山东省2013模拟试题文科数学分类汇编7：立体几何

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2013备考各地试题解析分类汇编(二)文科数学：7立体几何2 含答案

各地解析分类汇编（二）系列：立体几何11。

【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】已知直线a 和平面,,,,l a a,且a在,内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是A。

相交或平行B。

相交或异面C。

平行或异面 D.相交、平行或异面【答案】D【解析】由题意，若//a l，则利用线面平行的判定，可知//,//αβ，a a从而a在,内的射影直线b和c平行；若a l A=，则a在,内的射影直线b和c相交于点A；若a Bα=,a Bβ=，且直线a和l垂直,则a在,内的射影直线b和c相交；否则直线b和c异面综上所述，b和c的位置关系是相交﹑平行或异面，选D．2.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(四）文】球内接正方体的表面积与球的表面积的比为A．6:πB．4:πC．3:πD．2:π【答案】D【解析】设正方体边长为1积为6，球的表面积为3π，它们的表面积之比为6:32:ππ=，选D．3.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(四）文】已知一几何体的三视图如图3，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点,以这4个点为顶点的几何形体可能是①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②B ．①②③C ．①③D ．②③【答案】B【解析】以长方体1111ABCD A B C D -为几何体的直观图。

当选择的四个点为B 1、B 、C 、C 1时，可知①正确；当选择B 、A 、B 1、C 时，可知②正确；当选择A 、B 、D 、D 1时，可知③正确。

选B.4.【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】一条长为2的线段,3,,a b 的三条线段,则ab的最大值为 A 5B 6C ．52D ．3【答案】C【解析】构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知2222221,1,3a y b x x y =+=++=，即22222325a b x y +=++=+=，又2252a b ab =+≥，所以52ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以选C.5.【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】四棱锥P ABCD的三视图如右图所示，四棱锥PABCD 的五个顶点都在一个球面上,E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22,则该球表面积为A 。

2013年全国高考文科数学：立体几何

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题错误！未指定书签。

．（2013年高考重庆卷）某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A ．180B ．200C ．220D ．240错误！未指定书签。

．（2013年高考大纲卷）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（）A ．23BCD ．13【答案】A错误！未指定书签。

．（2013年高考浙江卷）已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3错误！未指定书签。

．（2013年高考北京卷）如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个错误！未指定书签。

．（2013年高考湖南）已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______ （）A B ．1 C D错误！未指定书签。

．（2013年高考浙江卷）设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （）A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB ．若m ∥α,m ∥β,则α∥βC ．若m ∥n,m ⊥α,则n ⊥αD ．若m ∥α,α⊥β,则m ⊥β错误！未指定书签。

．（2013年高考辽宁卷）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（）A B ．C ．132D ．错误！未指定书签。

．（2013年高考广东卷）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）1A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥错误！未指定书签。

2013年高考数学各地名校文科立体几何试题解析汇编

2013年高考数学各地名校文科立体几何试题解析汇编D的外接球表面积，选B.7 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文】设是直线，a，β是两个不同的平面A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，⊥a，则⊥βD. 若a ⊥β, ∥a，则⊥β【答案】B【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。

8 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文】某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )A. B. C.D.【答案】C【解析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为，选C.9 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．B．C．D．32【答案】B【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台，，，所以表面积为，选B.10 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的A．垂心B．内心C．外心D．重心【答案】D【解析】如图，,所以,且为的中点，选D.11 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】对于直线m，n和平面，有如下四个命题：（1）若（2）若（3）若（4）若其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】（1）错误。

（2）当时，则不成立。

（3）不正确。

当有，又所以有，所以只有（4）正确。

选A.12 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为A．1 B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B．13 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是A. 24B. 12C. 8D. 4【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，所以三角形的底面积为，所以三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为，选B.14 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试数学文】某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是【答案】D【解析】因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图和和侧视图不同。

2013年各地高考文科数学立体几何学生版

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A ．180B ．200C ．220D ．2402 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（）A ．B ．C ．D ．3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+4 ．（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（）A ．23B．3C．3D ．135 ．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 37 ．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（）A ．3个B ．4个C 1第二部分(非选择题共110分)8 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是图 2俯视图侧视图正视图（）A ．16 B ．13C ．23D ．19 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧的矩形,则该正方体的正视图的面积等于（）AB ．1 CD10．（2013年高考浙江卷（文））设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（）A ．若m∥α,n∥α,则m∥nB ．若m∥α,m∥β,则α∥βC ．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β11．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA=,则球O 的半径为（）A．2B ．C ．132D ．12．（2013年高考广东卷（文））设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥13．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A ．B ．83C ．81),3+ D ．8,814．（2013年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（）A ．200+9πB ．200+18πC ．140+9πD ．140+18π二、填空题15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD 的体积为错误！未找到引用源。

山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编7：立体几何_Word版含答案

山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为（）A ．B ．6+C ．30+D ．42【答案】C 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱12AA =.底面边长3AD =,平行六面体的高为.2BE =,又1AE ===,所以123AB =+=.所以平行六面体的表面积为2(33332)=30⨯++⨯+,选C ．2 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）如图所示是以建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2k g,则共需油漆大约公斤数为(尺寸如图所示,单位:米 π取3)（）A ．20B ．22.2C ．111D ．110【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体.长方体的底面是边长为3的正方形,高为4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为24(34)=48()m ⨯⨯.圆锥的底面半径为3,母线为5,所以圆锥的侧面积为2351545()m ππ⨯⨯==,底面积(去掉一个正方形)为29339918()m ππ-⨯=-=,所以该几何体的总面积为2484518111()m ++=,所以共需油漆0.211122.2⨯=公斤,选B ．3 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是（）A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去12半球的球.其中两个半圆的面积为224ππ⨯=.34个球的表面积为2342124ππ⨯⨯=,所以这个几何体的表面积是12416πππ+=,选（）A ．4 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知m 、n 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是（）A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则βα//C ．若n m m ⊥⊥,α,则α//nD ．若α⊥n n m ,//,则α⊥m【答案】D 根据线面垂直的性质可知,选项D 正确.5 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设a,b 是不同的直线,βα、是不同的平面,则下列命题:①若βα//,//,b a b a 则⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,//正视图俯视图左视图③若αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,b a b a 其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】①当,//,a b a α⊥时b 与β可能相交,所以①错误.②中a β⊥不一定成立.③中a α⊂或//a α,所以错误.④正确,所以正确的个数有1个,所以选B ．6 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）如右图,某几何体的三视图均为边长为l 的正方形,则该几何体的体积是（）A ．65 B ．32 C ．1 D ．21 【答案】A 由题意三视图对应的几何体如图所示,所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即31151111326-⨯⨯⨯⨯=,选（）A ．7 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,给出下列命题:①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β其中正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．②④ 【答案】C【解析】当//αβ时,有l β⊥,所以l m ⊥,所以①正确.若//l m ,则m α⊥,又m ⊂平面β,所以//αβ,所以③正确,②④不正确,所以选 C ．8 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知m,n 是两条不同直线,,αβ是两个不同平面,给出四个命题:①若,,m n n m αβα=⊂⊥ ,则αβ⊥ ②若,m m αβ⊥⊥,则//αβ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥ ④若//,////m n m n αβ,则//αβ其中正确的命题是（） A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④ 【答案】B 由面面垂直的性质可知②③正确. 9 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【答案】C 【解析】（） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误.B 中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误.C 正确.D 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,所以错误.所以命题正确的为C,选 C ． 10．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．1B ．13 C．12D．32【答案】B 由三视图可知,该几何体是四棱锥,以俯视图为底,高为1,俯视图的面积为11=1⨯,使用四棱锥的体积为111133⨯⨯=,选 B ．11．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题:①若,//m αβα⊥,则αβ⊥;②若,m n αβ⊥⊥,且,m n ⊥则αβ⊥;③若,m β⊥//m α,则αβ⊥;④若//m α,//n β,且//m n ,则//αβ.其中正确命题的序号是（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③【答案】B【解析】①当,//m αβα⊥时,αβ⊥不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④//m α,//n β,且//m n ,,αβ也可能相交,所以错误.所以选B ．12．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为cm,则该几何体的体积为( )cm 3.（）A ．18B ．48C ．45D ．54【答案】D由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯视图为底,底面直角梯形的上底为4,下底为5,高为3.棱柱的高为4,所以四棱柱的体积为34534542cm +⨯⨯=,选 D ．13．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为（）A ．13B ．C ．72πD ．14【答案】D 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(131131)14⨯+⨯+⨯=,选 D ．14．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积不可能是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】D 由三视图可知,该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱锥,,其中底面三角形BAC 为直径三角形,PA ABC ⊥,2AB =,4PC =,设,04AC x x =<<,则PA ==,所以三棱锥的体积为111168232363x ⨯⨯=≤==,当且仅当x =即28,x x ===,此时体积有最大值82233=,所以该三棱锥的体积不可能是3,选D ．15．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知m,n 是空间两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,则下列命题正确的是（）A ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nB ．若=,=,//m n m n αγβγ ,则//αβC ．若,,m βαβ⊂⊥则m α⊥D ．若,//,m m βα⊥则αβ⊥【答案】D【解析】根据线面垂直的判和性质可知,D 正确.16．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（）A ．）一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是（）A ．π12B ．π24C ．π32D ．π48【答案】D【解析】该几何体的直观图如图1所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD 是边长为4的正方形,高为CC 1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为12AC R==,所以球的半径为R =,,所以球的表面积是224448R πππ=⨯=,选D ．17．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是【答案】C【解析】若俯视图为C,则俯视图的宽和左视图的宽长度不同,所以俯视图不可能是 C ． 18．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为2的正方形,故其底面积为141122⨯⨯⨯=.由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为,对角线长为2,3==.此棱锥的体积为12323⨯⨯=,选B ．19．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为（）A ．203 B ．403C ．20D ．40【答案】B由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥,其中四棱锥的底面是主视图,为直角梯形,直角梯形的上底为1,下底为4,高为 4.棱锥的高位4,所以四棱锥的体积为1144044323+⨯⨯⨯=,选 B ．20．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（）A ．13B ．12 C ．16D ．1【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为1111133⨯⨯⨯=,选（）A ．21．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),第11题图（）A ．9214+πB ．8214+πC ．9224+πD ．8224+π【答案】A 由几何体的三视图,知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为2,高为5的圆柱的一半. 长方体的中445EH HG GK ===，，,所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4445)45=92⨯+⨯+⨯.半圆柱的两个底面积为22=4ππ⨯,半圆柱的侧面积为25=10ππ⨯⨯,所以整个组合体的表面积为92+410=92+14πππ+,选（）A ． .22．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如下所示,则该几何体的表面积是（）A ．6+B ．12+C ．12+D ．18+【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,三棱柱的底面是一个腰长为2,底面上的高是1的等腰三角形,侧棱长是3,所以该几何体的表面积为1213(22122⨯⨯+++=+选 C ． 23．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（）A ．）设,m n 是两条不同直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A ．//,////,//m n m n αβαβ且则B ．,m n αβαβ⊥⊥⊥且,则m n ⊥C ．,,m n m n αβ⊥⊂⊥,则αβ⊥D ．,,//,//m n m n ααββ⊂⊂,则//αβ第7题图【答案】B【解析】A 中直线,m n 也有可能异面,所以不正确.B 正确.C 中,αβ不一定垂直,错误.D 当,m n 相交时,结论成立,当,m n 不相交时,结论错误.所以选B ．二、填空题24．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球为O 的表面积为_____.【答案】8π 圆柱的底面直径与母线长均为2,==,,所以球的表面积为248ππ⨯=.25．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上,且8,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为______.【答案】球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上.=,所以棱锥的高为=,所以棱锥的体积为183⨯=.26．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为16π+,则图中x 的值为_______________.【答案】3由三视图可知,该几何体下面是个圆柱,上面是个四棱锥.圆柱的体积为4416ππ⨯=,四棱锥的底面积为14482⨯⨯=,所以四棱锥的体积为18833hh ⨯⨯=,所以816163h ππ+=+,所以四棱锥的高h =.所以2222549x h =+=+=,即3x =.三、解答题27．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）如图,在梯形ABCD中,AB ∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60o,四边形ACFE 为矩形,平面ACFE ⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC ⊥平面ACFE;(2)点M 在线段EF 上运动,设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θθ(≤90o),试求cos θ的取值范围.【答案】28．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）如图1,O的直径AB=4,点C 、D 为O 上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F 为弧BC 的中点.沿直径AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直,如图2.(I)求证:OF //平面ACD;(Ⅱ)求二面角C —AD —B 的余弦值;(Ⅲ)在弧BD 上是否存在点G,使得FG //平面ACD?若存在,试指出点G 的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(方法一):证明:(Ⅰ)如右图,连接CO ,45=∠CAB ,AB CO ⊥∴ 又F 为弧BC 的中点, 45=∠∴FOB ,AC OF //∴. ⊄OF 平面ACD ,⊂AC 平面ACD ,∴//OF 平面ACD . 解:(Ⅱ)过O 作AD OE ⊥于E ,连CE .AB CO ⊥ ,平面ABC ⊥平面ABD . ∴CO ⊥平面ABD .又⊂AD 平面ABD , AD CO ⊥∴, ⊥∴AD 平面CEO ,CE AD ⊥,则∠CEO 是二面角C -AD -B 的平面角. 60=∠OAD ,2=OA , 3=∴OE . 由CO ⊥平面ABD ,⊂OE 平面ABD ,得CEO ∆为直角三角形, 2=CO ,∴7=CE ∴CEO ∠cos =73=721 (Ⅲ)取弧BD 的中点G ,连结OG 、FG ,则==60BOG BAD ∠∠AD OG //∴ //OF 平面ACD ,∴平面//OFG 平面ACD FG //平面ACD . 因此,在弧BD 上存在点G ,使得FG //平面ACD ,且点G 为弧BD 的中点(方法二):证明:(Ⅰ)如图,以AB 所在的直线为y 轴,以OC 所在的直线为z 轴,以O 为原点,建立空间直角坐标系xyz O -则()0,20A ,-()200,,C )2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=AC ,点F 为弧BC 的中点,∴点F 的坐标为(,)2,2,0(=OF .OF AC ∴=解:(Ⅱ)60DAB ∠=,∴点D 的坐标()013,,D -,AD = .设二面角--C AD B 的大小为θ,()1,,n x y z =为平面ACD 的一个法向量.由110,0,n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩有()()()),,0,2,20,,,0,x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,0.y z y +=⎧⎪+=取1=x ,解得3-=y ,3=z . 1n ∴=()331,,-取平面ADB 的一个法向量2n=()100,,,1212cos n n |n ||n |θ⋅∴=⋅(Ⅲ)设在弧BD 上存在点G )0,,(y x ,)2,2,(--=y x FG ,由(Ⅱ)知平面ACD 的一个法向量为n =()331,,-.⋅--=⋅)2,2,(y x FG ()331,,-=036)2(3=-=---y x y x ①又因为 422=+y x ②由①②两式联立解得)0,1,3(G, )10OG ,∴=,因为AD =,所以AD OG //,则G 为弧BD 的中点,因此,在弧BD 上存在点G ,使得FG //平面ACD ,且点G 为弧BD 的中点 29．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）在如图所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1,AE AE >⊥平面ABC,平面BCD ⊥平面ABC,BD=CD,且.BD CD ⊥ (I)若AE=2,求证:AC 、、平面BDE;(II)若二面角A —DE —B 为60°,求AE 的长.【答案】解: (Ⅰ)分别取BC BA BE ，，的中点M N P ，，,连接DM MN NP DP ，，，,则MN ∥AC ,NP ∥AE ,且1=12NP AE = 因为BD CD =,2BC =,M 为BC 的中点, 所以DM BC ⊥,1DM =又因为平面BCD ⊥平面ABC , 所以DM ⊥平面ABC 又AE ⊥平面ABC , 所以DM ∥AE所以DM ∥NP ,且DM NP =,因此四边形DMNP 为平行四边形,所以MN ∥DP ,所以AC ∥DP ,又AC ⊄平面BDE ,DP ⊂平面BDE , 所以AC ∥平面BDE(或者建立空间直角坐标系,求出平面BDE 的法向量1n ,计算10AC ⋅=n 即证)(Ⅱ)解法一:过M 作MN ⊥ED 的延长线于N ,连接BN . 因为BC AM ⊥,BC DM ⊥,所以BC ⊥平面DMAE ,ED ⊂平面DMAE 则有BC ED ⊥.所以ED ⊥平面BMN ,BN ⊂平面BMN , 所以ED BN ⊥.所以MNB ∠为二面角A ED B --的平面角, 即=60MNB ︒∠在Rt BMN ∆中,=1BM ,则MN,BN . B EDCAMNPMB ED CAN在Rt MND ∆中,DN . 设1AE h =+,则DE =,所以NE =,又BE =在Rt BNE ∆中,222BE BN NE =+,即()2212h ++=22+解得h=,所以1AE =+解法二:由(Ⅰ)知DM ⊥平面ABC ,AM MB ⊥, 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -. 设AE h =,则()0,0,0M ,()1,0,0B ,()0,0,1D ()A ,()E h ,()1,0,1BD =-,()BE h =-.设平面BDE 的法向量1(,,)x y z =n则110,0.BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,0.x z x zh -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 令1x =,所以1=n 又平面ADE 的法向量2(1,0,0)=n 所以1212121cos ,2⋅<>===⋅n n n nn n 解得1h=, 即1AE =Ez30．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD是矩形,AB//EF,12,90=====∠EF AE AD AB EAB ，,平面ABCD ABFE 平面⊥.(1)求证:BAF DAF 面面⊥. (2)求钝二面角B-FC-D 的大小.【答案】解:(1)BAF AD AB AD ABCD ABFE 平面，，平面平面⊥∴⊥⊥DAF AD 面又⊂ BAF DAF 面面⊥∴(2)分别以AD,AB,AE 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴, 建立的空间直角坐标系,则A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1) ），，，（），，，（101020-==DE DC )1,0,1(,1,1000.0.n ),,(1111===⎩⎨⎧=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===n z x z x y DE n DC CDEF z y x n 即得令的一个法向量，则为平面设 FBCAF BF AB AF AFB B AF ABCD ABFE 面，中，在知平面由平面⊥∴===∆⊥⊥2,22C的一个法向量，为平面BCF AF n )1,1,0(2==∴21,cos 21〈n n120的大小为二面角的平面角为钝角，二面角D FC B D FC B --∴--31．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）如图,几何体111ABCD B C D -中,四边形ABCD 为菱形,60BAD ∠= ,AB a =,面111B C D ∥面ABCD ,1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,且1BB =,E 为1CC 的中点,F 为AB 的中点.(Ⅰ)求证:1DB E ∆为等腰直角三角形;(Ⅱ)求二面角1B DE F --的余弦值.【答案】解:(I)连接BD ,交AC 于O ,因为四边形ABCD 为菱形,60BAD ∠=,所以BD a =因为1BB 、1CC 都垂直于面ABCD ,∴11//BB CC ,又面111B C D ∥面ABCD ,11//BC B C ∴ 所以四边形11BCC B 为平行四边形 ,则11B C BC a == 因为1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,则1DB ===DE ===1B E ===所以222222116634a a DE B E a DB ++=== 所以1DB E ∆为等腰直角三角形(II)取1DB 的中点H ,因为,O H 分别为1,DB DB 的中点,所以OH ∥1BB ,以,,OA OB OH分别为E1,,x y z轴建立坐标系则1(0,,0),(),(0,),,,0)224a a aD E B F-所以13(0,),(,),,,0)24aDB a DE DF a===设面1DB E的法向量为1111(,,)n x y z=,则1110,0n DB n DE⋅=⋅=,即11ay+=且1112ay+=令11z=,则1(0,n=设面DFE的法向量为2222(,,)n x y z=,则220,0n DF n DE⋅=⋅=2234ay+=且2222ay++=令21x=,则2(1,n=则12cos,n n==,则二面角1B DE F--32．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD//QA,QA=AD=12PD(I)求证:平面PQC⊥平面DCQ;(Ⅱ)若二面角Q-BP-C的余弦值为,求ABAD的值1【答案】33．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,DAB ∠为直角,AB ∥CD ,2,,AD CD AB E F ==分别为,PC CD 的中点. (Ⅰ)求证:CD ⊥平面BEF ;(Ⅱ)设(PA kAB k =>0,且二面角E BD C --的大小为30 ,求此时k 的值.【答案】34．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形,//,AB CD 且,AC BD ⊥O,AC BD 与交于,2,2PO ABCD PO AB CD ⊥===底面E F 、分别是AB AP 、的中点.(1)求证:AC EF ⊥; (2)求二面角F OE A --的余弦值.【答案】证明:(1)E F 、分别是AB AP 、的中点.EF 是PB 的中位线,//,EF PB ∴-----由已知可知,,PO ABCD PO AC ⊥∴⊥,AC BD ⊥ ,AC POB ∴⊥面PB POB ⊂面AC PB ∴⊥----------------------------------5 分.AC EF ∴⊥(2)以,,OB OC OP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建系{,,}OB OC OPA第18题图A由题设,2,1OA OB OC OD ====,()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,0,1,0,0,(0,0,2)A B C D P --(1,1,0),(0,1,1),OE OF =-=-设平面OEF 的法向量为(,,)m x y z =m OE m OF ⎧∙=⎪∴⎨∙=⎪⎩可得(1,1,1)m = , 平面OAE 的法向量为(0,0,1)n =设二面角F OE A --为α,cos ||||m n m n α∙==35．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知正三棱柱111ABC A B C -中,AB=2,1AA =点D 为AC 的中点,点E 在线段1AA 上 (I)当1:1:2AE EA =时,求证1DE BC ⊥;(Ⅱ)是否存在点E,使二面角D-BE-A 等于60 若存在求AE 的长;若不存在,请说明理由【答案】A36．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））如图,五面体中,四边形ABCD 是矩形,DA ⊥面ABEF,且DA=1,AB//EF,2,2221====BE AF EF AB ,P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中点. (I)求证:PQ//平面BCE; (II)求证:AM ⊥平面ADF; 【答案】37．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）如图在多面体ABCDEF中,ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB//ED,且AD=DE=2BF=2.⊥;(I)求证:AC EF(II)求二面角C—EF—D的大小;(III)设G为CD上一动点,试确定G的位置使得BG//平面CEF,并证明你的结论.【答案】38．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,1//,,12AB CD AD AB AD AB CD ⊥===,PD ABCD ⊥面,PD =E 是PC 的中点(1)证明://BE PAD 面; (2)求二面角E BD C --的大小.【答案】证明:取PD 的中点为,F 连接,EF,21,//CD EF CD EF =又,,//CD 21AB //AB EF AB EF CD AB =∴=，且 BE //,ABEF AF ∴∴是平行四边形，BE PAD AF PAD BE //PAD.⊄⊂∴又面，面，面(2)建系:以DA,DB,DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴,),2,0,0(),0,2,0(),0,1,1(P C B 则E(1,1,0),(DB BE ==-(,,)n x y z =设平面EDB 的法向量为00x y x z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩(,)(1,n x x x ∴=-=-令 x=1,则(1,n ∴=-又因为ABCD (0,0,1),m =平面的法向量为（第20题）yz,22=二面角C BD E --为.450 39．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）如图所示,在棱锥P ABCD -中, ⊥PA 平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,2,4PA AD DC AB ====且AB //CD ,90=∠BAD ,(Ⅰ)求证:PC BC ⊥(Ⅱ)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】解:(Ⅰ)在直角梯形ABCD 中,AC=22,取AB 中点E,连接CE, 则四边形AECD 为正方形,∴AE=CE=2,又BE=221=AB , 则ABC ∆为等腰直角三角形, ∴BC AC ⊥,又 ⊥PA 平面ABCD,⊂BC 平面ABCD ,∴BC PA ⊥,由A PA AC =⋂得⊥BC 平面PAC, ⊂PC 平面PAC,所以PC BC ⊥(Ⅱ)以A 为坐标原点,AD ,AB ,AP 分别为z y x ,,轴, 建立如图所示的坐标系.则)2,0,0(P ,B(0,4,0), C(2,2,0),)0,2,2(BC ),2,4,0(-=-=BP由(Ⅰ)知BC 即为平面PAC 的一个法向量,510,cos =>=<BP BC , 即PB 与平面PAC 所成角的正弦值为510 40．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）如图,四棱锥P —ABCD 中,PB ⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,90,//,,2.ABC AD BC AB AD PB BC AD ∠==== 点E 在棱PA 上,且PE=2EA. (I)求证:CD ⊥平面PBD; (II)求二面角A —BE —D 的余弦值.【答案】41．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图,正方形ABCD的边长为2,将四条边对应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD.(1)当Q为PC为中点时,证明PA//平面BDQ;(2)当等腰三角形的腰长为多少时,异面直线PA与BC所成的角为60o;(3)当侧棱与底面所成的角为60o时,求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值.【答案】42．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形与BD交于O点,H为OC的中点.(1)求证PH平面ABCD;(2)求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的余弦值.【答案】43．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）三棱锥P ABC -,底面ABC为边长为的正三角形,平面PBC ⊥平面ABC ,2PB PC ==,D 为AP 上一点,2AD DP =,O 为底面三角形中心.(Ⅰ)求证DO ∥面PBC ; (Ⅱ)求证:BD AC ⊥;(Ⅲ)设M 为PC 中点,求二面角M BD O --的余弦值.【答案】证明:(Ⅰ)连结AO 交BC 于点E ,连结PE .O 为正三角形ABC 的中心,∴2AO OE =,且E 为BC 中点.又2AD DP =, ∴DO ∥PE ,DO ⊄ 平面PBC ,PE ⊂平面PBC ∴DO ∥面PBC(Ⅱ)PB PC = ,且E 为BC 中点, ∴PE BC ⊥又平面PBC ⊥平面ABC , ∴PE ⊥平面ABC , 由(Ⅰ)知,DO ∥PE , ∴DO ⊥平面PBC , ∴DO AC ⊥连结BO ,则AC BO ⊥,又DO BO O = , ∴AC ⊥平面DOB ,∴AC BD ⊥(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,,,EA EB EP 两两互相垂直,且E 为BC 中点,所以分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z轴,建立空间直角坐标系,如图,则21(3,0,0),(0,0,1)(1,0,),(0,(0,)32A B P D C M ，∴12(0,),()23BM DB ==--CBCx设平面BDM 的法向量为(,,)n x y z = ,则203102n DB x z n BM y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩,令1y =,则(n =由(Ⅱ)知AC ⊥平面DBO,∴(30)AC =--，为平面DBO 的法向量,∴cos ,||||n AC n AC n AC ⋅<>===, 由图可知,二面角M BD O --44．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）(本小题满分 1 )如图,四边形ABCD中,AB AD ⊥,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点E,F 分别在BC,AD 上,且E 为BC 中点,EF∥AB .现将四边形ABEF 沿EF 折起,使二面角A EF D --等于60 . ( I )设这P 为AD 的中点,求证:CP∥平面ABEF;(Ⅱ)求直线AF 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)取AF 的中点Q ,连QE 、QP ,则QP 12DF ,又4,2,DF EC DF ==且∥EC , 所以PQEC ,即四边形PQEC 为平行四边形,所以CP ∥QE ,又QE Ì平面ABEF ,CP ABEF Ë平面, 故CP ∥平面ABEF .(Ⅱ)由题知折叠后仍有,EF AF EF FD ^^,则EF AFD ^面,AFD \ 为二面角A EF D --的平面角, 即60AFD ? , 过A作,,AO FD O AO EF AO CDFE ^^\^Q 于又平面,作OG ∥EF 交EC 于G ,则,OG FD AO OG ^^,分别以,,OG OD OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,在Rt AOF D 中,2,60AF AFO =? ,则1,FO OA ==,(0,1,0),(0,3,0),(2,1,0)F A D C \-(0,1,(0,3,(2,2,0)AF AD CD \=--=-=-uuu ruuu ruu u r,设平面ACD 的一个法向量(,,)x y z =n则0302200AD y x y CD ììïï?-=ï镲眄镲-+=?镲îïîuuu r uu u r 即n n ,令1,1,z y x ===得\=n则cos ,AF <>==uuu r n ,\直线AF 与平面ACD45．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）(本小题满分12分)如图所示的几何体中,ABCD 是等腰梯形,AB//CD,ACFE 是矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,AD=DC=CB=CF=a,∠ACB=2π.(1)若,M EF AM ∈//平面BDF,求EM 的长度; (2)求二面角B —EF —C 的平面角θ的大小.【答案】46．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）如图,已知矩形ABCD 中,AB =2AD =2,O 为CD 的中点,沿AO 将三角形AOD 折起,使DB (Ⅰ)求证:平面AOD ⊥ABCO ;(Ⅱ)求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)∵在矩形ABCD 中,AB =2AD =2,O 为CD 中点,∴△AOD ,△BOC 为等腰直角三角形, ∴∠AOB =90º,即OB⊥OA. 取AO 中点H ,连结DH ,BH ,则OH =DH, 在Rt△BOH 中,BH 2=BO 2+OH 2=52, 在△BHD 中,DH 2+BH 2=253,2+=又DB 2=3, ∴DH 2+BH 2=DB 2,∴DH ⊥BH .又DH ⊥OA, OA ∩BH=H ∴DH ⊥面ABCO , 而DH ∈平面AOD ,∴平面AOD ⊥平面ABCO .(Ⅱ)解:分别以直线OA ,OB 为x 轴和y 轴,O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B,A,D,(C .∴(((AB AD BC ===设平面ABD 的一个法向量为(,,),x y z =n由0,0,AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n得0,0,x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 即,,x y x z ==令1,x =则1y z =-,取(1,1,1).=n设α为直线BC 与平面ABD 所成的角,则sin BC BC α⋅===⋅n n第20题图即直线BC 与平面ABD 47．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））如图,五面体中,四边形ABCD 是矩形,DA ⊥面ABEF,且DA=1,AB//EF,2,2221====BE AF EF AB ,P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中点. (I)求证:PQ//平面BCE; (II)求证:AM ⊥平面ADF;(III)求二面角,A —DF —E 的余弦值.【答案】。

