A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析 力F (x )所做的功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝20＋26＝46(J)． 答案 B 二、填空题6．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围是________．解析 ∵⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝32k ＋1，∴2≤32k ＋1≤4，∴23≤k ≤2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，27.如图所示，是一个质点做直线运动的v －t 图象，则质点在前6 s 内的位移为________ m.解析 由题图易知 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧34t ，0≤t ≤4，9－32t ，4<t ≤6.∴s ＝⎠⎛06v (t )d t ＝⎠⎛0434t d t ＋⎠⎛46⎝⎛⎭⎪⎫9－32t d t ＝38t 2⎪⎪⎪ 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9t －34t 2⎪⎪⎪64＝6＋3＝9.答案 98．(2013·江西卷改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，∵e 2－e ＝e(e －1)>e>73>ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3. 答案 S 2＜S 1＜S 3 三、解答题9．已知f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，试求⎠⎛03f (x )d x 的值．解∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3.∴⎠⎛3f(x)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫13x3－4x2＋3x⎪⎪⎪3＝－18.10．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．解作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y＝x2，y＝x，得交点(1,1)，解方程组⎩⎨⎧y＝x2，y＝3x，得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为S＝⎠⎛1(3x－x)d x＋⎠⎛13(3x－x2)d x＝⎠⎛12x d x＋⎠⎛13(3x－x2)d x＝x2⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫32x2－13x3⎪⎪⎪31＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1，∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A2．(2014·郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．A.12 B.16 C.14D.13解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x－x 2)d x ＝＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13.答案 D 二、填空题3．(2014·广州调研)若f (x )＝则f (2 014)＝________.解析 当x >0时，f (x )＝f (x －4)，则f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (2 014)＝f (2)＝f (－2)，又∵＝13，∴f (2 014)＝f (－2)＝2－2＋13＝712. 答案 712 三、解答题4.如图所示，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .(1)求切线l 的方程；(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S . 解 (1)由f (x )＝4x －8，∴f ′(x )＝1x －2. 又点A (6,4)为切点，∴f ′(6)＝12，因此切线方程为y －4＝12(x －6)，即x －2y ＋2＝0. (2)令f (x )＝0，则x ＝2，即点C (2,0)．在x －2y ＋2＝0中，令y ＝0，则x ＝－2，∴点B (－2,0)． 故S ＝⎠⎛6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1d x －⎠⎛264x －8d x能力提升练——导数及其应用(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·襄阳调研)曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( )．C ．60°D ．120°解析 由y ′＝3x 2－2得y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°. 答案 B2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析 设g (x )＝f (x )－2x －4，由已知g ′(x )＝f ′(x )－2>0，则g (x )在(－∞，＋∞)上递增，又g (－1)＝f (－1)－2＝0，由g (x )＝f (x )－2x －4>0，知x >－1. 答案 B3．定积分⎠⎛01(e x ＋2x )d x 的值为( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)⎪⎪⎪10＝e.答案 C4．已知函数f (x )＝2ln x －xf ′(1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是 ( )． A ．x －y ＋2＝0 B ．x ＋y ＋2＝0 C ．x ＋y －2＝0 D ．x －y －2＝0解析 易知f ′(x )＝2x －f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2－f ′(1)，∴f ′(1)＝1，因此f (x )＝2ln x －x ，∴f (1)＝－1，∴所求的切线方程为y ＋1＝1·(x －1)，即x －y －2＝0. 答案 D5．(2014·济南质检)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．C ．6D ．9解析 ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， Δ＝4a 2＋96b ＞0，又x ＝1是极值点，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，且a >0，b >0，∴ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9. 答案 D6．(2014·青岛模拟)幂指函数y ＝f (x )g (x )在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，两边求导数得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )g (x )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x ).运用此法可以探求得知的一个单调递增区间为 ( )．A ．(0，e)B ．(2,3)C ．(e,4)D ．(3,8)解析 将函数两边求对数得ln y ＝1x ln x ，两边求导数得y ′y ＝－1x 2ln x ＋1x ·1x＝1x 2(1－ln x )，所以y ′＝y ·1x 2(1－ln x )＝．令y ′>0，即1－lnx >0，∴0<x <e. 