【导学教程】高三数学二轮复习 专题一第三讲综合验收评估试题 理 北师大版
【导学教程】高三数学二轮复习 第二部分第一讲技能巩固训练试题 理 北师大版
1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B 等于 A ．(0,2) B ．[0,2] C ．{0,2}D ．{0,1,2}解析 A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }＝[－2,2]，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }＝{0,1,2，…，16}， ∴A ∩B ＝{0,1,2}． 答案 D2．设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋b i＝1＋i ，则 A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析 ∵1＋2ia ＋b i ＝1＋i ，∴a ＋b i ＝1＋2i1＋i ＝＋－＋－＝3＋i2， ∴a ＝32，b ＝12.答案 A3．下列命题中的假命题是 A ．∀x ∈R,2x －1＞0 B ．∀x ∈N ＋，(x －1)2＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析 对于A ，正确；对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，错误；对于C ，当x ∈(0,1)时，lg x ＜0＜1，正确；对于D ，∃x ∈R ，tan x ＝2，正确．答案 B4．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析 ∵f ′(x )＝2x ln 2＋3＞0， ∴f (x )＝2x＋3x 在R 上是增函数．而f (－2)＝2－2－6＜0，f (－1)＝2－1－3＜0，f (0)＝20＝1＞0，f (1)＝2＋3＝5＞0，f (2)＝22＋6＝10＞0，∴f (－1)·f (0)＜0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点． 答案 B5．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是 A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析 a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，∴|a |＝1，|b |＝ 14＋14＝22，∴A 错误； ∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误．答案 C6．在空间，下列命题正确的是 A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行解析 由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A 不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B 不对．垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C 不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D 正确．答案 D7．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x的定义域均为R ，则 A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数解析 ∵f (x )＝3x ＋3－x ，∴f (－x )＝3－x ＋3x.∴f (x )＝f (－x )，即f (x )是偶函数． 又∵g (x )＝3x－3－x，∴g (－x )＝3－x－3x. ∴g (x )＝－g (－x )，即函数g (x )是奇函数． 答案 B8．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视视图为解析 由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.答案 C9．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A ．504种B ．960种C ．1 008种D ．1 108种解析 不考虑丙、丁的情况共有A 22A 66＝1 440种排法．在甲、乙相邻的条件下，丙排10月1日有A 22A 55＝240种排法，同理，丁排10月7日也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日，有A 22A 44＝48种排法，则满足条件的排法有A 22A 66－2A 22A 55＋A 22A 44＝1 008(种)．答案 C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 如图，作出可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9.解得m ＝1. 答案 C11．如图所示是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x －的程序框图，图中空白框中应填入的内容为A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x n nC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n解析 由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S ＝x 1＋x 2＋…＋x 10的累加求和，故选A.答案 A12．已知函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 如图，作出f (x )＝|lg x |的大致图象，由f (a )＝f (b )知|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1.∴b ＝1a .∴a ＋2b ＝a ＋2a.由题意知0＜a ＜1，又函数t ＝a ＋2a在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a ＞1＋21＝3，即a ＋2b ＞3.答案 C。
【导学教程】2020届高三数学二轮复习 专题一第二讲综合验收评估试题 理 北师大版.doc
一、选择题1．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是A.⎝⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b )解析 由题意b ＝lg a,2b ＝2lg a ＝lg a 2， 即(a 2,2b )也在函数y ＝lg x 图象上． 答案 D2．(2011·西城模拟)函数y ＝xsin x ，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的解析 因为y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)是偶函数， x ∈(0，π)时，x ＞sin x ，故C 正确．答案 C3．(2011·珠海模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)， 又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0， f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3) ＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)， 又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数， 所以f (1)＞f (0)＝0，所以－f (1)＜0，即f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D. 答案 D4．(2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9解析 ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数， 且0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)， ∴当0≤x ＜2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1. 由周期函数的性质知，当2≤x ＜4时，f (x )＝0有两个根， 即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ＜6时，f (x )＝0有两个根， 即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6也是f (x )＝0的根．故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7. 答案 B5．(2011·湖北)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x ＞2，则∁U P ＝ A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}＝{y |y ＞0}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x ＞2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪0＜y ＜12， ∴∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥12＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 A6．(2011·济南模拟)下列函数既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是 A ．f (x )＝x 13B ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝ln 2－x2＋x (x ≠2)D ．f (x )＝12(a x ＋a －x)解析 在C 中f (x )的定义域为(－2,2)， 又f (－x )＝ln 2＋x 2－x ＝－ln 2－x2＋x＝－f (x )，又f (x )＝ln 2－x 2＋x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋x －1是减函数，所以C 正确．答案 C 二、填空题7．(2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥2，x －13， x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．答案 (0,1)8．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________.解析 由已知得m ＝1n，0＜m ＜1，n ＞1，∴[m 2，n ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2，n ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 21n 2＝2|log 2n |＝2f (n )．∴f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＝2f (n )．∴2|log 2n |＝2，∵n ＞1，∴n ＝2.m ＝12.故n ＋m ＝52.答案 529．(2011·上海)设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[－10,10]上的值域为________．解析 设x 1∈[3,4]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]． ∵g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，∴当x 2∈[4,5]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1＋1)∈[－1,6]；x 3∈[5,6]时，f (x 3)＝f (x 1＋2)＝x 1＋2＋g (x 1＋2)∈[0,7]； …；x 7∈[9,10]时，f (x 7)＝f (x 1＋6)＝x 1＋6＋g (x 1＋6)∈[4,11]．同理，当x ∈[－10，－9]时，f (x )＝f (x 1－13)＝x 1－13＋g (x 1－13)∈[－15，－8]． 综上分析知，当x ∈[－10,10]时， 函数的值域为[－15,11]． 答案 [－15,11] 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋3a 2－1(a ＞0,0≤x ≤1)，求函数f (x )的最大值和最小值． 解析 f (x )＝x 2－2ax ＋3a 2－1 ＝(x －a )2＋2a 2－1，由a ＞0知，当a ≥1时，由于f (x )在[0,1]上是减函数，故f (x )的最大值为f (0)＝3a 2－1，最小值为f (1)＝3a 2－2a ；当0＜a ＜1时，f (x )的最小值为f (a )＝2a 2－1，f (x )的最大值为f (0)，f (1)中的较大者． 若f (0)＜f (1)，则3a 2－1＜3a 2－2a ， 解得a ＜12，所以当0＜a ＜12时，f (x )的最大值为f (1)＝3a 2－2a ；当12≤a ＜1时，f (x )的最大值为f (0)＝3a 2－1.11．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．由于f ′(x )＝e x＋e －x＞0恒成立， 所以f (x )是R 上的增函数．(2)不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0可化为f (x －t )≥－f (x 2－t 2)，即f (x －t )≥f (－x 2＋t 2)，又f (x )是R 上的增函数， 所以上式等价于x －t ≥－x 2＋t 2， 即x 2＋x －t 2－t ≥0恒成立， 故有Δ＝1－4(－t 2－t )≤0， 即(2t ＋1)2≤0，所以t ＝－12.综上所述，存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．12．(2011·大连模拟)若定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1成立，且当x ＞0时，f (x )＞1.