相似三角形解题能力提高
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A
1
B F
E D
C
G
3、存在探索型
如图, ∠B=90°, AF ∥BC， DE是△ABC的中位线， 在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存 在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在， 请说明理由. A F
D
B
E
C
解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即 M点(或作∠MCA= ∠AED). M F 证明：连结MC， A 1 ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，AE＝EC， 4 3 D E 2 又∵ME⊥AC, C ∴AM＝CM， B ∴ ∠1= ∠2 ， ∵∠B=90°， ∴ ∠4＝ ∠B= 90°， ∵AF ∥BC，AM ∥DE, ∴ ∠1= ∠2 ， ∴ ∠3= ∠2 , ∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ， ∴ △ADE ∽△MEC．
E
A
D
M
B
C
2. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边
BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF· EG .
A D E B F G C
分析：要证明 EA2 = EF· EG ， 即 证明 成立，
证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED ∴ ∴
A
y
1
E C
B
x
D
例6、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边
上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE
A 1 D ）2
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
∴Δ ABC∽Δ ADE ∴ ∠BAC=∠DAE ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC B 即∠BAD=∠CAE AB AD AB AC ∴ (2) 由 AC AE AD AE
∵∠BAD=∠CAE ∴Δ ABD∽Δ ACE
∴
AB BD AC CE
∴
BD AC 3 4 CE 2 AB 6
1、已知：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC， 交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB， 求证： △AFD∽ △AEC. A F E B
D
C
例2. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的
中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.
AB BD ， AC AD
分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角 对应相等去判定两个三角形相似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边 MD、ME的比例中项。
证明：①∵∠BAC=90° ∴∠B=∠E M为斜边BC中点 ∴∠MAD= ∠E ∴AM=BM=BC/2 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴ ∠B= ∠MAD ∴△MAD∽ △MEA 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°② ∵ △MAD∽ △MEA ∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE ∴ 即AM2=MD· ME
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
AB BD ∴ CD CE
即
∴ ∴
A 1 B
y
E
2x
1 y
C
1 x 2 x 1 y
x
2
D
1 y x
2x
y x2 2 x 1
0 x 2
2 1 y x 2 2
比等于相似比的平方。
4.相似三角形的基本图形：
如图，在 □ABCD 中， G是 BC 延长线上一点， AG与 BD 交于点 E,与 DC 交于点F ，则图中相似 三角形共有（ ）
A． 3对 C． 5对 B． 4对 D． 6对
A E B F C
D
G
相似三角形的基本图形
A E B F C G D
相似三角形的基本图形
B
C
相似三角形的基本图形
A
A D E B C
B
C
常见的相似三角形的基本图形：
（7）
练 习
如图，∠1=∠2，分别指出其中的相 似三角形和对应边。
A 1 2 B D C
M 1
O
2
P
1
2
N
5. 如图△ADE∽ △ACB
1:3。 则DE:BC=_____
D 7 2
A
3 E 3 C
B
5.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告 牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由 （全等三角形除外） A C E G
2 时 当 x 2
y最小值
1 2
例6、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边 上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD
B 1
A
y
E
2x
1 y
C
x
D
A C
4
D
6 14
B
A C
4
D
6 x P 14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A C
6
B
4
D
x
p P 14―x
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
2以正方形的边长等量过渡。
6. 如图D是△ABC边BC上一点，
连接AD,使△ABC∽△DBA 的条件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD
A
C. AB2=CD· BC
D. AB2=BD· BC
B
DC
6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放 成如图所示的样子,假设图形中的所有点, 线都在同一平面内,试写出一对相似三角形 (不全等) △ADE、△BAE、△CDA都相似 .
练一练
18、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2. 若S△AEF=6cm2,则S△CDF = S
2 =____cm 18 △ADF
D F A B C
54
cm2
E
例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36. 121 则△ABC的面积为________.
19、如图（６）， △ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ， ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ
相似三角形 综合复习（二）
1.相似三角形的定义：
对应边成比例 对应角相等， 的两个三角形叫做相似三角形.
2.相似三角形的判定：
（1）预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与 原三角形相似。
A D E E D A
∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC
C B
两个角对应相等的两个三角形相似
A
D B C E F
A=D B=E
△ABC∽△DEF
ห้องสมุดไป่ตู้
（5）直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直 角三角形相似
3.相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高、对应角平分线，对应 中线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比；面积的
分析：因△ABC∽△ABD，所以 要证 AB DF
AC AF
F D
即证
BD DF ，需证△BDF∽△DAF. AD AF
B
证明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC ∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90° ∴ ∠BAD= ∠C ∵ ∠ADC= 90° E是AC的中点， ∴ED=EC ∴ ∠EDC= ∠C ∵ ∠EDC = ∠BDF
B
E
C
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
例6、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边 上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
而EA、EG、EF三条线段在同 一直线上，无法构成两个三角 形，此时应采用换线段、换比 例的方法。可证明： △AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
例4、如图, 在△ABC中,∠ACB= 900，四边形BEDC为正
方形, AE交BC于F, FG∥AC交AB于G. 求证: FC=FG.
