备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学(理)： 第6单元 平面向量 B卷 Word版含答案
2020年高考数学(理)总复习：平面向量(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：平面向量题型一 平面向量的概念及线性运算 【题型要点】对于利用向量的线性运算、共线向量定理和平面向量基本定理解决“用已知向量(基向量)来表示一些未知向量”的问题．解决的关键是：①结合图形，合理运用平行四边形法则或三角形法则进行运算；②善于用待定系数法【例1】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系：设A (0,1)，B (0,0)，C (2,0)，D (2,1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z ＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3，所以z 的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【答案】 A【例2】．点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，则S 1S 2＝( )A.18B.16C.14D.12【解析】 延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，延长CO 交AB 于E .∵O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，∴OD →＋OA →＋OB →＝0，∴O 为△DAB 重心，E 为AB 中点，∴OD ∶OE ＝2∶1，∴OC ∶OE＝1∶2，∴CE ∶OE ＝3∶2，∴S △AEC ＝S △BEC ，S △BOE ＝2S △BOC .∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，∴S 1S 2＝16.故选B.【答案】 B ．题组训练一 平面向量的概念及线性运算1．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( ) A ．－13AB →＋23AD →B ．－23AB →＋43AD →C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →【解析】 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.【答案】 D2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足：OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O22121，则P 一定为△ABC 的( )A ．重心B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．AB 边中线的中点D ．AB 边的中点【解析】 如图所示：设AB 的中点是E ，∵O 是三角形ABC 的重心，OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O 22121＝13()OE →＋2OC →，∵2EO →＝OC →， ∴OP →＝13()4EO →＋OE →＝EO →，∴P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【答案】 B3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34【解析】 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.【答案】 B题型二 平面向量的平行与垂直 【题型要点】(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)： ①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)利用向量平行或垂直的充要条件可建立方程或函数是求参数的取值．【例3】已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( )A．9 B．3C.109 D．310【解析】向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9.则|b|＝(－3)2＋92＝310.故选D.【答案】 B【例4】．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b与a＋λb平行，则λ＝________.【解析】∵a＝(3,2)，b＝(2，－1)，∴λa＋b＝(3λ＋2，2λ－1)，a＋λb＝(3＋2λ，2－λ)，∵λa＋b∥a＋λb，∴(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)，解得λ＝±1【答案】±1题组训练二平面向量的平行与垂直1．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.【解析】由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，解得m＝－2.【答案】－22．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.55 B.15C．－55D．－15【解析】∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，∴a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，∴(3－k)·3＝3×1，∴k＝2，∴a·c＝3×2＋1×(－2)＝4，∴|a|＝10，|c|＝22，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·c |a |·|c |＝410·22＝55，故选A. 【答案】 A题型三 平面向量的数量积 【题型要点】(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．【例5】在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝3，|AB →|＝5，AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，cos A ＝35，则|EF →|＝( )A.14 B ．2 5 C ．4 2D ．211【解析】如图，取AE 的中点G ，连接BG ∵AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，∴AG →＝12AE →＝13AD →＝13BC →＝BF →，∴EF →＝GB →，∴|GB →|2＝|AB →－AG |2＝AB →2－2AB →·AG →＋AG →2＝52－2×5×1×35＋1＝20，∴|EF →|＝|GB →|＝25，故选B. 【答案】 B【例6】．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3【解析】 因为点M 是线段AB 的中点，所以OM →＝12()OA →＋OB →，|OA ＝|OB |＝|AB |＝2，所以△ABC 是等边三角形，即〈OA →，OB →〉＝60°，OA →·OB →＝2×2×cos60°＝2，OC →·OM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-B O A O B O A O21213235＝56OA →2－13OB 2＋12OA →·OB → ＝56×22－13×22＋12×2＝3，故选A. 【答案】 A题组训练三 平面向量的数量积1．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ) 所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y －32≥－32 当P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0时，所求的最小值为－32，故选B.【答案】 B2．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB 的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数mn的值为( )A.16B.14 C ．6D ．4【解析】 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3， ∵OC →＝mOA →＋nOB →，OC →⊥AB →，∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0，∴m n ＝16，故选A.【答案】 A题型四 数与形相辅相成求解向量问题【例7】 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1] 【解析】 法一：设出点D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义为点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.法二：根据向量OA →＋OB →的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解． 如图，设M (－1，3)，则OA →＋OB →＝OM →，取N (1，－3)，∴OM →＝－ON →.由|CD →|＝1，可知点D 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上， ∴OA →＋OB →＋OD →＝OD →－ON →＝ND →，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝|ND →|，∴|ND →|max ＝|NC →|＋1＝7＋1，|ND →|min ＝7－1. 【答案】 D题组训练四 数与形相辅相成求解向量问题已知|b |＝1，非零向量a 满足〈a ，b －a 〉＝120°，则|a |的取值范围是________． 【解析】如图，设CA →＝b ，CB →＝a ，则b －a ＝BA →，在△ABC 中，AC ＝1，∠ABC ＝60°. 根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．作△ABC 的外接圆，当BC 为圆的直径时，|a |最大，此时|a |＝BC ＝1sin 60°＝233； 当B ，C 无限接近时，|a |＝BC →0.故|a |的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【答案】 ⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【专题训练】 一、选择题1．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A ．9 B ．3 C.109D ．310【解析】 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)， 由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9.则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D. 【答案】 D2．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ∵向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)，又a ＋b 与a 共线． ∴(k ＋2)－3k ＝0，解得k ＝1，∴a ·b ＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故选D. 【答案】 D3．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为( )A ．－1313B.1313C ．－113D.113【解析】∵a ⊥(a ＋b )，∴a ·(a ＋b )＝1＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，∴|a ＋2b |2＝1＋4a ·b ＋16＝13，则|a ＋2b |＝13，又a ·(a ＋2b )＝a ·(a ＋b )＋a ·b ＝－1，故向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为－113＝－1313.选A.【答案】 A4．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)【解析】 由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.【答案】 B5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则mn＝( ) A ．－3 B ．－13C.13D ．3【解析】 过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →，所以m n ＝1－13＝－3.【答案】 A6．如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83 C.65D.85【解析】 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，BN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21，AC →＝(1,1)．∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1＋μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21＝⎪⎭⎫⎝⎛+-μλμλ2,2，∴⎩⎨⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB →，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，因此AC →＝λAM →＋μBN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2μλAB →＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+μλ2AD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85【答案】 D7．如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12D.18【解析】由题意易知E 1(2,1),E 2(2，－1)，∴e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，∴(2a ＋2b )24－(a －b )2＝1，整理可得4ab ＝1，∴ab＝14. 【答案】 A8．在平面直角坐标系中，向量n ＝(2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量m ，若向量a 满足|a －m －n |＝1，则|a |的最大值是( )A ．23－1B ．23＋1C ．3D.6＋2＋1【解析】 由题意得m ＝(1，3)．设a ＝(x ，y )，则a －m －n ＝(x －3，y －3)，∴|a －m －n |2＝(x －3)2＋(y －3)2＝1，而(x ，y )表示圆心为(3，3)的圆上的点，求|a |的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为23＋1.【答案】 B9．已知锐角△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6，则BA →·BC →的取值范围为__________．【解析】 如图，设|BA →|＝c ，|BC →|＝a ，△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝2，∴a ＝2sin A ，c ＝2sin C ，C ＝5π6－A ，由⎩⎨⎧0<A <π20<5π6－A <π2，得π3<A <π2，∴BA →·BC →＝ca cos π6＝4×32sin A sin C ＝23sin A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 65π ＝23sin A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A sin 23cos 21＝3sin A cos A ＋3sin 2A ＝32sin2A ＋3(1－cos2A )2＝32sin2A ＋32cos2A ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32. ∵π3<A <π2，∴π3<2A －π3<2π3，∴32<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ≤1，∴3<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32≤3＋32.∴BA →·BC →的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+233,3. 【答案】 ⎥⎦⎤ ⎝⎛+233,310．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【解析】 因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．【答案】 C11．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21，n ＝⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3【解析】 因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21⊗(x 0，cos x 0)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+00cos 4,621x x π⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00cos 462xy x x π⇒y ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ， 即f (x )＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx ，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ时， 由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤1⇒2≤4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ的最大值是4，故选A. 【答案】 A 二、填空题12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3 DE →，BC →＝3 BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由题设可得AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13AD →＝AB→＋13AD →，又AC →＝mAE →＋nAF →，故AC →＝mAD →＋13mAB →＋nAB →＋13nAD →＝(13m ＋n )AB →＋(m ＋13n )AD →，而AC →＝12(AB →＋AD →)，故⎩⎨⎧13m ＋n ＝12m ＋13n ＝12⇒m ＋n ＝32.故应填答案32.【答案】 3213．若函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+48ππx (－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB →＋OC →)·OA →＝________.【解析】 ∵－2＜x ＜14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6,0)，而A (6,0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA |2＝2×36＝72. 【答案】 7214．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点， 则|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝________.【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 设|CA →|＝a ，|CB →|＝b ，则A (a,0)，B (0，b ) ∵点D 是斜边AB 的中点，∴D ⎪⎭⎫⎝⎛2,2b a ， ∵点P 为线段CD 的中点，∴P ⎪⎭⎫⎝⎛4,4b a ∴|PC →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝a 216＋b 216|PB →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b ＝a 216＋9b 216|P A →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝9a 216＋b 216∴|P A →|2＋|PB →|2＝9a 216＋b 216＋a 216＋9b 216＝10⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+161622b a ＝10|PC →|2，∴|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝10.【答案】 1015.在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△PBC 面积的最小值为________．【解析】 由题意建立如图所示的坐标系，可得A (0,0)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1t ，C (0，t )，∵AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P (4,1)；又|BC |＝221⎪⎭⎫⎝⎛+t t ，BC 的方程为tx ＋y t ＝1，∴点P 到直线BC 的距离为d ＝221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t ，∴△PBC 的面积为S ＝12·|BC |·d＝12·221⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ·221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t＝12|4t ＋1t －1|≥12·|24t ·1t －1|＝32， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，∴△PBC 面积的最小值为32.【答案】 32。
高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算练习-人教版高三全册数学试
第1节 平面向量的概念及线性运算[A 级 基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的是()A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由题知结果为零向量的是①④. 答案：AD2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．观察选项，C 项中a ，b 共线且方向相反． 答案：C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是() A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：B4．在△ABC 中，G 为重心，记AB →＝a ，AC →＝b ，则CG →＝() A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 解析：因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .答案：A5．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是() A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上． 答案：B7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.答案：B8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案：D9.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC 中，CM →＝3 MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则xy＝________．解析：由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案：311．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1212．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案：12[B 级 能力提升]13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14 C ．1 D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.答案：A14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值X 围是()A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0) 解析：设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1. 答案：B15．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点， 所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1. 答案：2∶1[C 级 素养升华]16．(多选题)(2020·某某四校联考)如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在边AD 上，且AD ＝3AE ，则()A.CE →＝29AB →＋89AC →B.CE →＝29AB →－89AC →C.CE →＝13AD →＋AC →D.CE →＝13AD →－AC →解析：因为CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，所以CE →＝13AD →－AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →， 所以AE →＝13(AB →＋13BA →＋13AC →)，所以CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →－89AC →. 答案：BD素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)共线定理：已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.推广形式：如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)．当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →.又PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →， 则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立．[典例1] 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值X 围是________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4][典例2] 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是________．解析：由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为C 、O 、D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)．所以OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，所以m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)。
