2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.4一元二次方程根与系数的关系作业新版湘教版_364

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2.4 一元二次方程根与系数的关系

一、选择题

1．2017·怀化若x 1，x 2是一元二次方程x 2

－2x －3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－3

2．2017·济南关于x 的方程x 2

＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是( ) A ．－6 B ．－3 C ．3 D ．6

3．已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程可以是( ) A ．x 2

－7x ＋12＝0 B ．x 2

＋7x ＋12＝0 C ．x 2

＋7x －12＝0 D ．x 2

－7x －12＝0

4．设a ，b 是方程x 2

＋x －2020＝0的两个根，则a 2

＋2a ＋b 的值为( ) A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．2020

5．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x －m 2＝0有两个实数根x 1，x 2，则m 2(1

x 1＋1x 2

)的值

是( )

A.m 44 B ．－m 4

4

C ．4

D ．－4 6．若实数a ，b (a ≠b )分别满足a 2

－7a ＋2＝0，b 2

－7b ＋2＝0，则b a ＋a

b

的值为( ) A.

452 B.492 C.

452或2 D.49

2

或2 二、填空题

7．写出一个以－1和－2为两根的一元二次方程(二次项系数为1)：______________． 8．若矩形的长和宽是方程2x 2

－16x ＋m ＝0(0＜m ≤32)的两根，则矩形的周长为________．

9．若关于x 的方程x 2

＋(a －1)x ＋a 2＝0的两根互为倒数，则a ＝________．

10．已知关于x 的方程x 2

－6x ＋k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2

＝3，则k 的

值是________．

11．等腰三角形的三边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2

－8x ＋n －2＝0的两根，则n 的值为________．

三、解答题

12．已知关于x 的方程3x 2

＋mx －8＝0有一个根是23，求另一个根及m 的值．

13．2017·南充已知关于x 的一元二次方程x 2

－(m －3)x －m ＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两实根为x 1，x 2，且x 12

＋x 22

－x 1x 2＝7，求m 的值．

14．已知△ABC 的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋5)x ＋k 2

＋5k ＋6＝0的两个实数根，BC 边的长为5.

(1)当k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？

(2)当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求出此时△ABC 的周长．

15．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2

－4kx ＋k ＋2＝0的两个实数根．是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－3

2

成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

16．关于x 的一元二次方程x 2

－(m －3)x －m 2

＝0. (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；

(2)设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求m 的值及方程的根．

17阅读理解题阅读材料，解答问题：

为了解方程(x 2

－1)2

－5(x 2

－1)＋4＝0，如果我们把x 2

－1看作一个整体，然后设x 2

－1＝y …①，则原方程可化为y 2

－5y ＋4＝0，易得y 1＝1，y 2＝4.

当y ＝1时，即x 2

－1＝1，解得x ＝±2； 当y ＝4时，即x 2－1＝4，解得x ＝± 5.

综上可知，原方程的根为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.

我们把以上这种解决问题的方法叫作换元法，这种方法通常体现了数学中复杂问题简单化、把未知化成已知的转化思想．请根据这种思想完成下列问题：

(1)直接应用：解方程x 4

－x 2

－6＝0.

(2)间接应用：已知实数m ，n 满足m 2

－7m ＋2＝0，n 2

－7n ＋2＝0，则n m ＋m

n

的值是( ) A.

152 B.45

2

C ．2或152

D ．2或45

2

(3)拓展应用：已知实数x ，y 满足4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，求4x

4＋y 4

的值．

1．[答案] D

2．[解析] B 设方程的另一个根为n ，则有－2＋n ＝－5，解得n ＝－3.故选B . 3．[答案] A

4．[解析] C ∵把x ＝a 代入方程x 2

＋x －2020＝0得a 2

＋a －2020＝0，∴a 2

＋a ＝2020.∵a，b 是方程x 2

＋x －2020＝0的两个根，∴a ＋b ＝－1，∴a 2

＋2a ＋b ＝a 2

＋a ＋a ＋b ＝2020＋(－1)＝2019.故选C .

5．[解析] D ∵x 2－4x －m 2＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－m 2，∴m 2(

1

x 1

＋1x 2)＝m 2·x 1＋x 2x 1x 2＝m 2·4－m

2＝－4. 6．[解析] A 由实数a ，b 分别满足a 2

－7a ＋2＝0，b 2

－7b ＋2＝0，且a≠b，得a ，b 是方程x 2

－7x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝7，ab ＝2，∴b a ＋a b ＝a 2

＋b 2

ab ＝（a ＋b ）2

－2ab ab ＝

49－42

＝45

2

.故选A . 7．[答案] (x ＋1)(x ＋2)＝0或x 2

＋3x ＋2＝0

[解析] 法一：将一元二次方程的两根x 1＝－1和x 2＝－2代入a(x －x 1)(x －x 2)＝0(a≠0)，得a[x －(－1)][x －(－2)]＝0(a≠0)，a(x ＋1)(x ＋2)＝0.∵方程的二次项系数为1，∴方程为(x ＋1)(x ＋2)＝0.展开，得x 2

＋3x ＋2＝0.

法二：两根之和为－1＋(－2)＝－3①，两根之积为－1×(－2)＝2②，根据根与系数的关系，方程为x 2

－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0③，将①②代入③，得x 2

＋3x ＋2＝0.

8．[答案] 16

[解析] 设矩形的长和宽分别为x 1，x 2，根据题意得x 1＋x 2＝8，所以矩形的周长为2(x 1

＋x 2)＝16.

9．[答案] －1

[解析] ∵方程的两根互为倒数， ∴两根的乘积为1，即a 2

＝1， ∴a ＝1或a ＝－1.

当a ＝1时，原方程化为x 2＋1＝0，方程无实数根，不符合题意，故舍去； 当a ＝－1时，原方程化为x 2－2x ＋1＝0，Δ＝0，符合题意．故a ＝－1.