福建省漳州市高三第二次教学质量检测数学(文)试题含答案

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福建省漳州市2020年高三数学(文)第二次模拟考试试题及答案

福建省漳州市2020年高三数学(文)第二次模拟考试试题及答案

漳州市高三毕业班适应性练习数学(文科)(二)(满分150分,答题时间120分钟)注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.(1)已知集合{}{2,22-≤=+<<-=x x B a x a x A 或}4≥x ,则φ=B A I的充要条件是(A )02a ≤≤ (B )22a -<< (C )02a <≤ (D )02a <<(2)已知复数a +3i1-2i是纯虚数,则实数a =(A )-2 (B )4 (C )-6 (D )6(3)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点()1,2-,则C 的离心率为(A )5 (B )3 (C )52 (D )32(4)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为1,则输出S的值为(A )64 (B )73 (C )512 (D )585 (5)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面中,面积最大的是(A )8 (B )10 (C )62 (D )82 (6)要得到函数sin 2y x =的图象,只需将函数πsin(2)3y x =-的图象(A )向右平移π6个单位长度 (B )向左平移π6个单位长度 (C )向右平移π3个单位长度 (D )向左平移π3个单位长度(7)已知两个单位向量1e ,2e 的夹角为θ,则下列结论不正确...的是 (A )1e 在2e 方向上的投影为cos θ (B )2212=e e(C )()()1212+⊥-e e e e(D )121⋅=e e(8)已知点A (,1),将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转6π至OB ,设C (1,0), ∠COB=α,则tan α= (A)12(B)3(C)11(D(9)设x ,y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7,则实数m = (A )32(B )32-(C )14(D )14-(10)已知x 0是函数f (x )=2x+11-x的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则 (A )f (x 1)<0,f (x 2)<0 (B )f (x 1)<0,f (x 2)>0 (C )f (x 1)>0,f (x 2)<0(D )f (x 1)>0,f (x 2)>0(11)已知函数()223f x x x =-++,若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ,则使()00f x ≥成立的概率为(A )4(B )1(C )23 (D )1(对任意的*n ∈N 都有n a a a n n ++=+11,则(C (D 5分,共 (13)抛物线24y x =上的点P 到它的焦点F 的最短距离为________.(14)已知数列{}n a 满足13n n a a +=,且9642=++a a a ,.(15)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起,得到四面体A ­BCD ,则四面体A ­BCD 的外接球的体积为________.(16)已知函数()2log ,0,3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是________.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)如图,在ABC △中,ABC ∠=90°,23AB =,2BC =,P 为ABC △内一点,BPC ∠=90°.(Ⅰ)若1PB =,求PA ;(Ⅱ)若APB ∠=150°,求PBA ∠tan .(18)(本小题满分12分) 为了解漳州市的交通状况,现对其6条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表:(Ⅰ)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级;(Ⅱ)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条,它们的得分组成一个样本,求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过5.0的概率.如图,四边形PCBM 是直角梯形,90PCB ∠=︒,//PM BC ,1,2PM BC ==,又1,AC =120ACB ∠=︒,AB PC ⊥,AM =2.(Ⅰ)求证:平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求三棱锥P MAC -的体积.(20)(本小题满分12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是21F F 、,其离心率21=e ,点P 为椭圆上的一个动点,12PF F ∆面积的最大值为34.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若D C B A 、、、是椭圆上不重合的四个点,BD AC 与相交于点1F ,0AC BD ⋅=u u u r u u u r ,求AC BD +u u u r u u u r的取值范围.评估的平均得分 (0,6)[6,8)[8,10]全市的总体交通状况等级不合格合格优秀ABCMP(21)(本小题满分12分)设函数()()()2ln 1,0f x ax x b x x =+->,曲线()y f x =过点()2,1e e e -+,且在点()1,0处的切线方程为0y =.(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)证明:当1x ≥时,()()21f x x ≥-;(Ⅲ)若当1x ≥时()()21f x m x ≥-恒成立,求实数m 的取值范围.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。

2020届福建省漳州市高三第二次教学质量检测数学试题

2020届福建省漳州市高三第二次教学质量检测数学试题

漳州市2020届高中毕业班第二次教学质量检测数学试题本试卷共6页。

满分150分。

考生注意:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=,B=,则A B=A.[-1,)B.)C.(0,)D.R2.已知复数z的共轭复数为,且满足2z=32i,则=A. B. C.3 D.53.执行如图所示的程序框图,若输入的n=3,则输出的S=A.1B.5C.14D.304.已知等比数列的前n项和为S n,若a3 =,S3=,则的公比为A.或B.或C.3或2D.3或 25.的展开式中的系数为A.6B.24C.32D.486.我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一,书中记载了他计算圆周率所用的方法。

先作一个半径为1的单位圆,然后做其内接正六边形,在此基础上做出内接正6×(n=1,2,…)边形,这样正多边形的边逐渐逼近圆周,从而得到圆周率,这种方法称为“刘徽割圆术”。

现设单位圆O的内接正n边形的一边为AC,点B为劣弧AC 的中点,则BC是内接正2n边形的一边,现记AC=S n,AB=S2n,则A.=B.=C.=2D.=7.已知正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为2,A,B分别为该正三棱柱内切球和外接球上的动点,则A,B两点间的距离最大值为A. 2B.C. C.8.若a=,b=12,c=,则A. B.a C.a D.9.已知双曲线C:=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的左、右支分别交于P、Q两点,若= 2,·= 0,则C的渐近线方程为A.y=B.y=C.y=D.y=10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c) cosA=a cosC,b=2,若边BC的中线等于3,则△ABC的面积为A.9B.C. 3D.11.已知函数f(x) =sin[cosx] +cos[sinx] ,其中[x] 表示不超过实数x的最大整数,关于f(x)有下述四个结论:①f(x)的一个周期是2π;②f(x)是非奇非偶函数;③f(x)在(0,π)单调递减;④f(x)的最大值大于。

福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题

福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题

漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试卷(文科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选顶中,只有一项是符合题目要求的.1.-1i+1﹣3i =( ) A .1﹣2iB .﹣1﹣2iC .﹣1+2iD .1+2i2.已知集合A ={x |﹣2<x <3},B ={x |y =ln (x +1)},则A ∩B =( ) A .(﹣2,+∞)B .(3,+∞)C .(﹣2,3)D .(﹣1,3)3.已知向量a ,b 满足|a |=1,且a 与b 夹角为2π,则a •(﹣6a -b )=( ) A .6B .﹣6C .﹣7D .74.函数f (x )=221x x x x e e-++的图象大致为( )5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .32B .34C .36D .386.设x,y满足约束条件的最大值是()A.﹣4 B.0 C.8 D.127.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,则抛物线的标准方程为()A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3a cos A=b cos C+c cos B,b+c=3,则a的最小值为()A.1 B.C.2 D.39.已知在正四面体A﹣BCD中,M为AB的中点,则直线CM与AD所成角的余弦值为()A.12B.C.D.10.已知x∈(0,π),则f(x)=cos2x+2sin x的值域为()A.(﹣1,12] B.(0,2)C.()D.[1,]11.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知底面△ABC为正三角形,AA1⊥平面ABC,AB=6,AA1=16,则该三棱柱外接球的表面积为()A.400πB.300πC.200πD.100π12.设0<m≤2,已知函数,对于任意x1,x2∈[m﹣2,m],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1,则实数m的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若sinθ﹣cosθ=,则cos4θ=.14.不透明的袋中有5个大小相同的球,其中3个白球,2个黑球,从中任意摸取2个球,则摸到同色球的概率为.15.已知双曲线C:22221(0,0)x ya ba b-=>>的左顶点为A,右焦点为F,过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限的交点为B,且直线AB的斜率为12,则C的离心率为.16.已知定义在R上的偶函数y=f(x+2),其图象连续不间断,当x>2时,函数y=f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(1﹣)的所有x之积为.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{a n}为等差数列,a7﹣a2=10,且a1,a6,a21依次成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为S n,若S n=,求n的值.18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面ABCD⊥平面P AD,AD∥BC,AB=BC=AP=AD,∠APD=∠BAD=90°.(1)证明:PD⊥PB;(2)设点M在线段PC上,且PM=PC,若△MBC的面积为,求四棱锥P﹣ABCD的体积.19.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1(1<a<5)上,该椭圆的左顶点A到直线x﹣y+5=0的距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若线段MN平行于y轴,满足(﹣2)•=0,动点P在直线x=2上,满足=2.证明:过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.20.(12分)某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:间隔时间x(分钟)10 11 12 13 14 15 等候人数y(人)23 25 26 29 28 31调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数y的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.(1)若选取的是后面4组数据,求y关于x的线性回归方程=x+,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(2)为了使等候的乘客不超过35人,试用(1)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟?附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),……,(x n,y n),其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:==,=.21.(12分)已知函数f(x)=1+lnx﹣ax2.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)证明:xf(x)<•e x+x﹣ax3.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知f(x)=|x+a|(a∈R).(1)若f(x)≥|2x﹣1|的解集为[0,2],求a的值;(2)若对任意x∈R,不等式f(x)+|x﹣a|≥3a﹣2恒成立,求实数a的取值范围.。