山东省2013届高三高考模拟卷(二)文科数学含答案

山东省2013届高三高考模拟卷（二）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0}x M y y x ==>，{N y y ==，则M N 等于A ．∅B ．{1}C ．{1}y y >D ．{1}y y ≥2．已知复数2ii ia b -=+（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则2a b -= A. 1 B. 2 C. 3 D.43.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A. 3,y x x R =∈ B. sin ,y x x R =∈ C. lg ,0y x x => D. 3(),2x y x R =∈4．命题“对任意的01,23≤+-∈x x x R ”的否定是 A ．不存在01,23≤+-∈x x x R B ．存在01,23≤+-∈x x x RC ．存在01,23>+-∈x x x RD ．对任意的01,23>+-∈x x x R5.向量a ，b 的夹角为60︒，且||1a =，||2b =，则|2|a b -等于A.1D.2 6．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60︒，E 为BC 的中点，则AE BD =A ．3-B ．1-C ．0D ．17．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为A ．13422=+y xB ．16822=+y xC ．1222=+y xD ．1422=+y x 8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且21813a a =，则313335319log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=A. 5B. 5-C. 53D.1039．把函数)2,0(),sin(πφωφω<>+=x y 的图像向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图示，则,ωϕ的值分别为 A ．3,1πB ．3,1π-C ．3,2πD ． 3,2π-10．已知()f x '是函数()f x 的导函数，如果()f x '(1,1)，那么曲线()f x 上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是A. (1,]4πB. [,)42ππC. 3(,]24ππD.[,)4ππ 11．若0,0>>b a 且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是A ．211>abB ．111≤+ba C ．2≥ab D ．81122≤+ba12．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则有A. 2(2)(3)(l o g )af f f a << B. 2(3)(log )(2)af f a f <<C. 2(l o g )(3)(2)af a f f<< D. 2(log )(2)(3)af a f f <<第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，满分16分．13．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的弦长是．14．已知：l m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，给出下列五个命题： ①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥；⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //.其中正确命题的序号是15．已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是．16.已知偶函数()y f x =（x R ∈），满足：(1)(1)f x f x +=-，且[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数()y f x =与函数3|log |y x =图象的交点个数为．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3cos 5B =，且符合21AB BC ⋅=-．（Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若7a =，求角C ．18．（本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件=E {5x y -≤}，事件F ={15->x y }，求()P E F ．19．（本小题满分12分）数列}{n a 是首项14a =的等比数列，且3S ，2S ，4S 成等差数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log n n b a =，设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和，若1n n T b λ+≤对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的最小值． 20．（本题满分12分）如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．(Ⅰ) 当1BE =，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP PD λ=，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；(Ⅱ) 设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A -CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．21．（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．（Ⅰ）设椭圆的半焦距1c =，且222,,a b c 成等差数列，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设（1）中的椭圆C 与直线1y kx =+相交于P Q 、两点，求OP OQ 的取值范围．22．(本小题满分13分)已知函数2()8ln f x x x =-，2()14g x x x =-+. (Ⅰ) 求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ) 若函数()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,求a 的取值范围； (Ⅲ) 若方程()()f x g x m =+有唯一解,试求实数m 的值.数学（文科）参考答案一、选择题：1．A 2．C 3． A 4．C 5． D 6． C 7． A 8 ．B 9． D10． B 11． D 12． C二、填空题：A B C D E F E F A B C D13． 2 14．④ 15．16． 3三、解答题：17．【解析】（Ⅰ）21cos()21AB BC AB BC B π⋅=-⇒⋅⋅-=- ………………2分 cos 21c a B ⇒⋅⋅=． …………………………………………………………… 3分又3cos 5B =，故35ac =． ………………………………………………4分由3cos 5B =可推出4sin 5B == ………………………………………5分1sin 14.2ABC S ac B ∆∴== ………………………………………6分（Ⅱ）7,35a ac ==由，可得5c=， ………………………………………7分又2223cos 2cos 325B b a c ac B b =∴=+-=⇒= ………………8分cos 2C ∴==， ………………10分又(0,)C π∈　，4C ∴=． ………………12分18．【解析】（Ⅰ）第六组的频率为40.0850=,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=； ……………………………4分（Ⅱ）身高在第一组[155,160)的频率为0.00850.04⨯=，身高在第二组[160,165)的频率为0.01650.08⨯=，身高在第三组[165,170)的频率为0.0450.2⨯=，身高在第四组[170,175)的频率为0.0450.2⨯=，由于0.040.080.20.320.5++=<，0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ，则170175<<m 由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得174.5=m所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 …………………………6分由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=,所以身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为0.18800144⨯=人． ………………8分（Ⅲ）第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况，因事件=E {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况，故7()15P E =． ……………………10分由于max 19518015x y -=-=，所以事件F ={15->x y }是不可能事件，()0P F =，由于事件E 和事件F 是互斥事件，所以7()()()15P EF P E P F =+=………12分 19．【解析】（Ⅰ）当1q =时，32412816S S S ===，，,不成等差数列……………1分当1q ≠时，234111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+--- ，∴2342q q q =+ ，…………3分∴220q q +-=，∴2q =-， …………………………………………………………4分∴114(2)(2)n n n a -+=-=-．………………………………………………………………5分（Ⅱ）122log log (2)1n n n b a n +==-=+，………………………………………… 6分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， ………………………………………… 7分 11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-=++++， ………………8分1n n T b λ+≤，∴(2)2(2)n n n λ≤++，∴22(2)nn λ≥+， …………………… 10分又211142(2)2(44)162(4)n n n n=≤=++++，∴λ的最小值为116． ……… 12分 20．【解析】(Ⅰ)存在P 使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时32λ=．…………… 2分下面证明：当32λ=时，即此时32AP PD =，可知35AP AD =，过点P 作MP ∥FD ，与AF 交于点M ，则有35MP FD =，又FD ＝5，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP //=EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME ，又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．……………………… 6分(Ⅱ)因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC ．由已知BE ＝x ，，所以AF ＝x (0<x …4)，FD ＝6-x ．故222111112(6)(6)[(3)9](3)332333A C D F V x x x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-=--+=--+．所以，当x ＝3时，A CDF V -有最大值，最大值为3． ……………………… 12分21．【解析】（Ⅰ）由已知：221a b =+，且2221b a =+，解得223,2a b ==， ……4分所以椭圆C 的方程是22132x y +=． …………………………5分（Ⅱ）将1y kx =+代入椭圆方程，得22(1)132x kx ++=， …………………………6分化简得，()2232630k x kx ++-= …………………………7分设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122263,3232k x x x x k k +=-=-++， …………………8分所以，()()()()21212121212121111OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x =+=+++=++++EFA B C D M P()22222223166131232323232k k k k k k k -+--=-+==-+++++， ………………………10分由222233310,322,0,22322322k k k k ≥+≥<≤-<-+≤-++，…………………12分所以OP OQ 的取值范围是1(2,]2--. …………………………13分22．【解析】(Ⅰ)因为8()2f x x x'=-,所以切线的斜率(1)6k f '==- …………2分又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即67y x =-+ …………4分 (Ⅱ)因为2(2)(2)()x x f x x+-'=,又x >0,所以当x >2时,()0f x '>；当02x <<时, ()0f x '<.即()f x 在(2,)+∞上递增,在(0,2)上递减 ……………………………………………5分又2()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减 ………6分欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则217a a ≥⎧⎨+≤⎩,解得26a ≤≤ ……8分(Ⅲ) 原方程等价于228ln 14x x x m --=,令2()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为()h x m =. ……………………9分因为当0>x 时原方程有唯一解,所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的交点……………………10分又82(4)(21)()414x x h x x x x-+'=--=,且0x >，所以当4x >时,()0h x '>，函数()h x 单调递增；当04x <<时, ()0h x '<，函数()h x 单调递减. 故()h x 在4x =处取得最小值． ……………12分从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--． ………13分0z =。

