2014届高考数学一轮必备考情分析学案：1.3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》

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高考数学一轮复习教案(含答案)：第1章第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断p q p∧q p∨q p假2.3.∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x) 常用结论]1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：(1)p∨q：有真则真．(2)p∧q：有假则假．(3)p与p：真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．()(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()[解析](1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q 中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4B[p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1＞0B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1D．∃x∈R，tan x＝2B[对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]4．命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1＜0”的否定为________．∀x∈R，x2－ax＋1≥0[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x20－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]5．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0. 综上可知－8≤a ≤0.]定范围．q ：乙降落在指定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(p )∨(q )B ．p ∨(q )C ．(p )∧(q )D ．p ∧qA [p ：甲没有降落在指定范围，q ：乙没有降落在指定范围．则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为(p )∨(q )，故选A.]2．若命题“p ∨q ”是真命题，“p ”为真命题，则( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假D ．p 假，q 假B [命题“p ∨q ”是真命题，则p 或q 至少有一个真命题，又“p ”是真命题，则p 是假命题，从而q 一定是真命题，故选B.]3．(2020·泰安模拟)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(q )C ．(p )∧qD ．(p )∧(q )B [∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2<b 2， ∴命题q 为假命题，∴q 为真命题． ∴p ∧q 为假命题，p ∧q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∧q 为假命题．故选B.][规律方法] “p ∧q ”“p ∨q ”“ p ”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式. (3)依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，来确定“p ∧q ”“p ∨q ”“p ”等形式命题的真假.【例1】 (1)(2020·武汉模拟)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1＞0 C ．∃x 0∈N ，sin π2x 0＝1 D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2(1)A (2)D [(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.(2)当x ∈R 时，x 2≥0且2x －1＞0，故A 、B 是真命题．当x 0＝1时，sin π2x 0＝1，故C 是真命题．由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故D 是假命题．]000A ．∀x ＞0，使2x (x －a )＞1 B ．∀x ＞0，使2x (x －a )≤1 C ．∀x ≤0，使2x (x －a )≤1 D ．∀x ≤0，使2x (x －a )＞1(2)下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos β(1)B (2)D [(1)命题的否定为∀x ＞0，使2x (x －a )≤1，故选B.(2)因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.]【例2】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3，故选B.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，∀x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2，故选A.]实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e 2]B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋4＝0；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)[－12，－4]∪[4，＋∞) [(1)p 是假命题，则p 是真命题，当x ∈[1,2]时，e ≤e x ≤e 2，由题意知a ≤(e x )min ，x ∈[1,2]，因此a ≤e ，故选B.(2)若p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，解得a≤－4或a≥4.若q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.由p∧q是真命题知，命题p、q均是真命题．因此a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．]。

《1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》学案

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 学习重点学习难点全称命题、特称命题的否定及判断全称命题、特称命题的否定及判断
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学习过程一、复习预习 1、四种命题的相互关系 2、充分条件与必要条件及其判断方法
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7．已知命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题 q：∃x0∈R，x2 0＋2ax0＋2－a＝0，若“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围．
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课程小结
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1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
适用学科适用区域数学新课标 1. 2. 知识点 3. 4. 5. 学习目标逻辑联结词“且”“或”“非”的含义含有逻辑联结词的命题真假的判断全称量词与全称命题存在量词与特称命题含有一个量词的命题的否定适用年级课时时长（分钟）高三 60
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【答案】
选D
【解析】对于 A，当 α＝β＝0 时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项 A 是真命题；对于 B，注意到 lg2x＋lg x＋1 1 3 3 ＝lg x＋22＋4≥4>0，因此选项 B 是真命题；对于 C，在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B(其中 R π 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项 C 是真命题；对于 D，注意到当 φ＝时，y＝sin(2x＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项 2 D 是假命题．
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【答案】C 【解析】∵函数 y＝cx 在 R 上单调递减，∴0<c<1. 即 p：0<c<1，∵c>0 且 c≠1，∴非 p：c>1. 1 1 1 又∵f(x)＝x2－2cx＋1 在2，＋∞上为增函数，∴c≤2.即 q：0<c≤2， ∵c>0 且 c≠1， 1 ∴非 q：c>2且 c≠1. 又∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假， ∴p 真 q 假或 p 假 q 真．

