2019高考数学大二轮复习 专题4 三角函数、解三角形 第1讲 基础小题部分课件 理
2019年高考数学理真题分项解析：专题04 三角函数与三角形
专题四 三角函数与三角形1.【2019高考新课标Ⅰ，理11】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．2.【2019高考新课标Ⅱ，理9】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │D. f (x )= sin│x │【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x=的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；3.【2019高考新课标Ⅱ，理10】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A.15 B.55 C. 33D.255【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．4.【2019高考新课标Ⅲ，理12】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D 【解析】 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选：D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．5.【2019高考天津卷，理7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-C. 2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。
高考数学专题复习-三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α＝23,则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23,所以cos α＝306,sin α＝±66,得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2,所以|a －b |＝55. 答案 B2.(全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 A 项,因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0),所以f (x )的一个周期为－2π,A 项正确.B 项,因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z ),当k ＝3时,直线x ＝8π3是其对称轴,B 项正确.C 项,f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3,将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0,所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点,C 项正确.D 项,因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ),递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z ),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间,⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间,D 项错误. 答案 D3.(全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52,则f (x )的最小正周期为π,当2x ＝2k π,即x ＝k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4. 答案 B4.(全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4,且函数y ＝cos x 在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x ＋π4≤π,得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ,a ]上是减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4,所以0<a ≤π4,所以a 的最大值是π4. 答案 A考 点 整 合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π,2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π,2k π＋π] 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ),当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换热点一 三角函数的定义【例1】 (1)(北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13,则cos(α－β)＝________.(2)如图,以Ox 为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P ,已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.解析 (1)法一 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13,∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝13(k ∈Z ). 当cos α＝1－sin 2α＝223时,cos β＝－223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－79. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时,cos β＝223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79.综上可知,cos(α－β)＝－79.法二 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ),∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sinα, cos β＝cos[(2k ＋1)π－α]＝－cos α,k ∈Z .当sin α＝13时,cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.(2)由三角函数定义,得cos α＝－35,sin α＝45,∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 答案 (1)－79 (2)1825探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关,而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出,则无论点P 选择在α终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的.【训练1】 (1)(潍坊三模)在直角坐标系中,若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,则sin(π－α)＝( ) A.12B.32C.－12D.－32(2)(北京卷)在平面直角坐标系中,AB ︵,CD ︵,EF ︵,GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解析 (1)∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,且|OP |＝1.∴由三角函数定义,知sinα＝cos 2π3＝－12.因此sin(π－α)＝sin α＝－12.(2)设点P 的坐标为(x ,y ),由三角函数的定义得yx <x <y ,所以－1<x <0,0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. 答案 (1)C (2)C 热点二 三角函数的图象 考法1 三角函数的图象变换【例2－1】 (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象,只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度(2)(湖南六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2,将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后,得到的图象关于y 轴对称,那么函数y ＝f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称C.关于直线x ＝π12对称D.关于直线x ＝－π12对称解析 (1)因为y ＝sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1,故只需将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象. (2)由题意,T ＝π,ω＝2.又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象关于y 轴对称.∴φ＋2π3＝k π＋π2,k ∈Z . 由|φ|<π2,取φ＝－π6,因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6,代入检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0,A 正确.答案 (1)B (2)A探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ,令z ＝0,π2,π,3π2,2π,求出x 的值与相应的y 的值,描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的,如果x 的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2 由函数的图象特征求解析式【例2－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)(济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32解析 (1)由题意知A ＝2,T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π,ω＝2,因为当x ＝5π12时取得最大值2,所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ, 所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2,k ∈Z ,解得φ＝2k π－π3,k ∈Z , 因为|φ|<π2,得φ＝－π3. 因此函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知,A ＝1,T ＝π,则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点,∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0,φ＝π3. 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),所以x 1＋x 22＝π12,则x 1＋x 2＝π6,因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案 (1)B (2)D探究提高 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12倍,再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度,得到函数y ＝g (x )的图象,求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ,由题图可知 A ＝1,T 2＝2π3－π6＝π2,即T ＝π,所以π＝2πω,解得ω＝2,所以f (x )＝sin(2x ＋φ),又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0,由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π,k ∈Z , 则φ＝2k π－π3,k ∈Z ,因为|φ|＜π2,所以φ＝－π3,故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时,4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6,所以当x ＝π8时,g (x )取得最小值,且g (x )min ＝12. 热点三 三角函数的性质 考法1 三角函数性质【例3－1】 (合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4,且T ＝π,∴ω＝2,于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z ),得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z ),得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,所以令k ＝0,得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理,其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.探究提高 1.讨论三角函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的单调区间,是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间),但是当A ＞0,ω＜0时,需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ),则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间. 考法2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,若y ＝g (x )在[0,b ](b >0)上至少含有10个零点,求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π,得ω＝1, 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2,k ∈Z ,整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12,k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0,得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z ),所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y ＝g (x )在[0,b ]上有10个零点,则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质,关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式,利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (湖南师大附中质检)已知向量m ＝(2cos ωx ,－1),n ＝(sin ωx －cos ωx ,2)(ω>0),函数f (x )＝m·n ＋3,若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )的图象,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时,求函数g (x )的值域.解 (1)f (x )＝m·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知,最小正周期T ＝π.∴ω＝1,因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π,k ∈Z ,求得f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π,k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象. 然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4,由π4≤x ≤π2,知5π4≤4x ＋π4≤9π4.∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22.故函数g (x )的值域是[－2,1].1.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0,ω＞0)的图象求解析式(1)A＝y max－y min2,B＝y max＋y min2.(2)由函数的周期T求ω,ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y＝sin x的性质,只需将y＝A sin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”,采用整体代入求解.(1)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z),可求得对称轴方程；(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx＋φ看作整体,可求得y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间,注意ω的符号.3.函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin(ωx ＋φ)＋B(一角一函数)的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y＝A sin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝tan x1＋tan2x的最小正周期为()A.π4 B.π2 C.π D.2π解析f(x)＝tan x1＋tan2x＝sin xcos x1＋sin2xcos2x＝sin x cos xcos2x＋sin2x＝sin x cos x＝12sin 2x,所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.答案 C2.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝15sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3＋cos⎝⎛⎭⎪⎫x－π6的最大值为()A.65 B.1 C.35 D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,函数的最大值为65. 答案 A3.(湖南六校联考)定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则φ的最小值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π,k ∈Z ,则φmin ＝23π. 答案 C4.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ,F 是函数与x 轴的交点,点G 在图象上),则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2解析 依题设,T 2＝|EF |＝4,T ＝8,ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数,且0<φ<π. ∴φ＝π2,在等腰直角△EGF 中,易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ,则f (1)＝ 2.答案 C5.(天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解析 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象,由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z ),令k ＝1,得3π4≤x ≤5π4,即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.答案 A 二、填空题6.(江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2,所以π6<2π3＋φ<7π6,则2π3＋φ＝π2,φ＝－π6.答案 －π67.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,其中|PQ |＝2 5.则f (x )的解析式为________.解析 由题图可知A ＝2,P (x 1,－2),Q (x 2,2),所以|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（－2－2）2＝（x 1－x 2）2＋42＝2 5.整理得|x 1－x 2|＝2,所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝4,即2πω＝4,解得ω＝π2.又函数图象过点(0,－3),所以2sin φ＝－3,即sin φ＝－32.又|φ|<π2,所以φ＝－π3,所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π38.(北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立,故当x ＝π4时,函数f (x )有最大值,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1,πω4－π6＝2k π(k ∈Z ),∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0,∴ωmin ＝23.答案 23 三、解答题9.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π,k ∈Z },f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π,k ∈Z , 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π,k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ,易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时,f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.10.(西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z ),即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时,函数f (x )取最大值,且最大值为1.(2)由(1)知,函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π,k ∈Z ,∴当x ∈(0,π)时,对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2.∴x 1＋x 2＝56π,则x 1＝56π－x 2,∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3, 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23,故cos(x 1－x 2)＝23.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,其中0＜ω＜3,已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0,所以ωπ6－π3＝k π,k ∈Z ,故ω＝6k ＋2,k ∈Z . 又0＜ω＜3,所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4,所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3,当x －π12＝－π3,即x ＝－π4时,g (x )取得最小值－32.。
超实用高考数学专题复习：第四章三角函数解三角形 三角函数与解三角形热点问题
【尝试训练】 (2020·郑州质检)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若向量 m＝2cos2C2 ，cos A－2 B，n＝58，cos A－2 B，m·n＝98. (1)求 tan Atan B 的值； (2)求c2a－bsai2n－Cb2的最小值. 解 (1)由题意可得 m·n＝54cos2C2＋cos2A－2 B＝98， 即－58cos(A＋B)＋12cos(A－B)＝0，展开可得 cos Acos B＝9sin Asin B，
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ(k∈Z). 设 A＝－4π，π4，B＝x－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝－1π2，π4.
所以当 x∈－π4，π4时，f(x)在区间－1π2，π4上单调递增，在区间－π4，－1π2上单调 递减.
6＋ 4
2 .
两角差正弦公式的应用
12′
[高考状元满分心得]
❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点
步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出 0°<A<180°就有分，没写就扣 1 分，第(2)
问中 0°<C<120°也是如此.
❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时
教你如何审题——三角函数与平面向量
【例题】 (2020·湘赣十四校联考)已知向量 m＝(sin x，－1)，n＝( 3，cos x)，且函
数 f(x)＝m·n. (1)若 x∈0，2π，且 f(x)＝23，求 sin x 的值；
(2)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，△ABC
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
高考数学二轮复习专题四 三角函数
高考数学二轮复习专题四 三角函数【重点知识回顾】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。
当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。
总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。
诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域； （2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；sin y x =的对称轴是2x k ππ=+()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2k ππ+()k Z ∈tan y x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈ 注意加了绝对值后的情况变化.⑷写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω=-. （三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 【典型例题】例1.已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ；(2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化例2.已知向量2(2cos sin )(sin cos )(3)a ααb ααx a t b =-=+-，2，=，，，y ka b =-+，且0x y ⋅=，(1)求函数()k f t =的表达式；(2)若[13]t ∈-，，求()f t 的最大值与最小值 解：(1)24a =，21b =，0a b ⋅=，又0x y ⋅=，所以22222[(3)]()(3)[(3)]0x y a t b ka b ka t b t k t a b ⋅=+-⋅-+=-+-+--⋅=，所以31344k t t =-，即313()44k f t t t ==-； (2)由(1)可得，令()f t 导数233044t -=，解得1t =±，列表如下：而(1)(1)(3)222f f f -==-=，，，所以max min ()()22f t f t ==-， 说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。
2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲义：第四章 三角函数、解三角形 4-1 含答案 精品
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向为正切线知识拓展1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ ) 题组二 教材改编2．[P10A 组T7]角－225°＝________弧度，这个角在第________象限． 答案 －5π4二3．[P15T2]设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________. 答案115解析 由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－35，cos θ＝45，所以2cos θ－sin θ＝2×45－⎝⎛⎭⎫－35＝115.4．[P10A 组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度． 答案 π3题组三 易错自纠5．(2018·秦皇岛模拟)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．6．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.7．已知角α(－π<α<0)的终边与单位圆交点的横坐标是13，则sin α＝________.答案 －232解析 由题意得，角α的终边与单位圆交点的坐标是⎝⎛⎭⎫13，－232，∴sin α＝－23 2. 8．(2018·济宁模拟)函数y ＝2cos x －1的定义域为______________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示1．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B. 2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角答案 C解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 3．(2018·宁夏质检)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π解析 如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk 的终边所在位置．题型二 弧度制典例 (1)(2017·珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1 C.12 D ．3答案 A解析 设扇形的半径为R ，则弧长l ＝4－2R ， ∴扇形面积S ＝12lR ＝R (2－R )＝－R 2＋2R ＝－(R －1)2＋1，当R ＝1时，S 最大，此时l ＝2，扇形圆心角为2弧度．(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练 (1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3 D. 3答案 D解析 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.(2)已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．答案 S 1＝S 2解析 设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ， 则AQ ＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ， ∴S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，∴S 1＝S 2恒成立．题型三 三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用典例 (1)(2018·山东重点中学模拟)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 B解析 ∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0， 综上知，θ2为第二象限角．命题点2 三角函数线的应用典例 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析 要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6 (k ∈Z )．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围． 跟踪训练 (1)(2017·济南模拟)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵tan α<0，cos α<0， ∴α在第二象限．(2)(2017·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α答案 C解析 如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ， 观察可知sin α<cos α<tan α.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．(2)(2017·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， CB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2，设点P (x P ，y P )， 所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．(2)因为3－4sin 2x ＞0， 所以sin 2x ＜34，所以－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，所以x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． 答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限． 2．(2018·长春调研)已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1,1) 答案 D解析 设P (x ，y )，则sin α＝y 2＝sin π4，∴y ＝1.又cos α＝x 2＝cos π4，∴x ＝1，∴P (1,1)．3．(2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A ．－3B ．3 C.163 D ．±3答案 B 解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3.4．(2018·广州质检)点P 的坐标为(2,0)，射线OP 顺时针旋转2 010°后与圆x 2＋y 2＝4相交于点Q ，则点Q 的坐标为( ) A ．(－2，2) B ．(－3，1) C ．(－1，3) D ．(1，－3)答案 B解析 由题意得Q (2cos(－2 010°)，2sin(－2 010°))， 即Q (－3，1)．5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12×4×R 2＝2，∴R ＝1，弧长l ＝4，∴扇形的周长为l ＋2R ＝6.6．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( ) A.155B.153C ．－155D ．－153答案 D 解析 ∵x x 2＋5＝24x 且α在第二象限， ∴x ＝－3，∴tan α＝5－3＝－153.7．(2017·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2·cos 3·tan 4<0. 8．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．9．(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cos α＝________. 答案 25解析 ∵|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |＝5m (m >0)， ∴sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.10．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.11．函数y ＝sin x －32的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z解析 利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知 2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .12．满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析 作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .13．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M 1P 1，M 2P 2和正切线AT 1，AT 2，观察知当sin α>sin β时，tan α>tan β.14．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第四象限，则在[0,2π]内α的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫π2，34π∪⎝⎛⎭⎫74π，2π 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α>0，tan α<0，得－1<tan α<0或tan α<－1. 又0≤α≤2π，∴π2<α<34π或74π<α<2π.15．(2017·烟台模拟)若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 答案 2解析 由已知tan α＝3，∴n ＝3m ， 又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，∴n ＝－3.故m －n ＝2. 16．(2018·石家庄质检)已知sin α<0，tan α>0. (1)求角α的集合； (2)求α2的终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cosα2>0，所以tan α2sinα2cosα2也取正号．因此，tan α2sinα2cosα2取正号．。
2019年江苏省高考数学二轮复习讲义：专题一 第一讲 小题考法——三角函数、解三角形
2019年4月[江苏卷5年考情分析]第一讲 小题考法——三角函数、解三角形[题组练透]1．计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.详细分析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎫1＋ 3 sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．详细分析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.答案：－3π43．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 详细分析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 答案：925[方法技巧]1．解决三角函数求值或求角问题的关键与思路解决三角函数的求值或求角问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧 (1)2α＝(α＋β)＋(α－β)； (2)α＝(α＋β)－β； (3)β＝α＋β2－α－β2；(4)α＝α＋β2＋α－β2；(5)α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 3．三角函数化简的原则及结果[题组练透]1．(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．详细分析：由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z .∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6.答案：－π62．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ＝________.详细分析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象解+析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，由题意知，g (0)＝0，所以φ－π3＝k π，即φ＝k π＋π3，又因为0<φ<π，所以φ＝π3.答案：π33．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 详细分析：由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0， 得k ＝0， 所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，544．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，π6≤x ≤5π12，则函数f (x )的值域为________． 详细分析：依题意，有f (x )＝232sin x －12cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝sin x cos x －32(cos 2x －sin 2x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，因为π6≤x ≤5π12，所以0≤2x －π3≤π2，从而0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，所以函数f (x )的值域为[0,1]． 答案：[0,1][方法技巧]1．对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象平移后图象关于y 轴或原点对称的两种处理方法 (1)若平移后所得函数解+析式为y ＝A sin(ωx ＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝k π；要关于y 轴对称，则φ＋θ＝k π＋π2.(2)利用平移后的图象关于y 轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y ＝sin x 的对称性去求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 3．求解三角函数的值域的三种方法[题组练透]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．详细分析：法一：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由余弦定理得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c －3a ，即b 2－a 2＝c 2－3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.法二：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＝2sin C －3sin A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ，故2cos B sin A ＝3sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 答案：π62．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝______.详细分析：由tan A ＝7tan B 可得sin A cos A ＝7sin Bcos B ，即sin A cos B ＝7sin B cos A ，所以有sin A cos B ＋sin B cos A ＝8sin B cos A ， 即sin (A ＋B )＝sin C ＝8sin B cos A ，由正、余弦定理可得：c ＝8b ×b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝4b 2＋4c 2－4a 2，又a 2－b 2c ＝3，所以c 2＝4c ，即c ＝4. 答案：43．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．详细分析：如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a＋1c＝1. ∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4ac ＋5≥2c a ·4ac＋5＝9， 当且仅当c a ＝4ac ，即c ＝2a 时取等号．故4a ＋c 的最小值为9. 答案：94．(2018·常熟高三期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．详细分析：因为b ＝a cos C ＋c sin A ，所以由正弦定理得sin B ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝sin A ，即tanA ＝1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4，在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝b 2＋c 24－2b ·c 2cos π4，即22bc ＝4b 2＋c 2－8≥4bc －8，所以bc ≤42－2＝4＋22，当且仅当2b ＝c 时等号成立，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·22bc ≤2＋1.答案：2＋1[方法技巧]1．利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法(1)解三角形问题时，要注意两个统一原则，即将“边”统一为“角”，将“角”统一为“边”．当条件或结论是既含有边又含有角的形式时，就需要将边统一为角或将角统一为边．在应用这两个原则时要注意：①若式子中含有角的余弦、边的二次式，则考虑用余弦定理进行转化；②若式子中含有角的正弦、边的一次式，则考虑用正弦定理进行转化．(2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形可能不止一个，因此，需要合理分析，确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系求得结果，同时注意平面几何知识的应用．2．与面积、范围有关问题的求解方法(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．另外，还要注意用面积法处理问题．(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围问题时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法等求解，或者通过基本不等式来进行求解．在求解时，要注意题目中的隐含条件，如|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[必备知能·自主补缺] (一)主干知识要牢记1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)常见的两种图象变换：①y ＝sin x ――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． ②y ＝sin x ――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin ωx―――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移||φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． 4．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )． 5．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 6．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 7．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.8．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .(二)二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．3．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 4．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 5．△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝π3.6．△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列． 7．S △ABC ＝abc4R(R 为△ABC 外接圆半径)． [课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.详细分析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：122．(2018·苏北四市期末)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω>0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________．详细分析：因为f (x )的最小正周期为2πωπ＝15，所以ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin 19π6＝－sin π6＝－12. 答案：－123．(2018·盐城期中)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．