全国各地2013届高考数学押题精选试题分类汇编7 立体几何文

2013届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）如图3所示,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰梯形,等腰直角三角形和长方形,则该几何体体积为（）A ．53 BC ．73D ．103【答案】A 该几何体的直观图如图所示,由题意知该几何体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱.四棱锥的体积为111133V =⨯=,直三棱柱的体积为2111212V =⨯⨯⨯=,∴该几何体的体积为12523V V +=.2 ．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是（）正视图俯视图侧视图图3A ．π12B ．π24C ．π32D ．π48 【答案】D 【解析】由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD 是边长为4的正方形,高为4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为4=,即球的半径为,所以该球的表面积是2448ππ=.选D ．3 ．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形,俯视图是一个圆,尺寸如图,那么这个几何体的外接球的体积为（）A B C D【答案】D 4 ．（2013届海南省高考压轴卷文科数学）如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图. 其中真命题的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】答案:A考点:简单空间图形的三视图.分析:由三棱柱的三视图中,两个矩形,一个三角形可判断①的对错,由四棱柱的三视图中,三个均矩形,可判断②的对错,由圆柱的三视图中,两个矩形,一个圆可以判断③的真假.本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键.解答:解:存在正三棱柱,其三视图中有两个为矩形,一个为正三角形满足条件,故①为真命题;存在正四棱柱,其三视图均为矩形,满足条件,故②为真命题;对于任意的圆柱,其三视图中有两个为矩形,一个是以底面半径为半径的圆,也满足条件,故③为真命题; 5 ．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）在空间中,a 、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题正确的是（） A ．若a ∥α,b ∥a ,则b ∥αB ．若a ∥α,b ∥α,a ⊂β,b ⊂β,则β∥αC ．若α∥β,b ∥α,则b ∥βD ．若α∥β,aα,则a ∥β【答案】D 6 ．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）在空间,下列命题正确的是（）A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案. 7 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成60 角,则正三棱锥外接球面积为（）A ．4πB ．C ．16πD ．【答案】C 8 ．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）(2013青岛市一模)已知m 、n 、l 是三条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出以下命题:①若,//m n αα⊂,则//m n ; ②若l m l n m ⊥=⋂⊥⊂⊂,,,,βαβαβα,则n m ⊥;③若//n m ,m α⊂,则//n α;④若//αγ,//βγ,则//αβ.其中正确命题的序号是( ) （） A ．②④ B ．②③ C ．③④ D ．①③ 【答案】（） A ．【解析】①中直线还可能异面;③中需指明直线n 不在平面内. 9 ．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（）326【答案】A 【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为1111133⨯⨯⨯=,选（）A ． 10．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．9B ．10C ．11D ．232【答案】C 【解析】由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形高是3的直四棱柱的基础上截去一个底面积为12112⨯⨯=高为3的三棱锥形成的,所以43111.V =⨯-=11．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为（）A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．25a π 【答案】解析:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱,则其外接球的半径为R ==,球的表面积为222774123a R a ππ=⋅=,应选 B ．命题意图:本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力. 12．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）333【答案】C【解析】几何体是正方体截去一个三棱台, 311172(22323V =-⋅++⨯=13．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））如图,已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球,则平面ACD 1截球O 的截面面积为（）A ．6πB ．3πC D 【答案】A 14．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该儿何体的体积为（）A ．24B ．80C ．64D ．240【答案】B15．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））设αβγ、、为平面,a b 、为直线,给出下列条件:①,,//,//a b a b αββα⊂⊂ ②//,//αγβγ③,αγβγ⊥⊥ ④,,//b a b ααβ⊥⊥基中能//αβ能的条件是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C16．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l ; ②若α⊥β,则m∥l ; ③若m⊥l ,则α∥β; ④若m∥l ,则α⊥β 其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①④对,②③错17．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）已知m ,n 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是（）A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则βα//C ．若n m m ⊥⊥,α,则α//nD ．若α⊥n n m ,//,则α⊥m【答案】D 【解析】根据线面垂直的性质可知,选项D 正确. 18．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）(2013日照市一模)右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是（）A．20+B．24+C ．8D ．16【答案】（）A ．【解析】由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质,俯视图的矩形宽为,由面积得长为4,则1+2=24+2S S S =⨯⨯⨯⨯侧底（）2 =2820+.19．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）已知三棱锥底面是边长为1的正三角形,侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为（）AB．12CD【答案】D二、填空题20．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））已知直二面角βα--l ,点C l AC A ,,⊥∈α为垂足,点D l BD B ,,⊥∈β为垂足,点AC=BD=1,CD=2,异面直线AB与CD 所成的角等于________(用反余弦表示) 【答案】36arccos21．（2013届湖北省高考压轴卷数学（文）试题）如图为某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是_______________.【答案】2π+ 词【解析】:由三视图知,该几何体由两个共底面的半圆锥构成(如图所示),两个半圆锥侧面积的和为2π,四边形ABCD 由两个等边三角形构成,其面积为24=,故该几何体的表面积为2π+.22．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为_____.【答案】解析:设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则=,22=,1623O ABCD V -=⨯⨯=. 23．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_____________【答案】54【解析】由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱柱.棱柱的高为4,,底面梯形的上底为4,下底为5,腰CD ==所以梯形的面积为(45)32722S +⨯==,所以该几何体的体积为274542⨯=.24．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）如图,若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同,且均为面积等于2的等腰直角三角形,则该几何体的体积为______.【答案】π25．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）某几何体的三视图如图所示,根据图中的数据,可得该几何体的体积是______.【答案】323【解析】本题考查三视图还原成立体图和棱锥的体积公式.由题知立体图如图所示4,4,3,1,,AE BD BE CE AE BC BD ABC ====⊥⊥面,所以14482ABC S ∆=⨯⨯=, 132433ABC V S ∆=⨯⨯=. 26．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为_____.【答案】 π54三、解答题27．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）如图,在三棱锥A BCD-中,90ABC BCD CDA ︒∠=∠=∠=,6AC BC CD ===,设顶点A 在底面BCD 上的射影为E . (Ⅰ)求证:CE BD ⊥;(Ⅱ)设点G 在棱AC 上,且2CG GA =,试求二面角C EG D --的余弦值.【答案】证明:(I)方法一:由AE ⊥平面BCD 得AE ⊥CD , 又AD ⊥CD ,则CD ⊥平面AED , 故CD DE ⊥,同理可得CB BE ⊥,则BCDE 为矩形,又BC CD =, 则BCDE 为正方形,故CE BD ⊥方法二:由已知可得AB BD AD ===,设O 为BD 的中点,则,AO BD CO BD ⊥⊥,则BD ⊥平面AOC ,故平面BCD ⊥平面AOC ,则顶点A 在底面BCD 上的射影E 必在OC ,故CE BD ⊥.(II)方法一:由(I)的证明过程知OD ⊥平面AEC ,过O 作OF EG ⊥,垂足为F ,则易证得DF EG ⊥,故OFD ∠即为二面角C EG D --的平面角,由已知可得6AE =,则2AE AG AC =⋅,故EG AC ⊥,则2CGOF ==,又OD =则DF =故cos OFD ∠=,即二面角C EG D --方法二: 由(I)的证明过程知BCDE 为正方形,如图建立坐标系,则(0,0,0),(0,6,0),(0,0,6),(6,0,0),(6,6,0)E D A B C ,AGEDCB可得(2,2,4)G ,则)4,2,2(),0,6,0(==→→EG ED ,易知平面CEG的一个法向量为)0,6,6(-=→BD ,设平面DEG 的一个法向量为)1,,(y x n =→,则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00EG n ED n 得)1,0,2(-=→n ,则510cos =⋅=〉⋅〈→→→→→→nBD n BD n BD ,即二面角C EG D --28．（2013届湖北省高考压轴卷数学（文）试题）如图,1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线,BC是底面圆O 的直径,D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点,1DE CBB ⊥平面.(1) 证明://DE ABC 平面; (2)求四棱锥11C ABB A -与圆柱1OO 的体积比;(3)若1BB BC =,求直线1CA 与平面1BB C所成角的正弦值.【答案】(1)如图,连接.E OA O O E 、、分别为1CB BC 、的中点,EO ∴是1BB C ∆的中位线,1//EO BB ∴且112EO BB =.又111//,DA BB AA BB =,故11,2DA BB EO DA ==∴//EO 且DA EO =, ∴四边形AOED 是平行四边形,即//DE OA ,又,,//DE ABC OA ABC DE ABC ⊄⊂∴平面平面平面. (2)如图,连接CA .由题知1DE CBB ⊥平面,且由(1)知//DE OA ,1,AO CBB AO BC ∴⊥∴⊥平面,AC AB ∴==.BC 是底面圆O 的直径,CA AB ∴⊥.又1AA 是圆柱的母线,1AA ABC ∴⊥平面,11,AA CA AA AB A ∴⊥= 又,11CA AA B B ∴⊥平面, 即CA 为四棱锥11C ABB A -的高. 设圆柱高为h ,底面半径为r ,则))112212=,33C ABB A V r h V h hr π-=⋅=圆柱, 1122223:3C ABB A hrV V r h ππ-∴==圆柱. (3)如图,作过C 的母线1CC ,连接11B C ,则11B C 是上底面圆1O 的直径,连接11A O ,则11//AO AO ,又111111,AO CBB C AO CBB C ⊥∴⊥平面平面,连接1CO ,则11ACO ∠为直线1CA 与平面1BB C 所成的角.111,AC AO r ==== ,∴在11Rt AO C ∆中,11111sin A O A CO A C ∠==∴直线1CA 与平面1BB C 29．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）在如图所示的几何体中,AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD =DE =2AB ,F 为CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF ∥平面BCE ;(Ⅱ)求证:平面BCE ⊥平面CDE.【答案】证明:(1)如图,取CE 的中点G ,连接FG ,BG . ∵F 为CD 的中点,∴GF ∥DE ,且GF =12DE .∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,∴AB ∥DE .∴GF ∥AB . 又AB =12DE ,∴GF =AB .∴四边形GFAB 为平行四边形,则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ,BG ⊂平面BCE ,∴AF ∥平面BCE.(2)∵△ACD 为等边三角形,F 为CD 的中点,∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ,AF ⊂平面ACD ,∴DE ⊥AF .又CD ∩DE =D ,∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ,∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ,∴平面BCE ⊥平面CDE . 30．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）如图(1),在等腰梯形CDEF 中,CB.DA 是梯形的高,2AE BF ==,AB =现将梯形沿CB.DA 折起,使EF//AB 且2EF AB =,得一简单组合体ABCDEF 如图(2)所示,已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点. (Ⅰ)求证://MN 平面BCF ;(Ⅱ)求证:AP ⊥平面DAE .DCBAEFMNPFEABCD【答案】解:(Ⅰ)证明:连结AC ,∵四边形ABCD 是矩形,N 为BD 中点,MNPFEABCD∴N 为AC 中点,在ACF ∆中,M 为AF 中点 ∴//MN CF∵CF ⊂平面BCF ,MN ⊄平面BCF //MN ∴平面BCF(Ⅱ)证明:依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I ∴AD ⊥平面ABFE ∵AP ⊂平面ABFE ∴AP AD ⊥∵P 为EF中点,∴FP AB ==结合//AB EF ,知四边形ABFP 是平行四边形 ∴//AP BF ,2AP BF ==而2,AE PE ==∴222AP AE PE += ∴90EAP ∠= ,即AP AE ⊥ 又AD AE A =I ∴AP ⊥平面ADE31．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）如图,在四棱锥ABCD -PGFE 中,底面ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB //DC ,∠ABC =45o,DC =1,AB =2,PA =1. (Ⅰ)求PD 与BC 所成角的大小; (Ⅱ)求证:BC ⊥平面PAC ; (Ⅲ)求二面角A -PC -D 的大小.【答案】(Ⅰ)取的AB 中点H ,连接DH ,易证BH//CD ,且BD =CD所以四边形BHDC 为平行四边形,所以BC//DH 所以∠PDH 为PD 与BC 所成角因为四边形,ABCD 为直角梯形,且∠ABC =45o, 所以DA ⊥AB 又因为AB =2DC =2,所以AD =1, 因为Rt△PAD 、Rt△DAH 、Rt△PAH 都为等腰直角三角形,所以PD =DH =PH故∠PDH =60o(Ⅰ)连接CH ,则四边形ADCH 为矩形, ∴AH =DC 又AB =2,∴BH =1 在Rt△BHC 中,∠ABC =45o, ∴CH =BH =1,CB∴AD =CH =1,AC∴AC 2+BC 2=AB 2∴BC ⊥AC 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ∵PA ∩AC =A ∴BC ⊥平面PAC(Ⅲ)如图,分别以AD 、AB 、AP 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则由题设可知: A (0,0,0),P (0,0,1),C (1,1,0),D (1,0,0), ∴AP =(0,0,1),PC=(1,1,-1)设m =(a ,b ,c )为平面PAC 的一个法向量, 则00AP PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ,即00c a b c =⎧⎨+-=⎩ 设1a =,则1b =-,∴m =(1,-1,0)同理设n =(x ,y ,z ) 为平面PCD 的一个法向量,求得n =(1,1,1)∴1cos ,2=== m n m n m n 所以二面角A -PC -D 为60o32．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,点E 在线段AD 上,且CE ∥AB . (1) 求证:CE ⊥平面PAD ;(11)若PA =AB =1,AD =3,CD,∠CDA =45°,求四棱锥P-ABCD 的体积.【答案】(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,CE ⊂平面ABCD,所以PA⊥CE,因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA ⋂AD=A,所以CE ⊥平面PAD(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD 中,DE=CD cos 451⋅= ,CE=CD sin 451⋅= .又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE 为矩形,所以ABCD ABCE BCD S S S ∆=+=12AB AE CE DE ⋅+⋅=15121122⨯+⨯⨯=,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD 的体积等于115513326ABCD S PA ⋅=⨯⨯=33．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）如图所示,已知圆O 的直径AB 长度为4,点D为线段AB 上一点,且13AD DB =,点C 为圆O 上一点,且BC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD BD =. (Ⅰ)求证:CD ⊥平面PAB ;(Ⅱ)求PD 与平面PBC 所成的角的正弦值.【答案】解答:(Ⅰ)连接CO ,由3AD DB =知,点D 为AO 的中点,又∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, BC =知,60CAB ∠= , ∴ACO ∆为等边三角形,从而CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥,由PD AO D = 得,CD ⊥平面PAB(注:证明CD ⊥平面PAB 时,也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到,酌情给分.) (Ⅱ)法1:过D 作⊥DH 平面PBC 交平面于点H ,连接PH ,则DPH ∠即为所求的线面角由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,∴111113333232P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=又PB ==,PC ==,BC ==,∴PBC ∆为等腰三角形,则12PBC S ∆=⨯=. 由P BDC D PBC V V --=得,553=DH ∴55sin ==∠PD DH DPH法2:由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,过点D 作DE CB ⊥,垂足为E ,连接PE ,再过点D 作DF PE ⊥,垂足为F∵PD ⊥平面ABC ,又CB ⊂平面ABC , ∴PD CB ⊥,又PD DE D = , ∴CB ⊥平面PDE ,又DF ⊂平面PDE , ∴CB DF ⊥,又CB PE E = ,∴DF ⊥平面PBC ,故DPF ∠为所求的线面角在Rt DEB ∆中,3sin 302DE DB =⋅=,PE ==55sin sin ==∠=∠PE DE DPE DPF 34．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）已知直角梯形ABCD中,//AD BC ,122AD AB BC ===,90ABC ∠=︒,PAB ∆是等边三角形,平面PAB ⊥平面ABCD . (Ⅰ)求证:BD DC ⊥;(Ⅱ)求三棱锥P BCD -的体积.【答案】【解析】(Ⅰ)∵2AD =,2AB =,45AD AB ADB DBC ⊥⇒∠=∠=︒ 过D 作DM BC ⊥,垂足为M ,则2DM AB MC === ∴45DCM ∠=︒,∴90BDC ∠=o ,∴BD DC ⊥.(Ⅱ)21132P BCD V -===. 35．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）如图,已知在四棱锥PABCD 中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA ⊥平面ABCD,E,F 分别是线段AB,BC 的中点.(1)证明:PF ⊥FD ;(2)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得EG ∥平面PFD ;(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°,求二面角A PD F 的余弦值.【答案】(1)证明:∵PA ⊥平面ABCD ,∠BAD =90°,AB =1,AD =2,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),F (1,1,0),D (0,2,0).不妨令P (0,0,t ),∵PF =(1,1,-t ),DF=(1,-1,0), ∴PF DF ⋅=1×1+1×(-1)+(-t )×0=0,即PF ⊥FD(2)解:设平面PFD 的法向量为n =(x ,y ,z ),由0,0,n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z =1,解得:x =y =t2. ∴n =⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t2，1. 设G 点坐标为(0,0,m ),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0,则EG =⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m ,要使EG ∥平面PFD ,只需EG ·n =0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×t2+0×t 2+1×m =m -t 4=0,得m =14t ,从而满足AG =14AP 的点G 即为所求(3)解:∵AB ⊥平面PAD ,∴AB 是平面PAD 的法向量,易得AB=(1,0,0),又∵PA ⊥平面ABCD ,∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角,得∠PBA =45°,PA =1,平面PFD 的法向量为n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.∴cos<AB ,n >=AB n AB n⋅=1214＋14＋1=66. 故所求二面角A PD F 的余弦值为6636．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）在直角梯形ABCD 中90ABC DAB ∠=∠= ,30CAB ∠= ,BC=1,AD=CD,把△DAC 沿对角线AC 折起后如图所示(点D 记为点P),点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上,连接PB.若F 是AC 的中点,连接PF,EF. (1) 求证:平面PEF⊥AC. (2) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小.AC【答案】解:1.AC90,30,1ABC DAB CAB BC ∠=∠=∠== 2,60.2tan 30BC AB AC DAC AD CD AC ∴===∠=∴===,.PA PC PF AC =∴⊥E P ABC PE ABC PE AC ∴⊥∴⊥ 点为点在平面上的正投影，平面.,,PF PE P PF PEF PE PEF AC PEF =⊂⊂∴⊥ 平面平面平面【D 】2． PE ABC PE BC ⊥∴⊥ 平面,,,BC AB PE AB E PE PAB BC PAB ⊥=⊂∴⊥ 平面平面CPB PC PAB ∴∠为直线与平面所成的角.1t sin =.2BC PC ∴∠ 在R CBP 中，BC=1,PC=DC=2,CPB=00,30.<∠∴∠=CPB<9CPB ∴直线PC 与平面PAB 所成的角为 30 37．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形,其重心为G 点, E 是线段1BC 上一点,且113BE BC =.(1)求证:GE //侧面11AA B B ;(2)求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值;(3)在直线．．AG 上是否存在点T,使得AG T B ⊥1?若存在,指出点T 的位置;若不存在,说明理由.【答案】【解析】解法1:(1)延长B 1E 交BC 于点F,11B EC ∆ ∽△FEB,BE=21EC 1,∴BF=21B 1C 1=21BC, 从而点F 为BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心,∴A、G 、F 三点共线.且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==, 又GE ⊄侧面AA 1B 1B,∴GE//侧面AA 1B 1B.(2)在侧面AA 1B 1B 内,过B 1作B 1H⊥AB,垂足为H,∵侧面AA 1B 1B⊥底面ABC, ∴B 1H⊥底面ABC.又侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,AA 1=2,∴∠B 1BH=60°,BH=1,B 1H=.3在底面ABC 内,过H 作HT⊥AF,垂足为T,连B 1T,由三垂线定理有B 1T⊥AF, 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF,∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH 2330sin =︒.在Rt△B 1HT中,332tan 11==∠HT H B TH B ,从而平面B 1GE 与底面ABC (3)(2)问中的T 点即为所求,T 在AG 的延长线上,距离A 点233处. 38．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F分别为DD 1、DB 的中点.(I)求证:EF//平面ABC 1D 1; (II)求证:1EF B C ⊥..【答案】(Ⅰ)连结1BD ,在B DD 1∆中,E 、F 分别为1D D ,DB 的中点,则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面(Ⅱ)⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥B BC AB D ABC C B D ABC AB BC C B ABC B 111111111 面面⇒111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥39．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））已知矩形ABCD中,1AB AD ==,将ABD ∆沿BD 折起,使点A 在平面BCD 内的射影落在DC上.(Ⅰ)求证:平面ADC ⊥平面BCD ; (Ⅱ)求点C 到平面ABD 的距离;(Ⅲ)若E 为BD 中点,求二面角B AC E --的大小.【答案】证明:(Ⅰ)∵点A 在平面BCD 上的投影落在DC 上,即平面ACD 经过平面BCD 的垂线,∴平面ACD ⊥平面BCD (Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,0,0)(0,C B D∵A 的投影在DC 上,令00(0,,)A y z 由 0||1DA AB DA ⋅==即2200022000010y z y z ++=+++= (0,A ∴,由(0,AB AD == ,求得平面ABD 的一个法向量为(1)n =-,而AC = ,∴C 到平面BCD 的距离为||||AC n d n ⋅==(Ⅲ)由(1,(1,0,0)BA CB =-=,求得平面BAC 的一个法向量1(0,1,1)n =FC DBAE1A 1B 1C 1D1(,0,2AC AE == ,求得平面AEC 的一个法向量2n =由图可见B AC E --为锐二面角,设此平面角为θ,则1212||cos ||||n n n n θ⋅==⋅45θ∴=︒40．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）本题共2小题,第(Ⅰ)小题6分,第(Ⅱ)小题8分.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 111,2AD A A AB ===,点E 在棱AB 上.(Ⅰ)求异面直线1D E 与1A D 所成的角;(Ⅱ)若二面角1D EC D --的大小为45︒,求点B 到平面1D EC 的距离.【答案】解法一:(1)连结1AD .由11AA D D 是正方形知11AD A D ⊥. ∵AB ⊥平面11AA D D ,∴1AD 是1D E 在平面11AA D D 内的射影. 根据三垂线定理得11AD D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.(Ⅱ)作DF CE ⊥,垂足为F ,连结1D F ,则1CE D F ⊥.所以1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角,145DFD ∠=︒.于是111,DF DD D F ===,易得Rt Rt BCE CDF ∆≅∆,所以2CE CD ==,又1BC =,所以BE =. 设点B 到平面1D EC 的距离为h ,则由于1,B CED D BCE V V --=即1111113232CE D F h BE BC DD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅, 因此有11CE D F h BE BC DD ⋅⋅=⋅⋅,即=,∴h =.解法二:分别以1,,DD DC DA 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系.(Ⅰ)由1(1,0,1)A ,得1(1,0,1)DA =,设(1,,0)E a ,又1(0,0,1)D ,则1(1,,1)D E a =-.∵111010DA D E ⋅=+-= ∴11DA D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.(Ⅱ)(0,0,1)=m 为面DEC 的法向量,设(,,)x y z =n 为面1CED 的法向量,则(,,)x y z =n|||cos ,|cos 45||||⋅<>===︒=m n m n m n ,∴222z x y =+. ①由(0,2,0)C ,得1(0,2,1)D C =- ,则1D C ⊥ n ,即10D C ⋅=n ,∴20y z -=②由①、②,可取2)=n ,又(1,0,0)CB =,所以点B 到平面1D EC 的距离||CB d ⋅===n |n |. 41．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）如图,在三棱柱ABC —111A B C 中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒,12AC BC CC ===. (1)求证:11AB BC ⊥;(2)求二面角1C —1AB —1A 的大小.【答案】方法一(1)BC AC ⊥,1CC AC ⊥且C CC BC =1 ,∴⊥AC 平面11CBB C , 又⊂1BC 平面11CBB C , ∴1BC AC ⊥,11BC C B ⊥且C C B AC =1∴⊥1BC 平面C AB 1,又⊂1AB 平面C AB 1∴ 11BC AB ⊥(2)取11B A 的中点为H ,在平面11ABB A 内过H 作1AB HQ ⊥于Q ,连接Q C 1 则⊥H C 1平面11ABB A ,所以11AB H C ⊥ , 而且H HQ H C = 1所以⊥1AB 平面HQ C 1,所以⊥1AB Q C 1 所以QH C 1∠是二面角111A AB C --的平面角 , 又21=H C在AB A 1∆内,解得36=HQ , 所以 3tan 11==∠HQHC QH C 所以二面角111A AB C --的平面角为060方法2: 建立空间直角坐标系(以C 为原点,CA 为x 轴正半轴,CB 为y 轴正半轴,1CC 为z 轴正半轴)则)2,0,2(),2,0,0(),2,2,0(),0,2,0(),0,0,2(111A C B B A (1)),2,2,2(1-=AB)2,2,0(1-=BC022)2(20211=⨯+-⨯+⨯-=⋅∴BC AB11BC AB ⊥∴(2)取11B A 的中点为H ,则)2,1,1(H .平面11A AB 的法向量)0,1,1(1=C 设平面11AB C 的法向量),,(z y x n =)0,2,0(),2,0,2(111=-=B C C⎩⎨⎧==-∴02022y z x z x y ==∴,0,令1=z∴得平面11AB C 的一个法向量)1,0,1(=n2122|011011|cos =⨯⨯+⨯+⨯=∴θ 又所求二面角111A AB C --的平面角为锐角, 所以二面角111A AB C --的平面角为06042．（2013届海南省高考压轴卷文科数学）如图,在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,D 1D⊥平面ABCD,底面ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A 1B 1,∠BAD=60°. (Ⅰ)证明:AA 1⊥BD;(Ⅱ)证明:CC 1∥平面A 1BD.【答案】分析:(Ⅰ) 由D 1D⊥平面ABCD,可证 D 1D⊥BD.△ABD 中,由余弦定理得 BD 2,勾股定理可得 AD⊥BD,由线面垂直的判定定理可证 BD⊥面ADD 1A 1,再由线面垂直的性质定理可证 BD⊥AA 1.(Ⅱ)连接AC 和A 1C 1,设AC∩BD=E,先证明四边形ECC 1A 1为平行四边形,可得CC 1∥A 1E,再由线面平行的判定定理可证CC 1∥平面A 1BD.解答:证明:(Ⅰ)∵D 1D⊥平面A BCD,∴D 1D⊥BD. 又AB=2AD,AD=A 1B 1,∠BAD=60°,△ABD 中,由余弦定理得 BD 2=AD 2+AB 2﹣2AB•ADcos60°=3AD 2,∴AD 2+BD 2=AB 2, ∴AD⊥BD,又 AD∩DD 1=D,∴BD⊥面ADD 1A 1.由 AA 1⊂面ADD 1A 1,∴BD⊥AA 1.(Ⅱ)证明:连接AC 和A 1C 1,设 AC∩BD=E,由于底面ABCD 是平行四边形,故E 为平行四边形ABCD 的中心,由棱台的定义及AB=2AD=2A 1B 1,可得 EC∥A 1C 1,且 EC=A 1C 1,故ECC 1A 1为平行四边形,∴CC 1∥A 1E,而A 1E ⊂平面A 1BD,∴CC 1∥平面A 1BD 43．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））如图,已知四棱锥E- ABCD 的底面为菱形,且∠ABC =600,AB =EC =2,AE =BE =2.(I)求证:平面EAB ⊥平面ABCD ;(II)求二面角A- EC- D 的余弦值.【答案】解法1:(1)证明:取AB 的中点O,连接EO ,CO∵2==EB AE ,AB =2 ∴△ABC 为等腰三角形∴AB EO ⊥,EO =1 又∵AB =BC ,∠ABC =600∴△ABC 为等边三角形 ∴3=CO ,又EC =2∴222CO EO EC += 即CO EO ⊥,⊥EO 平面ABCD ,且⊂EO 平面EAB∴ 平面EAB⊥平面ABCD,(2)过A 作AH⊥CE 于H 点,过H 作HM//CD,OHM又Rt△EDO 解得DE=22, 所以222DE EC DC =+即EC DC ⊥,所以MH⊥CE,因此∠AHM 为二面角A EC D --的平面角,通过计算知27=AH ,21=MH ,1=AM ,所以7722127214147cos =⨯⨯-+=∠AHM 所以二面角D EC A --的余弦值为772 解法2.(1)设A C∩BD=O,如图,以O 为原点, OC,OB 为x,y 轴建立空间直角坐标系O-xyz 设E(m,n,t ),则A(-1,0,0),C(1,0,0), B(0,3,0), D(0,-3,0),∴),,1(t n m AE +=, ),3,(t n m BE -=,),,1(t n m CE -=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-==+-+==+++=4)1(23(2)1(222222222222t n m CE t n m BE t n m AE 解得:1,23,21==-=t n m所以)1,23,21(-E ,因为AB 的中点)0,33,21(-M ,所以)1,0,0(=ME 即ME⊥平面ABCD,又⊂ME 平面EAB,所以平面EAB⊥平面ABCD, (2))1,23,23(-=CE ,)0,0,2(=AC ,)0,3,1(=DC ,分别设平面AEC,平面ECD 的法向量为),,(),,,(z y x m z y x n '''==则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+⋅+⋅-=⋅0202323x n AC z y x n CE 令y= -2,得)3,2,0(-=n OMxyz⎪⎩⎪⎨⎧='+'=⋅='+'⋅+'⋅-=⋅0302323y x n DC z y x n CE令1-='y ,)32,1,3(-=m 7724762||||,cos =⨯+=⋅⋅>=<m n m n m n所以二面角D EC A --的余弦值为772 解法3:(1)(同解法1);(2)以AB 中点O 为坐标原点,以OB 所在直线y 轴,OE 所在直线为z 轴, 建立空间直角坐标系如图所示,则)0,1,0(-A ,)0,0,3(C ,)0,2,3(-D ,)1,0,0(E)0,1,3(=AC ,)1,0,3(-=EC .)0,2,0(=DC设平面DEC 的法向量),,(z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-=⋅0203y n DC z x n CE ,令1=z ,得)1,0,33(=n 设平面EAC 的法向量),,(z y x m '''=⎪⎩⎪⎨⎧='+'=⋅='-'=⋅0303y x n AC z x n CE ,令1='z ,得)1,1,33(-=m 7723237131||||,cos =⨯+=⋅⋅>=<m n m n m n∴二面角D EC A --的余弦值为772 44．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）( )如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E F 、分别为1DD 、DB 的中点.(1)求证:1EF B C ⊥;(2)求三棱锥1B EFC V -的体积.FE D 1C 1B 1A 1DCB A【答案】【解析】(1)证明:FE D 1C 1B 1A 1DCB A1111111B C ABB C BC AB BC ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⎬⊂⎪⎪=⎭、面111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭面面1111//B C BD EF B C EF BD ⊥⎫⇒⊥⎬⎭(2)11CF BDD B ⊥ 面1CF EFB ∴⊥面,且CF BF ==1112EF BD B F =====13B E === 22211EF B F B E ∴+=即190EFB ︒∠=9分111111111133232B EFC C B EF B EF V V S CF EF B F CF --∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=45．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）如图所示,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面边长和侧棱长都是2,D 是侧棱CC 1上任意一点,E 是A 1B 1的中点. (I)求证:A 1B 1//平面ABD; (II)求证:AB⊥CE;(III)求三棱锥C-ABE 的体积.【答案】解(Ⅰ)证明:由正三木棱住的性质知11B A ∥AB,因为ABD B A ABD AB 平面，平面⊄⊂11, 所以11B A ∥平面ABD.(Ⅱ)设AB 中点为G,连结GE,GC.GC AB G ABC ⊥∴∆为中心，为正三角形，且又EG∥1AA ,GE AB AB AA ⊥∴⊥,1 又GEC AB G GE CG 平面所以⊥=⋂, 而CE AB GEC CE ⊥⊂，所以平面(Ⅲ)由题意可知:ABCABC E ABE c S EG V V ∆--⨯⨯==3146．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）将棱长为a 正方体截去一半(如图7所示)得到如图8所示的几何体,点E ,F 分别是BC ,DC 的中点. (1)证明:1AF ED ⊥;(2)求三棱锥1E AFD -的体积.【答案】(1)证:连接DE ,交AF 于点O ∵1D D ⊥平面ABCD ,AF ⊂平面ABCD ∴1D D AF ⊥∵点E ,F 分别是BC ,1D C 的中点,∴DF CE =又∵AD DC =,90ADF DCE ∠=∠=∴ADF ∆≌DCE ∆,∴AFD DEC ∠=∠ 又∵90CDE DEC ∠+∠=∴90CDE AFD ∠+∠=∴()18090DOF CDE AFD ∠=-∠+∠=,即AF DE ⊥又∵1D D DE D=∴AF ⊥平面1D DE又∵1ED ⊂平面1D DE∴1AF ED ⊥(2)解:∵1D D ⊥平面ABCD ,∴1D D是三棱锥1D AEF-的高,且1D D a=D 1D C BA 1AE F OA 1B 1C 1D 1 ABCD 图7D 1DCBA 1AE F图8∵点E ,F 分别是BC ,1D C 的中点,∴2a DF CF CE BE ====∴AEF ADF FCE ABE ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形2111222a AD DF CF CE AB BE=-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅2222234848a a a a a =---=∴11E AFD D AEFV V --=113AEF S D D ∆=⋅⋅2313388a a a =⋅⋅=。

