2017-2018学年人教b版数学必修四：3.1.3 两角和与差的正切含解析

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数学必修4教学设计：3.1.3两角和与差的正切含解析精品

教学设计3．1.3两角和与差的正切整体设计教学分析由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．三维目标1．会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式证明．3．通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用．4．通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路．重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用．教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式呢？由此导入新课．思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？推进新课新知探究1．推导两角和与差的正切公式．2．用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明．教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式．点拨学生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．但学生很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ.如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得 tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝tanα＋tan (－β)1－tanαtan (－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.由此推得两角和与差的正切公式，简记为T (α－β)、T (α＋β)．让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2＋kπ(k ∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．至此，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C (α＋β)、S (α＋β)、T (α＋β)叫和角公式；S (α－β)、C (α－β)、T (α－β)叫差角公式．并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β)处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sin (π2－β)cos (π2－β)＝cosβsinβ来处理等．应用示例例1课本本节例1.例2课本本节例2. tan(α±β)(1例3课本本节例3.知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．本小节共两课时，本节课为第1课时，主要是推导公式、讨论探究公式的成立条件，并完成课本例1、例2、例3.例3是一道具有几何背景的简单问题，在该题的教学中，要注意让学生体会已知一个角的三角函数值，确定角的方法．设计感想本节课从内容上来看，难度较小，但两角和与差的正切公式有其成立的条件．这点教材中未做特别说明，是学生易出错的地方．在教学中，应注意引导学生对公式的结构特征仔细观察，清楚公式变形的本质属性，解题时灵活选用．同时注意鼓励学生进行一题多解，一题多变，并从中体会重要的数学思想方法，这才是本节教学的核心问题，而不是一些特殊的变换技巧．备课资料一、对两角和与差的正切公式的理解1．两角和的正切公式是根据同角三角函数的关系式sinαcosα＝tanα及正、余弦的和角公式导出的，因为公式S (α＋β)与C (α＋β)具有一般性，因此公式T (α＋β)也具有一般性，在公式T (α＋β)中以－β代β便可得到公式T (α－β)．2．两公式只有当tanα，tanβ或tan(α±β)都存在，即α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k ∈Z )时才成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的．3．当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不都存在时，不能使用T (α±β)来处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，如化简tan(π2＋β)，因为tan π2的值不存在，不能利用公式T (α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则tan(π2＋β)＝sin (π2＋β)cos (π2＋β)＝cosβ－sinβ＝－1tanβ.二、备用习题1．如果tan(α＋β)＝25，co t(α＋π4)＝4，则tan(β－π4)为( )A.16B.1318 C.322 D.13222．已知tan(α－β2)＝12，tan(β－α2)＝－13，则tan α＋β2的值等于________．3．已知tan(α＋π4)＝－940，则tanα＝________，tan(α－π4)＝________.4．已知tanα，tanβ是方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m ＝0的两个根，且m ≠－12，求sin (α＋β)cos (α－β).5．已知α、β都是锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值．参考答案： 1．C 2.173．－940 409 解析：∵tan(α＋π4)＝－940，∴1＋tanα1－tanα＝－940.解得tanα＝－4931，tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝409.4．解：由题意tanα＋tanβ＝－(4m ＋1)，tanαtanβ＝2m ， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝－4m ＋12m ＋1.5．解：由题意tanα＝34，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan (α－β)1＋tanαtan (α－β)＝34＋131＋34×(－13)＝139.又∵cos 2β＝11＋tan 2β＝11＋16981＝81250，∴cosβ＝91050. (设计者：王光玲)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾前面所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从分析公式的推导过程入手，揭示它们的逻辑关系．思路2.(习题导入)①已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．(答案：2) ②已知sinα＝－35，α是第四象限角，求tan(π4－α)的值．(答案：7)③求tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°的值．(答案：－3) 学生练习，教师讲评中导入新课．推进新课新知探究本节为两角和与差的三角函数的最后一节内容，对两角和与差公式进一步熟练掌握．上节课我们学习了两角和与差的正切公式，请同学们默写这些公式，并思考这些公式的使用条件．