福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测文科数学试题含答案

福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测文科数学试题含答案

福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.A. B. C. D.【答案】A【解析】解:.故选:A.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.2.已知集合,,则A. B. C. D.【答案】D【解析】解:;.故选:D.可解出集合B,然后进行交集的运算即可.考查描述法、区间的定义,对数函数的定义域,以及交集的运算.3.已知向量,满足,且与夹角为,则A. 6B.C.D. 7【答案】B【解析】解:故选:B.先去括号再用数量积的性质运算可得.本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属基础题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】C【解析】解:,即是奇函数,图象关于原点对称,排除B,当时,恒成立,排除A,D故选:C.判断函数的奇偶性,以及函数值的符号,利用排除法进行求解即可.本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. 32B. 34C. 36D. 38【答案】D【解析】解:根据三视图知,该几何体是由一个长、宽均为2,高为4的长方体,截去一个长、宽均为1,高为4的小长方体后剩余的部分,如图所示;则该几何体的表面积为.故选:D.根据三视图知该几何体是一个长方体,截去一个小长方体后剩余的部分,结合途中数据求出它的表面积.本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题,是基础题.6.设x,y满足约束条件则的最大值是A. B. 0 C. 8 D. 12【答案】C【解析】解:先根据x,y满足约束条件画出可行域,然后平移直线,当直线过点,解得时,z最大值为8.故选:C.先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线过点时,z最大值即可.本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于中档题.7.已知抛物线上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,则抛物线的标准方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解:抛物线上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,可得,可得,所以抛物线的标准方程为:.故选:B.利用抛物线的定义,转化列出方程求出p,即可得到抛物线方程.本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线方程的求法,是基本知识的考查.8.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,则a的最小值为A. 1B.C. 2D. 3【答案】B【解析】解:在中,,,即,又,,.,两边平方可得:,由,可得:,解得:,当且仅当时等号成立,,可得:,当且仅当时等号成立,解得a的最小值为.故选:B.根据正弦定理将边化角,利用两角和的正弦函数公式化简得出,由已知利用余弦定理和基本不等式即可求得a的最小值.本题考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.9.已知在正四面体中,M为AB的中点,则直线CM与AD所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解:如图,设正四面体的棱长为2,取BD的中点N,连结MN,CN,是AC的中点,,是CM与AD所成的角,设MN的中点为E,则,在中,,,直线CM与AD所成角的余弦值为.故选:C.设正四面体的棱长为2,取BD的中点N,连结MN,CN则,是CM与AD所成的角,由此能求出直线CM与AD所成角的余弦值.本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.10.已知,则的值域为A. B. C. D.【答案】D【解析】解:由设,,,;即的值域为;故选:D.利用二倍角公式转化为二次函数问题求解最值即可;本题考查三角函数的有界性,二次函数的最值,考查转化思想以及计算能力.11.在三棱柱中,已知底面为正三角形,平面ABC,,,则该三棱柱外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解:如图,为底面中心,O为外接球球心,在正三角形ABC中求得,又,外接球半径,,球故选:A.利用两底面中心连线的中点为外接球球心,结合勾股定理不难求半径.此题考查了正三棱柱外接球,难度较小.12.设,已知函数,对于任意,,都有,则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解:根据题意,设,其导数,当时,,即函数在上为增函数,当时,,即函数在上为减函数,当时,,即函数在上为增函数,又由,则,则在上,为减函数,又由,则函数在上也为减函数,则,,若对于任意,,都有,则有,即,变形可得:,解可得:或,又由,则m的取值范围为;故选:B.根据题意,设,求出其导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析其单调性,结合m的范围分析可得在上为减函数,进而可得函数在上也为减函数,据此求出在上的最大值与最小值;结合题意分析可得必有,即,变形解可得m的取值范围,即可得答案.本题考查利用导数分析函数的最值,注意分析的最值.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若,则______.【答案】【解析】解:,平方可得,.则,故答案为:.由题意利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式求得的值,可得的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题.14.不透明的袋中有5个大小相同的球,其中3个白球,2个黑球,从中任意摸取2个球,则摸到同色球的概率为______.【答案】【解析】解:不透明的袋中有5个大小相同的球,其中3个白球,2个黑球,从中任意摸取2个球,基本事件总数,摸到同色球包含的基本事件个数,摸到同色球的概率.故答案为:.基本事件总数,摸到同色球包含的基本事件个数,由此能求出摸到同色球的概率.本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.已知双曲线C:的左顶点为A,右焦点为F,过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限的交点为B,且直线AB的斜率为,则C的离心率为______.【答案】【解析】解:把代入双曲线:的准线方程,所以,又,直线AB的斜率为,可得,可得,,.故答案为:.求出双曲线的准线方程,求出B的坐标,利用直线的斜率,转化求解离心率即可.本题考查双曲线的简单性质的应用,离心率的求法,16.已知定义在R上的偶函数,其图象连续不间断,当时,函数是单调函数,则满足的所有x之积为______.【答案】39【解析】解:因为函数是连续的偶函数,所以直线是它的对称轴,从面直线就是函数图象的对称轴.因为,所以或.由,得,设方程的两根为n,n,所以;由,得,设方程的两根为,,所以,所以.故答案为:39.由题意首先确定函数的对称性,然后结合题意和韦达定理整理计算即可求得最终结果.本题主要考查函数的对称性,分类讨论的数学思想,韦达定理的应用等知识,属于中等题.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.已知数列为等差数列,,且,,依次成等比数列.求数列的通项公式;设,数列的前n项和为,若,求n的值.【答案】解:设数列为公差为d的等差数列,,即,即,,,依次成等比数列,可得,即,解得,则;,即有前n项和为,由,可得,解得.【解析】设等差数列的公差为d,运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式;求得,运用裂项相消求和可得,解方程可得n.本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查数列的裂项相消求和,以及方程思想和运算能力,属于基础题.18.如图,在四棱锥中,平面平面PAD,,,.证明:;设点M在线段PC上,且,若的面积为,求四棱锥的体积.【答案】证明:,,平面平面PAD,交线为AD,平面PAD,从而,,,,平面PAB,平面PAB,.解:设,则,,由知平面PAD,,,取AD中点F,连结CF,PF,则,,由知平面PAD,平面PAD,,,,,,,由,解得,在中,,P到AD的距离,到平面ABCD的距离,四棱锥的体积.【解析】推导出,,,从而平面PAB,由此能证明.设,则,,由平面PAD,得,,取AD中点F,连结CF,PF,则,,平面PAD,,由,求出,由此能求出四棱锥的体积.本题考查线线垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,该椭圆的左顶点A到直线的距离为.求椭圆C的标准方程;若线段MN平行于y轴,满足,动点P在直线上,满足证明:过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.【答案】解:左顶点A的坐标为,,,解得或舍去,椭圆C的标准方程为,证明:由题意,,,则依题意可知,由可得,,,整理可得,由,可得,整理可得,由可得,,,,故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.【解析】根据点到直线的距离公式即可求出a的值,可得椭圆方程,由题意,,,根据,可得,由,可得,再根据向量的运算可得,即可证明.本题考查了椭圆方程的求法,直线和椭圆的关系,向量的运算,考查了运算求解能力和转化与化归能力,属于中档题20.某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数y的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.若选取的是后面4组数据,求y关于x的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;为了使等候的乘客不超过35人,试用中方程估计间隔时间最多可以设置为多少精确到整数分钟?附:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.【答案】解:由后面四组数据求得,,,,,..当时,,而;当时,,而.求出的线性回归方程是“恰当回归方程”;由,得.故间隔时间最多可设置为18分钟.【解析】由后四组数据求得及的值,可得线性回归方程,分别取,11求得y值,与原表格中对应的y值作差判断;直接由,求得x值得答案.本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是中档题.21.已知函数.讨论函数的单调区间;证明:.【答案】解:的定义域是,,故时,,在递增,当时,令,解得:,故在递增,在递减;证明:要证,即证,也即证,令,则,故在递减,在递增,,故最小值令,则,故在递增,在递减,,故最大值,故,即,故.【解析】求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;问题转化为证,令,令,根据函数的单调性求出函数的最值,从而证明结论.本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,分类讨论思想,转化思想,是一道综合题.22.在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.把的参数方程化为极坐标方程;求与交点的极坐标.【答案】解:曲线的参数方程为为参数,转换为直角坐标方程为:,转换为极坐标方程为:.曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为:,所以:,整理出公共弦的直线方程为:,故:,解得:或转换为极坐标为:或【解析】直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.利用方程组求出交点的坐标,进一步转换为极坐标.本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,二元二次方程组的解法及应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.23.已知.若的解集为,求a的值;若对任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围.【答案】解:不等式,即,两边平方整理得,由题意知0和2是方程的两个实数根,即,解得;因为,所以要使不等式恒成立,只需,当时,,解得,即;当时,,解得,即;综上所述,a的取值范围是.【解析】利用两边平方法解含有绝对值的不等式,再根据根与系数的关系求出a的值;利用绝对值不等式求出的最小值,把不等式化为只含有a的不等式,求出不等式解集即可.本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了分类讨论思想,是中档题.。

2020届福建省漳州市高三高中毕业班第二次教学质量检测数学(文)试题(解析版)

