预测控制

u(k ) d1 [Yr (k 1) G2U (k 1) He(k )]
式中
T
d1T 1 0 L
0 (G1T QG1 R)1G1T Q
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动态矩阵控制
DMC算法也是一种基于被控对象非参数数学模型的控制算法，与MAC 算法所不同的是，它以系统的阶跃响应模型作为内部模型。它同样适用于渐 近稳定的线性对象，对于弱非线性对象，可在工作点处首先线性化；对于不 稳定对象，可先用常规PID控制使其稳定，然后再使用DMC算法。 DMC控制包括下述三个部分：模型预测，反馈校正和滚动优化
采用上述形式的参考轨迹将减小过量的控制作用，使系统的输出能平滑地到达设定值。还可看出， 参考轨迹的时间常数 越大，则 值也越大，系统的柔性越好，鲁棒性越强，但控制的快速性却变 是一个很重要的参数，它对闭环系统的动态特性和鲁棒性将起重要作用。 差。因此，在MAC的设计中，
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MAC-最优控制律计算
T T
在实际执行时，由于模型误差、系统的非线性特性和干扰等不确定因素的影响，如按上式求得的控制 律去进行当前和未来M步的开环顺序控制，则经过M步控制后，可能会偏离期望轨迹较多。为了及时纠 正这一误差，可采用闭环控制算法，即只执行当前时刻的控制作用u(k)，而下一时刻的控制量u(k+1)再 按上式递推一步重算。因此最优即时控制量可写成：
U (k )
T 作用时未来P个时刻的输出初始矢量 Y0 (k 1) y0 (k 1) y0 (k P)
Y0 (k —— 1) k时刻无
A——动态矩阵
a1 a 2 A a M aP a1 a M 1 a P 1 a1 a P M 1 PM
ˆ (k 1) G1U (k ) G2U (k 1) 将上述输出预测写成矢量形式: Y

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MAC-模型预测
式中:
ˆ (k 1) [ y ˆ (k 1) y ˆ (k P)]T Y
——预测模型输出矢量
U (k ) [u(k ) u(k M 1)]T ——待求控制矢量
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模型算法控制
模型算法控制（MAC）又称模型预测启发式控制 （MPHC —Model Predictive Heuristic Control） MAC算法基本上包括：模型预测；反馈修正；参 考轨迹；和滚动优化几个部分。它采用基于对象 脉冲响应的非参数数学模型作为内部模型，适用 于渐近稳定的线性对象。
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MAC-模型预测
对于线性对象，如果已知其单位脉冲响应的采样值为g1，g2，…，则 可根据离散卷积公式，写出其输入输出间的关系 :
y (k ) g i u (k i )