2013年山东省实验中学高考数学一模试卷(文科)

2013年山东省实验中学高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.如果命题“￢(p或q)”为假命题，则()A.p、q均为真命题B.p、q均为假命题C.p、q中至少有一个为真命题D.p、q中至多有一个为真命题【答案】C【解析】试题分析：¬(p或q)为假命题既p或q是真命题，由复合命题的真假值来判断．¬(p或q)为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选C．2.下列函数图象中，正确的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：仔细观察函数的图象，由图象判断a的范围，进行判断正确答案．在A中，由y=x+a知，a＞1，由y=x a知，a＜0，故A不成立；在B中，由y=x+a知，a＞1，由y=x a知，0＜a＜1，故B不成立；在C中，由y=x+a知，0＜a＜1，由y=x a知，0＜a＜1，故C成立；在D中，由y=x+a知，0＜a＜1，由y=x a知，a＞1，故D不成立．故选C．3.不等式|5-2x|＜9的解集是()A.(-∞，-2)∪(7，+∞)B.[-2，7]C.(-2，7)D.[-7，2]【答案】C【解析】试题分析：由不等式|5-2x|＜9可得-9＜2x-5＜9，由此求得此不等式的解集．由不等式|5-2x|＜9可得-9＜2x-5＜9，解得-2＜x＜7，故选C．4.已知向量，若+2与垂直，则k=()A.-3B.-2C.1D.-1【答案】A【解析】试题分析：由向量的数量积的坐标表示可知，=0，代入即可求解k∵=(，3)，又∵∴==0∴k=-3故选A5.已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行，则tan2α的值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意可得tanα=，代入二倍角公式tan2α=可求由题意可得tanα=∴tan2α===故选C6.在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3=+1，则a32+2a2a6+a3a7=()A.4B.6C.8D.【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可得==，把已知条件代入即可求解由等比数列的性质可得====8故选C7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC 是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】试题分析：整理题设等式，代入余弦定理中求得cos C的值，小于0判断出C为钝角，进而可推断出三角形为钝角三角形．∵2c2=2a2+2b2+ab，∴a2+b2-c2=-ab，∴cos C==-＜0．则△ABC是钝角三角形．故选A8.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y=sin(x-)的图象，则φ等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先根据图象变换得到平移后的函数y=sin(x+φ)，然后结合诱导公式可得到sin(x+π)=sin(x-)，进而可确定答案．将函数y=sinx向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位得到函数y=sin(x+φ)．根据诱导公式知当φ=π时有：y=sin(x+π)=sin(x-)．故选D．9.设x，y满足，则z=x+y()A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】试题分析：本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2，0)时，z有最小值，但z没有最大值．故选B10.已知双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率．双曲线-=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±，即bx±ay=0圆C：x2+y2-6x+5=0化为标准方程(x-3)2+y2=4∴C(3，0)，半径为2∵双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切∴∴9b2=4b2+4a2∴5b2=4a2∵b2=c2-a2∴5(c2-a2)=4a2∴9a2=5c2∴=∴双曲线离心率等于故选A．11.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x)，且当x≥1时，f(x)=lnx，则有()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由f(2-x)=f(x)得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f(x)=lnx得到函数的图象，从而得到答案．∵f(2-x)=f(x)∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f(x)=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C．12.已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于()A.9：4：1B.1：4：9C.3：2：1D.1：2：3【答案】C【解析】试题分析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比∵++3=，∴+=-+)，如图：∵，∴∴F、P、G三点共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线∴====2而S△APB=S△ABC∴△APB，△APC，△BPC的面积之比等于3：2：1故选C二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.若函数，则f(log43)= ．【答案】3【解析】试题分析：先利用对数函数的单调性判断log43的取值范围，再根据函数的解析式，求出f(log43)的值．∵函数，0＜log43＜1，∴f(log43)==3，故答案为：3．14.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知，，则A= ．【答案】60°或120°【解析】试题分析：由a，b及B的值，利用正弦定理即可求出sin A的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．由a=，b=，B=45°，根据正弦定理得：asin A=bsin B，所以sin A===．则A=60°或120°．故答案为：60°或120°．15.已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是．【答案】【解析】试题分析：先看当x=4时根据抛物线方程求得纵坐标的绝对值，而|a|＞4，明A(4，a)是在抛物线之外抛物线焦点和准线可求得，延长PM交L：x=-1于点N，必有：|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点P到准线x=-1的距离等于其到焦点F(1，0)的距离进而判断出|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可．由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P'，看P和P'的重合与不重合两种情况分别求得最小值，最后综合可得答案．首先，当x=4时，代入抛物线方程，求得|y|=4而|a|＞4，说明A(4，a)是在抛物线之外(也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方)抛物线焦点可求得是F(1，0)，准线L：x=-1P在y轴上的射影是M，说明PM⊥y轴，延长PM交L：x=-1于点N，必有：|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1|PN|就是P到准线L：x=-1的距离！连接PF根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点P到准线x=-1的距离等于其到焦点F(1，0)的距离！即：|PF|=|PN| ∴|PM|=|PF|-1|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：连接|AF|由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P'1°当P与P'不重合时：A，P，F三点必不共线，三点构成一个三角形APF，根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，可得：|PF|+|PA|＞|AF|=^=2°当P与P'重合时，A，P(P')，F三点共线，根据几何关系有：|PF|+|PA|=|AF|=综合1°，2°两种情况可得：|PF|+|PA|≥∴(|PF|+|PA|)min=∴(|PA|+|PM|)min=-116.数列{a n}满足a1=3，a n-a n a n+1=1，A n表示{a n}前n项之积，则A2013= ．【答案】-1【解析】试题分析：先通过计算，确定数列{a n}是以3为周期的数列，且a1a2a3=-1，再求A2013的值．由题意，∵a1=3，a n-1a n a n+1=1，∴，，a4=3，∴数列{a n}是以3为周期的数列，且a1a2a3=-1∵2013=3×671∴A2013=(-1)671=-1故答案为：-1三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知集合A={x|x2-2x-8≤0}，集合B={x|x2-(2m-3)x+m2-3m≤0，m∈R}，(Ⅰ)若A∩B=[2，4]，求实数m的值；(Ⅱ)设全集为R，若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)∵A={x|(x+2)(x-4)≤0}={x|-2≤x≤4}=[-2，4]，B={x|(x-m)(x-m+3)≤0，m∈R}={x|m-3≤x≤m}=[m-3，m]∵A∩B=[2，4]，∴，解得m=5( II)由(Ⅰ)知C R B={x|x＜m-3，或x＞m}，∵A⊆C R B，∴4＜m-3，或-2＞m，解得m＜-2，或m＞7．故实数m的取值范围为(-∞，-2)∪(7，+∞)【解析】(Ⅰ)化简A=[-2，4]，B=[m-3，m]，根据A∩B=[-2，4]，可得，从而求出m的值；(Ⅱ)根据补集的定义求出C R B={x|x＜m-3，或x＞m}，由A⊆C R B，得到4＜m-3，或-2＞m，由此求得实数m的取值范围．18.设函数其中向量(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)若，求函数f(x)的值域．【答案】解：(1)=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1令+2kπ≤2x+≤+2kπ，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，因此，函数f(x)的单调减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z，(2)当时，2x+∈[-，]．∴2sin(2x+)∈[-，]，得y=2sin(2x+)+1∈[-+1，2]即函数f(x)在区间的值域是[-+1，2]．【解析】(1)根据平面向量数量积的坐标运算公式，结合二倍角的三角公式化简整理，得f(x)═2sin(2x+)+1．再根据正弦函数的单调区间的公式，解不等式可得函数f(x)的单调减区间；(2)根据易得2x+∈[-，]．结合正弦函数的图象与性质，得2sin(2x+)∈[-，]，由此不难得到函数f(x)在区间的值域．19.已知{a n}是公比大于1的等比数列，a1，a3是函数f(x)=x+-10的两个零点．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b n=log3a n+n+2，且b1+b2+b3+…+b n≥80，求n的最小值．【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=x+-10=0，得x2-10x+9=0，解得x1=1，x2=9，∵{a n}是公比q大于1的等比数列，a1，a3是函数f(x)=x+-10的两个零点，∴a1=1，a3=9，∴1×q2=9，∴q=3，∴．(Ⅱ)∵，∴b n=log3a n+n+2=+n+2=2n+1，∴b1+b2+b3+…+b n=(2×1+1)+(2×2+1)+(2×3+1)+…+(2n+1)=2(1+2+3+…+n)+n=n(n+1)+n∵b1+b2+b3+…+b n≥80，∴n2+2n≥80，解得n≥8，或n≤-10(舍)，故n的最小值为8．【解析】(Ⅰ)由f(x)=x+-10=0，得x2-10x+9=0，解得x1=1，x2=9，由{a n}是公比q大于1的等比数列，a1，a3是函数f(x)=x+-10的两个零点，知a1=1，a3=9，由此能求出数列{a n}的通项公式．(Ⅱ)由，知b n=log3a n+n+2=+n+2=2n+1，由此得到b1+b2+b3+…+b n=n2+2n，由b1+b2+b3+…+b n≥80，得n2+2n≥80，由此能求出n的最小值．20.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，(万元)；当年产量不小于80千件时，(万元)．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】解：(1)当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L(x)=-51x-+1450-250=1200-(x+)∴．(2)当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L(x)取得最大值L(100)=1000＞950．综上所述，当x=100时L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．(1)根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；(2)当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．21.已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)当AB⊥x轴时，．(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，∴，．∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)当AB⊥x轴时，．(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解．22.已知函数f(x)=x2+ax-lnx，a∈R．(Ⅰ)若a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；(Ⅲ)令g(x)=f(x)-x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然常数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】解：(I)a=0时，曲线y=f(x)=x2-lnx，∴f′(x)=2x-，∴f′(1)=1，又f(1)=1曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程x-y=0．(II)′在[1，2]上恒成立，令h(x)=2x2+ax-1，有得，得(II)假设存在实数a，使g(x)=ax-lnx(x∈(0，e])有最小值3，′=①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min=g(e)=ae-1=3，(舍去)，②当时，g(x)在上单调递减，在上单调递增∴，a=e2，满足条件．③当时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min=g(e)=ae-1=3，(舍去)，综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0，e]时g(x)有最小值3．【解析】(I)欲求在点(1，f(1))处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．(II)先对函数f(x)进行求导，根据函数f(x)在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．(III)先假设存在，然后对函数g(x)进行求导，再对a的值分情况讨论函数g(x)在(0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈(0，e]时g(x)有最小值3．高中数学试卷第11页，共11页。