详细分析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，且角C 是最大内角，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22×3k ×5k ＝－12，因为0°<C <180°，所以C ＝120°.答案：120°4．(2018·苏州期中调研)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，则cos 2α的值是________． 详细分析：因为tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，所以tan α－11＋tan α＝2，即tan α＝－3， 故cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－810＝－45.答案：－455．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.详细分析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B， 解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π36．(2018·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.详细分析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3，即f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋⎝⎛⎭⎫π3－2φ.因为f (x )为偶函数，所以π3－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝5π12.答案：5π127．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．详细分析：∵sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，又∵2b ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，解得b ＝4.答案：48．(2018·盐城三模)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫－π8的值为________． 详细分析：f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎣⎡⎦⎤(ωx ＋φ)－π6，由题意知，T ＝π2×2＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数f (x )为偶函数得，f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝±2，又因为0<φ<π，所以φ＝2π3，f (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x ，故f ⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos π4＝ 2. 答案： 29．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.详细分析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 答案：－7910．(2018·无锡期末)设函数f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为________．详细分析：f (x )＝1－cos 2x 2＋3cos x sin x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 11．(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC ＝________.详细分析：因为b ＝4，c ＝3，由S △ABC ＝12bc sin A ＝6sin A ＝33，解得sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝12或求出锐角A ＝π3，再求cos A ＝12，在△ABC中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋9－2×4×3×12＝13，所以a ＝13，即BC＝13.答案：1312．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 详细分析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：－25513．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________． 详细分析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－4514．(2018·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 详细分析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cos α，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12 ＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B 组——力争难度小题1.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．详细分析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝⎛⎭⎫T 4，3，B ⎝⎛⎭⎫3T4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T 216－3＝0，解得T ＝4.答案：42．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，则tan A ＝________. 详细分析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－A －π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12， 所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：13．已知α为锐角，cos(α＋π4)＝55.则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 详细分析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝255，因为sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin π6＝43＋310. 答案：43＋3104.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________. 详细分析：由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π3，0代入函数f (x )可得0＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ，所以2π3＋φ＝k π，所以φ＝k π－2π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π3，0的中点坐标为⎝⎛⎭⎫π12，0，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π12×2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. 答案：325．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积S 的最大值为________．详细分析：由S ＝12ab sin C ，得S 2＝14a 2b 2(1－cos 2C )＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2， ∵a 2＋b 2＋2c 2＝8， ∴a 2＋b 2＝8－2c 2，∴S 2＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2 ＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3c 22ab 2 ＝14a 2b 2－(8－3c 2)216≤(a 2＋b 2)216－(8－3c 2)216＝－5c 416＋c 2，当且仅当a 2＝b 2时等号成立，由二次函数的性质可知，当c 2＝85时，S 2取得最大值，最大值为45，故S 的最大值为255.答案：2556.(2018·南通基地卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin π4x ＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M 、N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．详细分析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋3π4，所以φ＝34π，M (－1，3)，|OM |＝2，N (3，－3)，ON ＝23，|MN |＝27，由余弦定理可得，cos θ＝4＋12－282×2×23＝－32，θ＝5π6，tan(φ－θ)＝tan⎝⎛⎭⎫3π4－5π6＝tan3π4－tan5π61＋tan3π4·tan5π6＝－2＋ 3.答案：－2＋ 3。
2019届高考数学二轮复习课件：三角函数及解三角形2.2.1
【解析】函数 f(x) sin(x )( 0) 在 ( , ) 上有最大
12 3 4 值,但没有最小值,所以 g g 3 12 4 2 3 4 2 3 ( ， 3). 4 答案: ( 3 ， 3) 4
【加练备选】 已知函数 f(x) sin 2 x sin 2 (x )，x R， 则 f(x)在区间
2 . ③利用图象. y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 ， | | | |
【考向精练】 1.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上 是减函数,则a的最大值是 ( )
3 A. B. C. D. 4 2 4
【典例2】(1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数 f (x) cos (x )，
3
则下列结论错误的是
(
)
A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线 x 8 对称 C.f(x+π)的一个零点为 x D.f(x)在 ( , ) 上单调递减
2
3
6
(2)(2018·唐山二模)若x∈[0,π],则函数f(x)=cos x -sin x的增区间为 ( )
2 3
性质 (
)
A.最大值为 3, 图象关于 ( ， 0) 对称 6 B.最大值为1,图象关于 ( ， 0) 对称 6 x ＝ C.最大值为 3, 图象关于直线 对称 6 D.最大值为1,图象关于直线 x＝ 对称 6
【解析】选D. y cos(x ) sin(x )
第1课时
三角函数的概念、图象与性质
热点考向一
三角函数的值域、最值
考向剖析:本考向考查形式为选择题、填空题,主要考 查三角函数的值域、单调性、换元法、引入辅助角求 三角函数的最值等知识.考查数学运算能力和数据处理
专题04 三角函数与解三角形-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析(解析版)
2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析4．三角函数与解三角形一、考试大纲1．任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念.(2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±，απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 y = sin x ,y =cos x ,y = tan x 的图像,了解三角函数的周期性.(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[ 0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间[,]22ππ-内的单调性.(4)理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=.(5)了解函数 y =A sin(x+ )的物理意义；能画出 y =A sin(x+)的图像,了解参数A ,,对函数图像变化的影响.(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 3．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.4．应用：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.二、考点讲评与真题分析新课标全国卷对于三角函数的考查比较固定，一般考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，一般是1小1大，或者3小题，一般考查考生转化与化归思想和运算求解能力。
三角函数求值、三角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值范围、图象变换等都是热门考点。
解三角形问题也是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”．题型一 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系例1 (2014·新课标Ⅰ，理6)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x x OM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =， ∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. 【解题技巧】本题考查三角恒等变换，齐次化切.题型二 三角函数的恒等变换例2 （2015·新课标Ⅰ，2）sin 20cos10cos160sin10-= （ ）A ．BC ．12-D ．12解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 30-=+= ，选D ．.题型三 三角恒等变换与三角函数的值域例3 (2018·新课标Ⅰ，理16)已知函数x x x f 2sin sin 2)(+=，则)(x f 的最小值是 .【答案】233-解析：方法一：()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )f x x x x x x x x =+=+=+， 所以222223[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )4(1cos )(1cos )f x x x x x x x =+=-+=+- 4344(1cos )(1cos )(1cos )(33cos )27(1cos )(33cos )3344x x x x x x ++++++-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭≤，所以函数()f x 的值域为⎡⎢⎣，所以()f x 的最小值为方法二：23()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )4sin cos 2cos 8sin cos 22222x x x x x f x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭ 3222223(sin cos )3sin cos cos cos 222222x x x x x x ⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 4222243sin cos cos cos 3222244x x x x ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭≤，3sin cos 22x x2sin sin 2x x ∴+≥. 方法三：x x x f 2cos 2cos 2)(+=')1cos 2)(1(cos 2-+=x x0)(>'x f 3232ππππ+<<-⇒k x k ，函数)(x f 在)32,32(ππππ+-k k 单调递增；0)(<'x f 32352ππππ-<<-⇒k x k ，函数)(x f 在)32,352(ππππ--k k 单调递减；∴32ππ-=k x 时，函数)(x f 有最小值，即)32()(min ππ-=k f x f )32(2sin )32sin(2ππππ-+-=k k 233-=.题型四 三角函数的图形变换例4（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭：，则下面结论正确的是（ ）. A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 ：首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 【解题技巧】关于y ＝Asin (ωx +φ)函数图像由y ＝sinx 的图像的变换，先将y ＝sinx 的图像向左(或右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1ω倍，再将其纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是|φω|个单位，原则是保证x 的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．题型五 三角函数性质的综合应用例5 （2016全国乙理12）已知函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）. A.11 B.9 C.7 D.5解析：选B. 方法1：因为x ＝-π4为函数f(x)的零点，x ＝π4为y ＝f(x)图像的对称轴，所以π2＝kT 2+T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k+1(k ∈Z )．又f(x)在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝-π4，f(x)在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f(x)在(π18，5π36)上单调，满足题意；故ω＝9，即ω的最大值为9.方法2：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．题型六 解三角形、正余弦定理例6 （2015·新课标1，16）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，2BC =，则AB 的取值范围是 .解析: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长， 在BCE ∆中，75B C ∠=∠= ，30E ∠= ，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE ； 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠= ，30FCB ∠= ，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得BF =所以AB 的取值范围为.题型七 三角函数与解三角形的综合应用例7 （2017·新课标Ⅰ，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 解析：（1）∵ABC △面积23sin a S A=．且1sin 2S bc A =， ∴21sin 3sin 2a bc A A =，∴223sin 2a bc A =，∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =．（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =，∵πA B C ++=， ∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=，又∵()0πA ∈，，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =，由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=，∴3a b c ++=，即ABC △周长为3．三、高考真题分类汇编2011年—2018年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编7．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ； 【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z 错误！未找到引用源。
(文理通用)2019届高考数学大二轮复习 第1部分 专题3 三角函数及解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质练习
第一部分 专题三 第一讲 三角函数的图象与性质A 组1．已知sin φ＝35，且φ∈(π2，π)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f (π4)的值为( B )A ．－35B ．－45C ．35D ．45[解析] 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f (π4)＝sin(2×π4＋φ)＝cos φ＝－1－sin 2φ＝－45.2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z [解析] 由五点作图知，⎩⎪⎨⎪⎧14ω＋φ＝2k π＋π2，54ω＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，可得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D .3．(2017·天津卷，7)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( A )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24[解析] ∵f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4(11π8－5π8)＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin(23x ＋φ)．∴2sin(23×5π8＋φ)＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A ．4．(2018·济南期末)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上递减，则ω＝( B ) A ．3 B ．2 C ．6D ．5[解析] ∵f (x )＝2sin(ωx ＋π3)，f (π6)＋f (π2)＝0.∴当x ＝π6＋π22＝π3时，f (x )＝0.∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ， ∴ω＝3k －1，k ∈Z ，排除A ，C ； 又f (x )在(π6，π2)上递减，把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( B )A ．11B ．9。
2019高考数学理高分大二轮课件专题4第1讲基础小题部分
)
A．[－π6＋2kπ，56π＋2kπ]，k∈Z
B．[－56＋2k，16＋2k]，k∈Z
C．[－56π＋2kπ，π6＋2kπ]，k∈Z
D．[16＋2k，76＋2k]，k∈Z
7
精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
增分强化练
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考点一 考点二 考点三 考点四
解析：由 f(x1)＝1，f(x2)＝0，x1 为最大值点，x2 为零点，|x1－x2|最小值为12，∴T4＝
的图象，则下列说法正确的是
()
A．函数 g(x)图象的一条对称轴是 x＝π4
B．函数 g(x)图象的一个对称中心是 (π2，0)
C．函数 g(x)图象的一条对称轴是 x＝π2
D．函数 g(x)图象的一个对称中心是 (π8，0)
4
精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
增分强化练
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考点一 考点二 考点三 考点四
公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴” (1)公式法求周期T：
①正弦型函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的周期 T＝|2ωπ|；
②余弦型函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B 的周期 T＝|2ωπ|；
③正切型函数
f(x)＝ Atan( ωx＋ φ)＋ B
的周期
T＝
π |ω|.