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2020届福建省漳州市高三高中毕业班第二次教学质量检测数学(文)试题一、单选题1.已知集合{|A x y ==,{|lg(1)}B y y x ==-,则A B =( )A .[1,)-+∞B .(1,)+∞C .[0,)+∞D .R【答案】D【解析】分别解得集合{|1}A x x =-,B R =,利用并集运算得解. 【详解】因为{|1}A x x =-,B R =,所以A B R =,故选:D. 【点睛】本题主要考查了求对数型函数的值域及并集的运算,属于基础题. 2.若2(,)1a bi a b i=+∈+R ,则20192020a b +=( ) A .1- B .0C .1D .2【答案】D 【解析】整理21a bi i=++可得:1i a bi -=+,问题得解 【详解】 因为21a bi i=++,所以1i a bi -=+,所以1,1a b ==-, 所以201920202a b +=, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识,属于基础题. 3.若5a b +=,()1,1a =,1b =,则a 与b 的夹角为( ) A .6π B .4π C .3π D .2π 【答案】B【解析】首先计算a ,再根据()22a ba b +=+,计算夹角.【详解】()1,1a =,2211a ∴=+=5a b +=,2222121cos 5a b a b θ∴++⋅=++⨯=,解得:cos 2θ=,[]0,θπ∈, 4πθ∴=.故选:C 【点睛】本题考查向量数量积,模,重点考查计算能力,属于基础题型. 4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若334a =,3214S =,则{}n a 的公比为( )A .13-或12B .13或12-C .-3或2D .3或-2【答案】A【解析】将已知条件转化为1,a q 的形式,由此求得q 的值. 【详解】依题意233112312113334442199422a a a q a a a a a a a q ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪++=+=+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩, 两式相除得2116q q =+,即2610q q --=,即()()21310q q -+=, 解得13q =-或12q =. 故选:A 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算,属于基础题.5.已知点P 在圆22:1O x y +=上,角α的始边为x 轴的非负半轴,终边为射线OP ,则当2sin sin αα+取最小值时,点P 位于( ) A .x 轴上方 B .x 轴下方C .y 轴左侧D .y 轴右侧【答案】B【解析】直接利用二次函数的性质即可得到:当1sin 2α=-时,2sin sin αα+取最小值,结合三角函数值的正负与角的终边的关系得解. 【详解】因为2211sin sin sin 24ααα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭, 所以当1sin 2α=-时,2sin sin αα+取最小值, 此时点P 位于x 轴下方, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及三角函数值的正负与角的终边的关系,属于基础题. 6.执行如图所示的程序框图,若输入的3n =,则输出的S =( )A .1B .5C .14D .30【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可得解 【详解】执行程序框图,可得0,0i S ==, 满足3i <,执行循环体,21,11i S ===; 满足3i <,执行循环体,22,125i S ==+=; 满足3i <,执行循环体,23,5314i S ==+=;不满足3i <,退出循环体,输出S 的值为14, 故选:C. 【点睛】本题主要考查了流程图知识,考查读图能力及计算能力,属于基础题.7.在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知(2)cos cos b c A a C -=⋅,则A =( ) A .6πB .3π C .23π D .56π 【答案】B【解析】对()2cos cos b c A a C -=⋅利用正弦定理可得:()2sin sin cos sin cos B C A A C -=,整理可得:2sin cos sin B A B =,问题得解.【详解】因为在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()2cos cos b c A a C -=⋅, 所以由正弦定理得:()2sin sin cos sin cos B C A A C -=,所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =⋅+⋅=+=, 因为0B π<<,所以1cos 2A =,又0A π<<,所以3A π=,故选:B. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形,还考查了两角和的正弦公式,属于中档题.8.若函数()(sin )f x x x =是偶函数,则实数a =( ) A .1- B .0C .1D .2π【答案】C【解析】由已知及sin y x =是奇函数可得:)ln y x =是奇函数,利用奇函数定义列方程可得:))ln lnx x =-,整理得解.【详解】因为()())sin ln f x x x =是偶函数,sin y x =是奇函数,所以)lny x =是奇函数,所以))lnlnx x =-,所以))lnln0x x +=,所以()22ln 0x a x +-=,所以ln 0a =,所以1a =, 故选:C. 【点睛】本题主要考查了奇函数定义及分析能力,还考查了计算能力,属于中档题.9.由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2019年11月24日晚在山东卫视首播.本期最精彩的节目是π的飞花令:出题者依次给出π所含数字3.141592653……答题者则需要说出含有此数字的诗句.雷海为、杨强、马博文、张益铭与飞花令少女贺莉然同场PK ,赛况激烈让人屏住呼吸,最终π的飞花令突破204位.某校某班级开元旦联欢会,同学们也举行了一场π的飞花令,为了增加趣味性,他们的规则如下:答题者先掷两个骰子,得到的点数分别记为,x y ,再取出π的小数点后第x 位和第y 位的数字,然后说出含有这两个数字的一个诗句,若能说出则可获得奖品.按照这个规则,取出的两个数字相同的概率为( ) A .118B .16C .736D .29【答案】D【解析】列出所有的基本事件,再利用古典概型概率计算公式得解. 【详解】取出π的小数点后第x 位和第y 位的数字,基本事件共有36个:取出的两个数字相同的基本事件共有8个:()()()()()()()()1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,1,3,3,1,其中括号内的第一个数表示第x 位的取值,第二个数表示第y 位的取值, 所以取出的两个数字相同的概率为82369P ==,故选:D. 【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算公式,属于基础题. 10.已知sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 2α=( ) A .-1 B .0C .12D .1【答案】A【解析】首先利用两角和差公式,展开化简求得tan 1α=-,再用tan α表示sin 2α. 【详解】sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11cos cos sin 2222αααα∴-=-,即11sin cos 2222αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以tan 1α=-, 2222sin cos 2tan sin 21sin cos tan 1ααααααα===-++.故选:A【点睛】本题考查三角恒等变形,重点考查转化与变形,计算能力,属于中档题型.11.已知圆M 的圆心为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>虚轴的一个端点,半径为+a b ,若圆M 截直线:l y kx =所得的弦长的最小值为,则C 的离心率为( )A .3B .109CD .2【答案】C【解析】由弦AB 的长最小可得:OA =,OM b =,即可求得:2MA b =,结合MA a b =+可得:a b =,问题得解 【详解】由条件知当l y ⊥轴时,圆M 截直线:l y kx =所得的弦AB 的长最小,此时3OA b =,OM b =,22||2MA OM OA b =+=,又圆M 的半径MA a b =+,所以2b a b =+,即a b =, 所以222c a b a =+=,所以C 的离心率2ce a== 故选:C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率知识,还考查了转化能力及计算能力,属于中档题.12.已知()'f x 是定义在上的函数()f x 的导函数,且2(1)(1)xf x f x e +=-,当1x >时,()()f x f x '>恒成立,则下列判断正确的是( ) A .()()523e f f ->B .()()523f e f ->C .()()523e f f <-D .()()523f e f >-【答案】A【解析】构造函数()()xf xg x e =,由(1)(1)g x g x -=+,可得()g x 的图象关于直线1x =对称,利用导数研究函数的单调性,根据单调性即可比较大小. 【详解】 构造函数()()xf xg x e =,因为2(1)(1)xf x f x e +=-,所以11(1)(1)x x f x f x e e +-+-=, 则(1)(1)g x g x -=+,所以()g x 的图象关于直线1x =对称,因为当1x >时,()()f x f x '>,所以()()()0xf x f xg x e''-=>, 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增,所以有(3)(2),(2)(3)g g g g ->->, 即3223(3)(2)(2)(3),f f f f e e e e---->>, 即5(3)(2)e f f ->,5(2)(3)e f f ->, 故选:A. 【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性,解题的关键是构造函数,属于中档题.二、填空题13.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且918S =,则5a =__________. 【答案】2【解析】由等差数列前n 项和公式整理918S =可得:5918a =,问题得解. 【详解】 因为()19599921822a a a S +⨯===, 所以5918a =,解得52a =. 故答案为:2 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式及等差数列的下标和性质,属于基础题.14.若函数1,1,()(1),1,x e x f x f x x +⎧=⎨->⎩,则(ln3)f =________.【答案】3【解析】由ln31>及()()1,11,1x e x f x f x x +⎧⎪=⎨->⎪⎩可得:()()ln3ln31f f =-,即可求得:()ln313f -=,问题得解.【详解】因为ln31>,所以()()ln3ln31f f =-, 因为ln311-<,所以()ln3ln313f e -==,所以()ln33f =.故答案为:3 【点睛】本题主要考查了分段函数函数值的计算,考查计算能力,属于基础题.15.已知1F ,2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点,点P 在C 上,线段1PF 与y 轴交于点M ,O 为坐标原点,若OM 为12PF F △的中位线,且||1OM =,则1PF =________.【答案】6【解析】利用OM 为12PF F △的中位线可得:1OM =,即可求得22PF =,结合椭圆定义列方程得解. 【详解】如图所示,因为OM 为12PF F △的中位线, 且1OM =,所以22PF =,由椭圆定义可得:1222426PF a PF =-=⨯-=.故答案为:6 【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及转化能力,属于基础题.16.四面体ABCD 中,ABD △和BCD 都是边长为3A BD C --大小为120°,则四面体ABCD 外接球的体积为____________. 287π【解析】过球心O 分别作平面ABD 、平面BCD 的垂线,垂足分别为12,O O ,利用已知可证得:12O HO ∠为二面角A BD C --的平面角,解三角形即可求得外接球半径7R =.【详解】如图,过球心O 分别作平面ABD 、平面BCD 的垂线,垂足分别为12,O O ,则12,O O 分别为ABD △和BCD 的外心, 取H 为BD 中点,连结1O H 、2O H ,因为ABD △和BCD 都是边长为23 所以1O H BD ⊥,2O H BD ⊥,所以12O HO ∠为二面角A BD C --的平面角,即12120O HO ∠=︒, 在1Rt OO H 中,1132313O H ==,1121602OHO O HO ∠=∠=︒,所以111tan 3OO O H OHO =⋅∠ 在1Rt OO A △中,1122O A O H ==,所求的外接球半径2211347R OA OO O A ==+=+= 所以四面体ABCD 外接球的体积34733V R ππ==. 287π【点睛】本题主要考查了几何体外接球半径计算,还考查了二面角A BD C --的平面角推理论证及计算能力、空间思维能力,属于中档题三、解答题17.已知函数()2sin cos sin 1888f x x x x πππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)将函数()f x 的所有正的零点按从小到大依次排成一列,得到数列{}n x ,令11n n n a x x +=⋅,n S 为数列{}n a 的前n 项和,求证:14n S <.【答案】(1)8;(2)见解析【解析】(1)由二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式整理()2sin cossin 1888f x x x x πππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可得:()44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,问题得解.(2)计算函数()f x 的所有正的零点为:41,Z x k k =+∈,即可求得:*43,N n x n n =-∈,即可求得:()()14341n a n n =-+,再利用裂项相消法求和可得:111441n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,问题得证. 【详解】(1)因为()22sin2sincos1sincos88844f x x x x x x πππππ=+⋅-=-44x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期284T ππ==.(2)由()044f x x ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得sin 044x ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得44x k πππ-=,即41,Z x k k =+∈,所以*43,N n x n n =-∈,所以()()111111434144341n n n a x x n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭,所以11111111145599134341n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11114414n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简、三角函数周期公式及裂项相消法求数列的前n 项和知识,考查转化能力及计算能力,属于中档题.18.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AB AC ⊥,//AB CD ,2AB CD =,E ,F 分别为PB ,AB 的中点.(1)求证:平面//PAD 平面EFC ;(2)若2PA AB AC ===,求点B 到平面PCF 的距离. 【答案】(1)见解析;(26【解析】(1)由已知可得://EF PA ,即可证得://EF 平面PAD ,再证明四边形ADCF 为平行四边形即可证得//CF AD ,即可证得://CF 平面PAD ,命题得证. (2)利用等体积法得:B PCF P BCF V V --=,整理计算得解. 【详解】(1)证明:因为,E F 分别为,PB AB 的中点,所以//EF PA , 因为EF ⊄平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,所以//EF 平面PAD 因为//,2AB CD AB CD =,所以//,AF CD AF CD =, 所以四边形ADCF 为平行四边形,所以//CF AD因为CF ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD ,所以//CF 平面PAD 因为EFCF F =,EF ,CF ⊂平面EFC ,所以平面//PAD 平面EFC(2)解:因为AB AC ⊥,2AB AC ==,F 为AB 中点,所以1112122BCFSBF AC =⋅=⨯⨯=, 因为PA ⊥平面ABCD ,所以11212333P BCF BCFV SPA -=⋅=⨯⨯=, 因为5,2PF CF PC ===所以221122526222PCFPC SPC PF ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭设点B 到平面PCF 的距离为h ,因为B PCF P BCF V V --=, 所以12633h =,所以B 到平面PCF 的距离6h =.本题主要考查了面面平行的判定定理及转化能力,还考查了利用等体积法求点面距离,考查了空间思维能力及计算能力,属于中档题.19.某工厂加工产品A的工人的年龄构成和相应的平均正品率如下表:年龄(单位:岁)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)人数比例0.30.40.20.1平均正品率85%95%80%70%(1)画出该工厂加工产品A的工人的年龄频率分布直方图;(2)估计该工厂工人加工产品A的平均正品率;(3)该工厂想确定一个转岗年龄x岁,到达这个年龄的工人不再加工产品A,转到其他岗位,为了使剩余工人加工产品A的平均正品率不低于90%,若年龄在同一区间内的工人加工产品A的正品率都取相应区间的平均正品率,则估计x最高可定为多少岁?【答案】(1)年龄频率分布直方图见解析;(2)86.5%;(3)最高可定为42.5岁【解析】(1)利用已知数据绘图即可.(2)直接利用均值公式计算得解.(3)利用已知及均值公式列方程可得:()()4085%0.395%0.480%0.21090%400.30.40.210xx-⨯+⨯+⨯⨯=-++⨯,解方程即可.(1)该工厂加工产品A 的工人的年龄频率分布直方图如下(2)估计该工厂工人加工产品A 的平均正品率为85%0.395%0.480%0.270%0.1⨯+⨯+⨯+⨯ 25.5%38%16%7%86.5%=+++=(3)因为86.5%90%<,85%0.395%0.480%0.288.3%90%0.30.40.2⨯+⨯+⨯≈<++,由()()4085%0.395%0.480%0.21090%400.30.40.210x x -⨯+⨯+⨯⨯=-++⨯,得42.5x =,所以为了使剩余工人加工产品A 的平均正品率不低于90%,估计x 最高可定为42.5岁. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的绘制,还考查了均值计算公式,考查作图能力及计算能力,属于中档题.20.已知(1,0)F ,点P 在第一象限,以PF 为直径的圆与y 轴相切,动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)若曲线C 在点P 处的切线的斜率为1k ,直线PF 的斜率为2k ,求满足123k k +=的点P 的个数.【答案】(1)24(0)y x y =>;(2)2【解析】(1)设(),,0,0P x y x y >>,利用以PF 为直径的圆与y 轴相切列方程可得:1122x PF +=,整理可得:24(0)y x y =>,问题得解. (2)设()2000,04y P y y ⎛⎫>⎪⎝⎭,利用导数求得:102k y =,结合022044y k y =-及123k k +=可得:32000361280y y y --+=,构造函数:()3236128f x x x x =--+并利用导数知识可判断()f x 在()0,∞+内有且只有两个零点,问题得解. 【详解】(1)设(),,0,0P x y x y >>, 又()1,0F ,则PF 中点坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭, 因为以PF 为直径的圆与y 轴相切, 所以1122x PF +=,即12x +=整理,得C 的方程为24(0)y x y =>.(2)由24(0)y x y =>,得y =y '=设()2000,04y P y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 则20001222400042,414y x y y k y k y y y =====--', 由123k k +=,即02004234y y y +=-,得32000361280y y y --+=(), 令()3236128f x x x x =--+,由()2912120f x x x =-'-=,得23x =-,或2x =, 因为当()0,2x ∈时,()0f x '<,当()2,x ∈+∞时,()0f x '>, 所以()f x 在()0,2上递减,在()2,+∞上递增,又()()()()080,2160,4560,f f f f x =>=-<=>的图象连续不断 所以()f x 在()0,∞+内有且只有两个零点, 所以方程()有且只有两个不同的正根,所以满足123k k +=的点P 的个数为2. 【点睛】本题主要考查了求曲线方程的方法及利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数零点的个数,考查了转化能力及计算能力,属于难题.21.已知函数()()2122x t f x x e x x =---,()2x g x e t x=--. (1)求()g x 的单调区间;(2)已知()f x 有两个极值点1x ,()212x x x <且()15102f x e +-<,求证:12t e>+. 【答案】(1)()g x 在(),0-∞,()0,∞+上是增函数;(2)证明见解析. 【解析】(1)首先求函数的导数()22xg x e x '=+,根据导数的正负,确定函数的单调区间;(2)根据条件转化为20xe t x--=的两个根1x ,2x ,即112xt e x =-,代入()()121111122x t f x x e x x =---,得到()12111112x x f x x e x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭,构造函数()()2102x x x x e x x ϕ⎛⎫=-+--< ⎪⎝⎭,利用导数证明不等式.【详解】(1)()g x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞, 因为当0x ≠时,()220xg x e x'=+>, 所以()g x 在(),0-∞,()0,∞+上是增函数. (2)因为()f x 有两个极值点1x ,()212x x x <,所以1x ,2x 是()20xf x xe tx =--=',即20xe t x--=的两个根1x ,2x , 所以1x ,2x 是()g x 的两个零点,由(1)可知()g x 在(),0-∞和()0,∞+内分别至多有一个零点,又12x x <,所以10x <,且()10g x =,即112xt e x =-, 所以()()121111122xt f x x e x x =---()1112211111111212122x x x x x e e x x x e x x ⎛⎫⎛⎫=----=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()2102x x x x e x x ϕ⎛⎫=-+--< ⎪⎝⎭,则()21102x x x e ϕ'=--<, 所以()x ϕ在(),0-∞上为减函数, 因为()15102f x e +-<,即()1512f x e<-,即()()11x ϕϕ<-, 所以110x -<<, 所以()()11g g x -<,即120t e +-<,所以12t e>+. 【点睛】本题考查导数研究函数性质,函数不方程,不等式,重点考查转化与变形,逻辑推理能力,属于难题.22.已知曲线C 的参数方程为2,cos tan ,x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数),直线l 过点(1,2)P 且倾斜角为6π. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程; (2)设l 与C 的两个交点为,A B ,求||||PA PB +.【答案】(1)2214x y -=,1,2122x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数);(2)32-【解析】(1)整理得2cos x θ=及2sin y xθ=,结合22sin cos 1θθ+=可得曲线C 的普通方程为:2214x y -=,再直接利用直线的参数方程形式求得直线的参数方程.(2)联立曲线C 的普通方程与直线l的参数方程整理可得:(232760t t +-+=,结合直线l 参数方程的参数的几何意义可得:12PA PB t t +=+,问题得解. 【详解】 (1)由2cos x θ=得:2cos x θ=,由y tan θ=得:sin cos y θθ=所以2sin cos y y xθθ==, 代入22sin cos 1θθ+=整理可得:2214x y -=所以曲线C 的普通方程为2214x y -=…①直线l的参数方程为1,122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)…② (2)②代入①,得(232760t t +-+=,所以((216847625630∆=-⨯=⨯>,设,A B 对应的参数分别为12,t t,则(121232,760,t t t t ⎧+=--⎪⎨=>⎪⎩所以121232PA PB t t t t +=+=+=-【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化,还考查了直线的参数方程中参数的几何意义的应用及计算能力,属于中档题.23.已知函数()|2||22|f x x x =+--的最大值为m . (1)求m 的值;(2)已知正实数,a b满足224a b +=是否存在,a b ,使得24m a b+=. 【答案】(1)3m =;(2)不存在【解析】(1)将()222f x x x =+--转化成分段函数()4,2,3,21,4, 1.x x f x x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩,利用函数的单调性即可得解.(212,再对24a b +利用基本不等式证得:243a b+>,问题得解. 【详解】(1)因为()4,2,3,21,4, 1.x x f x x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩所以()f x 在(),1-∞上单调递增,在()1,+∞上单调递减, 所以当1x =时,()f x 取最大值为3,即3m =. (2)由已知有2244a b ab =+, 因为0,0a b >>,所以0ab >12, 所以248422823a b ab ab+=>, 所以不存在实数,a b ,使得243a b+=. 解法二:(1)因为()221211f x x x x x x =+--=+----()()2103x x +---=,且()13f =,所以()f x 的最大值为3,即3m =. (2)由已知有2244a b ab =+, 因为0,0a b >>,所以0ab >12,① 假设存在实数,a b ,使得243a b+=,则24832a b ab =+=4212>,②因为①与②矛盾,所以假设不成立,故不存在实数,a b ,使得243a b+=. 【点睛】本题主要考查了求含两个绝对值的函数最值及分类思想,还考查了利用基本不等式推理论证及分析能力,属于中档题.。