答案 A7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )．解析 设h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x . 由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点． ∴c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝aa ＝1，D 中图象一定不满足条件． 答案 D8．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2，∴t 3＋t －5t 2＝5，(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5. 答案 C9．(2014·广州模拟)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是 ( )．A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )解析由f′(x)＝e x＋1>0，知f(x)在R上是增函数，∵f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0.∴函数f(x)的零点a∈(0,1)．由g′(x)＝1x＋1>0(x>0)，得g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝ln 1＋1－2<0，g(2)＝ln 2>0，∴函数g(x)的零点b∈(1,2)，从而0<a<1<b<2，故f(a)<f(1)<f(b)．答案 A10．(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，f(2)＝e28，则x>0时，f(x) ()．A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值解析由条件，得f′(x)＝e xx3－2f(x)x＝e x－2x2f(x)x3.令g(x)＝e x－2x2f(x)，则g′(x)＝e x－2x2f′(x)－4xf(x)＝e x－2(x2f′(x)＋2xf(x))＝e x－2e xx ＝e x⎝⎛⎭⎪⎫1－2x，令g′(x)＝0，得x＝2.当x>2时，g′(x)>0；当0<x<2时，g′(x)<0. ∴g(x)在x＝2处有最小值g(2)＝e2－8f(2)＝0.从而g(x)≥0，f′(x)＝g(x)x3>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极大(小)值．答案 D二、填空题11．若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______．解析依题意得，f′(x)＝2ax＋1x＝0(x>0)有实根，所以a＝－12x2<0.答案(－∞，0)12．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为________．解析由题意得切点坐标为(－1，－1)，切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3x2|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1.故切线l的方程为y－(－1)＝－[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.∴点P(3,2)到直线l的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.答案72 213．不等式x2－2x<0表示的平面区域与抛物线y2＝4x围成的封闭区域的面积为_______．解析由x2－2x<0，得0<x<2，又y2＝4x，得y＝±2x，∴所求面积S＝2⎠⎛22x d x＝＝162 3.答案163 214．设函数f(x)＝e2x2＋1x，g(x)＝e2xe x，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g(x1)k≤f(x2)k＋1恒成立，则正数k的取值范围是________．解析因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥g (x 1)maxf (x 2)min .因为g (x )＝e 2xe x ＝x e 2－x ，所以g ′(x )＝(x e 2－x )′＝e 2－x ＋x e 2－x ·(－1)＝e 2－x (1－x )． 当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0， 所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e. 又f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e(x >0)．当且仅当e 2x ＝1x ，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min ＝2e. 所以g (x 1)max f (x 2)min ＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12，又k >0，所以k ≥1. 答案 [1，＋∞) 三、解答题15．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 16．设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． 解 (1)f ′(x )＝a e x －1a e x ，令f ′(x )>0，得x >－ln a ， 令f ′(x )<0，得x <－ln a .所以f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增， 从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b .②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a ＋b .(2)依题意f (2)＝3，f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32， 解得a e 2＝2或－12(舍去)，因此a ＝2e 2.代入f (2)＝3，得2＋12＋b ＝3，即b ＝12. 故a ＝2e 2，且b ＝12.17．(2014·南平质检)已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m 为实数)． (1)求曲线y ＝f (x )在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，f ⎝⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程； (2)求函数g (x )的单调递减区间；(3)若m ＝1，证明：当x ＞0时，f (x )＜g (x )＋x 36.解 (1)由题意得所求切线的斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4＝22.切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，则切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4即x－2y＋1－π4＝0.(2)g′(x)＝m－12x 2.①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－2m或x＞2m，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－2m)，(2m，＋∞)．(3)当m＝1时，g(x)＝x－x3 6.令h(x)＝g(x)－f(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cos x≥0，则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．