24专题七 第三讲

第三讲 概率、随机变量及其分布列

1． 古典概型和几何概型

(1)古典概型的概率：

P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数

.

(2)几何概型的概率：

P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).

2． 互斥事件与对立事件的关系

(1)对立是互斥，互斥未必对立；

(2)如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．

(3)在一次试验中，对立事件A 和A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A )＝1－P (A )． 3． 条件概率

在A 发生的条件下B 发生的概率：

P (B |A )＝P (AB )

P (A ).

4． 相互独立事件同时发生的概率

P (AB )＝P (A )P (B )． 5． 独立重复试验

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为

P n (k )＝C k n p k (1－p )

n －

k

，k ＝0,1,2，…，n . 6．离散型随机变量的分布列

(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，ξ取每一个值x i 的概率为P (ξ＝x i )＝p i

为离散型随机变量ξ的分布列．

(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①p i ≥0，②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＝1(i ＝1,2,3，…)．

7． 常见的离散型随机变量的分布

(1)两点分布

分布列为(其中0

ξ 0 1 P

1－p

p

(2)二项分布

在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为

0,1,2,3，…，n ，并且P (ξ＝k )＝C k n p k q

n －

k

(其中k ＝0,1,2，…，n ，q ＝1－p )． 显然P (ξ＝k )≥0(k ＝0,1,2，…，n )，∑n

k ＝

C k n p k q n －

k ＝1. 称这样的随机变量ξ服从参数n 和p 的二项分布，记为ξ～B (n ，p )． 8． 离散型随机变量的期望与方差

若离散型随机变量ξξ x 1 x 2 … x n … P

p 1

p 2

…

p n

…

则称E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＋…为ξ的数学期望，简称期望．

D (ξ)＝(x 1－

E (ξ))2·p 1＋(x 2－E (ξ))2·p 2＋…＋(x n －E (ξ))2·p n ＋…叫做随机变量ξ的方差．

1． (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相

互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 答案 C

解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪

⎧

0≤x ≤40≤y ≤4

|x －y |≤2

，如

图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝

S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×1

2×2×2

4×4＝1216＝3

4.

2． (2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是

( )

A.4

9

B.13

C.29

D.19

答案 D

解析 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．

(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．

因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所

求概率为P ＝545＝1

9.

3． (2013·广东)

则X 的数学期望E (X )等于

( )

A.3

2 B ．2

C.52

D ．3

答案 A

解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝3

2

.

4． (2013·课标全国Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之 和等于5的概率为1

14

，则n ＝________.

答案 8

解析 由题意知，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n 个数中任意

取出两个不同的数的总情况应该是C 2n

＝n (n －1)2＝2÷1

14＝28，∴n ＝8. 5． (2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则

m ，n 都取到奇数的概率为______．

答案 2063

解析 P ＝4×57×9＝20

63

.

题型一 古典概型与几何概型

例1 (1)(2013·上海)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这

两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．

(2)(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为

( )

A.14

B.15

C.16

D.17