2020年高考模拟试卷汇编——理科数学(解析版)6：平面向量
2021高|考真题分类汇编：平面向量1.【2021高|考真题重庆理6】设,x y ∈R ,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且//,⊥ ,+(C ) (D )10 【答案】B【解析】因为c b c a //,⊥ ,所以有042=-x 且042=+y ,解得2=x ,2-=y ,即)2,1(),1,2(-==b a ,所以)1,3(-=+b a 10=+ ,选B.2.【2021高|考真题浙江理5】设a ,b 是两个非零向量 .|a +b | =|a | -|b | ,那么a ⊥b a ⊥b ,那么|a +b | =|a | -|b ||a +b | =|a | -|b | ,那么存在实数λ ,使得b =λa λ ,使得b =λa ,那么|a +b | =|a | -|b | 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的 ,∵|a ＋b |＝|a |－|b | ,那么a ,b 共线 ,即存在实数λ ,使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时 ,a ,b 可为异向的共线向量；选项B ：假设a ⊥b ,由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：假设存在实数λ ,使得a ＝λb ,a ,b 可为同向的共线向量 ,此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．3.【2021高|考真题四川理7】设a 、b 都是非零向量 ,以下四个条件中 ,使||||a ba b =成立的充分条件是 ( )A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b = 【答案】C=||||a ba b ==为必要不充分条件；C ．为充分不必要条件；D 同B.4.【2021高|考真题辽宁理3】两个非零向量a ,b 满足|a +b | =|a -b | ,那么下面结论正确的选项是(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B【解析】一、由|a +b | =|a -b | ,平方可得a ⋅b =0,所以a ⊥b ,应选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长 ,因为|a +b | =|a -b | ,所以该平行四边形为矩形 ,所以a ⊥b ,应选B 【点评】此题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系 ,属于容易题 .解析一是利用向量的运算来解 ,解析二是利用了向量运算的几何意义来解 .5.【2021高|考真题江西理7】在直角三角形ABC 中 ,点D 是斜边AB 的中点 ,点P 为线段CD 的中点 ,那么222PA PB PC+ =A ．2B ．4C ．5D ．10 【答案】D【解析】将直角三角形放入直角坐标系中 ,如图 ,设,),,0(),0,(>b a b B a A ,那么)2,2(b a D ,)4,4(b a P ,所以1616)4()4(22222b a b a PC +=+= ,16916)4()4(22222b a b b a PB +=-+= ,16169)4()4(22222b a b a a PA +=+-= ,所以22222222210)1616(101616916916PC b a b a b a PB PA =+=+++=+,所以10222=+PCPB PA ,选D. 6.【2021高|考真题湖南理7】在△ABC 中 ,AB =2 ,AC =3 ,AB BC = 1那么___BC =. 372223【答案】A【解析】由以下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅ ,解得BC .,AB BC 的夹角为B ∠的外角.7.【2021高|考真题广东理3】假设向量BA = (2,3 ) ,CA = (4,7 ) ,那么BC = A ． ( -2, -4 ) B ． (3,4) C ． (6,10) D ． ( -6, -10)【答案】A【解析】)4,2()7,4()3,2(--=-=-=CA BA BC ．应选A ．8.【2021高|考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β ,定义βββαβα••=．假设平面向量a ,b 满足|a|≥|b |＞0 ,a 与b 的夹角)4,0(πθ∈ ,且b a 和a b 都在集合}|2{Z n n∈中 ,那么b a=A ．12 B.1 C. 32 D. 52【答案】C【解析】因为22cos ||>≥=•=θθb a b b b a b a ,1cos <≤==θθa b, 且b a 和a b 都在集合}|2{Z n n ∈中 ,所以21||==θa b a b ,θcos 21||=a b ,所以2cos 22<==θθb a ,因为)4,0(πθ∈ ,所以21<<b a ,故有23=b a ．应选C ．9.【2021高|考真题安徽理8】在平面直角坐标系中 ,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后 ,得向量OQ ,那么点Q 的坐标是 ( ) AC()A (72,2)-- ()B (72,2)- ()C (46,2)-- ()D (46,2)-【答案】A【命题立意】此题考查平面向量与三角函数交汇的运算问题 . 【解析】【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== , 那么33(10cos(),10sin())(72,2)44OQ ππθθ=++=--． 【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =- ,那么()(72,2)2OQ OP OM =-+=--． 10.【2021高|考真题天津理7】ABC ∆为等边三角形 ,AB =2 ,设点P ,Q 满足AB AP λ= ,AC AQ )1(λ-= ,R ∈λ ,假设23-=•CP BQ ,那么λ =(A )21 (B )221± (C )2101± (D )2223±-【答案】A【解析】如图,设==, ,2,2=•==c b ,又)1(λ-+-=+= ,b c AP CA CP λ+-=+= ,由23-=•得23)1()1()(])1([2-=•+-+--=+-•-+-b c λλλλλ ,即23)1(24)1(42-=+-+--λλλλ ,整理01442=+-λλ ,即0)12(2=-λ ,解得21=λ选A.11.【2021高|考真题全国卷理6】△ABC 中 ,AB 边的高为CD ,假设a ·b =0 ,|a|=1 ,|b| =2 ,那么(A) (B ) (C) (D)【答案】D【解析】在直角三角形中 ,521===AB CA CB ，，,那么52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==,选D. 12.【2021高|考真题新课标理13】向量,a b 夹角为45︒ ,且1,210a a b =-=；那么_____b =【答案】32【解析】因为102=-b a ,所以10)2(2=-b a ,即104422=+•-b b a a ,所以1045cos 4402=-+b b ,整理得06222=--b b ,解得23=b 或2-=b (舍去 ).13.【2021高|考真题浙江理15】在△ABC 中 ,M 是BC 的中点 ,AM =3 ,BC =10 ,那么AB AC ⋅ =________. 【答案】 -16【解析】法一此题最|适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形 ,如图 ,AM ＝3 ,BC ＝10 ,AB ＝AC 34 cos ∠BAC ＝3434100823417+-=-⨯．AB AC ⋅＝cos 16AB AC BAC ⋅∠=-法二：163104141)21()21(2222-=+⨯-=+-=+•+-=•AM AM .14.【2021高|考真题上海理12】在平行四边形ABCD 中 ,3π=∠A ,边AB 、AD 的长分别为2、1 ,假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点 ,且满足||||CD BC =,那么AN AM ⋅的取值范围是 . 【答案】[2,5].【解析】设CDCN BCBM==λ (0≤λ≤1 ) ,那么BC BM λ= =AD λ,DC DN )1(λ-= =AB )1(λ- ,那么AN AM ⋅ =))((DN AD BM AB ++ =])1()[(AB AD AD AB λλ-++ =AD AB ⋅ +2)1(AB λ- +2AD λ +AB AD ⋅-)1(λ, 又∵AD AB ⋅ =2×1×3cosπ=1 ,2AB =4 ,2AD =1 ,∴AN AM ⋅ =6)1(5222++-=+--λλλ ,∵0≤λ≤1 ,∴2≤AN AM ⋅≤5 ,即AN AM ⋅的取值范围是[2,5].15.【2021高|考真题山东理16】如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点P 的位置在(0,0) ,圆在x 轴上沿正向滚动 .当圆滚动到圆心位于(2,1)时 ,OP 的坐标为______________.【答案】)2cos 1,2sin 2(--【解析】因为圆心移动的距离为2 ,所以劣弧2=PA ,即圆心角2=∠PCA ,,那么22π-=∠PCA ,所以2cos )22sin(-=-=πPB ,2sin )22cos(=-=πCB ,所以2sin 22-=-=CB x p ,2cos 11-=+=PB y p ,所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .16.【2021高|考真题北京理13】正方形ABCD 的边长为1 ,点E 是AB 边上的动点 ,那么CB DE ⋅的值为________ ,DC DE ⋅的最|大值为______ . 【答案】 1 ,1【解析】根据平面向量的数量积公式=⋅=⋅DA DE CB DE θcos ||||DA DE ⋅ ,由图可知 ,||cos ||DA DE =⋅θ ,因此1||2==⋅DA CB DE ,=⋅=⋅αcos ||||DC DE DC DE αcos ||⋅DE ,而αcos ||⋅DE 就是向量DE 在边上的射影 ,要想让DC DE ⋅最|大 ,即让射影最|大 ,此时E 点与B 点重合 ,射影为DC ,所以长度为1．17.【2021高|考真题安徽理14】假设平面向量,a b 满足：23a b -≤ ,那么a b 的最|小值是_____ .【答案】98-【命题立意】此题考查平面向量的模与数量积的运算 .【解析】22222349494449448a b a b a ba b a b a b a b a b a b -≤⇔+≤++≥≥-⇒+≥-⇔≥-18.【2021高|考江苏9】 (5分 )如图 ,在矩形ABCD 中 ,22AB BC ==，点E 为BC 的中点 ,点F 在边CD 上 ,假设2AB AF = ,那么AE BF 的值是 ▲ ．2【考点】向量的计算 ,矩形的性质 ,三角形外角性质 ,和的余弦公式 ,锐角三角函数定义 . 【解析】由2AB AF = ,得cos 2ABAF FAB ∠=由矩形的性质 ,得cos =AF FAB DF ∠ .∵2AB 22DF = ,∴1DF = .∴21CF .记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=， ,那么θαβ=+ . 又∵2BC =，点E 为BC 的中点 ,∴1BE = . ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯- 此题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系 ,求出各点坐标后求解 .。
上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：平面向量
上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练平面向量一、选择、填空题1、（奉贤区2018高三上期末）已知向量()1,3a =，()3,b m =．若向量b 在a 方向上的投影为3，则实数m =________.2、（金山区2018高三二模）若向量a =(2, 0)，b =(1, 1)，则下列结论中正确的是( )．(A) a b ⋅=1 (B) |a |=||b (C) (a b -)⊥b (D) a ∥b3、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）已知D 为三角形ABC 的边AB 上的一点，且13CD AC BC λ=+，则实数λ的值为（ ） A. B.C. D.4、（静安区2018高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则34λμ+的最大值等于5、（2019届崇明区高三二模）已知点C 是平面ABD 上一点，3BAD π∠=，1CB =，3CD =，若AP AB AD =+，则||AP 的最大值为6、（2019届黄浦区高三二模）已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，设1AB e =，向量2e 的起点和终点分别是A 、B 、C 、D 中的两个点，若对平面中任意的非零向量a ，都可以唯一表示为1e 、2e 的线性组合，那么2e 的个数为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 127、（2019届闵行松江区高三二模）如图，A 是圆22:9O x y +=上的任意一点，B 、C 是圆O 直径的两个端点，点D 在直径BC 上，3BD DC =，点P 在线段AC 上，若1()2AP PB PD λλ=+-，则点P 的轨迹方程为8、（2019届浦东新区高三二模）已知正方形ABCD 边长为8，BE EC =，3DF FA =，若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使PE PF λ⋅=，则λ的取值范围为9、（2019届青浦区高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，a 在x 轴、y 轴正方向上的投影分别是3-、4，则a 的单位向量是10、（2019届杨浦区高三二模）若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的最小值为11、（2019届宝山区高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1P ，若(),Q x y 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OP OQ 的取值范围是_____________ 12、（2019届嘉定长宁区高三二模）在ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足12CP CA mCB =+，若△ABC 的面积为23，3ACB π∠=，则CP 的最小值为13、（松江、闵行区2018高三二模）已知向量a 、b 的夹角为60，1a =，2b =，若(2)()a b x a b +⊥-，则实数x 的值为 .14、（2019届徐汇区高三二模）已知点(0,0)O ，(2,0)A ，(1,23)B -，P 是曲线214x y =-上的一个动点，则OP BA ⋅的取值范围是15、（2019届青浦区高三二模）已知O 为△ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为16、（2019届杨浦区高三二模）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且7c o s 8A =，I 为△ABC 内部的一点，且0aIA bIB cIC ++=，若A I x A B y A C =+，则x y +的最大值为（ ）A.54 B. 12C. 56D. 4517、（宝山区2019届高三一模）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,,22x y ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则x y += ．18、（普陀区2019届高三一模）已知点(2,0)A -，设B 、C 是圆22:1O x y +=上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC =+-（其中t 为实数），则AB AC ⋅=19、（青浦区2019届高三一模）已知平面向量a 、b 、c 满足||1a =，||||2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，|(1)|a b c λλ---的取值范围是20、（松江区2019届高三一模）若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为21、（长宁区2019届高三一模）已知向量(3,)a m =，(1,2)b =-，若向量a ∥b ，则实数m = 22、（长宁区2019届高三一模）已知向量a 和b 夹角为3π，且||2a =，||3b =，则(2)(2)a b a b -⋅+=（ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1-23、（闵行区2019届高三一模）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且3παβ-=，若向量c 满足||1c a b --=，则||c 的最大值为参考答案：一、选择、填空题1、32、C3、D4、15、436、B7、22(1)4x y -+=8、(1,8)-9、34(,)55- 10、4511、[]3,5 12、4313、3 14、答案：[2,4]-解析：曲线方程化为：2214x y +=（y ≥0），设P （2cos θ,sin θ）,θ∈[0,π], OP BA ⋅＝（2cos θ,sin θ）(1,23)＝2cos θ＋23sin θ＝4sin()6πθ+，θ＋6π∈[6π,76π],所以，OP BA ⋅＝4sin()6πθ+∈[2,4]-15、2316、D 17、6π或2π- 18、3 19、21,3⎡⎤-⎣⎦ 20、6π21、－6 22、D23、31+二、解答题1、（2019届浦东新区高三二模）已知向量(2sin ,cos 2)m x x ωω=，(3cos ,1)n x ω=，其中0ω>，若函数()f x m n =⋅的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若()2f B =-，3BC =，sin 3sin B A =，求BA BC ⋅的值.2、（松江区2019届高三）已知向量(3sin ,1)a x =，(cos ,1)b x =-. （1）若a ∥b ，求tan2x 的值；（2）若()()f x a b b =+⋅，求函数()f x 的最小正周期及当[0,]2x π∈时的最大值.3、（青浦区2018高三二模）已知向量(cos,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x xn =，设函数()1f x m n =⋅+．（1）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 23,b A c a ≤-求()f B 的取值范围．4、（闵行区2017届高三上学期质量调研）已知()23,1m =，2cos,sin 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A B C 、、是ABC △的内角．（1）当2A π=时，求n 的值；（2）若23C π=，3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.5、已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos sin αα-，cos sin αα+)．（1）求向量a 与b 的夹角；（2）若()b a λ-⊥a ，求实数λ的值．参考答案： 二、解答题1、（1）()2sin(2)6f x x πω=+，1ω=；2、解：（1）由//a b r r得, 3sin cos x x -=， ……………………………………2分 ∴3tan 3x =-……………………………………………4分 ∴22tan tan 31tan xx x==-- ……………………………………………6分 （2）2()()3sin cos cos f x a b b x x x =+⋅=+r r r………………………………………8分3111sin 2cos2sin(2)22262x x x π=++=++ …………………………………10分 ∴函数)(x f 的最小正周期为22T ππ== …………………………………12分当]2,0[π∈x 时，72666x πππ≤+≤∴当262x ππ+=，即6x π=时，max 3()()62f x f π== …………………………………14分3、解：（1）231cos ()3sin cos cos 1sin 122222x x x xf x x +=-+=-+3111s i n c o s s i n ()22262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈又∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+ （2）由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()3sin B A A B A ⇒≤+-2sin cos 2[sin cos cos sin )3sin B A A B A B A ⇒≤+-32sin cos 3sin cos (0,]26A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈ ∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即 4、（1）当2A π=时，1,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭215122n ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭…………4分（2）()223cos sin 31cos sin 2A m n A A A ⋅=+=++ …………6分2sin 33A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …………………………8分m n ⋅取到最大值时 ， 6A π=…………………………10分由正弦定理sin sin AB BCC A =， …………………………12分 32sin sin 36BCππ⇒=解得3BC = …………………………14分 5、（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，22(cos sin )(cos sin )2αααα=-+-=b ，………………………4分 所以cos θ⋅=⋅a b a b (2cos ,2sin )(cos sin ,cos sin )22αααααα⋅-+=222cos 2sin 2222αα+==． …………………………………………………………7分考虑到0πθ剟，得向量a 与b 的夹角4π． ………………………………………9分 （2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ， ………………………12分 因为2⋅=b a ，24=a ，所以240λ-=，解得2λ=． ……………………………………………………14分。
2025年高考数学一轮复习-第六章-第四节-平面向量的应用【课件】
3
3
15
又 = c + b + bc=( c) +( b) + bc≥2× c× b+ bc= bc,
4 16
16
32
4
4
32
4
4 32
32
当且仅当c=3b时,等号成立.
15
所以bc≤8,又sin∠BAC= ,
4
1
1
15
所以S△ABC= bcsin∠BAC≤ ×8× =
2
2
4
15.
考点二平面向量的实际应用
C.恰好与A'重合
D.无法确定
【解析】选A.建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意可得v1=(-5,5 3),v2=(6,0),
所以v1+v2=(1,5 3),
说明游船有x轴正方向的速度,即向东的速度,所以该游船航行到北岸的位置应在
A'东侧.