故当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，即sin x＜x，f(x)＜g(x)＋x3 6.18．已知函数f(x)＝ax＋x ln x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k<f(x)x－1对任意x>1恒成立，求k的最大值．解(1)因为f(x)＝ax＋x ln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1.因为函数f(x)＝ax＋x ln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋x ln x，又k<f(x)x－1＝x＋x ln xx－1对任意x>1恒成立，令g(x)＝x＋x ln xx－1，则g′(x)＝x－ln x－2(x－1)2，令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x>0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)． 当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0； 当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0，所以k <[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)， 故整数k 的最大值是3.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分的重要性1.2 定积分的性质演示定积分的几何意义证明定积分的可加性1.3 定积分的计算方法介绍牛顿-莱布尼茨公式演示定积分的计算步骤第二章：定积分的应用2.1 定积分在几何中的应用求解平面区域的面积求解曲线的弧长2.2 定积分在物理中的应用解释定积分在物理学中的意义求解物体的体积2.3 定积分在概率中的应用引入概率密度函数的概念求解概率问题第三章：微积分基本定理3.1 微积分基本定理的定义解释微积分基本定理的含义强调微积分基本定理的重要性3.2 微积分基本定理的证明介绍牛顿-莱布尼茨公式的证明过程解释微积分基本定理的证明方法3.3 微积分基本定理的应用演示微积分基本定理在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分第四章：定积分的近似计算4.1 定积分的数值计算方法引入数值计算方法的概念介绍数值计算方法的原理4.2 定积分的数值计算实例演示定积分的数值计算过程分析数值计算的精度4.3 定积分的蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛方法的概念演示蒙特卡洛方法在定积分计算中的应用第五章：定积分的优化问题5.1 定积分的最值问题引入定积分最值问题的概念解释定积分最值问题的意义5.2 定积分的极值点问题介绍极值点的概念求解定积分的极值点5.3 定积分的优化应用演示定积分在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分优化问题第六章：定积分的变限函数6.1 变限函数的概念解释变限函数的定义强调变限函数在定积分中的作用6.2 变限函数的极限介绍变限函数极限的概念证明变限函数极限的性质6.3 变限函数的定积分演示变限函数定积分的计算方法分析变限函数定积分的结果第七章：定积分的换元法7.1 换元法的概念解释换元法的定义强调换元法在定积分计算中的重要性7.2 换元法的步骤介绍换元法的计算步骤演示换元法在定积分计算中的应用7.3 换元法的注意事项分析换元法的适用条件讨论换元法可能遇到的问题第八章：定积分的分部积分法8.1 分部积分的概念解释分部积分法的定义强调分部积分法在定积分计算中的作用8.2 分部积分的步骤介绍分部积分的计算步骤演示分部积分法在定积分计算中的应用8.3 分部积分的推广介绍分部积分的推广形式讨论分部积分的扩展应用第九章：定积分的瑕点处理9.1 瑕点的概念解释瑕点的定义强调瑕点在定积分计算中的重要性9.2 瑕点的处理方法介绍瑕点的处理方法演示瑕点处理在定积分计算中的应用9.3 瑕点问题的进一步讨论分析瑕点问题的复杂性讨论瑕点问题的解决策略第十章：定积分的实际应用案例分析10.1 定积分在经济学中的应用引入经济学中的优化问题演示定积分在经济学中的应用10.2 定积分在生物学中的应用介绍生物学中的种群动力学问题求解生物学中的定积分问题10.3 定积分在工程学中的应用解释工程学中的质心问题应用定积分求解工程学问题第十一章：定积分的进一步拓展11.1 多元函数的定积分引入多元函数定积分概念解释多元函数定积分的计算方法11.2 定积分在多变量函数中的应用演示多元函数定积分在几何和物理问题中的应用求解多变量函数的定积分问题11.3 定积分的向量分析介绍向量分析与定积分的关系应用向量分析解决定积分问题第十二章：定积分的数值方法12.1 数值方法概述解释数值方法的定义和作用强调数值方法在定积分计算中的应用12.2 数值方法的原理与步骤介绍数值方法的原理和计算步骤演示数值方法在定积分计算中的应用12.3 常用数值方法分析讨论龙格-库塔和其他数值方法的优缺点分析不同数值方法在定积分计算中的应用场景第十三章：定积分的优化问题13.1 优化问题的定义与分类引入优化问题的概念解释优化问题的分类和特点13.2 定积分与优化问题的关系强调定积分在优化问题中的作用演示定积分在优化问题中的应用13.3 定积分优化问题的求解方法介绍常见的优化方法应用定积分求解优化问题第十四章：定积分在概率论中的应用14.1 概率论与定积分的关系解释概率论中定积分的作用强调定积分在概率论中的重要性14.2 定积分在概率密度函数中的应用引入概率密度函数的概念演示定积分在概率密度函数计算中的应用14.3 定积分在概率问题求解中的应用讨论定积分在概率问题求解中的方法求解概率问题中的定积分第十五章：定积分在现代科学技术中的应用15.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的作用演示定积分在物理学问题中的应用15.2 定积分在化学中的应用解释定积分在化学问题中的重要性求解化学问题中的定积分15.3 定积分在其他学科中的应用分析定积分在其他学科领域的作用探讨定积分在不同学科中的应用前景重点和难点解析重点：1. 定积分的概念与性质：理解定积分的定义、几何意义以及其可加性等基本性质。
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分表示的是平面区域内曲线与x轴之间区域的面积1.2 定积分的性质介绍定积分的性质，如可加性、保号性等通过图形演示定积分的性质1.3 定积分的计算介绍定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的定积分第二章：微积分基本定理2.1 微积分基本定理的引入解释微积分基本定理的概念强调微积分基本定理是定积分与原函数的关系2.2 微积分基本定理的证明讲解微积分基本定理的证明过程强调证明中重要的极限概念2.3 微积分基本定理的应用介绍如何利用微积分基本定理求解定积分演示如何应用微积分基本定理解决实际问题第三章：定积分的换元法3.1 换元法的引入解释换元法的概念和作用强调换元法可以简化定积分的计算3.2 换元法的步骤介绍换元法的具体步骤通过例子演示换元法的应用3.3 换元法的常见类型介绍常见的换元法类型，如代数换元、三角换元等强调不同类型换元法的适用场景第四章：定积分的分部积分法4.1 分部积分的引入解释分部积分法的概念和作用强调分部积分法可以简化定积分的计算4.2 分部积分的步骤介绍分部积分的具体步骤通过例子演示分部积分的应用4.3 分部积分的常见类型介绍常见的分部积分类型，如基本分部积分、进位分部积分等强调不同类型分部积分的适用场景第五章：定积分的应用5.1 定积分在几何中的应用介绍定积分在几何中的应用，如计算曲线围成的面积强调定积分在几何中的重要性5.2 定积分在物理中的应用介绍定积分在物理中的应用，如计算物体的体积强调定积分在物理中的实际意义5.3 定积分在其他领域的应用介绍定积分在其他领域的应用，如经济学、生物学等强调定积分在不同领域中的广泛应用第六章：定积分的极限条件6.1 引入定积分的极限条件解释定积分的极限条件概念强调定积分的极限条件对于定积分计算的重要性6.2 定积分的收敛性讲解定积分的收敛性及其判断方法强调定积分的收敛性与发散性的区别6.3 定积分的绝对收敛与条件收敛介绍定积分的绝对收敛与条件收敛的概念强调判断定积分的绝对收敛与条件收敛的方法第七章：定积分的数值计算7.1 引入定积分的数值计算解释定积分的数值计算概念及意义强调定积分的数值计算在实际应用中的重要性7.2 梯形公式与辛普森公式介绍梯形公式与辛普森公式的概念及应用强调两种公式的优缺点及其适用场景7.3 数值计算方法的改进讲解数值计算方法的改进途径，如自适应细分法强调改进方法在提高计算精度方面的作用第八章：定积分在实际问题中的应用8.