2022-2023学年福建省漳州市高三第二次质量检测数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年福建省漳州市高三第二次质量检测数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年福建省漳州市高三第二次质量检测数学试题1. 若集合,,则( )A. B. C. D.2. 已知命题,,则命题p的否定为( )A., B. ,C. ,D. ,3. 在中,若,分别是方程的两个根,则( )A. B. C. D.4. 已知某圆锥的底面半径为1,高为,则它的侧面积与底面积之比为( )A. B. 1 C. 2 D. 45. 2022年10月22日,中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大,奋进新征程”为主题的联欢晚会,原定的5个学生节目已排成节目单,开演前又临时增加了两个教师节目,如果将这两个教师节目插入到原节目单中,则这两个教师节目相邻的概率为( )A. B. C. D.6. 如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若存在点G,满足,,则( )A. B. C. D.7. 大行数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.已知该数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,记,,则数列的前20项和是( )A. 110B. 100C. 90D. 808. 已知函数,若函数恰有5个零点,且,,则的取值范围是( )A. B.C. D.9. 已知复数z满足,则( )A. B. C. D.10. 函数的图象如图所示,则( )A. B. 在上单调递增C. 的一个对称中心为D. 是奇函数11. 已知数列是首项为的正项等比数列,若A,B,C是直线l上不同的三点,O为平面内任意一点,且,则( )A.B. 数列的前6项和为C. 数列是递减的等差数列D. 若,则数列的前n项和的最大值为112.已知,是双曲线的左、右焦点,且到C的一条渐近线的距离为,O为坐标原点,点,P为C右支上的一点,则( )A.B. 过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点C.D.当P,M,,四点共圆时,13. 函数的图象在处的切线方程为__________.14. 的展开式中项的系数是__________用数字作答15. 已知P为抛物线上的一个动点,直线,Q为圆上的动点,则点P到直线l的距离与之和的最小值为__________.16. 已知长方体的底面是边长为的正方形,若,则该长方体的外接球的表面积为__________;记,分别是,方向上的单位向量,且,,则为常数的最小值为__________.17. 已知等差数列的前n项和为,若,且__________.在①,②这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答给分求的通项公式;设,求的前n项和18. 在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足求已知点D在边AC上,且BD是的平分线,,求的最小值.19. 如图,在直角梯形BCDE中,,,A为DE的中点,且,,将沿AB折起,使得点E到达P处与D不重合,记PD的中点为M,如图.在折叠过程中,PB是否始终与平面ACM平行?请说明理由;当四棱锥的体积最大时,求CD与平面ACM所成角的正弦值.20. 北京时间2022年11月21日0时,卡塔尔世界杯揭幕战在海湾球场正式打响.某公司专门生产世界杯纪念品,今年的订单数量再创新高,为回馈球迷,该公司推出了盲盒抽奖活动,每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次.已知每次抽奖抽到一等奖的概率为奖金100元;抽到二等奖的概率为,奖金50元;其余视为不中奖.假设每人每次抽奖是否中奖互不影响.任选2名成功下单金额达500元的顾客,求这两名顾客至少一人中奖的概率;任选2名成功下单金额达500元的顾客,记为他们获得的奖金总数,求的分布列和数学期望.21. 已知函数当时,讨论的单调性;若,求证:当时,对,恒有22. 已知椭圆的左、右焦点分别为,,且过右焦点的直线l与C交于A,B两点,的周长为求椭圆C的标准方程;过坐标原点O作一条与l垂直的直线,交C于P,Q两点,求的取值范围;记点A关于x轴的对称点为异于B点,试问直线BM是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的求解,集合的交集运算,属于基础题.求出集合A,B,由此能求出【解答】解:由题意可得集合,,所以故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定,考查推理论证能力,考查逻辑推理核心素养,属于基础题.依据全称量词命题的否定是存在量词命题,可得答案.【解答】解:含有全称量词命题的否定是将全称量词改为存在量词,否定结论,故命题p的否定为:,故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查方程的根,两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,属于基础题.先求出方程的两个根,根据角的范围得出,,进而求出,,最后根据两角和的正弦公式得到的值.【解答】解:在中,若,分别是方程的两个根,则,,则解得,,则,,则,,所以故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积与底面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,考查数学运算核心素养,属于基础题.由,,可求母线长l,进而可分别计算圆锥的侧面积和底面积,可得答案.【解答】解:由题意可得,该圆锥的底面半径,高,则母线长,所以它的侧面积,底面积,即该圆锥的侧面积与底面积之比为故选5.【答案】D【解析】【分析】本题考查相邻的排列问题,古典概型及其计算,考查运算求解能力,属于中档题.利用排列组合问题求出总的可能情况和满足题意的情况,结合古典概型计算公式进行求解即可.【解答】解:由题意可得,先将第一个教师节目插入到原节目单中,有6种插入法,再将第二个教师节目插入到这6个节目中,有7种插入法,故将这两个教师节目插人到原节目单中,共有种情况,其中这两个教师节目恰好相邻的情况有种,所以所求概率为故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的线性运算,考查推理论证能力、运算求解能力,考查逻辑推理及数学运算核心素养,属于中档题.建立平面直角坐标系,得到,,,进而可得的值.【解答】解:以A为坐标原点,以AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设,则,,,,,所以,,,所以故选7.【答案】A【解析】【分析】本题考查数学文化、数列求和,考查推理论证能力、运算求解能力,考查逻辑推理及数学运算核心素养,属于中档题.观察数列可知,当n为偶数时,,当n为奇数时,,由此可得数列的通项公式,进而可求的前20项和.【解答】解:观察此数列可知,当n为偶数时,,当n为奇数时,因为,所以数列的前10项依次是0,2,,8,,18,,32,,50,所以数列的前20项和为故选8.【答案】B【解析】【分析】本题考查方程的根与函数的零点、函数与导数的综合应用,考查运算求解能力、推理论证能力,考查逻辑推理及数学运算核心素养,属于拔高题.根据函数解析式可作出的大致图象,将函数恰有5个零点转化为或,,这两个方程方程有5个根,然后对m进行分类讨论,把用含m的表达式表示出来,结合m的范围即可求解.【解答】解:当时,,此时,令,解得令,解得,可得在上单调递减,在上单调递增,且当时,,而易得函数连续,且,作出的大致图象如图所示.函数恰有5个零点,,,,,等价于方程有5个不同的实数根,解得或,,该方程有5个根,且,则,当时,,,故,所以当时,,,故,所以综上,的取值范围是故选9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查复数的四则运算、共轭复数、复数的模,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,属于基础题.根据复数的运算及复数的模、共轭复数的概念,即可求解.【解答】解:,,,,,故选10.【答案】AB【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,属于中档题.由图象易得,把点的坐标代入,可得,进而求得,进而可得各选项正确性.【解答】解:对于A,因为为该函数图象的最高点,所以,把点的坐标代入,可得,所以,又,所以,即,故选项A正确;对于B,当时,,所以在上单调递增,故选项B正确;对于C,令,,解得,,故选项C错误;对于D,,,所以不是奇函数,故选项D错误.故选11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式、等差数列的定义、用裂项相消法求数列的前n项和,属于中档题.利用平面向量的性质求出数列,再逐个判断各选项即可.【解答】解:由A,B,C三点共线,且,可得由题意可设等比数列的公比为,则,解得或舍,所以对于A,,故选项A错误;对于B,数列的前6项和,故选项B正确;对于C,,所以数列是以为首项,为公差的递减的等差数列,故选项C正确;对于D,,设数列的前n项和为,则,故选项D错误.故选12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查双曲线几何性质的综合应用,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数学运算、逻辑推理核心素养,属于拔高题.选项A利用双曲线的定义及性质判断即可,选项B利用直线与双曲线方程联立判断即可,选项C 利用双曲线的定义及中线长的公式判断即可,选项D利用圆与双曲线的关系及性质判断即可.【解答】解:对于A,设双曲线的半焦距为c,则,设双曲线C的一条渐近线为,即则到C的一条渐近线的距离为,所以又,所以,故选项A正确;对于B,由上述分析知双曲线C:双曲线的渐近线斜率为1,所以过点M且斜率为1的直线为,联立解得所以过点M且斜率为1的直线与C只有一个交点,故选项B错误;对于C,由双曲线的定义知,,所以由中线长公式知,,故选项C正确;对于D,当P,M,,四点共圆时,由双曲线的性质可知,所在圆的方程为,联立解得或设,因为,所以,当点P坐标为时,,则,又,所以当点P坐标为时,,则,又,所以,综上所述,当P,M,,四点共圆时,,故选项D正确.故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,属于基础题.先对函数求导,再求出所求切线的斜率及切点坐标,进而可求切线方程.【解答】解:,,所求切线斜率为,则函数的图象在处的切线方程为故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查二项式中指定项的系数与二项式系数,考查运算求解能力,属于基础题.的展开式的通项为,令,计算得到答案.【解答】解:的展开式的通项为,令,得的展开式中项的系数为故答案为15.【答案】4【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质、最值问题,属于基础题.先根据题意得到圆心M的坐标与半径,由抛物线方程得到焦点坐标与准线方程,依题意可得点P 到直线l的距离,即可得点P到直线l的距离与之和为,进而可得结果.【解答】解:由题得,因为直线是抛物线C的准线,设抛物线C的焦点为F,则,则点P到直线l的距离等于,所以点P到直线l的距离与之和等于,所以当四点共线时,取得最小值,其最小值为故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查长方体的外接球、外接球的表面积、空间向量共面定理,考查推理论证能力运算求解能力,考查逻辑推理及数学运算核心素养,属于中档题.根据长方体外接球直径为长方体体对角线,即可求出外接球半径,得出外接球的表面积,由所给条件可取与的方向相同或与的方向相同,问题可转化为求平面ABCD上一点E与的距离的最小值,即求到平面ABCD的距离.【解答】解:在中,,,,所以,所以该长方体的外接球的半径为,所以该长方体的外接球的表面积为由及,可得,所以与的方向相同或与的方向相同,不妨取与的方向相同,连接AC,由空间向量共面定理可得,必与,共面,在平面ABCD上取一点E,故可设,则,所以其最小值为点到平面ABCD的最小值,即最小值为故答案为17.【答案】解:设等差数列的首项为,公差为d,若选择条件①,由题可得解得若选择条件,由题可得解得由知,选择两个条件中的任何一个,都有,则,【解析】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列的前n项和公式,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,属于中档题.根据等差数列的通项公式与前n项和公式,结合已知条件求出首项和公差,即可求出通项公式;由得,再利用分组求和法即可求得18.【答案】解:在中,,由正弦定理得因为,所以又,所以因为BD是的平分线,,所以又,所以,化简得,所以,因为所以,当且仅当时,等号成立,即的最小值为【解析】本题考查正弦定理、三角形面积公式、基本不等式,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,属于中档题.由已知条件及正弦定理求出,再结合B的取值范围即可求得由角平分线的定义结合三角形的面积公式,求出,再利用基本不等式即可求出的最小值.19.【答案】解:在折叠过程中,PB始终与平面ACM平行.理由如下:由已知可得,,,,即四边形ABCD为正方形.在图2中,连接BD交AC于点N,则N为BD的中点,连接又M为PD的中点,平面ACM,平面ACM,平面要使四棱锥的体积最大,只需使点P到平面ABCD的距离最大,即平面又平面ABCD,平面ABCD,故,,且,故以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,设平面ACM的一个法向量为,则所以令,得,则,,设直线CD与平面ACM所成角为,则,即直线CD与平面ACM所成角的正弦值为【解析】本题考查棱锥的体积,线面平行的判定,直线与平面所成角的向量求法,考查运算求解能力、空间想象能力、推理论证能力,考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养,属于中档题.先证明四边形ABCD为正方形,连接BD交AC于点N,连接MN,易得,再由线面平行的判定定理即可证得结论;以A为坐标原点建立合适的空间直角坐标系,分别求出和平面ACM的一个法向量,进而求出线面角的正弦值.20.【答案】解:任选1名成功下单金额达500元的顾客,记“该顾客抽到一等奖”为事件A,“该顾客抽到二等奖”为事件B,“该顾客不中奖”为事件C,则所以,所以任选2名成功下单金额达500元的顾客,这两名顾客都不中奖的概率为,所以这两名顾客至少一人中奖的概率为由题意可知的所有可能取值为0,50,100,150,200,则,,,,,的分布列为:050100150200P的数学期望【解析】本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列及数学期望,考查数据处理能力、运算求解能力,考查数据分析及数学运算核心素养,属于中档题.先求出一名顾客抽奖不中奖的概率,再求出两名顾客抽奖都不中奖的概率,进而即可求出两名顾客至少一人中奖的概率;由题意写出的所有可能取值,分别求出对应的概率,即可列出的分布列,并求出数学期望.21.【答案】解:当时,,所以,当时,,此时在R上单调递减;当时,令,解得,所以在上单调递增;令,解得,所以在上单调递减.综上所述,当时,在R上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减.证明:当时,,令函数,则,所以在上单调递减,且,所以,即令函数,则,所以在上单调递增.又,所以对,恒成立,所以当时,对,恒有【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间含参,利用导数研究恒成立与存在性问题,考查推理论证能力、运算求解能力,考查逻辑推理及数学运算核心素养,属于中档题.对求导,分,两种情况讨论,根据导数的正负即可判断的单调性;构造新函数,将所求问题转化为对恒成立,利用导数研究的单调性,即可证得22.【答案】解:设椭圆的半焦距为c,由,得又的周长为,即,所以又,则,所以椭圆C的标准方程为如图,设,,,,由题意得直线AB的斜率不为0,设直线,则直线联立消去x整理得,,,,所以联立消去y整理得,,,,所以,所以令,则,所以,因为,所以所以综上,的取值范围为假设直线BM过定点,则由对称性可知所过定点必在x轴上,设该定点为,易知,所以直线BM的方程为令,解得,把,,代人上式得,故,所以直线BM过定点【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系及定点问题,考查推理论证能力运算求解能力,考查逻辑推理及数学运算核心素养,属于拔高题.由及的周长,即可求出a,b,c,进而得到椭圆方程;易得直线AB的斜率不为0,设出直线AB的方程,可得直线PQ的方程,分别联立直线AB,直线PQ与椭圆的方程,可求出弦长,的值,进而求出的比值,构造函数,利用换元法结合函数的单调性,即可求得其取值范围;假设直线BM过定点,则由对称性可知所过定点必在x轴上,设该定点为,根据点B和M的坐标表示出直线BM,令,结合中,的值即可求解.。