(2)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知 1 =1 N, 3 =
1
(3)在△ABC中,已知( + )·=0,且 · = ,则△ABC为(
|| ||
|| || 2
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.三边均不相等的三角形
)
【解析】选A. , 分别表示,方向上的单位向量,
|| | |
+ 在∠A的平分线上,
第六章
第四节
平面向量、复数
平面向量的应用
核心考点·分类突破
核心考点·分类突破
考点一平面向量在几何中的应用
[例1](1)(2023·漳州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点,+2+2=0,
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：平面向量(含解析)
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练平面向量一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝，→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ的值为 ▲ ．2、（南京市2019高三9月学情调研）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6，AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+，则CD BE ⋅的值为 ▲ ． 4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知等边三角形ABC 的边长为2，AM 2MB =，点N 、T分别为线段BC 、CA 上的动点，则AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅取值的集合为 ． 5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则CE AB ⋅= ▲ ． 6、（苏州市2018高三上期初调研）已知平面向量(),2,110a a b =⋅=，若52a b +=，则b 的值是 ．7、（盐城市2019届高三上学期期中）已知向量(1m =，1)-，(cos n α=，sin )α，其中[0α∈，]π，若m ∥n ，则α＝ ．8、（苏州市2019届高三上学期期中）已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ▲ ．9、（苏州市2019届高三上学期期中）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r⋅的最小值为 ▲ ．10、（无锡市2019届高三上学期期中）已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝4，|b|＝3，则|2a ＋b|的值为 11、（徐州市2019届高三上学期期中）在平行四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若2CE ED = ,则AE BE ⋅的值为 ▲ ．12、（常州市2019届高三上学期期末）平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3||2OC =，则||OD =________. 13、（海安市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，且AM ＝1，点P 满足PA ＝2PM ，则PA →·(PB →＋PC →)的取值范围是 ．14、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在ABC △中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC △所在平面内一点，满足322CP PB PA =+，则CP AB ⋅的值为 ．15、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅的最小值是 ．16、（泰州市2019届高三上学期期末）已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=，0PA PB PC λμ++=，则λμ＝17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ⋅＝83，则AQ CP ⋅的最小值为18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为19、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知⊙O 的半径为2，点A.B.C 为该圆上的三点，且AB=2，0>⋅→→BC BA ，则)(→→→+⋅BA BO OC 的取值范围是_____.20、（江苏省2019年百校大联考）在平面凸四边形ABCD 中，22AB =，3CD =，点E 满足2DE EC =uuu r uu u r ，且2AE BE ==．若85AE EC =uu u r uu u r g ，则AD BC uuu r uu u r g 的值为 ．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知AD 时直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足()42PB PC AD +⋅=.若2AD =，则P BP C ⋅的值为 .22、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面四边形OABC 中，已知||3OA =，OA ⊥OC ，AB ⊥BC ，∠ACB ＝60°，若OB AC ＝6，则||OC =＿＿二、解答题1、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.2、（（南京市13校2019届高三12月联合调研）在如图所示平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值; （Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值.3、（苏州市2018高三上期初调研）在平面直角坐标系中，设向量()()3,,cos ,3m cosA sinA n B sinB ==-，其中,A B 为ABC ∆的两个内角.（1）若m n ⊥，求证：C 为直角； （2）若//m n ，求证：B 为锐角.4、（泰州市2019届高三上学期期末）已知向量(sin ,1)a x =，1(,cos )2b x =，其中(0,)x π∈。
2020年高考数 平面向量单元测试卷 精品
高考数学复习平面向量单元测试卷(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2008·海南)平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0 答案：D解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nmb ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0.故选D. 2．(2020·北京市海淀区)若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135° 答案：D解析：依题意得b ＝(a ＋b )－a ＝(1，－3)，设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝1－65×10＝－22，又0°≤θ≤180°，因此θ＝135°，选D.3．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 答案：C解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1， |b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)．故选C.4．如右图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋13e 1答案：C解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →] ＝12[2(－12e 1＋e 2)＋13e 1]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1.故选C.5．在△ABC 中，A ＝105°，C ＝45°，AB ＝2，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2 答案：A解析：由题意可知B ＝180°－105°－45°＝30°，在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，∴2sin45°＝AC sin30°，解得AC ＝1.故选A. 6．(2020·北京市东城区)若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则下列不等关系一定成立的是( )A ．|2a |>|2a ＋b |B ．|2a |<|2a ＋b |C ．|2b |>|a ＋2b |D ．|2b |<|a ＋2b | 答案：C解析：∵|a +b |=|b |，∴以a 、b 及a +b 为三边所作的三角形是等腰三角形；显然，以a +2b 、2b 、a 为边的三角形是一个直角三角形，且a 、a +2b 分别是直角三角形的两直角边，即|2b |>|a +2b |，故选C.7．(2020·北京市海淀区)函数y ＝log 2x 的图象按向量a 平移后可以得到函数y ＝log 2(x －2)＋3的图象，则( )A ．a ＝(2,3)B ．a ＝(－2,3)C ．a ＝(2，－3)D ．a ＝(－2，－3) 答案：A解析：依题意a ＝(2,3)故选A.8．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (m )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (p )＝(12，x ，y )，则1x ＋4y的最小值是( )A ．18B ．16C ．9D ．8 答案：A解析：由AB →·AC →＝23，得|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB ||AC |sin30°＝1，x ＋y ＝12，∴1x ＋4y＝2(x ＋y )(1x ＋4y )＝2(5＋y x ＋4xy )≥18(y ＝2x 时取“＝”)．9．(2020·宜昌市调研)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，则向量b 在向量a 方向上的投影是( )A ．－12B ．－1C.12D ．1 答案：B解析：依题意得(2a ＋b )2＝4,4a 2＋b 2＋4a ·b ＝4,4＋4＋4a ·b ＝4，a ·b ＝－1，向量b 在向量a 方向上的投影等于a ·b|a |＝－1，选B.10．(2020·四川绵阳市诊测)△ABC 中，角A 满足sin 4A －cos 4A ≤cos A －sin A ，则( )A ．0<A ≤π6B ．0<A ≤π4C.π4≤A ≤3π4D.π4≤A <π3 答案：B解析：∵sin 4A －cos 4A ＝(sin 2A ＋cos 2A )(sin 2A －cos 2A )＝sin 2A －cos 2A ＝(sin A －cos A )(sin A ＋cos A )，∴原不等式等价于(sin A －cos A )(1＋sin A ＋cos A )≤0，在三角形中有1＋sin A ＋cos A >0，所以sin A ≤cos A ，故选B.11．(2020·西安地区八校联考)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.58B.85C.53D.35 答案：D解析：依题意得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即72＝52＋AC 2－2×5·AC cos120°，AC 2＋5AC －24＝0，由此解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)．在△ABC 中，由正弦定理得sin B sin C ＝ACAB＝35，选D 12．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 答案：B解析：|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |·cos120° 代入数据即可解得|b |＝4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，若∠C ＝60°，则a b ＋c ＋bc ＋a＝________.答案：1解析：∵C ＝60°，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－ab .∴a b ＋c ＋bc ＋a ＝a (a ＋c )＋b (b ＋c )(a ＋c )(b ＋c ) ＝a 2＋b 2＋c (a ＋b )ab ＋c (a ＋b )＋c 2＝1. 14．(2008·常州模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 所对角分别为A ，B ，C 且sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则∠A ＝________.答案：π2解析：∵sin A a ＝cos B b ，sin A a ＝sin Bb，∴cos B ＝sin B ，∴tan B ＝sin Bcos B＝1，∴B ＝π4.同理C ＝π4，∴A ＝π－π4－π4＝π2.15．(2020·北京市西城区)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2)，将OA →绕着点O 按逆时针方向旋转90°得到向量OB →，则2OA →＋OB →的坐标为________．答案：(0,5)解析：设点B (m ，n )(其中m <0，n >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝12＋22n m ·21＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝5m ＋2n ＝0，且m <0，n >0，由此解得m ＝－2，n ＝1,2OA →＋OB →＝2(1,2)＋(－2,1)＝(0,5)．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是__________．答案：π3解析：本题考查正余弦定理∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8 a sin A ＝b sin B ＝csin C∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8 设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(5k )2＋(8k )2－(7k )22×5k ×8k＝25k 2＋64k 2－49k 22×40k 2＝12在△ABC 中，∴∠B ＝π3三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)， (1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值． (2)求c 在a 在方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b(1)证明：∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，－1×3≠1×4， ∴a 与b 不共线，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－4＋32·5＝－210.(2)解：cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－5－22·29＝－75858，∴c 在a 方向上的投影为|c |cos 〈a ，c 〉＝－722.(3)解：∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝－λ1＋4λ2－2＝λ1＋3λ2，解得λ1＝－237，λ2＝37.18．(本小题满分12分)(2008·合肥模拟)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，|b |＝1，且a 与b 满足|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)试用k 表示a ·b ，并求a ·b 的最小值；(2)若0≤x ≤π，b ＝(12，32)，求a ·b 的最大值及相应的x 值．解：(1)∵|a |＝1，|b |＝1， 由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，整理得a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )≥12，当且仅当k ＝1时，a ·b 取最小值12.(2)由a ·b ＝12cos x ＋32sin x ＝sin(x ＋π6)．∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π6)≤1.当x ＝π3时，a ·b 取最大值为1.19．(本小题满分12分)如右图所示，已知AD 为△ABC 的内角A 的平分线，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝120°.(1)试用正弦定理证明AB AC ＝BDDC；(2)求AD 的长．(1)证明：设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠ADB ＝β， 则∠ADC ＝π－β.在△ABD 中，根据正弦定理AB sin β＝BDsin α①在△ACD 中，根据正弦定理AC sin(π－β)＝CDsin α，即AC sin β＝CD sin α①÷②得：AB AC ＝BDDC.(2)解：在△ABC 中，由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝32＋52－2×3×5cos120°＝49， ∴BC ＝7.设BD ＝x ，则DC ＝7－x .由内角平分线性质AB AC ＝x7－x，即35＝x 7－x ，解得x ＝218， 在△ABD 中，设AD ＝y .由余弦定理：BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， 则(218)2＝9＋y 2－3y ，整理得(y －158)(y －98)＝0，∴y ＝158(y ＝98舍去)，∴AD ＝158.20．(本小题满分12分)(2020·北京市西城区)如右图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈(π2，3π4)．(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值．解：(1)由三角函数的定义，得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△AOB 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ，由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ，即222＝|OA |sin(3π4－θ).所以|OA |＝22sin(3π4－θ)．(注：若用直线AB 方程求得|OA |＝2(sin θ＋cos θ)也得分)．(2)由(1)得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin(3π4－θ)cos θ.因为tan θ＝－43，θ∈(π2，3π4)．所以sin θ＝45，cos θ＝－35，又sin(3π4－θ)＝sin 3π4·cos θ－cos 3π4·sin θ＝22·(－35)－(－22)·45＝210. 所以OA →·OB →＝42·210·(－35)＝－1225.21．(本小题满分12分)(2020·湖北五市联考)已知m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，若函数f (x )＝m ·n ，且f (x )的对称中心到f (x )对称轴的最近距离不小于π4.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，当ω取最大值时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝m ·n ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin(2ωx ＋π6)． ∵ω>0，∴函数f (x )的周期T ＝2π2ω＝πω，由题意知T 4≥π4，即1ω≥1，又ω>0，∴0<ω≤1.故ω的取值范围是{ω|0<ω≤1}．(2)由(1)知ω的最大值1，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝12.而π6<2A ＋π6<136π，∴2A ＋π6＝56π，∴A ＝π3.由余弦定理可知：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－bc ＝1，又b ＋c ＝2，∴bc ＝1，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34.22．(本小题满分12分)(2020·成都外国语学校)如右图，凸四边形ABCD 内接于半径R ＝3的圆，∠ABC ＝120°，AB ＝3.(1)求AC 的长；(2)求四边形ABCD的周长、面积的最大值．解：(1)连接AC，在△ABC中，由正弦定理得：ACsin∠ABC=2R，∴ACsin120°=6，AC=3 3.(2)连接BD，在△ABC中，∵AB=3，又由(1)易得：∠ACB=∠BAC=30°，AB=BC=3. 在△ABD、△BCD中，利用正弦定理得：。
备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学(理) 第6单元 平面向量 A卷 Word版含答案
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第6单元 平面向量注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，若∥a b ，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．122．已知向量(2,1)=a ，(,1)m =-b ，且()⊥-a a b ，则m 的值为（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．43．已知向量a ，b 满足||1=a ，(1,3)=b ，a 与b 的夹角为2π3，则2-a b 为（ ） A ．21B ．21C ．13D ．1743+4．已知向量a ，b 满足||1=a ，⊥a b ，则向量2-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．1-5．设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知非零向量a ，b ，若(3)0⋅+=a a b ，2=a b ，则向量a 和b 夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-7．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =（ ）A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD + D ．3142AB AD + 8．设D 为错误!未找到引用源。
备战2020年高考数学一轮复习第6单元平面向量单元训练(B卷,理,含解析)(最新整理)
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B)第6单元平面向量注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量，,若，则( ）A．B．C．4 D．2 2．已知向量,,若，则（）A．B．1 C．2 D．3．平面向量与的夹角为，，则（）AB．12 C．4 D．4．设非零向量，满足，则( ）A．B．C．D．5．已知,,，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．6．向量,，若,的夹角为钝角，则的范围是（ )A．B．C．且D．7．如图,边长为2的正方形中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点,则( ）(1,2)=-a(2,1)x=-b∥a b x=1 214(5,)m=a(2,2)=-b()-⊥a b b m=1-2-a b60︒||2||1==a b|2|+=a ba b+=-a b a b⊥a b=a b∥a b>a6=a3=b12⋅=-ab ab44-2-2(2,)t=a(1,3)=-b a bt23t<23t>23t<6t≠-t<-A B C D EBD D F BDA F C E⋅=A ．B ．C ．D ．8．已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A ．B ．C ．D ．19．已知中,为的重心,则（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知向量，其中，则的最小值为（ ) A ．1B ．2C ．D ．311．已知平面向量，满足,,且，为的外心，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．在中，，,点是所在平面内的一点,则当取得最小值时，( ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13．已知向量，，且与的夹角为,则在方向上的投影为_____．14．已知两个单位向量，,满足，则与的夹角为_______．15．如图，在矩形中，，，点为的中点,点在直线上，若,则______．4-3-6-2-P A P C +=02QA B Q =131223A GG C ⋅=67186718-269269-()c o s 2,s i n θθ=-aaO AO B1O A O B ==0OA OB ⋅=12OD DA=E DO B ⋅=12-16-16122BA B C B A ⋅=222P A P B P C ++A P B C ⋅=3525-2=a 1=b ab45︒abab-=a b abAB C D A B 2BC =EBC FCD 2A B A F ⋅=A EB F =⋅16．在平行四边形中，已知，，，若,,则__________．三、解答题:本大题共6个大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设，已知，，,． （1）若，且,求的值;（2）若，求证：．18．（12分）如图,已知正三角形的边长为1,设,．（1)若是的中点,用分别表示向量，;（2）求；（3)求与的夹角．A B C D 1A B =2AD =60B A D ∠=︒CE E D =2DF F B =A E A F ⋅=,t k ∈R (1,2)=a (2,1)=-b (2)t =++m a b k t =+na b 1t =∥m n k5⋅=mn2k ≤A B =aA C =b ,a b CBCD 2+a b 2+a b32-+a b19．（12分）设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，，，．(1）当时，求的值；（2）设函数，求的值域．π4AOP ∠=2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π6x =O P O Q ⋅()s i n 2fx O P O Q x =⋅+20．（12分）已知向量，，且．（1)求以及的取值范围;（2)记函数，若的最小值为，求实数的值．21．（12分）已知平面向量，，，其中．