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的应用，如求解物体的速度、位移等问题强调定积分在物理学中的实际意义8.2 定积分在经济学中的应用介绍定积分在经济学中的应用，如计算最大收益、最优化问题等强调定积分在经济学中的重要作用8.3 定积分在其他领域中的应用介绍定积分在生物学、环境科学等领域的应用强调定积分在不同领域中的广泛应用价值第九章：定积分的进一步拓展9.1 双重定积分引入双重定积分概念强调双重定积分表示的是空间区域内曲面与坐标平面之间区域的体积9.2 双重定积分的计算介绍双重定积分的计算方法，如双重牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的双重定积分9.3 三重定积分与多重定积分介绍三重定积分与多重定积分的概念及计算方法强调多重定积分在更高维度问题中的应用回顾本章所学内容，强调定积分与微积分基本定理的关键点提醒学生注意定积分在实际问题中的应用10.2 定积分的拓展学习推荐学生进一步学习的内容，如数值计算方法、多重积分等强调定积分在数学及其它领域中的广泛应用，激发学生的学习兴趣重点和难点解析重点环节1：定积分的性质解析：定积分的性质是理解定积分概念的基础，包括定积分的可加性、保号性等。
教学设计1：定积分与微积分基本定理
第4节 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念与性质(1)定积分的定义：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x ，即⎠⎛ab f(x)d x ＝lim∑i ＝1nb －an f(ξi )．(2)定积分的几何意义①当f(x)≥0时，定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．②当f(x)在[a ，b]上有正有负时，如图2－13－1所示，图2－13－1则定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示介于x 轴，曲线y ＝f(x)以及直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即⎠⎛abf(x)d x ＝A 1＋A 3－A 2－A 4．(3)定积分的基本性质①⎠⎛a b kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x ．(k 为常数)②⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎛a b f 1(x)d x ±⎠⎛ab f 2(x)d x ．③⎠⎛ab f(x)d x ＝⎠⎛ac f(x)d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)．2．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a ，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么⎠⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数． 为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba ，即⎠⎛ab f(x)d x ＝F(x)|ba ＝F(b)－F(a)．1．(人教A 版教材习题改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20B ．5t 20 C .103t 20 D .53t 20 【解析】S ＝∫t 00v d t ＝∫t 0010t d t ＝5t 2|t 00＝5t 20.【答案】 B2．求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x)d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y)d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y)d y【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，∴S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ，故选B .【答案】 B3．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 （x≥0）2x （x ＜0），则⎠⎛－11f(x)d x 的值是( )A .⎠⎛－11x 2d xB .⎠⎛－112x d xC .⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD .⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x【解析】 由分段函数的定义及积分运算性质， ∴⎠⎛－11f(x)d x ＝⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x.【答案】 D4．如果⎠⎛01f(x)d x ＝1，⎠⎛02f(x)d x ＝－1，则⎠⎛12f(x)d x ＝________．【解析】 ∵⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01f(x)d x ＋⎠⎛12f(x)d x ＝1＋⎠⎛12f(x)d x ＝－1，∴⎠⎛12f(x)d x ＝－2.【答案】 －25．(2012·江西高考)计算定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x)d x ＝________．【解析】 ∵(13x 3－cos x)′＝x 2＋sin x ，∴⎠⎛－11(x 2＋sin x)d x ＝(13x 3－cos x)|1－1＝23. 【答案】 23(1)(2013·广州模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C .3 D ．－3 (2)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3πC .94πD .92π(3)(2013·西安模拟)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ∈[0，1]1x x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f(x)d x 的值为________．【思路点拨】 (1)寻求使F′(x)＝sin x ＋a cos x 的F(x)，运用微积分基本定理求值； (2)利用定积分的几何意义求解；(3)f(x)是分段函数，故根据定积分的性质把所求定积分转化为两个定积分和的形式求解．【尝试解答】 (1)∵(a sin x －cos x)′＝sin x ＋a cos x. ∴∫π20(sin x ＋a cos x)d x ＝(a sin x －cos x)|π20 ＝(a sinπ2－cosπ2)－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2.∴a ＝1.(2)由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C .(3)∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ∈[0，1]1x x ∈（1，e ]∴⎠⎛0e f(x)d x ＝⎠⎛1x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋ln e ＝43. 