(1)求证：f (x )－1为奇函数； (2)求证：f (x )是R 上的增函数；(3)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)＜3.解析 (1)证明 ∵定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1成立．令x 1＝x 2＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)－1，即f (0)＝1. 令x 1＝x ，x 2＝－x ，f (x －x )＝f (x )＋f (－x )－1，∴[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，∴f (x )－1为奇函数．(2)证明 ∵由(1)，知f (x )－1为奇函数， ∴f (x )－1＝－[f (－x )－1]．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， ∵f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1， ∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)－1 ＝f (x 2)－[f (x 1)－1]＝f (x 2)－f (x 1)＋1， ∵当x ＞0时，f (x )＞1，∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)＋1＞1， ∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )是R 上的增函数．(3)∵f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1，且f (4)＝5， ∴f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，即f (2)＝3， 由不等式f (3m 2－m －2)＜3，得f (3m 2－m －2)＜f (2)． 由(2)，知f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2＜2，即3m 2－m －4＜0，则－1＜m ＜43，∴不等式f (3m 2－m －2)＜3的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43.。
(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题：专题三第二讲综合验收评估(北师大版)
一、选择题1．向量v＝错误!，v是直线y＝x的方向向量，a1＝5,则数列｛a n｝的前10项和为A．50 B．100C．150 D．200解析依题意得a2，n＋12a n＝a n＋1－错误!，a n＋1＝a n.又a1＝5，所以a n＝5,数列{a n}的前10项和为5×10＝50,选A。
答案A2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N＋,点(n,S n）均在函数y＝ax2＋x(a∈N＋)的图象上．则A．n与a n的奇偶性相异B．n与a n的奇偶性相同C．a与a n的奇偶性相异D．a与a n的奇偶性相同解析S n＝an2＋n，a n＝S n－S n－1＝an2＋n－a(n－1）2－(n－1)＝2an＋1－a(n≥2），a n与1－a的奇偶性相同，故选C.答案C3．数列｛a n｝的通项公式是a n＝错误!,若数列的前n项和为20，则项数n等于A．11 B．99C．120 D．121解析因为a n＝错误!＝2(错误!－错误!)，所以S n＝2（错误!－1）＋2（错误!－错误!)＋…＋2(n＋1－错误!）＝2(n＋1－1）．由题意得S n＝2（错误!－1)＝20，解得n＝120。
答案C4．设f（n）＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N）,则f（n)等于A.错误!(8n－1)B.错误!（8n＋1－1)C.错误!（8n＋3－1）D.错误!(8n＋4－1）解析显然，f（n）为数列｛23n＋1｝的前n项和S n＝24＋27＋210＋…＋23n＋1与2的和．数列｛23n＋1}为一个首项为a1＝24，公比为q＝23的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S n＝错误!＝错误!,故f（n）＝2＋S n＝2＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!（8n＋1－1)．答案 B5．数列{a n ｝前n 项和为S n ，已知a 1＝错误!，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ,若S n ＜a 恒成立,则实数a 的最小值为A.错误! B 。
【导学教程】高三数学二轮复习 专题一第四讲综合验收评估试题 理 北师大版
一、选择题1．f (x )＝x (2 011＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 012，则x 0等于 A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析 f ′(x )＝2 011＋ln x ＋x ×1x＝2 012＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 012，得2 012＋ln x 0＝2 012， 所以ln x 0＝0，解得x 0＝1，故选B. 答案 B2．(2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为 A ．－12B.12 C ．－22D.22解析 y ′＝cos x sin x ＋cos x － cos x －sin x sin x sin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x2，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.答案 B3．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于A.56 B.12 C.23D.16解析 f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝x 2－x ，∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2 |21＝56，故选A.答案 A4．(2011·海淀模拟)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π3，－1在函数f (x )＝a cos x 的图象上，则该函数图象在x ＝3π4处的切线方程是A ．2x ＋2y ＋4－3π2＝0 B ．2x －2y ＋4－3π2＝0 C ．2x －2y －4－3π2＝0D ．2x ＋2y －4－3π2＝0 解析 由点P 在函数f (x )的图象上，可得f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π3＝－1，即a cos 2 012π3＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫670π＋2π3＝－a 2＝－1， 解得a ＝2.故f (x )＝2cos x . 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝2cos 3π4＝－2，f ′(x )＝－2sin x .由导数的几何意义，可知该函数图象在x ＝3π4处的切线斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－2sin 3π4＝－ 2.所以切线方程为y －(－2)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4， 即2x ＋y ＋2－32π4＝0， 也就是2x ＋2y ＋4－3π2＝0，故选A. 答案 A5．(2011·浙江模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是解析 设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x .由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，得当x ＝－1时，ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝a a＝1，D 中图象一定不满足该条件．答案 D6．(2011·湖南)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为A ．1 B.12 C.52D.22解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t ＞0)． y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t.当0＜t ＜22时，y ′＜0，可知y 在此区间内单调递减； 当t ＞22时，y ′＞0，可知y 在此区间内单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值． 答案 D二、填空题7．如图，直线y ＝1与曲线y ＝－x 2＋2所围图形的面积是________．解析 令－x 2＋2＝1，得x ＝±1，答案 438．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．解析 当x ＞0时，f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0恒成立，即m ≥－1x 2＋2x恒成立，又∵－1x 2＋2x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1≤1，∴m ≥1.答案 m ≥19．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________． 解析 f ′(x )＝e xcos x ＋e x(－sin x )，设切线的倾斜角为α， 则k ＝tan α＝f ′(0)＝1，又α∈(0，π)，∴α＝π4.答案π4三、解答题10．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解析 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm. 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20. 当x ∈(0,20)时，V ′＞0； 当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.11．已知函数f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝x 3－3x 图象的下方． 解析 (1)由f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x ，知f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝x －1 x －2x.当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在[1,2]上是减函数； 当x ∈(2，e)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[2，e]上是增函数． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝2ln 2－4. 又f (1)＝－52，f (e)＝12e 2－3e ＋2，f (e)－f (1)＝12e 2－3e ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝12(e 2－6e ＋9)＝12(e －3)2＞0， ∴f (e)＞f (1)，∴f (x )max ＝f (e)＝12e 2－3e ＋2.综上，函数f (x )在[1，e]上的最大值为12e 2－3e ＋2，最小值为2ln 2－4.(2)证明 设F (x )＝12x 2－3x ＋2ln x －x 3＋3x ，则F ′(x )＝－3x 2＋x ＋2x ＝－3x 3＋x 2＋2x ＝－ x －1 3x 2＋2x ＋2x.当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，∴F (x )在[1，＋∞)上是减函数， 且F (1)＝－12＜0，故当x ∈[1，＋∞)时，F (x )＜0，∴12x 2－3x ＋2ln x ＜x 3－3x . ∴在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝x 3－3x 图象的下方． 12．设f (x )＝e x－1.(1)当x ＞－1时，证明：f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1；(2)当a ＞ln 2－1且x ＞0时，证明：f (x )＞x 2－2ax . 证明 (1)当x ＞－1时，f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1，即e x－1＞2x 2＋x －1x ＋1＝2x －1，故结论成立当且仅当e x ＞2x ，即e x－2x ＞0. 令g (x )＝e x －2x ，则g ′(x )＝e x－2. 令g ′(x )＝0，即e x－2＝0，解得x ＝ln 2. 当x ∈(－1，ln 2)时，g ′(x )＝e x－2＜0， 故函数g (x )在(－1，ln 2]上单调递减； 当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )＝e x－2＞0， 故函数g (x )在[ln 2，＋∞)上单调递增． 所以g (x )在(－1，＋∞)上的最小值为g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，所以在(－1，＋∞)上有g (x )≥g (ln 2)＞0，即e x ＞2x . 故当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1.(2)f (x )＞x 2－2ax ，即e x －1＞x 2－2ax ，也就是e x －x 2＋2ax －1＞0. 令g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，则g ′(x )＝e x－2x ＋2a . 令h (x )＝e x －2x ＋2a ，则h ′(x )＝e x－2.由(1)，可知当x ∈(－∞，ln 2)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减； 当x ∈(ln 2，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增． 所以h (x )的最小值为h (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a .因为a ＞ln 2－1，所以h (ln 2)＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h(x)≥h(ln 2)＞0.所以g′(x)＝h(x)＞0，即g(x)在R上为增函数．故g(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(0)．而g(0)＝0，所以g(x)＝e x－x2＋2ax－1＞0，即当a＞ln 2－1且x＞0时，f(x)＞x2－2ax.。