【详解】福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题含答案

【详解】福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题含答案

2019年5月福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.()A. B. C. D.【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,即可得到答案.【详解】由题意,根据复数的运算,可得.故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及其应用,其中解答中熟记复数的四则运算法则,好了准确运算是解答的关键,着重考查了化简与运算能力,属于基础题。

2.已知集合,,则A. B. C. D.【答案】D【分析】根据对数函数的性质,求解集合B,然后进行交集的运算,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合,所以,故选:D.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质,以及集合的交集运算,其中解答中根据对数函数的性质,正确求解集合B是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题。

3.已知向量,满足,且与夹角为,则()A. B. C. D.【答案】B【分析】由数量积计算即可.【详解】=-6【点睛】本题考查数量积,熟记数量积的运算性质,熟练运算是关键,是基础题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】C【分析】根据奇偶性的定义,得出函数的奇偶性,以及函数值的符号,利用排除法进行求解,即可得到答案.【详解】由题意,函数满足,即是奇函数,图象关于原点对称,排除B,又由当时,恒成立,排除A,D,故选:C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,以及函数值的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性的定义,得出函数的奇偶性,再利用函数值排除是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. 32B. 34C. 36D. 38【答案】D【分析】根据题中的三视图可知,该几何体是由一个长、宽均为2,高为4的长方体截去一个长、宽均为1,高为4的长方体后剩余的部分,利用面积公式即可求解。

【详解】根据题中的三视图可知,该几何体是由一个长、宽均为2,高为4的长方体截去一个长、宽均为1,高为4的长方体后剩余的部分,所以该几何体的表面积为,故选D。

福建省漳州市2022届高三毕业班第二次教学质量检测数学试题(含答案解析)

福建省漳州市2022届高三毕业班第二次教学质量检测数学试题(含答案解析)

