圆中辅助线做法和解题策略

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圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 ()

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内切圆，内角平分线梦园。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）（1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；?????②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；?????③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

（2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；?????②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

2、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

4、?遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

??????5、遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：（1）??内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；?????（2）??内心到三角形三条边的距离相等7、?遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

初中几何辅助线技巧

初中几何辅助线技巧
一、画圆
1、通过一点和半径弧线
(1)以其中一个点O为圆心，使用一个圆规将点O的坐标锁定，之后以笔触拉出半径的弧线来作圆。

(2)通过拉出2条切线，使圆的圆心两边都有正确的半径。

2、通过三点画圆
(1)首先准备三个点A、B、C，遵循“连AB及BC的中点与圆的圆心重合”的原则，先将A、B、C三点连线，找出AB和BC两条线段的中点，这两个中点就是圆的圆心O了。

(2)圆心O锁定后，再分别用圆规拉出离圆心O有正确半径的弧线。

二、画直线
1、用规则
(1)使用直尺保持直线的整洁程度，把两个点的坐标连起来，使用反射法实现直线两端的平行。

(2)用圆规拉出两点的中点，再以这个中点连接两点的坐标，画成一条直线。

(3)使用两点式的方法，输入两个点的横纵坐标，然后根据y=kx+b的方程式，连接两个点的坐标，得到一条直线。

2、使用辅助线
(1)画等边三角形，两个点通过等边三角形垂线来画出一条直线。

(2)画正方形，两个点通过正方形的对角线画出一条直线。

(3)圆内外六种角，两个点通过圆内外六种角画出一条直线。

三、画角
1、用圆规
(1)将圆规放置在锐角处，拉出一条线，此线段的角度就是锐角的角度了。

(2)如果需要画出钝角。

圆中常见辅助线的作法

圆中常见辅助线的作法正文：在学习圆的内容时，很多同学觉得难学，总是找不到解题的突破口。

觉得难学，很大程度是因为不会画辅助线。

辅助线，就是现有图形的基础上，添加一些线条，以便运用所学知识，化繁为简，达到解决问题的目的。

在解决几何问题的时候，当运用题目给出的条件无法解决问题时，可以通过添加辅助线，形成新图形，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。

一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。

在此，对初中几何圆中常见的辅助线的添加思路从以下几个方面进行总结。

一：弦长计算，作弦心距，结合勾股定理和垂径定理。

例：如图，已知⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，则弦AB长是多少？分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC=AB在Rt△AOC中，由勾股定理得AC=12.所以AB=24.二：切线的证明：1.连半径，证垂直。

例：如图， AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线；分析：连接OD ，先证OD∥AE，再证OD⊥EF，直线EF经过半径OD的外端点D，并与OD 垂直。

从而可以证明EF是⊙O的切线.2.作垂直，证半径例：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．求证：CD与⊙O相切；分析：过点O作OG⊥DC，垂足为G．证明△ADO≌△GDO后可以得到OA=OG．从而OG是⊙O的半径，CD经过半径OG的外端点并与半径OG垂直，根据切线的判定可以证明CD与⊙O相切。

三：有直径，作直径所对圆周角。

例：如图，是的外接圆⊙O的直径，若，则．分析：连接，如图，因为AD为的外接圆⊙O的直径，所以∠ABD＝90°,从而可得∠ACB＝∠D＝50°四.弧有中点，连中点圆心，结合垂径定理。

例：如图，在扇形中，已知，，过弧AB的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（）分析：连接OC,因为点C为弧AB的中点，所以∠AOC＝∠BOC,从而可以证明△CDO≌△CEO,于是四边形CDOE为正方形，面积等于1，由扇形面积公式得，故选B。

园中常做辅助线的做法

几何证明一般都离不开作辅助线，能否迅速、准确地作出所需的辅助线，往往成为成败的关键。

本文就圆中常见辅助线的作法归纳如下，供参考。

一、作弦心距证明圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的在于利用垂径定理来沟通弦、弦、弦心距之间的关系，或构造半径、弦心距、弦为边的直角三角形。