我们上节课初步运用这些公式解决了一些有关三角函数的求值和化简问题，利用这些公式除了能进行三角函数式的求值、化简之外，我们还可以运用其解决一些三角函数式的证明问题，并能解决一些实际问题．这就是我们本节课所要学习的内容．应用示例例1课本本节例4.例2课本本节例5.例3求证：sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α.活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．证法一：左边＝(sin αcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)sin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边．∴原式成立．证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)sin 2αcos 2β＝sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝左边．∴原式成立．点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力．知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结我们在学习两角和与差的正切公式的时候，不仅要熟练掌握公式本身，更应该掌握公式的变形公式，尤其是在解决有关三角函数式的证明和化简问题时，更应该注意灵活运用公式的变形公式．作业课本习题3.1(3) 8、9、10.设计感想作为两角和与差公式的最后一节课，学生对两角和与差的正切(包括正弦、余弦)公式及其应用有了比较深刻的理解．对于本节来说，教学中可以更多地让学生自主学习，探究解决问题的来龙去脉，使学生更好地掌握用分析的方法寻求解题思路．特别是本节课本例4是一个优美的三角恒等式，可让学生课后继续探究它的对称美、简洁美、统一美、结构美等特征，让学生从中体会数学的美丽生动．备课资料备选习题1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( ) A ．－1 B ．－12C.57D.172．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )A.12B.22 C. 2 D ．1 3.tan55°－tan385°1－tan (－305°)tan (－25°)＝________.4．已知tan110°＝a ，则tan50°的值为________． 5．若tanx ＝1－tan20°1＋tan20°，则x ＝________.6．已知sinα＝－35，cosβ＝513，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值．7．若3sinx ＋3cosx ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(0，π2)，求tan(φ＋π4)的值．8．在平面直角坐标系中，点P 在以原点O 为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP 与以O 为圆心、2为半径的圆交于R 点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过R 作PM 的垂线，垂足为Q ，求∠POQ 的最大值．参考答案：1．D 2.D 3.33 4.a －31＋3a (或1－a 22a )5．25°＋k·180°(k ∈Z ) 6.6316.7．分析：如何求φ是本题的关键．解：∵3sinx ＋3cosx ＝23(32sinx ＋12cosx)＝23(sinxcos π6＋cosxsin π6)＝23sin(x ＋π6)， ∴23sin(x ＋φ)＝23sin(x ＋π6)．又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.∴tan(φ＋π4)＝1＋tanφ1－tanφ＝1＋331－33＝3＋33－3＝9＋3＋6332－3＝2＋ 3.8．解：本应考虑点P 在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P 在第一象限，设∠xOP ＝α，∠xOQ ＝β，则∠POQ ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝2sinα6cosα＝13tanα.故tan ∠POQ ＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝tanα－13tanα1＋13tan 2α＝2tanα3＋tan 2α.设tan ∠POQ ＝y ，tanα＝t ，则y ＝2t 3＋t 2，即yt 2－2t ＋3y ＝0.由α是锐角，可知t ＞0，从而y ＝2t3＋t 2＞0.又Δ＝4－12y 2≥0，故0＜y ≤33，且当t ＝3时，y ＝33. 故y 的最大值，即tan ∠POQ 的最大值为33.所以∠POQ 的最大值为π6.附：(设计者：王光玲)3．1.3 两角和与差的正切第1课时作者：徐金花，江苏省铜山县棠张中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．整体设计设计思想数学课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验．”苏霍姆林斯基曾经说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探究者．本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式．对于例习题的处理是通过一题多解、一题多变等形式让教学成为师生对话、沟通、合作、共建的交往活动．教学内容分析本节内容在上两节正、余弦和、差角公式的基础上，利用同角三角函数关系推导出正切的和差角公式，并通过三个例题及变式题的处理(主要是公式的正用、逆用和变用)巩固所学知识．教学目标分析1．知识与技能：会由正、余弦的和、差角公式推导出正切的和差、角公式．能用正切的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明． 2．过程与方法：学生利用正、余弦的和、差角公式自主探究正切的和、差角公式，并从推导的过程中感悟化归思想．3．情感与态度：通过对问题的自主探究和合作交流，体验团队合作的快乐，养成严谨、开放的思维习惯，感悟化归思想、数形结合思想、整体思想、方程思想，增强数学学习的信心．重点难点教学重点：正切公式的推导及用公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．教学难点：公式的灵活应用．教学准备实物投影仪多媒体教学过程情景创设(多媒体出示)回顾3.1.1节例2中求tan15°的过程，我们先分别求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，这个计算方法较烦琐，由15°＝45°－30°，我们猜想，能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？这就是我们这节课研究的课题——两角和与差的正切．(教师板书课题)学生活动：回顾求解过程、感受计算量．自主探究：(1)如何化未知角为已知角？(2)如何化未知函数名为已知函数名？(“切”化“弦”)学生活动学生就上面的问题展开讨论，讨论将涉及下面的问题：1．同角的三角函数有哪些关系？我们选择哪个关系来研究本课题？2．问题1中涉及到的S(α＋β)和C(α＋β)公式，你能准确写出来吗？3．由问题1,2将tan(α±β)表示成α，β的“弦”的形式之后如何化成“切”的形式呢？小组讨论，合作交流．推荐两个小组代表板演推导两个公式的过程．数学建构两角和与差的正切公式：(教师板书)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβT(α＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβT(α－β)思考：1.