2013年全国各省市高考真题——立体几何(带答案)

2013年全国各省市文科数学—立体几何1、2013四川文T2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）（A ）棱柱（B ）棱台（C ）圆柱（D ）圆台 2、2013新课标文T11.某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+3、2013湖南文T7.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是A ．4、2013江西文T8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为A.200+9πB. 200+18πC. 140+9πD. 140+18π5、2013浙江文T5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A 、108cm 3B 、100 cm 3C 、92cm 3D 、84cm 3图 2俯视图侧视图正视图 6、2013广东文T6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．17、2013新课标Ⅱ文T9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）（A ） (B) (C) (D)8、2013重庆文T8.某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（A ）180（B ）200（C ）220（D ）2409、2013山东文T4.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 (A)(B) 83(C) 81),3+ (D) 8,810、2013北京文T8．如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个11、2013陕西文T12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .12、2013辽宁文T13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .13、2013北京文T10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。

2013 高考数学分类汇编7：立体几何带答案

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A ．180B ．200C ．220D ．240【答案】D2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A4 ．（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（）A ．23BCD ．13【答案】A 5 ．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台【答案】D6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B7 ．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第二部分(非选择题共110分) 【答案】B8 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是图 2俯视图侧视图正视图（）A ．16 B ．13C ．23D ．1【答案】B9 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______（）AB ．1 CD【答案】D10．（2013年高考浙江卷（文））设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（）A ．若m∥α,n∥α,则m∥nB ．若m∥α,m∥β,则α∥βC ．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β【答案】C11．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（）A．2B ．C ．132D ．【答案】C12．（2013年高考广东卷（文））设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥【答案】B13．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A ．B ．83C ．81),3D ．8,8【答案】B14．（2013年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（）A ．200+9πB ．200+18πC ．140+9πD ．140+18π【答案】A二、填空题15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.【答案】24π16．（2013年高考湖北卷（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 【答案】3 17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.【答案】92π; 18．（2013年高考北京卷（文））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.【答案】319．（2013年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.【答案】π3 20．（2013年高考大纲卷（文））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于______. 【答案】16π 21．（2013年上海高考数学试题（文科））已知圆柱Ω的母线长为l ,底面半径为r ,O 是上地面圆心,A 、B 是下底面圆周上两个不同的点,BC 是母线,如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为π6,则1r=________.【答案】22．（2013年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 ______.【答案】23．（2013年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-24．（2013年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.【答案】425．（2013年高考安徽（文））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R满足113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S【答案】①②③⑤ 三、解答题26．（2013年高考辽宁卷（文））如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(I)求证:BC PAC ⊥平面；(II)设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面【答案】27．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求PGGC的值.【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC是等腰三角形,且底角等于30°,且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭ 且,所以;、BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭;(Ⅱ)设AC BD O = ,由(1)知DO PAC ⊥,连接GO ,所以DG与面APC所成的角是DGO ∠,由已知及(1)知:1,2BO AO CO DO =====, [来源:学&科&网Z&X&X&K]12tan 2OD GO PA DGO GO ==⇒∠===,所以DG 与面APC 所成的角的; (Ⅲ)由已知得到:PC===,因为PC BGD PC GD ⊥∴⊥,在PDC ∆中,PD CD PC ====,设223107)2PG PG x CG x x x PG x GC GC =∴=-∴-=--∴====28．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA =1A(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.【答案】解: (Ⅰ) 设111O D B 线段的中点为. 11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 .的对应线段是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO -为平行四边形四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴ 1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕)(Ⅱ) 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 . 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在11)2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱. 所以,1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱.29．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,60PAD ∠= .(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积.【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形ABCD 中,过点C 作CE AB ⊥,垂足为E ,由已知得,四边形ADCE 为矩形,3AE CD == 在Rt BEC ∆中,由5BC =,4CE =,依勾股定理得: 3BE =,从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得,PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中,由4AD =,60PAD ∠=︒,得PD = 正视图如右图所示:(Ⅱ)取PB 中点N ,连结MN ,CN在PAB ∆中,M 是PA 中点, [来源:学&科&网Z&X&X&K]∴MN AB ,132MN AB ==,又CD AB ,3CD =∴MN CD ,MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形,∴DM CN 又DM ⊄平面PBC ,CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC(Ⅲ)13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=,PD =,所以D PBC V -=解法二:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)取AB 的中点E ,连结ME ,DE 在梯形ABCD 中,BE CD ,且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC ,又DE ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC ,又在PAB ∆中,ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E = ,∴平面DME 平面PBC ,又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC(Ⅲ)同解法一30．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4【答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AEDB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==.在三棱锥A BCF -中,BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭31．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA 1=3,D 是BC 的中点,点E 在菱BB 1上运动. (I) 证明:AD⊥C 1E;(II) 当异面直线AC,C 1E 所成的角为60°时,求三菱子C 1-A 2B 1E 的体积.【答案】解: (Ⅰ) 11C CBB ADE 面为动点，所以需证因为⊥.AD BB ABC AD ABC BB C B A ABC ⊥⇒⊂⊥∴-11111,面且面是直棱柱AD BC BC D ABC RT ⊥∴∆的中点，为是等腰直角且又 ..1111111E C AD C CBB E C C CBB AD B BB BC ⊥⇒⊂⊥⇒=⋂面且面由上两点，且(证毕)(Ⅱ)660,//111111=∆⇒︒=∠∴AE E C A RT E C A A C CA 中，在 .的高是三棱锥是直棱柱中，在1111111111.2C B A E EB C B A ABC EB E B A RT -∴-=∆⇒ ..3232213131111111111111的体积为所以三棱锥E B A C EB S V V C B A C B A E E B A C -⋅=⋅⋅=⋅⋅==∆-- 32．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA 垂直于这个平面的交线AD 所以PA 垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E 为CD 的中点所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED 为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD 所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED 为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥P D,因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠= .(Ⅰ)证明:1AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,1AC =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.C 1B 1AA 1B C【答案】【答案】(I)取AB 的中点O,连接OC O 、1OA O 、1A B ,因为CA=CB,所以OC AB ⊥,由于AB=AA 1,∠BA A 1=600,故,AA B ∆为等边三角形,所以OA 1⊥AB.因为OC⨅OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1CC平面OA1C,故AB⊥AC.(II)由题设知12ABC AA B∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B都是边长为的等边三角形，所以2211111.OC OA AC AC OA OA OC =+⊥又，故111111111,--= 3.ABC ABCOC AB O OA ABC OA ABC A B CABC S A B C V S OA=⊥∆=⨯=因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC的体积34．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD-中,,AB AC AB PA⊥⊥,,2AB CD AB CD=∥,,,,,E F G M N分别为,,,,PB AB BC PD PC的中点(Ⅰ)求证:CE PAD∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN⊥平面平面【答案】35．（2013年高考四川卷（文））如图,在三棱柱11ABC A B C-中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,122AB AC AA ===,120BAC ∠= ,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q ,求三棱锥11A QC D -的体积.(锥体体积公式:13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高)【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC 内,过点P 作直线BC l //,因为l 在平面BC A 1外,BC 在平面BC A 1内,由直线与平面平行的判定定理可知,//l 平面1A BC .由已知,AC AB =,D 是BC 中点,所以BC ⊥AD ,则直线AD l ⊥, 又因为1AA ⊥底面ABC ,所以l AA ⊥1,又因为AD ,1AA 在平面11A ADD 内,且AD 与1AA 相交, 所以直线⊥l 平面11A ADD(Ⅱ)过D 作AC DE ⊥于E ,因为1AA ⊥平面ABC ,所以DE AA ⊥1,又因为AC ,1AA 在平面C C AA 11内,且AC 与1AA 相交,所以⊥DE 平面C C AA 11,由2==AC AB ,∠BAC ︒=120,有1=AD ,∠DAC ︒=60, 所以在△ACD 中,2323==AD DE , 又1211111=⋅=∆AA C A S AQC ,所以631233*********=⋅⋅=⋅==--QC A QC A D D QC A S DE V V 因此三棱锥11A QC D -的体积为6336．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A ,B ,C 三处垂直向地下钻探,自A 点向下钻到A 1处发现矿藏,再继续下钻到A 2处后下面已无矿,从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =.同样可得在B ,C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =,123C C d =,且123d d d <<. 过AB ,AC 的中点M ,N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为S 中. (Ⅰ)证明:中截面DEFG 是梯形;(Ⅱ)在△ABC 中,记BC a =,BC 边上的高为h ,面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体111222A B C A B C -的体积V )时,可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++,试C 11BCB 1判断V 估与V 的大小关系,并加以证明.【答案】(Ⅰ)依题意12A A ⊥平面ABC ,12B B ⊥平面ABC ,12C C ⊥平面ABC ,所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =,122B B d =,123C C d =,且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ,2AA ⊂平面22AA B B ,且平面22AA B B 平面MEFN ME =, 可得AA 2∥ME ,即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ,所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点,则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11AC 的中点, 即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+,12121311()()22FG A A C C d d =+=+,而123d d d <<,故DE FG <,所以中截面DEFG 是梯形. (Ⅱ)V V <估. 证明如下: [来源:学.科.网Z.X.X.K] 由12A A ⊥平面ABC ,MN ⊂平面ABC ,可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2,所以EM MN ⊥,同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC 的中位线,可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高, 因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a aS S d d d ++==+⋅=++中梯形,即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =,所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估. 由123d d d <<,得210d d ->,310d d ->,故V V <估.第20题图37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点.(1) 证明: BC 1//平面A 1CD; (2) 设AA 1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C 一A 1DE 的体积.【答案】38．（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥902,P A B C D A B C B A D B C A D P A-∠=∠==∆∆ 中，，与都是边长为2的等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求点.A PCD 到平面的距离【答案】(Ⅰ)证明:取BC 的中点E,连结DE,则ABED 为正方形.过P 作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故OE BD ⊥,从而PB OE ⊥. 因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点, 所以OE//CD.因此,PB CD ⊥.(Ⅱ)解:取PD 的中点F,连结OF,则OF//PB. 由(Ⅰ)知,PB CD ⊥,故OF CD ⊥.又12OD BD ==OP ==故POD ∆为等腰三角形,因此,OF PD ⊥. 又PD CD D = ,所以OF ⊥平面PCD.因为AE//CD,CD ⊂平面PCD,AE ⊄平面PCD,所以AE//平面PCD.因此,O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离,而112OF PB ==,所以A 至平面PCD 的距离为1.39．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=.已知2,PB PD PA === .(Ⅰ)证明:PC BD ⊥(Ⅱ)若E 为PA 的中点,求三菱锥P BCE -的体积.【答案】解:(1)证明:连接,BD AC 交于O 点PB PD = PO BD ∴⊥又 ABCD 是菱形 BD AC ∴⊥而AC PO O ⋂= BD ∴⊥面PAC ∴BD ⊥PC (2) 由(1)BD ⊥面PAC︒⨯⨯⨯==45sin 3262121PAC PEC S S △△=32236=⨯⨯ 111132322P BEC B PEC PEC V V S BO --∆==⋅⋅=⨯⨯= 40．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥O ABC -底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.第19题图B【答案】41．（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【答案】42．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)如题(19)图,四棱锥P A B C D -中,PA ⊥底面A B C D ,PA =,2BC CD ==, 3ACB ACD π∠=∠=. (Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积.【答案】43．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB//CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3(1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C;(2) 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离【答案】解.(1)证明:过B 作CD 的垂线交CD 于F,则1,2BF AD EF AB DE FC ==-==在Rt BFE BE Rt BFC BC ∆∆中，，中，在2229BCE BE BC EC ∆+中，因为＝＝,故BE BC ⊥由1111BB ABCD BE BB BE BB C C ⊥⊥⊥平面，得，所以平面(2)111111113A B C E A B C V AA S ∆-∙三棱锥的体积＝11111Rt A D C AC ∆在中，,同理,1EC ，1EA因此11A C E S ∆=.设点B1到平面11EAC 的距离为d,则111B EAC -三棱锥的体积1113A EC V d S ∆∙∙＝,d ==。

2013届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编7立体几何(2)