例1：求证：经过相交两圆的一个交点的那些直线，被两圆所截得的线段中，平行于连心线的那一条线段最长。

分析：如图1，PQ ∥OO′，要证明PQ 最长，只须证明PQ 大于过A 点的任意一条不平行于OO ′的割线P′Q′，这是证明与圆的弦有关的问题，因此过O 、O′分别作PQ 、P′Q′的垂线，垂足分别为C 、D ；C′、D′。

由垂径定理知AC= AP 、AD= AQ ，所以CD=PQ 。

同理C′D′= P′Q′，又OO′=CD ，于是问题转化为证明OO′> C′D′，而OO′D′C′为直角梯形，显然有OO′> C′D′。

从而问题可证。

图1二、作过切点的半径或弦当所证问题含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径或弦，利用该半径与切线垂直或弦切角定理来沟通题设与结论之间的联系。

例2：已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥MN ，BD ⊥MN ，MN 切⊙O 于K ，求证：（1）AC+BD=AB（2）BK2=AB·BD分析：（1）AC 、BD 为直角梯形的上、下底边，其和必与梯形的中位线有关，由MN切⊙O 于K ，想到需连结OK ，则OK 为梯形的中位线且OK= （AC+BD ），而AB=2OK ，所以有AC+BD=AB 。

（2）要证BK =AB·BD ，即AB ：BK=BK ：BD ，所以需连结AK ，由弦切角定理知∠KAB=∠BKD ，又∠AKB=∠KDB=90°，所以△AKB ∽△KDB，故问题可以获证。

图2 三、过已知点作圆的切线过已知点作圆的切线是圆中常作的辅助线之一，其目的在于利用切线的性质来沟通题中各元素间的联系。

解题技巧专题圆中辅助线的作法

解题技巧专题圆中辅助线的作法在解题过程中，我们经常会遇到一些问题，例如如何构造等腰三角形、正方形、平行四边形等几何图形，以及如何构造垂直线、角平分线、中位线等几何线段。

这些问题在解决数学问题时非常常见，而圆中辅助线的作法就是一种常用的解决这类问题的技巧。

圆中辅助线的作法是指在解决圆相关的问题时，通过添加一些辅助线来辅助解决问题。

这些辅助线可以增强我们对图形的理解，简化问题的分析过程，使问题更易于解决。

下面将介绍一些常见的圆中辅助线的作法：1.构造圆的切线如果需要构造一条圆的切线，可以先连接圆心与切点，然后再从切点向圆外引一条与半径垂直的线段，两条线段的交点就是切线的切点。

利用这条切线可以帮助我们解决一些关于切线的性质问题。

2.构造垂直线如果需要构造一条与圆上特定点垂直的直线，可以连接该点与圆心，并在圆上引一条经过该点的切线，然后从圆心引一条与切线垂直的线段，两条线段的交点就是所求直线与圆的交点。

利用这条直线可以帮助我们解决一些关于圆的性质问题。

3.构造角平分线如果需要构造一条角的平分线，可以先连接角的两个顶点与圆心，然后再从圆心引一条与角平分线相垂直的线段，两条线段的交点就是所求角的平分线与圆的交点。

利用这条角平分线可以帮助我们解决一些关于角平分线的性质问题。

4.构造中位线如果需要构造一条线段的中位线，可以将线段的两个端点连接到圆心，并在圆上引一条经过中点的切线，然后再从圆心引一条与切线垂直的线段，两条线段的交点就是所求线段的中点。

利用这条中位线可以帮助我们解决一些关于线段中点的性质问题。

5.构造等腰三角形如果需要构造一个等腰三角形，可以先在圆上确定一个顶点，然后连接圆心与该点，并延长线段到圆的另一侧，再将圆切割成两个等弧，然后以切割点为顶点连接圆心，就可以得到一个等腰三角形。