9
精准考点突破
A．π4
B ．π2
C．π
D． 2π
()
2
精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
增分强化练
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考点一 考点二 考点三 考点四
sin x
sin x
2019高考数学大二轮复习专题4三角函数、解三角形第2讲综合大题部分增分强化练理
第2讲 综合大题部分1．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 解析：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝(12×1×2＋12×3×2)sin 60° ＝2 3.2．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f (π4)＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f (α4)＝－25，α∈(π2，π)，求sin(α＋π3)的值．解析：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )， 由f (π4)＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f (α4)＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈(π2，π)，从而cos α＝－35，所以sin(α＋π3)＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.3．(2018·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解析：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32. 由题设知π2<B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.4．(2018·唐山统考)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AD 是BC 边上的中线，记∠CAD ＝α，∠BAD ＝β.(1)求sin α∶sin β； (2)若tan α＝sin ∠BAC ，求BC . 解析：(1)∵AD 为BC 边上的中线， ∴S △ACD ＝S △ABD ，∴12AC ·AD sin α＝12AB ·AD sin β， ∴sin α∶sin β＝AB ∶AC ＝2∶1. (2)∵tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)， ∴sin α＝sin(α＋β)cos α， ∴2sin β＝sin(α＋β)cos α，∴2sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tan α，又tan α＝sin∠BAC＝sin(α＋β)≠0，∴cos(α＋β)＝cos∠BAC＝1 2，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝3，∴BC＝ 3.。
近年届高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数练习理北师大
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第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1.给出下列四个命题:①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角;④－315°是第一象限角。
其中正确的命题有（)A。
1个 B.2个C。
3个 D。
4个解析－错误!是第三象限角,故①错误。
错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角,②正确。
－400°＝－360°－40°，从而③正确。
－315°＝－360°＋45°，从而④正确。
答案C2。
已知点P(tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边所在象限是( ) A。
第一象限B。
第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角。
答案B3.（2017·宜春模拟)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝错误!，则m等于（)A。
－3 B。
3 C。
错误! D。
±3解析sin θ＝错误!＝错误!，解得m＝3。
答案B4。
点P从（1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动错误!弧长到达Q点，则Q 点的坐标为（）A.（－错误!，错误!）B。
2019高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质练习
2019高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质练习地地道道的达到 第 1 讲 三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考察的要点和热门内容，主要从以下两个方面进行考察： 1. 三角函数的图象，波及图象变换问题以及由图象确立分析式问题，主要以选择题、填空题的形式考察； 2. 利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单一区间等，主要以解答题的形式考察 .真题感悟1.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 已知角 α 的极点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有2两点 A (1 ，a ) ， B (2 ， b ) ，且 cos 2 α ＝3，则 | a － b | ＝ ( )1 52 5A. 5B. 5C. 5D.122306 分析 由题意知 cos α >0. 因为 cos 2α ＝ 2cos α － 1＝3，所以 cos α ＝ 6 ，sin α ＝± 6，5 a － b 5得|tan α | ＝ 5 . 由题意知 |tanα | ＝ 1－ 2 ，所以 | a －b | ＝ 5 .答案 B2.(2017 ·全国Ⅲ卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ cos x ＋π，则以下结论错误的选项是 ( )3A. f ( x ) 的一个周期为－ 2π8π B. y ＝ f ( x ) 的图象对于直线 x ＝ 3 对称πC.f ( x ＋ π ) 的一个零点为x ＝ 6πD.f ( x ) 在 2 ， π 单一递减分析 A 项，因为 f ( x ) 的周期为 2k π ( k ∈ Z 且 k ≠ 0) ，所以 f ( x ) 的一个周期为－ 2π ， A 项正确 .π8πB 项，因为 f ( x ) 图象的对称轴为直线 x ＝ k π－ 3 ( k ∈Z) ，当 k ＝ 3 时，直线 x ＝ 3是其对称轴， B 项正确 .C 项， f ( x ＋ π ) ＝ cos x ＋ 4ππ 7π 3ππ3 ，将 x ＝ 6 代入获得 f 6 ＝ cos 2 ＝ 0，所以 x ＝ 6 是 f ( x＋π ) 的一个零点， C 项正确 .地地道道的达到D 项，因为 f ( x ) ＝ cos x＋π 2k π － π， 2 π ＋2π( k ∈ Z) ，递加区间为3 的递减区间为3k3 2 π ＋ 2π， 2 kπ ＋5ππ ， 2π是减区间，2π ， π是增区间， D 项错误 .k33 ( k ∈Z) ，所以 23 3答案D3.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 2cos 2x － sin 2x ＋2，则 ()A. f ( x ) 的最小正周期为 π ，最大值为 3B. f ( x ) 的最小正周期为 π ，最大值为 4C.f ( x ) 的最小正周期为 2π ，最大值为 3D.f ( x ) 的最小正周期为 2π ，最大值为 4cos 2 ＋ 135分析 易知 f ( x ) ＝ 2cos 2x － sin 2x ＋2＝ 3cos 2x ＋ 1＝ 32x＋ 1＝ 2cos 2x ＋ 2，则 f ( x ) 的 最小正周期为 π ，当 2 x ＝ 2k π ，即 x ＝k π ( k ∈Z) 时， f ( x ) 获得最大值，最大值为 4. 答案 B4.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 若f ( x ) ＝cosx －sin x 在[－ ，] 是减函数，则a 的最大值是 ()a aππ3πA. 4B. 2C. 4D. π分析 f ( x ) ＝ cos x － sinx ＝ 2cosπ，且函数 y ＝ cos x 在区间 [0 ， π] 上单一递减，x ＋4π则由 0≤ ＋ π ≤ π ，得－ π ≤ ≤ 3π. 因为 f ( x)在[ － ， ] 上是减函数， 所以 － a ≥－ 4 ， x 4 x 4 a a 3π 4a ≤ 4 ，ππ π 解得 a ≤ 4 ，所以 0<a ≤ 4 ，所以 a 的最大值是 4.答案 A考点整合1. 常用三种函数的图象与性质 ( 下表中 k ∈ Z) 函数y ＝ sin x y ＝ cos x y ＝ tan x图象递加ππππ区间2k π －2 ， 2k π ＋ 2[2 k π － π， 2k π ]k π － 2 ， k π ＋ 2π3π递减2k π ＋2 ， 2k π ＋ 2[2 k π ， 2k π ＋ π ]区间奇偶性奇函数偶函数奇函数对称( kπ， 0) πkπ中心kπ＋2，0 2， 0对称轴x＝ kπ＋πx＝π2 k周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y＝ A sin(ω x＋φ)，当φ＝ kπ( k∈Z)时为奇函数；当φ ＝π＋π(k∈Z) 时为偶函数；对称轴方程可由ω＋φ ＝π＋π(k∈Z) 求得 .k 2 x k 2(2)y＝ A cos(ω x＋φ)，当φ＝ kπ＋π2( k∈Z)时为奇函数；当φ＝ kπ( k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ω x＋φ ＝kπ (k∈ Z)求得.(3)y＝ A tan(ω x＋φ)，当φ＝ kπ( k∈Z)时为奇函数.3. 三角函数的两种常有变换热门一三角函数的定义【例 1】 (1)(2017 ·北京卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它1们的终边对于 y 轴对称 . 若 sin α ＝ 3，则 cos( α－ β ) ＝ ________.(2) 如图，以 Ox 为始边作角 α (0< α <π ) ，终边与单位圆订交于点 P ，已知点 P 的坐标为3 4sin 2 α ＋ cos 2 α ＋ 1－5， 5 ，则1＋ tan α＝ ________.分析 (1) 法一 由已知得 β＝ (2 k ＋ 1) π － α ( k ∈ Z).11∵sin α ＝ 3，∴ sin β ＝ sin[(2 k ＋ 1) π － α ] ＝ sin α ＝ 3( k ∈ Z).2 2 2 2 2当 cos α＝ 1－ sin α ＝ 3时， cos β ＝－ 3 ，∴cos( α －β ) ＝ cos α cos β ＋ sin α sin β＝ 2 22 2 1 1 73 × － ＋ × 3 ＝－ .3 3 9 2 2 2 2 2 当 cos α＝－ 1－sin α ＝－3 时， cosβ ＝ 3，7∴cos( α －β ) ＝ cos α cos β ＋ sin α sin β＝－ 9.7 综上可知， cos( α －β ) ＝－ 9.法二 由已知得 β＝ (2 k ＋ 1) π－ α ( k ∈Z) ， ∴sin β ＝sin[(2 ＋ 1) π －α ] ＝ sin α ，kcos β ＝ cos[(2 k ＋ 1) π － α] ＝－ cos α ， k ∈Z.