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，通常用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，通常用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．p q p∧qp∨q綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫自查自纠：1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2014·湖南)设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋1＞0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x0∈R，x20＋1≤0解：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”．故选B.下列命题中的假命题．．．是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解：对于B选项，x＝1时，(x－1)2＝0 ，故选B.(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)解：显然p真，由x＞2⇒x＞1，而x＞1x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，q假，綈q真，p∧(綈q)是真命题．故选D.给出下列结论：①命题“若綈p，则q”的逆否命题是“若p，则綈q”；②命题“∃n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；③命题“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是“∃x∈R，x2＋2x＋3＜0”．其中结论正确的是________．解：由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；全称命题的否定是特称命题，故③不正确．综上，只有②正确，故填②.已知p：x2－2x－3<0；q：1x－2<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．解：若p为真，则由x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)<0，得－1<x<3；若q为真，则由1x－2<0，得x<2.∵p且q为真，∴－1<x<2.故填(－1，2)．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假．(1)矩形的对角线相等且垂直；(2)3≥3；(3)10是2或5的倍数；(4)10是2和5的倍数；(5)2是4和6的约数；(6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p∧q”形式的命题．其中p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线垂直．该命题为假命题．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：3＞3，q：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p∨q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(5)是“p∧q”形式的命题．其中p：2是4的约数，q：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p∨q”命题，也不是“p∧q”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．点拨：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．解：(1)p或q：3是9或18的约数，是真命题；p且q：3是9的约数且是18的约数，真命题；非p：3不是9的约数，假命题．(2)p或q：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真命题；p且q：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假命题；非p：菱形的对角线不一定相等，真命题．(3)p或q：π是有理数或无理数，真命题；p且q：π是有理数且是无理数，假命题；非p：π不是有理数，真命题．类型二含有逻辑联结词命题的综合问题已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．解：设p，q都为真．则由p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增⇔－m2≤－1，解得m≥2，由q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3.∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中一个为假，另一个为真．(1)当p真，q假时，根据命题与集合之间的对应关系，得p真时，m≥2，q假时，m≤1或m≥3.∴p真q假时，⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，m≤1或m≥3，得m≥3.(2)当p假，q真时，根据命题与集合之间的对应关系，得p假时，m＜2，q真时，1＜m＜3.∴p假q真时，⎩⎪⎨⎪⎧m＜2，1＜m＜3，得1＜m＜2.综合(1)(2)可得，m的取值范围为(1，2)∪[3，＋∞)．点拨：由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．(1)当m为何值时，p或q为真？(2)当m为何值时，p且q为真？解：若p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4＞0，x1＋x2＝－m＜0，x1x2＝1＞0(x1，x2为方程x2＋mx＋1＝0的两个实根)，解得m＞2；若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3.(1)若p或q为真，则p，q至少有一个为真．∴若p或q为真时，m的取值范围是(1，＋∞)．(2)若p且q为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m＞2，1＜m＜3，得2＜m＜3.故当m∈(2，3)时，p且q为真．类型三全称命题与特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p1：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(4)p 4：∀x ∈R ，x 2－x ＋14＞0.解：(1)綈p 1：∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2不是无理数，是真命题．(2)綈p 2：所有的整数，都不能被2整除或不能被5整除，是假命题．(3)綈p 3：∀x ∈{x |x ∈Z }，log 2x ≤0，是假命题．(4)綈p 4：∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0，是真命题．点拨：命题的否定，是对该命题的结论进行否定，根据判断对象是部分和全体，分为特称命题和全称命题．否定的原则是：否定全称是特称，否定特称是全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定．(2014·天津)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)·e x ＞1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)ex 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)ex 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B .1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断 (1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x ＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是都是否定词语不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的一定否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数解：“a 和b 都不是偶数”的否定形式是“a 和b 至少有一个是偶数”．故选A.2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解：根据特称命题的否定是全称命题，需先将“存在”改为“任意”，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解：y ＝sin2x 的最小正周期T ＝π，很明显命题p 是一个假命题．函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，所以命题q 也是假命题．因此，p ∧q 为假，故选C.4．(2014·湖北)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x 解：全称命题的否定是特称命题．故选D .5．已知命题p ：∃x ∈R ，使得x ＋1x<2；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，下列命题为真的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC. p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解：对于命题p ：当x ＝－1时，x ＋1x ＝－2＜2，所以命题p 是真命题，则綈p 是假命题；对于q ，Δ＝1－4＝－3＜0，所以不等式x 2＋x ＋1＞0的解集为R ，所以命题q 是真命题，则綈q 是假命题，所以p ∧q 为真命题．故选A.6．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝1.5B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞1＋x解：A ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜1.5，故A 错；B ：x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π时，sin x ＞cos x ，x ＝π4时，sin x ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，故B 错； C ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0，∴x 2＋x ＞－1，故C 错．故选D .7．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，是真命题的是________________________．解：∵p 1是真命题，p 2是假命题，∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题．∴真命题是q 1，q 4.故填q 1，q 4.8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：由命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题得其否定“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是真命题，所以(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3.故填(－1，3)．9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假．(1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x ＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x ≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0，又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.∵x ∈R 时，x 2≥0，∴x 2＋1≥1＞0，故为真命题．10．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵命题p ∧q 是真命题，∴命题p ，q 均为真．对于命题p ，当x ∈[1，2]时，a ≤x 2恒成立，即a ≤(x 2)min ＝1；对于命题q ，∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋a 2＝a 2＋a －2，即(x ＋a )2＝(a －1)(a ＋2)≥0，得a ≤－2或a ≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1，得a ≤－2或a ＝1.因此，实数a 的取值范围为{}a |a ≤－2或a ＝1.11．已知a >0，设命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R ；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 时，函数y＝x ＋1x >1a恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求a 的取值范围．解：由a ＞0，命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R 可知，Δ＝1－a24＜0，解得a ＞2.因此，命题p 为真时，a ＞2.对于命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数y ＝x ＋1x ＞1a恒成立，即函数y ＝x ＋1x 在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2的最小值y min ＞1a， ∵y min ＝2，∴1a ＜2.又a ＞0，∴a ＞12.因此，命题q 为真时，a ＞12.∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，∴命题p 与q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，可得a ∈∅；当p 假q 真时，可得12＜a ≤2.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，2.已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)∵对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1，得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1，得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．。