利用这个等腰三角形可以帮助我们解决一些关于等腰三角形的性质问题。

这些是一些常见的圆中辅助线的作法，通过添加这些辅助线，我们可以更好地理解和解决与圆相关的问题。

初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。

添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。

下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，且AC=BD 。

求证：PO 平分∠APD 。

分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。

证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。

证法2：连结OA ，OD 。

∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

例谈圆中常见作辅助线的方法

例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。

只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。

通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。

解：过点o作om⊥ac于m，∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t，∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，∴∠otc=∠act=∠omc=90°，∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，∴在rt△aom中，.即⊙o的半径为2.例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证：ac=bd.证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce，bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中，oh=6cm.∴ch=4cm，dh=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。

例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.求证：pb是⊙o的切线.证明：连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线，∴∠oap=90°.∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米？解：连接oa，作oc⊥ab于c，则ac=bc=ab.在rt△oac中，oa=×52=26厘米，oc=26-16=10厘米，∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的⊙o中，ab，cd是两条直径，m为ob的中点，cm的延长线交⊙o于点e，且em>mc.连结de，de=. （1）求证：am·mb=em·mc；（2）求em的长；（3）求sin∠eob的值.解：（1）连接ac，eb，则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb，∴△amc∽△emb.∴，即am·mb=em·mc.（2）∵dc为⊙o的直径，∴∠dec=90°，ec=∵oa=ob=4，m为ob的中点，∴am=6，bm=2.设em=x，则cm=7-x. 代入（1），得6×2=x（7-x）.解得x1=3，x2=4.但em>mc，∴em=4. （3）由（2）知，oe=em=4，作ef⊥ob于f，则of=mf=ob=1. 在rt△eof中，∴sin∠eob=.例7：如图7所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，以ab为直径的⊙o交ac于点e，点d是bc边的中点，连结de.（1）求证：de与⊙o相切；（2）若⊙o的半径为，de=3，求ae.（1）证明：连结oe，be，∵ab是直径，∴be⊥ac.∵d是bc的中点，∴de=db，∴∠dbe=∠deb.又oe=ob，∴∠obe=∠oeb，∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点a、b、c在⊙o上（ac不过o点），若∠acb=60°，ab=6，求⊙o半径的长。

初中数学《圆》常用辅助线构造技巧

初中数学《圆》常用辅助线构造技巧圆是初中数学中的重要内容，常常会涉及到圆的基本性质、切线、切点、弦、弦长、弧、弧长等概念。

为了更好地解题，我们可以使用一些常用的辅助线构造技巧。

下面，我将介绍几种常用的辅助线构造技巧。

1.直径是圆的特殊弦，通过任意两点连接圆心，可以得到直径。

在解题中，如果涉及到圆心和两点的位置关系，可以考虑构造直径。

2.过圆心的直线与圆的切线垂直。

当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过圆心的直径，使其与需要垂直的线段或角度相交。

3.过圆心的直线将弧等分为两个等长的弧。

当我们需要将一个弧等分为两个等长的弧时，可以考虑构造一条过圆心的直线，将这个弧分割为两个等长的弧。

1.过切点的切线与圆的半径垂直。

当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与需要垂直的线段或角度相交。

2.过切点的切线等于切点至圆心的半径。

当我们需要求解两个等长的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与另一条需要等长的线段或角度相交。

1.弦的中点与圆心以及两个端点可以构成一个等腰三角形。

当我们需要求解与等腰三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与圆心以及两个端点的直线。

2.以弦的中点为顶点的直角三角形。

当我们需要求解与直角三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与两个端点的直线，并通过调整弦的位置，使其与这条直线构成一个直角。