福建省漳州市2022届高三毕业班第二次教学质量检测数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题1.设集合{}02A x x =≤≤,{}1,2B =,则A B ⋃=( ) A .{}2B .{}1,2C .{}12x x ≤≤D .{}02x x ≤≤2.复数z 满足()55i 2z -+=,则z 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .3- B .13- C .13D .34.已知直线0x y +-=与圆2225x y +=相交于A ,B 两点,则“6AB <”是“45a <<”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知ABC 是边长为2的正三角形,P 为线段AB 上一点(包含端点),则PB PC ⋅的取值范围为( )A .1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[]0,2D .[]0,46.伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶,该赛车馆是数学与建筑完美结的双曲线222:1(0)y C x a a -=>上支的一部分,点F 是C 的下焦点,若点P 为C 上支上的动点,则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为( )A .2B .3C .4D .57.已知函数()()21,13,1xa x a x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩与函数()ln g x x =的值域相同,则实数a 的取值范围是( ) A .(,1)-∞B .(,1]-∞-C .[1,1)-D .(,1][2,)-∞-+∞8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,11a =,22a =,33a =,记12n n n n b a a a ++=++且12n nb b ,则31S =( )A .171B .278C .351D .395二、多选题9.已知函数()xf x e =,则下列结论正确的是( )A .曲线()y f x =的切线斜率可以是1B .曲线()y f x =的切线斜率可以是1-C .过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条D .过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条10.已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为1CC 的中点,P 为侧面11BCC B 上的动点,且满足//AM 平面1A BP ,则下列结论正确的是( ) A .1AM B M ⊥ B .1//CD 平面1A BPC .动点PD .AM 与11A B 11.关于函数()sin cos f x x x =+,下列结论正确的是( ) A .()f x 为偶函数B .()f x 在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C .()f x 的值域为[-D .当(a ∈时,方程()f x a =在[],ππ-有8个解12.阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想,他用平衡法求得抛物线弓形(抛物线与其弦AB 所在直线围成的图形)面积等于此弓形的内接三角形(内接三角形ABC 的顶点C 在抛物线上,且在过弦AB 的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上)面积的43.现已知直线32y x p =-+与抛物线2:2(0)E y px p =>交于A ,B 两点,且A 为第一象限的点,E 在A 处的切线为l ,线段AB 的中点为D ,直线//DC x 轴所在的直线交E 于点C ,下列说法正确的是( )A .若抛物线弓形面积为8,则其内接三角形的面积为6B .切线l 的方程为220x y p -+=C .若()1*4n n ABC A S n N -∆⋅=∈,则弦AB 对应的抛物线弓形面积大于()121423n n A A A A n -++++≥ D .若分别取AC BC ,的中点1V ,2V ,过1V ,2V 且垂直y 轴的直线分别交E 于1C ,2C ,则1214ACC BCC ABC S S S ∆∆∆+=三、填空题13.2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿,该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬之情,也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年龄,其中年龄位于区间[10,20)的有10位,位于区间[20,30)的有20位,位于区间[30,40)的有25位,位于区间[40,50]的有15位,则这70位观众年龄的众数的估计值为____________14.已知()262x y +的展开式中82x y 的系数为____________15.写出一个具有性质①①①的函数()f x =____________①()f x 的定义域为()0,∞+;①()()()1212f x x f x f x =+;①当()0,x ∞∈+时,()0f x '< 四、双空题16.在平行四边形ABCD 中,8AB =,10BC =,3A π∠=,点E 在边BC 上,且DC CE =.将CDE △沿DE 折起后得到四棱锥C ABED '-,则该四棱锥的体积最大值为____________;该四棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为____________ 五、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,在①()1*122n n S n N -⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭①11a =,()*122n n S a n N ++=∈,①()*123111121n nn N a a a a ++++=-∈这三个条件中任选一个,解答下列问题: (1)求{}n a 的通项公式:(2)若2log n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T18.如图,在平面四边形ABCD 中,对角线AC 平分BAD ∠,ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c cos cos cos 0B a C c A ++=(1)求B ;(2)若2AB CD ==,ABC 的面积为2,求AD19.如图,圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形,点D 为棱1BB 的中点,1C 为弧11A B 上一点,且1113C O B π∠=(1)求三棱锥11D C OO -的体积; (2)求二面角11C OD O --的余弦值.20.漳州市某路口用停车信号管理,在某日9:00后的一分钟内有15辆车到达路口,到达的时间如下(以秒作单位):1,4,7,10,14,17,20,22,25,28,30,33,36,38,41.记1k =,2,3,…,15,()A k 表示第k 辆车到达路口的时间,()W k 表示第k 辆车在路口的等待时间,且()10W =,()()()(){}10,13W i max W i A i A i +=+-++,()1,2,,14i =⋅⋅⋅,记{}max ,M a b =,M 表示a ,b 中的较大者.(1)从这15辆车中任取2辆,求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率; (2)记这15辆车在路口等待时间的平均值为W ,现从这15辆车中随机抽取1辆,记()W k W ξ=-,求ξ的分布列和数学期望;(3)通过调查,在该日10:00后的一分钟内也有15辆车到达路口,到达的时间如下:1,4,10,14,15,16,17,18,19,21,25,28,30,32,38.现甲驾驶车辆欲在9:00后一分钟内或10:00后一分钟内某时刻选择一个通过该路口,试通过比较9:00和10:00后的一分钟内车辆的平均等待时间,帮甲做出选择.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为)P(1)求C 的方程:(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ,交C 于不同两点A ,B ,点N 与M 关于原点对称,BO AN ⊥,Q 为垂足.问:是否存在定点M ,使得·NQ NA 为定值? 22.已知()2ln f x x x a x =--(1)若1a =,求()f x 的最小值;(2)当1≥x 时,()()2120f x f x --≥,求a 的取值范围参考答案:1.D 【解析】 【分析】根据并集的定义计算可得; 【详解】解:因为{}02A x x =≤≤,{}1,2B =,所以{}02A B x x ⋃=≤≤; 故选:D 2.A 【解析】 【分析】设复数()i ,R z x y x y =+∈,由()55i 2z -+=,利用其几何意义求解. 【详解】解:设复数()i ,R z x y x y =+∈, 因为()55i 2z -+=, 所以()()22554x y -+-=,即复数z 表所对应的点在以(5,5)为圆心,以2为半径的圆上, 所以z 在复平面内对应的点所在的象限为第一象限. 故选:A 3.C 【解析】 【分析】整体法用诱导公式求解. 【详解】ππππ1cos sin sin 33263x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:C 4.B 【解析】【分析】先求出6AB <的充要条件,利用包含关系即可判断. 【详解】因为直线0x y +=与圆2225x y +=相交于A ,B 两点,设圆心到直线的距离为d ,则6AB <等价于:6,即45d <<,所以45<<,解得:45a <<或54a -<<-.所以“6AB <”是“45a <<”的必要不充分条件. 故选:B 5.A 【解析】 【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点,OB 、OC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系,设点(),0P a ,则11a -≤≤,利用平面向量数量积的坐标运算,并结合二次函数的基本性质可求得PB PC ⋅的取值范围. 【详解】取线段AB 的中点O ,连接CO ,则OC AB ⊥,以点O 为坐标原点,OB 、OC 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系,设(),0P a ,则11a -≤≤,()10B ,、(C ,()1,0PB a =-,(PC a =-, 故()21111,2244P P a a a B C ⎛⎫⎡⎤⋅=-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选:A.6.D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出双曲线方程,则可求出焦点坐标和渐近线方程,上焦点为1F ,则由双曲线的定义可得1124PF PF a PF =+=+,由双曲线的对称性取一条渐近线2y x =,设P 到2y x =的距离为d ,则将问题转化为求出14PF d ++,而1PF d +的最小值为1F 到渐近线2y x =的距离,从而可求得答案 【详解】因为双曲线222:1(0)y C x a a -=>,=24a =,则 双曲线方程为2214y x -=,c =所以下焦点(0,F ,渐近线方程为2y x =±,设上焦点为1F ,则1124PF PF a PF =+=+,由双曲线的对称性,不妨取一条渐近线为2y x =,设P 到2y x =的距离为d ,则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和为14PF d PF d +=++,因为1PF d +的最小值为1F 到渐近线2y x =1=,所以14PF d PF d +=++的最小值为415+=,即PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为5, 故选:D 7.B 【解析】 【分析】由分析知()f x 的值域为R ,当1≥x 时,1333x ≥=,要使()f x 的值域为R ,则1a <,且213a a -+≥,即可求出a 的取值范围.【详解】因为()ln g x x =的值域为R ,所以()()21,13,1xa x a x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R . 当1≥x 时,1333x ≥=.当1x <时,①若10a -=,即1a =,()1f x =,此时不满足条件.①若10a -<,即1a >,()21f x a a >-+,此时()f x 的值域不可能为R .①若10a ->,即1a <,()21f x a a <-+,要使()f x 的值域为R ,则213a a -+≥,即220a a --≥解得:2a ≥或1a ≤-,又因为1a <,所以1a ≤-. 故选:B. 8.C 【解析】 【分析】 通过12n nb b 得出数列{}n a 隔两项取出的数是等差数列,按照等差数列求和和分组求和计算得出答案. 【详解】 由12n n b b ,()11231232n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++++--++=-++==,147,,,a a a ∴是首项为1,公差为2的等差数列,258,,,a a a 是首项为2,公差为2的等差数列, 369,,,a a a 是首项为3,公差为2的等差数列,()()()31143125293630S a a a a a a a a a =++++++++1110210921092111210310222⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯++⨯++⨯+351=. 故选:C. 9.AC 【解析】 【分析】由函数()x f x e =,求导得到()xf x e '=,再逐项判断.【详解】因为函数()x f x e =,所以()xf x e '=A.令()1xf x e '==,得 0x =,所以曲线()y f x =的切线斜率可以是1,故正确; B.令()1xf x e '==-无解,所以曲线()y f x =的切线斜率不可以是1-,故错误;C. 因为()0,1在曲线上,所以点()0,1是切点,则()01f '=,所以切线方程为1y x -=,即1y x =+,所以过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条,故正确;D.设切点()00,e x x ,则切线方程为()000e e x xy x x -=-,因为点()0,0在切线上,所以000e e x x x =,解得00x =,所以过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条,故错误; 故选:AC 10.BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,结合向量法判断各选项. 【详解】如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则()0,0,2A ,()10,2,2A ,()0,0,0B ,()2,1,0M ,(),,0P x y , 所以()10,2,2A B =--,(),,0BP x y =,()2,1,2AM =-, 由//AM 平面1A BP ,得1AM aA B bBP =+,即022122bx a by a +=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩,化简可得320x y -=,所以动点P 在直线320x y -=上,A 选项:()2,1,2AM =-,()12,1,0B M =-,()()122112030AM B M ⋅=⨯+⨯-+-⨯=≠,所以AM 与1B M 不垂直,所以A 选项错误;B 选项:11//CD A B ,1A B ⊂平面1A BP ,1CD ⊄平面1A BP ,所以1//CD 平面1A BP ,B 选项正确;C 选项:动点P 在直线320x y -=上,且P 为侧面11BCC B 上的动点,则P 在线段1P B 上,14,2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以1PB =C 选项正确; D 选项:()110,0,2A B =-,112cos ,3AM A B =,D 选项错误;故选:BC.11.ACD 【解析】 【分析】A. 利用函数奇偶性的定义判断;B.利用特殊值判断;C. 分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,分段求解判断; D.在同一坐标系中作出(),y f x y a ==的图象,利用数形结合法求解. 【详解】A. 因为()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=,所以()f x 为偶函数,故正确;B. 因为333sin cos 1,sincos 222444f f ππππππ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭324f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是单调递减函数,故错误;C. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,由3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,得sin 4x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()f x ∈;当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,由3,444x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,得sin 4x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,则()f x ∈;当3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,由35,444x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,得sin [4x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()[1,1]f x ∈-;当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,由79,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,得sin [4x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()[1,1]f x ∈-,综上()f x的值域为[-,故正确;D. (),[,]42,[0,)42,[,0)42,[,)42x x x x f x x x x x ππππππππππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-∈- ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪+∈- ⎪⎪⎝⎭⎩, 在同一坐标系中作出(),y f x y a ==的图象,如图所示:由(a ∈知,方程()f x a =在[],ππ-有8个解,故正确. 故选:ACD 12.ABD【解析】【分析】A选项直接通过题目中给出的条件进行判断;B选项联立直线抛物线求出A点坐标,求导确定斜率,写出切线方程进行判断;C选项令2n=,进行判断;D选项根据条件依次求出各点坐标,分别计算三角形的面积进行判断.【详解】A选项:内接三角形的面积3864⨯=,正确;B选项:2232y pxy x p⎧=⎪⎨=-+⎪⎩,解得12129,223p px xy p y p⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩,又A为第一象限的点,,2pA p⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,y y'==21pxy='=,故切线方程为2py p x-=-,即220x y p-+=,正确;C选项:由()1*4nn ABCA S n N-∆⋅=∈,得124A A=,令2n=,24ABCS A∆⋅=,弓形面积为222214164433334ABCS A A A A A∆==++=,所以不等式不成立,错误;D选项:由9,,,322p pA pB p⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知5,22pD p⎛⎫-⎪⎝⎭,//DC x轴,,2pC p⎛⎫-⎪⎝⎭,又AC BC,的中点1V,2V,易求()()12125,0,,2,0,0,2,222p pV V p C C p p⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,12111222ACCpS C V p=⨯⨯=,22221222BCCpS C V p=⨯⨯=,21442ABCS CD p p=⨯⨯=,因此1214ACC BCC ABC S S S ∆∆∆+=成立,正确. 故选:ABD. 【点睛】本题需要依次判断四个选项,A 选项直接利用定义判断,B 选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解,C 选项通过特殊值进行排除即可, D 选项关键在于求出各点坐标,再求三角形面积进行判断. 13.35 【解析】 【分析】从人数可以看出众数位于区间[30,40),从而求出众数的估计值. 【详解】由于25>20>15>10,故众数位于区间[30,40),所以众数的估计值为3040352+=. 故答案为:35 14.240 【解析】 【分析】写出二项式()262x y +展开式的通项公式,根据其通项公式可求得答案. 【详解】()262xy + 展开式的通项公式为:662661221(2)2,0,1,2,3,4,5,6r r r r r r r r T C x y C x y r ---+=== ,令2r = ,则6428232T C x y ==,故82x y 的系数为2462240C = ,故答案为:24015.2log x -(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据3个条件知对数函数形式的减函数满足要求,写出一个函数即可.【详解】由①①知,对数函数形式的函数满足要求,又由①知,()f x 在定义域上是减函数,故()f x 可以为2log x -.故答案为:2log x -(答案不唯一). 16. 96 4003π【解析】 【分析】(1)判断出面CDE ①面ABED 时体积最大,分别求出底面积和高,即可求出四棱锥的体积;(2)找到球心的位置,求出半径,即可求出表面积. 【详解】如图示,平行四边形ABCD 中,3A π∠=,所以3C π∠=.因为DC CE =,所以CDE △为等边三角形.所以8DE CD AB ===,所以四边形ABED 为等腰梯形,所以()()11sin 2108223ABED S BE AD AB π==+⨯⨯+⨯=要使四棱锥的体积最大,只需高最大,此时面CDE ①面ABED ,高为8=所以该四棱锥的体积最大值为1963⨯.设等腰梯形ABED 的外心为O 1,O 1到AD 的距离为d ,由11O D O B =可得:d =1O A =由球的截面的性质可知:过等腰梯形ABED 的外心为O 1作直线a ①面ABED ,过等边三角形CED 的中心为O 2作直线b ①面CED ,则a 、b 的交点O 即为外接球的球心.所以半径R==所以外接球的表面积为22400443Rπππ=⨯=.故答案为:①96;①4003π【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径,求半径的方法有:(1)公式法;(2) 多面体几何性质法;(3)补形法;(4)寻求轴截面圆半径法;(5)确定球心位置法.17.(1)11,2n na n N*-=∈(2)22nn nT-=【解析】【分析】(1)若选①,由已知得()1122nnS n N-*⎛⎫+=∈⎪⎝⎭,21122nnS--⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当2n≥时,两式相减有1112nn n na S S--⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,再验证当1n=时,是否满足,可得数列的通项;若选①,由已知得()*122n nS a n N++=∈,122n nS a-+=,当2n≥时,两式相减,得()1122n na a n+=≥,再验证当1n=时,是否满足,可得数列的通项;若选①,由已知得()*12311112nnn Na a a a++++=∈,1123111112naa a a a--++++=,当2n≥时,两式相减,得()1122n na n-=≥,再验证当1n=时,是否满足,可得数列的通项;(2)由(1)得1nb n=-,由等差数列的定义得数列{}n b是以0为首项,1-为公差的等差数列,根据等差数列的求和公式可求得nT.(1)解:若选①,()1122nnS n N-*⎛⎫+=∈⎪⎝⎭,则21122nnS--⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当2n ≥时,2111111222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当1n =时,111a S ==符合上式, 所以11,2n n a n N *-=∈; 若选①,()*122n n S a n N ++=∈,当2n ≥时122n n S a -+=,两式相减,得1220n n n a a a ++-=,即()1122n n a a n +=≥, 又11a =,1222S a +=,所以2112a a =,所以()*112n n a a n N +=∈, 所以数列{}n a 是首项为1,公比为12等比数列,所以11,2n n a n N *-=∈; 若选①,数列{}n a 满足()*12311112n nn N a a a a ++++=∈, 当2n ≥时,1123111112n a a a a a --++++=, 两式相减,可得111222n n n n a --=-=,所以()1122n n a n -=≥,当1n =时,11a =符合上式, 所以11,2n n a n N *-=∈; (2)解:1221log log 12n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭,()()11111n n b b n n +-=-+--=-,又10b =,所以数列{}n b 是以0为首项,1-为公差的等差数列, 所以()2120122n nn n n n T b b b +-⋅-=+++==. 18.(1)34B π= (2)4=AD 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理将边化角,再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=,从而求出B;(2)由三角形面积公式求出a,再利用余弦定理求出AC,即可求出cos CAB∠,依题意cos cosCAB CAD∠=∠,最后利用余弦定理得到方程,解得即可;(1)cos cos cos0B aC c A++=,cos sin cos cos sin0B B AC A C++=,()cos sin0B B A C++=,cos sin0B B B+=,因为0Bπ<<,所以sin0B>所以cos B=所以34Bπ=(2)解:因为ABC的面积2S=,所以1sin22==ABCS ac B,2=,所以a=由余弦定理得AC=所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠===⋅因为AC平分BAD∠,所以cos cosCAB CAD∠=∠,所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠,所以24202AD AD=+-⨯,所以28160AD AD-+=,所以4=AD19.【解析】【分析】(1)根据1111D C OO DOC OV V--=,求出三棱锥11C DOO-的高和底面积,即可求得答案;(2)建立空间直角坐标,求出相关各点的坐标,再求出相关向量的坐标,从而求出平面1C OD 和平面1ODO 的法向量,根据向量的夹角公式,可求得答案.(1)过1C 作111C E O B ⊥交11A B 于点E ,因为11111O C O B ==,1113C O B π∠=,所以111O C B 为正三角形,所以E 为11O B 中点,即1C E = 又因为平面11ABB A ⊥平面111A B C ,面11ABB A 面11111A B C A B =,111C E A B ⊥,1C E ⊂面111A B C ,所以1C E ⊥面11A B BA ,即1C E ⊥面1O OD ,因为D 为1BB 的中点,所以1O D OD ==12O O =,即22211O D OD OO +=,即12O DO π∠=,则1O DO 的面积为1,11111111133D C OO D O C O DO O V V S C E --∆==⋅=⨯=(2)因为在圆柱1OO 中,轴截面11ABB A 是正方形,取弧AB 的中点C ,所以1,,OC OB OO 两两垂直,以OC ,OB ,1OO 为x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示.由题意知(0,0,0)O ,(0,1,1)D ,1(0,1,2)A -,11,22C ⎫⎪⎪⎝⎭,(0,1,1)OD =,131,222OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面1C OD 的法向量()1,,n x y z =, 则11100n OC n OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1202x y z y z ++=⎪+=⎩, 取1y =,则1z =-,x =1(3,1,1)n =-, 平面1ODO 的法向量可取()21,0,0n =所以1212123cos ,5⋅<>===⋅n n n n n n , 设二面角11C OD O --为θ,则θ为锐角, 所以1215cos cos ,5n nθ=〈〉=所以二面角11C OD O -- 20.(1)221(2)0E ξ=(3)比较见解析,甲应该选择9:00后一分钟内某时刻通过该路口 【解析】 【分析】(1)用组合知识求解古典概型;(2)求ξ的可能取值及相应的概率,求出分布列及期望;(3)分别求出9:00后与10:00后的1分钟内15辆车在路口等待的时间平均值, 通过比较大小得到结论. (1)这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆,记“两辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件A ,则()25215221C P A C ==,所以从这15辆车中任取2辆,到达路口的时间在15秒以内的概率为221(2) 一分钟内的这15辆车在路口等待的时间分别为:0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3, 则11122233115W +++++++==, 所以ξ的可能值为1-,0,1,2,()()()()7313121,0,1,21515515515P P P P ξξξξ=-=========, 所以ξ的分布列为所以711210120155515E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯= (3) 10:00后的1分钟内这15辆车在路口等待的时间分别为:0,0,0,0,2,4,6,8,10,11,10,10,11,12,9,因为9:00后的1分钟内15辆车在路口等待的时间之和为15,设10:00后的1分钟内的15辆车在路口等待的时间之和为X ,则2468101110101112915X =++++++++++>,所以115X >, 所以10:00后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间大于9:00后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间,所以甲应该选择9:00后一分钟内某时刻通过该路口21.(1)221102x y += (2)存在【解析】【分析】(1)利用待定系数法求方程;(2)联立方程组,结合韦达定理可得直线恒过定点,进而求解.(1)依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b+=,将点)P 代入C 得251110b +=, 解得22b =, 所以椭圆方程为221102x y +=; (2)设点()11,A x y ,()22,B x y , 联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得,()22215105100k x kmx m +++-=,()()()222104155100km k m ∆=-+->,解得22210m k <+,1221015km x x k -+=+,212251015m x x k -=+, 注意到Q ,N ,A 三点共线,NQ NA NQ NA ⋅=⋅,又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅ ()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k m k m k x x mk x x m m k k +-=++++=-+++()222221510510415k m m m k --+-=++当()2215105510m m --=-,解得1m =±,因为0m >,所以1m =,此时1NQ NA ⋅=-,满足0∆>,故存在定点()0,1M ,使得1NQ NA ⋅=-等于定值1.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.(1)0(2)2a ≥-【解析】【分析】(1)由题意求出函数的导数,判断函数的单调性,从而确定最值;(2)将()()2120f x f x --≥展开,分离参数,构造新函数,利用导数判断新函数的单调性,将不等式恒成立问题变为求函数的最值问题,分类讨论,即可解答.(1)因为1a =时,()2ln f x x x x =--,所以()()()211,(0)x x f x x x+->'=, 当()0,1x ∈时,()0f x '<,当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,所以()()min 10f x f ==;(2)因为()()2120f x f x --≥,所以()2242ln 212ln 0x x a x a x -+--+≥,所以()()221ln 212ln 0x a x a x ---+≥,记()()()221ln 212ln g x x a x a x =---+,[1,)x ∞∈+,只需证()0g x ≥, 所以()()()()()2214222412121x x x a a a g x x x x x x --+-+-'=-=-, 记()()()()2121x h x g x x x '-=-,其中()242h x x x a =-+,[1,)x ∞∈+,二次函数242y x x a =-+图象的对称轴为14x = , 故()h x 在[1,)+∞上单调递增,所以()()12h x h a ≥=+,①当20a +≥,即2a ≥-时,()0g x '≥,所以()g x 在[1,)+∞上单调递增,又()10g =,故)1,x ∞⎡∀∈+⎣,()0g x ≥,所以2a ≥-符合题意,①当20a +<,即2a <-时,令()0h x =,得x =,取0x =,则01x >, 当()01,x x ∈,()0h x <,故()0g x '<,所以()g x 在()01,x 上单调递减,所以()()01g x g <,又()10g =,所以()00g x <,故对)1,x ∞⎡∀∈+⎣,()0g x ≥显然不成立,所以2a <-不符合题意,舍去.综上①①知,2a ≥-.【点睛】本题考查了导数的应用,涉及到利用导数求函数的最值,以及不等式恒成立问题,解答时要注意分离参数,构造新函数,利用导数研究函数的性质,解答的关键在于合理的变形,从而构造新函数.。