（1）求函数的单调增区间;（2）设的内角，,的对边长分别为，，,若c o s ,s in 22x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a 33c o s ,s i n 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦⋅a b +a b()2fx λ=⋅-+a b ab 32-2s i n2,26πx ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()21,s i n x =n ()f x =⋅mn2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,，求的值．22．(12分）如图，在四边形中，,，，且．（1）用表示；(2)点在线段上，且，求的值．12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2C D B O=2O A A D =1B O A D ==,OA OBC B单元训练金卷▪高三▪数学卷(B）第6单元平面向量答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】因为向量，，若,则,解得,故选B．2．【答案】B【解析】因为，，所以,又，所以,即，解得．故选B．3．【答案】D【解析】由题意可得，故选D．4．【答案】A【解析】由题意知：，即,整理得，，本题正确选项A．5．【答案】B【解析】由题意得:，向量在方向上的投影为,本题正确选项B．6．【答案】C【解析】若，的夹角为钝角,则且不反向共线，，得．向量，共线时，,得．此时．所以且．故选C．7．【答案】D(1,2)=-a(2,1)x=-b∥a b1(1)220x-⨯--⨯=14x=(5,)m=a(2,2)=-b(3,2)m-=+ab()-⊥a b b()0-⋅=a b b322(2)0m⨯-+=1m=|a22+=-a b a b222222+⋅+=-⋅+a abb a abb⋅=a b∴⊥a b122c o s,633⋅-<>===-⋅⨯a ba baba b2c o s,643⎛⎫<>=⨯-=-⎪⎝⎭a a ba b0⋅<a b230t⋅=-+<a b23t<(2,)t=a(1,3)=-b23t⨯=-6t=-2=-a b23t<6t≠-【解析】因为，，所以． 故选D ． 8．【答案】C【解析】由题意可知,P 为AC 的中点,，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图：因为，所以．故选B ． 9．【答案】A【解析】因为中，为的重心, 所以,由余弦定理可得，且，，所以．10．【答案】A【解析】因为， 所以,因为，所以，故的最小值为．故选A ．11．【答案】A1122A F A D A B=+11213333C E C D D E A B A D A B A B A D=+=--+=--221121111()()422233632A F C E A D AB A B A D A D A B ⋅=+⋅--=--=-⨯=-P A PC +=02QA B Q =1s i n 22A B CS A B A C A =⋅=△11122s i n s i n 22233A P QS A P A Q A A B A C A =⋅=⨯⋅=△2221c o s 24A B B C A C B A B B C +-==-⋅()13A G A C A B=+()13G C A C B C=+()()19A G G C A C A BA C B C⋅=+⋅+()()2221199A C A C A B A C B C A B B C A C A C A B B C =+⋅+⋅+⋅=++⋅()221674432c o s 918B ⎡⎤=++⨯⨯-=⎣⎦()c o s 2,s i n θθ=-aa a【解析】, 又,为等腰直角三角形， 为的外心，为中点，且,，，．本题正确选项A ． 12．【答案】B 【解析】，，，，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以当x =2，y =1时取最小值， 此时．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13【解析】由向量数量积的几何意义可得，在方向上的投影为， 0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥1O A O B ==O A B ∴△1222O E A B ∴==12O D D A=13O D O A∴=()11c o s 32E D O B O D O E O B O A O B O E O B O E O B ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-⨯=-2|c o s |B A BC B A B C B B A ⋅=⋅=c o s B C B B A∴⋅=C A A B∴⊥π2CAB ∠=()()22222222263P A P B P C x y x y x y ++=++-+++-222PA PB PC ++()()2,16,39AP B C ⋅=⋅-=-abc o s,2c o s 4=aa b．14．【答案】【解析】由题意知：，， ，，，本题正确结果．15【解析】在矩形中,，，可以以，的方向为轴的正方向的直角坐标系,如下图所示：所以，，，，点为的中点,故， 设，， ，．16．【答案】【解析】由题意，如图所示，设,，则，，又由，，所以为的中点,为的三等分点，则，,所以．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，2π31==a b ∴-=a b ()222222c o s ,3∴-=-⋅+=-<>=a b a a b b a b 1c o s ,2∴<>=-ab 2π,3∴<>=a b 2π3AB C D A B 2BC =A BA D,x y (0,0)A (0,2)D EBC(,2)F x 2,(0)(,1AB A F x ⋅=⋅=(1,2)F ∴(2A E B F ⋅=52A B =a A D =b 1=a 2=b C E E D =2D F F B =ECD F BD 12AE =+b a221()333A F =+-=+b a b a b22121151233363A E A F ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ab a a bb 221515112c o s 6023632=⨯+⨯⨯︒+⨯=解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）见证明．【解析】(1)当时,，,∵,∴，解得． （2），∵，∴,∴． 18．【答案】（1），;（2）；（3）． 【解析】（1）,．（2)由题意知，,且， 则，所以．(3）与（2)解法相同，可得， 设与的夹角为， 则, 因为，所以与的夹角为． 19．【答案】（1;（2）．【解析】（1）由题意得：，．（2）13k =12y x t=+3(5,5)=+=-ma b (2,21)k k k =+=-+n a b ∥mn 5(2)5(21)k k -=-+13k =[](2)()t kt ⋅=++⋅+m n a ba b 22(2)(2)k t k t t t =+⋅++⋅++a a b a b b 55(2)k tt =++5⋅=mn55(2)5k tt ++=2221(1)22kt t t =--+=-++≤CB =-a b 12CD =-a b 120︒C B A B A C =-=-a b 1122C D A D A C A B A C =-=-=-a b1==a b ,60〈〉=︒ab 2222224444c o s ,4217+=+⋅+=+〈〉+=++=a b a a b b a a b a b b 2a 32=-+a b 2+a b 32-+a b ()()227232621c o s 2322322θ-+⋅-+-+⋅+===-+-++-+a b ab aa bb a b ab a b ab 2+a b32-+a b 120︒2⎤⎥⎦c o s ,c o s c o s c o s s i n s i n 464πππ64ππO P O Q ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭6c o s ,O P O Q O P O QO P O Q ∴⋅=⋅=()s i n 2c o πs s i n 2o s i n 2s i n c o s 422f x O P O Q x x x x x x x =⋅+=-+=++,设,则，又，则，,,,当时，；当时，，的值域为．20．【答案】（1）见解析;（2)．【解析】（1）易得．因为，又,所以，所以．（2）依题意,得．令，由(1)知，，则有．①当,即时,有， 解得，此与矛盾； ②当，即时，有，解得（舍）； ③当，即,有,此与题设不符．s i n c o s 2s i n π4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,44ππ4x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1,2t ⎡⎤∴∈⎣⎦()2212f t t t ∴=+-()()m i n21f t f ==22⎤⎥⎦12λ=33c o sc o s s i n s i n c o s 22222x x x xx⋅=-=a b 222233||c o sc o s s i n s i n 22c o s 24c o s 2222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2c o s 0,2x +=-∈a b ()22c o s 24c o s 2c o s 4c o s 1f x xxxx λλλ=⋅-+=+=+-a b a b ()()m i n312412g t g λ=-=--=-58λ=()()2m i n3212g t g λλ=-=--=-12λ=12λ=-综上所述，所求实数． 21．【答案】（1）增区间为；（2）的值为或．【解析】（1），由，得，又∵，∴函数的增区间为．（2）由,得，又因为，所以,从而，即． 因为,，所以由正弦定理，得,故或，当时，，从而；当时，，又，从而,综上的值为或．22．【答案】（1)；(2)．【解析】（1)因为，所以．因为，所以．（2）因为，所以． 12λ=π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2π2s i n 22s i n 6f x x x ⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭m n ()2s i n 2c o s c o s 2s i n 1c o s 26ππ6x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭1c o s 2i n 21c o s 2123πx x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭π2ππ22π,3k x k k -≤+≤∈Z2πππ,36πk x k k -≤≤-∈Z2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭cos 03πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π333B <+<2ππ3B +=π6B =sin sin b c B C=s in 3s in c B C b ==π3C =2π3π3C =π2A =2π3C =π6A =π6B =32C B O A O B=--c o s P C B ∠2O A A D =32DO AO=2C D B O =33=++222C B C D D O O B B O A O O B O A O B=++=--2C D B O =OB C D ∥因为,所以点共线． 因为，所以．2O A A D以为坐标原点，所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系．因为，，，所以，所以，．因为点在线段上，且，所以，所以．因为，所以．1B O A D ==2C D B O =2O A A D =()1,2AC =()2,1A B =-121,333A P A B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭55,33C P A P AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()3,1CB =--553c o s 5C P C B P C B C P C B ∠+⋅==⋅。
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题05《平面向量》
2020 年高考理科数学一轮复习题型概括与变式操练专题05《平面向量》【题型一】平面向量的有关观点【题型二】平面向量的加减及其线性运算【题型三】平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用【题型四】数目积的观点【题型五】数目积的综合应用【题型一】、平面向量的有关观点例 1. 以下说法中正确的选项是①非零向量 a 与非零向量 b 共线，向量 b与非零向量 c 共线，则向量 a 与向量 c 共线；②随意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个极点；③向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 所在直线的夹角为锐角；④零向量模为 0，没有方向；⑤ 始点同样的两个非零向量不平行；⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦若非零向量 AB 与CD是共线向量，则 A 、B、C、D 四点共线。
【答案】①⑥【分析】① 向量共线即方向同样或相反，故非零向量间的共线关系是能够传达的；②相等向量是共线的，故四点可能在同向来线上；③ 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角；④零向量不是没有方向 , 它的方向是随意的；⑤ 向量能否共线与始点地点没关；⑥ 两个向量相等，它们的长度相等，方向同样；⑦共线向量即平行向量，非零向量AB 与CD是共线向量，可能 A 、B、C、D 四点共线，也可能AB 、 CD 平行。
【总结升华】量可将代数问题与几何问题相互转变。
零向量是一特别向量，它仿佛很不起眼，但又到处存在。
所以，正确理解和办理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。
关于平行向量或共线向量，它们能够在同向来线上，也能够所在直线相互平行，方向能够同样也能够相反；相等向量则一定大小相等、方向同样。
【变式训练】：【变式 1】判断以下各命题能否正确,并说明原因 :(1)若 | a |=| b|,则a = b；(2)单位向量都相等；(3)两相等向量若起点同样 ,则终点也同样；(4)若 a = b， c = b ,则 a = c；(5)若 | a |>| b|,则a > b；(6)因为零向量方向不确立 ,故它不可以与随意愿量平行 .【答案】(1)错；模相等 ,方向未必同样；(2)错；模相等 ,方向未必同样；(3)正确；因两向量的模相等 ,方向同样 ,故当他们的起点同样时 ,则终点必重合；(4)正确；由定义知是对的；(5)错；向量不可以比较大小；(6)错；规定 :零向量与随意愿量平行 .【变式 2】在复平面中，已知点A（2，1），B（ 0，2），C（－ 2，1），O（ 0，0）.给出下边的结论：①直线OC 与直线BA平行；②AB BC CA ；③ OA OC OB ；④AC OB2OA .此中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】 k OC 1 1， k BA 2 11，∴ OC∥ AB ，①正确；2 2 0 2 2∵AB BC AC ，∴②错误；∵ OA OC (0, 2) OB ，∴③正确；∵ OB 2OA ( 4,0) ， AC ( 4,0) ，∴④正确.应选C.【题型二】、平面向量的加减及其线性运算例 2. 如图，已知梯形ABCD中，AB// CD，且AB 2CD，M、N分别是CD、AB 的中点，设 AD a ，AB b ，试以 a 、 b 为基底表示 DC 、 BC 、MN.【分析】连接 ND ，则DC 1AB1b ；2 2∵ DC 1AB 1 b NB 2 2∴ DC// NB ， DC NB∴ BC ND AD AN a 1b；1 1 2又 DM DC b2 4 1b a .∴ MN DN DM CB DM4【总结升华】此题本质上是平面向量基本定理的应用，因为AD，AB是两个不共线的向量，那么平面内的全部向量都能够用它们表示出来.②此题的重点是充足利用几何图形中的线段的相等、平行关系，联合平行向量、相等向量的观点，向量的线性运算，变形求解.【变式训练】：【变式 1】在△ABC中，已知 D 是 AB边上一点，若AD2DB ，CD 1CA CB ，则=________. 3【答案】23【分析】由图知 CDCA AD ①CD CB BD ，②且 AD 2BD 0。
2020届高三数学好教育单元训练金卷(A)平面向量(解析版附后)
2020届高三数学好教育单元训练金卷（A ）平面向量（解析版附后）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面向量3,5a ，2,1b，则2a b（）A ．7,3B ．7,7C ．1,7D ．1,32．在ABC △中，点D 为边AB 的中点，则向量CD（）A ．12BA BC B ．12BA BC C ．12BABCD ．12BABC3．已知向量4,2a ，,1x b．若a ，b 共线，则x 的值是（）A ．1B ．2C ．1D ．2 4．已知平面向量1,3a ，,3x b，且∥a b ，则2a b（）A ．10B ．5C ．5D ．105．已知向量3,1a，21,k k b，且a ba ，则k 的值是（）A ．1B ．37C ．35D ．356．若向量a 、b 满足1a 、2b ，aa b ，则a 与b 的夹角为（）A ．2B ．23C ．34D ．567．单位圆O 中一条弦AB 长为2，则·AB OB（）A ．1B ．2C ．2D ．无法确定8．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是（）A ．a b a bB ．a b a bC ．aba bD ．aba b9．在ABC △中，2BD DC ，ADmABnAC ，则m n的值为（）A ．12B ．13C ．2D ．310．四边形ABCD 中，AB DC ，且ADAB AD AB ，则四边形ABCD 是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．已知向量a ，b 的夹角为120，且2a ，3b ，则向量23a b 在向量2a b 方向上的投影为（）A ．8313B ．61313C ．566D ．19131312．在锐角ABC △中，60B ，2AB AC则AB AC 的取值范围为（）A ．0,12B ．1,124C ．0,4D ．0,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知向量sin ,2x a ，cos ,1x b，满足∥a b ，则2sin 4sin cos xx x__________．14．已知向量12，m ，,4x n，若mn ，则2mn__________．15．已知点4,1A ，1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________．16．已知2,3A ，4,3B ，点P 在线段AB 的延长线上，且32APPB ，则点P 的坐标是____________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量1,3a ，2,2b ，（1）设2c a b ，求b a c ；（2）求向量a 在b 方向上的投影．18．（12分）已知向量3,2a ，1,2b ．（1）求2a +b 的值；（2）若m +a bb ，求m 的值．19．（12分）已知向量2222，m，sin ,cos x x n ，0,2x．（1）若m n ，求tanx 的值；（2）若向量m ，n 的夹角为3，求sin 4x的值．20．（12分）已知平面上三点A B C 、、满足，23BC k ，，24AC ，，（1）若三点A B C 、、不能构成三角形，求实数k 满足的条件；（2）ABC △是不以C 为直角的Rt △，求实数k 的值．21．（12分）如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB ．（1）若13，用向量OA ，OB 表示OP ；（2）若4OA ，3OB ，且60AOB ，请问取何值时使得OP AB ？22．（12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量sin,A b cp，,sin sinq a c C B，满足p q p q．（1）求角B的大小；（2）设1sin,32Cm，2,cos20k A kn，m n有最大值为32，求k的值．2019届高三数学好教育单元训练金卷（A ）平面向量（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面向量3,5a ，2,1b，则2a b（）A ．7,3B ．7,7C ．1,7D ．1,3【答案】A 【解析】∵3,5a ，2,1b ，∴23,522,134,527,3a b ，故选A ．2．在ABC △中，点D 为边AB 的中点，则向量CD（）A ．12BA BC B ．12BA BC C ．12BABCD ．12BABC【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：1122CD CB BD BCBABA BC ．本题选择A 选项．3．已知向量4,2a ，,1x b．若a ，b 共线，则x 的值是（）A ．1B ．2C ．1D ．2【答案】B【解析】∵4,2a ，,1x b ，且a ，b 共线，∴24x ，解得2x．故选B ．4．已知平面向量1,3a，,3x b，且∥a b ，则2a b（）A ．10B ．5C ．5D ．10【答案】D【解析】由题意得，1,3a ，,3x b ，且11,3x ∥a bb ，则21,3a b ，即210a b ，故选D ．5．已知向量3,1a，21,k k b，且a b a ，则k 的值是（）A ．1B ．37C ．35D ．35【答案】A【解析】因为向量3,1a ，21,k k b，所以22,1k k a b ，又因为a b a ，所以770ka b a，1k，故选A ．6．若向量a 、b 满足1a 、2b ，aab ，则a 与b 的夹角为（）A ．2B ．23C ．34D ．56【答案】C 【解析】aab ，所以，0a a b，即2||cos ,0a aa b a a b a b ，所以2||2cos ,2a a ba b，又,0,a b ，故a 与b 的夹角为34，故选C ．7．单位圆O 中一条弦AB 长为2，则·AB OB（）A ．1B ．2C ．2D ．无法确定【答案】A 【解析】单位圆O 中一条弦AB 长为2，则222+OA OBAB ，OAB △是等腰直角三角形，所以AB 与OB 成的角为4，2·2112AB OB ，故选A ．8．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是（）A ．a b a bB ．a b a bC ．aba bD ．aba b【答案】C【解析】向量a 与b 反向：a b a b ，a ba b ，故选C ．9．在ABC △中，2BDDC ，ADmABnAC ，则m n的值为（）A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】A【解析】如图，22123333ADAB BD ABBC AB AC AB ABAC ，又ADmAB nAC ，∴13m，23n，故12m n．故选A ．10．四边形ABCD 中，AB DC ，且AD AB AD AB ，则四边形ABCD 是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【答案】C 【解析】由于ABDC ，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形，故选C ．11．已知向量a ，b 的夹角为120，且2a ，3b ，则向量23a b 在向量2a b 方向上的投影为（）A ．8313B ．61313C ．566D ．191313【答案】D 【解析】向量a ，b 的夹角为120，且2a，3b，所以2222341261abaa b +9b，2361a b ．又22224413a baa b b，所以213a b，则23219cos 23,22326113a b a b ab a bab ab，所以向量23a b 在向量2a b 方向上的投影为19191323cos 23,261136113a b ab ab，故选D ．12．在锐角ABC △中，60B ，2AB AC则AB AC 的取值范围为（）A ．0,12B ．1,124C ．0,4D ．0,2【答案】A【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵60B，2AB AC ，∴1,3C ，设,0A x ，∵ABC △是锐角三角形，∴120A C ，∴3090A ，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），∴14x，则221124AB ACxx x，所以AB AC 的取值范围为0,12，故选A ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知向量sin ,2x a ，cos ,1x b，满足∥a b ，则2sin 4sin cos xx x__________．【答案】32【解析】因为向量sin ,2x a ，cos ,1x b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ，tan 2x ，2sin 2sin cos 2tan 1221432sin cos sin cos tan 121xx x x x xxxx ，故答案为32．14．已知向量12，m ，,4x n ，若mn ，则2mn__________．【答案】10【解析】由题意可得：240x m n ，8x，即1,2m，8,4n，则22,48,46,8mn，据此可知：2226810m n ．15．已知点4,1A ，1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________．【答案】34,55【解析】154134AB ，，，，5AB ，与向量AB 方向相同的单位向量为34,55．16．已知2,3A ，4,3B ，点P 在线段AB 的延长线上，且32APPB ，则点P 的坐标是____________．【答案】8,15【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故32APPB ，设,P x y ，则32423332xxy y，解得815x y，P 的坐标为8,15，故填8,15．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量1,3a ，2,2b ，（1）设2c a b ，求b a c ；（2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）16,16；（2）2．【解析】（1）2,62,24,4c ，26416,16b ab ac ．（2）向量a 在b 方向的投影4222a b b．18．（12分）已知向量3,2a ，1,2b．（1）求2a +b 的值；（2）若m +a b b ，求m 的值．【答案】（1）37；（2）15．【解析】（1）由已知得21,6a +b ，所以237a +b ．（2）依题意得3,22m m m a b ，又m +a b b ，·0m +a b b，即132220mm，解得15m．19．（12分）已知向量2222，m，sin ,cos x x n ，0,2x．（1）若m n ，求tanx 的值；（2）若向量m ，n 的夹角为3，求sin 4x的值．【答案】（1）tan 1x ；（2）12．【解析】（1）由m n 可得0m n ，即22sin cos 022xx ，化简可得sin cos x x ，则tan 1x ．（2）由题意可得1m，1n，22sin cos 22xx m n，而由m ，n 的夹角为3可得1cos32m m n n ，因此有21sin cos 22x x，则1sin 42x．20．（12分）已知平面上三点A B C 、、满足，23BCk ，，24AC ，，（1）若三点A B C 、、不能构成三角形，求实数k 满足的条件；（2）ABC △是不以C 为直角的Rt △，求实数k 的值．【答案】（1）12k ；（2）2，1，3．【解析】（1）A B C ，，三点不能构成三角形，三点A B C ，，共线；存在实数，使BCAC ；2234k ，解得12k．k 满足的条件是12k．（2）23241AB CB CA k k ，，，ABC △为直角三角形；若A 是直角，则AB AC ，2402AB AC kk ，；若B 是直角，则ABBC ，2230AB BCkk，解得1k ，或3；综上可得k 的值为：2，1，3．21．（12分）如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足APAB ．（1）若13，用向量OA ，OB 表示OP ；（2）若4OA ，3OB ，且60AOB ，请问取何值时使得OP AB ？【答案】（1）2133OPOAOB ；（2）1013．【解析】（1）由题意得13AP AB ，∴13OPOAOB OA ，∴2133OPOAOB ．（2）由题意知43cos606OA OB ．∵APAB ，∴OP OA OB OA ，∴1OPOA OB ．∵OP AB ，∴10OP ABOA OBOB OA，∴2212161216190OA OBOAOB，解得1013．22．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量sin ,A b c p ，,sin sin qac CB ，满足p qpq ．（1）求角B 的大小；（2）设1sin ,32Cm，2,cos20k A k n ，m n 有最大值为32，求k 的值．【答案】（1）3B；（2）1k 或2k．【解析】（1）由条件pqpq ，两边平方得0p q，又sin ,A bc p，,sin sin －－a c C B q ，代入得sin sin sin 0ac A bc C B ，根据正弦定理，可化为0－a ac bc c b ，即222a cb ac ，又由余弦定理2222cos ＝acb a B ，所以1cos 2B ，3B．（2）1sin ,32Cm，2,cos2n k A ，0k，2112sin cos22sin cos22sin cos 3222k Ck A CB k A A k Am n 2211sin 2sin sin 22k k k AA k Akk ，而203A，sin 0,1A ，①01k 时，sin 1A 取最大值为3222k ，1k ．②1k时，当1sin Ak时取得最大值，1322k k解得1k或2k ，1k （舍去）2k．③0k 时，开口向上，对称轴小于0当sin 1A取最大值3222k ，1k （舍去），综上所述，1k或2k．。