1.弦的垂直平分线同时也是弦的中垂线。

在解题中，如果需要求解弦的垂直平分线或者弦的中垂线，可以考虑构造一条连接弦的两个端点的直线，并将其垂直平分或中垂。

2.连接弦的两个端点与圆心的线段是一个等角二段线。

当我们需要求解与等角二段线相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的两个端点与圆心的直线。

以上是一些常用的圆的辅助线构造技巧，通过合理地运用这些技巧，可以帮助我们更好地理解和解题。

圆中常见辅助线--强方法 - 副本

圆中常见辅助线强方法汇总一、解决证明弦相等的问题----连半径构造等腰三角形【问题背景】【方法凝练】连接半径，构造等腰三角形解决问题。

【例题展示】已知，如图所示，在⊙O中，AB、DE是直径，弦AC∥DE.求证：BE＝EC．证明：连结OC，∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，∵AC∥DE，∴∠BOE＝∠A，∠COE＝∠1，∴∠BOE＝∠COE，∴BE＝CE．【练习提升】1.如图，已知在⊙O中，AB和DE为两条直径，弦AC∥DE.求证：CE=BE.【答案解析】证明：连结OC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∵AC∥DE，∴∠BOE＝∠A，∠COE＝∠ACO，∴∠BOE＝∠COE，∴BE＝CE．二、解决有关弦的问题----构造直角三角形A CD EBO【问题背景】【方法凝练】常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：1.利用垂径定理；2.利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3.利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

4.可得等腰三角形；5.据圆周角的性质可得相等的圆周角。

【例题展示】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C在弦AB上，且AC＝AB，则OC的长为（）A．2B．2C．4D．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AB＝8，AC＝AB，∴AC＝2，BC＝6，∴AD＝×8＝4．在Rt△AOD中，∵OA＝5，AD＝4，∴OD＝＝3，在Rt△OCD中，∵OD＝3，CD＝AD﹣AC＝4﹣2＝2，∴OC＝＝＝，【练习提升】1.如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的垂线，交AB于点C，交⊙O于点D，已知⊙O的直径为10，CD＝2，则AB的长为（）A．4B．6 C．8D．102.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．3B．4C．5D．2.53.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（）A．2B．C．D．3+4.如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PM•PN=2PO2.【答案解析】1.解：连接OA，∵OD⊥AB，∴AC＝AB，∵⊙O的直径为10，∴OA＝OD＝5，∵CD＝2，∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3，∵AO2＝OC2+AC2，∴52＝32+AC2，∴AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8．故选：C．2.解：设⊙O的半径为r．∴AC ＝BC ＝2，在Rt △AOC 中，∵∠ACO ＝90°，∴OA 2＝OC 2+AC 2，∴r 2＝（r ﹣1）2+22，∴r ＝，∴OC ＝，∵OA ＝OE ，AC ＝CB ，∴BE ＝2OC ＝3，故选：A ．3. 解：过P 作PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE ⊥AB 于E ，连接PB ，如图， ∵⊙P 的圆心坐标是（3，a ），∴OC ＝3，PC ＝a ，把x ＝3代入y ＝x 得y ＝3，∴D 点坐标为（3，3），∴CD ＝3，∴△OCD 为等腰直角三角形，∴△PED 也为等腰直角三角形，∵PE ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝AB ＝2，在Rt △PBE 中，PB ＝3，∴PE ＝＝＝1， ∴PD ＝PE ＝， ∴a ＝3+．故选：D ．4.证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 21PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO.∴PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •21PN ，∴PM •PN=2PO 2. 三、解决角有关的问题----构造同弧所对的圆心角与圆周角【问题背景】【方法凝练】【例题展示】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，CD ⊥AB ，连接OD ，若∠CAB ＝20°，则∠AOD 的度数是（）A ．100°B ．120°C ．130°D ．140°解：连接AD ，如图所示．∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴＝， ∴∠BAD ＝∠BAC ＝20°．∵∠BOD ＝2∠BAD ，∠AOD +∠BOD ＝180°，∴∠AOD ＝180°﹣2∠BAD ＝180°﹣2×20°＝140°．故选：D ．【练习提升】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，若∠A ＝22.5°，AB ＝，则CE 的长为（） A ． B ． C ．2 D ．12.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥OB 于E ，且点E 为半径OB 的中点，连结AC ，则∠A 的度数为（）A ．20°B ．30°C ．45°D ．60°3. 如下图，已知△ABC 内接于⊙O ，若∠C ＝45°，AB ＝4，求⊙O 的面积．【答案解析】1.解：如图，连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝22.5°，∴∠EOC＝∠A+∠OCA＝45°，∵CD⊥AB，∴∠OEC＝90°，∵OC＝OA＝AB＝，∴EC＝OE＝1，故选：D．2.解：∵弦CD⊥OB于E，且点E为半径OB的中点，∴∠AEC＝90°，OE＝BE，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∴∠A＝∠COB＝30°．故选：B．3.解：连接OA，OB；则OA＝OB，∠AOB＝2∠C；（2分）∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2；（4分）又∵AB＝4，∴2OA2＝42，OA2＝8；（6分）∴S⊙O＝π•OA2＝8π．（8分）。

