选修2-1直线的方向向量和直线的向量方程课时作业

课时作业20 直线的方向向量与直线的向量方程

时间：45分钟 满分：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．设M (5，－1,2)，A (4,2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为( ) A ．(－1,3，－3) B ．(9,1,1) C ．(1，－3,3) D ．(－9，－1，－1)

【答案】 B

【解析】 ∵OM

→＝AB →＝OB →－OA →， ~

∴OB

→＝OM →＋OA →＝(9,1,1)．故选B.

2．已知向量a ＝(2,3,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )

A ．x ＝9

2，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝15

2 C ．x ＝3，y ＝15 D ．x ＝92，y ＝15

2

【答案】 D

【解析】 ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，∴32＝x 3＝y

5， ∴x ＝92，y ＝152.

3．已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，则四边形ABCD 是( ) ;

A ．空间四边形

B ．梯形

C ．平行四边形

D ．菱形

【答案】 B

【解析】 ∵A B →＝(－2,3，－3)，C D →＝(4，－6,6)，∴C D →＝－2A B →，∴AB ∥CD 且|A B →|≠|C D →|，∴四边形ABCD 是梯形．

4．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )

【答案】 D

，

【解析】 设AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，cos 〈A 1B →，AD 1→〉＝A 1B →·AD 1

→|A 1B →||AD 1→|

＝0＋0－2×25×5

＝－45，故异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为4

5.

5．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )

A ．－3或1

B ．3或－1

C ．－3

D ．1

【答案】 A

【解析】 ∵|a |＝6，∴x ＝±4. 又a ⊥b ，∴2y ＋x ＋2＝0. 当x ＝4时y ＝－3，x ＋y ＝1；

!

当x ＝－4时y ＝1，x ＋y ＝－3.故选A.

6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ∈A 1D ，Q ∈AC ，且PQ ⊥A 1D ，PQ ⊥AC ，则直线PQ 与BD 1的位置关系是( )

A ．异面

B ．平行

C ．垂直不相交

D ．垂直且相交

【答案】 B

【解析】 设正方体棱长为1，以D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则BD

1→＝(－1，－1,1)，DA 1→＝(1,0,1)，A C →＝(－1,1,0)．设P Q →＝(x ，y ，z )，则PQ →·DA 1→＝x ＋z ＝0，PQ →·A C →＝－x ＋y ＝0.∴PQ →＝(x ，x ，－x )，从而PQ →＝－xBD 1→，∴BD 1∥PQ .

二、填空题(每小题10分，共30分)

[

7．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的

交点坐标是________．

【答案】 (53，0，13)

【解析】 设交点坐标为P (x,0，z )，则由A 、P 、B 三点共线可设A P →＝λAB

→，于是有(x －1,2，z －3)＝λ(1,3，－4)， 即⎩⎪⎨⎪

⎧ x －1＝λ，

2＝3λ，z －3＝－4λ，

解得⎩⎨⎧

x ＝53，

z ＝1

3，

故AB 连线与xOz 平面的交点坐标是(53，0，1

3)．

8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为________．

【答案】 π2

【解析】 建立坐标系如图所示，设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，P (2，x,2)，B (2,2,0)，M (0,2,1)，O P →＝(1，x －1,2)，BM →＝(－2,0,1)，∴O P →·BM

→＝0， ;

∴直线BM 与OP 所成的角为π2.

9．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量O P →＝15O A →＋73O B →＋λOC →(λ∈R )确定的点P 与A ，B ，C 四点共面，则λ的值为________．

【答案】 －2315

【解析】 P 与A ，B ，C 共面?存在实数x ，y ，使A P →＝xA B →＋yA C →?O P →－O A →＝xO B →－xO A →＋yO C →－yO A →?O P →＝(1－x －y )O A →＋xO B →＋yO C →，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

1－x －y ＝15，

x ＝7

3，y ＝λ，

解得λ＝－23

15.

三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

10．(13分)已知点A (3,4,5)，B (3,4,0)，B C →＝2O A →(O 为坐标原点)，求点C 的坐标. ~

【解析】 设点C 的坐标为(x ，y ，z )，

∵B C →＝(x －3，y －4，z )，O A →＝(3,4,5)． ∴(x －3，y －4，z )＝(6,8,10)． ∴⎩⎪⎨⎪

⎧

x －3＝6y －4＝8z ＝10

，得⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝9y ＝12

z ＝10

.

∴点C 的坐标为(9,12,10)．

11．(13分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明：OA

1→⊥AM →. 【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1个单位，