福建省漳州市2021届高三数学第二次教学质量检测试题 文.doc

福建省漳州市2021届高三数学第二次教学质量检测试题 文.doc

福建省漳州市2021届高三数学第二次教学质量检测试题文本试卷共6页。

满分150分。

考生注意:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=, B=,则A B=A.[-1,)B.(1,)C.)D.R2.若==a bi(a,b R) ,则a2021b2021=A. 1B.0C.1D.23.若la+bl=,a=(1,1) ,Ibl=1,则a与b的夹角为A. B. C. D.4.已知等比数列的前n项和为,若,,则的公比为A.或B.或 D.3或 25.已知点P在圆O:x2+y2=1上,角α的始边为x轴的非负半轴,终边为射线OP,则当Sin2α+sinα取最小值时,点P位于A.x轴上方B.x轴下方C.y轴左侧D.y轴右侧6.执行如图所示的程序框图,若输入的n=3,则输出的S=A.1B.5C.14D.307.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2b-c) cosA=a cosC,则A=A. B. C. D.8.若函数f(x) =(sinx) ln(x) 是偶函数,则实数a=A. 1B.0C.1D.9.由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2021年11月24日晚在山东卫视首播。

本期最精彩的节目是π的飞花令:出题者依次给出π所含数字3.141592653……答题者则需要说出含有此数字的诗句。

(优辅资源)福建省漳州市高三下学期第二次调研测试(3月)数学(文)Word版含答案

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漳州市2018届高中毕业班第二次调研测试文科数学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1..A. B. C. D.2.2倍,则实数的a值是D.03,则A. B.C. D.4.已知点C(1,-1)、D(2.x),,A.1B.-2C.D.5.如图,是3世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图,它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会微,正方形ABCD内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点,则此点取自中间小正方形部分的概率是6.,则此双曲线的离心率等于B. D.27,某几何体的三视图如图所所示,其中每个单位正方形的边长为1.则该几何体的体积为是A. B. C. D.8,9.已知公差不为0n项和S na1和a5的等比中项,A.有最大值9B.有最大值25C.没有最小值D.有最小值-2410.执行如图所示程序框图后,若输入的ab则输出的a值为A.10B. C.-15 D.211,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是底面ABCD上的动点,则B.1C.D12.A(x1,y1),B(x2,y2)两点处的切线互相垂直,则A.D.二、填填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.a,b,c的大小关系是________(用“<”连接) 14.a的取值范围是__________________15.Sn,,则k的最小值是____________。

16.已知点PQ过PQ的切线交于点M,若△MPQ 是等边三角形,则△MPQ的面积为________。

三、解解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答,(一)必考题:60分17.(12分)已知△ABC(1)求∠C的大小;(2)△ABC的面积S18.(12分)已知等腰梯形ADCE中,AD∥EC,EC=2AD=2AE=4,∠B为EC的中点,如图1,将三角形ABE沿AB折起到ABCD),如图2(1)点F为线段AE的中点,判断直线DF与平面面BCE的位置关系,并说明理由(2)当△BCE的面积最大时,求DE的长19.(12分)日前,《北京传媒蓝皮书:北京新闻出版广电发展报告(2016-2017)》公布,其中提到,2015年9月至2016年9月,北京市年度综合阅读率较上年增长1%,且数字媒体阅读率首次超过了纸质图书阅读率为了调查某校450名高一学生(其中女生210名)对这两种阅读方式的时间分配情况,该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了15名学生进行调查,得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间,数据如下(单位:小时)(1)求被调查的15名学生中男生的人数;(2)请用茎叶图表示上面的数据,并通过观察茎叶图,对这两种阅读方式进行比较,写出两个统计结论;(3)平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中,随机抽取两名学生,求这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率20.(12分已知右焦点为F(1.0)的椭圆M:(1)求椭圆M的方程;(2)经过F的直线l与桶圆M分别交于A,B(不与D点重合),直线DA,DB分别与x轴交于M,N,是否存在直线l,,使得∠DMN=∠DNM?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由21.(12分)(1):;(2)求求证:“a<1”是“在区间(0,1)的必要不充分条件(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,注意:只能所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)已知圆C),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l(1)写出点C的极坐标及圆C的极坐标方程;(2)点A、B分别是圆C和直线l上的点,且∠求线段段AB长的最小值23.[选修4-5:不等式选讲](10分)(1),是否存在a,b,使得不等式不成立?并说明理由;(2)若不等式对任意的正实数a,b恒成立,。

福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题(解析版)

福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题(解析版)

福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,即可得到答案.【详解】由题意,根据复数的运算,可得.故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及其应用,其中解答中熟记复数的四则运算法则,好了准确运算是解答的关键,着重考查了化简与运算能力,属于基础题。

2.已知集合,,则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的性质,求解集合B,然后进行交集的运算,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合,所以,故选:D.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质,以及集合的交集运算,其中解答中根据对数函数的性质,正确求解集合B是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题。

3.已知向量,满足,且与夹角为,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由数量积计算即可.【详解】=-6【点睛】本题考查数量积,熟记数量积的运算性质,熟练运算是关键,是基础题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性的定义,得出函数的奇偶性,以及函数值的符号,利用排除法进行求解,即可得到答案.【详解】由题意,函数满足,即是奇函数,图象关于原点对称,排除B,又由当时,恒成立,排除A,D,故选:C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,以及函数值的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性的定义,得出函数的奇偶性,再利用函数值排除是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. 32B. 34C. 36D. 38【答案】D【解析】【分析】根据题中的三视图可知,该几何体是由一个长、宽均为2,高为4的长方体截去一个长、宽均为1,高为4的长方体后剩余的部分,利用面积公式即可求解。