【导学教程】高三数学二轮复习 专题三第三讲综合验收评估试题 理 北师大版
一、选择题1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数解析 至少有一个的否定是一个也没有，即a ，b ，c 都不是偶数． 答案 B2．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，……类比有x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 等于A ．nB ．2nC ．n 2D ．n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n.答案 D3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到△ABC 为钝角三角形的结论，三边a 、b 、c 应满足的条件是A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析 a 为最大边，则角A 为最大角，若△ABC 为钝角三角形，则角A 必须为钝角，故cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，所以b 2＋c 2－a 2＜0⇔a 2＞b 2＋c 2，选C.答案 C4．下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色的正方形个数为A ．5n ＋3B ．5nC ．3n ＋5D ．3n解析 由题意可知，每个图案都是3行，第一个图案有3列，第二个图案有5列，第三个图案有7列，…所以第n 个图案有2n ＋1列，所以第n 个图案中正方形的个数为3(2n ＋1)＝6n ＋3，又知第n 个图案中有n 个黑色小正方形，所以第n 个图案中白色正方形的个数为6n ＋3－n ＝5n ＋3.答案 A5．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为A.a 316B.a 38C.a 34D.a 32解析 由平面类比到空间，将面积和体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为a 38，所以选B.答案 B6．(2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2解析 ∵f (1)＝a sin 1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin 1－b ＋c ， 且c 是整数，∴f (1)＋f (－1)＝2c 是偶数． 在选项中只有D 中两数和为奇数，不可能是D. 答案 D 二、填空题7．(2011·山东)设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n.所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝xn－x ＋2n.答案xn－x ＋2n8．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(a n ，b n ，c n )．(1)请写出c n 的一个表达式，c n ＝________.(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10＝________.(用数字作答) 解析 (1)通过观察归纳，得a n ＝n ，b n ＝2n ，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋2n. (2)M 10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101. 答案 n ＋2n；2 1019．经过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为________．解析 过圆上一点(x 0，y 0)的切线方程是把圆的方程中的x 2，y 2中的一个x 和一个y 分别用x 0，y 0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点(x 0，y 0)的切线方程也是把椭圆方程中的x 2，y 2中的一个x 和一个y 分别用x 0，y 0代替，即得到切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. 答案 x 0x a 2＋y 0y b 2＝1三、解答题10．已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，令b n ＝na 1a 2…a n ，则数列{b n }(n ∈N＋)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解析 由题意，得等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，令b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }(n ∈N ＋)也是等差数列．设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn＝na 1＋n n －2dn ＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．故所得命题成立．11．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． 解析 (1)证明 假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列， 则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾， 所以{a n }不是等比数列． (2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N ＋)， 此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 由b n ＋1＝－23b n可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N ＋)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)． (1)求S 1，S 2，S 3，S 4的值；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解析 (1)由题意知，S 1＝a 1＝1，S 2＝4a 2，即a 1＋a 2＝4a 2，得a 2＝13，又a 1＝1，∴S 2＝43.同理得，S 3＝9a 3，即S 2＋a 3＝9a 3， 得a 3＝16，∴S 3＝32，S 4＝16a 4，即S 3＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，∴S 4＝85.(2)猜想：S n ＝2nn ＋1， 证明 ①当n ＝1时，S 1＝2×11＋1＝1，与已知相符，故结论成立，②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立， 即S k ＝2k k ＋1， 由已知可得S k ＋1＝(k ＋1)2a k ＋1， 整理得[(k ＋1)2－1]S k ＋1＝(k ＋1)2S k ，即S k ＋1＝k ＋2k 2＋2k S k ，∴S k ＋1＝k ＋2k 2＋2k ·2kk ＋1＝k ＋k ＋2＝k ＋k ＋＋1， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立， 综合①②知，对n ∈N ＋，都有S n ＝2n n ＋1.。
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一、选择题1．(2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝ A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0， ∴k ＝12. 答案 D2．(2011·广东)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝A.14 B.12 C ．1D ．2解析 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， 而c ＝(3,4)，由(a ＋λb )∥c 得4(1＋λ)－6＝0, 解得λ＝12.答案 B3．(2011·东城模拟)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)等于A ．2B ．3C ．4D ．5解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →， 所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →.(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝AC →2－BD →2＝9－4＝5. 答案 D4．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b－c |的最大值为A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析 由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0， 得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1. ∴|a ＋b －c |≤1. 答案 B5．在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，若a ·(a ＋b )＜0，则△ABC 是 A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．无法判断其形状解析 由题意得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝－c ，a ·(a ＋b )＝AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＜0，所以∠A 为钝角，故△ABC 为钝角三角形． 答案 C6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|a －b |＝|b |，(a －c )·(b －c )＝0.若对每一个确定的b ，|c |的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任意b ，m －n 的最小值是A.14 B.12 C.34D ．1解析 把三个向量的起点放在同一点O ，如图所示，根据几何意义，由|a －b |＝|b |，得△OAB 是等腰三角形，当(a －c )·(b －c )＝0时，(a －c )⊥(b －c )，故点C 在以AB 为直径的圆上，|c |的最大值m 和最小值n 的差就是这个圆的直径，只有当B ，E 重合时这个直径最短，即m －n 的最小值是12.答案 B 二、填空题7．(2011·江西)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.答案 －68．(2011·江苏)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b＝0，则实数k 的值为________．解析 a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k －2＋(1－2k )cos 2π3＝2k －52，∵a ·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝54.答案 549．(2011·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．解析 解法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.解法二 设DP →＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →＝(1－x )DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 5三、解答题10．已知平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角．解析 因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ， 所以a 2－52b 2－32a ·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1， 所以4－52－32a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，又a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1， 所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3. 11．已知θ为向量a 与b 的夹角，|a |＝2，|b |＝1，关于x 的一元二次方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根．(1)求θ的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2θ＋3的最值．解析 (1)由已知条件，可得|a |2＝4，a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝2cos θ，θ∈[0，π]， ∵关于x 的一元二次方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根， ∴Δ＝|a |2－4a ·b ＝4(1－2cos θ)≥0， 得cos θ≤12，解得θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.(2)f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2θ＋ 3 ＝sin 2θ－3(2cos 2θ－1)＝sin 2θ－3cos 2θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴2θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3∈[－1,1]， ∴当θ＝5π12时，f (x )max ＝2；当θ＝11π12时，f (x )min ＝－2.12．已知向量m ＝(cos x ，－sin x )，n ＝(cos x ，sin x －23cos x )，x ∈R ，令f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求函数f (x )的值域．解析 (1)f (x )＝m ·n ＝cos 2x －sin x (sin x －23cos x )， ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵函数y ＝2sin x 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，∴2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π6≤2x ＋π6≤2π3，∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2，∴函数f (x )的值域为[1,2]．。