当 sin α ＝ 1时， cos( α － β ) ＝ cos αcosβ ＋sin α sin β ＝－ cos 2α ＋sin 2α ＝－ (1 －322217sin α ) ＋ sin α＝ 2sin α－ 1＝ 2× 9－ 1＝－ 9.34(2) 由三角函数定义，得 cos α ＝－ 5，sin α ＝5，2sin α cos α ＋ 2cos 22cos α （ sin α ＋ cos α ）3 2∴原式＝ α ＝ ＝ 2cos 2α ＝ 2× － 5 ＝ sin α sin α ＋ cos α1＋cos α cos α18 25.呵呵复生复生复生答案 (1) －7(2) 189 25研究提升1. 当角的终边所在的地点不是独一确立的时候要注意分状况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2. 随意角的三角函数值仅与角 α 的终边地点相关，而与角 α 终边上点 P 的地点没关 . 若角α 已经给出，则不论点 P 选择在 α 终边上的什么地点，角 α 的三角函数值都是确立的 .【 训 练 1 】 (1)(2018 · 潍坊三模)在 直 角 坐 标 系 中 ， 若 角 α 的终边经过点2 2P sin 3π ， cos 3π ，则 sin( π － α ) ＝()131D. －3A.B.C. －2 222(2)(2018 ·北京卷 ) 在平面直角坐标系中， ︵︵︵︵AB ，CD ，EF ，GH 是圆 x 2＋ y 2＝ 1 上的四段弧 ( 如图 ) ，点 P 在此中一段上，角 α 以 Ox 为始边， OP 为终边 . 若 tan α <cos α<sin α ，则 P 所在的 圆弧是 ()︵ ︵ ︵ ︵ A. ABB. CDC. EFD. GH分析 (1) ∵角 α 的终边过点 P sin 2 2π ，cos π ，且 | | ＝1. ∴由三角函数定义， 知 sin α 3 3 OP2π 1 1＝ cos ＝－ . 所以 sin( π －α ) ＝ sin α ＝－ .3 2 2y(2) 设点 P 的坐标为 ( x ， y ) ，由三角函数的定义得x <x <y ，所以－ 1<x <0，0<y <1. 所以 P 所在︵ 的圆弧是 EF .答案(1)C (2)C热门二三角函数的图象考法 1三角函数的图象变换【例 2－ 1】 (1) 要想获得函数 y ＝ sin 2 x ＋1 的图象，只要将函数 y ＝ cos 2 x 的图象 ( )A. 向左平移π个单位长度，再向上平移 1 个单位长度4πB. 向右平移 4个单位长度，再向上平移1 个单位长度C.向左平移 π个单位长度，再向下平移 1 个单位长度2D.向右平移 π个单位长度，再向下平移1 个单位长度2f ( x ) ＝ sin( ω x ＋ φ )π(2)(20 18·湖南六校联考 ) 已知函数ω >0， | φ|< 2 ，其图象相邻两ππ条对称轴之间的距离为 2 ，将函数 y ＝ f ( x ) 的图象向左平移 3 个单位长度后，获得的图象关 于 y 轴对称，那么函数 y ＝ f ( x ) 的图象 ()ππA.对于点 12， 0 对称B. 对于点 － 12， 0 对称ππ C.对于直线 x ＝ 12对称 D. 对于直线 x ＝－ 12对称ππ分析(1) 因为 y ＝ sin 2 x ＋ 1＝ cos 2x － 2 ＋ 1＝ cos 2 x － 4 ＋1，故只要将函数 y ＝ cos 2x 的图象向右平移 π个单位长度，再向上平移1 个单位长度，即可得4到函数 y ＝sin 2 x ＋1 的图象 .(2) 由题意， T ＝ π ，ω ＝ 2.又 y ＝ f x ＋π＝ sin 2x ＋ φ ＋2π2π＝ k π ＋π， k ∈ Z.3 的图象对于 y 轴对称 . ∴ φ ＋332由| φ |< π，取 φ ＝－ π，所以 f ( x ) ＝ sin 2x － π ，62 6代入查验 f π 12 ＝0，A 正确 .答案 (1)B(2)Aπ 3π研究提升 1. “五点法”作图：设z ＝ ω x ＋ φ ，令 z ＝ 0， 2 ， π， 2 ， 2π ，求出 x 的值 与相应的 y 的值，描点、连线可得 .2. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，仍是先周期变换. 变换不过相对于此中的自变量 x 而言的，假如 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确立变换的单位长度和方向 .考法 2 由函数的图象特点求分析式【例－】函数f ( x ) ＝ A sin( ω ＋ φ ) A >0， ω >0， | φ |< π的部分图象如下图，则22(1)x2函数 f ( x ) 的分析式为 ()呵呵复生复生复生地地道道的达到A. f ( x) ＝ 2sin x－πB. f ( x) ＝ 2sin 2x－π6 3C.f ( x) ＝ 2sinπD. f ( x) ＝ 2sin 2x－π2x＋612(2)(2018 ·济南调研 ) 函数f ( x) ＝A sin( ωx＋φ )>0，ω >0， | φ|<πA 2的部分图象如图所12∈－π，π1 2 12)示，若 x ， x 6 3 ，且 f ( x )＝f ( x ) ，则f ( x＋x ) ＝(1 2 3A.1B. 2C. 2D. 25ππ分析(1) 由题意知A＝ 2，T＝ 4 12－6＝π，ω＝ 2，5π因为当 x＝12时获得最大值2，5π所以 2＝ 2sin2×12＋φ，所以 2×5π＋φ＝2kπ＋π，k∈ Z，12 2π解得φ＝ 2kπ －3，k∈ Z，因为 | φ |< π2，得φ＝－π3 .π所以函数 f ( x)＝2sin2x－3.(2)察看图象可知， A＝1， T＝π ，则ω＝2.π又点－6， 0 是“五点法”中的始点，ππ∴2× －6＋φ＝ 0，φ ＝3 .π则 f ( x)＝sin2x＋3.地地道道的达到－ π ＋ πx ＝ 6 3 π函数图象的对称轴为 2＝ 12. 又 x 1， x 2∈ － π π，且 f ( x 1) ＝ f ( x 2) ，6 ， 3x 1＋ x 2π π ，所以＝，则x 1＋ x 2＝2126所以 f ( x 1＋ x 2) ＝sin2× π ＋ π ＝ 3 6 3 2 .答案 (1)B (2)D研究提升已知函数 y ＝ A sin( ω x ＋ φ)( A >0，ω >0) 的图象求分析式时， 常采纳待定系数法，由图中的最高点、最低点或特别点求 A ；由函数的周期确立 ω；确立 φ 常依据“五点法”中的五个点求解， 此中一般把第一个零点作为打破口， 能够从图象的起落找准第一个零点的地点 .π【训练 2】 已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A ＞ 0，ω ＞ 0，| φ | ＜ 2 ) 的部分图象如下图.(1) 求函数 f ( x ) 的分析式；(2) 将函数 y ＝ f ( x ) 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到本来的 12倍，再把所得的 函数图象向左平移 π 个单位长度，获得函数y ＝ g ( x ) 的图象，求函数 g ( x ) 在区间 0，π上68的最小值 .解 (1) 设函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ，由题图可知T 2π π＝ π＝1， ＝－，A3 6 2 2即 T ＝ π ，所以 π ＝2π，解得 ω ＝ 2，ω所以 f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ φ ) ，又过点π， 0 ，6 π ＋ φ π 由 0＝ sin2×可得 3 ＋φ ＝ 2k π， k ∈ Z ，6 ππ π则 φ ＝ 2k π － 3 ， k ∈Z ，因为 | φ | ＜ 2 ，所以 φ ＝－ 3 ，故函数 f ( x ) 的分析式为 f ( x ) ＝ sin 2 x －π3.地地道道的达到π(2) 依据条件得 g ( x ) ＝ sin 4x ＋ 3 ，πππ5π当 x ∈ 0， 8 时， 4x ＋ 3 ∈ 3 ， 6 ，π1所以当 x ＝ 8 时， g ( x ) 获得最小值，且 g ( x ) min ＝2.热门三三角函数的性质考法 1三角函数性质【例 3－ 1】 (2018 ·合肥质检 ) 已知函数 f ( x ) ＝ sin ω x － cos ωx ( ω >0) 的最小正周期为π .(1) 求函数 y ＝ f ( x ) 图象的对称轴方程；(2) 议论函数 f ( x ) 在 0， π上的单一性 .2π解 (1) ∵ f ( x ) ＝ sin ω x － cos ω x ＝ 2sin ω x － 4 ，且 T ＝ π ，π∴ω ＝ 2，于是 f ( x ) ＝ 2sin 2x － 4 .ππk π 3π令 2x － 4 ＝ k π ＋ 2 ( k ∈ Z) ，得 x ＝ 2 ＋ 8 ( k ∈Z).π 3πk＋ 8 ( k ∈ Z).即函数 f ( x ) 图象的对称轴方程为 x ＝ 2 (2) 令 2k π－ π ≤2x －π ≤2k π＋ π( k ∈Z) ，242得函数 f ( x ) 的单一递加区间为 k π － π， k π ＋ 3π ( k ∈ Z).8 8π注意到 x ∈ 0， 2，所以令 k ＝0，π3π得函数 f ( x ) 在 0， 2 上的单一递加区间为 0， 8 ；3π π 同理，其单一递减区间为 8 ， 2 .研究提升1. 议论三角函数的单一性， 研究函数的周期性、 奇偶性与对称性， 都一定第一利用协助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2. 求函数 y ＝ A sin( ω x ＋ φ )( A >0，ω >0) 的单一区间，是将 ω x ＋φ 作为一个整体代入正弦函数增区间 ( 或减区间 ) ，求出的区间即为 y ＝A sin( ω x ＋ φ ) 的增区间 ( 或减区间 ) ，可是当 A＞0，ω ＜ 0 时，需先利用引诱公式变形为 y ＝－ A sin( － ωx － φ ) ，则 y ＝ A sin( － ωx － φ )的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.考法 2三角函数性质与图象的综合应用地地道道的达到【例 3－ 2】已知函数f ( x ) ＝ 2sin ω x cos ωx ＋ 2 3sin 2ω x －3( ω >0) 的最小正周期为π .(1) 求函数 f ( x ) 的单一递加区间 .(2) 将函数 f ( x ) 的图象向左平移 π个单位， 再向上平移 1 个单位， 获得函数 y ＝g ( x ) 的图象， 6 若 y ＝ g ( x ) 在 [0 ， b ]( b >0) 上起码含有 10 个零点，求 b 的最小值 . 解 (1) f ( x ) ＝ 2sin ω x cos ωx ＋ 3(2sin 2ω x －1)＝sin 2 ω x － 3cos 2 ω x ＝2sinπ2ω x －.3由最小正周期为 π，得 ω ＝1，π所以 f ( x ) ＝ 2sin 2x － 3 ，由 2k π －π ≤2x －π ≤2k π ＋π， k ∈ Z ，2 3 2整理得 k π－ π≤ x ≤ kx ＋5π， k ∈ Z ，12 12所以函数f ( x ) 的单一递加区间是 k π －π， k π ＋5π， ∈12 12k Z.(2) 将函数 f ( x ) 的图象向左平移 π个单位，获得 y ＝ 2sin 2x ＋ 1 的图6 个单位，再向上平移 1象；所以 () ＝ 2sin 2 ＋ 1.g x x7π11π令 g ( x ) ＝ 0，得 x ＝ k π ＋ 12 或 x ＝ k π＋ 12 ( k ∈ Z) ，所以在 [0 ，π ] 上恰巧有两个零点，若 y ＝g ( x ) 在 [0 ，b ] 上有 10 个零点，则 b 不小于第 10个零点的横坐标即可 .所以 b 的最小值为 11π 59π4π ＋ 12 ＝ 12 .研究提升1. 研究三角函数的图象与性质，要点是将函数化为 ＝ sin( ω x ＋ φ ) ＋ ( 或yy AB＝ cos( ω ＋ φ ) ＋ ) 的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.A xB2π2. 函数 y ＝ A sin( ω x ＋φ )( 或 y ＝ A cos( ω x ＋ φ )) 的最小正周期 T ＝ | ω| . 应特别注意 y ＝π | A sin( ω x ＋ φ )| 的最小正周期为 T ＝ | ω| .【训练 3】 (2018 ·湖南师大附中质检 ) 已知向量 m ＝ (2cos ω x ，－ 1) ，n ＝ (sin ω x － cos ω x ，2)( ω >0) ，函数 f ( x ) ＝ m ·n ＋ 3，若函数 f ( x ) 的图象的两个相邻对称中心的距离为 π2.