公式的结构特点及适用范围(符号特点；结构特点：要注意到tan(α±β)可以用tanα和tanβ的和(差)与积表示；适用范围是使公式的两边都有意义)．2．公式T(α－β)能否由T(α＋β)来推导呢？(利用化归思想，用－β代替β)(教师板书数学思想)3．由T(α＋β)公式，你能否将公式变形得到其他公式？(教师板书变形公式)变形1 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；变形2 tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan (α＋β). (两个变形公式的适用范围也是使等式两边都有意义)学生活动：学生在书上划出公式，并观察公式的结构特点．思考：(1)求tan(π2＋α)可以用T (α＋β)公式展开吗？(2)T (α＋β)公式成立的具体条件是什么？自主探究：一中等生口述思路“整体代换”学生感悟化归思想．小组讨论，合作交流．学生记下变形公式(不作记忆要求，会变形应用)思考：两变形公式成立的具体条件是什么？数学应用(例题用多媒体出示、变式题用实物投影仪出示)例1(1)已知tanα＝12，求tan(α＋π4)； (2)已知tanα＝－12，tanβ＝－5，求tan(α＋β)．分析：直接应用公式，注意公式及运算的准确性．变式1：(教材例1)已知tanα，tanβ是方程x 2＋5x －6＝0的两根，求tan(α＋β)的值．分析：思路一：可以根据方程解出tanα，tanβ，再代入公式计算即可．思路二：通过计算tanα＋tanβ，ta nαtanβ的值来求tan(α＋β)．反思：思路二是利用整体思想方法来解题，较思路一简捷．变式题2(教材本节练习4)已知tan(α＋β)＝13，tanα＝－2，求tanβ的值．分析：思路一：利用“β＝(α＋β)－α”变换方法，代入T (α－β)公式求解即可．思路二：由13＝tan(α＋β)展开，将tanα＝－2代入，建立关于tanβ的方程．反思：思路一通过角的变换，化未知为已知，渗透了化归思想；思路二是建立方程，体现了方程的思想．(以上几题均是公式的正用)思考：公式及变形公式有什么作用？学生活动：一中等学生口述分析思路一，师板书．一优等生口述分析思路二并板书关键步骤．学生回顾韦达定理的内容并感悟整体思想方法．两中等生口述分析思路一、思路二．(师多媒体出示解答过程，强调规范书写，并给出评分标准)思考：两种思路体现的数学思想是什么？例2(教材例2)求证：1＋tan15°1－tan15°＝ 3. 分析：思路一：由1＝tan45°，等式左边的结构与tan(α＋β)相似，考虑逆用两角和的正切公式．思路二：本题也可由3联想到tan60°，进而联想到两角和的正切公式，找到证明途径(公式正用)．思路三：利用15°＝45°－30°，再代入T (α－β)公式求解．(化未知角为已知角再正用公式) 自主探究：(1)如何证明等式？(2)观察等式左、右两边的结构有何特点？一优等生分析口述思路一(师板书)，一中等生分析思路二(师及时表扬学生的巧妙联想)，一潜能生分析思路三(师肯定学生的转化方法)．变式题1.求证：cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝ 3. 分析：思路一：利用15°＝45°－30°，再代入S (α±β)和C (α±β)公式计算即可(此法较为烦琐)．思路二：“弦化切”处理之后即为例2，可证．思路三：逆用两角和与差的正、余弦公式化简可证．其中：cos15°－sin15°＝2(22cos15°－22sin15°) ＝2sin(45°－15°)＝22. cos15°＋sin15°＝2(22cos15°＋22sin15°) ＝2sin(45°＋15°)＝62. 思路四：由等式左边是正值，可证其平方为3，而平方后可逆用和、差角公式，令m ＝cos15°＋sin15°cos15°－sin15°，则m>0，从而m 2＝1＋2sin15°cos15°1－2sin15°cos15°＝1＋sin30°1－sin30°＝3212＝3，可证．思路五：构造向量，利用向量的内积定义及坐标表示来证明．令a ＝(1，－1)，b ＝(cos15°，sin15°)，则cos15°－sin15°＝(1，－1)·(cos15°，sin15°)＝2×1×cosθ，其中θ为a 与b 的夹角，且数形结合可知θ＝15°＋45°＝60°，从而cos15°－sin15°＝2cos60°＝22，同理可求 cos15°＋sin15°＝2cos30°＝62，从而可证．反思：本题是一题多解，开阔学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学中的转化思想(思路二)和整体思想(思路四)和数形结合思想(思路五)．小组讨论，合作交流．不同解法的小组派代表展示证明方法．(前四种不同解法)(通过合作探究问题的过程，体验团队合作的快乐，体会公式的灵活应用、感悟化归、数形结合、整体、方程的数学思想．) (师启发思路五并多媒体出示解答过程，留时间让学生体会构造方法)变式题2.利用和(差)公式证明tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.分析：利用和(差)角公式的变形公式1可得tan20°＋tan40°＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＝3(1－tan20°tan40°)．反思：本题是公式灵活应用的典例，更一般地，猜想：tanα＋tanβ＋tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)成立吗？讨论交流，一优等生分析口述(师板书)．思考：能否用公式T (α＋β)的变形2来证明呢？(课后完成猜想)例3(教材例3)如图，三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝π4. 分析：由图可知tanα＝12且0<α<π2，tanβ＝13且0<β<π2，欲求α＋β的值，先求tan(α＋β)的值为1且0<α＋β<π，从而α＋β＝π4. 反思：这是一道具有几何背景的简单问题，从这里可以看出已知一个角的三角函数值求角的方法．思考：你能从图形中观察出α，β均小于π4，那你能从代数的角度说明α，β均小于π6吗？(利用函数的单调性求角的范围．如0<tanα＝12<33，则0<α<π6)思考1：求角“α＋β”的哪个函数值较好？思考2：由tan(α＋β)＝1能直接得到α＋β＝π4吗？为什么？变式题：已知A ，B 为锐角，且A ＋B ＝45°.(1)求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.(2)求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．自主探究(1)课外思考(2)回顾小结1．知识点：两角和与差的正切公式的推导；应用公式进行求值、化简及三角恒等式的证明(正用，逆用，变用)．2．数学思想：化归思想、整体思想、数形结合思想、方程思想．一中等生完成小结，学生笔记数学思想．作业教材习题3.1(3)必做题2,5,9；选做题7.教后记本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式，培养学生自主探究能力和合作交流能力．在公式的结构特点方面，让学生观察归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．在例题的处理和变式题的训练方面，完全让学生自主探究，合作讨论交流，体验团队合作的快乐，培养学生思维的严谨性和开阔性，以及分析问题、解决问题的能力，渗透了整体、化归、数形结合、方程等几种数学思想．不足之处：对于例2的变式题1的证法五是在教师启发引导下探究出来的，这说明学生的“向量”工具应用还不够好，学生的思维开阔性及整体思想、数形结合思想的应用方面还需进一步提高．而例2的变式题2的处理，学生变用公式的能力还有待进一步提高．对于例3的思考2同样反映了学生的数形结合能力有待进一步提高．。