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一、选择题1．(2011·珠海模拟)设函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 的定义域为M ，g (x )＝1－x 21＋x 的定义域为N ，则M ∩N 等于A ．{x |x ＜0}B ．{x |x ＞0且x ≠1}C ．{x |x ＜0且x ≠－1}D ．{x |x ≤0且x ≠－1}解析 ∵M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x |x ≠－1}， ∴M ∩N ＝{x |x ＜0且x ≠－1}．故选C. 答案 C2．(2011·广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1解析 A ∩B 的元素个数等价于圆x 2＋y 2＝1与直线x ＋y ＝1的交点个数，显然有2个交点． 答案 C3．(2011·佳木斯模拟)使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是 A ．x ＜0B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析 ∵2x 2－5x －3≥0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12， ∴x ∈{－1,3,5}是不等式成立的一个充分不必要条件． 答案 C4．下列命题中是真命题的是A ．若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a ＜b ，则1a ＞1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立解析 对于选项A ，若向量a 、b 满足a ·b ＝0，不能得出a ＝0或b ＝0，因此A 不正确．对于选项B ，如取a ＝－2，b ＝1，此时有a ＜b ，但1a ＜1b，因此B 不正确．对于选项C ，如取b＝0，a ＝0，c ＝1，此时有b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列，因此C 不正确．对于选项D ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，因此D 正确．综上所述，选D.答案 D5．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要而不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析 对于A ，注意到一个命题的否命题是将其题设与结论分别进行否定所形成的新命题，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，因此A 不正确．对于B ，当x ＝－1时，x 2－5x －6＝0，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分条件，B 不正确．对于C ，命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，因此C 不正确．对于D ，由于命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，因此其逆否命题也是真命题(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，D 正确．综上所述，选D.答案 D6．设M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要解析 因“a ＝1”，即N ＝{1}，满足“N ⊆M ”， 反之“N ⊆M ”，则N ＝{a 2}＝{1}， 或N ＝{a 2}＝{2}，不一定有“a ＝1”． 所以“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件． 答案 A 二、填空题7．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上为减函数；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则实数c 的取值范围是________．解析 因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以p 、q 两个命题一真一假．若命题p 为真命题，则0＜c ＜1；若命题q 为真命题，则0＜c ≤12.所以若p 真q 假，则实数c的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1，若q 真p 假则无解．故实数c 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则A *B 为________．解析 集合A ＝[0,2]，集合B ＝(1，＋∞)．图中的阴影部分是[A ∩(∁R B )]∪[(∁R A )∩B ]，A ∩(∁RB )＝[0,1]，(∁R A )∩B ＝(2，＋∞)，所以[A ∩(∁R B )]∪[(∁R A )∩B ]＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．答案 {x |0≤x ≤1或x ＞2}9．(2011·江苏)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪m 2x －2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R， B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅，∴m 2≥m2，∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点， 即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |， ∴2－22≤m ≤2＋ 2. 又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2.当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2三、解答题10．已知命题p ：“若x ＝1且y ＝2，则x ＋y ＝3”，试写出p 的否命题和命题的否定，判断它们的真假，并说明理由．解析 p 的否命题：“若x ≠1或y ≠2，则x ＋y ≠3”．这是一个假命题． 綈p ：“若x ＝1且y ＝2，则x ＋y ≠3”．此命题也为假命题．11．已知集合A ＝{x |x 2＋(2＋a )x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x ∈R |x ＞0}，试问是否存在实数a ，使得A ∩B ＝∅？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析 解法一 假设存在实数a 满足条件A ∩B ＝∅，则有①当A ≠∅时，由A ∩B ＝∅，B ＝{x ∈R |x ＞0}，知集合A 中的元素为非正数，设方程x 2＋(2＋a )x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝＋a 2－4≥0，x 1＋x 2＝－＋a ＜0，x 1x 2＝1＞0，解得a ≥0；②当A ＝∅时，则有Δ＝(2＋a )2－4＜0， 解得－4＜a ＜0.综合①②，知存在满足条件A ∩B ＝∅的实数a ， 其取值范围是(－4，＋∞)．解法二 假设存在实数a 满足条件A ∩B ≠∅，则方程x 2＋(2＋a )x ＋1＝0的两实数根x 1，x 2至少有一个为正， 因为x 1·x 2＝1＞0，所以两根x 1，x 2均为正数． 则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝＋a 2－4≥0，x 1＋x 2＝－＋a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0或a ≤－4，a ＜－2，即a ≤－4.又∵集合{a |a ≤－4}的补集为{a |a ＞－4}， ∴存在满足条件A ∩B ＝∅的实数a ， 其取值范围是(－4，＋∞)．12．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x －a ＋＜0，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －a 2－2x －a ＜0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜52，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜94，所以(∁U B )∩A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪94≤x ＜52. (2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B . 因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}． 当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a ＜13；综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.。
2022届高三数学二轮复习 专题一第三讲综合验收评估模拟押题 理 北师大版
一、选择题1．不等式错误!≤0的解集是A．－∞，－1∪－1,2] B．[－1,2]C．－∞，－1∪[2，＋∞ D．－1,2]解析原不等式等价于－2＋1≤0且≠－1，解得{|－1＜≤2}．答案 D2．2022·兰州模拟若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是＞错误!B．|a|＞|b|＋错误!＞2 D．a＋b＞ab解析错误!－错误!＝错误!＜0，A选项错；b＜a＜0⇒－b＞－a＞0⇒|b|＞|a|，B选项错；错误!＋错误!＝错误!＋错误!≥2，由于错误!≠错误!，所以等号不成立，C选项正确；a＋b＜0且ab＞0，D选项错．故选C答案 C3．2022·滨州模拟在平面直角坐标系中，不等式组错误!a为常数表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为A．3错误!＋2 B．－3错误!＋2C．－5 D．1解析作出可行域，可得平面区域的面积S＝错误!a＋2·2a＋2＝a＋22＝9，由题意可知a＞0，∴a＝1答案 D4．设0＜a＜1，函数f＝og a a2－3a＋3，则使f＞0的的取值范围是A．－∞，0 B．0，＋∞C．og a2,0 D．og a2，＋∞解析根据题意可得0＜a2－3a＋3＜1，令t＝a，即0＜t2－3t＋3＜1，因为Δ＝－32－4×3＝－3＜0，故t2－3t＋3＞0恒成立，只要解不等式t2－3t＋3＜1即可，即解不等式t2－3t＋2＜0，解得1＜t＜2，即1＜a＜2，取以a为底的对数，根据对数函数性质得og a2＜＜答案 C5．2022·广东已知平面直角坐标系O上的区域D由不等式组错误!给定，若M，为D上的动点，点A的坐标为错误!，1，则＝错误!在区间1，＋∞上是减函数；命题q：1，2是方程2－a－2＝0的两个实根，且不等式m2＋5m－3≥|1－2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立．若綈的取值范围．解析对于命题≠0，又∈1，＋∞，故m≤1，则命题≤1对于命题q有|1－2|＝错误!＝错误!≤3，则m2＋5m－3≥3，即m2＋5m－6≥0，解得m≥1或m≤－6若綈，故m＞111．2022·安徽1设≥1，≥1，证明＋＋错误!≤错误!＋错误!＋；2设1＜a≤b≤c，证明og a b＋og b c＋og c a≤og b a＋og c b＋og a c证明1由于≥1，≥1，所以＋＋错误!≤错误!＋错误!＋⇔＋＋1≤＋＋2将上式中的右式减左式，得[＋＋2]－[＋＋1]＝[2－1]－[＋－＋]＝＋1－1－＋－1＝－1－－＋1＝－1－1－1．由于≥1，≥1，所以－1－1－1≥0，从而所要证明的不等式成立．2设og a b＝，og b c＝，由对数的换底公式得og c a＝错误!，og b a＝错误!，og c b＝错误!，og a c＝于是，所要证明的不等式即为＋＋错误!≤错误!＋错误!＋又由于1＜a≤b≤c，所以＝og a b≥1，＝og b c≥1故由1知所要证明的不等式成立．12．2022·北京已知函数f＝－2e错误!1求f的单调区间；2若对于任意的∈0，＋∞，都有f≤错误!，求的取值范围．解析1f′＝错误!2－2e错误!令f′＝0，得＝±当＞0时，f与f′的变化情况如下：↗↘↗当＜0时，f与f′的变化情况如下：↘↗↘2当＞0时，因为f＋1＝1ekk＞错误!，所以不会有∀∈0，＋∞，f≤错误!当＜0时，由1知f在0，＋∞上的最大值是f－＝错误!所以∀∈0，＋∞，f≤错误!等价于f－＝错误!≤错误!，解得－错误!≤＜0故当∀∈0，＋∞，f≤错误!时，的取值范围是错误!。
【导学教程】高三数学二轮复习 专题五第一讲综合验收评估试题 理 北师大版