(1) 求函数 f ( x ) 的单一增区间；地地道道的达到(2) 若将函数 f ( x ) 的图象先向左平移π个单位，而后纵坐标不变，横坐标缩短为本来的 1倍，42π ， π获得函数 g ( x ) 的图象，当 x ∈ 4 2 时，求函数 g ( x ) 的值域 .解 (1) f ( x ) ＝ m ·n ＋ 3＝ 2cos ωx (sin ω x － cos ω x ) － 2＋ 3π＝sin 2 ω x － cos 2 ω x ＝ 2sin 2ω x － 4 . 依题意知，最小正周期T ＝ π .π∴ω ＝1，所以 f ( x ) ＝ 2sin 2x － 4 .π ＋ 2k π≤2x － π π＋ 2k π ， k ∈ Z ，令－ 2 4 ≤2 求得 f ( x ) 的增区间为 π＋ k π ， 3π ＋ k π ，k ∈ Z.－ 8 8(2) 将函数 f ( x ) 的图象先向左平移 π个单位，4得 y ＝ 2sin 2 x ＋ π － π ＝ 2sin 2x ＋ π的图象 .4 4 4而后纵坐标不变，横坐标缩短为本来的 1( ) ＝ 2sin 4x ＋ π 倍，获得函数 的图象 .2 g x4π 故 g ( x ) ＝ 2sin 4x ＋ 4 ，ππ5ππ9π由 4 ≤ x ≤ 2 ，知 4 ≤4x ＋ 4 ≤ 4 .π 2∴－ 1≤sin 4x ＋ 4 ≤ 2 . 故函数 g ( x ) 的值域是 [ － 2， 1].1. 已知函数 y ＝ A sin( ω x ＋ φ ) ＋ B ( A ＞ 0， ω ＞ 0) 的图象求分析式(1) ＝ y max － y min ， ＝y max ＋ y min .A B2 2T 求 ω ， ω ＝ 2π(2) 由函数的周期 T .(3) 利用“五点法”中相对应的特别点求φ .2. 运用整体换元法求解单一区间与对称性类比 y ＝ sin x 的性质，只要将 y ＝ A sin( ω x ＋ φ ) 中的“ ω x ＋ φ ”当作 y ＝ sin x 中的“ x ”，采纳整体代入求解 .(1) 令 ω x ＋ φ ＝ k π＋ π( k ∈ Z) ，可求得对称轴方程；呵呵复生复生复生地地道道的达到 (2) 令 ω x ＋ φ ＝ k π( k ∈ Z) ，可求得对称中心的横坐标； (3) 将 ω x ＋ φ 看作整体，可求得y ＝ A sin( ω x ＋φ ) 的单一区间，注意 ω 的符号 .3. 函数 y ＝ sin( ω ＋ φ ) ＋ B 的性质及应用的求解思路Ax第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y＝ sin( ω ＋ φ ) ＋AxB ( 一角一函数 ) 的形式；第二步：把“ ω x ＋φ ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋B 的单一性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题) 函数 f ( x ) ＝ tan x1.(2018 ·全国Ⅲ卷 1＋ tan 2x 的最小正周期为 ( )π πA. 4B. 2C. πD.2 πsin xtan xcos xsin x cos x1分析 f ( x ) ＝ 1＋ tan 2x ＝sin 2x ＝cos 2x ＋ sin 2x ＝ sin x cos x ＝ 2sin 2 x ，所以 f ( x ) 的最小1＋cos 2x正周期 ＝ 2π＝ π.T 2答案 C1x ＋ πx － π2.(2017 ·全国Ⅲ卷 ) 函数 f ( x ) ＝ 5sin 3 ＋ cos 6 的最大值为 ()6 3 1 A. 5B.1C. 5D. 5分析 cos x － π ＝cosππ ＝ sin x ＋ π ，则 f (1x ＋ π ＋ sin x ＋ π6 2 － x ＋3 x ) ＝ sin 3 3356 x ＋π6＝ 5sin 3 ，函数的最大值为 5.答案 A3.(2018 ·湖南六校联考 ) 定义一种运算a b＝ ad － bc ，将函数 f ( x ) ＝2 2sin xc d 3的图cos x象向左平移 φ ( φ >0) 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 φ 的最小值是 ()π π2π 5π A. 6B. 3C. 3D. 6分析 f ( x ) ＝ 2cos x － 2 3sin x ＝ 4cos πx ＋，3地地道道的达到π依题意 g ( x ) ＝ f ( x ＋φ ) ＝ 4cos x ＋ ＋φ 是偶函数 ( 此中 φ >0).∴π＋ φ ＝ π ， ∈Z ，则 φ min ＝ 2 3 kk3π.答案 C4. 偶函数 f ( x ) ＝A sin( ωx ＋ φ )( A >0， ω >0， 0<φ <π) 的部分图象如下图，此中△EFG是斜边为 4 的等腰直角三角形 ( E ，F 是函数与 x 轴的交点，点 G 在图象上 ) ，则 f (1) 的值为 ()2 6A. 2B. 2C. 2D.2 2分析 依题设， Tπ＝ | EF | ＝ 4，T ＝8， ω＝ .24∵函数 f ( x ) ＝ A sin( ω x ＋ φ ) 为偶函数，且 0<φ<π .π∴φ ＝ 2 ，在等腰直角△ EGF 中，易求 A ＝ 2.π π π 所以 f ( x ) ＝ 2sin 4 x ＋ 2 ＝2cos 4 x ，则 f (1) ＝ 2.答案 C5.(2018 ·天津卷 ) 将函数 y ＝ sin2 ＋ππ个单位长度，所得图象对应的x5 的图象向右平移 10 函数 ( )3π 5πA. 在区间 4 ， 4 上单一递加3πB. 在区间 4 ， π 上单一递减5π 3πC.在区间 4 ， 2 上单一递加3πD.在区间， 2π 上单一递减解 析 把 函 数 y ＝ sin 2x ＋π 的 图 象 向 右 平 移 π个 单 位 长 度 得 函 数g ( x ) ＝ 5 10sin 2 x － π ＋ π ＝ sin 2 的图象 10 5 xπk π ≤ x ≤ 4 ＋ k π ( k ∈Z) ，令 k ＝1，得，由 － π ＋ 2 π ≤2 ≤ π ＋ 2 kπ( k ∈ Z) 得－ π＋ kx 2 4 23π 5π 4 ≤ x ≤ 4 ，即函数 g ( x ) ＝ sin 2x 的一个单一递加3π 5π. 区间为 ，4 4地地道道的达到答案 A二、填空题π ππ6.(2018 ·江苏卷 ) 已知函数 y ＝ sin(2 x ＋ φ ) － 2 <φ < 2 的图象对于直线 x ＝ 3对称，则 φ的值是 ________.π ππ2π分析 由函数 y ＝ sin(2 x ＋ φ ) － 2 <φ < 2 的图象对于直线 x ＝ 3 对称，得 sin3 ＋φ ＝±1. 因为－ ππ π 2π7π2π π π<φ < ，所以 < 3 ＋ φ < ，则 ＋ φ ＝ ， φ ＝－ .2 2 6 63 2 6 答案 － π67. 已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ω x ＋φ ) A >0， ω >0， | φ|< π 的部分图象如下图，此中|PQ |＝22 5. 则 f ( x ) 的分析式为 ________.分析 由题图可知 A ＝ 2， P ( x 1，－ 2) ， Q ( x 2，2) ，所以 | PQ | ＝ （ x 1－x 2） 2＋（－ 2－2） 2＝12222 5. 整理得12＝ 2 ，所以函数 f ( x ) 的最小正周期 1 2|＝4，（ x － x ） ＋4 ＝ | x － x | T ＝ 2| x － x 2π π即 ω ＝ 4，解得 ω＝ 2 . 又函数图象过点 (0 ，－ 3) ，所以 2sinφ ＝－ 3，即 sin φ ＝－3ππf ( x ). 又 | φ|<，所以 φ＝－ ，所以223ππ＝2sin2 x －3 .答案f ( x ) ＝ 2sin π －π2x3ππ8.(2018 ·北京卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ cos ω x － 6 (ω >0). 若 f ( x ) ≤ f 4 对随意的实数 x 都成 立，则 ω 的最小值为 ________.分析 因为对随意的实数都有f ( x ) ≤ f π 建立，故当 x ＝ π时，函数 f ( ) 有最大值，故 f 4 4 xπ π ω π 2 24＝ 1， 4 － ＝ 2k π ( k ∈Z) ，∴ ω ＝8k ＋ ( k ∈ Z). 又 ω>0，∴ ωmin ＝ .6332答案39. 已知函数 f ( x ) ＝ 4tan x sin π －x ·cos x －π2 3－3.(1) 求 f ( x ) 的定义域与最小正周期；π π(2) 议论 f ( x ) 在区间 － 4 ， 4 上的单一性 .解 (1) f ( x ) 的定义域为 { x | x ≠ π＋ k π， k ∈ Z} ， 2f ( x ) ＝ 4tan x cos x cos x － π － 33＝4sinx cos x － π－33＝4sinx 1cos x ＋32 sin x － 32＝ 2sin x cos x ＋ 2 3sin 2x － 3＝sin 2 x － 3cos 2 xπ＝2sin 2x － 3 .所以 f ( x ) 的最小正周期＝2π＝ π .T2(2) 由－ π＋ 2k π ≤2x － π ≤ π＋2k π ， k ∈ Z ，232π5π得－ 12＋ k π ≤ x ≤ 12 ＋ k π ， k ∈ Z.设 ＝ － π， π ， ＝ － π ＋ k π≤ x ≤ 5π＋ k π ，k ∈ Z ，易知 ∩ ＝ －π ， π A44 B x 12 12A B 12 4.所以当 x ∈ － π ， π 时， f ( x ) 在区间 － π ， π 上单一递加，在区间 － π ，－ π上单一4 4 12 4 4 12递减 .π2310.(2018 ·西安模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝sin 2 － x sin x － 3cosx ＋ 2 .(1) 求 f ( x ) 的最大值及获得最大值时 x 的值；2(2) 若方程 f ( x ) ＝ 3在 (0 ， π ) 上的解为 x 1， x 2，求 cos( x 1－ x 2) 的值 .32解 (1) f ( x ) ＝ cos x sin x － 2 (2cos x － 1)1 x － 32x － π . ＝ sin 2 2 cos 2 x ＝ sin 32当 2x － π＝ π＋ 2k π ( k ∈ Z) ，即 x ＝ 5 π ＋k π ( k ∈Z) 时，函数 f ( x ) 取最大值，且最大值为3 2 121.(2) 由 (1) 知，函数 f ( x ) 图象的对称轴为x ＝ 5π＋ k π ， k ∈ Z ，12∴当 x ∈ (0 ， π ) 时，对称轴为 x 5＝12π.2又方程 f ( x ) ＝ 3在 (0 ， π ) 上的解为 x 1， x 2.55∴x 1＋ x 2＝ 6π ，则 x 1＝ 6π － x 2，5 π∴ c os( x 1－ x 2) ＝cos 6π－ 2x 2 ＝ sin 2x 2－ 3 ，π2 又 f ( x 2) ＝ sin 2x 2－3 ＝ 3，2 故 cos( x 1－ x 2) ＝ .311. 设函数 f ( x ) ＝ sin ω x － π ＋ sin ωx － π ，此中 0＜ω ＜ 3，已知 f π＝ 0. 6 2 6 (1) 求 ω ；(2) 将函数 y ＝ f ( x ) 的图象上各点的横坐标伸长为本来的2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，再将获得的图 象向左平移 π个单位，获得函数 y ＝ ( x ) 的图象，求 ( ) 在 － π ， 3π 上的最小值 .4 g g x 4 4π π 解(1) 因为 f ( x ) ＝sin ω x － 6 ＋ sin ω x － 2 ，3 1 x －cos ω x所以 f ( x ) ＝ sin ω x － cos ω2 2＝ 3 3 1sin3 cos ω x ＝ 3sin ω x － πsin ω x － cos ω x ＝ 3ω x － 3 .2 2 2 2π ωπ π 由题设知 f 6 ＝ 0，所以 6 － 3 ＝ k π， k ∈ Z ，故 ω ＝ 6k ＋ 2， k ∈Z.又 ＜ ω＜ ，所以 ω ＝ 2.(2) 由 (1) 得 f ( x ) ＝ 3sin 2x － π，所以 g ( x ) ＝3sin x ＋π－π0 3 34 3＝ 3sin x － π . 因为 x ∈ －π ， 3π，所以 x －π ∈ － π ，2π ，12441233π π π 3当 x － 12＝－ 3 ，即 x ＝－ 4 时， g ( x ) 获得最小值－ 2.。