【答案】 (1)B (2)C (3)43,1．用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． 3．若y ＝f(x)为奇函数，则⎠⎛－aa f(x)d x ＝0.(1)(2013·石家庄模拟)⎠⎛02|1－x|d x ＝________．(2)(2013·广东六校模拟)⎠⎛－11－x 2d x ＝________．【解析】 (1)⎠⎛02|1－x|d x ＝⎠⎛01|1－x|d x ＋⎠⎛12|1－x|d x ＝⎠⎛01(1－x)d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝(x －12x 2)|10＋(12x 2－x)|21＝1.(2)由定积分的几何意义知，⎠⎛－11－x 2d x 是由曲线y ＝1－x 2，直线x ＝－1，x ＝0，y＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛－11－x 2d x ＝π·124＝π4.【答案】 (1)1 (2)π4图2－13－2(1)(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f(x)的图象如图2－13－2所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A .2π5B .43C .32 D .π2(2)(2013·深圳模拟)曲线y ＝x 2与直线y ＝kx(k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________．【思路点拨】 (1)先求二次函数f(x)的解析式，再利用定积分的几何意义求面积； (2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积． 【尝试解答】 (1)根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x ＋1)(x －1)(a<0)． 因为f(x)的图象过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f(x)＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2(x －13x 3)|10＝2(1－13)＝43. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2， 则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx(k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(k 2x 2－13x 3)|k 0＝k 32－13k 3＝43， 即k 3＝8，∴k ＝2. 【答案】 (1)B (2)2,1．求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．(1)(2013·长沙模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D .3 (2)(2013·惠州模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为________． 【解析】 (1)由题意知S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x |π3－π3＝32－(－32)＝ 3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1. 结合图形知所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝(13x 3－14x 4)|10＝112. 【答案】 (1)D (2)112(2013·郑州模拟)物体A 以v ＝3t 2＋1(m /s )的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t(m /s )的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t(s )为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【思路点拨】 利用定积分分别计算出物体A 、B 行驶的路程，然后利用它们之间的关系求解．【尝试解答】 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t)d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t0＝t 3＋t －5t 2＝5⇒(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.故选C .【答案】 C ,利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积 分基本定理计算即得所求．设变力F(x)作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F(x)＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F(x)对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ，力的单位：N )．【解析】 由题意知变力F(x)对质点M 所做的功为⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝(13x 3＋x)|101＝342.【答案】 342一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．三条性质1.常数可提到积分号外． 2．和差的积分等于积分的和差． 3．积分可分段进行．从近两年的高考试题看，本节内容要求较低，定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点，与概率知识相结合是近几年高考的亮点，题型为选择题或填空题，难度中等偏下，预计2014年与面积相关的简单应用是定积分命题的主要方向．易错辨析之六 对定积分的几何意义理解不到位致误(2011·课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A .103 B ．4 C .163D ．6 【错解】 由⎩⎨⎧y ＝x y ＝x －2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴y ＝x 与直线y ＝x －2的交点为(4，2)， 于是，围成图形的面积是 S ＝⎠⎛04[x －(x －2)]d x －⎠⎛24(x －2)d x＝23x 32|40－(12x 2－2x)|40－(12x 2－2x)|42＝163－2＝103. 【答案】 A错因分析：(1)不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示．(2)求错原函数，导致计算错误．防范措施：(1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．【正解】 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2.得交点A(4，2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x)|40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 【答案】 C1．(2012·山东高考)设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．【解析】 S ＝⎪⎪⎪⎠⎛0ax d x ＝23x 32a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49.【答案】 492．(2012·济南两校模拟)已知集合M ＝{(x ，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，在M 中任取一点P(x ，y)，则x 2≤y ≤x 的概率为( )A .16B .13C .12D .14【解析】 如图，集合M 表示的是一个边长为1的正方形区域，其面积为1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2解得x ＝0或x ＝1，所以满足x 2≤y ≤x 的点的集合是由曲线y ＝x 与y ＝x 2围成的图形，如图中阴影部分所示，其面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(12x 2－13x 3)⎪⎪⎪10＝16，故所求事件的概率P ＝161＝16.【答案】 A。