2013届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编7：立体几何（2）1．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）如图,在三棱锥A BCD-中,90ABC BCD CDA ︒∠=∠=∠=,6AC BC CD ===,设顶点A 在底面BCD 上的射影为E . (Ⅰ)求证:CE BD ⊥;(Ⅱ)设点G 在棱AC 上,且2CG GA =,试求二面角C EG D --的余弦值.【答案】证明:(I)方法一:由AE ⊥平面BCD 得AE ⊥CD ,又AD ⊥CD ,则CD ⊥平面AED , 故CD DE ⊥,同理可得CB BE ⊥,则BCDE 为矩形,又BC CD =, 则BCDE 为正方形,故CE BD ⊥方法二:由已知可得AB BD AD ===,设O 为BD 的中点,则,AO BD CO BD ⊥⊥,则BD ⊥平面AOC ,故平面BCD ⊥平面AOC ,则顶点A 在底面BCD 上的射影E 必在OC ,故CE BD ⊥. (II)方法一:由(I)的证明过程知OD ⊥平面AEC ,过O 作OF EG ⊥,垂足为F ,则易证得DF EG ⊥,故OFD ∠即为二面角C EG D --的平面角,由已知可得6AE =,则2AE AG AC =⋅,故EG AC ⊥,则2CGOF ==,又OD =则DF =,故cos OFD ∠=,即二面角C EG D --AGEDB方法二: 由(I)的证明过程知BCDE 为正方形,如图建立坐标系,则(0,0,0),(0,6,0),(0,0,6),(6,0,0),(6,6,0)E D A B C,可得(2,2,4)G ,则)4,2,2(),0,6,0(==→→EG ED ,易知平面CEG的一个法向量为)0,6,6(-=→BD ,设平面DEG 的一个法向量为)1,,(y x n =→,则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00EG n ED n 得)1,0,2(-=→n ,则510cos =⋅=〉⋅〈→→→→→→nBD n BD n BD ,即二面角C EG D --2．（2013届湖北省高考压轴卷数学（文）试题）如图,1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线,BC 是底面圆O 的直径,D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点,1DE CBB ⊥平面.(1) 证明://DE ABC 平面; (2)求四棱锥11C ABB A -与圆柱1OO 的体积比;(3)若1BB BC =,求直线1CA 与平面1BB C 所成角的正弦值.【答案】(1)如图,连接.E OA O O E 、、分别为1CB BC 、的中点,EO ∴是1BB C ∆的中位线,1//EO BB ∴且112EO BB =.又111//,DA BB AA BB =,故11,2DA BB EO DA ==∴//EO 且DA EO =, ∴四边形AOED 是平行四边形,即//DE OA ,又,,//DE ABC OA ABC DE ABC ⊄⊂∴平面平面平面. (2)如图,连接CA .由题知1DE CBB ⊥平面,且由(1)知//DE OA ,1,AO CBB AO BC ∴⊥∴⊥平面,AC AB ∴==.BC是底面圆O的直径,CA AB∴⊥.又1AA 是圆柱的母线,1AA ABC ∴⊥平面,11,AA CA AA AB A ∴⊥=又,11CA AA B B ∴⊥平面,即CA 为四棱锥11C ABB A -的高. 设圆柱高为h ,底面半径为r ,则))112212=,33C ABB A V r h V h hr π-=⋅=圆柱, 1122223:3C ABB A hrV V r h ππ-∴==圆柱. (3)如图,作过C 的母线1CC ,连接11B C ,则11B C 是上底面圆1O 的直径,连接11A O ,则11//AO AO ,又111111,AO CBB C AO CBB C ⊥∴⊥平面平面,连接1CO ,则11ACO ∠为直线1CA 与平面1BB C 所成的角.111,AC AO r ====,∴在11Rt AO C ∆中,11111sin A O ACO A C ∠==.∴直线1CA 与平面1BB C 3．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）在如图所示的几何体中,AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD =DE =2AB ,F 为CD 的中点.(Ⅰ)求证:AF ∥平面BCE ;(Ⅱ)求证:平面BCE ⊥平面CDE.【答案】证明:(1)如图,取CE 的中点G ,连接FG ,BG . ∵F 为CD 的中点,∴GF ∥DE ,且GF =12DE .∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,∴AB ∥DE .∴GF ∥AB . 又AB =12DE ,∴GF =AB .∴四边形GF AB 为平行四边形,则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ,BG ⊂平面BCE ,∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形,F 为CD 的中点,∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ,AF ⊂平面ACD ,∴DE ⊥AF .又CD ∩DE =D ,∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ,∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ,∴平面BCE ⊥平面CDE .4．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）如图(1),在等腰梯形CDEF 中,CB.DA 是梯形的高,2AE BF ==,AB =,现将梯形沿CB.DA 折起,使EF//AB 且2EF AB =,得一简单组合体ABCDEF 如图(2)所示,已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点.(Ⅰ)求证://MN 平面BCF ; (Ⅱ)求证:AP ⊥平面DAE .DCBAEFMNPFEABCD【答案】解:(Ⅰ)证明:连结AC ,∵四边形ABCD 是矩形,N 为BD 中点,MNPFEABCD∴N 为AC 中点,在ACF ∆中,M 为AF 中点 ∴//MN CF∵CF ⊂平面BCF ,MN ⊄平面BCF //MN ∴平面BCF(Ⅱ)证明:依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I ∴AD ⊥平面ABFE ∵AP ⊂平面ABFE ∴AP AD ⊥∵P 为EF中点,∴FP AB ==结合//AB EF ,知四边形ABFP 是平行四边形 ∴//AP BF ,2AP BF ==而2,AE PE ==∴222AP AE PE += ∴90EAP ∠=,即AP AE ⊥ 又AD AE A =I ∴AP ⊥平面ADE5．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）如图,在四棱锥ABCD -PGFE 中,底面ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB //DC ,∠ABC =45o,DC =1,AB =2,PA =1. (Ⅰ)求PD 与BC 所成角的大小; (Ⅱ)求证:BC ⊥平面PAC ; (Ⅲ)求二面角A -PC -D 的大小.【答案】(Ⅰ)取的AB 中点H ,连接DH ,易证BH//CD ,且BD =CD所以四边形BHDC 为平行四边形,所以BC//DH所以∠PDH 为PD 与BC 所成角因为四边形,ABCD 为直角梯形,且∠ABC =45o, 所以DA ⊥AB又因为AB =2DC =2,所以AD =1, 因为Rt△PAD 、Rt△DAH 、Rt△PAH 都为等腰直角三角形,所以PD =DH =PH,故∠PDH =60o(Ⅰ)连接CH ,则四边形ADCH 为矩形, ∴AH =DC 又AB =2,∴BH =1 在Rt△BHC 中,∠ABC =45o, ∴CH =BH =1,CB∴AD =CH =1,AC∴AC 2+BC 2=AB 2∴BC ⊥AC 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ∵PA ∩AC =A ∴BC ⊥平面PAC(Ⅲ)如图,分别以AD 、AB 、AP 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则由题设可知: A (0,0,0),P (0,0,1),C (1,1,0),D (1,0,0), ∴AP =(0,0,1),PC =(1,1,-1)设m =(a ,b ,c )为平面PAC 的一个法向量, 则0AP PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ,即00c a b c =⎧⎨+-=⎩设1a =,则1b =-,∴m =(1,-1,0)同理设n =(x ,y ,z ) 为平面PCD 的一个法向量,求得n =(1,1,1)∴1cos ,2===m n m n m n 所以二面角A -PC -D 为60o6．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,点E 在线段AD 上,且CE ∥AB .(1) 求证:CE ⊥平面PAD;(11)若PA =AB =1,AD =3,CD ,∠CDA =45°,求四棱锥P-ABCD 的体积.【答案】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE ⊂平面ABCD,所以PA⊥CE,因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA ⋂AD=A,所以CE ⊥平面PAD(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD 中,DE=CD cos 451⋅=,CE=CD sin 451⋅=. 又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE 为矩形,所以ABCD ABCE BCD S S S ∆=+=12AB AE CE DE ⋅+⋅=15121122⨯+⨯⨯=,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD 的体积等于115513326ABCD S PA ⋅=⨯⨯= 7．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）如图所示,已知圆O 的直径AB 长度为4,点D 为线段AB 上一点,且13AD DB =,点C 为圆O 上一点,且BC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD BD =.(Ⅰ)求证:CD ⊥平面PAB ;(Ⅱ)求PD 与平面PBC 所成的角的正弦值.【答案】解答:(Ⅰ)连接CO ,由3AD DB =知,点D 为AO 的中点,又∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥,由BC =知,60CAB ∠=, ∴ACO ∆为等边三角形,从而CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥,由PD AO D =得,CD ⊥平面PAB(注:证明CD ⊥平面PAB 时,也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到,酌情给分.) (Ⅱ)法1:过D 作⊥DH 平面PBC 交平面于点H ,连接PH ,则DPH ∠即为所求的线面角由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,∴111113333232P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=又PB ==,PC ==,BC ==∴PBC ∆为等腰三角形,则12PBC S ∆=⨯=. 由P BDC D PBC V V --=得,553=DH ∴55sin ==∠PD DH DPH法2:由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,过点D 作DE CB ⊥,垂足为E ,连接PE ,再过点D 作DF PE ⊥,垂足为F∵PD ⊥平面ABC ,又CB ⊂平面ABC , ∴PD CB ⊥,又PD DE D =, ∴CB ⊥平面PDE ,又DF ⊂平面PDE , ∴CB DF ⊥,又CB PE E =,∴DF ⊥平面PBC ,故DPF ∠为所求的线面角在Rt DEB ∆中,3sin 302DE DB =⋅=,PE ==,55sin sin ==∠=∠PE DE DPE DPF 8．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）已知直角梯形ABCD中,//AD BC ,122AD AB BC ===,90ABC ∠=︒,PAB ∆是等边三角形,平面PAB ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证:BD DC ⊥;(Ⅱ)求三棱锥P BCD -的体积.【答案】【解析】(Ⅰ)∵2AD =,2AB =,45AD AB ADB DBC ⊥⇒∠=∠=︒ 过D 作DM BC ⊥,垂足为M ,则2DM AB MC ===∴45DCM ∠=︒,∴90BDC ∠=o ,∴BD DC ⊥.(Ⅱ)21132P BCD V -===. 9．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）如图,已知在四棱锥PABCD 中,底面ABCD 是矩形,且AD=2,AB=1,PA ⊥平面ABCD,E,F 分别是线段AB,BC 的中点.(1)证明:PF ⊥FD ;(2)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得EG ∥平面PFD ;(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°,求二面角A PD F 的余弦值.【答案】(1)证明:∵P A ⊥平面ABCD ,∠BAD =90°,AB =1,AD =2,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),F (1,1,0),D (0,2,0).不妨令P (0,0,t ),∵PF =(1,1,-t ),DF =(1,-1,0), ∴PF DF ⋅=1×1+1×(-1)+(-t )×0=0,即PF ⊥FD (2)解:设平面PFD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 由0,0,n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z =1,解得:x =y =t2.∴n =⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t2，1. 设G 点坐标为(0,0,m ),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0,则EG =⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m , 要使EG ∥平面PFD ,只需EG ·n =0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×t2+0×t 2+1×m =m -t 4=0,得m =14t ,从而满足AG =14AP 的点G即为所求(3)解:∵AB ⊥平面P AD ,∴AB 是平面P AD 的法向量,易得AB =(1,0,0),又∵P A ⊥平面ABCD ,∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角,得∠PBA =45°,P A =1,平面PFD 的法向量为n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.∴cos<AB ,n >=AB n AB n⋅=1214＋14＋1=66.故所求二面角A PD F 的余弦值为6610．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）在直角梯形ABCD 中90ABC DAB ∠=∠=,30CAB ∠=,BC=1,AD=CD,把△DAC 沿对角线AC 折起后如图所示(点D 记为点P),点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上,连接PB.若F 是AC 的中点,连接PF,EF. (1) 求证:平面PEF⊥AC. (2) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小.AC【答案】解:1.AC90,30,1ABC DAB CAB BC ∠=∠=∠==3,2,60.2tan 30BCAB AC DAC AD CD AC ∴===∠=∴===,.PA PC PF AC =∴⊥E P ABC PE ABC PE AC ∴⊥∴⊥点为点在平面上的正投影，平面.,,PF PE P PF PEF PE PEF AC PEF =⊂⊂∴⊥平面平面平面【D 】2． PE ABC PE BC ⊥∴⊥平面,,,BC AB PE AB E PE PAB BC PAB ⊥=⊂∴⊥平面平面CPB PC PAB ∴∠为直线与平面所成的角.1t sin =.2BC PC ∴∠在R CBP 中，BC=1,PC=DC=2,CPB=00,30.<∠∴∠=CPB<9CPB ∴直线PC 与平面PAB 所成的角为 3011．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形,其重心为G 点, E 是线段1BC 上一点,且113BE BC =. (1)求证:GE //侧面11AA B B ;(2)求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值;(3)在直线．．AG 上是否存在点T,使得AG T B ⊥1?若存在,指出点T 的位置;若不存在,说明理由.【答案】【解析】解法1:(1)延长B 1E 交BC 于点F,11B EC ∆∽△FEB,BE=21EC 1,∴BF=21B 1C 1=21BC,从而点F 为BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心,∴A、G 、F 三点共线.且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==, 又GE ⊄侧面AA 1B 1B,∴GE//侧面AA 1B 1B.(2)在侧面AA 1B 1B 内,过B 1作B 1H⊥AB,垂足为H,∵侧面AA 1B 1B⊥底面ABC,∴B 1H⊥底面ABC.又侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,AA 1=2,∴∠B 1BH=60°,BH=1,B 1H=.3 在底面ABC 内,过H 作HT⊥AF,垂足为T,连B 1T,由三垂线定理有B 1T⊥AF,又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF,∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH 2330sin =︒.在Rt△B 1HT 中,332tan 11==∠HT HB TH B ,从而平面B 1GE 与底面ABC (3)(2)问中的T 点即为所求,T 在AG 的延长线上,距离A 点233处. 12．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为DD 1、DB的中点.(I)求证:EF//平面ABC 1D 1; (II)求证:1EF B C ⊥..【答案】(Ⅰ)连结1BD ,在B DD 1∆中,E 、F 分别为1D D ,DB 的中点,则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面(Ⅱ)⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥B BC AB D ABC C B D ABC AB BC C B ABC B 111111111 面面⇒111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥13．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））已知矩形ABCD 中,1AB AD ==,将ABD ∆沿BD 折起,使点A 在平面BCD 内的射影落在DC 上.(Ⅰ)求证:平面ADC ⊥平面BCD ; (Ⅱ)求点C 到平面ABD 的距离;(Ⅲ)若E 为BD 中点,求二面角B AC E --的大小.【答案】证明:(Ⅰ)∵点A 在平面BCD 上的投影落在DC 上,即平面ACD 经过平面BCD 的垂线,∴平面ACD ⊥平面BCD (Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,0,0)(0,C B D ∵A 的投影在DC 上,令00(0,,)A y z 由0||1DA AB DA ⋅== 即2200022000010y z y z ++=+++=FC DBAE1A 1B 1C 1D(0,A ∴,由22(1,,),(0,AB AD =-=-, 求得平面ABD的一个法向量为(2,1,1)n =--, 而(0,AC =,∴C 到平面BCD 的距离为||2||AC n d n ⋅==(Ⅲ)由22(1,,),(1,0,0)BA CB =--=,求得平面BAC 的一个法向量1(0,1,1)n= 221(0,,),(,0,2AC AE=-=,求得平面AEC 的一个法向量2n = 由图可见B AC E --为锐二面角,设此平面角为θ,则1212||2cos ||||n n n n θ⋅==⋅45θ∴=︒14．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）本题共2小题,第(Ⅰ)小题6分,第(Ⅱ)小题8分.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 111,2AD A A AB ===,点E 在棱AB 上. (Ⅰ)求异面直线1D E 与1A D 所成的角;(Ⅱ)若二面角1D EC D --的大小为45︒,求点B 到平面1D EC 的距离.【答案】解法一:(1)连结1AD .由11AA D D 是正方形知11AD A D ⊥.∵AB ⊥平面11AA D D ,∴1AD 是1D E 在平面11AA D D 内的射影. 根据三垂线定理得11AD D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.(Ⅱ)作DF CE ⊥,垂足为F ,连结1D F ,则1CE D F ⊥.所以1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角,145DFD ∠=︒.于是111,DF DD D F ===,易得RtRt BCE CDF ∆≅∆,所以2CE CD ==,又1BC =,所以BE =. 设点B 到平面1D EC 的距离为h ,则由于1,B CED D BCE V V --=即1111113232CE D F h BE BC DD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,因此有11CE D F h BE BC DD ⋅⋅=⋅⋅,即=,∴h =. 解法二:分别以1,,DD DC DA 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系. (Ⅰ)由1(1,0,1)A ,得1(1,0,1)DA =,设(1,,0)E a ,又1(0,0,1)D ,则1(1,,1)D E a =-.∵111010DA D E ⋅=+-=∴11DA D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒. (Ⅱ)(0,0,1)=m 为面DEC 的法向量,设(,,)x y z =n 为面1CED 的法向量,则(,,)x y z =n|||cos ,|cos 45||||⋅<>===︒=m n m n m n ,∴222z x y =+. ①由(0,2,0)C ,得1(0,2,1)D C =-,则1D C ⊥n ,即10D C ⋅=n ,∴20y z -= ②由①、②,可取2)=n ,又(1,0,0)CB =,所以点B 到平面1D EC 的距离||CB d ⋅===n |n |. 15．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）如图,在三棱柱ABC —111A B C 中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒,12AC BC CC ===. (1)求证:11AB BC ⊥;(2)求二面角1C —1AB —1A 的大小.【答案】方法一(1)BC AC ⊥,1CC AC ⊥且C CC BC =1 ,∴⊥AC 平面11CBB C , 又⊂1BC 平面11CBB C ,∴1BC AC ⊥,11BC C B ⊥且C C B AC =1∴⊥1BC 平面C AB 1,又⊂1AB 平面C AB 1∴ 11BC AB ⊥(2)取11B A 的中点为H ,在平面11ABB A 内过H 作1AB HQ ⊥于Q ,连接Q C 1 则⊥H C 1平面11ABB A ,所以11AB H C ⊥ , 而且H HQ H C = 1所以⊥1AB 平面HQ C 1,所以⊥1AB Q C 1 所以QH C 1∠是二面角111A AB C --的平面角 , 又21=H C在AB A 1∆内,解得36=HQ , 所以 3tan 11==∠HQHC QH C 所以二面角111A AB C --的平面角为060方法2: 建立空间直角坐标系(以C 为原点,CA 为x 轴正半轴,CB 为y 轴正半轴,1CC 为z 轴正半轴) 则)2,0,2(),2,0,0(),2,2,0(),0,2,0(),0,0,2(111A C B B A (1)),2,2,2(1-=AB)2,2,0(1-=BC022)2(20211=⨯+-⨯+⨯-=⋅∴BC AB11BC AB ⊥∴(2)取11B A 的中点为H ,则)2,1,1(H .平面11A AB 的法向量)0,1,1(1=C 设平面11AB C 的法向量),,(z y x =)0,2,0(),2,0,2(111=-=B C A C⎩⎨⎧==-∴02022y z x z x y ==∴,0,令1=z∴得平面11AB C 的一个法向量)1,0,1(=2122|011011|cos =⨯⨯+⨯+⨯=∴θ 又所求二面角111A AB C --的平面角为锐角, 所以二面角111A AB C --的平面角为06016．（2013届海南省高考压轴卷文科数学）如图,在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,D 1D⊥平面ABCD,底面ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A 1B 1,∠BAD=60°.(Ⅰ)证明:AA 1⊥BD;(Ⅱ)证明:CC 1∥平面A 1BD.【答案】分析:(Ⅰ) 由D 1D⊥平面ABCD,可证 D 1D⊥BD.△ABD 中,由余弦定理得 BD 2,勾股定理可得 AD⊥BD,由线面垂直的判定定理可证 BD⊥面ADD 1A 1,再由线面垂直的性质定理可证 BD⊥AA 1.(Ⅱ)连接AC 和A 1C 1,设AC∩BD=E,先证明四边形ECC 1A 1为平行四边形,可得CC 1∥A 1E,再由线面平行的判定定理可证CC 1∥平面A 1BD.解答:证明:(Ⅰ)∵D 1D⊥平面ABCD,∴D 1D⊥BD. 又AB=2AD,AD=A 1B 1,∠BAD=60°,△ABD 中,由余弦定理得 BD 2=AD 2+AB 2﹣2AB•ADcos60°=3AD 2,∴AD 2+BD 2=AB 2, ∴AD⊥BD,又 AD∩DD 1=D,∴BD⊥面ADD 1A 1.由 AA 1⊂面ADD 1A 1,∴BD⊥AA 1.(Ⅱ)证明:连接AC 和A 1C 1,设 AC∩BD=E,由于底面ABCD 是平行四边形,故E 为平行四边形ABCD 的中心,由棱台的定义及AB=2AD=2A 1B 1,可得 EC∥A 1C 1,且 EC=A 1C 1,故ECC 1A 1为平行四边形,∴CC 1∥A 1E,而A 1E ⊂平面A 1BD,∴CC 1∥平面A 1BD17．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））如图,已知四棱锥E- ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=600,AB =EC =2,AE =BE =2.(I)求证:平面EAB ⊥平面ABCD ;(II)求二面角A- EC- D 的余弦值.【答案】解法1:(1)证明:取AB 的中点O,连接EO ,CO∵2==EB AE ,AB =2 ∴△ABC 为等腰三角形∴AB EO ⊥,EO =1 又∵AB =BC ,∠ABC =600∴△ABC 为等边三角形 ∴3=CO ,又EC =2∴222CO EO EC += 即CO EO ⊥,⊥EO 平面ABCD ,且⊂EO 平面EAB∴ 平面E AB⊥平面ABCD,(2)过A 作AH⊥CE 于H 点,过H 作HM//CD,又Rt△EDO 解得DE=22, 所以222DE EC DC =+即EC DC ⊥,所以MH⊥CE,因此∠AHM 为二面角A EC D --的平面角,通过计算知27=AH ,21=MH ,1=AM ,所以7722127214147cos =⨯⨯-+=∠AHM所以二面角D EC A --的余弦值为772 解法2.(1)设AC∩BD=O,如图,以O 为原点,OHMOMyzOC,OB 为x,y 轴建立空间直角坐标系O-xyz 设E(m,n,t ),则A(-1,0,0),C(1,0,0), B(0,3,0), D(0,-3,0),∴),,1(t n m AE +=, ),3,(t n m BE -=,),,1(t n m CE -=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-==+-+==+++=4)1(23(2)1(222222222222t n m CE t n m BE t n m AE 解得:1,23,21==-=t n m所以)1,23,21(-E ,因为AB 的中点)0,33,21(-M ,所以)1,0,0(=ME 即ME⊥平面ABCD,又⊂ME 平面EAB,所以平面EAB⊥平面ABCD, (2))1,23,23(-=CE ,)0,0,2(=AC ,)0,3,1(=DC,分别设平面AEC,平面ECD 的法向量为),,(),,,(z y x m z y x n '''==则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+⋅+⋅-=⋅0202323x n AC z y x n CE 令y= -2,得)3,2,0(-=n ⎪⎩⎪⎨⎧='+'=⋅='+'⋅+'⋅-=⋅0302323y x n DC z y x n CE令1-='y ,)32,1,3(-=m 7724762||||,cos =⨯+=⋅⋅>=<m n m n m n所以二面角D EC A --的余弦值为772 解法3:(1)(同解法1);(2)以AB 中点O 为坐标原点,以OB 所在直线y 轴,OE 所在直线为z 轴, 建立空间直角坐标系如图所示,则)0,1,0(-A ,)0,0,3(C ,)0,2,3(-D ,)1,0,0(E)0,1,3(=AC ,)1,0,3(-=EC .)0,2,0(=DC设平面DEC 的法向量),,(z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-=⋅0203y n DC z x n CE ,令1=z ,得)1,0,33(=n 设平面EAC 的法向量),,(z y x m '''=⎪⎩⎪⎨⎧='+'=⋅='-'=⋅0303y x n AC z x n CE ,令1='z ,得)1,1,33(-=m 7723237131||||,cos =⨯+=⋅⋅>=<m n m n m n∴二面角D EC A --的余弦值为772 18．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）( )如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E F、分别为1DD 、DB 的中点.(1)求证:1EF B C ⊥;(2)求三棱锥1B EFC V -的体积.FE D 1C 1B 1A 1DCBA【答案】【解析】(1)证明:FE D 1C 1B 1A 1DCB A1111111B C ABB C BC AB BC ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⎬⊂⎪⎪=⎭、面111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭面面1111//B C BD EF B C EF BD ⊥⎫⇒⊥⎬⎭(2)11CF BDD B ⊥面1CF EFB ∴⊥面,且CF BF ==1112EF BD B F =====13B E ===22211EF B F B E ∴+=即190EFB ︒∠=9分111111111133232B EFC C B EF B EF V V S CF EF B F CF --∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=19．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）如图所示,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面边长和侧棱长都是2,D 是侧棱CC 1上任意一点,E 是A 1B 1的中点. (I)求证:A 1B 1//平面ABD; (II)求证:AB⊥CE;(III)求三棱锥C-ABE 的体积.【答案】解(Ⅰ)证明:由正三木棱住的性质知11B A ∥AB,因为ABD B A ABD AB 平面，平面⊄⊂11, 所以11B A ∥平面ABD.(Ⅱ)设AB 中点为G,连结GE,GC.GC AB G ABC ⊥∴∆为中心，为正三角形，且又EG∥1AA ,GE AB AB AA ⊥∴⊥,1又GEC AB G GE CG 平面所以⊥=⋂,而CE AB GEC CE ⊥⊂，所以平面(Ⅲ)由题意可知:ABC ABC E ABE c S EG V V ∆--⨯⨯==3120．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）将棱长为a 正方体截去一半(如图7所示)得到如图8所示的几何体,点E ,F 分别是BC ,DC 的中点.(1)证明:1AF ED ⊥;(2)求三棱锥1E AFD -的体积.【答案】(1)证:连接DE ,交AF 于点O ∵1D D ⊥平面ABCD ,AF ⊂平面ABCD ∴1D D AF ⊥∵点E ,F 分别是BC ,1D C 的中点,∴DF CE =又∵AD DC =,90ADF DCE ∠=∠=D 1DC BA 1A EF O A 1 B 1C 1D 1AB C D图7D 1 D C B A 1 AEF 图8∴ADF ∆≌DCE ∆,∴AFD DEC ∠=∠又∵90CDE DEC ∠+∠=∴90CDE AFD ∠+∠=∴()18090DOF CDE AFD ∠=-∠+∠=,即AF DE ⊥ 又∵1D D DE D = ∴AF ⊥平面1D DE 又∵1ED ⊂平面1D DE ∴1AF ED ⊥(2)解:∵1D D ⊥平面ABCD ,∴1D D 是三棱锥1D AEF -的高,且1D D a =∵点E ,F 分别是BC ,1D C 的中点,∴2a DF CF CE BE ==== ∴AEF ADF FCE ABE ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形2111222a AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅2222234848a a a a a =---= ∴11E AFD D AEF V V --=113AEF S D D ∆=⋅⋅2313388a a a =⋅⋅=。