2014高三数学一轮复习：1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

x<1，则 xcos2x≥1. π 答案：已知 0<x< ，若 xcos x<1，则 xcos2x≥1 2
3．下列命题中的假命题是____________． ①∀x∈R,2x－1>0 ; ②∀x∈N*，(x－1)2>0; ③∃x∈R，lg x<1 ; ④∃x∈R，tan x＝2.
解析：对于①，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得 2x－1>0；对于②，∵x∈N*，∴当 x＝1 时，(x－1)2＝0 1 1 与(x－1) >0 矛盾；对于③，当 x＝时，lg ＝－1<1； 10 10
[探究] 2.全称命题(存在性命题)的否定还是全称命题(存在性命题)吗？其真假性与原命题有什么关系？
提示：不是．全称命题的否定是存在性命题，存在
性命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题恰好
相反．
[自测
牛刀小试]
1．(教材改编题)下列命题是真命题的是____________． ①27是3的倍数或27是9的倍数；
a 或 a≥4；命题 q 等价于－ ≤3，即 a≥－12.由 p 或 q 是 4 真命题，p 且 q 是假命题知，命题 p 和 q 一真一假．若 p 真 q 假，则 a<－12；若 p 假 q 真，则－4<a<4.故 a 的取值
[答案] 范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．
(－∞，－12)∪(－4,4)
q 是命题 p 的否
定，则命题 p、q、p∧q、p∨q 中是真命题的是________．
解析：x0＝± 时，p 成立，所以 p 真，q 假，p∧q 假， 1 p∨q 真．
答案：p、p∨q
含有逻辑联结词的命题的真假判断
[例 1] 已知命题 p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题 q：x2－3x＋2<0 的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论： ①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧綈 q”是假命题； ③命题“綈 p∨q”是真命题； ④命题“綈 p∨綈 q”是假命题．其中正确的是_______．

2014届高考数学一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

③∵p 和 q 中有且仅有一个正确， a≤1 a>1 1 1 ∴ 或1 ，∴a≥8 或 <a≤1. 2 a≤ 或a≥8 < a <8 2 2
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探究提高
含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的 ( 一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．
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答题模板
借助逻辑联结词求解参数范围问题
(14 分)已知 c>0，且 c≠1，设 p：函数 y＝cx 在 R 上单 1 2 调递减；q：函数 f(x)＝x －2cx＋1 在2，＋∞上为增函数，若“p 且 q”为假，“p 或 q”为真，求实数 c 的取值范围．
(1)p、q 真时，分别求出相应的 a 的范围；(2)用补集的思想，求出綈 p、綈 q 分别对应的 a 的范围；(3)根据“p 且 q”为假、“p 或 q”为真，确定 p、q 的真假．
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方法与技巧
1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真． 2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假． 3．全称命题与存在性命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集．
∃ ”表示．
(4)全称命题与存在性命题 ① 含有全称量词的命题叫全称命题． ② 含有存在量词的命题叫存在性命题．
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要点梳理
忆一忆知识要点
☞同一个含量词的命题,可能有不同的表述方法

2014高考数学一轮复习课件：简单的逻辑联结词、全称量词与存

2014高考数学一轮复习课件
第一章
集合与常用逻辑用语
第三节
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲要求
考情分析
1.高考命题多以本节知识为工具，考查三角、立体几何、解析几何等知 1.了解逻辑联结词识．形式多为p∧q， “或”、“且”、 p∨q，綈p命题真假的 “非”的含义；判断、全称命题与特称 2.理解全称量词与命题真假的判断以及上存在量词的意义；述命题的否定．
3．(理)(2013· 长春模拟)下列命题中，真命题是(
π A．∃x∈0，2，sin
)
x＋cos x≥2
B．∀x∈(3，＋∞)，x2>3x－1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1
π D．∀x∈2，π，tan
x>sin x
解析：A 中，当 x＝0 时，sin x＋cos x＝1<2，故错误； B 中，令 f(x)＝x2－3x＋1，x∈(3，＋∞)，则 f(x)为增函数， ∴f(x)>f(3)＝9－9＋1>0，∴f(x)>0，∴x2>3x－1，故 B 正确； C 中， x
• 5．(理)已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q： x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．下列结论： • ①命题p∧q是真命题；②命题p∧綈q是假命题； ③命题綈p∨q是真命题；④命题綈p∨綈q是假命题． • 其中正确的是________． • 解析：命题p、q均为真命题，故①②③④都正确． • 答案：①②③④
• (2)(2013·营口模拟)对空间中不同的两条直线a， b和平面α，有如下两个命题，p：若a⊥α，b⊥α，则a∥b；q：若a∥α，b∥α，则a∥b.则下列判断正确的是 • A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 • C．命题(綈p)∨q是真命题 D．命题p∧(綈q) 是真命题

2014高考数学(理)一轮复习总教案：1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.3简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一全称命题和特称命题的真假判断【例1】判断下列命题的真假.（1）∀x∈R，都有x2－x＋1＞错误!；（2）∃α，β使cos(α－β）＝cos α－cos β;（3)∀x，y∈N，都有x－y∈N；(4）∃x0，y0∈Z，使得错误!x0＋y0＝3。

【解析】(1）真命题，因为x2－x＋1＝(x－错误!)2＋错误!≥错误!＞错误!. (2）真命题，例如α＝错误!，β＝错误!,符合题意.(3）假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N。