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非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质： ①∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x .②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x .③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x .[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．课前预测：1.∫421x d x 等于( )A ．2ln 2B ．－2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.1163．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．4．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.5．由y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________考点一 利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰ sin 2x 2d x .———————————————————求定积分的一般步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．强化训练：1．求下列定积分：(1)∫20|x －1|d x ；(2)20π⎰1－sin 2x d x .考点二 利用定积分的几何意义求定积分[例2]∫10－x2＋2x d x＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．强化训练：2．(2014·福建模拟)已知函数f(x)＝∫x0(cos t－sin t)d t(x>0)，则f(x)的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3](2014·山东高考)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4 C.163 D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x 轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．强化训练：3．(2014·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14考点四：定积分在物理中的应用[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a v (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b所做的功为∫b a F (x )d x .强化训练：4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2013·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.7122．(2014·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.∫e 11＋ln x x d x ＝( )A ．ln x ＋12ln 2x B.2e －1 C.32D.12 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2 3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( )A ．±1 B.2 C ．±3 D ．24．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则∫20f (x )d x ＝( ) A.34 B.45 C.56 D ．不存在5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203 m6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32 D. 3二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．9．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．计算下列定积分：(1)20π⎰ sin 2x d x ； (2)∫32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2x d x . 11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分：(1)31-⎰ (3x 2－2x ＋1)d x ； (2)∫e 1⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x .3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2 (0≤t ≤10)，4t ＋60 (10<t ≤20)，140 (20<t ≤60).某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测：1.Ｄ ２.Ａ ３.83 ４.14π ５.158－2ln 2例１：(1)193. (2)2. (3)143. (4)12e 4－12e 2＋ln 2. (5)π－24.变式１：解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝12＋12＝1. (2) 20π⎰1－sin 2x d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰ (cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x ) 24ππ ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.例２：[自主解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4. ∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4.互动：解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以 ∫20－x 2＋2x d x ＝π2.变式２.2－1 例３.Ｃ 互动：76. 变式３.Ｄ例４：[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t .令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |50＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式４.46典例：[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰错误!未找到引用源。