2019版高考数学复习三角函数、解三角形第1讲小题考法——三角函数的图象与性质学案
第1讲 小题考法——三角函数的图象与性质一、主干知识要记牢1．三角函数的图象及常用性质(1)y ＝sin x ――→向左φ＞或向右φ＜平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． (2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx―――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． 二、二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．三、易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调增区间．考点一 三角函数的图象及应用1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法1．(2018·豫南联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( B ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π3，故选B ．2．(2018·商丘二模)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位后，得到y ＝g (x )，g (x )为偶函数，则ω的最小值为( B )A ．1B ．2C ．12D ．32解析 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位后，得到y ＝g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx －ωπ3＋π6，由于函数g (x )为偶函数，所以－ωπ3＋π6＝k π＋π2，∴ω＝－3k －1，∴ωmin ＝－3×(－1)－1＝2.故选B ． 3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为．解析 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝3．考点二 三角函数的性质及应用1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|．(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．1．已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( B )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8解析 f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，则T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z )，令k ＝0得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减，故选B ．2．(2018·K12联盟联考)函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，则ω的取值不可能为( D )A ．14B ．15C ．12D ．34解析 ∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω＞0)，∴令－π2＋2k π≤ωx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω，k ∈Z ，∵f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴－π4ω≤－π2且3π4ω≥π2，∴0＜ω≤12.故选D ． 3．(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减 解析 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象．由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，所以函数y ＝sin 2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4， k ∈Z .取k ＝0，得y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增．故选A ． 考点三 三角函数的值域与最值问题求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1． 解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1．当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1． 2．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π6，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 ．解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18．。
2019版高考数学大一轮复习人教版第四章三角函数解三角形专题探究课二三角函数与解三角形热点题型
高考导航 1.三角函数与解三角形是高考的热点题型，从近五年的高考试题来看，呈现较强的规律性，每年的题量和分值要么三个小题15分，要么一个小题一个大题17分，间隔出现；2.该部分常考查的内容有：(1)三角函数的图象与性质；(2)三角恒等变换与诱导公式；(3)利用正弦定理和余弦定理解三角形；3.在解题过程中，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.热点一 解三角形(教材VS 高考)高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题. 【例1】 (满分12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A . (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P20B 组1且相似度极高，本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用. 满分解答 (1)因为△ABC 面积S ＝a 23sin A ，且S ＝12bc sin A ，1分 (得分点1)所以a 23sin A ＝12bc sin A ，所以a 2＝32bc sin 2A .2分 (得分点2)由正弦定理得sin 2A ＝32sin B sin C sin 2A ， 4分 (得分点3)因为sin A ≠0，所以sin B sin C ＝23. 5分 (得分点4)(2)由(1)得sin B sin C ＝23，cos B cos C ＝16. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos A ＝cos(π－B －C )＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ＝12，7分 (得分点5)又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，sin A ＝32，cos A ＝12， 8分 (得分点6)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝9， ①9分 (得分点7) 由正弦定理得b ＝a sin A ·sin B ，c ＝asin A ·sin C ， 所以bc ＝a 2sin 2A ·sin B sin C ＝8， ② 10分 (得分点8)由①②得：b ＋c ＝33，11分 (得分点9) 所以a ＋b ＋c ＝3＋33，即△ABC 周长为3＋33. 12分 (得分点10)❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”.在第(1)问中，写出面积公式，用正弦定理求出结果.第(2)问中，诱导公式→恒等变换→余弦定理→正弦定理→得出结果.❷得关键分：(1)面积公式，(2)诱导公式，(3)恒等变换，(4)正弦定理，(5)余弦定理都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点5)，(得分点6)，(得分点9)，(得分点10).利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.第二步：定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.【训练1】 (2018·大连双基测试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B －cos 2C －sin 2A ＝sin A sin B . (1)求角C ；(2)(一题多解)若c ＝26，△ABC 的中线CD ＝2，求△ABC 的面积S 的值.解 (1)由已知得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∵0<C <π，∴C ＝2π3.(2)法一 由|CD→|＝12|CA →＋CB →|＝2，可得CA →2＋CB →2＋2CA →·CB →＝16，即a 2＋b 2－ab ＝16，由余弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝24，∴ab ＝4， ∴S ＝12ab sin C ＝34ab ＝ 3.法二 延长CD 到M ，使CD ＝MD ，连接AM ，易证△BCD ≌△AMD ，BC ＝AM ，∠CAM ＝π3.由余弦定理得⎩⎨⎧a 2＋b 2＋ab ＝24，a 2＋b 2－ab ＝16.∴ab ＝4，∴S ＝12ab sin C ＝34ab ＝ 3. 热点二 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例2】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.探究提高 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解. 【训练2】 (2018·东北三省联考)已知函数f (x )＝ 4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z ，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z， 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.热点三 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】 已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝ (cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0. 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2. 又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]. 即a ＋c 的取值范围是(3，2].探究提高 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【训练3】 已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， 即S △ABC 的最大值为 3.1.(2017·昆明诊断)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示.