（4)真命题，例如x0＝0，y0＝3，符合题意。

【点拨】全称命题是真命题,必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可;特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立。

【变式训练1】已知命题p:∃x∈R，使tan x＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是( ）A.命题“p∧q"是真命题B。

命题“p∧⌝q”是假命题C.命题“⌝p∨q”是真命题D。

命题“⌝p∧⌝q”是假命题【解析】选D。

先判断命题p和q的真假,再逐个判断。

容易知命题p是真命题，如x＝错误!,⌝p是假命题；因为当x＝0时,x2＝0,所以命题q是假命题，⌝q是真命题。

所以“p∧q"是假命题，A错误;“p ∧⌝q"是真命题，B错误；“⌝p∨q”是假命题，C错误；“⌝p∧⌝q”是假命题，D正确.题型二含有一个量词的命题的否定【例2】写出下列命题的否定,并判断其真假。

(1）p：∀x∈R,x2－x＋14≥0；（2）q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R,x2＋2x＋2≤0；（4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0。

【解析】(1）⌝p：∃x∈R，x2－x＋错误!＜0,是假命题。

（2) ⌝q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.（3）⌝r:∀x∈R,x2＋2x＋2＞0，是真命题.(4) ⌝s：∀x∈R，x3＋1≠0,是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称命题,一般命题的否定则是直接否定结论即可。

1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2
1 ∵c>0 且 c≠1，∴綈 q：c> 且 c≠1. 2 又∵“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，∴p 与 q 一真一假．
1 1 ①当 p 真，q 假时，{c|0<c<1}∩ c c> ，且c≠1 ＝ c <c<1. 2 2 1 ②当 p 假，q 真时，{c|c>1}∩ c 0<c≤ ＝∅. 2 1 综上所述，实数 c 的取值范围是 c <c<1. 2 1 故填c <c<1. 2
x
2
类型一
含有逻辑联结词的命题及其真假判断
指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假． (1)矩形的对角线相等且垂直； (2)3≥3； (3)10 是 2 或 5 的倍数； (4)10 是 2 和 5 的倍数； (5)2 是 4 和 6 的约数； (6)2 是 4 和 6 的公约数．
q 为真命题，有 Δ＝[4(m－2)] －4×4×1<0，解得 1<m<3. 由“p∨q”为真命题， “p∧q”为假命题，知 p 与 q 一真一假． m＞2，当 p 真，q 假时，由得 m≥3； m≤1或m≥3， m≤2，当 p 假，q 真时，由得 1<m≤2. 1＜m＜3，综上，实数 m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．故填(1，2]∪[3，＋∞)．
1 已知命题 p：∃x0∈R，sinx0＜ x0，则綈 p 为( 2 1 A．∃x0∈R，sinx0＝ x0 2 1 C．∃x0∈R，sinx0≥ x0 2 1 B．∀x∈R，sinx＜ x 2 1 D．∀x∈R，sinx≥ x 2