关于圆中常用的辅助线作法

图2A B 关于圆中常用的几种辅助线有关圆的中考，题目变化灵活，在历年各地中考题中均占有较大比例。

在解答与圆有关的题目时，常常需要作辅助线，以便在已知和结论之间“牵线搭桥”，从而使分散条件集中化，隐含条件明显化，难点分散简易化，达到解决问题的目的。

1、有弦时，可从圆心作与弦垂直的线段；或连结半径。

例1：(2006·广东)如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明。

解析：解法1，有弦，可从圆心作与弦垂直的线段，用垂径定理。

OE=OF 。

过点O 作OM ⊥AB 于点M ，则AM=BM ，又AE=BF ，故EM=FM ，从而OM 垂直平分EF ，所以OE=OF 。

解法2，此题也可利用全等来证明。

连结半径OA 、OB ，则OA=OB ，故∠A=∠B ，又AE=BF ，所以△AOE ≌△BOF(SAS)，由此OE=OF ；本题源于课本，巧妙地加以变化，成了一道开放性试题，学生解题时因为有基础铺垫，既增加了自信，又可以提高数学素养。

2、遇到直径时，可作直径所对的圆周角。

例2：(2006·烟台)如图2，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，且⊙O 直径BD=6，连结CD 、AO 。

⑴求证：CD ∥AO ； ⑵设CD=ｘ，AO=ｙ，求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围。

解析：有直径，可作直径所对的圆周角得直角。

⑴连结BC 交AO 于点E 。

∵AB 、AC 是⊙O 的切线，∴AB=AC ，∠CAO=∠BAO ，∴AO ⊥BC ，∴∠BEO=90°，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠BEO ，∴CD ∥AO ；⑵∵CD ∥AO ，∴∠D=∠AOB ，∵AB 是⊙O 的切线，BD 是直径，∴∠BCD=∠ABO=90°∴△BCD ∽△ABO ，∴BD ∶AO=CD ∶BO ，∴6∶y=x ∶3，∴y=x18，0＜x ＜6。

圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)(解析版)

圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。

添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。

模型1、遇弦连半径(构造等腰三角形)【模型解读】已知AB 是⊙O 的一条弦，连接OA ，OB ，则∠A =∠B ．在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。