高考数学(理)一轮专题重组卷：第一部分 专题六 平面向量 Word版含解析
专题六 平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·漳州质量监测)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且a ，b 夹角为π6，则(a ＋b )·(2a －b )＝( )A.12 B ．－32 C ．－12 D.32 答案 A解析 (a ＋b )·(2a －b )＝2a 2－b 2＋a ·b ＝2－3＋1×3×32＝12.故选A. 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2,3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1，∴12＋(t －3)2＝1，∴t ＝3，∴BC →＝(1,0)，∴AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C.3．(2019·桂林二模)已知向量AB →与AC →的夹角为60°，且|AB →|＝2，|AC →|＝4，若AP →＝AB →＋λAC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A.45 B ．－45 C ．0 D ．－25 答案 C解析 ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0，即(AB →＋λAC →)·(AC →－AB →)＝0，∴λAC →2＋(1－λ)AB →·AC →－AB →2＝0，∵AB →·AC →＝2×4×cos60°＝4，AB →2＝4，AC →2＝16，∴16λ＋4(1－λ)－4＝0，∴λ＝0.故选C.4．(2019·潍坊二模)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，点E 是线段BC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ＝( )A.52B.54C.12D.14 答案 B解析 取AB 的中点F ，连接CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以CF ∥AD ，且CF ＝AD因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →，∴λ＝34，μ＝12，λ＋μ＝54，故选B.5．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2. ∵|a |＝2|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12. ∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B.6．(2019·娄底模拟)已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，AD ⊥BC 于D ，AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝( )A ．3B ．6C ．2 3D ．3 2 答案 B解析 ∵BC →＝AC →－AB →，AD →⊥BC →，∴(λAB →＋μAC →)·(－AB →＋AC →)＝0，∴－λAB →2＋μAC →2＋(λ－μ)AB →·AC →＝0，∴λ＝6μ，∴λμ＝6.故选B.7．(2019·呼和浩特质量检测)设a ，b 均是非零向量，且|a |＝2|b |，若关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答案 B解析 ∵关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，∴|a |2－4a ·b ≥0，∴a ·b ≤|a |24，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12，又0≤〈a ，b 〉≤π，∴π3≤〈a ，b 〉≤π.故选B.8．(2019·内江模拟)若|a |＝1，|b |＝2，|a ＋2b |＝13，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 D解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a ＋2b |＝13， ∴(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝1＋16＋4a ·b ＝13， ∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12. 又0≤〈a ，b 〉≤π， ∴a ，b 的夹角为2π3.故选D.9．(2019·四川一诊)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( )A.13B.23 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13CB →＝AC →＋13AB →－13AC →＝13AB →＋23AC →， 所以AB →·AD →＝13AB →2＋23AB →·AC →＝3＋23×3×2cos120°＝1.故选C.10．(2019·益阳市高三期末)在△ABC 中，M 为AC 的中点，BC →＝CD →，MD →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝( )A ．1 B.12 C.13 D.32 答案 B解析 如图，∵M 为AC 中点，BC →＝CD →，∴MD →＝MC →＋CD →＝12AC →＋BC →＝12AC →＋(AC →－AB →)＝－AB →＋32AC →. 又MD →＝xAB →＋yAC →，且AB →，AC →不共线， ∴根据平面向量基本定理得，x ＝－1，y ＝32， ∴x ＋y ＝12.故选B.11．(2019·大兴区第一学期期末)已知i ，j ，k 为共面的三个单位向量，且i ⊥j ，则(i ＋k )·(j ＋k )的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－2,2]C ．[2－1，2＋1]D ．[1－2，1＋2]答案 D解析 由i ⊥j 得i ·j ＝0，又i ，j 为单位向量，则|i ＋j |＝i 2＋j 2＋2i ·j ＝2， 则(i ＋k )·(j ＋k )＝i ·j ＋(i ＋j )·k ＋k 2＝(i ＋j )·k ＋1＝|i ＋j |cos 〈i ＋j ，k 〉＋1＝2cos 〈i ＋j ，k 〉＋1， 由－1≤cos 〈i ＋j ，k 〉≤1，则(i ＋k )·(j ＋k )的取值范围是[1－2，1＋2]．故选D.12．(2019·武汉市二月调研)在△ABC 中，AB →·AC →＝0，|AB →|＝4，|BC →|＝5，D 为线段BC 的中点，E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，则AE →·CB →＝( )A.72B.74 C ．－74 D ．7 答案 A解析 如图所示，|AC →|＝|BC →|2－|AB →|2＝3，AE →·CB →＝(AD →＋DE →)·CB →＝AD →·CB →＋DE →·CB →＝AD →·CB →＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(AB →2－AC →2)＝72.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.答案 23解析 由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·(2a －5b )|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23. 14．(2019·郴州市高三第一次质检)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则3x ＋y 的最小值为________．答案4＋233解析 ∵G 是△ABC 的重心， ∴AG →＝13AC →＋13AB →， 又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，∴AG →＝13x AM →＋13y AN →， ∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y ＝1，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋x y ＋y 3x ≥43＋213＝4＋233.15．(2019·河南省八市重点高中第二次联合测评)已 知非零向量a ，b 满足|2a ＋b |＝|a ＋2b |＝3|a |，则a ，b 的夹角为________．答案 2π3解析 ∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2，即4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2，∴a 2＝b 2，∴|a |＝|b |. 又|a ＋2b |＝3|a |，∴(a ＋2b )2＝3a 2， ∴a 2＋4a ·b ＋4b 2＝3a 2，∴a 2＋4a 2cos 〈a ，b 〉＋4a 2＝3a 2. 又a ≠0，∴1＋4cos 〈a ，b 〉＋4＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又0≤〈a ，b 〉≤π，∴〈a ，b 〉＝2π3.16．(2019·江苏省镇江市高三期末)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝3EF ，则AF →·BC →的值为________．答案 13解析 DE ＝3EF ，∴AF →＝AE →＋EF →＝AE →＋13DE →＝AE →＋16AC →＝12AB →＋12AC →＋16AC →＝12AB →＋23AC →， BC →＝AC →－AB →，∵△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴AB →·AC →＝2×2×12＝2， ∴AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋23AC →·(AC →－AB →)＝－16AB →·AC →－12AB →2＋23AC →2＝－16×2－12×4＋23×4＝13.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·连云港二模)已知向量a ＝(1，cos2x －3sin2x )，b ＝(－1，f (x ))，且a ∥b .(1)将f (x )表示成x 的函数并求f (x )的单调递增区间； (2)若f (θ)＝65，π3＜θ＜π2，求cos2θ的值．解 (1)∵向量a ＝(1，cos2x －3sin2x )，b ＝(－1，f (x ))，且a ∥b ，∴1×f (x )＋(cos2x －3sin2x )＝0，即f (x )＝－cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，求得k π－π6≤x ≤k π＋π3，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)若f (θ)＝65，π3＜θ＜π2，即f (θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝35.∵2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，2θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－45， ∴cos2θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6sin π6＝－45×32－35×12＝－43＋310.18．(本小题满分12分)(2019·佳木斯一中调研)已知向量a ，b 满足：|a |＝2，|b |＝4，a ·(b －a )＝2.(1)求向量a 与b 的夹角；(2)若|t a －b |＝22，求实数t 的值．解 (1)设向量a 与b 的夹角为θ， ∵|a |＝2，|b |＝4，∴a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝|a ||b |cos θ－a 2＝42cos θ－2＝2， ∴cos θ＝22，∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)∵|t a －b |＝22，∴t 2a 2－2t a ·b ＋b 2＝2t 2－8t ＋16＝8， 即t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2.19．(本小题满分12分)(2019·泰安模拟)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b . 又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM →与CB →共线． ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1得4m ＋n ＝1.② 由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .20．(本小题满分12分)(2019·河南段考)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，求a 与b 的夹角θ的余弦值． 解 (1)设c ＝(x ，y )，则由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎨⎧1·y ＋2·x ＝0，x 2＋y 2＝20， 解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4.∴c ＝(－2,4)或c ＝(2，－4)．(2)∵a ＋b 与a －2b 垂直，∴(a ＋b )·(a －2b )＝0， 即a 2－a ·b －2b 2＝0，∴a ·b ＝3， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝355.21．(本小题满分12分)(2019·辽宁六校协作体模拟)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解 解法一：∵tan α＝7，α∈[0，π]， ∴cos α＝210，sin α＝7210，∵OA →与OC →的夹角为α，∴210＝OA →·OC →|OA →||OC →|，∵OC →＝mOA →＋nOB →，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2， ∴210＝m ＋nOA →·OB →2，①又∵OB →与OC →的夹角为45°， ∴22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2，②又cos ∠AOB ＝cos(45°＋α)＝cos αcos45°－sin αsin45°＝210×22－7210×22＝－35，∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝－35， 将其代入①②得m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1， 两式相加得25m ＋25n ＝65，所以m ＋n ＝3.解法二：过点C 作CM ∥OB ，CN ∥OA ，分别交线段OA ，OB 的延长线于点M ，N ，则OM →＝mOA →，ON →＝nOB →， 由正弦定理，得|OM →|sin45°＝|OC →|sin (135°－α)＝|ON →|sin α， ∵|OC →|＝2，由解法一知，sin α＝7210，cos α＝210，∴|OM →|＝2sin45°sin (135°－α)＝1sin (45°＋α)＝54， |ON →|＝2sin αsin (135°－α)＝2×7210sin (45°＋α)＝74， 又OC →＝mOA →＋nOB →＝OM →＋ON →，|OA →|＝|OB →|＝1，∴m ＝54，n ＝74，∴m ＋n ＝3.22．(本小题满分12分)(2019·安徽淮北、宿迁一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(b ，a ＋c )，n ＝(a －c ，a －b )，且满足m ∥n .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，sin C ＋sin(A －B )＝2sin2B ，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以有b (a －b )－(a －c )(a ＋c )＝0，整理得ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由sin C ＋sin(A －B )＝2sin2B ，得sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝4sin B cos B ，整理得2cos B (sin A －2sin B )＝0.当cos B ＝0时，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π2.在Rt △ABC 中，tan C ＝c a ＝3，解得a ＝1，此时△ABC 的面积为S ＝12ac ＝32.当sin A －2sin B ＝0时，由正弦定理得a ＝2b ，将其代入c 2＝a 2＋b 2－ab ，得c 2＝3b 2， 解得b ＝1.此时S ＝12ab sin C ＝32.3综上所述，△ABC的面积为2.。
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：平面向量
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练平面向量一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120︒，→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ的值为 ▲ ．2、（南京市2019高三9月学情调研）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6，AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则CD BE ⋅u u u r u u u r 的值为 ▲ ．4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知等边三角形ABC 的边长为2，AM 2MB =u u u u r u u u r ，点N 、T 分别为线段BC 、CA 上的动点，则AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r取值的集合为 ．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC =u u u r u u u r ,12AE EB =u u u r u u u r , 若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则CE AB ⋅=u u u r u u u r ▲ ．6、（苏州市2018高三上期初调研）已知平面向量(),2,110a a b =⋅=r r r ，若52a b +=r r ，则b r的值是 ．7、（盐城市2019届高三上学期期中）已知向量(1m =u r ，1)-，(cos n α=r，sin )α，其中 [0α∈，]π，若m u r ∥n r，则α＝ ．8、（苏州市2019届高三上学期期中）已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ▲ ．9、（苏州市2019届高三上学期期中）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r⋅的最小值为 ▲ ．10、（无锡市2019届高三上学期期中）已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝4，|b|＝3，则|2a ＋b|的值为 11、（徐州市2019届高三上学期期中）在平行四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若2CE ED =u u u r u u u r ,则AE BE ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．12、（常州市2019届高三上学期期末）平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==u u u r u u u r，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3||2OC =u u u r ，则||OD =u u u r ________.13、（海安市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，且AM ＝1，点P 满足 P A ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)的取值范围是 ．14、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在ABC △中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC △所在平面内一点，满足322CP PB PA =+u u u r u u u r u u u r，则CP AB ⋅u u u r u u u r 的值为 ．15、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的最小值是 ．16、（泰州市2019届高三上学期期末）已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=u u u r u u u r u u u r r ，0PA PB PC λμ++=u u u r u u u r u u u r r，则λμ＝ 17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅u u u r u u u r ＝83，则AQ CP ⋅u u u r u u u r的最小值为18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ CP ⋅u u u r u u u r 的最大值为19、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知⊙O 的半径为2，点A.B.C 为该圆上的三点，且AB=2，0>⋅→→BC BA ，则)(→→→+⋅BA BO OC 的取值范围是_____.20、（江苏省2019年百校大联考）在平面凸四边形ABCD 中，22AB =，3CD =，点E 满足2DE EC =uuu r uu u r ，且2AE BE ==．若85AE EC =uu u r uu u r g ，则AD BC uuu r uu u r g 的值为 ．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知AD 时直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足()42PB PC AD +⋅=u u u r u u u r u u u r.若2AD =，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的值为 . 22、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面四边形OABC 中，已知||3OA =u u u r，OA ⊥OC ，AB ⊥BC ，∠ACB ＝60°，若OB AC u u u r u u u r g ＝6，则||OC =u u u r＿＿二、解答题1、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））已知向量(2sin ,1)a α=r ，(1,sin())4b πα=+r .（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.2、（（南京市13校2019届高三12月联合调研）在如图所示平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =u u u r，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +u u u r u u u r 的最小值;（Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =u r u u u r ，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--r ，求m n ⋅u r r 的最小值及对应的x 值.3、（苏州市2018高三上期初调研）在平面直角坐标系中，设向量()()3,,cos ,3m cosA sinA n B sinB ==-u r r，其中,A B 为ABC ∆的两个内角.（1）若m n ⊥u r r，求证：C 为直角； （2）若//m n u r r，求证：B 为锐角.4、（泰州市2019届高三上学期期末）已知向量(sin ,1)a x =r ，1(,cos )2b x =r ，其中(0,)x π∈。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》单元汇编含解析