2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【2014年高考会这样考】1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容．2．考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．考点梳理1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称命题与特称命题[来源: ]①短语“所有的”“任意一个”这样的词语，一般在指定的范围内都表示事物的全体，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．②短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语，都是表示事物的个体或部分的词叫做存在量词．并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可以用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．(2)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定【助学·一个逆用p∧q为真，可知p，q都为真．p∨q为真，可知p，q至少有一个为真．p∨q为假，两个一定都假．两点提醒(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．考点自测1．若p是真命题，q是假命题，则()．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题解析q是假命题，故綈q是真命题，故选D.答案 D2．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.答案 D3．(2012·辽宁)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则綈p()．A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析利用“全称命题的否定是特称命题”求解．命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．答案 C4．下列四个命题中，其中为真命题的是()．A．∀x∈R，x2＋3<0 B．∀x∈N，x2≥1C．∃x∈Z，使x5<1 D．∃x∈Q，x2＝3解析由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“∀x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“∃x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”为假命题．答案 C5．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．解析“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.答案[－4,0]考向一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】►已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是()．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[审题视点] 先判断命题p，q的真假，然后对用逻辑联结词构成的复合命题进行真假判断．解析命题p：∃x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．答案 D若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可．【训练1】已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的命题中，真命题有()．A．0个B．1个C．2个D．3个解析命题p为真命题，命题q为假命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题．答案 B 考向二含有一个量词的命题的否定【例2】►(2012·湖北)命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是()．A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q[审题视点] 否定量词，否定结论，写出命题的否定．解析其否定为∀x∈∁R Q，x3∉Q.答案 D全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．【训练2】 (2012·北京东城一模)命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________．答案 ∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 考向三全称命题、特称命题的真假判断【例3】►下列命题中，真命题是( )．A ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是偶函数B ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数[审题视点] 根据量词的意义和函数奇偶性的概念判断．解析由函数奇偶性概念知，当m 0＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A. 答案 A对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.【训练3】 (2012·太原模拟)下列命题中的假命题是( )．A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝ 3C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0解析当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“∃x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“∃x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“∀x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x ∈R,2x ＞0，故命题“∀x∈R,2x＞0”是真命题．答案 C热点突破2——含逻辑联结词的命题的判断【命题研究】通过对近三年高考试题统计可以看出，高考对逻辑联结词的考查频数不多，但并不是不考．多数以函数、不等式、三角函数、向量、立体几何等知识为载体，考查含有逻辑联结词的命题的判断．【真题探究】►(2012·山东)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()．A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真[教你解题] 第1步判断命题p的真假；第2步判断命题q的真假；第3步判断含逻辑联结词的命题判断真假．[解法] 命题p为假命题，命题q为假命题，故p∧q为假，故选C.[答案] C[反思] 含有逻辑联结词命题真假的判断方法：p∧q“见假就假”，p∨q“见真就真”，綈p“真假相对”．【试一试】已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－12；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是()．[来源:学,科,网]A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q解析由题意知：抛物线准线方程为y＝－18，故命题p为假；函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象向左平移1个单位关于y轴对称，即f(x＋1)的图象关于x＝1对称，故命题q为真，故p∨q必为真．所以选D.答案 DA级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·北京朝阳二模)如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则()．A．命题“綈p∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“p∧綈q”是真命题解析由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C.答案 C2．(2012·吉林模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则()．A．綈p：有的三角形不是等边三角形B．綈p：有的三角形是不等边三角形C．綈p：所有的三角形都是等边三角形D．綈p：所有的三角形都不是等边三角形解析命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p ：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D.答案 D3．(2012·开封二模)下列命题中的真命题是( )．A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时有sin x <cos x ，故D 错误．所以选B.答案 B4．(2012·潍坊模拟)已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12＜0的解集是{x |3＜x ＜4}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是________．A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析因为命题p 和命题q 都是真命题，所以命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧綈q ”是假命题，命题“綈p ∨q ”是真命题，命题“綈p ∨綈q ”是假命题．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0成立”的否定是________．答案对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠06．(2012·南通调研)存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b <0成立，则b 的取值范围是________．解析要使x 2－4bx ＋3b <0成立，只要方程x 2－4bx ＋3b ＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b 2－12b >0，解得b <0或b >34.答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 三、解答题(共25分)7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解 (1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p ∧q ：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；綈p ：2不是4的约数，假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p ：矩形的对角线不相等，假命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题； p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号不同，真命题．8．(13分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形．解 (1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2)存在一个素数不是奇数，真命题．(3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题．(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·吉林二模)给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ＝2”的否定是“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ≠2”；②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x <2”；③对于∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2； ④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2.其中正确的为( )． A ．③ B ．③④ C ．②③④ D ．①②③④解析根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]知④正确．答案 C2．(2012·江西六校联考)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ”．命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )． A ．(－∞，－2] B ．(－2,1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞) 解析若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p ∧q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.答案 [－8,0]4．(2012·长沙调研)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝33；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案 ①③三、解答题(共25分)5．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．解由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1. 6．(13分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎨⎧ Δ＝m 2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，即命题p ：m ＞2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.因“p ∨q ”为真，所以p ，q 至少有一个为真，又“p ∧q ”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真．[来源:学_科_网]∴⎩⎨⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧ m ≤2，1＜m ＜3.解得：m ≥3或1＜m ≤2，即实数m 的取值范围为[3，＋∞)∪(1,2].。

2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、对“或”“且”“非”的理解 1、相关链接（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同。

对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念；在A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}中的“或”是指“x ∈A ”与“x ∈B ”中至少有一个成立，可以是“x A x B ∈∉且”，也可以是 “x A x B ∉∈且”，也可以是 “x Ax x B ∈∈且”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的。

（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念；在A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}中的“且”是指：“x ∈A ”、“x ∈B ”都要满足的意思，即x 既要属于集合A ，又要属于集合B 。

（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p 对应集合P ，则命题非p 就对应着集合P 在全集U 中的补集U C P ，对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思。

一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。

2、“P ∨q ”、“ p ∧q ”、“ ⌝p ” 形式命题真假的判断步骤（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题P 、q 的真假；（3）确定“P ∨q ”、“ p ∧q ”、“ ⌝p ”形式命题的真假。

4、含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即一真全真; (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假,则p ∧q 为假，即一假即假; (3)⌝p :与p 的真假相反，即一真一假，真假相反. 4、例题解析〖例1〗已知命题:p 1：函数y=2x -2-x 在R 上为增函数 p 2：函数y=2x +2-x 在R 上为减函数则在命题q 1:“p 1∨p 2”,q 2:“p 1∧p 2”,q 3:“( )∨p 2”和q 4:“p 1∧(⌝2p )”中，真命题是( ) (A)q 1,q 3 (B)q 2,q 3 ()q 1,q 4 ()q 2,q 4解析：选.命题p 1为真命题，p 2为假命题,则⌝1p 为假命题⌝2p ，为真命题,从而q 1,q 4为真命题，q 2,q 3为假命题.故选.注：1.求解本题时，易由于对命题p 1,p 2的真假判断不正确，从而造成解题失误.2.当一个命题，从字面上看不一定有“或”、“且”、“非”字样时，需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”、“且”、“非”的关系，如“或者”、“x=±1”、“≤”的含义为“或”；“并且”、“//”的含义为“且”；“不是”、“”的含义为“非”.〖例2〗写出由下述各命题构成的“P ∨q ”，“ p ∧q ”，“ ⌝p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假（1）p ：9是144的约数，q ：9是225的约数（2）p ：方程x2－1=0的解是x=1，q ：方程x2－1=0的解是x=－1；（3）p ：实数的平方是正数，q ：实数的平方是0.解析：由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整 P ∨q ：9是144或225的约数；p ∧q ：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）； ⌝p ：9不是144的约数.∵p 真，q 真，∴“P ∨q ”为真，“p ∧q ” 为真，而“⌝p ”为假.（2）P ∨q ：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p ∧q ：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；⌝ p ：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p 中的“是”应理解为“都是”的意思）； ⌝ ∵p 假，q 假，∴“P ∨q ”与，“p ∧q ” 均为假，而“⌝p ”为真.（3）P ∨q ：实数的平方都是正数或实数的平方都是0； p ∧q ：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；⌝p ：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）； ∵p 假，q 假，∴“P ∨q ”与“p ∧q ” 均为假，而“⌝p ”为真.注：在命题p 或命题q 的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