当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题1(2022·山东聊城·统考中考真题)如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知∠P =30°，∠AOC =80°，则BD 的度数是()A.30°B.25°C.20°D.10°【答案】C【分析】如图，连接OB ，OD ，AC ，先求解∠OAC +∠OCA =100°，再求解∠PAO +∠PCO =50°，从而可得∠BOA +∠COD =260°，再利用周角的含义可得∠BOD =360°-80°-260°=20°，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OD ，AC ，∵∠AOC =80°，∴∠OAC +∠OCA =100°，∵∠P =30°，∴∠PAO +∠PCO =50°，∵OA =OB ，OC =OD ，∴∠OBA =∠OAB ，∠OCD =∠ODC ，∴∠OBA +∠ODC =50°，∴∠BOA +∠COD =260°，∴∠BOD =360°-80°-260°=20°．∴BD的度数20°．故选：C ．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．2(2023•南召县中考模拟)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE =OB ，∠AOC =84°，则∠E 等于()A.42°B.28°C.21°D.20°【分析】利用OB =DE ，OB =OD 得到DO =DE ，则∠E =∠DOE ，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E ，所以∠1=2∠E ，同理得到∠AOC =∠C +∠E =3∠E ，然后利用∠E =13∠AOC 进行计算即可．【解答】解：连结OD ，如图，∵OB =DE ，OB =OD ，∴DO =DE ，∴∠E =∠DOE ，∵∠1=∠DOE +∠E ，∴∠1=2∠E ，而OC =OD ，∴∠C =∠1，∴∠C =2∠E ，∴∠AOC =∠C +∠E =3∠E ，∴∠E =13∠AOC =13×84°=28°．故选：B ．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等)．也考查了等腰三角形的性质．3(2023·江苏沭阳初三月考)如图，已知点C 是⊙O 的直径AB 上的一点，过点C 作弦DE ，使CD =CO ．若AD 的度数为35°，则BE 的度数是．【答案】105°．【分析】连接OD 、OE ，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD =35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：连接OD 、OE ，∵AD的度数为35°，∴∠AOD =35°，∵CD =CO ，∴∠ODC =∠AOD =35°，∵OD =OE ，∴∠ODC =∠E =35°，∴∠DOE =180°-∠ODC -∠E =180°-35°-35°=110°，∴∠AOE =∠DOE -∠AOD =110°-35°=75°，∴∠BOE =180°-∠AOE =180°-75°=105°，∴BE 的度数是105°．故答案为105°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．4(2023年山东省淄博市中考数学真题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BAC=120°，D 是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD=2，DE=3，则⊙O的半径为()A.10B.3210 C.210 D.310【答案】A【分析】连接OA,OC,CE, 根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=30°, 根据等边三角形的性质得到AC=OA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【详解】连接OA,OC,CE,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠ACB=30°∴∠AOC=60°,∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA,∵∠AEC=∠ACB=30°，∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC,∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD·AE,∵AD=2,DE=3,∴AC=AD×AE=2×2+3=10，∴OA=AC=10，即⊙O的半径为10，故选:A.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.模型2、遇弦作弦心距(解决有关弦长的问题)【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE=BE，OE2+AE2=OA2。

中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法

中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法圆与圆位置关系是初中几何的一个重要内容，也是学习中的难点，本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。

1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。

例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线C D、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。

求证：CE=DF。

图1分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直截了当证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。

证明：连结AB因为又因此即CE//DF又CD//EF因此四边形CEFD为平行四边形即CE=DF2. 作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的运算问题。

例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。

求的度数。

图2分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解。

解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。

连结O1、O2，交AB于C，则。

分别在和中，利用锐角三角函数可求得故当AB位于O1、O2同侧时，如图3图3则综上可知或3. 两圆相切，作过切点的公切线利用弦切角定理沟通两圆中角的关系例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线A C切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。

求证PC平分。

图4分析：要证PC平分，即证而的边分布在两个圆中，难以直截了当证明。

若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T易知由弦切角定理，得又是的一个外角因此又从而有即PC平分4. 两圆相切，作连心线利用连心线通过切点的性质，解决有关运算问题。

例4. 如图5，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1通过圆心O 2，作⊙O2的直径BC，交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若，求的度数。

圆中常见辅助线

圆中常见辅助线得做法一．遇到弦时(解决有关弦得问题时）1、常常添加弦心距,或作垂直于弦得半径（或直径）或再连结过弦得端点得半径。

作用:①利用垂径定理;②利用圆心角及其所对得弧、弦与弦心距之间得关系；③利用弦得一半、弦心距与半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。