2017-2018学年人教B版数学必修四 3.1.1 两角和与差的

UBIAODAOHANG HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,掌握用向量证明问题的方法,进一步体会向量法的作用. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题.
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一直接利用两角和与差的余弦公式求值
【例1】求值:(1)cos215°-sin215°; (2)sin(110°+x)cos(x-40°)+cos(x-70°)· sin(220°-x). 分析(1)逆用两角和的余弦公式; (2)统一函数名称和角,使其符合两角和与差的余弦公式的结构. 解:(1)原式=cos 15°cos 15°-sin 15°sin 3 15°=cos(15°+15°)=cos 30°= 2 . (2)原式=cos(x+20°)cos(x-40°)+sin[90°+(x-70°)]sin(x-40°) =cos(x+20°)cos(x-40°)+sin(x+20°)sin(x-40°) 1 =cos[(x+20°)-(x-40°)]=cos 60°= . 2
UITANGYANLIAN
【做一做1】 cos 75°等于(

人教B版数学必修四讲义：第3章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

3.1.3 两角和与差的正切1．两角和的正切公式 T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．两角差的正切公式T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？ [提示] (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β).(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)． (4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－3D ．2＋ 3D[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋3 31－33＝2＋ 3.故选D.]2.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝()A．－2B． 2C．－ 3 D． 3D[原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝ 3. ]3．设tan α＝12，tan β＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是_________．π4[∵tan α＝12，tan β＝13∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1，又∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α＋β<π，则α＋β＝π4.](1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．1．求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. [解] (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－3 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．[解]由条件得cos α＝210，cos β＝255，∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝1 2.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.1．通过先求角的某个三角函数值来求角． 2．选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．3．给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．2．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．[解] (1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝35－45＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17. (2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2．在△ABC 中，tan(A ＋B )与tan C 有何关系？ [提示] 根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C .【例3】已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．[思路探究] 化简条件→求出tan A ，tan C → 求出角A ，C →判断形状. [解] 由tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C )＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－ 3.而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，如1－tan α1＋tan α＝tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋3 1－tan α＝3tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(教师用书独具)1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．2．两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；tan α tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)等.1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15 C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A.]2．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A.33 B ．1 C. 3D. 6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]3．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.1 [3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.]4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值． [解] ∵α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×143＝22.。

数学人教B版必修4预习导航3.1.3两角和与差的正切

(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，公式逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，要熟练掌握．
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，
1∓tanαtanβ＝．
如，tan25°＋tan20°＋tan25°tan20°＝tan(25°＋20°)·(1－tan25°tan20°)＋tan25°tan20°＝tan45°(1－tan25°·tan20°)＋tan25°tan20°＝1－tan25°tan20°＋tan25°tan20°＝1．所以在处理问题时，要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解两角和与差的正切公式的推导过程．
2．掌握两角和与差的正切公式的结构特征，能正用、逆用和变形用公式进行化简、求值和证明．
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记
和的正切
tan(α＋β)＝
Tα＋β
差的正切
tHale Waihona Puke n(α－β)＝Tα－β名师点拨(1)与两角和与差的正弦公式、余弦公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α＋β)≠tanα＋tanβ．

2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦课件新人教B版必修4

=
1 2
+
1-
3 2
sin x+
3 2
-
3+
3 2
cos x=0.
(2)原式=sin[(��+��)+��s]i-n2��c��os(��+��)sin�� =sin(��+��)coss��i��n-c��o�� s(��+��)sin�� =sin[(s��in+��)-��] = ssiinn��.
��
+
π 3
=
.
答案:4-130 3
4.sin(��+30°co)s-s��in(��-30°)=
.
解析:sin(��+30°co)s-s��in(��-30°) =sin��cos30°+cos��sin30°co-s(s��in��cos30°-cos��sin30°) =2cos��c��ossin��30°=2sin 30°=1.
3.1.2 两角和与差的正弦
课标阐释
思维脉络
1.掌握两角和与差的正弦公式. 2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、证明.
两角和与差的正弦公式
【问题思考】
1.(1)计算sin 15°的值.
(2)试用sin α,cos α,sin β,cos β表示sin(α+β)和sin(α-β).
提示:(1)sin 15°=cos 75°=cos(45°+30°)=

新人教B版高中数学(必修4)3.1.3《两角和与差的正切》word教案

3.1.3两角和与差的正切一、教学目标：1、知识与技能：⑴掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。

⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。

2、过程与方法：由学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与差的正切公式，通过教师的提问，学生观察，分析，讨论及练习。

及时搜集反馈信息，动态调整教学过程，引导学生攻克难点，掌握重点。

3、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。

二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。

教学难点：公式的逆向和变形应用。

三、教学过程：1、复习引入复习：两角和与差的正、余弦公式S α+β ,S α-β , C α+β ,C α-β()sin +sin cos +cos sin αβαβαβ=()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+提出问题：复角αβ±与单角α，β的正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用tan tan αβ和来表示()tan αβ±呢？2、两角和与差正切公式的推导及理解 T α+β ,T α-β⑴tan(α+β)公式的推导（让学生回答）∵cos (α+β)≠0tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时分子分母同时除以cos αcos β得：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 以-β代β得： ()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+⑵思考讨论：①公式是如何推导出来的？有什么限制条件？②公式有何特点？如何记忆？③公式有何用处？有何变形？⑶注意：1、必须在定义域范围内使用上述公式。