证明: ∵四边形BEDC为正方形 ∴CF∥DE ∴△ACF∽△ADE
１：３：５ =_____________
A D
25
E
36 B F C
例1、如图, AB/AD=BC/DE=AC/AE.(1) 求证: ∠BAD= ∠CAE;(2) 若已知 AB=6, BD=3, AC=4, 求 CE 的长. 证明：
AB BC AC 得 (1) ∵ AD DE AE
A E D C
D C F E B
CF AF ∴ DE AE
①
A
又∵FG ∥AC∥BE
∴△AGF∽△ABE
G
FG AF ∴ BE AE ② 由①②可得：FC FG DE BE
又∵ DE=BE ∴FC=FG
例5、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
例6、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点 D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点 E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
B
1 D
2
F
3
H
∠1+ ∠2+ ∠3＝
度
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ ABC 相似的是（ B）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
7.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB 的中点，点M，N分别在BC，CD上，且 1或4 时，△CMN CM=2，则当CN=_________ 与△ADE相似。
A F G B
A D E B C
A E F C
D
B
C
G
B
C
D
A
相似三角形的基本图形
A
A F
A E G B
A D E
D
B
E
B
C
D
G
C
B
B
C
C
D
A
相似三角形的基本图形
B
C
D
A
B
C
D
A
相似三角形的基本图形
B
C
D
A
B
C
D
A
相似三角形的基本图形
A
A D E B C
B
C
相似三角形的基本图形
A
A D E B C
A D
E B N C
M
AF 1 CG 1 如图，在正方形ABCD中， , . AB 3 CB 4 1EF : FG : GH ; 2AE : CH . 求：
1由平行线分线段成比例定理可得。
D C H G A E F B
EF : FG : GH 3 : 6 : 2
27 AE : CH 16
C
B
（2）相似三角形判定定理1：
三边对应成比例的两个三角形相似.
A
D
B
C
E
F
AB AC BC △ABC∽△DEF = = DE DF EF
（3）相似三角形判定定理2：
两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似.
A D C E F
B
AB AC = DE DF A=D
△ABC∽△DEF
（4）相似三角形判定定理3：
∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD 又∵ ∠F =∠F A ∴ △BDF∽△DAF. ∴ BD DF AD AF ∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC ∴ △ABC∽△ABD ∴ AB BD ∴ AB DF AC AF
AC AD
E
C
例3. △ABC中,∠ BAC是直角,过斜边中点M而垂直于斜边 BC的直线交CA的延长线于E,交AB于D,连结AM. 求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME
1
B F
E D
C
G
3、存在探索型
如图, ∠B=90°, AF ∥BC， DE是△ABC的中位线， 在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存 在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在， 请说明理由. A F
D
B
E
C
解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即 M点(或作∠MCA= ∠AED). M F 证明：连结MC， A 1 ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，AE＝EC， 4 3 D E 2 又∵ME⊥AC, C ∴AM＝CM， B ∴ ∠1= ∠2 ， ∵∠B=90°， ∴ ∠4＝ ∠B= 90°， ∵AF ∥BC，AM ∥DE, ∴ ∠1= ∠2 ， ∴ ∠3= ∠2 , ∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ， ∴ △ADE ∽△MEC．
E
A
D
M
B
C
2. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边
BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF· EG .
A D E B F G C
分析：要证明 EA2 = EF· EG ， 即 证明 成立，
证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED ∴ ∴
A
y
1
E C
B
x
D
例6、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边
上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE
A 1 D ）2
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
∴Δ ABC∽Δ ADE ∴ ∠BAC=∠DAE ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC B 即∠BAD=∠CAE AB AD AB AC ∴ (2) 由 AC AE AD AE
∵∠BAD=∠CAE ∴Δ ABD∽Δ ACE
∴
AB BD AC CE
∴
BD AC 3 4 CE 2 AB 6
1、已知：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC， 交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB， 求证： △AFD∽ △AEC. A F E B
D
C
例2. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的
中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.
