【精品专题训练】2021年中考数学必刷压轴题二次函数抛物线与矩形问题专题训练含答案与试题解析

2021年中考数学压轴题二次函数与矩形问题

一．解答题（共11小题）

1．（2020•犍为县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，

记m=PM

DM，试求m的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

2．（2019•海州区二模）如图，一次函数y＝x+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于另一点B，抛物线顶点为E，连接AE．

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；

（2）点P是线段AE上的一动点，过点P作PF平行于y轴交AC于点F，连接EF，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、

M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2018•曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=1

3x−

4

3与x轴交于点A，经过点A

的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是x=3 2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF＝3PE．求证：PE⊥PF；

（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE ⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

4．（2018•正阳县二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+h与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+3的一交点为点D，抛物线过x轴上的AB两点，且CD＝4AC．

（1）求直线l和抛物线的解析式；

（2）点E是直线l上方抛物线上的一动点，求当△ADE面积最大时，点E的坐标；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，四边形APDQ能否为矩形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

5．（2016•工业园区一模）如图，已知二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．

（1）①线段AB的长为．

②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）

（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．

6．（2018秋•南浔区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a （x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A与点B的坐标；

（2）若a=1

3，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标

m 的取值范围．

（3）经过点B 的直线l ：y ＝kx +b 与y 轴正半轴交于点C ．与抛物线的另一个交点为点D ，且CD ＝4BC ．若点P 在抛物线对称轴上，点Q 在抛物线上，以点B ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

7．（2018•太原一模）综合与探究：

如图1，抛物线y =−√33x 2+23√3x +√3与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点．经过点A 的直线l 与y 轴交于点D （0，−√3）．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的表达式；

（2）如图2，直线l 从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向运动，运动中直线l 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，点A 关于直线l 的对称点为A ′，连接F A ′、BA ′，设直线l 的运动时间为t （t ＞0）秒．探究下列问题：

①请直接写出A ′的坐标（用含字母t 的式子表示）；

②当点A ′落在抛物线上时，求直线l 的运动时间t 的值，判断此时四边形A ′BEF 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，探究：在直线l 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P ，A ′，B ，E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．

8．（2018•琼中县二模）如图，已知抛物线y =12x 2+bx +c 与直线AB ：y =−12x +12

相交于点A

（1，0）和B （t ，52），直线AB 交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点D 是x 轴上的一个动点，连接BD 、CD ，请问△BCD 的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D 的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．

（3）设点M 是抛物线对称轴上一点，点N 在抛物线上，以点A 、B 、M 、N 为顶点的四

边形是否可能为矩形？若能，请求出点M 的坐标，若不能，请说明理由．

9．（2020秋•姑苏区期中）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，

且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ．

（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；

（2）点Q 在该抛物线的对称轴上，若△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标；

（3）若P 为BD 的中点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．

10．（2020•宝山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）

与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx +b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；

（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标．