【详解】根据题中的三视图可知,该几何体是由一个长、宽均为2,高为4的长方体截去一个长、宽均为1,高为4的长方体后剩余的部分,所以该几何体的表面积为,故选D。

2019年福建省漳州市高考数学二模试卷(文科)-含详细解析

2019年福建省漳州市高考数学二模试卷(文科)-含详细解析

2019年福建省漳州市高考数学二模试卷(文科)副标题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.+1-3i=()A. B. C. D.2.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|y=ln(x+1)},则A∩B=()A. B. C. D.3.已知向量,满足||=1,且与夹角为,则•(-6)=()A. 6B.C.D. 74.函数f(x)=的图象大致为()A. B.C. D.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. 32B. 34C. 36D. 386.设x,y满足约束条件,则的最大值是()A. B. 0 C. 8 D. 127.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,则抛物线的标准方程为()A. B. C. D.8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3a cos A=b cos C+c cos B,b+c=3,则a的最小值为()A. 1B.C. 2D. 39.已知在正四面体A-BCD中,M为AB的中点,则直线CM与AD所成角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知x∈(0,π),则f(x)=cos2x+2sin x的值域为()A. B. C. D.11.在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知底面△ABC为正三角形,AA1⊥平面ABC,AB=6,AA1=16,则该三棱柱外接球的表面积为()A. B. C. D.12.设0<m≤2,已知函数,对于任意x1,x2∈[m-2,m],都有|f(x1)-f(x2)|≤1,则实数m的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若sinθ-cosθ=,则cos4θ=______.14.不透明的袋中有5个大小相同的球,其中3个白球,2个黑球,从中任意摸取2个球,则摸到同色球的概率为______.15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限的交点为B,且直线AB的斜率为,则C的离心率为______.16.已知定义在R上的偶函数y=f(x+2),其图象连续不间断,当x>2时,函数y=f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(1-)的所有x之积为______.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.已知数列{a n}为等差数列,a7-a2=10,且a1,a6,a21依次成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为S n,若S n=,求n的值.18.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAD,AD∥BC,AB=BC=AP=AD,∠APD=∠BAD=90°.(1)证明:PD⊥PB;(2)设点M在线段PC上,且PM=PC,若△MBC的面积为,求四棱锥P-ABCD 的体积.19.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1(1<a<5)上,该椭圆的左顶点A到直线x-y+5=0的距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若线段MN平行于y轴,满足(-2)•=0,动点P在直线x=2上,满足=2.证明:过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.20.某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数y的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.(1)若选取的是后面4组数据,求y关于x的线性回归方程=x+,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(2)为了使等候的乘客不超过35人,试用(1)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟?附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),……,(x n,y n),其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:==,=.21.已知函数f(x)=1+ln x-ax2.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)证明:xf(x)<•e x+x-ax3.22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).23.已知f(x)=|x+a|(a∈R).(1)若f(x)≥|2x-1|的解集为[0,2],求a的值;(2)若对任意x∈R,不等式f(x)+|x-a|≥3a-2恒成立,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】解:+1-3i=.故选:A.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.2.【答案】D【解析】解:B={x|x>-1};∴A∩B=(-1,3).故选:D.可解出集合B,然后进行交集的运算即可.考查描述法、区间的定义,对数函数的定义域,以及交集的运算.3.【答案】B【解析】解:•(-6-)=-62-•=-6-0=-6故选:B.先去括号再用数量积的性质运算可得.本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属基础题.4.【答案】C【解析】解:f(-x)==-f(x),即f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B,当x>0时,f(x)>0恒成立,排除A,D故选:C.判断函数的奇偶性,以及函数值的符号,利用排除法进行求解即可.本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键.5.【答案】D【解析】解:根据三视图知,该几何体是由一个长、宽均为2,高为4的长方体,截去一个长、宽均为1,高为4的小长方体后剩余的部分,如图所示;则该几何体的表面积为S=2×2×2+2×4×4-1×1×2=38.故选:D.根据三视图知该几何体是一个长方体,截去一个小长方体后剩余的部分,结合途中数据求出它的表面积.本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题,是基础题.6.【答案】C【解析】解:先根据x,y满足约束条件画出可行域,然后平移直线0=x+y,当直线z=x+y过点,解得A(4,4)时,z最大值为8.故选:C.先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线z=x+y 过点A(4,4)时,z最大值即可.本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于中档题.7.【答案】B【解析】解:抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,可得,可得p=1,所以抛物线的标准方程为:y2=2x.故选:B.利用抛物线的定义,转化列出方程求出p,即可得到抛物线方程.本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线方程的求法,是基本知识的考查.8.【答案】B【解析】解:在△ABC中,∵3acosA=bcosC+ccosB,∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,即3sinAcosA=sinA,又A∈(0,π),∴sinA≠0,∴cosA=.∵b+c=3,∴两边平方可得:b2+c2+2bc=9,由b2+c2≥2bc,可得:9≥2bc+2bc=4bc,解得:bc≤,当且仅当b=c时等号成立,∴a2=b2+c2-2bccosA,可得:a2=b2+c2-bc=(b+c)2-≥9-×=3,当且仅当b=c时等号成立,∴解得a的最小值为.故选:B.根据正弦定理将边化角,利用两角和的正弦函数公式化简得出cosA,由已知利用余弦定理和基本不等式即可求得a的最小值.本题考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.9.【答案】C【解析】解:如图,设正四面体A-BCD的棱长为2,取BD的中点N,连结MN,CN,∵M是AC的中点,∴MN∥AD,∴∠CMN是CM与AD所成的角,设MN的中点为E,则CE⊥MN,在△CME中,ME=,CM=CN=,∴直线CM与AD所成角的余弦值为cos∠CME===.故选:C.设正四面体A-BCD的棱长为2,取BD的中点N,连结MN,CN则MN∥AD,∠CMN是CM与AD所成的角,由此能求出直线CM与AD所成角的余弦值.本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.10.【答案】D【解析】解:由f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx设sinx=t,∵x∈(0,π),∴t∈(0,1]∴g(t)=-2(t-)2+,∴g(t)∈[1,];即f(x)=cos2x+2sinx的值域为[1,];故选:D.利用二倍角公式转化为二次函数问题求解最值即可;本题考查三角函数的有界性,二次函数的最值,考查转化思想以及计算能力.11.【答案】A【解析】解:如图,O′为底面中心,O为外接球球心,在正三角形ABC中求得O′A=6,又OO′=8,∴外接球半径OA=10,∴S=4π×100=400π,球故选:A.利用两底面中心连线的中点为外接球球心,结合勾股定理不难求半径.此题考查了正三棱柱外接球,难度较小.12.【答案】B【解析】解:根据题意,设g(x)=x3-12x+50,其导数g′(x)=3x2-12=3(x2-4),当x<-2时,g′(x)>0,即函数g(x)在(-∞,-2)上为增函数,当-2≤x≤2时,g′(x)≤0,即函数g(x)在[-2,2]上为减函数,当x>2时,g′(x)>0,即函数g(x)在(2,+∞)上为增函数,又由0<m≤2,则[m-2,m]⊂[-2,2],则在[m-2,m]上,g(x)为减函数,又由0<m≤2,则函数在[m-2,m]上也为减函数,则f(x)max=f(m-2)=,f(x)min=f(m)=,若对于任意x1,x2∈[m-2,m],都有|f(x1)-f(x2)|≤1,则有f(x)max-f(x)min≤1,即f(m-2)-f(m)=-≤1,变形可得:3m2+2m-8≥0,解可得:m≤-2或m≥,又由0<m≤2,则m的取值范围为[,2];故选:B.根据题意,设g(x)=x3-12x+50,求出其导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析其单调性,结合m的范围分析可得g(x)在[m-2,m]上为减函数,进而可得函数在[m-2,m]上也为减函数,据此求出f(x)在[m-2,m]上的最大值与最小值;结合题意分析可得必有f(x)max-f(x)min≤1,即f(m-2)-f(m)=-≤1,变形解可得m的取值范围,即可得答案.本题考查利用导数分析函数的最值,注意分析g(x)=x3-12x+50的最值.13.【答案】【解析】解:∵sinθ-cosθ=,平方可得1-sin2θ=,∴sin2θ=.则cos4θ=1-2sin22θ=1-2×=,故答案为:.由题意利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式求得sin2θ的值,可得cos4θ的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题.14.【答案】【解析】解:不透明的袋中有5个大小相同的球,其中3个白球,2个黑球,从中任意摸取2个球,基本事件总数n==10,摸到同色球包含的基本事件个数m==4,∴摸到同色球的概率p=.故答案为:.基本事件总数n==10,摸到同色球包含的基本事件个数m==4,由此能求出摸到同色球的概率.本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.【答案】【解析】解:把x=c代入双曲线:=1(a>0,b>0)的准线方程y=,所以B(c,),又A(-a,0),直线AB的斜率为,可得,可得a2+ac=2c2-2a2,∵e>1,∴e==.故答案为:.求出双曲线的准线方程,求出B的坐标,利用直线的斜率,转化求解离心率即可.本题考查双曲线的简单性质的应用,离心率的求法,16.【答案】39【解析】解:因为函数y=f(x+2)是连续的偶函数,所以直线x=0是它的对称轴,从面直线x=2就是函数y=f(x)图象的对称轴.因为,所以或.由,得x2+3x-3=0,设方程的两根为n,n,所以x1x2=-3;由,得x2+x-13=0,设方程的两根为x3,x4,所以x3x4=-13,所以x1x2x3x4=39.故答案为:39.由题意首先确定函数的对称性,然后结合题意和韦达定理整理计算即可求得最终结果.本题主要考查函数的对称性,分类讨论的数学思想,韦达定理的应用等知识,属于中等题.17.【答案】解:(1)设数列{a n}为公差为d的等差数列,a7-a2=10,即5d=10,即d=2,a1,a6,a21依次成等比数列,可得a62=a1a21,即(a1+10)2=a1(a1+40),解得a1=5,则a n=5+2(n-1)=2n+3;(2)b n===(-),即有前n项和为S n=(-+-+…+-)=(-)=,由S n=,可得5n=4n+10,解得n=10.【解析】(1)设等差数列的公差为d,运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式;(2)求得b n===(-),运用裂项相消求和可得S n,解方程可得n.本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查数列的裂项相消求和,以及方程思想和运算能力,属于基础题.18.【答案】证明:(1)∵∠BAD=90°,∴BA⊥AD,∵平面ABCD⊥平面PAD,交线为AD,∴BA⊥平面PAD,从而BA⊥PD,∵∠APD=90°,∴AP⊥PD,∵BA∩AP=A,∴PD⊥平面PAB,∵PB⊂平面PAB,∴PD⊥PB.解:(2)设AD=2m,则AB=BC=AP=m,PD=m,由(1)知BA⊥平面PAD,∴BA⊥AP,BP==,取AD中点F,连结CF,PF,则CF∥BA,CF=m,由(1)知BA⊥平面PAD,∴CF⊥平面PAD,∴CF⊥PF,∵PF=AD=m,∴PC==,∵PM=,∴CM=,∴△ △ ==m2,由=,解得m=2,在△PAD中,PD==,P到AD的距离h===,∴P到平面ABCD的距离H=h=,∴四棱锥P-ABCD的体积==2.【解析】(1)推导出BA⊥AD,BA⊥PD,AP⊥PD,从而PD⊥平面PAB,由此能证明PD⊥PB.(2)设AD=2m,则AB=BC=AP=m,PD=m,由BA⊥平面PAD,得BA⊥AP,BP==,取AD中点F,连结CF,PF,则CF∥BA,CF=m,CF⊥平面PAD,CF⊥PF,由==m2,求出m=2,由此能求出四棱锥P-ABCD的体积.本题考查线线垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.【答案】解:(1)左顶点A的坐标为(-a,0),∵=,∴|a-5|=3,解得a=2或a=8(舍去),∴椭圆C的标准方程为+y2=1,证明:(2)由题意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),则依题意可知y1≠y0,由(-2)•=0可得(x0-2),y1-2y0)(0,y1-y0),整理可得y1=2y0,由=2,可得(x0,2y0)(2-x0,t-2y0)=2,整理可得2x0+2y0t=x02+4y02+2=6,由(1)可得F(,0),∴=(-x0,-2y0),∴•=(-x0,-2y0)(2,t)=6-2x0-2y0t=0,∴NF⊥OP,故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.【解析】(1)根据点到直线的距离公式即可求出a的值,可得椭圆方程,(2)由题意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),根据(-2)•=0,可得y1=2y0,由=2,可得2x0+2y0t=6,再根据向量的运算可得•=0,即可证明.本题考查了椭圆方程的求法,直线和椭圆的关系,向量的运算,考查了运算求解能力和转化与化归能力,属于中档题20.【答案】解:(1)由后面四组数据求得,,,,∴ =,.∴ .当x=10时,,而23.6-23=0.6<1;当x=11时,,而25-25=0<1.∴求出的线性回归方程是“恰当回归方程”;(2)由1.4x+9.6≤35,得x.故间隔时间最多可设置为18分钟.【解析】(1)由后四组数据求得及的值,可得线性回归方程,分别取x=10,11求得y 值,与原表格中对应的y值作差判断;(2)直接由1.4x+9.6≤35,求得x值得答案.本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是中档题.21.【答案】解:(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=,故a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,当a>0时,令f′(x)=0,解得:x=,故f(x)在(0,)递增,在(,+∞)递减;(2)证明:要证xf(x)<•e x+x-ax3,即证x lnx<•e x,也即证<,令g(x)=•(x>0),则g′(x)=,故g(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增,故g(x)最小值=g(2)=,令k(x)=,则k′(x)=,故k(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减,故k(x)最大值=k(e)=,∵<,故k(x)<h(x),即ln x<,故xf(x)<•e x+x-ax3.【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为证<,令g(x)=•(x>0),令k(x)=,根据函数的单调性求出函数的最值,从而证明结论.本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,分类讨论思想,转化思想,是一道综合题.22.【答案】解:(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),转换为直角坐标方程为:(x-2)2+(y-4)2=4,转换为极坐标方程为:ρ2-4ρcosα-8ρsinθ+16=0.(2)曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.转换为直角坐标方程为:x2+y2-4y=0,所以:,整理出公共弦的直线方程为:x+y-4=0,故:,解得:或转换为极坐标为:(2,)或(4,).【解析】(1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.(2)利用方程组求出交点的坐标,进一步转换为极坐标.本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,二元二次方程组的解法及应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.23.【答案】解:(1)不等式f(x)≥|2x-1|,即|x+a|≥|2x-1|,两边平方整理得3x2-(2a+4)x+1-a2≤0,由题意知0和2是方程3x2-(2a+4)x+1-a2=0的两个实数根,即,解得a=1;(2)因为f(x)+|x-a|=|x+a|+|x-a|≥|(x+a)-(x-a)|=2|a|,所以要使不等式f(x)+|x-a|≥3a-2恒成立,只需2|a|≥3a-2,当a≥0时,2a≥3a-2,解得a≤2,即0≤a≤2;当a<0时,-2a≥3a-2,解得a≤,即a<0;综上所述,a的取值范围是(-∞,2].【解析】(1)利用两边平方法解含有绝对值的不等式,再根据根与系数的关系求出a的值;(2)利用绝对值不等式求出f(x)+|x-a|的最小值,把不等式f(x)+|x-a|≥3a-2化为只含有a的不等式,求出不等式解集即可.本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了分类讨论思想,是中档题.。

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漳州市2020届高中毕业班第二次教学质量检测
文科数学试题
本试卷共6页。

满分150分。

考生注意:
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=,B=,则A B=
A.[-1,)
B.(1,)
C.)
D.R
2.若==a bi(a,b R) ,则a2019b2020=
A. 1
B.0
C.1
D.2
3.若la+bl=,a=(1,1) ,Ibl=1,则a与b的夹角为
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前n项和为,若,,则的公比为
A.或
B.或 D.3或 2
5.已知点P在圆O:x2+y2=1上,角α的始边为x轴的非负半轴,终边
为射线OP,则当
Sin2α+sinα取最小值时,点P位于
A.x轴上方
B.x轴下方
C.y轴左侧
D.y轴右侧
6.执行如图所示的程序框图,若输入的n=3,则输出的S=
A.1
B.5
C.14
D.30
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知(2b-c) cosA=a cosC,则A=
A. B. C. D.
8.若函数f(x) =(sinx) ln(x) 是偶函数,则实数a=
A. 1
B.0
C.1
D.
9.由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2019年11月24日晚在山东卫视首播。

本期最精彩的节目是π的飞花令:出题者依次给出π所含数字3.141592653……答题者则需要说出含有此数字的诗句。

雷海为、杨强、马博文、张益铭与飞花令少女贺莉然同场PK,赛况激烈让人屏住呼吸,最终π的飞花令突破204位。

某校某班级开元旦联欢会,同学们也举行了一场π的飞花令,为了增加趣味性,他们的规则如下:答题者先掷两个骰子,得到的点数分别记为x,y,再取出π的小数点后第x位和第y位的数字,然后说出含有这两个数字的一个诗句,若能说出则可获得奖品。

按照这个规则,取出的两个数字相同的概率为
A. B. C. D.
10.已知sin(α) =cos(α),则sin2α=
A. 1
B.0
C.
D.1
11.已知圆M的圆心为双曲线C:=1(a0,b0)虚轴的一个端点,半径为a b,若圆M截直线l:y=kx所得的弦长的最小值为2b,则C的离心率为
A. B. C. D.2
12.已知f’(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数,且f(1x)=f(1x),当x1时,F’(x)>f(x)恒成立,则下列判断正确的是
A.f(2)f(3)
B.f(2)f(3)
C.f(2)f(3)
D.f(2)f(3)
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

13.若是等差数列的前n项和,且=18,则= 。

14.若函数f(x)=则f(ln3)= 。

15.已知F1,F2是椭圆C:=1 (0b4)的左、右焦点,点P在C上,线段PF1与y轴交于点M,O为坐标原点,若OM为△PF1F2的中位线,且=1,则= 。

16.四面体ABCD中,△ABD和△BCD都是边长为2的正三角形,二面角A-BD-C大小为
120°,则四面体ABCD外接球的体积为。

三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)
已知函数f(x) =2(sin x cos x) sin x1。

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)将函数f(x)的所有正的零点按从小到大依次排成一列,得到数列,令
a n=,S n为数列的前n项和,求证:。

18.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB AC,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别为
PB,AB的中点。

(1) 求证:平面PAD∥平面EFC;
(2) 若PA=AB=AC=2,求点B到平面PCF的距离。

19.(12分)
某工厂加工产品A的工人的年龄构成和相应的平均正品率如下表:
(1)画出该工厂加工产品A的工人的年龄频率分布直方图;
(2)估计该工厂工人加工产品A的平均正品率;
(3)该工厂想确定一个转岗年龄x岁,到达这个年龄的工人不再加工产品A,转到其他岗位,为了使剩余工人加工产品A的平均正品率不低于90%,若年龄在同一区间内的工人加工产品A的正品率都取相应区间的平均正品率,则估计x最高可定为多少岁?
20.(12分)
已知F(1,0),点P在第一象限,以PF为直径的圆与y轴相切,动点P的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程;
(2)若曲线C在点P处的切线的斜率为k1,直线PF的斜率为k2,求满足k1k2=3的点P的个数。

21.(12分)
已知函数f(x)=(x-1)2x,g(x)=。

(1)求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2)且f(x1)10,求证:t2。

(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做,则按所做第一个题目计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
已知曲线C的参数方程为(θ为参数) ,直线l过点P(1,2) 且倾斜角为。

(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程;
(2) 设l与C的两个交点为A,B,求+。

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=的最大值为m。

(1)求m;
(2) 已知正实数a,b满足4a2b2=2。

是否存在a,b,使得=m。

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