栏目索引
3.全(特)称命题真假的判断方法
全称命题真假方法一真证明所有对象使命题为真方法二否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真真存在一个对象使命题为真否定为假特称命题假证明所有对象使命题为假否定为真
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考向突破考向一全(特)称命题的否定例1 (2018湖南益阳4月调研,3)已知命题p:“∀a≥0,a4+a2≥0”,则命题 ¬ p为 ( ) B.∀a≥0,a4+a2≤0
m 0, 解得 1 1 m 或 m . 4 4
∴p为真命题时,m≤- . (2)∃x∈[2,8],mlog2x+1≥0⇒∃x∈[2,8],m≥-
1 1 又x∈[2,8],则- ∈ 1, ,∴m≥-1. log 2 x
3
1 4
1 . log 2 x
1 4
2
令f(x)=ex-x-1,则f '(x)=ex-1, 当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,则f(x)为增函数, 故f(x)>f(0)=0, 即∀x∈(0,+∞),ex>x+1,故D是真命题.故巧
方法解决与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题的方法 (1)求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围; (2)判断命题p,q的真假性; (3)根据命题的真假情况,利用集合交集和补集的运算,求解参数的取值范围.
4 2 a a 0 + 0 <0 D.∃a0≥0,
A.∀a≥0,a4+a2<0
4 2 a0 a0 C.∃a0<0, + <0
解析命题p为全称命题,其否定为特称命题.将量词改变,结论否定,即¬

2014届高考数学一轮复习第1章《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》名师首选学案新人教A版

学案3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．自主梳理1．逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断3.(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x)．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x)．自我检测1.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是__________________答案∀x∈R，x2－2x＋1≥0解析因要否定的命题是存在性命题，而存在性命题的否定为全称命题．对x2－2x＋1<0的否定为x2－2x＋1≥0.2．若命题p：x∈A∩B，则綈p是________________答案xA或xB解析∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，∴綈p ：xA 或xB .3．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填“真”或 “假”) 答案假解析其否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，为假命题．4．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x [2,5]且x {x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2，故填[1,2)．5．下列4个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x；②∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中的真命题是________(填序号)．答案 ②④解析取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，②正确．当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13x >1，④正确．探究点一判断含有逻辑联结词的命题的真假例1 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解题导引正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断复合命题的真假．解(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．綈p：1不是素数．真命题．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不相同．真命题．变式迁移1 已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是________(填序号)．答案①②③④解析命题p：∃x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．探究点二全称(存在性)命题及真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，都有x2－x＋1>12 .(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.解题导引判定一个全称(存在性)命题的真假的方法：(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可．(2)存在性命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立．解 (1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12.(2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3符合题意．变式迁移2 若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0，解得a <－1或a >3.探究点三全称命题与存在性命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.解题导引 (1)全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可．(2)要判断“綈p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p 的真假．因为p 与綈p 的真假相反且一定有一个为真，一个为假．解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，这是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0恒成立，即p 真，所以綈p 假．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.变式迁移3 (2010·深圳一模)已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________．答案(0,1)解析p为假，即“∀x∈R，x2＋2ax＋a>0”为真，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1.转化与化归思想例(14分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【答题模板】解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题． [4分]若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1. [8分]若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2， [12分]综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. [14分]【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．若直接求p 成立的条件困难，可转化成求綈p 成立的条件，然后取补集．【易错点剖析】“p 且q ”为真是全真则真，要区别“p 或q ”为真是一真则真，命题q 就是方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x 0使方程成立．1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有” 的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x <6或x >9.(2)命题“非p ”就是对命题“p ”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断．3．全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是一个存在性命题“∃x ∈M ，綈p (x )”，存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”的否定是一个全称命题“∀x ∈M ，綈p (x )”.课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0，则綈p 为________．答案 ∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>02．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，13]解析 ∵命题綈p 是真命题，∴命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a <0，解得a >13.因此当命题p是假命题，即命题綈p 是真命题时，实数a 的范围是a ≤13.3．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，而p q ，条件p 化简为x >1或x <－3，所以当a ≥1时，q ⇒p .4．已知命题“∀a ，b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是________．答案 ∀a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0解析 ∀a ，b ∈R 是大前提，在否命题中也不变，又因ab >0，a >0的否定分别为ab ≤0，a ≤0.5．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”； ④命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题．答案 ④6．命题“对∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是______________．答案 ∃x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3 7．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R 使4x－2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围为__________．答案 m ≤1解析命题綈p 是假命题，即命题p 是真命题，也就是关于x 的方程4x－2x ＋1＋m ＝0有实数解，即m ＝－(4x－2x ＋1)，令f (x )＝－(4x －2x ＋1)，由于f (x )＝－(2x －1)2＋1，所以当x ∈R 时f (x )≤1，因此实数m 的取值范围是m ≤1. 8．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是 ______________________．答案对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0解析因存在性命题的否定是全称命题，所以得：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0. 二、解答题(共42分)9．(14分)分别指出由下列命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的命题的真假． (1)p ：4∈{2,3}，q ：2∈{2,3}； (2)p ：1是奇数，q ：1是质数； (3)p ：0∈∅，q ：{x |x 2－3x －5<0}⊆R ； (4)p ：5≤5，q ：27不是质数．解 (1)∵p 是假命题，q 是真命题， ∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．(3分) (2)∵1是奇数， ∴p 是真命题．又∵1不是质数， ∴q 是假命题．因此p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．(6分) (3)∵0∅，∴p 为假命题．又∵x 2－3x －5<0⇒3－292<x <3＋292， ∴{x |x 2－3x －5<0}＝{x |3－292<x <3＋292}⊆R 成立．∴q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．(10分) (4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题， ∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题． (14分)10．(14分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.(4分) 又∵函数f (x )＝(3－2a )x是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1.(6分)又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(8分) (2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.(13分)综上可知，所求实数a 的取值范围为 1≤a <2，或a ≤－2.(14分)11．(14分)已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解 p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4>0－m <0⇔m >2.(3分)q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．⇔Δ2＝16(m －2)2－16<0⇔1<m <3，(6分)因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．①当p 真且q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧m >2m ≤1或m ≥3⇒m ≥3；(10分)②当p 假且q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3⇒1<m ≤2.(12分)综上可知，m 的取值范围为{m |1<m ≤2或m ≥3}．(14分)。