2013年普通高考文科数学试题汇编-立体几何解答题

2013年普通高考文科数学试题汇编-立体几何解答题三、解答题1．（2013年高考辽宁卷（文））如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(I)求证:BC PAC ⊥平面；(II)设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面【答案】(I) 由AB 式圆O 的直径，得AC ⊥BC. 由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC, 又PA ∩AC=A,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC, 所以BC ⊥平面PAC.（II ）连OG 并延长交AC 与M ，链接QM ，QO. 由G 为∆AOC 的重心，得M 为AC 中点，由G 为PA 中点，得QM//PC. 又O 为AB 中点，得OM//BC. 因为QM ∩MO=M,QM ⊂平面QMO.所以QG//平面PBC.2．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;(Ⅱ)若G 是PC 的中点,求DG 与APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求PGGC的值.【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC是等腰三角形,且底角等于30°,且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且,所以;、BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭;(Ⅱ)设AC BD O = ,由(1)知DO PAC ⊥,连接GO ,所以DG 与面APC 所成的角是DGO ∠,由已知及(1)知:1,2BO AO CO DO =====,12tan 2OD GO PA DGO GO ==⇒∠===所以DG 与面APC 所成的角(Ⅲ)由已知得到:PC ===因为PC BGD PC GD ⊥∴⊥,在PDC ∆中,PD CD PC ====,设223107)2PG PG x CG x x x PG x GC GC =∴=-∴-=--∴====3．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.【答案】解: (Ⅰ) 设111O D B 线段的中点为.11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 .的对应线段是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO -为平行四边形四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴ 1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕)(Ⅱ) 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 . 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在11)2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱. 所以,1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱.4．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,60PAD ∠= .(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积.【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形ABCD 中,过点C 作CE AB ⊥,垂足为E ,由已知得,四边形ADCE 为矩形,3AE CD == 在Rt BEC ∆中,由5BC =,4CE =,依勾股定理得: 3BE =,从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得,PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中,由4AD =,60PAD ∠=︒,得PD = 正视图如右图所示:(Ⅱ)取PB 中点N ,连结MN ,CN 在PAB ∆中,M 是PA 中点,∴MN AB ,132MN AB ==,又CD AB ,3CD =∴MN CD ,MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形,∴DM CN 又DM ⊄平面PBC ,CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC(Ⅲ)13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=,PD =,所以D PBC V -=解法二:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)取AB 的中点E ,连结ME ,DE在梯形ABCD 中,BE CD ,且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC ,又DE ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC ,又在PAB ∆中,ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E = ,∴平面DME 平面PBC ,又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC(Ⅲ)同解法一5．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4【答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AEDB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF==.在三棱锥A BCF -中,2BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭6．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA 1=3,D 是BC 的中点,点E 在菱BB 1上运动. (I) 证明:AD⊥C 1E;(II)当异面直线AC,C 1E 所成的角为60°时,求三菱子C 1-A 2B 1E 的体积.【答案】解: (Ⅰ) 11C CBB ADE 面为动点，所以需证因为⊥.AD BB ABC AD ABC BB C B A ABC ⊥⇒⊂⊥∴-11111,面且面是直棱柱AD BC BC D ABC RT ⊥∴∆的中点，为是等腰直角且又 ..1111111E C AD C CBB E C C CBB AD B BB BC ⊥⇒⊂⊥⇒=⋂面且面由上两点，且(证毕)(Ⅱ)660,//111111=∆⇒︒=∠∴AE E C A RT E C A A C CA 中，在 .的高是三棱锥是直棱柱中，在1111111111.2C B A E EB C B A ABC EB E B A RT -∴-=∆⇒ ..3232213131111111111111的体积为所以三棱锥E B A C EB S V V C B A C B A E E B A C -⋅=⋅⋅=⋅⋅==∆-- 7．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA 垂直于这个平面的交线AD 所以PA 垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E 为CD 的中点所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED 为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD 所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED 为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥PD,因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.8．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠= .(Ⅰ)证明:1AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,1AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积.C 1B 1AA 1B C【答案】【答案】(I)取AB 的中点O,连接OC O 、1OA O 、1A B ,因为CA=CB,所以OC AB ⊥,由于AB=AA 1,∠BA A 1=600,故,AA B ∆为等边三角形,所以OA 1⊥AB.因为OC ⨅OA 1=O,所以AB ⊥平面OA 1C.又A 1CC 平面OA 1C,故AB ⊥AC. (II)由题设知12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B 都是边长为的等边三角形，所以2211111.OC OA AC AC OA OA OC ===+⊥又，故111111111,--= 3.ABC ABCOC AB O OA ABC OA ABC A B CABC S A B C V S OA=⊥∆=⨯=因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC的体积9．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD-中,,AB AC AB PA⊥⊥,,2AB CD AB CD=∥,,,,,E F G M N分别为,,,,PB AB BC PD PC的中点(Ⅰ)求证:CE PAD∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN⊥平面平面【答案】10．（2013年高考四川卷（文））如图,在三棱柱11ABC A B C-中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,122AB AC AA ===,120BAC ∠= ,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q ,求三棱锥11A QC D -的体积.(锥体体积公式:13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高)【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC 内,过点P 作直线BC l //,因为l 在平面BC A 1外,BC 在平面BC A 1内,由直线与平面平行的判定定理可知,//l 平面1A BC .由已知,AC AB =,D 是BC 中点,所以BC ⊥AD ,则直线AD l ⊥, 又因为1AA ⊥底面ABC ,所以l AA ⊥1,又因为AD ,1AA 在平面11A ADD 内,且AD 与1AA 相交, 所以直线⊥l 平面11A ADD(Ⅱ)过D 作AC DE ⊥于E ,因为1AA ⊥平面ABC ,所以DE AA ⊥1,又因为AC ,1AA 在平面C C AA 11内,且AC 与1AA 相交,所以⊥DE 平面C C AA 11,由2==AC AB ,∠BAC ︒=120,有1=AD ,∠DAC ︒=60, 所以在△ACD 中,2323==AD DE , 又1211111=⋅=∆AA C A S AQC ,所以631233*********=⋅⋅=⋅==--QC A QC A D D QC A S DE V V 因此三棱锥11A QC D -的体积为6311．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A ,B ,C 三处垂直向地下钻探,自A 点向下钻到A 1处发现矿藏,再继续下钻到A 2处后下面已无矿,从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =.同样可得在B ,C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =,123C C d =,且123d d d <<. 过AB ,AC 的中点M ,N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为S 中.(Ⅰ)证明:中截面DEFG 是梯形;(Ⅱ)在△ABC 中,记BC a =,BC 边上的高为h ,面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储C 11BC B 1量(即多面体11122A B C A B C -的体积V )时,可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++,试判断V 估与V 的大小关系,并加以证明.【答案】(Ⅰ)依题意12A A ⊥平面ABC ,12B B ⊥平面ABC ,12C C ⊥平面ABC ,所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =,122B B d =,123C C d =,且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ,2AA ⊂平面22AA B B ,且平面22AA B B 平面MEFN ME =, 可得AA 2∥ME ,即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ,所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点,则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点, 即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+,12121311()()22FG A A C C d d =+=+,而123d d d <<,故DE FG <,所以中截面DEFG 是梯形. (Ⅱ)V V <估. 证明如下:由12A A ⊥平面ABC ,MN ⊂平面ABC ,可得12A A MN ⊥.而EM ∥A 1A 2,所以EM MN ⊥,同理可得FN MN ⊥.由MN 是△ABC 的中位线,可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高,因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a aS S d d d ++==+⋅=++中梯形,即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =,所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++. 第20题图于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估. 由123d d d <<,得210d d ->,310d d ->,故V V <估.12．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，。

新课标全国统考省份2013届最新文科数学分类汇编7：立体几何(2)