高一数学人教B版必修4课件3-1-3 两角和与差的正切

3．1.3
两角和与差的正切
两角和与差的正切公式
tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝，(T(α＋β)) ，(T(α－β))
重点：两角和与差的正切公式及公式的推导．难点：公式的灵活运用． 1．公式推导思路：两角和与差的正切公式是根据同角 sinα 三角函数的关系式＝tanα 及正、余弦的和角公式推导 cosα 出来的．
π 化简2－β，因为
π tan2的值不存在，不能利用公式 T(α－β)，
所以改用诱导公式来解．
π π sin－β＋2 π sin2－β tan 2－β ＝ π ＝ π cos2－β cos－β＋2
[解析]
∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
1 1 －＋ 2 7 1 ＝＝， 1 1 3 1－2×－7 1 1 ＋ 2 3 ∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝ 1 1＝1. 1－2×3 1 3π 由－π<α<0 及 tanα＝3知，－π<α<－ 4 ；
2
cosα＝ 1－sin α＝
3 4 2 1－－5 ＝， 5
3 －5 sinα 3 tanα＝＝＝－ . cosα 4 4 5 π tanα－tan 4 π 于是有 tanα－4＝ π 1＋tanαtan 4
3 －4－1 ＝ 3＝－7. 1＋－4
∵0° <θ<90° ，0° <φ<90° ，0° <θ＋φ<180° 在 0° ～180° 间正切值等于 1 的角只有 45° ， ∴θ＋φ＝45° ； tanα＋tanβ 2＋3 (2)tan(α＋β)＝＝＝－1. 1－tanαtanβ 1－2×3 又 0° <α<90° ，0° <β<90° ，0° <α＋β<180° ，∴α＋β＝135° .