一、选择题1．(2011·东莞模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是 A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 所求直线的斜率等于12，故所求直线方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0，故选A.答案 A2．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且2lg sin B ＝lg sin A ＋lg sin C ，则两条直线l 1：x sin 2A ＋y sin A ＝a 与l 2：x sin 2B ＋y sinC ＝c 的位置关系是A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交不垂直解析 已知2lg sin B ＝lg sin A ＋lg sin C ， 可得sin 2B ＝sin A sinC ，故sin 2A sinB ＝sin Asin C， 又sin A sin C ＝ac，所以两直线重合，故选B. 答案 B3．(2011·广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3解析 集合A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点构成的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A ∩B 的元素个数为2.答案 C4．以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程是A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0 B ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＋16＝0D ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0解析 据题意知圆心为(5,0)， 双曲线的渐近线是4x ±3y ＝0，∴r ＝4，故所求圆的方程是(x －5)2＋y 2＝16， 即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.答案 A5．(2011·海淀模拟)圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为 A. 5 B. 6 C ．2 5D ．2 6解析 x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此，公共弦长为250－52＝2 5.答案 C6．(2011·珠海模拟)已知直线l ：y ＝－1，定点F (0,1)，P 是直线x －y ＋2＝0上的动点，若经过点F 、P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为A.π2B ．πC ．3πD ．4π解析 由于圆经过点F 、P 且与直线y ＝－1相切，所以圆心到点F 、P 与到直线y ＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C 在以点(0,1)为焦点的抛物线x 2＝4y 上，圆与直线x －y ＋2＝0的交点为点P .显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小，为1，此时圆面积最小，为π.故选B.答案 B 二、填空题7．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a ＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a a －＝2a 2－a －得a ＝－1.答案 －18．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析 由题知，圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，直线AB 的方程为x －y ＋2＝0.因为圆心到直线AB 的距离为d ＝32，所以圆周上的点到直线AB 的最小距离为32－1.又AB ＝22，所以△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案 3－ 29．若直线l ：2x ＋y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5相交于A 、B 两点，则|AB |＝________.解析 圆心C (1，－2)到直线l 的距离为d ＝|2×1－2＋3|22＋12＝35， 则|AB |＝252－⎝⎛⎭⎪⎫352＝855. 答案855三、解答题10．设直线l 经过点P (3,4)，圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4. (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围． 解析 (1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)， 而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时， 直线l 的斜率为k ＝52.(2)由题意，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.又直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4交于两个不同的点， 所以圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2. 解得k ＞2120.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞. 11．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解析 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)， 与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －2＋y －2＝9.消去y ，得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝－2a56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.12．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解析 (1)设P (2m ，m )，由题可知MP ＝2， 所以(2m )2＋(m －2)2＝4， 解之得m ＝0或m ＝45.故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k2，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.(3)证明 设P (2m ，m )，MP 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋1，因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为(x －m )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －m 2－12＝m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－12.化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,0)．。
【导学教程】高三数学二轮复习 专题二第二讲综合验收评估试题 理 北师大版
一、选择题1．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝A ．－79B ．－19C.19D.79解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79.答案 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝22，A ＝45°，则B 等于A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析 本小题主要考查利用正弦定理解三角形．根据正弦定理可得2sin 45°＝22sin B，∴sin B ＝1，故B ＝90°，故选A.答案 A3．(2011·抚顺模拟)已知sin 10°＝a ，则sin 70°等于 A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1解析 由题意可知，sin 70°＝cos 20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2. 答案 A4．(2011·运城模拟)若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π4＝ A ．－210B.210C ．－7210D.7210解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝35，∴cos α＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π4＝－22(cos α－sin α)＝－210，故选A. 答案 A5．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ∠ABD 等于 A.12B.32C.22D.33解析 由余弦定理，得cos ∠ABC ＝9＋4－72×3×2＝12，则∠ABC ＝60°，从而∠ABD ＝30°，sin ∠ABD ＝12.故选A.答案 A6．如图所示，B ，C ，D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α＜β)，则A 点距地面的高AB 等于A.a sin αsinββ－αB.a sin αsinββ－αC.a sin αcosββ－αD.a cos αcosββ－α解析 AB ＝AC sin β，AC sin α＝DC sin ∠DAC ＝DCβ－α解得AC ＝a sin αβ－α，∴AB ＝a sin αsin ββ－α.答案 A 二、填空题7．(2011·重庆)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．解析 由sin α＝12＋cos α得sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34.∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)，而(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝74，又∵0＜α＜π2，∴sin α＋cos α＝72，∴原式＝－142. 答案 －1428．(2011·江苏)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．解析 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132 ＝49. 答案 499．(2011·上海)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析 如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222·32＝ 6. 答案6三、解答题10．(2011·湖北)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．解析 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a ＜c ，∴A ＜C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78， ∴cos (A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116. 11．(2011·大纲全国卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又B 为三角形的内角，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋ 3. c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.12．(2011·福建华侨中学月考)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，三边长a 、b 、c 成等比数列．(1)若B ＝π3，求证：△ABC 为正三角形；(2)若B ＝π6，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3的值． 解析 (1)证明 由a 、b 、c 成等比数列，可得b 2＝ac .若B ＝π3，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，可得a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，即(a －c )2＝0，所以a ＝c . 又B ＝π3，故△ABC 为正三角形．(2)由b 2＝ac 及正弦定理，可得sin 2B ＝sin A sinC . 当B ＝π6时，可得sin 2π6＝sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ，即14＝sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6cos A －cos 5π6sin A＝12sin A cos A ＋32sin 2A ， 即14sin 2A ＋34(1－cos 2A ) ＝14sin 2A －34cos 2A ＋34＝14， 所以12sin 2A －32cos 2A ＝1－32.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝1－32.。
(导学教程)2019年高三数学(理)二轮练习试题：专项一第三讲综合验收评估(北师大版)
（导学教程）2019年高三数学（理）二轮练习试题：专项一第三讲综合验收评估（北师大版）1、不等式x －2x ＋1≤0的解集是A 、(－∞，－1)∪(－1,2]B 、[－1,2]C 、(－∞，－1)∪[2，＋∞)D 、(－1,2]解析 原不等式等价于(x －2)(x ＋1)≤0且x ≠－1，解得{x |－1＜x ≤2}、 答案 D2、(2017·兰州模拟)假设b ＜a ＜0，那么以下不等式中正确的选项是 A.1a ＞1b B 、|a |＞|b |C.b a ＋ab ＞2 D 、a ＋b ＞ab解析 1a －1b ＝b －aab ＜0，A 选项错；b ＜a ＜0⇒－b ＞－a ＞0⇒|b |＞|a |，B 选项错； b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，由于b a ≠ab ，因此等号不成立，C 选项正确； a ＋b ＜0且ab ＞0，D 选项错、应选C. 答案 C3、(2017·滨州模拟)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为A 、32＋2B 、－32＋2C 、－5D 、1解析 作出可行域，可得平面区域的面积S ＝12(a ＋2)·2(a ＋2)＝(a ＋2)2＝9，由题意可知a ＞0，∴a ＝1. 答案 D4、设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －3a x ＋3)，那么使f (x )＞0的x 的取值范围是A 、(－∞，0)B 、(0，＋∞)C 、(log a 2,0)D 、(log a 2，＋∞) 解析 依照题意可得0＜a 2x －3a x ＋3＜1， 令t ＝a x ，即0＜t 2－3t ＋3＜1， 因为Δ＝(－3)2－4×3＝－3＜0， 故t 2－3t ＋3＞0恒成立，只要解不等式t 2－3t ＋3＜1即可，即解不等式t 2－3t ＋2＜0，解得1＜t ＜2，即1＜a x ＜2，取以a 为底的对数，依照对数函数性质得log a 2＜x ＜0.应选C.答案 C5、(2017·广东)平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，假设M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，那么z ＝OM →·OA →的最大值为A 、4 2B 、3 2C 、4D 、3解析由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 画出可行域如下图，目标函数z＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.答案 C6、假设x ，y 基本上正数，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是A 、1B 、2C 、3D 、4解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号、答案 D【二】填空题7、x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，那么a ＋b 2cd 的最小值是________、解析 ∵a ＋b 2cd＝x ＋y2xy≥2xy 2xy＝4.答案 48、(2017·陕西)如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________、解析 令b ＝2x －y ，那么y ＝2x －b ，如下图，作斜率为2的平行线y ＝2x －b ，当通过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，如今b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1.答案 19、(2017·浙江)假设实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，那么x ＋y 的最大值是________、解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ，∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋x ＋y 24， 解得－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值为233.答案 233 【三】解答题程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立、假设綈p ∧q 为真，试求实数m 的取值范围、解析 关于命题p 有x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，那么命题p ：m ≤1.关于命题q 有|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8≤3， 那么m 2＋5m －3≥3，即m 2＋5m －6≥0， 解得m ≥1或m ≤－6.假设綈p ∧q 为真，那么p 为假且q 为真，因此⎩⎨⎧m ＞1m ≥1或m ≤－6，故m ＞1.11、(2017·安徽)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ；(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.证明(1)由于x≥1，y≥1，因此x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)、由于x≥1，y≥1，因此(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立、(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logc a＝1xy，logb a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy.因此，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.又由于1＜a≤b≤c，因此x＝log a b≥1，y＝log b c≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立、12、(2017·北京)函数f(x)＝(x－k)2e x k.(1)求f(x)的单调区间；(2)假设关于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围、解析(1)f′(x)＝1k(x2－k2)exk.令f′(x)＝0，得x＝±k.↗↘↗(－k，k)、↘↗↘(k，－k)、(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝1ekk＞1e，因此可不能有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1 e.当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2 e.因此∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e等价于f(－k)＝4k2e≤1e，解得－12≤k＜0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时，k的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0..精品资料。
2019高三数学(理)二轮练习试题：专项三第一讲综合验收评估北师大版
2019高三数学（理）二轮练习试题：专项三第一讲综合验收评估北师大版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
1、在等差数列{a n}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，那么3a9－a13的值为A、20B、30C、40D、50解析设公差为d，由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，a7＝20，得3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.答案 C2、(2017·天津){a n}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N＋，那么S10的值为A、－110B、－90C、90D、110解析∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.答案 D3、(2017·郑州第一次质检)等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4S8＝13，那么S8S16等于A.18 B.13C.19 D.310解析设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4，∵{a n}为等差数列，∴A1、A2、A3、A4也成等差数列，S4S 8＝A1A1＋A2＝13，不妨设A1＝1，那么A2＝2，A3＝3，A4＝4，S8S 16＝A1＋A2A1＋A2＋A3＋A4＝1＋21＋2＋3＋4＝310，应选D.答案 D4、等比数列{a n }的公比q ＜0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，那么{a n }的前2 010项和等于A 、2 010B 、－1C 、1D 、0 解析 由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ， 得q n ＋1＝q n ＋2q n －1，即q 2－q －2＝0，又q ＜0，解得q ＝－1，又a 2＝1，∴a 1＝－1，S 2 010＝－1×[11 2 010]11＝0.应选D. 答案 D5、(2017·江西)数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝A 、1B 、9C 、10D 、55 解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 答案 A6、数列{a n }中，a 2＝102，a n ＋1－a n ＝4n ，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 的最小项是 A 、第6项 B 、第7项 C 、第8项 D 、第9项解析 根据a n ＋1－a n ＝4n ，得a 2－a 1＝4，故a 1＝98，由于a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4×(n －1)＝98＋2n (n －1)，所以a n n ＝98n ＋2n －2≥2 98n ·2n －2＝26，当且仅当98n ＝2n ，即n ＝7时等号成立、应选B.答案 B【二】填空题7、(2017·湖南)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N ＋)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，那么S 5＝________.解析 设等差数列的公差为d .由a 1＝1，a 4＝7，得3d ＝a 4－a 1＝6，故d ＝2，∴a 5＝9，S 5＝5a 1＋a 52＝25. 答案 258、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 2＝6，S 4＝30，那么S 6＝________. 解析 在等比数列{a n }中S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，∵S 2＝6，S 4－S 2＝24，∴S 6－S 4＝2426＝96， ∴S 6＝S 4＋96＝126. 答案 1269、数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －a n ，那么数列{a n }的通项公式是________、解析 由于S n ＝2n －a n ，所以S n ＋1＝2(n ＋1)－a n ＋1，后式减去前式，得S n ＋1－S n ＝2－a n ＋1＋a n ，即a n ＋1＝12a n ＋1，变形为a n ＋1－2＝12(a n －2)，那么数列{a n －2}是以a 1－2为首项，12为公比的等比数列、又a 1＝2－a 1，即a 1＝1.那么a n －2＝(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 所以a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. 答案 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1【三】解答题10、等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，那么由得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8，∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设等比数列{b n }的公比为q ， 那么由得q ＋q 2＝a 4，∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 11－q n 1－q ＝11－2n1－2＝2n －1.11、(2017·大纲全国卷)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝∑k ＝1nb k ，证明：S n ＜1.解析 (1)由题设11－a n ＋1－11－a n ＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11－a n 是公差为1的等差数列，又11－a 1＝1，故11－a n ＝n .所以a n ＝1－1n . (2)证明 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n －1n ＋1，S n ＝∑k ＝1n b k ＝∑k ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1＜1.12、定义一种新运算*，满足n *k ＝n λk －1(n ，k ∈N ＋，λ为非零常数)、(1)对于任意给定的k 值，设a n ＝n *k (n ∈N ＋)，求证：数列{a n }是等差数列； (2)对于任意给定的n 值，设b k ＝n *k (k ∈N ＋)，求证：数列{b k }是等比数列； (3)设c n ＝n *n (n ∈N ＋)，试求数列{c n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明 ∵a n ＝n *k (n ∈N ＋)，n *k ＝n λk －1(n ，k ∈N ＋，λ为非零常数)、 ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)*k －n *k ＝(n ＋1)λk －1－n λk －1＝λk －1， 又k ∈N ＋，λ为非零常数，∴数列{a n }是等差数列、(2)证明 ∵b k ＝n *k (k ∈N ＋)，n *k ＝n λk －1(n ，k ∈N ＋，λ为非零常数)， ∴b k ＋1b k ＝n *k ＋1n *k＝n λk n λk －1＝λ， 又λ为非零常数，∴数列{b k }是等比数列、(3)由题知，c n ＝n *n ＝n λn －1(n ∈N ＋，λ为非零常数)， S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝λ0＋2λ＋3λ2＋…＋n λn －1，①当λ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12； 当λ≠1时，λS n ＝λ＋2λ2＋3λ3＋…＋n λn .②①－②得：S n ＝1－λn 1－λ2－n λn1－λ.综上得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧nn ＋12 λ＝11－λn1－λ2－n λn1－λλ≠1..精品资料。
2019高三数学(理)二轮练习试题：专项二第三讲综合验收评估北师大版
2019高三数学（理）二轮练习试题：专项二第三讲综合验收评估北师大版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
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考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
1、(2017·辽宁)向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，那么k＝A、－12B、－6C、6D、12解析由得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12.答案 D2、(2017·广东)向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)、假设λ为实数，(a ＋λb)∥c，那么λ＝A.14 B.12C、1D、2解析a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)－6＝0,解得λ＝1 2.答案 B3、(2017·东城模拟)如下图，在平面四边形ABCD中，假设AC＝3，BD＝2，那么(AB→＋DC→)·(AC→＋BD→)等于A、2B、3C、4D、5解析由于AB→＝AC→＋CB→，DC→＝DB→＋BC→，所以AB→＋DC→＝AC→＋CB→＋DB→＋BC→＝AC→－BD→.(AB→＋DC→)·(AC→＋BD→)＝(AC→－BD→)·(AC→＋BD→)＝AC→2－BD→2＝9－4＝5.答案 D4、(2017·辽宁)假设a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，那么|a＋b－c|的最大值为A.2－1 B、1C. 2 D、2解析由(a－c)·(b－c)≤0，a·b＝0，得a·c＋b·c≥c2＝1，∴(a＋b－c)2＝1＋1＋1－2(a·c＋b·c)≤1.∴|a ＋b －c |≤1. 答案 B5、在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，假设a ·(a ＋b )＜0，那么△ABC 是A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、无法判断其形状解析 由题意得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝－c ， a ·(a ＋b )＝AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＜0，所以∠A 为钝角，故△ABC 为钝角三角形、 答案 C6、向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|a －b |＝|b |，(a －c )·(b －c )＝0.假设对每一个确定的b ，|c |的最大值和最小值分别为m ，n ，那么对任意b ，m －n 的最小值是A.14B.12C.34 D 、1解析 把三个向量的起点放在同一点O ，如下图，根据几何意义，由|a－b |＝|b |，得△OAB 是等腰三角形，当(a －c )·(b －c )＝0时，(a －c )⊥(b －c )，故点C 在以AB 为直径的圆上，|c |的最大值m 和最小值n 的差就是这个圆的直径，只有当B ，E 重合时这个直径最短，即m －n 的最小值是12.答案 B【二】填空题7、(2017·江西)两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，假设向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，那么b 1·b 2＝________.解析 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，那么b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.答案 －68、(2017·江苏)e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.假设a ·b ＝0，那么实数k 的值为________、解析 a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k －2＋(1－2k )cos 2π3＝2k －52，∵a ·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝54.答案 549、(2017·天津)直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，那么|PA →＋3PB →|的最小值为________、解析 解法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如下图的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.解法二 设DP →＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →＝(1－x )DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.答案 5【三】解答题10、平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角、解析 因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a ·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a ·b ＝1， 又a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.11、θ为向量a 与b 的夹角，|a |＝2，|b |＝1，关于x 的一元二次方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根、(1)求θ的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2θ＋3的最值、解析 (1)由条件，可得|a |2＝4，a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝2cos θ，θ∈[0，π]，∵关于x 的一元二次方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，∴Δ＝|a |2－4a ·b ＝4(1－2cos θ)≥0，得cos θ≤12，解得θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.(2)f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2θ＋ 3 ＝sin 2θ－3(2cos 2θ－1)＝sin 2θ－3cos 2θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴2θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3∈[－1,1]，∴当θ＝5π12时，f (x )max ＝2；当θ＝11π12时，f (x )min ＝－2.12、向量m ＝(cos x ，－sin x )，n ＝(cos x ，sin x －23cos x )，x ∈R ，令f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求函数f (x )的值域、解析 (1)f (x )＝m ·n ＝cos 2x －sin x (sin x －23cos x )，＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵函数y ＝2sin x 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，∴2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π6≤2x ＋π6≤2π3， ∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2，∴函数f (x )的值域为[1,2]、 .精品资料。
2019高三数学(理)二轮练习试题：专项一第二讲综合验收评估北师大版
2019高三数学（理）二轮练习试题：专项一第二讲综合验收评估北师大版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
1、(2017·安徽)假设点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，那么以下点也在此图象上的是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B 、(10a,1－b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D 、(a 2,2b ) 解析 由题意b ＝lg a,2b ＝2lg a ＝lg a 2， 即(a 2,2b )也在函数y ＝lg x 图象上、 答案 D2、(2017·西城模拟)函数y ＝xsin x ，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是以下图象中的解析 因为y ＝xsin x ，x ∈(－π，0)∪(0，π)是偶函数，x ∈(0，π)时，x ＞sin x ，故C 正确、答案 C3、(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么A 、f (－25)＜f (11)＜f (80)B 、f (80)＜f (11)＜f (－25)C 、f (11)＜f (80)＜f (－25)D 、f (－25)＜f (80)＜f (11)解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )， 所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)， 又因为f (x )在R 上是奇函数， f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0， f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3) ＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数， 所以f (1)＞f (0)＝0，所以－f (1)＜0，即f (－25)＜f (80)＜f (11)，应选D. 答案 D4、(2017·山东)f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，那么函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A 、6B 、7C 、8D 、9 解析 ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数， 且0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，∴当0≤x ＜2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1. 由周期函数的性质知，当2≤x ＜4时，f (x )＝0有两个根， 即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ＜6时，f (x )＝0有两个根， 即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6也是f (x )＝0的根、故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7. 答案 B5、(2017·湖北)U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x ＞2，那么∁U P ＝A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C 、(0，＋∞)D 、(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}＝{y |y ＞0}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x ＞2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪0＜y ＜12，∴∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥12＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 A6、(2017·济南模拟)以下函数既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是A 、f (x )＝x 13 B 、f (x )＝－|x ＋1|C 、f (x )＝ln 2－x 2＋x (x ≠2)D 、f (x )＝12(a x ＋a －x ) 解析 在C 中f (x )的定义域为(－2,2)，又f (－x )＝ln 2＋x 2－x ＝－ln 2－x2＋x ＝－f (x )，又f (x )＝ln 2－x 2＋x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋x －1是减函数，所以C 正确、答案 C【二】填空题7、(2017·北京)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≥2，x －13， x ＜2.假设关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________、解析 画出分段函数f (x )的图象如下图，结合图象可以看出，假设f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)、答案 (0,1)8、函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，假设f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，那么n ＋m ＝________.