【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．逻辑联结词：命题中的__________叫做逻辑联结词．2．命题p∧q，p∨q真假的判断p q p∧q p∨q真真____真假____假真____假假____3．命题⌝p真假的判断p ⌝p真__假__4．全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号____表示．含有全称量词的命题，叫做__________，可用符号简记为__________，它的否定是____________．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号________表示．含有存在量词的命题，叫做________，可用符号简记为__________，它的否定是____________．1．命题p：x2＋y2＜0；q：x2＋y2≥0.下列命题为假命题的是( )．A．p∨q B．p∧qC．q D．⌝p2．(2012安徽高考)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )．A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤13．如果命题“⌝(p∨q)”是假命题，则下列命题中正确的是( )．A．p，q均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题D．p，q中至多有一个为真命题4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则⌝p为( )．A．∃x∈R，sin x≥1B．∀x∈R，sin x≥1C．∃x∈R，sin x＞1 D．∀x∈R，sin x＞15．已知p：3－x≤0或3－x＞4；q：5x＋2＜1，则p∧q：__________.一、判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1－1】已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(⌝q)”是假命题；③命题“(⌝p)∨q”是真命题；④命题“(⌝p)∨(⌝q)”是假命题．其中正确的是( )．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【例1－2】写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“⌝p”形式的命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．方法提炼1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假3．与日常生活中的“或、且、非”的对照：逻辑联结词“或”与日常生活用语中的“或”的意义不相同，日常生活中的“或”往往表示“不可兼得”之意，而常用逻辑联结词的“或”允许“兼有”，但不是“一定兼有”；逻辑联结词“且”，与日常生活语言中的“和、与”意义相同，具有“兼有性”；逻辑联结词“非”就是日常生活语言中的“否定”，具有“否定性”．请做演练巩固提升3二、全(特)称命题的否定及真假判断【例2】下列命题中的假命题是( )．A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2方法提炼1．要判断一个全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对限定集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(即通常所说的举出一个反例)．2．要判定一个特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在限定的集合M中至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则这一特称命题就是假命题．3．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．要注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．4．要判断“⌝p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与⌝p的真假相反．5．常见词语的否定形式有：原语句是都是＞至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假请做演练巩固提升2三、与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．方法提炼含有逻辑联结词的命题，要先确定构成命题的一个或两个命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．对于不等式恒成立问题与方程的根有关的问题，要多结合函数的图象，常用的方法有分离参数法、判别式法等．请做演练巩固提升4对联结词否定不当致误【典例】 “若x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是( )．A ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0B ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0C ．若x ，y ∈R 且x ，y 全为0，则x 2＋y 2＝0D ．若x ，y ∈R 且x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0错解：原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0”，故选A.正解：原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”．答案：B答题指导：1．对于含有“或”“且”的否定形式要注意在否定语句的同时，也要否定关键词．2．(1)要注意区分命题的否定与否命题，关键是要看清题意，不能想当然．(2)对平时常见的“不都是”、“都是”、“不全是”、“都不是”等字眼要做一下积累和区分，方可保证考试中不犯错误．1．(2013届广东深圳南头中学月考)命题“∃x 0∈ðR Q ，x 30∈Q ”的否定是( )．A ．∃x 0∉ðR Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈ðR Q ，x 30∉QC ．∀x ∉ðR Q ，x 3∈QD ．∀x ∈ðR Q ，x 3∉Q2．下列命题中，真命题是( )．A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＞sin x 3．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.下列结论中正确的是( )．A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧(⌝q )”是真命题C ．命题“(⌝p )∧q ”是真命题D ．命题“(⌝p )∨(⌝q )”是假命题4．已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是__________．5．已知命题p ：曲线x 2a －2－y 26－a＝1为双曲线；命题q ：函数f (x )＝(4－a )x在R 上是增函数；若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．“或”“且”“非”2．真真假真假真假假3．假真4．(1)全称量词 “∀” 全称命题 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ，⌝p (x 0) (2)存在量词 “∃” 特称命题 ∃x 0∈M ，p (x 0) ∀x ∈M ，⌝p (x )基础自测1．B 解析：命题p 为假，命题q 为真，故p ∧q 为假．2．C 解析：该命题为特称命题，其否定为“对任意实数x ，都有x ≤1”．3．B 解析：“⌝(p ∨q )”是假命题，则命题“p ∨q ”为真，所以p ，q 中至少有一个为真命题．4．C 解析：全称命题的否定为特称命题，sin x ≤1的否定为sin x ＞1，故选C.5．x ＜－2或x ＞3 解析：由p 知x ＜－1或x ≥3，由q 知x ＜－2或x ＞3，∴p ∧q 为x ＜－2或x ＞3.考点探究突破【例1－1】 D 解析：命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}也是真命题，∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(⌝q )”是假命题；③命题“(⌝p )∨q ”是真命题；④命题“(⌝p )∨(⌝q )”是假命题，故应选D.【例1－2】解：(1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题．⌝p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p ∧q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．⌝p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．⌝p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号不相同．真命题．【例2】 B 解析：对于∀x ∈R ，x －1∈R ，此时2x －1＞0成立，∴A 是真命题；又∵(x －1)2＞0⇔x ∈R 且x ≠1，而1∈N *，∴B 是假命题；又∵lg x ＜1⇔0＜x ＜10，∴C 是真命题；又∵y ＝tan x 的值域为R ，∴D 是真命题，故选B.【例3】解：由“p ∧q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，a ≤x 2恒成立，∵x ∈[1,2]，∴a ≤1. 若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2，综上所求实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.演练巩固提升1．D2．B 解析：对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2， ∴此命题是假命题；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ＞3时，(x －1)2－2＞0，∴此命题是真命题；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题是假命题；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x ＜0，sin x ＞0，命题显然是假命题，故选B. 3．C 解析：由sin x ＝52＞1，可得命题p 为假；由x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，可得命题q 为真，则命题“p ∧q ”是假命题；命题“p ∧(⌝q )”是假命题；命题“(⌝p )∧q ”是真命题；命题“(⌝p )∨(⌝q )”是真命题．4．[－1,2] 解析：令f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．5．解：p 为真时，(a －2)(6－a )＞0，解得2＜a ＜6.q 为真时，4－a ＞1，解得a ＜3.由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，可知命题p ，q 中一真一假．当p 真，q 假时，得3≤a ＜6.当p 假，q 真时，得a ≤2.因此实数a 的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．。

高考数学一轮必备 1.3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》考情分析学案

1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情分析1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题．2．考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.注意事项1.逻辑联结词与集合的关系。

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题2．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，它的否定¬p：∀x ∈M ，¬p (x )． 3．复合命题的否定(1)綈(p ∧q )⇔(¬p )∨(¬q )； (2)綈(p ∨q )⇔(¬p )∧(¬q )．典型例题题型一含有逻辑联结词命题真假的判断【例1】已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是( )． A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析可判断p 1为真，p 2为假；则q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真．答案 C【变式1】已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“¬p∨¬q”是假命题； ③命题“¬p∨q ”是真命题； ④命题“p ∨¬q”是假命题．其中正确的是( )． A ．②③ B ．②④ C ．③④D ．①②③解析命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确．答案 C题型二全称命题与特称命题【例2】►写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0. 解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题．(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题． (4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．【变式2】写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 不是3x －5＝0的根； (2)q ：有些合数是偶数； (3)r ：∃x 0∈R ，|x 0－1|＞0.解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 0是3x －5＝0的根，真命题． (2)¬q：每一个合数都不是偶数，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，|x －1|≤0，假命题．题型三根据命题的真假，求参数的取值范围【例3】已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．解由p 得：⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4＞0，－m ＜0，则m ＞2.由q 得：Δ2＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，则1＜m ＜3.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假．①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2.∴m 的取值范围为m ≥3或1＜m ≤2.【变式3】已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．解 ∵函数y ＝a x在R 上单调递增，∴p ：a ＞1. 不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴a ＞0且a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4. ∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真， ∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≥4，得a ≥4.②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，0＜a ＜4，得0＜a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．难点突破【例1】(2013辽宁模拟)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．[解答示范] ∵函数y ＝c x在R 上单调递减， ∴0＜c ＜1.(2分)即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴¬p：c ＞1.(3分)又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12.∵c ＞0且c ≠1，∴¬q：c ＞12且c ≠1.(6分)又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．(7分)①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1；(9分) ②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0＜c ≤12＝∅.(11分) 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1.(12分)【例2】设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．[尝试解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1.∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3.∴m 的取值范围是{m |m ≤－2，或－1≤m ＜3}．巩固提高1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )．A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案 C2．若p是真命题，q是假命题，则( )．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题解析本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有¬q是真命题．答案 D3．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数y ＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)则( )．A．“p或q”为假 B．“p且q”为真C．p真q假 D．p假q真答案 D4．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是( )．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假答案 C5．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3。

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