数学人教B版必修4示范教案：3.1.3 两角和与差的正切含解析精品

示范教案整体设计教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来，单独作为一节，这对学生的自主探究学习提供了平台．因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，对其应用学生有了一定的理解，同时对于三角函数变形中，角的变换也有了一定的掌握，因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移，更多地让学生自主学习，独立地推导两角和与差的正切公式，为学生提供进一步实践的机会．也可以说本节并不是什么新的内容，而是对前面所学知识的整合而已．在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心，培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神．对于公式成立的条件，可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论，在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决．在学习两角和与差的正切公式中，有许多优美的三角恒等式，它可以唤起学生的美感，教学中要注意这种形式上的特点，引导学生欣赏其结构、变形之美．本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容，教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结，从分析公式的推导过程入手，探究问题解决的来龙去脉，揭示它们的逻辑关系，使学生更好地用分析的方法寻求解题思路．三维目标1．会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式，能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明．2．通过两角和与差的正切公式的推导及运用，让学生从中体会转化与化归的思想方法，培养学生用联系变化的观点观察问题，通过学生的互相交流增强学生的合作能力，加强学生对公式的理解，在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次．重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是逆用及变形用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)通过前面的学习，你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求．教师进一步提出：能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课，探究两角和与差的正切公式．思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后，能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似？如何推导呢？由此展开新课，揭示课题．推进新课新知探究提出问题(1)利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值，那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？(2)利用所学两角和与差的公式，对比分析公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β，能否推导出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？(3)分析观察公式T α－β、T α＋β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？(4)前面两角和与差的正、余弦公式是恒等式，和与差的正切呢？活动：教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α－β、C α＋β、S α＋β、S α－β，可以完全让学生自己进行探究tan(α－β)，tan(α＋β)究竟如何，教师只是适时地点拨就行了．通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切，通过除以cosαcosβ即可得到，在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况，这时教师不要直接提醒，让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果．对cosαcosβ讨论如下：当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ. 若cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ. 根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝tanα＋tan (－β)1－tanαtan (－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ. 由此推得两角和与差的正切公式，简记为“T α－β、T α＋β”．tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T α＋β)， tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T α－β)．我们把公式T α＋β、T α－β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式，并且从推导过程可以知道α、β、α±β有一定的取值范围，即α≠π2＋kπ(k ∈Z )，β≠π2＋kπ(k ∈Z )，α±β≠π2＋kπ(k ∈Z )，这样才能保证tan(α±β)与tanα，tanβ都有意义．教师应留出一定的时间让学生回味、反思探究过程，点明推导过程的关键是：tan(α＋β)→sin(α＋β)，cos(α＋β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面：①公式成立的条件是什么？(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、ta n(α±β)都有意义，且1±tanαtanβ≠0；②注意公式的形式：公式右边分子是单角α、β正切的和与差，分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式，右边分子的符号与公式左边的符号相同，公式右边分母的符号与分子的符号相反；③公式的作用：将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式，用于角的变换．(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明．至此，我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，统一叫做三角函数的和差公式．一般地，我们把公式S α＋β，C α＋β，T α＋β都叫做和角公式，而把公式S α－β，C α－β，T α－β都叫做差角公式．要让学生明晰这六个公式的推导过程，清晰逻辑关系主线．可让学生自己画出这六个框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理某些问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sin (π2－β)cos (π2－β)＝cosβsinβ来处理．讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例 1已知tanα＝2，tanβ＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π. (1)求tan(α－β)；(2)求α＋β的值．活动：本例是两角和与差的正切公式的直接运用，教师可让学生独立解决．对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围，这是解这类题目的关键步骤．让学生养成良好的习惯：由三角函数值求角必先找出所求角的范围．解：(1)因为已知tanα＝2，tanβ＝－13，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝2＋131－23＝7. (2)因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2. 在π2与3π2之间，只有5π4的正切值等于1，所以α＋β＝5π4. 例 2求下列各式的精确值．(1)tan75°；(2)tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°. 解：(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3； (2)tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝tan(17°＋43°)＝tan60°＝ 3. 点评：本例体现了对公式全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式，与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更深刻的认识.例 3若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(α＋π4)的值．解：因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4) ＝25－141＋25×14＝322. 点评：本题是典型的变角问题，就是把所求角利用已知角来表示，具有一定的拆角技巧，这就需要教师巧妙地引导，让学生亲自动手进行角的变换，使之明白此类变角的技巧，从而培养学生灵活运用公式的能力.例 4已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋ta nβ)的值．解：∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1.又∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，即tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2.点评：本题是公式的变形应用，当出现α＋β为特殊角时，就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan αtanβ)，这个变形式子对我们解题很有用处．解课堂小结本节课主要学习的是：推导了两角和与差的正切公式；研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用；学习了公式的应用，通过公式的推导，加强了对“转化”数学思想方法的理解，通过例题我们对公式不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用，这样才能全面地掌握公式．作业课本本节习题3—1 A 组1～3 B 组1～3.设计感想1．因为本节内容是两角和与差公式的最后一节，所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续，也注意了复习巩固两角和差公式．设计意图在于深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．2．对于本节课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生充分发挥自己的学习智能，由学生唱好本节的主角．在设计例习题上，也是先让学生审题、独立思考、探究解法，然后教师再进行必要的点评．重在理清思路，纠正错误，点拨解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法提升，开拓题型．备课资料备用习题1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( )A ．－1B ．－12C.57D.172．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )A.12B.22C. 2 D ．1 3.tan55°－tan385°1－tan (－305°)tan (－25°)＝________. 4．已知tan110°＝a ，则tan50°的值为________．5．若tanx ＝1－tan20°1＋tan20°，则x ＝________. 6．已知sinα＝－35，cosβ＝513，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值． 7．若3sinx ＋3cosx ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(0，π2)，求tan(φ＋π4)的值． 8．在平面直角坐标系中，点P 在以原点O 为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP 与以O 为圆心、2为半径的圆交于R 点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过R 作PM 的垂线，垂足为Q ，求∠POQ 的最大值．参考答案：1．D 2.D 3.33 4.a －31＋3a5.25°＋k·180°(k ∈Z )6.6316. 7．分析：如何求φ是本题的关键．解：∵3sinx ＋3cosx ＝23(32sinx ＋12cosx)＝23(sinxcos π6＋cosxsin π6)＝23sin(x ＋π6)， ∴23sin(x ＋φ)＝23sin(x ＋π6)．又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6. ∴tan(φ＋π4)＝1＋tanφ1－tanφ＝1＋331－33＝3＋33－3＝9＋3＋6332－3＝2＋ 3. 8．解：本应考虑点P 在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P 在第一象限，设∠xOP ＝α，∠xOQ ＝β，则∠POQ ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝2sinα6cosα＝13tanα. 故tan ∠POQ ＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝tanα－13tanα1＋13tan 2α＝2tanα3＋tan 2α. 设tan ∠POQ ＝y ，tanα＝t ，则y ＝2t 3＋t 2，即yt 2－2t ＋3y ＝0.由α是锐角，可知t ＞0，从而y ＝2t 3＋t 2＞0. 又Δ＝4－12y 2≥0，故0＜y ≤33，且当t ＝3时，y ＝33. 故y 的最大值，即tan ∠POQ 的最大值为33.所以∠POQ 的最大值为π6.。

2017-2018学年高中数学必修四课件：第3章3-1 第3课时

[一点通]
(1)要熟记两角和与差的正切公式的结构特征，灵活
应用公式化简求值． (3)注意公式的变形应用，当化简的式子中出现了“tan α± tan β”及“tan α· tan β”两个整体，常考虑 tan(α± β)的变形公式．
1．tan 20° ＋tan 40° ＋ 3tan 20° ＋tan 40° Hale Waihona Puke ________.答案：－ 3
3．(1)已知 α＋β＝45° ，求(1＋tan α)(1＋tan β)； (2)利用(1)的结果求(1＋tan 1° )(1＋tan 2° )(1＋tan 3° )„(1＋tan 45° )的值．
tan α＋tan β 解：(1)∵tan(α＋β)＝＝ 1， 1－tan αtan β ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴(1＋tan α)(1＋tan β) ＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. (2)由(1)知，α＋β＝45° 时，(1＋tan 1° )(1＋tan 44° )＝2. ∴(1＋tan 1° )(1＋tan 44° )＝(1＋tan 2° )(1＋tan43° ) ＝„＝(1＋tan 22° )(1＋tan 23° )＝2.∴原式＝222· 2＝223.
tan 2α 表示出来．
[精解详析]
tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
tanα＋β＋tanα－β ＝ 1－tanα＋βtanα－β 5＋ 3 4 ＝＝－， 7 1－5×3 tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] tanα＋β－tanα－β 5－3 1 ＝＝＝， 1＋tanα＋βtanα－β 1＋5×3 8 4 7 3 π 1＋tan 2α tan2α＋4 ＝＝＝ . 4 11 1－tan 2α 1＋ 7 1－