新课标全国统考区2013届文科数学分类汇编7：立体几何（2）一、选择题 1 ．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试文科数学）某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为（）A ．4B ．203C ．263D ．8侧视图俯视图【答案】【命题意图】本小题通过三视图考查学生的空间想象能力与运算求解能力,是一道中档难度的试题.【试题解析】B 由三视图可知,该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥, 则12111202242223323V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=,故选 B ．2 ．（吉林省白山市第一中学2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m)则该几何体的体积(单位:m 3)为 ( ) （）A ．27B ．29 C ．37 D ．49 【答案】A3 ．（吉林省集安市第一中学2013届高三下学期半月考数学（文）试题）将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为【答案】D4 ．（吉林省四校联合体2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）如图,三棱锥VABC -底面为正三角形,侧面VAC 与底面垂直且VA VC =,已知其主视图的面积为23,则其左视图的面积为（）ABCD【答案】B5 ．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（文）试题）如图是一个三棱柱的正视图和侧视图,其俯视图是面积为,则该三棱柱的体积是（）A ．8B．C ．16D ．163【答案】A6 ．（吉林省白山市第一中学2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）正四棱锥的侧棱长为32,侧棱与底面所成的角为 60,则该棱锥的体积为（）A ．3B ．6C ．9D ．18【答案】B7 ．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（文）试题）已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D8 ．（内蒙古包头市包头一中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）下图是一个几何体的三视图,其中正视图是边长为2的等边三角形,侧视图是直角边长分别为l,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积等于（）侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图俯视图1侧视图俯视图ABCD ．2π【答案】A9 ．（黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A ．224+B ．244+C ．8D ．10522+++【答案】B 10．（内蒙古一机集团第一中学2013届高三下学期综合检测（一）数学（文）试题）已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为（）A ．24-32πB ．24-π3C ．24-πD ．24-π2【答案】A11．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（文）试题）已知三个互不重合的平面,,αβγ,,,a b c αβαγβγ=== ,则给出下列命题:①若,a b a c ⊥⊥,则b c ⊥;②若a b p = ,则a c p = ;③若,a b a c ⊥⊥,则a γ⊥;正视图侧视图④若a//b,则a//c.其中止确命题个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 12．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（文）试题）若一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为（）ABC ．1 D【答案】A13．（云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学文试题（word 版））如图是一个空间几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是半径为1的半径,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积等于（）A ．4πB ．43πC ．23π D ．3π 【答案】C14．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（文）试题）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,则这个三棱柱的体积是( ) （）A ．B ．C ．D ．【答案】D15．（山西省康杰中学2013届高三第三次模拟数学（文）试题）如图所示是一个几体体的三视图,其侧视图是一个边长为a 的等边三角形,俯视图是由两个等边三角形拼成的菱形,则该几何体的体积为（）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a正视图侧视图俯视图【答案】A 321234a V =⨯=. 故选（）A ．16．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）已知球的直径SC =4,（） A ．B 是该球球面上的两点,AB =3,∠ASC =∠BSC =30°,则棱锥S —ABC 的体积为（）A ．3 3B ．2 3C ． 3D ．1 【答案】C 17．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（文）试题）点（）A ．B ．C ．D 在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=2,若四面体ABCD体积的最大值为32,则这个球的表面积为（） A ．6125πB ．8πC ．425πD ．1625π【答案】C18．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（文）试题（word 版））一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为（）A ．332 B ．316C ．334 D ．338 【答案】D19．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（文）试题）一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为【答案】C 二、填空题20．（山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（文）试题）已知三棱锥A BCD -内接于球O,AB AD AC BD ====,60BCD ∠=,则球O 的表面积为__________.【答案】92π解析:AG ⊥面BCD,AG ∴222)1R R +=∴R =∴2942S R ππ==表面积21．（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题 word 版）己知某几何体的三视图如图所示,则该几何休的体积等于_______.三、解答題:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骧.【答案】316022．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（文）试题）已已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4,8,h ,且它的8个顶点都在同一个球面上,这个球面的表面积为100π,则h = ____..【答案】5223．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（文）试题）已知四面体P 一ABC 中PB ⊥平面PAC,则四面体P —ABC 外接球的体积为——.【答案】36π24．（吉林省集安市第一中学2013届高三下学期半月考数学（文）试题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是____.【答案】2三、解答题25．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题数学文）如图,已知三棱锥BPCA -中,PC AP ⊥,BC AC ⊥,M 为AB 中点,D 为PB 中点,且PMB ∆为正三角形.(Ⅰ)求证:DM //平面APC ;(Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ;(III)若4=BC ,20=AB ,求三棱锥BCM D -的体积.【答案】解(Ⅰ)∵M 为AB 中点,D 为PB 中点,∴MD//AP, 又∴MD ⊄平面ABCABCDPM∴DM//平面APC(Ⅱ)∵△PMB 为正三角形,且D 为PB 中点.∴MD⊥PB. 又由(1)∴知MD//AP, ∴AP⊥PB. 又已知AP⊥PC ∴AP⊥平面PBC, ∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC∴BC⊥平面APC, ∴平面ABC⊥平面PAC, (Ⅲ)∵ AB=20∴ MB=10 ∴PB=10又 BC=4,.2128416100==-=PC∴.2122124414121=⨯⨯=⋅==∆∆BC PC S S PBC BDC 又MD .351020212122=-==AP∴V D-BCM = V M-BCD =710352123131=⨯⨯=⋅∆DM S BDC26．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（文）试题）在如图所示的几何体中,平面⊥ACE 平面ABCD ,四边形ABCD 为平行四边形,2,2,//,90=====∠EC AE BC AC BC EF ACB .(Ⅰ)求证:⊥AE 平面BCEF ; (Ⅱ)求三棱锥ACE D -的体积.【答案】解:(1)∵平面⊥ACE 平面ABCD,且平面⋂ACE 平面ABCD=AC AC BC ⊥ ⊂BC 平面BCEF ⊥∴BC 平面AEC⊂AE 平面AEC AE BC ⊥∴,又1,2===EC AE AC 222CE AE AC +=∴ EC AE ⊥∴且C EC BC =⋂,⊥∴AE 平面ECBF(2)设AC 的中点为G,连接EG,CE AE = AC EG ⊥∴ ∵平面⊥ACE 平面ABCD,且平面⋂ACE 平面AC ABCD =, ⊥∴EG 平面ABCDEG S V V ACD ACD E ACE D ⋅==∴∆--312222121=⨯⨯=⋅=∆AD AC S ACD 121==AC EG321231=⨯⨯=∴-ACF D V 即三棱锥D-ACF 的体积为3227．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（文）试题）如图所示的几何体中,四边形PDCE 为矩形,A B C D 为直角梯形,且BAD ∠ = ADC ∠ 90°,平面PDCE 丄平(I)若M 为PA 的中点,求证:AC//平面MDE;(II)求原几何体被平面PB D所分成的左右两部分的体积比【答案】(Ⅰ)证明:连结PC ,交DE 于N ,连结MN ,在PAC ∆中,N M ,分别为两腰PC PA ,的中点,∴.//AC MN因为，面MDE MN ⊂，面MDE AC ⊄所以//AC 平面MDE(Ⅱ)由四边形PDCE 为矩形,知,DC PD ⊥ 又平面⊥PDCE 平面ABCD ,,ABD PD 平面⊥∴三棱锥ABD P -的体积为6221161213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=∆-PD AD AB PD S V ABD D AB P由已知,DC AD ⊥又平面⊥PDCE 平面ABCD ,,PDCE AD 平面⊥∴,//CD AB 四棱锥的体积为322122313131=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯==--AD PD CD AD S V V PDCE PDCE A PDCE B 矩形，4132262==--PDCEB DAB P V V所以原几何体被平面PBD 所分成的两部分的体积比41 28．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（文）试题）如图,四棱锥P A B C D-中,,22,//,150PA AD AB AC PA PC AD BC BAD ⊥====∠=︒. (1)求证:PA ⊥平面ABCD ;(2)求点B 到平面PAC 的距离.【答案】解:(Ⅰ)证明:因为1PA =,2AC =,PC=所以222PC PA AC =+,所以PA AC ⊥又因为PA AD ⊥,且AD AC A = ,所以PA ⊥平面ABCD(Ⅱ)取BC 中点E ,连结AE ;设点B 到平面PAC 的距离为h .由(Ⅰ)PA ⊥平面ABCD ,所以13P ABC ABC V S PA -∆=⨯⨯.因为150BAD ∠=︒,AD ∥BC ,所以30ABC ∠=︒.又因为2AB AC ==,所以1BC AE ==. 所以111132P ABCV -=⨯⨯⨯=, 又P ABC B PAC V V --=,所以13B PAC PAC V S h -∆=⨯⨯=, 而2,1AC PA ==,易知12112PAC S ∆=⨯⨯=, 所以113h ⨯⨯=,所以h =故点B 到平面PAC 法二:过点B 作BH AC ⊥,垂足为H ,可证BH ⊥面PAC ,所以BH 的长度即为B 到平面PAC 的距离,易求得BH ,详细步骤从略.P ABCD E29．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）如图所示,ABC ∆和BCE ∆是边长为2的正三角形,且平面⊥ABC 平面BCE ,⊥AD 平面ABC ,32=AD . (Ⅰ)证明:BC DE ⊥;(Ⅱ)求三棱锥ABE D -的体积.EDCA【答案】(Ⅰ)证明:取BC 的中点为F ,连结AF,EF,BD∵△BCE 正三角形,∴EF ⊥BC,又平面ABC ⊥平面BCE,且交线为BC,∴EF⊥平面ABC,又AD⊥平面ABC∴AD∥EF,∴,,,D A F E 共面,又易知在正三角形ABC 中,AF⊥BC,F EF AF =⋂ ∴BC ⊥平面DAFE ,又⊂DE 平面DAFE 故DE BC ⊥;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF//AD 所以有ABF D DAB F DAB E ABE D V V V V ----===所以23*21==∆AF BF s ABF ,所以1*31==∆-AD S V ABF ABF D即1=-ABE D V30．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试文科数学）如图,平面四边形ABCD 的4个顶点都在球O 的表面上, AB 为球O 的直径,P 为球面上一点,且PO ⊥平面ABCD ,2BC CD DA ===,点M 为PA 的中点.(1) 证明:平面//PBC 平面ODM ;(2) 求点A 到平面PBC 的距离. OAD PBC M【答案】【命题意图】本小题通过立体几何的相关知识,具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力,对学生的数形结合思想的考查也有涉及,本题是一道立体几何部分的综合题,属于中档难度试题.【试题解析】(1) 证明:2AB O BC CD DA BC CD DA ⎫⇒===⎬==⎭为圆直径且AB CD , 则CD 平行且等于BO ,即四边形OBCD 为平行四边形,所以//BC OD .//////////AO BO OM PB OD PBC ODM PBC AM PM OM PBC BC OD =⎫⎫⇒⎫⎬⎪⇒⇒=⎬⎬⎭⎭⎪ ⎭平面平面平面平面(2) 由图可知P ABC APBC V V --=,即11112223232h ⨯⨯⨯=⨯⨯则7h =,即点A 到平面PBC 的距离为7. 31．（内蒙古包头市包头一中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,E 、F 分别为 1DD 、 DB 的中点.(1)求证:EF //平面11ABC D ; (2)求证:1CF B E ⊥; (3)求三棱锥1C B FE V -的体积.【答案】解:(1)连结1BD ,在B DD 1∆中,E 、F 分别为1D D ,DB 的中点,则∵EF 为中位线1//EF D B ∴而1D B ⊂面11ABC D ,EF ⊄面11ABC D//EF ∴面11ABC D(2)等腰直角三角形BCD 中,F 为BD 中点BD CF ⊥∴①正方体1111ABCD A BC D -ABCD 1面⊥∴DD ,ABCD 面⊂CFCF DD ⊥∴1②综合①②,且1111,,B BDD BD DD D BD DD 面⊂=⋂11B BDD CF 面⊥∴,而111B E BDD B ⊂面,E B CF 1⊥∴(3)由(2)可知11CF BDD B ⊥ 平面1CF EFB ∴⊥平面即CF 为高 ,CF BF ==112EF BD == 1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=∴223211=⋅=∆F B EF S EF B11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=1222331=⋅⋅32．（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题 word 版）如图,三棱柱A B C -A 1B 1C 1中,侧棱与底面垂直,AB 丄 BC ,A B=BC = BB l = 2, 分别是的中点(I) 求证:MN//平面BCC 1B 1(II)求证:MN 丄平面A 1B 1C(III)求三棱锥的体积M-A 1B 1C 的体积.【答案】(1)证明:连结11,AC BC ,显然1AC 过点N∵N M ,分别是C A AB 1,的中点, ∴MN ∥1BC又⊄MN 平面11B BCC ,⊂1BC 平面11B BCC ∴MN ∥平面11BCC B(2)证明:∵三棱柱111C B A ABC -中,侧棱与底面垂直,1BB BC =∴四边形11B BCC 是正方形 ∴C B BC 11⊥,由(1)知MN ∥1BC ∴MN ⊥C B 1连结CM M A ,1,由11,AA BB BC MB AM ===知BMC AMA ∆≅∆1∴CM M A =1,又易知N 是C A 1的中点, ∴C A MN 1⊥,∴MN ⊥平面11A B C(3)因为AB ∥11B A ,所以三棱锥C B A M 11-与三棱锥C B A B 11-的体积相等, 故34111111===---B CB A C B A B C B A M V V V 33．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（文）试题）如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形,侧面PAB 是正三角形,AB=2,BC=2,PC=6.E 、H 分别为PA 、AB 的中点.(I)求证:PH⊥AC;(Ⅱ)求三棱锥P —EHD 的体积.【答案】34．（黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）已知侧棱垂直于底面的三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等,D 为棱1AA 中点.(I)证明:11DB BC ⊥;(II)在线段BC 上是否存在点E ,使DE ∥平面11C BA ,若存在,确定点E 的位置;若不存在,请说明理由.C 1B 1A 1D EC B A【答案】解:(I)连结C B 1,设11BC B C F = ,连结1,,DC DB DF ,FC 1B 1A 1D E C B A∵四边形11B BCC 是正方形,∴C B BC 11⊥且F 为1BC 的中点由题意知DAB Rt C DA Rt ∆≅∆11,∴1DC DB =,∴DF BC ⊥1又∵⊂C B DF 1,平面DC B 1,F C B DF =⋂1,∴⊥1BC 平面DC B 1∵⊂1DB 平面DC B 1,∴11DB BC ⊥(II)存在点E 为BC 的中点,使//DE 平面11BAC连接F A EF 1,,EF 121CC ,D A 1121CC ,∴EF ∥D A 1, ∴四边形D EFA 1为平行四边形,∴F A 1∥DE∵⊂F A 1平面11C BA ,⊄DE 平面11C BA ,∴DE ∥平面11C BA35．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（文）试题）在如图所示的多面体ABCDE 中,AB ⊥平面ACD,DE ⊥平面为AD 的中点.(I)在线段CE 上找一点F,使得BF//平面ACD,并加以证明:(II)求三棱锥G —BCE 的体积.【答案】(Ⅰ)由已知,AB ACD DE ACD AB DE ⊥⊥∴//平面平面,设F CE 是的中点，H 是CD 的中点,所以1,2FH ED FH ED //=, 1122AB DE AB DE ==∴= ，,ABHF BF ∴∴//AH 四边形是平行四边形,,AH ACD BF ACD BF ACD ⊂⊄∴// 平面平面平面(Ⅱ)由DE⊥∴⊥平面ACD平面ABED平面ACD,在平面ACD内作CP AD P⊥于,ABED ACD AD CP ABED=∴⊥平面平面平面,CP C BGE∴-为三棱锥的高13G BCE C BGE BGEV V S CP --==⋅,且32BGE ABG EDGABEDS S S S=--=梯形，由三角形的等面积法的CP=13G BCE C BGE BGEV V S CP--∴==⋅. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分。

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山东省2013届高三最新文科模拟试题精选分类汇编7：立体几何1 ．在空间中,不同的直线m,n,l ,不同的平面,αβ,则下列命题正确的是（）A ．m//α,n∥α,则m∥nB ．m//α,m//β,则α//βC ．m⊥l ,n⊥l ,则m∥nD ．m⊥α,m⊥β,则α//β2 ．一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（）A ．13B ．12C ．23D ．163 ．已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为1V ,直径为4的球的体积为2V ,则12:V V =（）A ．1:2B ．2:1C ．1:1D ．1:44 ．点M 、N 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、A 1D 1的中点,用过A ．M 、N 和D ．N 、C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为（）A ．①、②、③B ．②、③、③C ．①、③、④D ．②、④、③5 ．如图,中,,AB BD BD ABD ⊥∆沿将折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,连结AC .在四面体A BCD -的四个面中,互相垂直的平面有侧视图（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对6 ．如右图,一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为60°的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的体积为（）A．12B ．6ππC ．12π D．67 ．已知m,n 是两条不同直线,,αβ是两个不同平面,给出四个命题:①若,,m n n m αβα=⊂⊥ ,则αβ⊥ ②若,m m αβ⊥⊥,则//αβ ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥ ④若//,////m n m n αβ,则//αβ 其中正确的命题是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④8 ．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为A ．π)55(+B ．π)5220(+俯视图左视图主视图C ．π)1010(+D ．π)525(+9 ．一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为（）A ．203 B．403C ．20D ．4010．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的体积是（）A ．323πB ．8πC ．163πD ．32π11．有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为（）A．B．6+C．30+D ．4212．已知四面体S ABC -的所有棱长都相等,它的俯视图如下图所示,的正方形;则四面体S ABC -外接球的表面积为正视图俯视图左视图第11题图（）A ． 6πB ．4πC ．8πD ．3π13．已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,下列命题正确的是①l m a ⊥⇒∥β；②l ∥m αβ⇒⊥③l αβ⊥⇒∥m ④α∥l m β⇒⊥（） A ．①② B ．③④C ．②④D ．①③14．已知m ,n 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是（）A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则βα//C ．若n m m ⊥⊥,α,则α//nD ．若α⊥n n m ,//,则α⊥m15．具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为（）A ．3B ．C ．72π (D)1416．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．1B．13C．12D．3217．如图,,且一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4 D．818．右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是（）A．8 B．20+C．16 D．24+19．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．9B．10C．11D．22320．一空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图为21．一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是（）A ．1B ．2C ．3D ．422．一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为cm,则该几何体的体积为( )cm 3.（）A ．18B ．48C ．45D ．54 23．一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示,则该几何体的侧面积．．．等于（）A B ．6C ．第5题图24．如图,已知球O 的面上有四点,,,A B C D ,DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===,则球O的体积与表面积的比为__________25．一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为163π+,则图中x 的值为_______________.26．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上,且8,AB BC ==则棱锥O —ABCD 的体积为______.27．已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球为O 的表面积为_____. 28．某几何体的三视图如图所示,则它的表面积是________29．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积等于_______30．31．已知在如图的多面体中,AE ⊥底面BEFC ,//AD //EF BC ,12BE AD EF BC ===,G 是BC 的中点.(1)求证://AB 平面DEG ;(2)求证:EG ⊥平面BDF .32．如图,在多面体ABCDEFG 中,平面ABC ∥平面DEFG ,AD ⊥平面DEFG ,BA AC ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG .且1,2AC AB ED EF ==== , 4AD DG ==.(Ⅰ)求证:BE ⊥平面DEFG ; (Ⅱ)求证:BF ∥平面ACGD ; (Ⅲ)求三棱锥A FBC -的体积.ADFEBGC第20题图33．如图,斜三棱柱111A B C ABC -中,侧面11AAC C⊥底面ABC ,底面ABC 是边长为2的等边三角形,侧面11AAC C 是菱形,160A AC ∠=,E 、F 分别是11AC 、AB 的中点.求证:(1)EC ABC ⊥平面;(2)求三棱锥1A EFC -的体积.34．如图所示,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,且2PA=AD=2,E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点.(Ⅰ)求异面直线EF 与AG 所成角的余弦值; (Ⅱ)求证:BC∥面EFG;(Ⅲ)求三棱锥E-AFG 的体积.35．如图,在四棱锥S-ABC 中,底面ABCD 是矩形,SA ⊥底面ABCD,SA=AD,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC,且交SC于点N.(I)求证:SB∥平面ACM;ADE FP G1ABCD E G F(II)求证:平面SAC⊥平面AMN.ADNM平面ABCD,P为36．在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面⊥DN的中点.BD⊥;(Ⅰ)求证:MC(Ⅱ)在线段AB是是否存在点E,使得AP//平面NEC,若存在,说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.37．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其主(正)视图为矩形,左(侧)视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(I)求证:BC∥平面C1B1N;(Ⅱ)求证:BN⊥平面C1B1 N;(Ⅲ)求此几何体的体积.38．如图,已知平面ABEF ⊥平面A B C D,四边形ABEF 为矩形,四边形ABCD 为直角梯形,90,DAB AB CD ∠=︒ ,4,28AD AF AB CD ====.(Ⅰ)求证:AF 平面BCE ; (Ⅱ)求证:AC ⊥平面BCE ; (Ⅲ)求四棱锥C ABEF -的体积.39．如图(1),在等腰梯形CDEF 中,CB 、DA 是梯形的高,2AE BF ==,AB =现将梯形沿CB 、DA 折起,使EF//AB 且2EF AB =,得一简单组合体ABCDEF 如图(2)示,已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点.(1)求证://MN 平面BCF ;(2)求证:AP ⊥平面DAE ;(3)若2AD =,求四棱锥F-ABCD 的体积.D C B AE FM NP FE A BCD 40．如图,已知三棱柱ABC 一A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC,AC=BC,M,N 分别是棱CC 1,AB 的中点.(1)求证:CN⊥平面ABB 1A 1; (2)求证:CN//平面AMB 1.41．在如图所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1,AE AE =⊥平面ABC,平面BCD ⊥平面ABC,BD=CD,且.BD CD ⊥(I)AE//平面BCD;(II)平面BDE ⊥平面CDE.42．如图,已知AB ⊥平面ACD,DE//AB,△ACD 是正三角形,2,AD DE AB ==且F 是CD 的中点.(I)求证:AF//平面BCE;(II)求证:平面BCE ⊥.43．已知正三棱柱111ABC A B C -中,AB =2,1AA =,点D 为AC 的中点,点E 在线段1AA 上(I)当1:1:2AE EA =时,求证1DE BC ⊥;(Ⅱ)是否存在点E,使三棱锥1C BDE -的体积恰为三棱柱111ABC A B C -体积的13,若存在,求AE 的长,若不存在,请说明理由.44．如图,PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面,2,AD PA CD ===E 、F 分别是AB 、PD 的中点.(I)求证:AF//平面PCE; (II)求证:平面PCE ⊥平面PCD;(III)求四面体PEFC 的体积.第19题图45．如图,五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面ABF是等边三角形,棱EF//BC,且EF=12 BC.(I)证明:EO//面ABF;(Ⅱ)若EF=EO,证明:平面EFO⊥平面ABE.46．在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,EA⊥平面ABCD,EF// AB,AB=4,AE=EF =2.(1)若G为BC的中点,求证:FG∥平面BDE;(2)求证:AF⊥平面FBC.47．如图,四边形ABCD中,AB AD⊥,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABCD⊥平面EFDC,设AD中点为P.( I )当E为BC中点时,求证:CP//平面ABEF(Ⅱ)设BE=x,问当x为何值时,三棱锥A-CDF的体积有最大值?并求出这个最大值.48．如图所示,ABCD 是边长为a 的正方形,△PBA 是以角B 为直角的等腰三角形,H 为BD 上一点,且 AH⊥平面PDB.(1)求证:平面ABCD⊥平面APB;(2)点G 为AP 的中点,求证:AH=BG.49．如图,四棱锥P A B C D-中,底面A B C D 是平行四边形,90ACB ∠= ,平面PAD ⊥平面ABCD,1PA BC ==,PD AB ==、F 分别为线段PD 和BC 的中点 (I)求证://CE 平面PAF; (Ⅱ)求三棱锥P AEF -的体积.50．如图,在四棱锥P —ABCD 中,平面PAB ⊥平面ABCD,AB=AD,60BAD ∠=,E,F 分别是AP,AB 的中点. 求证:(I)直线EF//平面PBC;(II)平面DEF ⊥平面PAB.51．如图,几何体111ABCD B C D -中,四边形ABCD 为菱形,60BAD ∠=,AB a =,面111B C D ∥面ABCD ,1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,且1BB =,E 为1CC 的中点. (Ⅰ)求证:1DB E ∆为等腰直角三角形;(Ⅱ)求证:AC ∥面1DB E .52．已知四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是菱形,PA=PD,∠BAD=60°,E 是AD 的中点,点Q 在侧棱PC 上.(1)求证:AD⊥平面PBE; (2)若Q 是PC 的中点,求证PA∥平面BDQ;(3)若3P BCDE Q ABCD V V --=,试求CP CQ的值.53．如图所示,PA ^平面ABC ,点C 在以AB 为直径的⊙O 上,30CBA ? ,2PA AB ==,点E 为线段PB 的中点,点M 在弧AB 上,且OM ∥AC .(1)求证:平面MOE ∥平面PAC ;(2)求证:平面PAC ^平面PCB ;(3)求三棱锥O PBC -的体积.M EB OCAP54．如图,已知在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,DC AD ⊥,AB //DC ,DC =DD 1=2AD =2AB =2.(Ⅰ)求证:⊥DB 平面B 1BCC 1;(Ⅱ)设E 是DC 上一点,试确定E 的位置,使得D 1E //平面A 1BD ,并说明理由.1第20题图。