例:如图，在以Ｏ为圆心得两个同心圆中,大圆得弦AB交小圆于Ｃ、Ｄ二点、求证：AC= BD 证明：过O作OE⊥AB于E∵Ｏ为圆心,OE⊥AB∴AＥ = BE CE ＝ DＥ∴AC = BD练习：如图，AB为⊙O得弦，P就是AB上得一点，AB = 10cm,PＡ= 4cm、求⊙Ｏ得半径、２、有等弧或证弧等时常连等弧所对得弦或作等弧所对得圆心角、例:如图，已知AＢ就是⊙O得直径，M、N分别就是AO、ＢO得中点，CM ⊥AB,ＤN⊥AＢ，求证：证明：(一）连结OC、OD∵Ｍ、N分别就是AO、ＢO得中点∴ＯM = AＯ、ON ＝BO∵ＯA = OB ∴OM ＝ ON∵CM⊥OA、DN⊥OB、OＣ = OD∴Rt△≌Rt△DOＮ∴∠COA ＝∠ＤOＢ∴(二)连结AC、ＯC、OＤ、BＤ∵M、N分别就是AO、BO得中点∴AC = OC BＤ＝ OＤ∵ＯC = ＯＤ∴ＡC = ＢD ∴3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M、N分别就是⊙O 得弦AB、CＤ得中点,AB ＝ CＤ,求证：∠ＡMN = ∠ＣNＭ证明：连结OM、ON∵O为圆心,M、N分别就是弦ＡB、CD得中点∴OM⊥ＡB ON⊥CＤ∵AＢ＝ CD ∴ＯＭ = OＮ∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN ＝ 9０o－∠ＯMN∠CＮM = 90o－∠OＮM∴∠ＡMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距、例：如图,已知⊙O 1与⊙O 2为等圆,P 为O 1、O 2得中点,过P 得直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、Ｂ、求证：AC ＝ B Ｄ证明：过O 1作Ｏ1M ⊥AB 于M ，过O 2作O ２N ⊥AB 于N,则O 1Ｍ∥O 2Ｎ∴∵O 1P = O 2P ∴O 1M = Ｏ2N ∴A Ｃ = ＢD二、有弧中点(或证明就是弧中点）时,常有以下几种引辅助线得方法：⑴连结过弧中点得半径 ⑵连结等弧所对得弦 ⑶连结等弧所对得圆心角例:如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 得中点，C 为弧A Ｂ得中点，求证:CD ＝ CE证明：连结OC∵C 为弧AB 得中点 ∴∴∠AOC =∠BOC∵D 、Ｅ分别为OA 、OB 得中点，且AO = BO ∴OD = O Ｅ = ＡO = BO 又∵OC = OC∴△OD Ｃ≌△ＯＥC∴ＣD = C Ｅ三.有直径时常作直径所对得圆周角，再利用直径所对得圆周角为直角证题、例：如图,AB 为⊙O 得直径，ＡＣ为弦，Ｐ为A Ｃ延长线上一点，且ＡC ＝ PC ，PB 得延长线交⊙Ｏ于D ，求证：AC ＝ DC 证明:连结AD∵ＡＢ为⊙O 得直径∴∠A ＤP = 9０o∵ＡC = PC ∴ＡＣ = CD =AP 例（2005年自贡市）如图２,P 就是⊙O 得弦CB 延长线上一点,点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C .求证：P Ａ就是⊙O 得切线。