【高中数学】数学《平面向量》试卷含答案一、选择题1．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u ur r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ）A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D 【解析】 【分析】计算25AC a b =+u u u r r r，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r，∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r，即()253a b a mb λ+=+r r r r ，∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,因为5MN a b =+u u u u r rr ,所以MN NQ =u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuur 为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuur 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.故选: B本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．已知向量()()75751515a b ︒︒︒︒==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为11,1,cos75cos15sin 75sin15cos602a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r，所以||1a b -===r r ，故选B.点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合数量积的运算法则即可求出.4．若向量a b r r，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．12-B ．12CD． 【答案】A 【解析】 【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3b a b π=r r r ，所以b a =r r .又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r，即20t a a b ⋅+⋅=r r r . 所以2221122ba b t a b⋅=-=-=-r r r r r【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.5．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，则当,1[]2t ∈-时，a tb-r r 的最大值为（ ）A BC ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利用a tb -==r r 求解.【详解】因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，所以a tb -==r r当[]2,1t ∈-时，maxa tb-=r r故选：D 【点睛】本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.6．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =u u u r u u u r，则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则CP CB ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v，再利用数量积的定义得解．【详解】依据已知作出图形如下：()11213333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .所以221213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v221211cos 13333π=⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．8．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r |＝|NM u u u u r|， 取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，又12AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r，所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题9．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．垂心C ．重心D ．内心【答案】B 【解析】 【分析】可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u ru u ur u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线上，从而得到结论．【详解】Q ()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ， 即()||cos ||cos AB ACAP AB B AC Cλ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ， Qcos BA BCB BA BC ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，cos CA CB C CA CB⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB ACBC BC BC AB B AC C⋅+=-+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u ru u ur u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r ，∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.故选：B ． 【点睛】本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.10．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（）A ．4B ．6C ．23D ．43【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|3262BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．11．已知向量,a b r r 满足||23a =r ，||4=r b，且()4a b b +⋅=r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D 【解析】 【分析】由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r ，再结合向量的夹角公式，求得3cos ,2a b 〈〉=-r r ，即可求得向量a r 与b r的夹角．【详解】由题意，向量,a b r r 满足||23a =r ，||4=rb ，因为()4a b b +⋅=r r r ，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r，解得12a b ⋅=-r r ，所以3cos ,||||234a b a b a b ⋅〈〉===-⨯r rr r r r ，又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r 的夹角为56π. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．12．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r（ ）A ．2133BA AC +u uu r u u u rB ．2133BA AC -u uu r u u u rC ．1233BA AC +u uu r u u u rD ．4233BA AC +u uu r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论.【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()()221121332333OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r . 故选：A.【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.13．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．83【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.14．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ） A ．0 B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.15．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r，则以下说法不正确的是（ ） A ．若//a b r r，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅r r取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r1 【答案】B 【解析】 【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()fα的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性.【详解】A 选项，若//a b r r，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.C选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k παϕπ+=+，22k πϕπα=+-，tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r1，此时5a =-r r，,a b r r反向.故选项D 正确.故选：B 【点睛】本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.16．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B．3-C．3-D ．13-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】//a b ∴r r1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.17．已知向量a v ，b v满足a =v||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3CD 【答案】D【解析】【分析】 根据平方运算可求得12a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】 由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12a b ⋅=r rcos ,4a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.18．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C【解析】【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.【详解】 解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==，∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=，∴12mn =，解得6m =，2n =， 设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =，∴628MN =+=，∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．19．在OAB ∆中，已知2OB =u u u v 1AB u u u v =，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v 的最小值为（ ） A 35 B 25 C 6 D ．62【答案】A【解析】 【分析】 根据2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r .再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】 在OAB ∆中,已知2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OB AOBOAB =∠∠u u u r u u u r 代入2sin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22⎝⎭所以22OA =⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r 因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r 则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=-代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min OP ==u u u r 故选:A【点睛】 本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）A ．4BC ．2D ．4【答案】A【解析】【分析】 根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.【详解】 因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||4EB =u u u r ， 故选：A【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测六平面向量与复数单元检测含解析
单元检测六平面向量与复数（时间：120分钟 满分：150分）、选择题（本大题共10小题，每小题4分,40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1 .若复数z 满足i z = 3+ 4i ，则| z |等于（ A . 1B. 2C. 5D. 5 答案 D3+ 4i解析 因为 Z = ：— = - (3 + 4i)i = 4— 3i ,o Z 1 2 .若 Z 1= (1 + i) 2, Z 2= 1 - i ，则一等于( Z 2A . 1 + iB . - 1+ iC . 1 — iD . - 1 — i 答案2••• Z 1= (1 + i) = 2i , Z 2 = 1- i ,A. ,5B. , 10C. ,2D. 3 5 答案 A解析 由 m// n , m= ( - 1,2) , n = (2 , b )，得 b =- 4, 故 n = (2 , — 4)，所以 m + n = (1 , — 2), 故| n + n | = .5,故选 A.4.如图所示，向量o A= a , 0B= b , 0C= c ,点A , B, C 在一条直线上， 且心—4C B 则（1 3A . c =尹+尹1 4,第I 卷（选择题 共40分）解析2i 2i 1 + iZ 2 1 - i —(1 - i ]1 + i3 .设平面向量m= ( - 1,2),Z 1 十=-1 + i. n = (2 , b )，若 mil n ,则 | m + n | 等于(C. c =- a + 2bB . c =尹―尹D. c=-3a+3b 答案D解析 c = 屜葩屜毎屜3（ e %=4张推4b _ 3a .故选D.5.设向量a = （X , 1） , b = （1，— •. 3），且a 丄b ,则向量a — 3b 与b 的夹角为（答案 D解析 因为 a 丄b ,所以 x —，j3= 0,解得 x = 3,所以 a = ( 3, 1), a — 3b = (0,4)，则 cos 〈a —Q3b ,b 〉=』-护13 • b = 4：屮 =—乂3，所以向量 a — J3b 与b 的夹角为 学，故v | a —护b | • b | 4X2 2 ¥6选D.6.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为 $,若0B= a i OAb 阪19玄 且A , B, C 三点共线(O 为该直 线外一点)，则$019等于()2019A . 2019B. 2020C —^D. 1010 答案 CT T T2019解析 A , B, C 三点共线，且 OB= a 1 OAF a 2°19OC 贝V a 1 + a 2°19= 1,所以 $0伯=—2-(a 1 + 32019)=7.如图，在厶 ABC 中 , AB= AC = 3 , cos / BAC=1 , SC= 2B D 则 AD ・ BC 的值为( )32 T 2 1T T 1 T 2=—§|AB + §AB ・ AC F 31 AC =—6+ 1 + 3=— 2,故选 B.冗一冗-2冗…5 n F D."6A.yB.yC. 20192 ,故选C.A . 2B.— 2C. 3D. — 3 答案 B解析 A D- BC = (AC F C D - BC =8. （2018 •嘉兴期末）对任意两个非零向量 a , b,下列说法中正确的是（）2 2A. （a + b）》（a —b）B. （a + b）A a + b2C. (a + b ) >4| a || b |D. (a + b )2+ (a — b )2>4a • b 答案 D解析 因为(a + b )2 — (a — b )2= 4a • b ,与0的大小关系不确定，所以 A 错误；(a + b )2 — a 2 — b 2 = 2a • b ,与0的大小关系不确定，所以B 错误；(a + b )2 — 4| a || b | = | a |2+ | b |2 +2| a || b |cos 0 — 4|a || b | >2| a || b |(cos 0 — 1)，而 2| a || b |(cos 0 — 1) < 0,所以 C 错误；(a222222+ b ) + (a — b ) — 4a • b = 2(| a | + | b | — 2a • b ) = 2( a — b ) >0 ,所以(a + b ) + (a — b )2>4a • b ,故选 D.9.如图，在等腰梯形 ABCD^，已知 DC/ AB, / ADC= 120°, AB= 4, CD= 2，动点E 和F 分 别在线段BC 和 DC 上，且Bfe=kBC DF =入D C 则X E -希勺最小值是2入A . 4 6 + 13B . 4 6 — 13 厂 13厂 13 C. 4 6 + y D 4 6 — y答案 B解析 在等腰梯形 ABCDK AB= 4, CD= 2,Z ADC= 120°,易得 AD= BC= 2. 由动点E 和F 分别在线段BC 和 DC 上得， 0< 丄 <1, 12入 所以$<入<1.20< 入 <1,所以X E- B F = (AB^B E •(B C >C F )=XB- B C + B E - BC >XB- C F + B E - C F=| X B •i BC cos120 ° + | B E •丨 BC — | AB •)CF +1 晶•1+ — X 2 — 4X (1 —入)X 2+ — X (1 —入)X 2X2 入入| CF cos60=4X 2X38 入X "3 = 4yf6—13, =—13+ 8 入 + —>—13 + 2 入当且仅当"严时取等号.所以AL BF的最小值是4.6—13.110.已知共始点的三个向量 e 1,e 2,m 且e 1,e 2为单位向量，e 1 - e 2= m= xe 1 + ye,若m- e 1>0, m- e 2<0,且满足x + y = 1,则实数x 的取值范围是（ ）A . ( —g,— 2) C. (1 ,+g ) 答案 D解析 由m= xe 1+ ye 2及x + y = 1,可知 m 的终点与 e 1, e 2的终点共线，由 n r e 1>0，可知 m 与e 1的夹角为锐角或同向共线， 由m- e 2<0,可知m 与e 2的夹角为钝角或反向共线， 又由| e 1| 1 n=I 閔=1, e 1 - e 2= 2得〈e 1, e 2>=—令 e 1 = OA e 2 = OB m= OM可知x >2. 第n 卷（非选择题共110分）中横线上） 11.已知复数・ 2017 | ・2018z = i + i答案 —i — 1 .10 _2-解析 因为z : ・ 20172018.=1 + i = 1 因为z + 3 i + 2 1 + 3ii — 1,所以 z =— i — 1. ，则z 的共轭复数zz + 2— i二、填空题（本大题共7小题, B . (1,2) D. (2 ,+g)作 OCL OB 易得 0C= 2e i — e 2. 由题意可知点 M 在射线CD±（点C 除外）运动, 多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分•把答案填在题所以1+ 910 z + 2 = 2= 2 .则A , B , M 三点共线，且〈m 如图所示,12.已知点0ABC内一点，且满足O AF OB^ 40C= 0.设厶OBCI A ABC的面积分别为S1,SS2,则S；=1答案66解析设E为AB的中点，连接0E延长0C到D,使0D= 40C因为点0为厶ABC内一点，且满足OAb 血4^0= 0,所以OAb 血6D= 0,则点O是厶ABD的重心，贝U E, O, C, D共线，11 S 1 OD： OE= 2 : 1，所以OC OE= 1 : 2,贝U CE： OE= 3 : 2,贝U S =-S A BCE=；S A ABC所以.3 6 S a 613. ______________ 在△ ABC中, AB= 6, AC= 5, A= 120°,动点P在以C为圆心，2为半径的圆上，则PA- P B 的最小值是.答案16解析设AB的中点为M则PA- P B=1PM I P B2- 1P A-P B 2=P M- M A=P I\M- 9,所以要求P A-內的最小值，即求| P M的最小值，显然当点P为线段MC与圆的交点时，i P M取得最小值，最小值为I M C—2.在厶AM（中，由余弦定理得 |屁2= 32+ 52—2X 3X 5X cos120°= 49,所以|MC = 7所以|PM的最小值为5,则P A- PB的最小值为16.14. ______________________________________________________________ 在△ ABC中, AB= 3AC / CAB= 120°,以A为圆心，AC长为半径作圆弧，交AB于点D, M为圆弧CD上任一点，A M= xAB+ yAC贝卩3x+ y的取值范围为____________________________________________ ,xy的最大值为1答案[1,2] 3解析如图，连接设A M=入A N 贝U 入€ [1,2].■/ AM= xAB+ yAC= 3xAb+ y X C由C, N, D 三点共线，得3x + y = 1,入 入•••3 x + y =入 € [1,2].21• 4X3 x • y w (3 x + y ) <4,「. xy < -,3, 「 1 3x = y ,x =o , 1当且仅当£即f 3 时取等号，•( Xy )max =?3x + y = 2,3y = 1215.在平面中，已知向量 a , b 的夹角为 才,| a - b | = 6，向量c — a , c — b 的夹角为一扌,| c—a | = 2击，贝U a 与c 的夹角为 _________ ; a • c 的最大值为 ________ .n答案—18+12 3解析设 a = O A b = O B c = O C则 a 一 b = BA c 一 a = AC c 一 b = BC,2知/ Ao =nn, / ACB = -n.当点Q C 在AB 两侧时，由题可得 Q A , C, B 四点共圆, 2 n 在厶 ABC 中 , BA= 6 , AC= 2 3 , / ACB=〒, 由正弦定理得AC ,sin Z ACB sin Z CBA1 n贝U sin Z CB/=-,即Z CB/=2 6nn则/ CB =Z coy ,可得a 与c 的夹角为E 因为 |c — a | = 2 3 , 2 2所以 12= c + a — 2a • c >2| a || c | — 2a • c ,na • c = | a || c |cos —得 | a || c | =4所以 12》一^a • c — 2a • c , 所以 a • c w 6¥； = 18 +12寸3.2—彳3当点Q C 在AB 同侧时，可得点 A , B, O 在以C 为圆心，AC 为半径的圆上，则当点 Q C, A 在同一直线上，即 OA 为圆C 的直径时，a • c = OA 0（取得最大值, (a • c ) max = | OA ・| OC = 4*3 X2 3 = 24.又由2c,n 综上所述，a • c的最大值为18 + 12 3，此时a与c的夹角为—.16. 已知定点A,B满足= 2，动点P与动点M满足|PB| = 4,AM=入AB+ (1 —入)Ap入€ R),且I屁\ = I MfP，则X P- AM勺取值范围是______ ；若动点C也满足| CB = 4，则X C- AM勺取值范围是_________ .答案[2,18] [ —6,18]解析因为AM=入AB^ (1 —入)Ap入€ R),入+ 1 —入=1 ,所以根据三点共线知，点M在直线PB上，又| XA = | X P,记PA的中点为D,连接MD如图，则MDLAP X P- AM= X P-(A D+ 3M=AP・ AD+ 0=£A P,因为|PB = 4,所以点P在以B为圆心，4为半径的圆上, 则| X P € [2,6]，贝y AP・ AM= 2A P C [2,18].由于| MA +1 M B = I XP +1X B = 4,所以点M在以A, B为焦点，长轴长为4的椭圆上，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，2 2则椭圆方程为X+y = 1,4 32 2点C在圆(x —1) + y = 16 上，A—1,0),设M2cos a , 3sin a ), C(4cos 3 + 1,4sin 3 ),则AC= (4cos 3 + 2,4sin 3 ),^\== (2cos a + 1,』3sin a ),/^C- XM= (8cos a + 4)cos 3 + 4 3sin a sin 3 + 4cos a + 2 =7(8cos a + 4 2+ (4^3S in a 丫sin( 3 + 0 ) + 4cos a + 2=(4cos a + 8)sin( B + 0 ) + 4cos a + 2,最大值是(4cos a + 8) + 4cos a + 2= 8cos a + 10< 18,最小值是—(4cos a + 8) + 4cos a + 2= —6,所以A C-X M E [ —6,18].17. _______________________________________ 已知平面向量a, b, c,其中a, b的夹角为B,若| a| -| b| - sin 0 = 2, c=^ a+ b(入为实数)，则c -(c —a) + a2的最小值是 .答案 2 3解析方法一令3= a, 0B= b, 0G= c,则/ BOA= 0，并记| OA = | a| = a, | 0耳=| b| = b,线段OA的中点为M 则|a| • b| - sin 0 = ab sin 0 = 2.由c = X a + b 知，c —b = X a, 即卩BC// OAc •( c —a) + a2= 0C-( OC— S A + a2-A -A 2 ~A -A 2=OC- AC+ a = CO- C/+ a1 -A —A2 ~A —A 2 2=-[(COF CA —(CO- CA ] + a4=C M- 4a2+ a2= | CM2+ 4a2.又I d M ^1 —B sin / BOA= b sin 0 ,所以c •( c—a) + a2= | C M2+ |a2> b2sin 20 + 3a24 4b2sin 20 - 4a2= >^3ab sin 0 = 2p.3当且仅当b2sin 20 = a2时取到最小值.4方法二令OA= a, OB= b, OC= c,/ BOA= 0 , | OA = | a| = a, | OB = I b| = b,2由| a| ・| b| • sin 0 = ab sin 0 = 2,得b sin 0 =. a设Q0,0) , A(a,0) , Bm I ,I=a, c = X a+ b = n+aX =2，三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）18. （14分）（2018 •杭州萧山区第一中学月考 ）已知复数z =1 + i3K2 5— i.3十I （1）求 |z | ；⑵若z （z 十a ） = b + I ，求实数a , b 的值.「•I z | = 10.