数学建模获奖论文-嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略分析

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）日期：2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号的核心任务是实施高可靠高安全的月面软着陆, 要求着陆器必需具备自主障碍识别与规避能力。

本文将通过研究月球软着陆主减速段、快速调整段、避障段和缓速下降段的飞行动力学模型，在动力学方程的基础上对各阶段制导律进行优化设计后，结合工程实际确立嫦娥三号软着陆轨道的下降轨迹和控制策略。

针对第一问，本文基于开普勒定律求解着陆准备轨道的运动方程，得到近月点与远月点的速度。

由于着陆点的位置是由近月点的位置和软着陆轨迹共同决定的。

因此本文通过求解嫦娥三号在主减速段和粗避障段的经过的横向距离，利用着陆点的位置近似确定近月点的位置。

实验结果表明，此近似求解的近月点位置误差在10%以。

同时，本文所建立的基于飞行器动力学模型的主减速段燃料最优制导律，通过蚁群算法的参数优化，也取得误差5%以的良好结果。

本文还将证明主减速段的燃料最优制导律等效于时间最优制导律。

针对第二问，本文通过查阅相关资料，给出了软着陆各个阶段的动力学方程和制导律。

主减速段是耗时最长，燃料消耗最多的阶段，因此采用了燃料最优制导律。

快速调整阶段是过渡阶段，拟采用推力线性变化制导律。

粗避障段的主要目的是避开大的陨石坑，由于着陆器此时接近垂直下降，因而采用最优开关制导律。

为实现粗避障，本文采用对光学图像进行分格，并且判断各格为障碍区（0）或非障碍区（1），最终通过在0-1图上寻找具有安全半径的连片非障碍区，找到合适的着陆区域，取得了良好的实验效果。

精避障段则要构建三维高程图和平均坡面，计算平均坡度，估算出障碍高度，最终找出安全着陆区。

缓速下降段主要考虑的是着陆的安全性，本文将利用变推力制导律和垂直软着陆模型进行分析。

针对第三问，本文将在模型的分析与检验中给出相应的误差分析，实验结果表明，本文所提出的模型与嫦娥三号实际结果相符合，具有实用性和准确性。

关键词：制导律蚁群算法数字高程图嫦娥三号软着陆1.问题的重述1.1 背景实施在月球表面的软着陆是月球勘探计划的重要一步。

所谓月球软着陆,是指着陆器在制动系统作用下以很小的速度准确降落到月面指定区域,以保证试验设备和宇航员的安全。

由于月球表面没有大气，因此整个软着陆过程需要制导发动机的控制。

正确地建立着陆器的飞行动力学模型，并在此基础对着陆器的下降轨迹和制导律进行优化设计，对于着陆器飞行程序的设计和燃料资源消耗等方面具有重要的指导意义。

1.2 需要解决的问题根据题目信息和附件所示容，分析嫦娥三号软着陆过程中的6个阶段，研究以下的问题：（1）根据附件1与附件2研究嫦娥三号的着陆准备轨道，确定该椭圆轨道上近月点与远月点的位置，以及嫦娥三号相应的速度大小与方向。

（2）建立合理的着陆器飞行动力学方程，根据软着陆过程中6个阶段不同的特点与要求，结合附件1与附件2的容，确立嫦娥三号的下降轨迹和各个阶段的最优控制策略。

（3）根据问题一和问题立的数学模型，对模型进行相应的误差分析和敏感性分析。

2.模型假设（1）假设诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计（2）月球表面附近没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项（3）嫦娥三号在软着陆全过程不发生意外碰撞和震荡注：未列出的符号及重复的符号以出现处为准。

4.问题一的建模与求解4.1 问题分析根据题目信息，着陆准备轨道为近月点15km ，远月点100km 的椭圆轨道，根据开普勒定律，可以建立椭圆轨道上的运动方程，求解出近月点与远月点的速度的大小与方向。