湘教版九年级数学-辅助线——圆中解题必杀技

辅助线——圆中解题“必杀技”解与圆有关的问题，有时要作适当的辅助线来牵线搭桥．下面举例予以说明. 一、添加辅助线，创造条件利用垂径定理例1 如图1，在平面直角坐标系中，以点C 为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A ，B 两点，点A （1－3，0），B （1＋3，0），函数y =k x的图象过点C ，则k ＝．分析：欲确定函数系数k 的值，需求出点C 的坐标，从而考虑由点C 向坐标轴作垂线，进而构造出垂径定理的模型．解：∵点A （1－3，0），B （1＋3，0）， ∴AB ＝23．作CD ⊥x 轴，D 为垂足， ∴AD ＝DB=AB 21=3． ∴OD ＝1，即C 点的横坐标为1．在Rt △CDB 中，由勾股定理，得CD ＝22BC DB -＝222(3)-＝1，即C 点的纵坐标为1．∴点C 的坐标为（1，1）．将C （1，1）代入函数y =kx，得k=1．二、添加辅助线，构造弧所对的圆周角例2 如图2，⊙O 的半径为1 cm ，弦AB ，CD 的长度分别为2 cm ， 1 cm ，则弦AC ，BD 所夹的锐角α＝．分析：欲求α，考虑连接AD ，OA ，OB ，OC ，OD ，由三角形外角性质可转化为求∠CAD +∠BDA ，从而可转化为求圆心角∠AOB 和∠COD ．不难判定∠AOB 所在的△AOB 等腰直角三角形，∠COD 所在的△COD 为等边三角形,进而问题得解.解：连接AD ，OA ，OB ，OC ，OD. 在△OAB 中，∵OA =OB =1，AB =2， ∴OA 2+OB 2＝AB 2.∴△OAB 是等腰直角三角形，∠AOB ＝90°．在△COD 中，∵OC ＝OD ＝CD ＝1， ∴△COD 为等边三角形，∠COD ＝60°． ∴∠BDA ＝12∠AOB ＝12×90°＝45°，∠CAD ＝12∠COD ＝12×60°＝30°． ∴α＝∠CAD +∠BDA ＝45°+30°＝75°．三、添加辅助线，创造条件利用切线的性质DCB A图2BxyAO C D图1例3 如图3，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆，E ，F ，G ，H 是切点，点P 是优弧EFH 上异于E ，H 的点．若∠A ＝50°，则∠EPH ＝．分析：连接OE ，OH ，根据切线的性质得到∠OEA ＝∠OHA ＝90°，再由已知∠A 的度数，根据四边形的内角和为360°，可知∠EOH 的度数，即可求出∠EPH 的度数．解：如图，连接OE ，OH .∵⊙O 是四边形ABCD 的内切圆，E ，F ，G ，H 是切点， ∴AD OH AB OE ⊥⊥,,即∠OEA ＝∠OHA ＝90°. 又∠A ＝50°， ∴∠EOH ＝360°－∠OEA －∠OHA －∠A ＝360°－90°－90°－50°＝130°． ∴∠EPH ＝12∠EOH ＝12×130°＝65°．图3。

方法技巧训练四圆中常见辅助线的作法

方法技巧训练四圆中常见辅助线的作法[方法概述 ]圆是初中数学知识的大综合,不论是代数还是几何,所有的知识几乎都能在圆中体现.实行新课标以来,圆的部分内容在中考中的地位有所下降,题目难度有所降低,但是圆还是中考的命题热点，在不少地区难度依然很大.只要掌握以下七条辅助线的作法，圆的问题就有规律可找了:(1)遇到有关弦的问题时,通常要作垂直于弦的半径,利用垂径定理求有关的量;还可连接弦的两个端点和圆心,构造等腰三角形.(2)遇到直径时，常常添加直径所对的圆周角,得到直角三角形。

(3)遇到90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点,得到直径.(4)遇到切线时,添加过切点的半径,得到垂直，则可利用直角三角形性质解得相关问题。

(5)遇到要证明切线时,若有交点,则连半径,证垂直;若无交点,则作垂直,证半径.(6)遇到三角形的内切圆时,连接内心与三角形各顶点,利用内心的性质.(7)遇到三角形的外接圆时,连接外心和三角形各顶点,利用外心的性质.[方法训练]1,(2017，庆阳)在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB=160 cm ,则油的最大深度为( ) A.40cm B.60 cm C.80cm D.100cm2. (2017 .临沂)如图,AB 是⊙0的直径，BC 是⊙0的切线,若∠ACB =45° ,AB=2,则阴影部分的面积是( )A.2 B 23−41∏ C.1 D,21+41∏ 3. (2017、襄阳)如图,AB 为⊙0的直径,C,D 为⊙0上两点,∠BAC=∠DAC,过点C 作直线EF ⊥AD,交AD 的延长线于点E,连接BC.(1)求证:EF 是⊙0的切线;(2)若DE=1,BC=2,求劣弧 ⌒BC的长l."4.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,E 为AB 上的一点,DE=DC,以D 为圆心,DB 长为半径作⊙D,AB=5,EB=3.(1)求证:AC 是OD 的切线;(2)求线段AC 的长.。