2018学年高中数学人教B版必修4课件：3-1-3 两角和与差的正切精品

化简求值
[小组合作型]
求下列各式的值： (1)tan 15°；(2)1－3＋3ttaann7755°°；(3)tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°. 【精彩点拨】解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.
【自主解答】 (1)tan 15°＝tan(45°－30°)
＝1t＋ant4a5n°4－5°ttaann3300°°＝11－＋
3 33＝33－＋
3
33＝2－
3.
(2)1－3＋3ttaann7755°°＝1＋33－33ttaann7755°°
＝1t＋ant3a0n°3－0°ttaann7755°°
1.公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个.
2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
[再练一题]
1.求下列各式的值：
cos (1)cos
β＝tan(α＋β)·(1－tan
αtan
β).( )
【解析】 (1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立.
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z). (3)√.当α≠kπ＋π2(k∈Z)，β≠kπ＋π2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子.
名称两角和的正切

数学人教B版必修4课堂探究：3.1.3两角和与差的正切含解析精品

课堂探究探究一利用和(差)角正切公式求值对于形如：cos sin cos sincos sin cos sina a a aa a a a+-⎛⎫⎪-+⎝⎭或的式子，常常分子、分母同时除以cosα转化为1tan1tanaa+-1tan1tanaa-⎛⎫⎪+⎝⎭或的形式，再化为tan45tan1tan45tanaa︒+-︒tan45tan1tan45tanaa︒-⎛⎫⎪+︒⎝⎭或的形式，逆用公式Tα＋β即可．【例1】计算：(1)1tan751tan75+︒-︒；(2)cos15sin15 cos15sin15︒-︒︒+︒；(3)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°．分析：由两角和与差公式Tα±β的特点易知(1)(2)可逆用公式Tα±β，而(3)应使用公式Tα＋β的变形．解：(1)解法一：tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan45tan301tan45tan30︒+︒-︒︒1+＝126+＝2所以1tan75 1tan75 +︒-︒解法二：1tan751tan75+︒-︒＝tan45tan751tan45tan75︒+︒-︒︒＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－tan 60°(2)cos15sin15cos15sin15︒-︒︒+︒＝sin151cos15sin151cos15︒-︒︒+︒＝1tan151tan15-︒+︒＝tan45tan151tan45tan15︒-︒+︒︒＝tan (45°－15°)＝tan 30°． (3)公式tan (α＋β)＝tan tan 1tan tan a αββ+-可变形为 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，所以tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝tan 45°＝1．探究二给值求值问题若所求三角函数的角可用已知三角函数的角的和或差表示就可求出其值，即角变换思想同样可以运用到和差角的正切公式上求值．【例2】已知tan (α＋β)＝5，tan (α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值．解：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝tan()tan()1tan()tan()αβαβαβαβ++-++- ＝53153+-+＝－47． tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)] ＝tan()tan()1tan()tan()αβαβαβαβ+--++-＝53153-+⨯＝18． tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1tan 21tan 2αα+-＝41717-+＝311．探究三给值求角问题【例3】已知tan (α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：已知α－β及β角的正切，要求2α－β的正切，必须通过角变换，2α－β＝α＋(α－β)，α＝(α－β)＋β，故需先求出α角的正切．解：因为tan β＝－17，tan (α－β)＝12，所以tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--＝112711127-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭＝13， tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝tan()tan 1tan()tan αβααβα-+-- ＝112311132+-⨯＝1．因为tan α＝13>0，tan β＝－17<0，所以α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭．所以α－β∈(－π，0)．又因为tan (α－β)＝12>0，所以α－β∈,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．而tan (2α－β)＝1，所以2α－β＝－34π．评注该小题的解题思路是利用角变换求出了2α－β角的正切值，难点和关键是通过判断值的大小缩小2α－β角的范围．若仅仅根据已知条件告诉的α和β的范围判断2α－β的范围，这个范围是非常大的，这个范围是(－π，π)，则正切值为1的角有4π和－34π，导致错误答案．探究四易错辨析易错点：对角的取值范围把握不准致误【例4】已知tan α，tan β是方程x 2＋＋4＝0的两个根，且α，β∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则α＋β的值等于( )A ．3πB ．－23π或3πC ．－3π或23π D ．－23π 错解：因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，所以tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4．所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+- 又因为α，β∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以α＋β∈(－π，π)．所以α＋β＝－23π或α＋β＝3π．故选B ．错因分析：忽视了tan α，tan β是两个负根这一隐含条件，从而导致增解现象．正解：因为tan α，tan β是方程x 2＋＋4＝0的两个根，所以tan α＋tan β＝－＜0，tan αtan β＝4＞0．所以tan α，tan β是方程x 2＋＋4＝0的两个负根，即tan α＜0，tan β＜0．因为α，β∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以α，β∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以α＋β∈(－π，0)．又因为tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+- 所以α＋β＝－23π．故选D ．答案：D。