着陆点的位置是由近月点在月心坐标系中的位置和软着陆形态共同决定的。

因此可以通过求解软着陆的下降轨迹，结合着陆点的位置，确定近月点在月心坐标系中的切向距离。

此外，利用月球的半径参数，可以求得近月点的径向距离，进而确定近月点的位置。

相应地，远月点的位置可以结合近月点的位置，利用椭圆的轨迹方程进行确定。

在本问题中，软着陆的下降轨迹的求解是一个难点，考虑到着陆器在近月点处离月面距离较高，因此可以在不引起较大的误差的情况下，建立简单的模型进行求解。

根据相关参考资料[1]有：在接近段中，着陆器采用45 接近直线下降方式逐步接近着陆区，利用附件1与2提供的接近段的高度信息，可以求解出对应的水平距离。

而主减速段的轨迹可以建立飞行动力学模型进行求解。

考虑到主减速段是软着陆过程用时最长、推进剂消耗最多的任务段。

该段的主要任务是消除较大的动力下降段初始水平速度(约 1.7 km/s), 因此推进剂消耗优化是该段制导律的主要设计目标。

因此，求解基于动力学模型的燃料消耗最低制导律方程，可以确定主减速段的水平距离。

综合上述求解出的距离信息，就可以在一定的误差允许围给出近月点的位置，进而得到远月点的位置。

总体而言，问题一的流程图如下所示：图4-1问题一的流程图4.2 模型的建立4.2.1 着陆准备轨道的运动学方程假设嫦娥三号在0t 时刻开始进行霍曼转移，在1t 时刻到达近月点，则在惯性坐标系中，以月心为原点的极坐标形式的着陆准备轨道的运动学方程[2]为：在0t 时刻：0000110r L L v v r a h r a h θ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=+⎩（4-1） 其中的0r 为着陆器的月心距，L a 为月球半径，可取值为月球的平均半径1737.013km ，0h 为远月点与月面的距离，取值为100km ，1r 为着陆器在近月点的月心距，1h 为近月点与月面的距离，取值为15km ，μ为月球的引力常数，其值为：13320.4902810/m s μ=⨯，0v θ为初始横向速度，即着陆器从远月点开始运动的速度，0r v 为初始径向速度，其值为0.在1t 时刻：1100110r L L v v r a h r a h θ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=+⎩（4-2） 其中的1v θ为初始横向速度，即着陆器从近月点开始运动的速度，1r v 为初始径向速度，其值为0.4.2.2 主减速段的动力学方程在惯性坐标系中，以月心为原点的极坐标形式受控飞行器动力学方程为[2]：22sin cos r r rv dv a dt r r dv v v a dt r dr vdt v d dtr θθθθμλλθ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩ （4-3） 其中μ为月球引力常数，r v 为径向速度，v θ为横向速度，r 为着陆器的月心距，θ为着陆器的极角。

其中a 为推力加速度，其值可以由下式计算：0e Fa F m tv =- （4-4） 其中F 为发动机推力的大小，查阅相关资料[1]可得：主减速段的主要任务是消除较大的动力下降段初始水平速度，所以发动机一直工作在最大推力模式即7500N 。

0m 为着陆器的初始质量，其值为2400kg ，e v 为比冲（即单位质量的推进剂产生的推力），其值为2940m/s 。

λ为推力方向角，即推力方向与当地水平线的夹角，查阅相关资料[3]可得：230123()t a a t a t a t λ=+++ （4-5）其中0a ,1a ,2a ,3a 为待优化的参量。

4.2.3 基于蚁群算法[3]的主减速段燃料最优制导律 4.2.3.1 燃料最优制导律设主减速段的初始时刻为1t ，终止时刻为2t ，对于推力幅值恒定的飞行器，燃料消耗最省的性能指标为：22211121()t t t t t t ee dm F F J m dt dt dt t t dt v v •====-⎰⎰⎰（4-6）其中m •为燃料消耗率，为了使消耗的燃料质量J 最小，由于初始时刻1t ，发动机推力F 和比冲e v 均为定值，因此只能使主减速段的终止时刻2t 最小。

所以，对于主减速段而言，燃料最优制导律等同于时间最优制导律。

查阅相关资料[1]可得，主减速末期的俯仰角为65，因此可列出如下等式：22()()sin 65v t v t θ= （4-7）其中2()v t 为终止时刻的合速度，为57m/s.因此，只要确定了()v t θ的函数表达式或函数图像，就可以用解析法或作图法求得2t 。

而()v t θ由式（4-3）所确定，式（4—3）的唯一参量是()t λ，()t λ又由参量0a ,1a ,2a ,3a 所确定，因此优化2t 的问题就转换为优化参量0a ,1a ,2a ,3a 的问题。

根据式(4-5)，参量0a ,1a ,2a ,3a 的优化可以用多个离散λ值和t 值来多阶拟合求得。

其中：090,1,2,...,10o o i i λ<<= （4-8）用函数逼近法进行参数化的相关参数设置为：将轨迹离散化化为9段，一共10个离散点，相应时刻的i t 值可以由f t 来确定：00(),0,1,...,10i f it t t t i n=+-=（4-9） 因此待优化参数共11个，即10个推力方向角λ和1个终端时刻f t 。

对于终端时刻f t ，根据齐奥尔科夫斯基公式和软着陆初始条件，可由下式估计：0((v )/v )v m (1)()F f e v e f t e-=-（4-10） 式中f v 和0v 分别表示着陆器的终端速度和初始速度，经计算确定f t 搜索围为(单位秒)：500700f t << （4-11）我们将用蚁群算法来找到这11个参数。