(2) J (3 — I)(3 — I 十 a ) = (3 — I) 2+ (3 — I) a =8 十 3a — (a + 6)I = b 十 I , 8十 3a = b , l a = — 7,•••得—a + 6 = 1,|b =— 13.19. (15分)(2019 •湖州调研)已知平面向量 a , b 满足| a | = 1, |3a — 2b | = 13，且a , b 的 夹角为60°. (1) 求|b |的值；⑵求2a — b 和a — 2b 夹角的余弦值.解 (1)由已知得 |3 a — 2b | = 9+ 4|b | — 12a • b=9十 4|b |2— 12X| b | X cos60° = 13,2即 2| b | — 3| b | — 2= 0，解得 | b | = 2. (2) |2 a — b | = .4+ 4 — 4X 2cos60° = 2, | a — 2b | = . 1 十 16 — 4X 2cos60°= . 13.又(2 a — b ) •( a — 2b ) = 2+ 8 — 5X 2cos60° = 5.当且仅当 3 2 44a =a时取到最小值.2I 十 10— 2I (1) J Z= ^十—10 10 3— I -. 3+ I — 10 — 3 I4贝U c •( c — a ) + a 2 = a 2K a a2=x — ax +2a(2a—b )• (a—2b = 5 =|2a—b|| a —2b| = 2^13 = "2T所以2a—b和a—2b夹角的余弦值为20. （15分）如图，在A OABK 点P 为线段AB 上的一个动点（不包含端点），且满足AP=入PB1⑴若入=2，用向量OA 6B 表示6P⑵ 若l OA = 4, | 0B = 3,且/ AO B= 60°,求 O P- AB 取值范围.-> 1 -> -> -> 1 -> ->解⑴••• AF ^ 严二 0巴 OA ^（OB- OP , 3 T T 1T T 1T ••• Q OI O 用 2°B 即 Oi 3O/V 3OB⑵•/ OA- T B= | OA -| T B • COS 60°= 6,辰入 F B 入 >0）,OF - OA =入（OB ~ op , （1 + 入）OP = OAF 入 O B-晁 1 TA ^ 入 T B…OP= 1 +入 O/+1 +入 OB—16+ 9X+ 6- 6入 3X — 10131TI = 1+ 入=3 - T +T .（1）求 COS / AOC 勺值;••• S P ・AB=T/+缶11+入OA+•/入 >0, 13• 3- L （ - 10,3）•AB 的取值范围是（—10,3）21.（15分））设AD 是半径为5的半圆O 的直径（如图），B, C 是半圆上两点,已知 AB= BC= . 10.x1+入（2）求DC- DBM 解⑴如图，连接OB3故DC- DB= 8X3 10X = 72. 方法二 DC- DB = (Oc-O D •( Oi O D=(0(+ OA • ( OBb OA=O C O A + Oc OB^ O B- 0+ OA =| 0C °A cos / AO (+ | O C °B cos / C0+| O B I OA cos / AO + 25 =7 + 20+ 20+ 25= 72.方法三 如图建立平面直角坐标系, 由⑴ 知，B , C 的坐标分别为 B (4,3) , C 7, 24 , 又 D ( — 5,0),则 DC= 32 24 , °B= (9,3)，可得 DC- °B= 72.3i22.(15 分)如图，在△ ABC 中, AM = 4AB+ 4ACA25+ 25- 10 4由余弦定理得cos/ AO =Z 茹5=5.又在 Rt △ ADB 中, sin / 10，可得cos / AD =斋1DB =3 10, 所以cos / BD(=-^,由 AB= BC 知/ AOC 2 / AOB / AD =Z BDC 则 | DC = 8.⑴ 求厶ABM^A ABC 勺面积之比；⑵ 若N 为AB 中点，AM 与交于点P,且AP = x AB^ yACx , y € R ），求x + y 的值. 解 ⑴ 在厶 ABC中, AM= 3AB+〔AC4A MI = 3A B + AC 3(A MI - A B = AC > AM1即3BMI= MC 即点M 是线段BC 靠近B 点的四等分点•故△ ABM^A ABC 的面积之比为~.AP^ xAB+ yAC (x , y € R)，所以 x = 3y,因为N 为AB 的中点，所以 祜=AP-恥 xAfe+ yAC — 1AB= [x -1 斛 yAC即 2x + y = 1，又 x = 3y , 3 1 4所以 x = 7, y = 7,所以 x + y = 7.(2)因为AM=XM/AP,因为祚// C p 所以x -1 (y - 1) = xy ,。
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测六平面向量与复数单元检测含解析201905072127
单元检测六 平面向量与复数(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足i z ＝3＋4i ，则|z |等于( ) A ．1B ．2C.5D ．5 答案 D解析 因为z ＝3＋4ii ＝－(3＋4i)i ＝4－3i ，所以|z |＝42＋(－3)2＝5.2．若z 1＝(1＋i)2，z 2＝1－i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 B解析 ∵z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ， ∴z 1z 2＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋2i2＝－1＋i.3．设平面向量m ＝(－1,2)，n ＝(2，b )，若m ∥n ，则|m ＋n |等于( ) A.5B.10C.2D ．3 5 答案 A解析 由m ∥n ，m ＝(－1,2)，n ＝(2，b )，得b ＝－4， 故n ＝(2，－4)，所以m ＋n ＝(1，－2)， 故|m ＋n |＝5，故选A.4.如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－4CB →，则( )A ．c ＝12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝－13a ＋43b答案 D解析 c ＝OB →＋BC →＝OB →＋13AB →＝OB →＋13(OB →－OA →)＝43OB →－13OA →＝43b －13a .故选D.5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 因为a ⊥b ，所以x －3＝0，解得x ＝3，所以a ＝(3，1)，a －3b ＝(0,4)，则cos 〈a －3b ，b 〉＝(a －3b )·b |a －3b |·|b |＝－434×2＝－32，所以向量a －3b 与b 的夹角为5π6，故选D.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2019OC →，且A ，B ，C 三点共线(O 为该直线外一点)，则S 2019等于( ) A ．2019B ．2020C.20192D ．1010答案 C解析 A ，B ，C 三点共线，且OB →＝a 1OA →＋a 2019OC →，则a 1＋a 2019＝1，所以S 2019＝20192(a 1＋a 2019)＝20192，故选C. 7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC →的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 答案 B解析 AD →·BC →＝(AC →＋CD →)·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋23CB →·BC →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤AC →＋23(AB →－AC →)·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →)＝－23|AB →|2＋13AB →·AC →＋13|AC →|2＝－6＋1＋3＝－2，故选B.8．(2018·嘉兴期末)对任意两个非零向量a ，b ，下列说法中正确的是( ) A ．(a ＋b )2≥(a －b )2B ．(a ＋b )2≥a 2＋b 2C ．(a ＋b )2≥4|a ||b | D ．(a ＋b )2＋(a －b )2≥4a ·b 答案 D解析 因为(a ＋b )2－(a －b )2＝4a ·b ，与0的大小关系不确定，所以A 错误；(a ＋b )2－a 2－b 2＝2a ·b ，与0的大小关系不确定，所以B 错误；(a ＋b )2－4|a ||b |＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ－4|a ||b |≥2|a ||b |(cos θ－1)，而2|a ||b |(cos θ－1)≤0，所以C 错误；(a ＋b )2＋(a －b )2－4a ·b ＝2(|a |2＋|b |2－2a ·b )＝2(a －b )2≥0，所以(a ＋b )2＋(a －b )2≥4a ·b ，故选D.9.如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝12λBC →，DF →＝λDC →，则AE →·BF →的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－132答案 B解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2. 由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得， ⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1.所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →) ＝AB →·BC →＋BE →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·CF →＝|AB →|·|BC →|cos120°＋|BE →|·|BC →|－|AB →|·|CF →|＋|BE →|·|CF →|cos60° ＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号． 所以AE →·BF →的最小值是46－13.10．已知共始点的三个向量e 1，e 2，m ，且e 1，e 2为单位向量，e 1·e 2＝12，m ＝x e 1＋y e 2，若m ·e 1>0，m ·e 2<0，且满足x ＋y ＝1，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 由m ＝x e 1＋y e 2及x ＋y ＝1，可知m 的终点与e 1，e 2的终点共线，由m ·e 1>0，可知m 与e 1的夹角为锐角或同向共线，由m ·e 2<0，可知m 与e 2的夹角为钝角或反向共线，又由|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝12，得〈e 1，e 2〉＝π3.令e 1＝OA →，e 2＝OB →，m ＝OM →，则A ，B ，M 三点共线，且〈m ，e 1〉为锐角，〈m ，e 2〉为钝角，如图所示，作OC ⊥OB ，易得OC →＝2e 1－e 2，由题意可知点M 在射线CD 上(点C 除外)运动， 可知x >2.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知复数z ＝i 2017＋i 2018，则z 的共轭复数z ＝________，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋3z ＋2＝________. 答案 －i －1 102解析 因为z ＝i 2017＋i2018＝i －1，所以z ＝－i －1.因为z ＋3z ＋2＝i ＋2－i ＋1＝1＋3i 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋3z ＋2＝1＋92＝102. 12．已知点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0.设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝______.答案 16解析 设E 为AB 的中点，连接OE ，延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，因为点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，所以OA →＋OB →＋OD →＝0，则点O 是△ABD 的重心，则E ，O ，C ，D 共线，OD ∶OE ＝2∶1，所以OC ∶OE ＝1∶2，则CE ∶OE ＝3∶2，则S 1＝13S △BCE ＝16S △ABC ，所以S 1S 2＝16.13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 16解析 设AB 的中点为M ，则PA →·PB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(PA →＋PB →)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(PA →－PB →)2＝PM →2－MA →2＝PM →2－9，所以要求PA →·PB →的最小值，即求|PM →|的最小值， 显然当点P 为线段MC 与圆的交点时， |PM →|取得最小值，最小值为|MC →|－2.在△AMC 中，由余弦定理得|MC →|2＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49， 所以|MC →|＝7，所以|PM →|的最小值为5， 则PA →·PB →的最小值为16.14．在△ABC 中，AB ＝3AC ，∠CAB ＝120°，以A 为圆心，AC 长为半径作圆弧，交AB 于点D ，M 为圆弧CD 上任一点，AM →＝xAB →＋yAC →，则3x ＋y 的取值范围为________，xy 的最大值为________． 答案 [1,2] 13解析 如图，连接CD 交AM 于点N ，设AM →＝λAN →，则λ∈[1,2]． ∵AM →＝xAB →＋yAC →＝3xAD →＋yAC →， ∴AN →＝3x λAD →＋y λAC →，由C ，N ，D 三点共线，得3x λ＋yλ＝1，∴3x ＋y ＝λ∈[1,2]．∴4×3x ·y ≤(3x ＋y )2≤4，∴xy ≤13，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝y ，3x ＋y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1时取等号，∴(xy )max ＝13.15．在平面中，已知向量a ，b 的夹角为π3，|a －b |＝6，向量c －a ，c －b 的夹角为2π3，|c－a |＝23，则a 与c 的夹角为________；a ·c 的最大值为________． 答案π618＋12 3 解析 设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →， 则a －b ＝BA →，c －a ＝AC →，c －b ＝BC →， 知∠AOB ＝π3，∠ACB ＝2π3.当点O ，C 在AB 两侧时，由题可得O ，A ，C ，B 四点共圆， 在△ABC 中，BA ＝6，AC ＝23，∠ACB ＝2π3，由正弦定理得BA sin∠ACB ＝ACsin∠CBA ，则sin∠CBA ＝12，即∠CBA ＝π6，则∠CBA ＝∠COA ＝π6，可得a 与c 的夹角为π6.因为|c －a |＝23，所以12＝c 2＋a 2－2a ·c ≥2|a ||c |－2a ·c ， 又由a ·c ＝|a ||c |cos π6得|a ||c |＝23a ·c ，所以12≥43a ·c －2a ·c ，所以a ·c ≤632－3＝18＋12 3.当点O ，C 在AB 同侧时，可得点A ，B ，O 在以C 为圆心，AC 为半径的圆上，则当点O ，C ，A 在同一直线上，即OA 为圆C 的直径时，a ·c ＝OA →·OC →取得最大值，(a ·c )max ＝|OA →|·|OC →|＝43×23＝24.综上所述，a ·c 的最大值为18＋123，此时a 与c 的夹角为π6.16．已知定点A ，B 满足|AB →|＝2，动点P 与动点M 满足|PB →|＝4，AM →＝λAB →＋(1－λ)AP →(λ∈R )，且|MA →|＝|MP →|，则AP →·AM →的取值范围是________；若动点C 也满足|CB →|＝4，则AC →·AM →的取值范围是________． 答案 [2,18] [－6,18]解析 因为AM →＝λAB →＋(1－λ)AP →(λ∈R )，λ＋1－λ＝1， 所以根据三点共线知，点M 在直线PB 上， 又|MA →|＝|MP →|，记PA 的中点为D ，连接MD ，如图，则MD ⊥AP ，AP →·AM →＝AP →·(AD →＋DM →)＝AP →·AD →＋0＝12AP →2，因为|PB →|＝4，所以点P 在以B 为圆心，4为半径的圆上， 则|AP →|∈[2,6]，则AP →·AM →＝12AP →2∈[2,18]．由于|MA →|＋|MB →|＝|MP →|＋|MB →|＝4， 所以点M 在以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆上，以直线AB 为x 轴， 线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 则椭圆方程为x 24＋y 23＝1，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝16上，A (－1,0)， 设M (2cos α，3sin α)，C (4cos β＋1,4sin β)， 则AC →＝(4cos β＋2,4sin β)， AM →＝(2cos α＋1，3sin α)，AC →·AM →＝(8cos α＋4)cos β＋43sin αsin β＋4cos α＋2 ＝(8cos α＋4)2＋(43sin α)2sin(β＋φ)＋4cos α＋2＝(4cos α＋8)sin(β＋φ)＋4cos α＋2，最大值是(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝8cos α＋10≤18， 最小值是－(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝－6， 所以AC →·AM →∈[－6,18]．17．已知平面向量a ，b ，c ，其中a ，b 的夹角为θ，若|a |·|b |·sin θ＝2，c ＝λa ＋b (λ为实数)，则c ·(c －a )＋a 2的最小值是________． 答案 2 3解析 方法一 令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则∠BOA ＝θ，并记|OA →|＝|a |＝a ，|OB →|＝|b |＝b ， 线段OA 的中点为M ，则|a |·|b |·sin θ＝ab sin θ＝2. 由c ＝λa ＋b 知，c －b ＝λa ，即BC ∥OA ，c ·(c －a )＋a 2＝OC →·(OC →－OA →)＋a 2＝OC →·AC →＋a 2＝CO →·CA →＋a 2 ＝14[(CO →＋CA →)2－(CO →－CA →)2]＋a 2 ＝CM →2－14a 2＋a 2＝|CM →|2＋34a 2.又|CM →|≥|OB →|sin∠BOA ＝b sin θ，所以c ·(c －a )＋a 2＝|CM →|2＋34a 2≥b 2sin 2θ＋34a 2≥2b 2sin 2θ·34a 2＝3ab sin θ＝2 3.当且仅当b 2sin 2θ＝34a 2时取到最小值．方法二 令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∠BOA ＝θ，|OA →|＝|a |＝a ，|OB →|＝|b |＝b ， 由|a |·|b |·sin θ＝ab sin θ＝2，得b sin θ＝2a.设O (0,0)，A (a,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫m ，2a ，则a ＝(a ，0)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫m ，2a ，令c ＝λa ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋λa ，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2a ，则c ·(c －a )＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，2a ＋a 2＝x 2－ax ＋4a2＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－14a 2＋4a 2＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋34a 2＋4a 2≥0＋234a 2·4a2＝23， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2，34a 2＝4a2时取到最小值．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)(2018·杭州萧山区第一中学月考)已知复数z ＝(1＋i )2＋2(5－i )3＋i .(1)求|z |；(2)若z (z ＋a )＝b ＋i ，求实数a ，b 的值． 解 (1)∵z ＝2i ＋10－2i 3＋i ＝103＋i ＝10(3－i )10＝3－i ，∴|z |＝10.(2)∵(3－i)(3－i ＋a )＝(3－i)2＋(3－i)a ＝8＋3a －(a ＋6)i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋3a ＝b ，－(a ＋6)＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－7，b ＝－13.19．(15分)(2019·湖州调研)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|3a －2b |＝13，且a ，b 的夹角为60°. (1)求|b |的值；(2)求2a －b 和a －2b 夹角的余弦值． 解 (1)由已知得|3a －2b |2＝9＋4|b |2－12a ·b ＝9＋4|b |2－12×|b |×cos60°＝13， 即2|b |2－3|b |－2＝0，解得|b |＝2. (2)|2a －b |＝4＋4－4×2cos60°＝2， |a －2b |＝1＋16－4×2cos60°＝13. 又(2a －b )·(a －2b )＝2＋8－5×2cos60°＝5.所以2a －b 和a －2b 夹角的余弦值为(2a －b )·(a －2b )|2a －b ||a －2b |＝5213＝51326.20．(15分)如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足AP →＝λPB →.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA →|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →取值范围． 解 (1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)，∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →. (2)∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos60°＝6，AP →＝λPB →(λ>0)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →， ∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB →＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ OA →＋λ1＋λ OB →·(OB →－OA →) ＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2＋⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ－λ1＋λOA →·OB → ＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ>0，∴3－131＋λ∈(－10,3)．∴OP →·AB →的取值范围是(－10,3)．21.(15分)(2018·温州测试)设AD 是半径为5的半圆O 的直径(如图)，B ，C 是半圆上两点，已知AB ＝BC ＝10.(1)求cos∠AOC 的值； (2)求DC →·DB →的值． 解 (1)如图，连接OB ，由余弦定理得cos∠AOB ＝25＋25－102×5×5＝45. 由AB ＝BC 知∠AOC ＝2∠AOB ，则cos∠AOC ＝cos2∠AOB ＝2cos 2∠AOB －1＝725.(2)方法一 由题意可知∠ADC ＝∠AOB ，∠ADB ＝∠BDC ，则|DC →|＝8.又在Rt△ADB 中，sin∠ADB ＝1010， 可得cos∠ADB ＝310，|DB →|＝310， 所以cos∠BDC ＝310，故DC →·DB →＝8×310×310＝72. 方法二 DC →·DB →＝(OC →－OD →)·(OB →－OD →)＝(OC →＋OA →)·(OB →＋OA →)＝OC →·OA →＋OC →·OB →＋OB →·OA →＋OA →2＝|OC →||OA →|cos∠AOC ＋|OC →||OB →|cos∠COB ＋|OB →||OA →|cos∠AOB ＋25＝7＋20＋20＋25＝72.方法三 如图建立平面直角坐标系，由(1)知，B ，C 的坐标分别为B (4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫75，245， 又D (－5,0)，则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫325，245，DB →＝(9,3)，可得DC →·DB →＝72. 22.(15分)如图，在△ABC 中，AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM →与CN →交于点P ，且AP →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，求x ＋y 的值．解 (1)在△ABC 中，AM →＝34AB →＋14AC →， 4AM →＝3AB →＋AC →，3(AM →－AB →)＝AC →－AM →，即3BM →＝MC →，即点M 是线段BC 靠近B 点的四等分点．故△ABM 与△ABC 的面积之比为14. (2)因为AM →＝34AB →＋14AC →，AM →∥AP →， AP →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，所以x ＝3y,因为N 为AB 的中点，所以NP →＝AP →－AN →＝xAB →＋yAC →－12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12AB →＋yAC →， CP →＝AP →－AC →＝xAB →＋yAC →－AC →＝xAB →＋(y －1)AC →，因为NP →∥CP →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(y －1)＝xy ， 即2x ＋y ＝1，又x ＝3y ，所以x ＝37，y ＝17，所以x ＋y ＝47.。
广东省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：平面向量
为 AC 的中点，则 AB BE ＝ （ A ）一 2 （ B）一 l
（C）0
（D） l
24、（湛江 2019 高三一模）在正三角形 ABC 中， AB ＝2， BD
DC , AE
1 EC ，且 AD 与 BE 相 2
交于点 O，则 OA OB ＝
4
A 、－
5
3 B、－
4
2 C、－
3
1 D 、－
2
25、（汕头市 2019 届高三第一次（ 3 月）模拟考试）已知向量 a (3,1), b (1,3), c (k, 2) ，若
则 m＝
18 、（ 清 远 市 2019 届 高 三 上 期 末 ） 设 向 量 a
1,2 ， 若 单．位．向．量．b 满 足 a a 3b ， 则
a b=
.
19、（肇庆市 2019 届高三上学期期末） 已知 ABC 的边 BC 上有一点 D 满足 BD 3DC ，则 AD 可
表示为
A． AD C． AD
（ 1）求向量 a 与 b 的夹角； （ 2）若 ( b a) ⊥ a ，求实数 的值．
参考答案：
一、选择、填空题
1、2
2、C
3、 B
6、A
7、 B
4、A
5、 A
8、 7
9、 D
10、C
3
11、
3
12、A 15、3 16、A 21、A
13、 B 14、 2
1 17 、
2 22、 D
18、 5 19、 A 3
ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中
A 、 3 AB
1 AC
4
4
1
3
B. AB AC
2020年高考数学总复习配套测评卷单元检测卷(六)平面向量新人教版.doc
《新高考全案》高考总复习配套测评卷单元检测卷(六)平面向量时间：90分钟 满分：150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)1．已知向量a 表示“向东航行1km”，向量b 表示“向南航行1km”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东南航行2kmB ．向东南航行2kmC ．向东北航行2kmD ．向东北航行2km [解析] 由向量加法的几何意义知选A. [答案] A2．若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·cC ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )[解析] 因为(a ·b )·c ＝|a |·|b |cos θ·c ，而a ·(b ·c )＝|b |·|c |cos θ·a ；而c 方向与a 方向不一定同向．[答案] D3．(2008·湖北，1)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b [答案] B4．(2009·广东，3)已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线[解析] a ＋b ＝(0,1＋x 2),1＋x 2≠0.故a ＋b 平行于y 轴． [答案] C5．(2009·湖南，4)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0[解析] 由图可知AD →＝DB →，CF →＝FA →＝ED →.在△DBE 中，DB →＋BE →＋ED →＝0，即AD →＋CF →＋BE →＝0. [答案] A 6．(2009·浙江，5)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[解析] 设c ＝(x ，y )，故c ＋a ＝(1＋x,2＋y ) a ＋b ＝(3，－1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(1＋x )×(－3)－(y ＋2)×2＝03x －y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－79y ＝－73∴c ＝(－79，－73)．[答案] D7．(2010·广东六校联考)已知向量a ，b ，x ，y 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0且⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x ＋yb ＝2x －y ，则|x |＋|y |＝ ( )A.2＋ 3B.2＋ 5C.3＋ 5 D ．7 [答案] B8．(2009·陕西，8)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49[解析] PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PM →＝－2|PA →|·|PM →|＝－2×23×13＝－49[答案] A二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)9．(2008·深圳测试)已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则点A 、B 、C 、D 中一定共线的三点是________．[答案] A 、B 、D10．(2007·广东)若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ，b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________.[解析] a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×12＝32.211．(2009·辽宁，13)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．[解析] 设D (x ，y )，由于AC 与BD 中点相同 故－2＋8＝6＋x ，x ＝0 又0＋6＝8＋y ，y ＝－2 ∴D ＝(0，－2) [答案] (0，－2)12．若向量a 、b 的夹角为150°，|a |＝3，|b |＝4，则|2a ＋b |＝________.[解析] |2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4a ·b＝12＋16＋4×3×4×cos150°＝2. [答案] 213．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(3,3),2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝________. [解析] 设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)， 2b －a ＝(－1,1)，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝932·5＝31010[答案]3101014．已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝4，(12a ＋b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________．[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos ＜a ，b ＞ ＝4|b |cos45°＝22|b |， 又(12a ＋b )·(2a －3b )＝|a |2＋12a ·b －3|b |2 ＝16＋2|b |－3|b |2＝12，解得|b |＝2或|b |＝－232(舍去)．b 在a 上的投影为|b |cos ＜a ，b ＞＝2cos45°＝1.[答案] 2 1三、解答题(共4小题，满分52分)15．(本小题满分12分)设e 1，e 2的两个单位向量，若e 1与e 2的夹角为60°，试求向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝－3e 1＋2e 2的夹角．[解] |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22＝5＋4cos60°＝7 ∴|a |＝7，同理|b |＝7，又a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－72设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12，∴θ＝120°16．(2009·湖南，16)(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值． [解] (1)∵a ∥b∴2sin θ＝cos θ－2sin θ即4sin θ＝cos θ4(2)由|a |＝|b |∴sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5即1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5化简得sin2θ＋cos2θ＝－1故有sin(2θ＋π4)＝－22又∵θ∈(0，π)∴2θ＋π4∈(π4，94π)∴2θ＋π4＝54π或2θ＝π4＝74π∴θ＝π2或θ＝34π17．(2009·上海，20)(本小题满分14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)求m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)[证明] ∵m ∥n ∴a sin A ＝b sin B即a ·a 2R ＝b ·b2R .其中R 为△ABC 外接圆半径．∴a ＝b∴△ABC 为等腰△.(2)[解] 由题意，m ·p ＝0 ∴a (b －2)＋b (a －2)＝0 ∴a ＋b ＝ab由余弦定理4＝a 2＋b 2－2ab ·cos π3∴易得4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab∴ab 2－3ab －4＝0∴ab ＝4或ab ＝－1(舍去)∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×4×sin π3＝ 3 18．(本小题满分14分)已知M (0，－2)，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P在直线AB 上，且满足AP →＝PB →，MA →·AP →＝0.(1)当A 点在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过(－2,0)的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解] (1)设P (x ，y )，A (x A,0)，B (0，y B )，y B ＞0.则AP →＝(x －x A ，y )，PB →＝(－x ，y B －y )． 由AP →＝PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x A ＝－x ，y ＝y B －y ，即x A ＝2x ，y B ＝2y .又MA →＝(x A,2)，AP →＝(x －x A ，y )，∴MA →＝(2x,2)，AP →＝(－x ，y )．由MA →·AP →＝0得x 2＝y (y ≥0)． (2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，因为y ′＝2x ，故两切线的斜率分别为2x 1、2x 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y y ＝k (x ＋2)得x 2－kx －2k ＝0，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2k .当l 1⊥l 2时，4x 1x 2＝－1，所以k ＝18.所以，直线l 的方程是y ＝18(x ＋2)．。
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16．在平行四边形 ABCD 中，已知 AB 1， AD 2 ， BAD 60 ，若 CE ED ， DF 2FB ，
则 AE AF __________．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
D． 2
6．向量 a (2, t) ， b (1, 3) ，若 a ， b 的夹角为钝角，则 t 的范围是（ ）
A． t 2 3
B． t 2 3
C． t 2 且 t 6 D． t 6 3
7．如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 是线段 BD 上靠近 D 的三等分点， F 是线段 BD 的中
AB
1
AD
1
AB
2
AB
1
AD
，
33
33
所以
AF
CE
(1
AD
1
AB) (
2
AB
1
AD)
1
2 AD
1
2 AB
1
4
2
．
2
2
33
6
19．（12 分）设 是单位圆 和 轴正半轴的交点，
，
x
0,
π 2
．
是圆 上两点， 为坐标原点， AOP π ， 4
20．（12
分）已知向量
a
cos
x 2
,
sin
x 2
，
b
cos
3x 2
,
sin
3x 2
，且
x
π 2
,
π
．
（1）求 a b 以及 a b 的取值范围；
点，则 AF CE （ ）
A． 4
8．已知
B． 3
的面积为 2，在
C． 6
D． 2
所在的平面内有两点 、 ，满足 PA PC 0 ， QA 2BQ ，
则 的面积为（ ）
1
A．
3
9．已知
1
B．
2
中，
2
C．
3
D．1
为 的重心，则 AG GC （ ）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出 的四个选 项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】B
【解析】因为向量 a (1, 2) ， b (2x, 1) ， 若 a∥b ，则 1 (1) 2 2x 0 ，解得 x 1 ，故选 B．
4
1．设向量 a (1, 2) ， b (2x, 1) ，若 a∥b ，则 x （ ）
1
A．
2
1
B．
4
C．4
2．已知向量 a (5, m) ， b (2, 2) ，若 (a b) b ，则 m （
D．2 ）
A． 1
B．1
C．2
D． 2
3．平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ，| a | 2 | b | 1，则| a 2b | （ ）
AB
BC
9
9
1 9
42
42
3
2
cosB
67 18
．
10．【答案】A
【解析】因为 a cos 2,sin ，
所以 a cos 22 sin2 1 4cos 4 5 4cos ，
因为 ，所以
67
A．
18
B． 67 18
26
C．
9
D． 26 9
10．已知向量 a cos 2,sin ，其中 ，则 a 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
11．已知平面向量 OA ， OB 满足 OA OB
1
，
OA
OB
3 向量 a (2,t) ， b (1,3) 共线时， 2 3 t ，得 t 6 ．此时 a 2b ．
所以 t 2 且 t 6 ．故选 C． 3
7．【答案】D
【解析】因为
AF
1
AD
1
AB
，
2
2
CE
CD
DE
（
）
1
D．
2
所在平面内的一点，
3
A．
B．
C．
D． 2
5
5
的外心，
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知向量 a 2 ， b 1，且 a 与 b 的夹角为 45 ，则 a 在 b 方向上的投影为_____． 14．已知两个单位向量 a ， b ，满足 a b 3 b ，则 a 与 b 的夹角为_______．
2
则
，
设
，则
2 PA
2 PB
2 PC
x2
y2
x
62
y2
x2
y
32
，
所以当
x=2，y=1
时
2 PA
2 PB
2 PC
取最小值，
此时 AP BC 2,1 6,3 9 ．故选 B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】 2 【解析】由向量数量积的几何意义可得， a 在 b 方向上的投影为 a cos a, b 2 cos 45 2 ，
故答案为 2 ． 2π
15．如图，在矩形 ABCD 中， AB 2 ， BC 2 ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在直线 CD 上，
若 AB AF 2 ，则 AE BF ______．
18．（12 分）如图，已知正三角形 的边长为 1，设 AB a ， AC b ．
A． 3
B．12
C．4
4．设非零向量 a ， b 满足 a b a b ，则（ ）
D． 2 3
A． a b
B． a b
C． a∥b
D． a b
5．已知 a 6 ， b 3 ， a b 12 ，则向量 a 在 b 方向上的投影为（ ）
A． 4
B． 4
C． 2
5．【答案】B
【解析】由题意得： cos a, b
ab ab
12 63
2 3
，
向量
a
在
b
方向上的投影为
a
cos
a, b
6
2 3
4
，本题正确选项
B．
6．【答案】C
【解析】若 a ， b 的夹角为钝角，则 a b 0 且不反向共线， a b 2 3t 0 ，得 t 2 ．
，
3
3
所以
AG
GC
1
AC AB
AC BC
9
1
AC
2
AC
AB
AC
BC
AB
BC
1
2 AC
2 AC
中， CD 2BO ， OA 2AD ，
，且 BO AD 1．
（1）用 OA,OB 表示 CB ；
（2）点 在线段 上，且
，求
的值．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）
第 6 单元 平面向量 答 案
1
DA
，OD
1
OA
，
2
3
ED OB
OD OE
OB
1
OA OB
OE
OB
OE
OB cosBOE
2
2 1．
a2 4b2 4 a b cos 60 22 412 4 21 1 2 3 ，故选 D． 2
4．【答案】A
【解析】由题意知： a b 2 a b 2 ，即 a2 2a b b2 a2 2a b b2 ，
整理得 a b 0 ，a b ，本题正确选项 A．
1 2
AB
2 3
AC
sin
A
2 3
．故选
B．
9．【答案】A
【解析】因为 中，
为 的重心，
所以
，由余弦定理可得 cosB AB2 BC2 AC2 1 ，
2AB BC
4
且
AG
1
AC AB
，
GC
1
AC BC
，故 a 的最小值为
11．【答案】A
【解析】 OAOB 0 OA OB ，
又 OA OB 1，△OAB 为等腰直角三角形，
．故选 A．
为
的外心，