2018版高中数学人教B版必修四学案：3.1.3 两角和与差的正切

3.1.3 两角和与差的正切[学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．[知识链接]1．如何化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β呢？答因为tan π2的值不存在，不能利用公式T α－β，所以改用诱导公式来解． tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. 2．你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)的公式吗？答当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. [预习导引]1．两角和与差的正切公式(1)T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. (2)T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．两角和与差的正切公式的变形(1)T α＋β的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β). (2)T α－β的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.要点一利用和(差)角的正切公式求值例1 求下列各式的值：(1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°) ＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3. (2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1， ∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°，∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．跟踪演练1 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.。

高中数学人教B版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

和角公式3．1.3两角和与差的正切预习课本P140～141，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？(2)公式T()α±β的应用条件是什么？[新知初探]两角和与差的正切公式 [点睛] (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β，因为tan π2的值不存在，所以不能利用公式T (α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )答案：(1)√ (2)×2．已知tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17 D ．7答案：D3．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12 D ．2答案：B 4.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.答案： 3给角求值问题[典例] 求值：(1)tan(－15°)； (2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. [解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，tan(－15°)＝－tan 15°＝3－2. (2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－33. (3)∵tan 60＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23° tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.利用公式T (α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T ()α±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]1.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°的值为________．解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 3 2.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°＝________.解析：观察可知18°＋42°＝60°，可运用两角和的正切公式求值． ∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. 答案：－1给值求值问题[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[解] ∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，∴tan α＝sin αcos α＝3545＝34.∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan α·tan (α－β)＝34－121＋34×12＝211，tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan α·tan (α－β)＝34＋121－34×12＝2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[活学活用]1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A ∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.2．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________.解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.因为 tan (α－β)＝2，所以 tan (β－α)＝－2，故 tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.答案：43[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan (α－β)； (2)求α＋β的值．[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7.(2)因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan (2α－β)的值．解：因为tan (α－β)＝7，tan α＝2，所以tan (2α－β)＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝7＋21－7×2＝－913.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值．解：因为tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12>0，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)， ∴tan (2α＋β)＝tan (α＋β)＋tan α1－tan (α＋β)tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.给值求角问题的解题策略(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．层级一学业水平达标1．1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( )A.33B. 3 C ．tan 6°D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.2．tan 15°＋tan 105°等于( ) A ．－2 3 B ．2＋ 3 C ．4D.433解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan (60°－45°)＋tan (45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A .3．已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322D.318解析：选C ∵tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.4．在△ABC 中，若tan A tan B>1，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析：选A 由tan A tan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角．又tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0，即tan C ＝－tan (A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B ∵tan 45°＝tan (20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.6．已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解． tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.答案：37.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：338．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＋β＝________. 解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.又α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝7π4. 答案：7π49．已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，求tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)的值．解：因为tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31－2×3＝－1，tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)] ＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2－31＋2×3＝－17，所以tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β ＝－1－17＝－87.10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β的大小．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α，tan β均为负， ∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.层级二应试能力达标1．已知tan α＝12，tan (α－β)＝－25，那么tan (β－2α)的值为( )A ．－34B ．－112C ．－98D.98解析：选B tan (β－2α)＝－tan (2α－β) ＝－tan [α＋(α－β)] ＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112. 2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan (A ＋B)＝－3，∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝3，∴C ＝π3.3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是( )A ．2 B.12C ．－1D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B .法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12.故选B .4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为() A ．222 B ．223C ．224D ．225解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，∵tan 45°＝tan (1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1， ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝ (2)∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：由已知得⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13. ∴tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝531－13＝52，在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形．答案：钝角6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________．解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，即tan (α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z. 当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4. 答案：3π4 7．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α，所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.8．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为13，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan(α＋β)－tan α2＋2tan(α＋β)·tan α的值．解：(1)由题意，得cos α＝13，cos β＝255.因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55，因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522.(2)tan(α＋β)－tan α2＋2tan(α＋β)·tan α＝12×tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)·tan α＝12×tan[(α＋β)－α]＝12×tan β＝12×12＝14.。

高中数学人教B版必修四3.1.3《两角和与差的正切》ppt课件(1)

【思路点拨】注意逆用公式 tan(α ＋ β) ＝ 1t－antαa＋nαttaannββ，在(1)中可将 1 替换为 tan45°再进行解答．
【解】 (1)原式＝1t＋ant4a5n°4－5°ttaann7755°°＝tan(45°－75°)＝
－
3 3.
(2) 因为 (1＋ tan1°)(1＋tan44°) ＝ 1＋tan1°＋ tan44°＋
＝1－3 13×2 12＝1. 因为 tanβ＝－17，β∈(0，π)，所以 β∈(π2，π) 所以 α－β∈(－π，0)．由 tan(α－β)＝12＞0，得 α－β∈(－π，－π2)，所以 2α－β∈(－π，0)，又 tan(2α－β)＝1，所以 2α－β＝－34π.
【点评】通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是 (0，π2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较
当 A 为钝角时，sinA＝35＜ 23，∴A＞120°. 又∵cosB＝153＜12，∴B＞60°， ∴A＋B＞180°与三角形内角和等于 180°矛盾． ∴cosC＝1665.
方法感悟
1．公式 Tα±β 应用时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知 α、β、α＋β(或 α－β)的终边不能落在 y 轴上，即它们不能为 kπ＋π2(k∈Z)． (2)公式的逆运用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常数值代
“tanα·tanβ”两个整体，常考虑 tan(α±β)的变形公式．
变式训练 1 化简求值： (1)tan10°＋tan50°＋ 3tan10°tan50°； (2)1＋3－3ttaann1155°°；