AB BD ， AC AD
分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角 对应相等去判定两个三角形相似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边 MD、ME的比例中项。
证明：①∵∠BAC=90° ∴∠B=∠E M为斜边BC中点 ∴∠MAD= ∠E ∴AM=BM=BC/2 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴ ∠B= ∠MAD ∴△MAD∽ △MEA 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°② ∵ △MAD∽ △MEA ∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE ∴ 即AM2=MD· ME
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
AB BD ∴ CD CE
即
∴ ∴
A 1 B
y
E
2x
1 y
C
1 x 2 x 1 y
x
2
D
1 y x
2x
y x2 2 x 1
0 x 2
2 1 y x 2 2
比等于相似比的平方。
4.相似三角形的基本图形：
如图，在 □ABCD 中， G是 BC 延长线上一点， AG与 BD 交于点 E,与 DC 交于点F ，则图中相似 三角形共有（ ）
A． 3对 C． 5对 B． 4对 D． 6对
A E B F C
D
G
相似三角形的基本图形
A E B F C G D
相似三角形的基本图形
B
C
相似三角形的基本图形
A
A D E B C
B
C
常见的相似三角形的基本图形：
（7）
练 习
如图，∠1=∠2，分别指出其中的相 似三角形和对应边。
A 1 2 B D C
M 1
O
2
P
1
2
N
5. 如图△ADE∽ △ACB
1:3。 则DE:BC=_____
D 7 2
A
3 E 3 C
B
5.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告 牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由 （全等三角形除外） A C E G
2 时 当 x 2
y最小值
1 2
例6、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边 上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD
B 1
A
y
E
2x
1 y
C
x
D
A C
4
D
6 14
B
A C
4
D
6 x P 14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A C
6
B
4
D
x
p P 14―x
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
2以正方形的边长等量过渡。
6. 如图D是△ABC边BC上一点，
连接AD,使△ABC∽△DBA 的条件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD
A
C. AB2=CD· BC
D. AB2=BD· BC
B
DC
6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放 成如图所示的样子,假设图形中的所有点, 线都在同一平面内,试写出一对相似三角形 (不全等) △ADE、△BAE、△CDA都相似 .
练一练
18、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2. 若S△AEF=6cm2,则S△CDF = S
2 =____cm 18 △ADF
D F A B C
54
cm2
E
例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36. 121 则△ABC的面积为________.
19、如图（６）， △ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ， ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ
相似三角形 综合复习（二）
1.相似三角形的定义：
对应边成比例 对应角相等， 的两个三角形叫做相似三角形.
2.相似三角形的判定：
（1）预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与 原三角形相似。
A D E E D A
∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC
C B
两个角对应相等的两个三角形相似
A
D B C E F
A=D B=E
△ABC∽△DEF
ห้องสมุดไป่ตู้
（5）直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直 角三角形相似
3.相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高、对应角平分线，对应 中线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比；面积的
分析：因△ABC∽△ABD，所以 要证 AB DF
AC AF
F D
即证
BD DF ，需证△BDF∽△DAF. AD AF
B
证明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC ∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90° ∴ ∠BAD= ∠C ∵ ∠ADC= 90° E是AC的中点， ∴ED=EC ∴ ∠EDC= ∠C ∵ ∠EDC = ∠BDF
B
E
C
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
例6、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边 上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
而EA、EG、EF三条线段在同 一直线上，无法构成两个三角 形，此时应采用换线段、换比 例的方法。可证明： △AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
例4、如图, 在△ABC中,∠ACB= 900，四边形BEDC为正
方形, AE交BC于F, FG∥AC交AB于G. 求证: FC=FG.
证明: ∵四边形BEDC为正方形 ∴CF∥DE ∴△ACF∽△ADE
１：３：５ =_____________
A D
25
E
36 B F C
例1、如图, AB/AD=BC/DE=AC/AE.(1) 求证: ∠BAD= ∠CAE;(2) 若已知 AB=6, BD=3, AC=4, 求 CE 的长. 证明：
AB BC AC 得 (1) ∵ AD DE AE
A E D C
D C F E B
CF AF ∴ DE AE
①
A
又∵FG ∥AC∥BE
∴△AGF∽△ABE
G
FG AF ∴ BE AE ② 由①②可得：FC FG DE BE
又∵ DE=BE ∴FC=FG
例5、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
例6、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点 D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点 E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
B
1 D
2
F
3
H
∠1+ ∠2+ ∠3＝
度
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ ABC 相似的是（ B）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
7.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB 的中点，点M，N分别在BC，CD上，且 1或4 时，△CMN CM=2，则当CN=_________ 与△ADE相似。
A F G B
A D E B C
A E F C
D
B
C
G
B
C
D
A
相似三角形的基本图形
A
A F
A E G B
A D E
D
B
E
B
C
D
G
C
B
B
C
C
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A
相似三角形的基本图形
B
C
D
A
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A
相似三角形的基本图形
B
C
D
A
B
C
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相似三角形的基本图形
A
A D E B C
B
C
相似三角形的基本图形
A
A D E B C
A D
E B N C
M
AF 1 CG 1 如图，在正方形ABCD中， , . AB 3 CB 4 1EF : FG : GH ; 2AE : CH . 求：
1由平行线分线段成比例定理可得。
D C H G A E F B
EF : FG : GH 3 : 6 : 2
27 AE : CH 16
C
B
（2）相似三角形判定定理1：
三边对应成比例的两个三角形相似.
A
D
B
C
E
F
AB AC BC △ABC∽△DEF = = DE DF EF
（3）相似三角形判定定理2：
两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似.
A D C E F
B
AB AC = DE DF A=D
△ABC∽△DEF
（4）相似三角形判定定理3：
∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD 又∵ ∠F =∠F A ∴ △BDF∽△DAF. ∴ BD DF AD AF ∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC ∴ △ABC∽△ABD ∴ AB BD ∴ AB DF AC AF
AC AD
E
C
例3. △ABC中,∠ BAC是直角,过斜边中点M而垂直于斜边 BC的直线交CA的延长线于E,交AB于D,连结AM. 求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME