线性代数课程中“逆矩阵”的教学设计与思考

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矩阵的运算与逆矩阵的教学备课与方法总结

矩阵的运算与逆矩阵的教学备课与方法总结矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在许多领域都有广泛的应用。

因此，在教学矩阵运算和逆矩阵的过程中，备课的重要性不可忽视。

本文将总结并分享一些教学备课与方法，以便教师能够更好地讲解矩阵的运算与逆矩阵的概念和相关知识。

一、备课准备在备课之前，教师应该对矩阵的定义、矩阵的基本运算和逆矩阵的概念有充分的理解。

同时，还需要准备一些例题和练习题，以便在课堂上进行演示和辅导。

1. 确定教学目标：在备课过程中，教师需要明确教学目标，即学生要通过本节课学到什么知识和技能。

例如，学习矩阵的基本运算规则、逆矩阵的定义和性质等。

2. 确定教学内容：在矩阵运算方面，教师可以选择讲解矩阵的加法、减法和数乘运算规则，并给出相关例题进行演示。

在逆矩阵方面，教师可以介绍逆矩阵的定义、存在条件以及求逆的方法等。

3. 准备教具：教师可以准备一些幻灯片或黑板演示，以便呈现矩阵的运算和逆矩阵的求解过程。

此外，还可以准备一些习题和实例，供学生在课后练习。

二、教学方法矩阵运算和逆矩阵的理解和掌握需要灵活运用不同的教学方法，以满足不同学生的学习需求。

以下是一些常用的教学方法建议：1. 讲解法：教师可以通过准备好的教具和实例，结合详细的解说，向学生讲解矩阵的运算和逆矩阵的求解过程。

在讲解过程中，可以引导学生注意一些常见的错误和易混淆的点，并给予解释和示范。

2. 案例分析法：教师可以选取一些实际应用案例，例如线性方程组的求解、图形变换等，通过案例分析的方式引导学生理解和应用矩阵的运算和逆矩阵概念。

在分析过程中，可以与学生一起讨论思路和解题方法，激发他们的思考和探索能力。

3. 小组合作学习法：将学生分成小组，让他们互相合作、讨论和解决一些矩阵运算和逆矩阵相关的问题。

通过小组合作学习，学生能够充分发挥他们的才智和团队合作精神，提高矩阵运算和逆矩阵的理解和应用能力。

4. 实践应用法：教师可以为学生提供一些仿真或实际的应用场景，如编程、数据分析等。

人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计

人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计一、课程设计说明1.1 课程设计背景逆变换和逆矩阵是高中数学中的重要概念之一，是线性代数的基础知识。

逆变换和逆矩阵在工程、物理、经济等领域中有广泛的应用。

在高中数学选修课程中，逆变换和逆矩阵是必须掌握的知识点之一。

1.2 设计目标本课程设计旨在通过理论讲解、模型建立和题型讲解等多种方式，使学生掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点，培养学生运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。

1.3 设计内容本课程设计分为以下三个部分：1.逆变换的基本概念和性质2.矩阵的逆3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题二、课程设计实施计划2.1 教学目标在完成本课程设计后，学生应达到以下目标：1.掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点。

2.熟练掌握求解矩阵的逆的方法。

3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。

2.2 教学计划本课程设计分为以下三个部分：2.2.1 逆变换的基本概念和性质•介绍逆变换的定义和性质。

•介绍逆变换的求解方法。

•练习选择题和填空题。

2.2.2 矩阵的逆•介绍矩阵的逆的定义和性质。

•介绍求解矩阵的逆的方法。

•练习选择题和填空题。

2.2.3 运用逆变换和逆矩阵解决实际问题•给出具体的实际问题。

•引导学生将实际问题转化为数学问题。

•通过逆变换和逆矩阵求解实际问题。

•练习计算题。

三、教学方法3.1 教学理念本课程设计采用启发式教学法，注重知识的系统性、普遍性和实际性。

以应用为导向，以培养学生的数学思维能力和创新能力和发展学生综合实践能力为目标。

3.2 实施方式•讲授：采用板书、幻灯片等方式进行理论讲解。

•练习：采用大量的习题和例题进行练习巩固。

•互动：采用问答、讨论等方式提高学生的参与度。

四、考核方式4.1 考核方式以期中期末为主要考核方式，包含选择题、填空题、计算题等多个类型的考试题目。

比例约为30%的总课时。

4.2 考核标准根据学生的学习成果和教学要求，采用标准答案和量化评价相结合的方式，确保考核公正、透明、科学。

矩阵的逆矩阵教案

矩阵的逆矩阵教案一、引言矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

在矩阵的运算中，逆矩阵是一个关键概念。

本教案旨在通过清晰的解释与实例演示，帮助学生理解和掌握矩阵的逆矩阵。

二、基础知识回顾在开始学习矩阵的逆矩阵之前，我们首先需要回顾一些基础知识。

1. 矩阵的定义矩阵是由$m$行$n$列元素排列成的矩形数表，其中每个元素都有自己的位置。

我们通常用大写字母表示矩阵，如$A$。

2. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。

两个矩阵必须具有相同的阶数才能进行加法和减法运算。

矩阵的数乘即是将矩阵的每一个元素与一个标量相乘。

3. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

我们通常用$A^T$表示矩阵$A$的转置。

4. 单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵。

我们通常用$I$表示单位矩阵。

5. 方阵与可逆矩阵方阵指行数和列数相等的矩阵。

可逆矩阵是方阵中的一种特殊矩阵，存在一个相应的逆矩阵，其乘积为单位矩阵。

三、逆矩阵的定义与性质1. 逆矩阵的定义对于一个$n$阶方阵$A$，如果存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$A$是可逆的，并称$B$为$A$的逆矩阵。

逆矩阵的记号为$A^{-1}$。

2. 逆矩阵的唯一性如果$A$存在逆矩阵$A^{-1}$，那么$A^{-1}$是唯一的。

3. 矩阵与逆矩阵的相乘若$A$是一个可逆矩阵，$B$是任意一个与$A$行数相同的矩阵，则有$AB=I$和$BA=I$。

四、矩阵的逆矩阵求解方法1. 行列式法求解逆矩阵通过行列式法可以求解$n$阶方阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$，其中行列式$|A|\neq 0$。

2. 元素法求解逆矩阵通过增广矩阵的方法，可以将方阵$A$与单位矩阵$I$进行行初等变换，得到一个增广矩阵，其中方阵部分为单位矩阵，若能将$A$化为单位矩阵，则增广矩阵右侧部分即为$A^{-1}$。

3. 矩阵的初等行变换法求解逆矩阵通过将$n$阶方阵$[A|I]$进行一系列的初等行变换，可以将$A$化为单位矩阵，此时$[I|B]$即为$A^{-1}$。

基于案例的逆矩阵教学设计探索

基于案例的逆矩阵教学设计探索作者：蔡磊来源：《科教导刊·电子版》2018年第24期摘要传统的线性代数教学设计主要采用重理论讲解的思路方法，没有体现出线性代数的实用性。

本文基于案例进行逆矩阵的教学设计，提高了学员的学习积极性，培养了他们应用数学知识分析问题和解决问题的能力。

关键词逆矩阵案例教学设计中图分类号：O151.21 文献标识码：A0引言线性代数是武警院校开设的一门重要的数学基础课程，这门课具有较强的逻辑性、抽象性。

传统的教学设计主要采用概念的讲解、定理的证明、例题的计算的思路方法，没有体现出线性代数的实用性，学员在学习的过程中感觉枯燥、抽象，慢慢地失去了学习的兴趣，最终导致考试通过率较低。

因此，如何使学员更有效地学好这门课，就需要基于案例进行课程的教学设计。

通过引入相关案例，引导学员把案例与有关理论相结合，运用有关理论知识对案例进行分析，解决案例中的问题。

通过解决实际问题，加深他们对理论知识的理解与掌握。

以下是基于案例的逆矩阵教学设计。

1逆矩阵的教学设计1.1案例引入1.4思考讨论（1）逆矩阵还有哪些方面的应用？（2）若矩阵可逆，可逆吗？1.5小结（1）逆矩阵的定义；（2）逆矩阵的求解方法。

2结束语在武警院校线性代数的教学中，授课教员一方面要加强专业知识的学习，另一方面还要搜集相关问题的实际案例，在课堂教学中引入设计好的案例，结合案例进行教学，能够提高他们的学习兴趣，培养他们应用数学知识分析问题和解决问题的能力。

参考文献[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.[2] 熊小兵.可逆矩阵在保密通讯中的应用[J].大学数学，2007，23（03）：108-111.。

基于boppps教学模式下的线性代数微课教学设计——以“逆矩阵”为例

引导通
式AB=BA=E自主：(1)矩
阵与其逆矩阵乘法交换律,但是一般矩阵的相乘 i
交换律.(2)矩阵A的形状，即A的列数和行数.从而
如果一个矩阵可逆，这个矩阵是方阵.教师再进行
数学学习与研究2020. 7
高教视野
• GAOJIAO SHIYE
*
反问，是方阵都是可逆矩阵.举出反例,最后得到结论，矩
感能的培养.
!关键词】BOPPPS"教学模式；线性代数；教学设计
BCD 当“
数课程的教式已经脱离了传统的_
式，
加了多教学，而且还有 (MOOC)等形
式，但是仍存在问题：(1) 对创造性思维的培
养.在教程中，教师一般是先直接给出定理，
行
谨的推导，最给出相关例题和习题.但在此过程中
忽略了对学生创造思维的培养.(2)缺少前沿知识的普及，
矩阵的 .
(四) 参与式学习(Participatory Learning) 特色设计
本阶段采用多种教学方法相结合的方式进行课程，
，包讲授法、讨法、直示法、练习法、自主习
法、任务驱动法等.具体分为以下6个教学点.
1.逆矩阵的定义:对矩阵 A，如果存在矩阵&，使得
AB=BA=E，I A为可逆矩阵，并称&为A的逆矩阵.
，目前经有教师者对基于BOPPPS教式下的高
数
教
行研究［1-4］，但是基于BOPPPS教学
式下的线性代数教
的论文还未公
.本
文以“逆矩阵”为例，对基于BOPPPS教学模式下的线性代
数微课教
行研究，力求解决上述问题.
二、 BOPPPS教学模式概述
BOPPPS 教式是由加拿大 ISW( Instructional Skill

逆矩阵说课教学设计

逆矩阵说课教学设计一、教学目标：1. 知识目标：了解逆矩阵的概念与性质，并能够运用逆矩阵求解线性方程组。

2. 能力目标：能够正确判断矩阵是否可逆，掌握逆矩阵的求解方法，并能够灵活运用逆矩阵解决实际问题。

3. 情感目标：培养学生对于矩阵运算的兴趣，增强学生的数学抽象思维能力和问题解决能力。

二、教学内容：逆矩阵：1. 逆矩阵的定义及性质；2. 如何判断一个矩阵是否可逆；3. 逆矩阵的求解方法。

三、教学重点：逆矩阵的定义及性质，以及矩阵可逆的判断。

四、教学难点：逆矩阵的求解方法，以及运用逆矩阵解决实际问题。

五、教学过程：步骤一：导入新知1. 引入：根据教材给出的案例，引导学生思考如何解决线性方程组问题。

2. 导入：通过实际生活中的问题，让学生感受到线性方程组的重要性，并引出逆矩阵的概念。

步骤二：理论讲解1. 定义与性质：介绍逆矩阵的定义，以及逆矩阵的运算性质，包括逆矩阵与原矩阵相乘等。

2. 如何判断一个矩阵是否可逆：通过教材中的练习题，演示如何判断一个矩阵是否可逆，引导学生掌握判断方法。

3. 逆矩阵的求解方法：详细介绍矩阵求逆的方法，包括伴随矩阵法、初等行变换法等。

步骤三：例题演练1. 解决实际问题：通过具体生活案例，引导学生运用逆矩阵解决实际问题。

2. 练习题讲解：选取一些典型的练习题，引导学生通过矩阵求逆解决问题，同时讲解解题过程。

步骤四：拓展延伸1. 数学扩展：通过介绍逆矩阵在其他数学领域中的应用，如线性变换、概率统计等，引发学生对逆矩阵的进一步思考和学习兴趣。

2. 实际应用：介绍逆矩阵在工程、经济学等领域的应用，让学生认识到逆矩阵的实际用途和重要性。

六、教学设计理念：本节课的教学设计以问题驱动的方式进行，通过引入实际生活案例，让学生认识到逆矩阵的实际应用场景，并从中引发学生的学习兴趣。

在理论讲解环节，采用简洁明了的语言，结合案例和练习题，让学生逐步掌握逆矩阵的定义、性质与求解方法。

在实际问题解决环节，通过具体问题的讨论与分析，引导学生运用逆矩阵解决实际问题，培养学生的问题解决能力。

高中数学教案学习矩阵的逆

高中数学教案学习矩阵的逆高中数学教案：学习矩阵的逆一、引言矩阵是高中数学中的重要概念之一，它在数学和其他学科中起到了重要的作用。

在学习矩阵的过程中，一个关键的概念是矩阵的逆。

本教案将详细介绍矩阵的逆以及它在求解线性方程组和线性变换中的应用。

通过本教案的学习，学生将能够熟练地应用矩阵的逆来解决相关的问题。

二、理论部分1. 矩阵的逆的定义在数学中，如果一个n x n矩阵A乘以一个n x n矩阵B，得到的结果是单位矩阵I，那么B就是A的逆矩阵，记作A-1。

即：AB = BA = I。

2. 矩阵逆的存在性只有方阵（即行数和列数相同的矩阵）才有可能存在逆矩阵。

对于一个方阵A，当且仅当它的行列式（det A）不等于0时，A才存在逆矩阵。

否则，A被称为奇异矩阵，无逆矩阵。

3. 求解矩阵的逆为了求解一个矩阵的逆，我们可以利用伴随矩阵和行列式的关系来简化计算。

具体的步骤如下：（1）计算矩阵A的行列式det A。

（2）如果det A = 0，则A是奇异矩阵，无逆矩阵。

（3）如果det A ≠ 0，则计算矩阵A的伴随矩阵adj A。

（4）矩阵A的逆矩阵A-1等于adj A除以det A。

4. 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下性质：（1）（A-1）-1 = A（2）(AB)-1 = B-1A-1（3）(AT)-1 = (A-1)T三、应用部分1. 解线性方程组逆矩阵可以用来解决线性方程组。

考虑一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n x n非奇异矩阵，x和b分别是n维列向量。

通过矩阵的逆，我们可以将方程组表示为x = A-1b。

2. 线性变换逆矩阵也在线性变换中起着重要作用。

给定一个线性变换T：Rn → Rn，如果存在逆变换T-1使得T(T-1(x)) = x对所有的向量x成立，那么T是可逆的。

我们可以通过计算其矩阵的逆来确定线性变换的可逆性。

四、实践部分在本部分，学生将通过训练来巩固他们对矩阵逆的理解。

建议包括以下实践内容：1. 计算方阵的逆矩阵：给出一些方阵，要求学生计算其逆矩阵，并验证结果是否正确。

逆矩阵的教学设计

大学University 2021年第19期基金项目:山西省教育科学十三五规划2020年度“互联网+”教育研究专项课题“服务人工智能专业发展的大学数学课程体系建设研究”（课题编号：HLW-20145）；2020年山西省省级教学改革项目“基于人工智能专业需求的大学数学教学改革与实践”（项目编号：J2020417）。

作者简介:闫伟文（1986—），女，硕士，山西工商学院计算机信息工程学院讲师，研究方向：复分析应用；白庆月（1987—），女，硕士，山西工商学院计算机信息工程学院讲师，研究方向：计算几何、计算机图形学。

逆矩阵的教学设计闫伟文，白庆月（山西工商学院计算机信息工程学院，山西太原030006）摘要：线性代数作为代数学的分支，具有重要的理论和实际应用价值。

矩阵是研究线性代数的重要工具，矩阵中的逆矩阵在求解线性方程组中起着举足轻重的作用。

逆矩阵既是线性代数的教学重点，又是教学难点。

本文从理论与实践两个角度探讨逆矩阵的教学设计，以此达到提高学生数学应用能力的目的。

关键词：线性代数；逆矩阵；线性方程组；教学设计中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1673-7164（2021）19-0068-04线性代数是我国高校经管、理工类各专业的一门公共必修基础课，在经济学、计算机技术、人工智能等多领域有着广泛的应用。

该课程内容丰富、概念抽象、公式繁杂、知识点之间联系紧密，学生学习难度较大，培养学生的逻辑思维能力，运用数学思维分析问题、解决问题的能力。

该课程中逆矩阵是求解矩阵方程即线性方程组的重要工具，而线性方程组是线性代数的教学主线，贯穿该课程的始终[1]。

因此做好逆矩阵的教学设计十分必要。

线性代数提供了一种数学思想方法及素养的范式[2]。

本文从理论与实践两个角度探讨逆矩阵的教学设计。

一、从理论角度———数学的思想方法设计目前多数应用型本科高校使用的线性代数教材是吴赣昌主编的《线性代数》（简明版第五版）[3]。

人教版高中选修(B版)4-22.1逆矩阵教学设计

人教版高中选修(B版)4-22.1逆矩阵教学设计一、教学目标1.了解逆矩阵的定义与基本性质，能够列举和应用逆矩阵的四条性质。

2.掌握计算逆矩阵的方法，能够计算2阶、3阶方阵的逆矩阵。

3.理解逆矩阵在线性方程组求解中的应用，能够应用逆矩阵解决实际问题。

二、教学重难点1.教学重点：逆矩阵的定义、计算方法、应用。

2.教学难点：逆矩阵的四条性质证明、高阶矩阵求逆。

三、教学内容及安排教学内容教学安排教具与工具逆矩阵的定义1课时PPT、板书逆矩阵的四条性质1课时PPT、板书计算2阶方阵的逆矩阵2课时PPT、板书计算3阶方阵的逆矩阵2课时PPT、板书逆矩阵在线性方程组中的应用2课时PPT、板书、实例四、教学方法1.通过PPT和板书相结合的方式，对逆矩阵的定义、基本性质、计算方法、应用进行简单明了的讲解；2.针对逆矩阵的四条性质和高阶矩阵求逆这两个难点，采用引导式讲解，并通过实例进行演示和讲解；3.针对逆矩阵在线性方程组求解中的应用，采用讲解和实例相结合的方式进行教学。

五、教学评价1.以课堂测试的形式检测学生对于逆矩阵定义、计算方法以及应用能力的掌握程度；2.设置小组讨论环节，检测学生逆矩阵四条性质和高阶矩阵求逆难点的掌握情况；3.布置课后作业，巩固学生逆矩阵的基本知识和应用能力，例如编程实现逆矩阵计算。

六、教学反思在教学过程中，结合实际问题的应用可以提高学生的学习兴趣；而在难点的部分，需要更加深入浅出的讲解和引导，避免学生产生“畏惧矩阵”的心理。

此外，合理分配教学时长，掌握好难度和重难点部分的讲解，也是提高教学效果的重要保证。

逆矩阵课程思政教学设计(一)

逆矩阵课程思政教学设计(一)逆矩阵课程思政教学设计一、课程简介•课程名称：逆矩阵课程思政•课程类型：专业思政课•教学对象：高等教育阶段的学生•课程目标：通过学习逆矩阵的概念、性质和求解方法，培养学生思考问题的能力、分析问题的能力和解决实际问题的能力，同时引导学生树立正确的思想观念和价值观念。

二、教学内容1. 逆矩阵的概念•逆矩阵的定义•逆矩阵的性质2. 逆矩阵的求解方法2.1 行列式法•行列式法的原理•行列式法的步骤•示例演练2.2 公式法•公式法的原理•公式法的步骤•示例演练3. 逆矩阵的应用•逆矩阵与线性方程组的关系•逆矩阵在线性变换中的应用•逆矩阵在工程问题中的应用三、教学方法•理论授课：通过讲解和示例演练，介绍逆矩阵的相关概念、性质和求解方法。

•实践操作：组织学生进行逆矩阵的计算实践，加深对知识的理解和掌握。

•小组讨论：引导学生进行小组讨论，探讨逆矩阵在实际问题中的应用。

四、教学评估1. 平时表现评估•课堂参与度•作业完成情况•实践操作能力2. 学习成果评估•期中考试•期末考试•实践项目报告五、教学资源•教材：《线性代数》（第三版），作者：Howard Anton•参考书：《线性代数及其应用》（第四版），作者：Gilbert Strang•多媒体资源：幻灯片、课件、学习视频等六、教学安排•总课时：36学时•上课方式：理论授课+实践操作+小组讨论•教学进度安排：课时 | 内容 | 教学方法 ||——||| | 1-2 | 逆矩阵的概念和性质 | 理论授课 | | 3-4 | 逆矩阵的求解方法（行列式法） | 理论授课+实践操作 | | 5-6 | 逆矩阵的求解方法（公式法） | 理论授课+实践操作 | | 7-8 | 逆矩阵的应用 | 理论授课 | | 9-10 | 学生小组讨论 | 小组讨论 | | 11-12| 复习 | 课堂练习 | | 13-14| 期中考试 | 考试 | | 15-16| 逆矩阵的应用续 | 理论授课 | | 17-18| 学生小组讨论 | 小组讨论 || 19-20| 实践操作 | 实践操作 | | 21-22| 逆矩阵的应用案例分析| 理论授课+小组讨论 | | 23-24| 复习 | 课堂练习 | | 25-26| 期末考试 | 考试 | | 27-36| 学生论文报告及总结 | 实践项目报告 |七、参考资料1.Howard Anton. (2005). 线性代数. 清华大学出版社.2.Gilbert Strang. (2005). 线性代数及其应用. 机械工业出版社.八、教学实施1. 教学准备•准备相应的教材、课件和多媒体资源•设计教学讲义和实践操作指南•准备实践操作所需的计算工具和软件2. 理论授课•在第一二课时，向学生介绍逆矩阵的概念和性质，引导学生理解逆矩阵在代数运算和线性方程组求解中的重要作用。

《线性代数》课程思政教学设计的两个案例

尝试设计一种运输方案，给三市配送物资．
解：设河南、河北、湖南、广东分别运送ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４次，
则有：
提出完整的解法法则．《九章算术》是世界上最早记录完整
ìï２ｘ１＋４ｘ４＝４０，
ï
íｘ１＋９ｘ２＋５ｘ３＋６ｘ４＝２１１，
ïï
î２ｘ１＋ｘ３＋８ｘ４＝８０．
ìïｘ１＝－２ｘ４＋２０，
ï
１６
í ｘ２＝９ｘ４－１，
ï
ï ｘ３＝－４ｘ４＋４０．
î
æ －２ｃ＋２０ ö
æ －２ ö
æ ｘ１ ö
２０
÷ ç １６ ÷ æ ö
ç ÷ ç １６
ç
÷
ｘ
ç ２ ÷ ç ｃ－１ ÷ ç ９ ÷ ç －１ ÷
取ｘ４＝ｃ，ｘ＝ ç ÷ ＝ ç ９
（ｃ∈Ｒ）．
合实际问题设计案例，这样不仅可以让学生看到线性代数
【参考文献】
［１］王翠芳．混合教学模式下线性代数课程改革探索
［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（２１）：３０－３１，３３．
［２］肇慧，范广慧，张宏蕃，王晓丹．《线性代数》课程线
下教学与网络线上教学相结合的研究与实践［Ｊ］．科技创新
究与实践专项项目（ＪＸＹＪ－Ｋ２０１９４２），河南工业大学２０２０－
密文：
加密矩阵：
æ ２２５２５ ö
æ ０１０ö
ç
÷
ç
÷
Ｂ＝９１２１５
Ａ＝１００
çç
÷÷
çç
÷÷
è １５２１０ ø
è００１ø
约定：
２０２１年理学院高等教育教学改革项目．

《2.1.1 逆矩阵的定义》教案2

《2.1.1 逆矩阵的定义》教案2教学目标会证明逆矩阵的唯一性和111)(---=A B AB 等简单性质，并了解其在变换中的意义；教学重难点1、能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义；2、会用系数矩阵的逆矩阵解方程组；3、会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。

教学过程在前面，我们看到矩阵的运算性形式上有些类似于数的地方。

比如零矩阵n m O ⨯在矩阵的加法中与数0在数的加法中有类似的性质：n m n m n m A O A ⨯⨯⨯=+；单位矩阵n I 在矩阵的乘法中与数1在数的乘法中有类似的性质：n m n n m A I A ⨯⨯=，n m n m m A A I ⨯⨯=。

而在数的乘法中，对于任何一个数0≠a 有所谓它的倒数1-a 存在，适合111==--a a aa 。

下面我们在矩阵的范围中引进起到类似作用的所谓逆矩阵的概念。

对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得I BA AB ==则称矩阵A 为可逆矩阵，而称矩阵B 为A 的逆矩阵。

如果A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的。

事实上，如果B 和C 都是A 的逆矩阵，则有I BA AB ==，I CA AC ==那么C IC C BA AC B BI B =====)()(即 C B =。

我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1-A ，读作A 的逆。

注意，1-A 不能读作A 的负一次方，同时由于我们没有定义过矩阵的除法，1-A 也不能看作A1。

1．伴随矩阵求逆法若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称矩阵A 为非奇异的或非退化的。

n 阶矩阵()ij a A =为可逆的充分必要条件是A 为非奇异的，而且*-=A AA 11 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*nn nn n n A A AA A A A A A A ΛM O M M ΛΛ212221212111 称为A 的伴随矩阵，ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式。

关于矩阵求逆的教学设计

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１１７关于矩阵求逆的教学设计关于矩阵求逆的教学设计Һ田贵月㊀李晓玲㊀（北京交通大学海滨学院，河北㊀沧州㊀０６１１９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文是基于ＴＰＡＣＫ理论，结合线性代数中逆矩阵在密码学中的应用的教学设计．教师可联系现实生活中的例子通过设置问题，学习新知，分析问题，解决问题等教学环节，调动学生探究新知识的积极性，并且使学生切身体会到生活中的数学．ʌ关键词ɔＴＰＡＣＫ；逆矩阵；教学设计ʌ基金项目ɔ（项目名称北京交通大学海滨学院校级教改项目‘ 互联网＋背景下基于ＴＰＡＣＫ模型的大学数学教学模式设计与实践“）（项目编号ＨＢＪＹ１９０１３）ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌＰｅｄａｇｏｇｉｃａｌＣｏｎｔｅｎｔＫｎｏｗｌｅｄｇｅ缩写为ＴＰＡＣＫ，意思是整合技术的学科教学知识．由美国学者科勒和米什拉在教学知识ＰＣＫ的基础上提出的．从２００５年开始，国内外学者对ＴＰＡＣＫ展开了大量的理论和实践研究，通过研究，大家一致认为对于ＴＰＡＣＫ的研究将有利于提高教师掌握和运用信息技术的能力．教师的ＴＰＡＣＫ能力是未来教师必备的能力．ＴＰＡＣＫ框架包含三个核心要素，即学科内容知识（ＣＫ）㊁教学法知识（ＰＫ）和技术知识（ＴＫ）；四个复合要素，即学科教学知识（ＰＣＫ）㊁整合技术的学科内容知识（ＴＣＫ）㊁整合技术的教学法知识（ＴＰＫ）㊁整合技术的学科教学知识（ＴＰＡＣＫ）．ＴＰＡＣＫ是教师应当具备㊁且必须具备的全新知识，它的贯彻㊁实施离不开教师，所以在推广㊁应用ＴＰＡＣＫ过程中，必须强调教师是教学改革的积极参与者，课堂教学的设计者㊁实施者；在教学过程中教师应起到引导和监控作用．这种观点对教师教育和教师专业发展具有重要指导意义．线性代数是代数的基础，并且在计算机图形学㊁计算机辅助设计㊁密码学㊁虚拟现实等技术中无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分．接下来基于ＴＰＡＣＫ理论从应用的角度给出关于矩阵求逆的教学设计．一㊁创设问题情境，精心设疑（设计课堂开始，利用多媒体播放了一个手机短信来电的声音，一是可以引起学生对于将要学习内容的注意；二是为后文的引入做铺垫．）师：刚刚的铃声是老师向同学们发的一条秘密信息，这条信息到底是什么呢？下面我们一同去揭开这条秘密信息的真实面目．其实，现如今我们的生活已经离不开网络．网络的不断的发展和创新让我们对于生活的方方面面都有了前所未有的体验感．举一个简单的例子手机支付，说到手机支付我们就不得不关心这其中的安全性．我们都不希望输入到支付平台的密码被泄漏．那么，为了保护信息，平台一般要对需要传输的信息（密码）进行加密．信息改成秘密的形式称为密文，把将要传输的没有改变为秘密形式的信息称为明文，把明文改成密文的过程就是加密，把密文变成明文的过程就是解密．所以我们的支付密码将经历明文ң加密器ң密文ң普通信道ң解密器ң明文这样一个过程．在线性代数中，逆矩阵也是对信息加密的一种方式．向大家发送的秘密信息就是一条利用逆矩阵进行加密的信息．下面我们假定有这样一个加密过程：对２６个英文字母分别指定一个数字，如图．ａｂｃｄｅｆｇｈｉｊｋｌｍ１２３４５６７８９１０１１１２１３ｎｏｐｑｒｓｔｕｖｗｘｙｚ１４１５１６１７１８１９２０２１２２２３２４２５２６例如，矩阵１８１１５４æèçöø÷对应的字母ｒａｏｄæèçöø÷代表ｒｏａｄ．现存在一个加密矩阵Ａ＝２３１２æèçöø÷，密码在没有加密之前（明文）的内容设为Ｘ，Ｘ经过加密矩阵Ａ加密后得到密文Ｂ，即ＡＸ＝Ｂ，Ｂ＝１９９８１２５９æèçöø÷，那么问题来了，密码Ｘ到底是什么？. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１１７二㊁概念学习，解释本质（一）矩阵的逆利用实数运算中倒数的概念（对于任意实数ａ，都有ａˑａ－１＝ａ－１ˑａ＝１）介绍矩阵逆的定义．定义：对于ｎ阶方阵Ａ，如果存在一个ｎ阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则称方阵Ａ可逆，并记作Ａ－１＝Ｂ．（二）矩阵求逆方法以ｎ阶方阵Ａ为例，首先，在方阵Ａ在右边放一个同阶数的单位矩阵变成一个ｎˑ２ｎ的矩阵（Ａ，Ｅ）．其次，根据左行右列的原则，每对矩阵（Ａ，Ｅ）做一次初等行变换就相当在该矩阵左边乘上一个相应的初等矩阵．然后，假设经过ｓ步初等行变换可将（Ａ，Ｅ）中矩阵Ａ对应部分矩阵转化成单位阵Ｅ，则存在相应ｓ个初等矩阵Ｐ１Ｐ２Ｐｓ左乘矩阵（Ａ，Ｅ），因为初等行变换使得矩阵Ａ和Ｅ始终做同步的变换，所以Ｐ１Ｐ２Ｐｓ在作用于Ａ的同时会作用于（Ａ，Ｅ）中的Ｅ，即当Ａ被Ｐ１Ｐ２Ｐｓ左乘转化成单位阵Ｅ时（Ｐ１Ｐ２Ｐｓ乘积相当于是Ａ－１），（Ａ，Ｅ）中的Ｅ就被Ｐ１Ｐ２Ｐｓ左乘转化成Ａ－１．Ａｎ｜Ｅｎ()ˌＰ（Ａｎ｜Ｅｎ）（矩阵做一次初等变换）ˌＰｓＰ２Ｐ１（ＡｎＥｎ）（ＥｎＡ－１）（矩阵做ｓ次初等行变换）例㊀求矩阵Ａ＝３４１２æèçöø÷的逆矩阵．解㊀３４１２１００１æèçöø÷ ｒ１↔ｒ２１２３４０１１０æèçöø÷ ｒ２－３ｒ１１２０－２０１１－３æèçöø÷ｒ１＋ｒ２１００－２１－２１－３æèçöø÷ ｒ２ˑ－１２()１００１１－２－１２３２æèççöø÷÷，即Ａ－１＝１－２－１２３２æèççöø÷÷．三㊁分析问题，答疑解惑在前面提出的问题中，我们已知加密矩阵Ａ＝２３１２æèçöø÷，经过加密之后的密文信息为Ｂ＝１９９８１２５９æèçöø÷，那么我们要想得到ＡＸ＝Ｂ中的信息Ｘ需要在等式两边同时左乘Ａ－１（因为矩阵乘法不满足乘法交换律，所以一定要左乘）使得等式变为Ａ－１ＡＸ＝Ａ－１Ｂ，即Ｘ＝Ａ－１Ｂ，所以接下来我们需要求解解密矩阵Ａ－１．解：２３１２１００１æèçöø÷ｒ１↔ｒ２１２２３０１１０æèçöø÷ｒ２－２ｒ１１２０－１０１１－２æèçöø÷ｒ１＋２ｒ２１２０－１２－３１－２æèçöø÷ｒ２ˑ（－１）１００１２－３－１２æèçöø÷，即Ａ－１＝２－３－１２æèçöø÷．四㊁揭晓谜底，趣味教学根据以上的分析可知密码Ｘ＝Ａ－１Ｂ，并且我们已经成功地找出了解密矩阵Ａ－１，将加密信息Ｂ＝１９９８１２５９æèçöø÷进行解密，解得Ｘ＝２１９５２０æèçöø÷，根据数字与字母的对应关系有Ｘ＝ｂｓｅｔæèçöø÷，所以最终的谜底揭晓，教师向大家发送的密码是ｂｅｓｔ．师：送给大家的密码也是一份寄语，希望大家都可以成为自己心目中最好的自己！教师在整个学习矩阵求逆的过程中，不但增加了知识本身的趣味性，还培养了学生发现问题㊁分析问题㊁解决问题的能力．因为ＴＰＡＣＫ涉及学科内容㊁教学法和技术等三种知识要素，在本文的教学设计中，教师从我们的现实生活出发，将信息加密与逆矩阵的知识结合在一起，通过设置问题，引起学生去探究新知识的兴趣．教师通过讲授法分析问题，层层递进带领学生不断接近谜底，也使学生真实地感受到了线性代数在实际生活中的应用．将技术整合到具体学科内容教学的教学法知识当中去也正是ＴＰＡＣＫ的特点之一，这也意味着在今后的教学设计中教师应该更多地结合ＴＰＡＣＫ理论进行开展．ʌ参考文献ɔ［１］冉利敏．国内ＴＰＡＣＫ研究的现状㊁热点与启示［Ｊ］．教学研究，２０２０，３：５１－５９．［２］同济大学数学系．线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．［３］詹环，陈平，夏静．基于建构主义的逆矩阵教学设计与实践［Ｊ］．高教学刊，２０２０（２７）：１１９－１２１．. All Rights Reserved.。

“逆矩阵”教学设计

“逆矩阵”教学设计
一、教学目标：
1.了解矩阵的逆矩阵的概念和性质；
2.掌握求逆矩阵的方法；
3.了解逆矩阵的应用。

二、教学重点和难点：
1.矩阵的逆矩阵的定义和性质；
2.求逆矩阵的方法；
3.逆矩阵的应用。

三、教学过程：
1.导入：通过一个例子引出逆矩阵的概念，让学生了解在矩阵运算中逆矩阵的重要性。

2.讲解定义和性质：介绍矩阵的逆矩阵的定义和性质，说明逆矩阵存在的条件和唯一性。

3.求逆矩阵的方法：
(1)初等变换法：通过初等行变换将原矩阵转化为单位矩阵，然后对该过程逆向操作，即可求得原矩阵的逆矩阵；
(2)公式法：使用逆矩阵的求逆公式来求解逆矩阵。

4.练习与讲解：让学生进行一些简单的逆矩阵求解练习，然后讲解答案，强化学生的记忆和理解。

5.应用实例：
(1)线性方程组的求解：通过逆矩阵来解决线性方程组的求解问题；
(2)矩阵的幂的求解：通过逆矩阵来求解矩阵的幂；
(3)线性变换的逆变换：通过逆矩阵来进行线性变换的逆变换。

6.拓展应用：
(1)应用于概率统计：逆矩阵在概率统计中有着广泛的应用，可以用来求解多元线性模型的系数矩阵；
(2)应用于数值计算：逆矩阵在数值计算中也有很重要的作用，可以用来求解矩阵方程的解。

7.总结归纳：总结逆矩阵的概念、性质和求解方法，让学生对逆矩阵有一个清晰的认识。

四、教学评估：
1.完成练习题目；
2.参与课堂讨论；
3.解答问题。

通过以上教学设计，学生们可以系统地学习逆矩阵的概念、性质和求解方法，掌握逆矩阵的应用技巧，提高数学素养和解决实际问题的能力。

逆矩阵课程思政教学设计

逆矩阵课程思政教学设计教学设计: 逆矩阵课程思政前言在逆矩阵课程中，思政教育是非常重要的一部分。

通过与学生讨论矩阵的逆和人生的关联，可以激发学生对于逆矩阵概念的兴趣，引导学生思考逆向思维和负责任的行为等问题。

目标•了解逆矩阵的定义和性质•探讨逆矩阵与逆向思维之间的联系•引导学生思考在现实生活中的负责任行为•提高学生的思辨和表达能力教学步骤第一步：引入逆矩阵的概念通过举例介绍什么是逆矩阵，并解释逆矩阵的定义和性质。

强调逆矩阵在矩阵运算中的重要性。

第二步：探讨逆矩阵与逆向思维之间的联系1.引导学生思考逆向思维在数学中的应用，例如在解方程和求逆矩阵过程中的逆向推理。

2.和学生一起讨论逆向思维在现实生活中的应用场景，如解决问题时需要先考虑目标，然后逆向思考达成目标的步骤。

第三步：讨论逆矩阵和人生的关联1.提出问题：逆矩阵和人生中的负责任行为之间有什么联系？2.收集学生的回答，并提供引导。

例如，逆矩阵是矩阵的“倒数”，而在人生中，负责任行为是“做出正确决策并承担后果”的表现，可以将逆矩阵比喻为负责任行为的“倒数”。

第四步：小组讨论和展示将学生分为小组，让他们共同讨论并展示一个逆矩阵和思政教育主题相关的话题。

鼓励学生深入思考，提倡互相尊重和包容。

第五步：总结和反思向学生总结本课程的内容，并引导学生反思本课程的收获和遇到的困难。

鼓励学生表达自己的想法和意见，并给予正面的反馈和建议。

教学资源•逆矩阵的教学材料•小组讨论和展示所需要的纸张和笔总结通过将逆矩阵的概念与思政教育相结合，可以激发学生的学习兴趣，并引导他们思考逆向思维和负责任行为。

这样的教学设计不仅能提高学生的数学能力，还能培养学生的社会责任感和思维能力。

课程思政元素融入线性代数的教学研究——以逆矩阵为例

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２４课程思政元素融入线性代数的教学研究课程思政元素融入线性代数的教学研究㊀㊀㊀以逆矩阵为例Һ张林丽１㊀张晶晶１㊀刘德兵１㊀原乃冬２㊀（１．海南大学应用科技学院，海南㊀儋州㊀５７１７３７；２．海口经济学院网络学院，海南㊀海口㊀５７１１２７）㊀㊀ʌ摘要ɔ逆矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，本文基于加密电文的破解问题，运用问题驱动法和类比法构造出逆矩阵概念，激发学生的爱国热情，培养学生的创新能力；利用研究式㊁类比式和启发式的教学方法推导出矩阵可逆的充要条件和可逆矩阵的性质，培养学生科学严谨的态度，引导学生树立正确的人生观，提高学生提出㊁分析㊁解决问题的能力以及在学习中发现规律和总结规律的能力；运用启发式教学，探讨逆矩阵在求解矩阵方程和在保密通信中的应用，引导学生行事做人要遵纪守法，提高学生学习的兴趣和应用知识解决实际问题的能力．本案例将课程思政元素与线性代数知识相结合，实现了在教学中立德树人的任务．ʌ关键词ɔ线性代数；逆矩阵；课程思政元素ʌ基金项目ɔ本文系海南大学教育教学改革研究项目（项目编号：ｈｄｊｙ２１５０，ｈｄｊｙ２０７４，ｈｄｊｙ２１０６）；海南省高等学校教育教学改革研究项目（项目编号：Ｈｎｊｇ２０２１ＺＤ－７）；海南大学应用科技学院教育教学改革研究项目（项目编号：ＨＤＹＫＪＧ２０２００１，ＨＤＹＫＪＧ２０２００５）．线性代数是非数学类专业本科生学习的一门公共基础课程，具有内容抽象㊁知识点多和逻辑严密等特点．为了提高学生的学习兴趣，许多学者围绕线性代数教学设计进行了研究［１－４］．２０１６年，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上提出了各类课程与思想政治理论课要同向同行，形成育才育人协同效应之后，各高校纷纷开展关于课程思政的研究．教师在线性代数课程教学中恰到好处地增加一些思政元素，通过课程教学的精心组织和实施，既可以向学生渗透数学概念㊁公式㊁定理的形成和发展脉络，培养学生严谨务实的认识论和科学观，又可以从知识点中发掘哲学思想与元素，将一些理论内容与折射出的科学精神相融合，帮助学生树立正确的人生观㊁价值观和世界观，成为全面发展的高素质应用型人才．目前，一些研究者在这一领域进行了部分探究，指出了课程思政元素融入线性代数的必要性和重要意义［５－７］．但是目前对课程思政元素融入线性代数的研究大都着眼于理论研究层面，如何将课程思政元素融入线性代数课堂教学中，如何将课程思政落到实处仍需要进一步探索［８］．以学生为中心的教学设计，强调的是学生的主体地位，将以教为中心变以学为中心，可以提高学生学习的积极性和课堂学习效果．本文以逆矩阵这一节教学内容的讲授为例，以学生为中心进行教学模型的合理设计，实现了线性代数教学中思政元素的融入，达到了于润物无声中立德树人的教学目标．一㊁课题引入播放电视剧‘永不消失的电波“中解密电文的一个片段，视频播放完后，教师讲解到：为了保密起见，我们在发送电文时需要对电文加密，接收方再对其解密就能知道原电文的意思．以密码学中的希尔密码为例，其加密方式为：２６个英文字母Ａ－Ｚ一一对应于自然数１－２６．比如：我们要发送一份内容为ＡＢＣ的明文电文，一般先使用列矩阵Ｘ＝（１，２，３）Ｔ来表示它，Ｘ称为明文矩阵；加密的方法是在Ｘ的左侧乘以矩阵Ａ，Ａ称为加密矩阵．设加密矩阵Ａ＝１１１０１１１０１æèççöø÷÷，则Ｂ＝ＡＸ＝６，５，４()Ｔ就是收到的密文矩阵．很显然，已知加密矩阵Ａ和密文矩阵Ｂ，要解密得到明文矩阵Ｘ就是求解矩阵方程ＡＸ＝Ｂ．今天，老师也给同学们发来一封密信：Ｂ＝９８８５６５７７５５８０１６０１１９１４５æèççöø÷÷，秘钥是：ＡＢＣＢＢＡＣＤＣ，请猜猜老师想对同学们说什么呢？想成为密码大师吗？就让我们一起来学习如何利用逆矩阵破解加密电文．设计意图：教师采用问题驱动法，将如何破解加密电文的问题作为引入，激发学生的学习兴趣．‘永不消逝的电波“是一部战争题材的影视剧，电视剧片段的播放能激发学生的爱国热情，我们现在的幸福生活是无数烈士用生命和鲜血换来的，从而勉励学生不忘初心，牢记使命，为祖国的繁荣昌盛而努力奋斗．二㊁逆矩阵的定义上一节的知识内容利用待定系数法求矩阵方程ＡＸ＝Ｂ的解时很麻烦，我们是否可以借鉴一下代数方程ａｘ＝ｂ求解的思想方法呢？在代数方程ａｘ＝ｂ中，当ａʂ０时，因为ａ㊃ａ－１＝ａ－１㊃ａ＝１，其解为ｘ＝ａ－１ｂ．在矩阵的运算中，单位矩阵Ｅ相当于数的乘法运算中的１，因此，为了求解矩阵方程ＡＸ＝Ｂ和ＸＡ＝Ｂ，希望能找到一个矩阵Ａ－１，满足ＡＡ－１＝Ａ－１Ａ＝Ｅ，使得ＡＸ＝Ｂ的解为Ｘ＝Ａ－１Ｂ，以及ＸＡ＝Ｂ的解为Ｘ＝ＢＡ－１．所以有如下定义：All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２４定义㊀［９］对于ｎ阶矩阵Ａ，如果存在一个ｎ阶矩阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则称Ａ为可逆矩阵，简称矩阵Ａ可逆；并称矩阵Ｂ为Ａ的逆矩阵，记作：Ａ－１，即Ｂ＝Ａ－１，于是有ＡＡ－１＝Ａ－１Ａ＝Ｅ．说明：（１）可逆矩阵是方阵；（２）Ａ，Ｂ互为逆矩阵，即Ａ－１＝Ｂ，Ｂ－１＝Ａ；（３）Ａ的逆矩阵记为：Ａ－１，不能写成１Ａ；（４）Ａ可逆，则｜Ａ｜ʂ０；（５）Ａ的逆矩阵是唯一的；（６）Ｅ－１＝Ｅ；Ｏｎ不可逆．设计意图：破解密码即求解矩阵方程，教师带领学生类比代数方程构建出逆矩阵的定义，让学生领悟到数学概念是由求解实际问题的需要而构建出来，而不是凭空产生的，帮助学生弄清逆矩阵概念的来龙去脉，激发学生的创造力，培养学生严谨㊁务实的认识论和科学观．为了强化学生对逆矩阵概念的理解，我们给出六点说明，培养学生科学严谨的态度．三㊁矩阵可逆的充要条件由Ｅ－１＝Ｅ；Ｏｎ不可逆，说明并不是每一个方阵都可逆．教师提问：（１）方阵可逆的充要条件是什么呢？我们知道方阵Ａ的行列式是一个数，类比在代数论中，数ａ可逆 ⇔ａʂ０，是否有方阵Ａ可逆⇔｜Ａ｜ʂ０？（２）当方阵Ａ可逆时，如何来求方阵Ａ的逆矩阵呢？教师带领学生回忆上节课所讲的伴随矩阵Ａ∗的一个基本性质：ＡＡ∗＝Ａ∗Ａ＝｜Ａ｜Ｅ，它离我们所求的ＡＡ－１＝Ａ－１Ａ＝Ｅ只有一步之遥，这一步是需要条件的，请同学们想一想应该是什么呢？进一步启发学生由ＡＡ∗＝Ａ∗Ａ＝｜Ａ｜Ｅ推导出：Ａ可逆的必要条件是｜Ａ｜ʂ０；又因为Ａ可逆时，一定有｜Ａ｜ʂ０，于是得到教材中的定理１：定理１（可逆矩阵的判别定理）［９］ｎ㊀阶方阵Ａ可逆的充要条件是｜Ａ｜ʂ０，且当Ａ可逆时，有Ａ－１＝１｜Ａ｜Ａ∗，其中Ａ∗为Ａ的伴随矩阵．注：利用定理１求逆矩阵的方法称为伴随矩阵法．设计意图：教师利用研究式和类比式的教学方法，有利于学生理解定理，同时培养学生提出问题㊁分析问题和解决问题的能力．通过定理的充分条件和必要条件的推导，培养学生严谨的科学态度．由矩阵的可逆与不可逆，引出对立和统一的辩证关系，因对立能由此及彼，因统一能相互利用，构成了线性代数丰富的知识体系．例１㊀已知Ａ＝１９５８æèçöø÷，求Ａ－１．总结㊀当ａｂｃｄʂ０时，ａｂｃｄæèçöø÷－１＝１ａｄ－ｂｃｄ－ｂ－ｃａæèçöø÷．口诀㊀主对调㊁次添负㊁乘行列式分之一．注意㊀此口诀只适合于二阶方阵求逆矩阵．例２㊀已知Ａ＝４－１３－２１２３－１０æèççöø÷÷，求Ａ－１．总结㊀用伴随矩阵法求逆矩阵的步骤：（１）计算行列式｜Ａ｜，当｜Ａ｜ʂ０时，方阵Ａ的逆矩阵存在；（２）求伴随矩阵Ａ∗；（３）利用公式Ａ－１＝１｜Ａ｜Ａ∗，求出Ａ－１．设计意图：让学生由一般方法总结出特殊矩阵的逆的求法公式，使计算简洁的同时又培养了学生在学习知识过程中获得的成就感．将全班分成４组，让每个小组合的学生分别计算行列式｜Ａ｜㊁伴随矩阵Ａ∗的三行，最后教师带领学生一起算出Ａ－１，目的是减少课内简单计算所用的时间，充分突出教学重点，分散教学难点，还能让学生获得到团队合作的成就感．学生由例２的解题过程可以总结出用伴随矩阵法求逆矩阵的三步骤，在第一章学过行列式的计算，在上节课学过伴随矩阵的求法，这样就达了用旧知识解决新问题的目的．对比例１和例２的解题过程，可以看出：随着矩阵阶数的增加，用伴随矩阵法求逆矩阵的计算量将会大大增加，于是在第三章我们会介绍求逆矩阵的新方法初等变换法．四㊁抽象矩阵可逆的判定从前边的研究中可知定义法和伴随矩阵法各有其利弊，我们将其综合起来可否找到一条捷径呢？带领学生分析：ＡＢ＝Ｅ⇔｜Ａ｜｜Ｂ｜＝１⇔｜Ａ｜ʂ０，｜Ｂ｜ʂ０⇔方阵Ａ，Ｂ都可逆，且Ｂ＝ＥＢ＝（Ａ－１Ａ）Ｂ＝Ａ－１（ＡＢ）＝Ａ－１Ｅ＝Ａ－１，所以只要满足ＡＢ＝Ｅ就能得出Ａ，Ｂ互为逆矩阵的结论．于是得到如下推论：推论㊀［９］：若同阶方阵Ａ，Ｂ满足ＡＢ＝Ｅ（或ＢＡ＝Ｅ），则Ａ－１＝Ｂ，Ｂ－１＝Ａ．此推论说明：如果要验证Ａ是否可逆，且矩阵Ｂ是否为Ａ的逆矩阵，那么只要验证ＡＢ＝Ｅ或ＢＡ＝Ｅ中的一个就行，该方法称为验证法．例３㊀设方阵Ａ满足Ａ２－Ａ－２Ｅ＝０，证明Ａ可逆，并求Ａ－１．设计意图：教师采用启发式教学，利用分析法从结论出发寻求每一步推导的思路，培养学生的逻辑思维能力，并将研究问题和解决问题贯穿教学的始终．五㊁逆矩阵的运算性质教师让学生利用推论验证：若矩阵Ａ，Ｂ可逆，常数ｋʂ０，则Ａ－１，ｋＡ，ＡＢ，ＡＴ是否可逆？并验证：（Ａ－１）－１＝Ａ，（ｋＡ）１ｋＡ－１()＝Ｅ，（ＡＢ）－１（Ｂ－１Ａ－１）＝Ｅ，（ＡＴ）（Ａ－１）Ｔ＝Ｅ，｜Ａ－１｜｜Ａ｜－１＝１．进而得出教材中逆矩阵的５条运算性质［９］：（１）若矩阵Ａ可逆，则Ａ－１也可逆，且（Ａ－１）－１＝Ａ；（２）若矩阵Ａ可逆，数ｋʂ０，则（ｋＡ）－１＝１ｋＡ－１；All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２４（３）两个同阶可逆矩阵Ａ，Ｂ的乘积是可逆矩阵，且（ＡＢ）－１＝Ｂ－１Ａ－１；注：此性质可推广到任意有限个同阶可逆矩阵的情形，即若Ａ１，Ａ２，，Ａｎ均是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２Ａｎ也可逆，且（Ａ１Ａ２Ａｎ）－１＝Ａ－１ｎＡ－１２Ａ－１１．（４）若矩阵Ａ可逆，则ＡＴ也可逆，且有（ＡＴ）－１＝（Ａ－１）Ｔ；（５）若矩阵Ａ可逆，则｜Ａ－１｜＝｜Ａ｜－１．例４㊀若三阶方阵Ａ的伴随矩阵为Ａ∗，已知｜Ａ｜＝１２，求｜（３Ａ）－１－２Ａ∗｜．设计意图：教师采用启发式教学法，让学生利用推论得出逆矩阵的５条性质，提高学生在学习中发现规律和总结规律的能力，同时培养学生缜密的思维习惯和严谨求实的科学态度．设计例４的目的是锻炼学生利用性质进行计算的能力．六㊁逆矩阵的应用（一）逆矩阵在解矩阵方程中的应用含有未知矩阵Ｘ的方程称为矩阵方程，有如下三种标准形式的矩阵方程［９］：（１）矩阵方程ＡＸ＝Ｂ，其中Ａ为ｎ阶可逆方阵，则ＡＸ＝Ｂ有唯一解：Ｘ＝Ａ－１Ｂ；（２）矩阵方程ＸＡ＝Ｂ，其中Ａ为ｎ阶可逆方阵，则ＸＡ＝Ｂ有唯一解：Ｘ＝ＢＡ－１；（３）矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ，其中Ａ为ｎ阶可逆方阵，Ｂ为ｍ阶可逆方阵，则ＡＸＢ＝Ｃ有唯一解：Ｘ＝Ａ－１ＣＢ－１．例５㊀利用逆矩阵求解线性方程组４ｘ１－ｘ２＋３ｘ３＝２－２ｘ１－ｘ２＋３ｘ３＝０３ｘ１－ｘ２＝１ìîíïïï．设计意图：与引入相呼应，强调有了逆矩阵相当于矩阵有了类似于数的除法运算．解释之所以有三种标准形式的矩阵方程，是因为矩阵乘法不满足交换律，即空间位置不能变，但时间次序可以变．教师可顺势引导学生行事做人要遵纪守法．例５的求解过程用到例２的结果，设计的目的是减少课堂上计算的时间，将授课重点放在掌握解决问题的方法和数学的思维方法上．例５讲解完后，教师提问：用逆矩阵求解矩阵方程的条件和Ｇｒａｍｅｒ法则的条件是否相同呢？条件是相同的，因为方阵Ａ可逆的充要条件是｜Ａ｜ʂ０．教师继续提问：矩阵的乘法一般不满足消去律，两个非零矩阵的乘积也可能是零矩阵，即Ａ，Ｂ，Ｃ是同阶方阵，由ＡＢ＝ＡＣ不一定能推出Ｂ＝Ｃ，由ＡＢ＝Ｏ不一定能推出Ａ＝Ｏ或Ｂ＝Ｏ．今天学习了逆矩阵之后，请同学们思考一下，要使得推导关系成立，需要加什么条件呢？当方阵Ａ可逆时，在等式ＡＢ＝ＡＣ两边左乘逆矩阵Ａ－１则可得到Ｂ＝Ｃ．在等式ＡＢ＝Ｏ两边左乘逆矩阵Ａ－１则可得到Ｂ＝Ｏ．该提问的设计有利于培养学生立体㊁全面地学的学习习惯，以及构建前后知识的关联．（二）逆矩阵在保密通信中的应用已知加密矩阵Ａ和密文矩阵Ｂ，要解密得到明文矩阵Ｘ就是求解矩阵方程ＡＸ＝Ｂ，而当加密矩阵Ａ是可逆矩阵时，可得明文矩阵Ｘ＝Ａ－１Ｂ．所以，双方只需要事先约定好加密矩阵Ａ，当接收方收到加密电文时，利用逆矩阵Ａ－１即可进行解密．还记得前文老师发来的密信吗？它的答案是：ＩＬＯＶＥＹＯＵ．教师进一步提问：是否有其他加密方式呢？因为矩阵方程有三种标准形式，解密的过程就是求解矩阵方程的过程，所以还可以用加密矩阵Ａ右乘明文矩阵Ｘ，也可以寻找两个可逆矩阵Ａ和Ａ１，分别左乘和右乘加密ＡＸＡ１．接着，教师布置今天的一道作业题：请同学们利用今天所学的知识，尝试给老师或者同学发一封有趣的密信．七㊁小结思政元素的融入既要不失时机，又要润物无声．逆矩阵的定义㊁性质和定理中，研究的主体都是互逆矩阵Ａ和Ｂ，其实单位矩阵看似可有可无，但其可承载前所未有的重任，如ＡＡ－１＝Ａ－１Ａ＝Ｅ，承担着连接两个互逆矩阵的重要桥梁作用；在已知Ａ２－Ａ－２Ｅ＝０，证明Ａ可逆，并求Ａ－１的解题过程中，等位矩阵Ｅ也是哪里需要哪里搬．教师也要引导学生树立正确的人生观，我们要做那个Ｅ，低调做人，认真做事，时刻准备着，哪里需要哪里去；做一名有思想㊁有抱负的人才，在祖国和人民需要的时候，做出应有的贡献．ʌ参考文献ɔ［１］冯艳刚．线性代数微课教学设计研究以逆矩阵的定义教学为例［Ｊ］．赤峰学院学报（自然科学版），２０１８，３４（８）：１５４－１５５．［２］何俊．问题驱动教学法在线性代数课堂教学中的应用［Ｊ］．课程教育研究，２０１８（４８）：１２３－１２４．［３］郑玉军，华玉春，汤琼．问题驱动教学法在‘线性代数“课程教学中的应用与实践［Ｊ］．湖南科技学院学报，２０１８，３９（１０）：５－７．［４］涂正文，吴艳秋，彭扬．线性代数课程中逆矩阵的教学设计与思考［Ｊ］．亚太教育，２０１５（１０）：９１．［５］孙晓青，薛秋芳，秦新强．新工科形式下课程思政在‘线性代数“课程中的体现［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１９（１３）：４８－４９．［６］张敬华，林玉蕊，赖尾英，等．课程思政在‘线性代数“课程教学改革中的研究与探索［Ｊ］．中文科技期刊数据库（全文版）教育科学，２０１９（１２）：３５０－３５１．［７］安玉娥，张东，郝瑞丽．大学数学专业课程思政化的有效路径探析以‘高等代数“课程为例［Ｊ］．知识文库，２０２０（１３）：１０９－１１０．［８］张林丽，原乃冬，张晶晶，白忠玉．线性代数中特征值与特征向量的教学设计［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１０）：８－９．［９］工程数学：线性代数（第６版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２０１４．All 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逆矩阵的性质优秀教学设计

逆矩阵的性质【教学目标】知识目标：让学生了解逆矩阵的性质，掌握每个性质的证明，并能熟练的应用每个性质。

能力目标：能够运用所学的方法，利用线性变换的性质来探究逆矩阵的性质，更直观地体会矩阵与变换之间的对应关系，提高运用数形结合思想解决问题的能力。

情感目标：用最贴近生活的例子切入课题并逐步深入解决问题，充分激发学生学习数学的热情，让学生近距离地体验数学的“神奇”与“有用”。

【教学重难点】重点：掌握逆矩阵的性质。

难点：逆矩阵性质的证明与应用。

【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习逆矩阵性质，这节课的主要内容有用逆矩阵的性质1与性质2及其证明，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解逆矩阵的内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习逆矩阵性质1的内容，它的具体内容是：性质1：设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是惟一的。

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例题1：证明性质1学生自主证明，教师板书展示。

根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：试从几何直观上判别伸缩变换1x x y kyρ'=⎧⎨'=⎩：（其中k是一个固定的非零常数）是否可逆？若可逆求其逆变换。

学生上台演练，教书纠正并讲解。

（3）接着，我们再来看下逆矩阵性质2内容，它的具体内容是：性质2：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且（AB ）-1=B -1A -1它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。

例2：证明性质2。

学生自主证明，教师板书展示。

根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：设二阶矩阵A 可逆，证明：2A 也可逆且()()1221A A --=。

学生小组探讨，教师板书展示解析。

三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了性质1：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是惟一的。

人教版高中选修(B版)4-2第二章逆矩阵及其应用课程设计

人教版高中选修(B版)4-2第二章逆矩阵及其应用课程设计一、课程设计目的本次课程设计旨在通过教学过程的展示，帮助学生进一步理解矩阵及逆矩阵的概念，掌握求解矩阵逆的方法和应用逆矩阵解线性方程组的思想，培养学生的矩阵推导和计算能力，提高学生的数学综合素质。

二、教学内容和重点难点（一）、教学内容1.逆矩阵的定义与性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组（二）、重点难点1.矩阵的定义和性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组的思想三、教学方法采用讲授法、举例法、解题法、练习法相结合的教学方法，注重理论和实践相结合，通过多个例题和练习，达到深化学生的思维，同时提高对所学知识的理解和记忆。

四、教学流程1.介绍矩阵的定义和性质，分析矩阵的逆的定义和性质，引出矩阵逆的概念以及求解逆矩阵的方法。

2.推导如何求解逆矩阵的方法，通过伴随矩阵求逆矩阵，通过消元法计算逆矩阵。

3.通过多个示例和练习，检查学生对逆矩阵的理解。

4.探究如何判断矩阵是否可逆，通过行列式的值判断矩阵是否可逆，让学生掌握这种方法的应用。

5.学习如何应用逆矩阵解线性方程组，通过计算逆矩阵并乘以系数矩阵，求解未知数的值。

6.现场进行练习，检查学生的应用能力和理解能力。

五、教学评价和作业（一）、教学评价在教学过程中，要注重学生的思维深度和理解能力提高。

通过教师的引导，学生能够充分理解矩阵逆的定义和性质，并能运用所学知识解决实际问题。

同时，教师需要积极引导学生，让学生在掌握基础知识的同时，能够发扬自己的创造能力，开拓思路，实现知识的更深层次的应用。

（二）、作业1.完成教师提供的逆矩阵计算题。

2.解答教师出的线性方程组题目。

3.选择一道有关逆矩阵的应用题目，并提交解答思路和结果。

六、教学效果衡量对学生的成绩与表现进行评价，并对他们的各项能力进行考核。

学生能在考试中取得较好的成绩，并能对知识点进行深入的理解和思考。

人教版高中选修4-22.逆矩阵与二元一次方程组课程设计 (2)

人教版高中选修4-22．逆矩阵与二元一次方程组课程设计课程设计背景在高中数学的教学中，二元一次方程组一直是比较重要的内容。

而逆矩阵则是线性代数中的一个基本概念，具有广泛的应用。

本课程设计的目的是通过逆矩阵和二元一次方程组的结合，让学生更深入地理解逆矩阵及其在方程组中的应用。

同时，也帮助学生进一步提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

设计目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.熟悉逆矩阵的概念及其性质；2.理解逆矩阵在方程组中的应用，掌握求解二元一次方程组的方法；3.探究逆矩阵与其他数学概念之间的联系，如行列式、线性相关等；4.发展学生的数学思维、解决问题的能力以及合作学习的能力。

设计内容课程内容按时间分配为以下三部分：第一部分：逆矩阵的定义及基本性质（1 课时）1.1 逆矩阵的定义及性质（5 分钟）1.2 如何求逆矩阵（20 分钟）1.3 逆矩阵的应用（25 分钟）第二部分：使用逆矩阵求解二元一次方程组（3 课时）2.1 二元一次方程组的概念及求解方法（10 分钟）2.2 使用逆矩阵求解二元一次方程组的步骤（30 分钟）2.3 练习和应用（80 分钟）第三部分：逆矩阵与其他数学概念之间的联系 (1 课时)3.1 逆矩阵与行列式 (30 分钟)3.2 逆矩阵与线性相关性 (30 分钟)教学方法本课程设计采用以学生为主导的授课方法，强调学生的主动参与和合作学习。

具体的教学方法包括：1.课前讲解：教师主要介绍本次课的主要内容和学习目标，引导学生预习，并让学生思考有关的问题。

2.小组合作学习：学生分为小组，共同研究某个问题或任务，通过交流、合作、讨论等方式，完成任务和探究问题。

3.讲评：在小组合作学习后，教师进行全班讲解、点拨，并出示相关例题进行演示。

同时，鼓励学生提出问题，进行交流和探究。

4.练习：教师布置相关练习题目，巩固学生的知识、技能，提高解决问题的能力。

评价方式本课程设计采用多种评价方式，包括：1.课堂表现：包括学生的参与情况、合作程度、提问和回答问题的能力等。