解析 由得m ＝1n ，0＜m ＜1，n ＞1，∴[m 2，n ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2，n ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 21n 2＝2|log 2n |＝2f (n )、∴f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＝2f (n )、∴2|log 2n |＝2，∵n ＞1，∴n ＝2.m ＝12.故n ＋m ＝52.答案 529、(2017·上海)设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，假设函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，那么f (x )在区间[－10,10]上的值域为________、解析 设x 1∈[3,4]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]、 ∵g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，∴当x 2∈[4,5]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1＋1)∈[－1,6]； x 3∈[5,6]时，f (x 3)＝f (x 1＋2) ＝x 1＋2＋g (x 1＋2)∈[0,7]； …；x 7∈[9,10]时，f (x 7)＝f (x 1＋6)＝x 1＋6＋g (x 1＋6)∈[4,11]、 同理，当x ∈[－10，－9]时，f (x )＝f (x 1－13)＝x 1－13＋g (x 1－13)∈[－15，－8]、综上分析知，当x∈[－10,10]时，函数的值域为[－15,11]、答案[－15,11]【三】解答题10、函数f(x)＝x2－2ax＋3a2－1(a＞0,0≤x≤1)，求函数f(x)的最大值和最小值、解析f(x)＝x2－2ax＋3a2－1＝(x－a)2＋2a2－1，由a＞0知，当a≥1时，由于f(x)在[0,1]上是减函数，故f(x)的最大值为f(0)＝3a2－1，最小值为f(1)＝3a2－2a；当0＜a＜1时，f(x)的最小值为f(a)＝2a2－1，f(x)的最大值为f(0)，f(1)中的较大者、假设f(0)＜f(1)，那么3a2－1＜3a2－2a，解得a＜12，所以当0＜a＜12时，f(x)的最大值为f(1)＝3a2－2a；当12≤a＜1时，f(x)的最大值为f(0)＝3a2－1.11、函数f(x)＝e x－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)、(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？假设存在，求出t；假设不存在，请说明理由、解析(1)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数、由于f′(x)＝e x＋e－x＞0恒成立，所以f(x)是R上的增函数、(2)不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0可化为f(x－t)≥－f(x2－t2)，即f(x－t)≥f(－x2＋t2)，又f(x)是R上的增函数，所以上式等价于x－t≥－x2＋t2，即x2＋x－t2－t≥0恒成立，故有Δ＝1－4(－t2－t)≤0，即(2t＋1)2≤0，所以t＝－1 2.综上所述，存在t＝－1 2，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立、12、(2017·大连模拟)假设定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且当x＞0时，f(x)＞1.(1)求证：f(x)－1为奇函数；(2)求证：f(x)是R上的增函数；(3)假设f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.解析(1)证明∵定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立、令x 1＝x 2＝0，那么f (0＋0)＝f (0)＋f (0)－1，即f (0)＝1. 令x 1＝x ，x 2＝－x ，f (x －x )＝f (x )＋f (－x )－1，∴[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0， ∴f (x )－1为奇函数、(2)证明 ∵由(1)，知f (x )－1为奇函数， ∴f (x )－1＝－[f (－x )－1]、任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，那么x 2－x 1＞0， ∵f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1， ∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)－1＝f (x 2)－[f (x 1)－1]＝f (x 2)－f (x 1)＋1， ∵当x ＞0时，f (x )＞1，∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)＋1＞1， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )是R 上的增函数、(3)∵f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1，且f (4)＝5， ∴f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，即f (2)＝3， 由不等式f (3m 2－m －2)＜3， 得f (3m 2－m －2)＜f (2)、由(2)，知f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2＜2，即3m 2－m －4＜0，那么－1＜m ＜43，∴不等式f (3m 2－m －2)＜3的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43..精品资料。
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一、选择题 1．不等式
x －2
x ＋1
≤0的解集是 A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
D ．(－1,2]
解析 原不等式等价于(x －2)(x ＋1)≤0且x ≠－1，解得{x |－1＜x ≤2}． 答案 D
2．(2011·兰州模拟)若b ＜a ＜0，则下列不等式中正确的是 A.1a ＞1b
B ．|a |＞|b |
C.b a ＋a b
＞2
D ．a ＋b ＞ab
解析 1a －1b ＝b －a ab
＜0，A 选项错；
b ＜a ＜0⇒－b ＞－a ＞0⇒|b |＞|a |，B 选项错； b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
a b ≥2， 由于b a ≠a b
，所以等号不成立，C 选项正确；
a ＋
b ＜0且ab ＞0，D 选项错．故选C.
答案 C
3．(2011·滨州模拟)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥0x －y ＋4≥0
x ≤a
(a 为常数)表示
的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为
A ．32＋2
B ．－32＋2
C ．－5
D ．1
解析 作出可行域，可得平面区域的面积S ＝12(a ＋2)·2(a ＋2)＝(a ＋2)2
＝9，
由题意可知a ＞0，∴a ＝1. 答案 D
4．设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x
－3a x
＋3)，则使f (x )＞0的x 的取值范围是 A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(log a 2,0)
D ．(log a 2，＋∞)
解析 根据题意可得0＜a 2x
－3a x
＋3＜1， 令t ＝a x ，即0＜t 2
－3t ＋3＜1， 因为Δ＝(－3)2
－4×3＝－3＜0， 故t 2
－3t ＋3＞0恒成立， 只要解不等式t 2
－3t ＋3＜1即可， 即解不等式t 2
－3t ＋2＜0，解得1＜t ＜2，
即1＜a x
＜2，取以a 为底的对数，根据对数函数性质得log a 2＜x ＜0.故选C. 答案 C
5．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤2，
y ≤2，
x ≤2y
给
定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为
A ．4 2
B ．3 2
C ．4
D ．3
解析 由线性约束条件⎩⎨⎧
0≤x ≤2，
y ≤2，
x ≤2y
画出可行域如图所示，目标函数z ＝OM →·OA →
＝
2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.
答案 C
6．若x ，y 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝
2
2
时取等号． 答案 D 二、填空题
7．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则
a ＋b
2
cd
的
最小值是________．
解析 ∵
a ＋b
2
cd
＝
x ＋y 2
xy
≥
xy 2
xy
＝4.
答案 4
8．(2011·陕西)如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．
解析 令b ＝2x －y ，则y ＝2x －b ，如图所示，作斜率为2的平行线y ＝2x －b ， 当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，此时b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1.
答案 1
9．(2011·浙江)若实数x ，y 满足x 2
＋y 2
＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 解析 由x 2
＋y 2
＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋
x ＋y
2
4
，
解得－233≤x ＋y ≤233，
∴x ＋y 的最大值为23
3.
答案
23
3
三、解答题
10．设命题p ：f (x )＝
2x －m
在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2
－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2
＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立．若綈p ∧q 为真，试求实数m 的取值范围．
解析 对于命题p 有x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，则命题p ：m ≤1. 对于命题q 有|x 1－x 2|＝
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝a 2
＋8≤3，
则m 2
＋5m －3≥3，即m 2
＋5m －6≥0， 解得m ≥1或m ≤－6.
若綈p ∧q 为真，则p 为假且q 为真，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＞1m ≥1或m ≤－6
，故m ＞1.
11．(2011·安徽)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1
y
＋xy ；
(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .
证明 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y
＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2
.
将上式中的右式减左式，得
[y ＋x ＋(xy )2
]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2
－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．
由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．
(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1
xy ，
log b a ＝1x
，log c b ＝1
y
，log a c ＝xy .
于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1
y
＋xy .
又由于1＜a ≤b ≤c ，所以x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．
12．(2011·北京)已知函数f (x )＝(x －k )2
e x k
. (1)求f (x )的单调区间；
(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1
e ，求k 的取值范围．
解析 (1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e x
k
.
令f ′(x )＝0，得x ＝±k .
当k ＞0时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：
↗
↘
↗
当k ＜0时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：
↘
↗
↘
(2)当k ＞0时，因为f (k ＋1)＝1e
k k
+＞1e
， 所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1
e
.
当k ＜0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f (－k )＝4k
2
e .
所以∀x ∈(0，＋∞)，
f (x )≤1e 等价于f (－k )＝4k 2
e ≤1e ，
解得－1
2
≤k ＜0.
故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.。