g i 0 故对象的动态就可近似地用一个 对于渐近稳定的对象，由于，lim i 有限项卷积表示的预测模型来描述 :
U (k 1) [u(k 1) u(k 1 N )]T
——已知控制矢量
由上式可知MAC算法预测模型输出包括两部分：过去已知的控制量 所产生的预测模型输出部分，它相当于预测模型输出初值；由现在 和未来控制量所产生的预测模型输出部分。
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MAC-反馈校正
考虑到实际对象由于时变或非线性等因素或多或少地存在着模型误 差，加上系统中的各种随机干扰，使得模型不可能与实际对象的输出 完全一致，因此需要对上述开环模型预测输出进行修正。在模型预测 控制中常用输出误差反馈校正方法，即闭环预测。设第k步的实际对象 ˆ (k ) 输出测量值y(k)与预测模型输出之间的误差为： e(k ) y(k ) y
最优控制律由所选用的性能指标来确定，通常选用输出预测误差和控制量加权的二次型 性能指标，其表示形式如下 ：
J (k ) q j [ yc (k j ) y r (k j )] ri [u(k i 1)]2
2 j 1 i 1 P M
式中 q j , ri ——预测输出误差与控制量的加权系数。
模型输出初值
Y0 (k 是由 1) k时刻以前加在输入端的控制增量产生的，假定从(k－N)到(k－1)时刻
加入的控制增量分别为：Δu(k-N)、Δu(k-N+1)、…、Δu(k-1)，而在k－N－1时刻以前的控制增量为 零，则有：
y0 (k 1) aN u(k N ) aN u(k N 1) aN 1u(k N 2) L a2u(k 1) y0 (k 2) aN u(k N ) aN u(k N 1) aN u(k N 2) a N 1u(k N 3) L a3u(k 1) M y0 (k P) aN u(k N ) L aN u(k N P) a N 1u(k N P 1) L aP2u(k 2) aP1u(k 1)
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基本原理—反馈校正
模型预测控制是一种闭环控制算法。 反馈校正的形式是多样的，可以在保持预测模型不变的基础 上，对未来的误差做出预测并加以补偿，也可以根据在线辨 识的原理直接修改预测模型。不论取何种修正形式，模型预 测控制都把优化建立在系统实际的基础上，并力图在优化时 对系统未来的动态行为做出较准确的预测。因此，模型预测 控制中的优化不仅基于模型，而且构成了闭环优化。 在模型预测控制基本特征的基础上，采用不同的模型形式、 优化策略和修正措施，可以形成不同的模型预测控制算法， 具体的有： 模型算法控制（MAC—Model Algorithmic Control） 动态矩阵控制（DMC—Dynamic Matrix Control） 广义预测控制算法（GPC—Generalized Predictive Control）。
ˆ (k j ) 进行反馈修正，得到校正后的输出预测值 yc (k j ) 利用该误差对预测输出 y
ˆ (k j ) he(k ) ( j 1, 2, L P) yc (k j ) y
式中 h——误差修正系数。
将上式表示成向量形式：
ˆ (k 1) He(k ) Yc (k 1) Y
其中， y0 (k j) 是j时刻无控制增量作用时的模型输出初值，将上式写成矩阵形式为
ˆ (k 1) Y (k 1) AU (k ) Y 0
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DMC-模型预测
ˆ (k 1) Y
ˆ (k 1) y ˆ (k 1) y ˆ (k P)T ——k时刻有 U (k )作用时未来P个时刻的预测模型输出矢量 Y
将性能指标写成矢量形式：
J (k ) [Yc (k 1) Yr (k 1)]T Q[Yc (k 1) Yr (k 1)] U (k )T RU(k )
上式对未知控制矢量 U (k ) 求导，即令 U (k ) 0 ，就可求出最优控制律：
J (k )
U (k ) (G1 QG1 R) 1 G1 Q[Yr (k 1) G2U (k 1) He(k )]
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模型预测控制的基本原理
模型预测控制算法应是以模型为基础的，同时包含了预测的 原理。另外，作为一种优化控制算法，它还应具有最优控制 的基本特征。因此，就一般意义来说，模型预测控制不管其 算法形式如何不同，都具有以下三个基本特征：即模型预测， 滚动优化和反馈校正。 模型预测控制算法是一种基于模型的控制算法，这一模型称 为预测模型。系统在预测模型的基础上根据对象的历史信息 和未来输入预测其未来输出，并根据被控变量与给定值之间 的误差确定当前时刻的控制作用，使之适应动态控制系统的 存储性和因果性特点，这比仅由当前误差确定控制作用的常 规控制有更好的控制效果。这里只强调模型的功能而不强调 其结构形式，因此，状态方程、传递函数这类传统的模型都 可以作为预测模型。对于线性稳定对象，甚至阶跃响应、脉 冲响应这类非参数模型也可直接作为预测模型使用。而对于 非线性系统、分布参数系统的模型，只要具备上述功能，也 可作为预测模型使用
y (k ) g i u (k i )
ˆ ( k j ) g i u( k j i ) 可得对象在未来第j个采样时刻的输出预测值: y
i 1
i 1
N
i 1
N
其中j=1,2,…,P，P为预测时域，N是建模时域 ,M为控制时域，且M≤P≤N
假设在k+M－1时刻后控制量不再改变，即有: u(k M 1) u(k M ) L u(k P 1)
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DMC-模型预测
在DMC中，首先需测定对象单位阶跃响应的采样值 ai a(iTs), i 1, 2, L ，其中Ts为采样周期。 对于渐近稳定的对象，阶跃响应在某一时刻 tN NTs 后将趋于平稳，因此可认为，aN已近似等于 阶跃响应的稳态值 as a() 。这样，对象的动态信息就可以近似用有限集合 a1, a2 ,...,aN 加以描述。 这个集合的参数构成了DMC的模型参数，向量 a1 L 该系统的模型可表示为：
Yc (k 1) yc (k 1) L
H h1 L hP
T
T yc (k P) ——系统输出预测矢量；
（一般可取h=1）。
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MAC-参考轨迹
在MAC算法中，控制的目的是使系统的输出y沿着一条事先规定的曲线逐渐到达设定值 ，这条指定的曲线称为参考轨迹yr，通常参考轨迹采用从现在时刻实际输出值出发的一 阶指数函数形式。
y (k ) ai u (k i )
i 1 N
aN
T
称为模型向量，N则称为模型时域。
其中 u(k i) u(k i) u(k i 1) 为k－i时刻作用在系统上的控制增量。 虽然阶跃响应是一种非参数数学模型，但由于线性系统具有比例和叠加性质，故利用这组模型参数， U (k ) [u(k ), u(k 1),...,u(k M 1)]T 作用下，系统未来时刻的输出预测值： 在给定的输入控制增量
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基本原理—滚动优化
模型预测控制中的优化是一种有限时域的滚动优化，在每一 采样时刻，优化性能指标只涉及到该时刻起未来有限的时域， 而在下一采样时刻，这一优化时域同时向前推移。即模型预 测控制不是采用一个不变的全局优化指标，而是在每一时刻 有一个相对于该时刻的优化性能指标（通常可取对象输出在 未来的采样点上跟踪某一期望轨迹的方差为最小。 ）。不 同时刻的优化性能指标的相对形式是相同的，但其绝对形式， 即所包含的时间区域是不同的。因此，在模型预测控制中， 优化计算不是一次离线完成，而是在线反复进行的，这就是 滚动优化的含义，也是模型预测控制区别于其它传统最优控 制的根本点。
jTs / ) ( j 0, 1, L ) 它在未来第j个时刻的值为 ：yr (k j) y(k ) [ y(k )](1 e
若令
e Ts / 上式可写成 ：yr (k j) j y(k ) (1 j ) ( j 0,1, L )
ˆ (k 1) y 0 ( k 1) a1u(k ) y ˆ (k 2) y 0 (k 2) a 2 u(k ) a1u(k 1) y ˆ (k P ) y 0 (k P ) a P u( k ) a P 1u(k 1) a P M 1u( k M 1) y
LOGO
预测控制
上海大学机电自动化学院 刘凯
Contents
1
2 3
方法诞生
基本原理
常用方法
4
实例仿真
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模型预测控制方法诞生
经典的最优控制方法在生产过程中的应用 并未见到很好的效果，其原因主要是精确 数学模型的建立比较困难，当实际过程有 所变化时，控制系统的鲁棒性较差。 20世纪70年代以来，人们开始打破传统方 法的约束，试图面对工业过程的特点，寻 找对模型要求低、综合控制质量好、在线 计算方便的优化控制新方法。模型预测控 制算法就是在这种背景下发展起来的一类 计算机优化控制算法。