(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上最大值和最小值.解 (1)由题得，f (x )的最小正周期为π，y 0＝3.当y 0＝3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝1，由题干图象可得2x 0＋π6＝2π＋π2，解得x 0＝7π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是：当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.2.(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55acac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.3.(2018·湖南湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长.解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12.(2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3.又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ，∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.4.(2017·合肥质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，c 2，n ＝(cosC ，cos A )，且n ·m ＝b cos B . (1)求角B 的值；(2)若cos A －C2＝3sin A ，且|m |＝5，求△ABC 的面积.解 (1)由m ·n ＝b cos B ，得a 2cos C ＋c2cos A ＝b cos B ， sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，sin B ＝2sin B cos B ， ∵0<B <π，sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)C ＝π－A －B ＝2π3－A ，cos A －C 2＝3sin A ⇒cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝3sin A ⇒cos A ＝3sin A ⇒tan A ＝33.∵0<A <23π⇒A ＝π6，∴C ＝π－π6－π3＝π2.在Rt △ABC 中，∵a ＝c sin π6＝12c ， 又|m |＝5，即a 2＋c 2＝20， ∴a ＝2，c ＝4，b ＝16－4＝23， △ABC 的面积S ＝12×2×23＝2 3.5.(2018·河南天一大联考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝ (cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②得b ＝3，c ＝2.6.(2018·东北三省三校联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a －ca －b＝sin A ＋sin Bsin （A ＋B ）.(1)求角B 的值；(2)(一题多解)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 面积S 的最大值. 解 (1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴a －c a －b ＝sin A ＋sin B sin C ， 由正弦定理得a －c a －b＝a ＋bc ，即b 2＝a 2＋c 2－ac ， 结合余弦定理，有cos B ＝12，B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)法一 2R ＝2＝bsin π3⇒b ＝3， 所以b 2＝3＝a 2＋c 2－2ac cos π3≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，所以S ＝12ac sin π3≤334，最大值为334. 法二 S ＝12ac sin B ＝34ac ＝34×2sin A ×2sin C＝3sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝3sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝32(3sin A cos A ＋sin 2A ) ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2A －12cos 2A ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＋34.∵0<A <2π3，∴－π6<2A －π6<7π6，∴当2A －π6＝π2，即A ＝π3时，S 取到最大值334.。
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D．y＝sin(x2＋52π4)
解析：将函数 y＝sin(x＋π6)的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得 y＝sin(x ＋π4＋π6)＝sin(x＋51π2)的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐 标不变)，可得 y＝sin(12x＋51π2)的图象，故选 B. 答案：B
(3)特征点法求周期T： ①两个最大值点的横坐标之差的最小值等于T； ②两个最小值点的横坐标之差的最小值等于T； ③最大值点与最小值点的横坐标之差的最小值等于T2. 特征点法求周期是由对称性求解周期的变式，因为最值点在函数图象的对称轴上．
(4)函数具有奇偶性的充要条件 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；
公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴” (1)公式法求周期T： ①正弦型函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的周期 T＝|2ωπ|； ②余弦型函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B 的周期 T＝|2ωπ|； ③正切型函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋B 的周期 T＝|ωπ |.
(2)由对称性求周期T： ①两条对称轴间的距离的最小值等于T2； ②两个对称中心间的距离的最小值等于T2； ③对称中心到对称轴的距离的最小值等于T4.
1．由“图”定“式”找“对应” 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是 把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图． (1)最值定 A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为 m， 则 M＝A＋B，m＝－A＋B，解得 B＝M＋2 m，A＝M－2 m.
显然k2π＝π4没有整数解， 所以 x＝π4不是函数 g(x)的对称轴． 令 2x＝kπ＋π2，得 x＝k2π＋π4，k∈Z， 故函数 g(x)图象的对称中心为(k2π＋π4，0)，k∈Z. 显然k2π＋π4＝π8和k2π＋π4＝π2没有整数解，所以(π8，0)和(π2，0)不是函数 g(x)的对称中 心．故选 C. 答案：C
C．[－56π＋2kπ，π6＋2kπ]，k∈Z
D．[16＋2k，76＋2k]，k∈Z
解析：由 f(x1)＝1，f(x2)＝0，x1 为最大值点，x2 为零点，|x1－x2|最小值为12，∴T4＝ 12，T＝2，∴ω＝π. f(12)＝12，∴12＝sin(π2＋φ)，∴φ＝π3， ∴f(x)＝sin(πx＋π3)， 减区间为 2kπ＋π2≤πx＋π3≤2kπ＋32π， 即16＋2k≤x≤76＋2k，k∈Z，故选 D. 答案：D
(2)T 定 ω：由周期的求解公式 T＝2ωπ，可得 ω＝2Tπ.
答案：－π 3
2．(图象变换)(2018·河南周口模拟)将函数 y＝sin(x＋π6)的图象上所有的点向左平移π4
个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得
图象的解析式为
Байду номын сангаас()
A．y＝sin(2x＋51π2)
B．y＝sin(x2＋51π2)
C．y＝sin(x2－1π2)
函数 y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
考点二 三角函数图象 1．(由图定式)(2018·河南天一联考)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的部
分图象如图所示，则 φ＝________.
解析：由T4＝1112π－23π＝π4，得 T＝π，
又知 T＝2ωπ，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
又知 f(1112π)＝－2，∴2sin(161π＋φ)＝－2，
即 sin(161π＋φ)＝－1.
∴161π＋φ＝2kπ＋32π(k∈Z)．
∴φ＝2kπ－π3(k∈Z)，
又∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.
解析：先将函数 y＝2sin(23x＋34π)图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不 变，可得函数 y＝2sin(2x＋34π)的图象，再向右平移π8个单位长度，得到函数 g(x)＝ 2sin[2(x－π8)＋34π]＝2sin(2x＋π2)＝2cos 2x 的图象． 令 2x＝kπ，得 x＝k2π，k∈Z， 所以函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＝k2π，k∈Z. 当 k＝1 时，对称轴方程为 x＝π2.
专题4 三角函数、解三角形
第1讲 基础小题部分
［考情考向分析］ 1．以图象为载体，考查图象变换三角函数的最值、单调性、对称性、周期性． 2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值．
考点一 三角函数性质
1．(周期性)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝1＋tatnanx2x的最小正周期为
3．(单调性)(2018·滨州市模拟)设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知 f(12)＝12，
若 f(x1)＝1，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为12，则函数 f(x)的单调递减区间为(
)
A．[－π6＋2kπ，56π＋2kπ]，k∈Z
B．[－56＋2k，16＋2k]，k∈Z
A．π4
B．π2
C．π
D．2π
()
sin x
sin x
解析：由已知得 f(x)＝1＋tatnanx2x＝1＋cocssionxs xx2＝cos2ccxoo＋ss2xxsin2x＝sin x·cos x＝12sin 2x，
所以 f(x)的最小正周期为 T＝22π＝π.故选 C.
答案：C
2．(对称性、奇偶性)(2018·四川宜宾二诊)先将函数 y＝2sin(23x＋34π)图象上所有点的
横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向右平移π8个单位长度，得到函数 y＝g(x)
的图象，则下列说法正确的是
()
A．函数 g(x)图象的一条对称轴是 x＝π4
B．函数 g(x)图象的一个对称中心是(π2，0)
C．函数 g(x)图象的一条对称轴是 x＝π2
D．函数 g(x)图象的一个对称中心是(π8，0)