北航高等数学期中考试试卷_2014

合集下载

北京市重点中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案

3 C. ( 1, )
2
3 D． (1, )
2
（）
6．如果函数 y 3sin(2 x ) 的图像关于点 ( ,0) 中心对称， 3
那么的一个值可以为
（）
A.
3
B.
3
C.种变换方式 :
1
1
①向左平移 ,再将横坐标变为原来的
; ②横坐标变为原来的 ,再向左平移 ;
4
2
2
8
③横坐标变为原来的
b 表示为 ___________.
16．关于函数 f x
sin2 x
2x ()
3
① f x 是偶函数；
1
，有下面四个结论：
2
②无论 x 取何值时，
f
1 x ＜恒成立；
2
3 ③ f x 的最大值是；
2
1
④ f x 的最小值是
.
2
其中正确的结论是 __________________.
三、解答题：本大题共 4 小题，共 36 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.（本小题共 9 分）
（）
A． y C． y
2 2sin( 2x )
3
x
2 sin(
)
23
B． y 2 sin( 2x ) 3
D． y 2 sin( 2x ) 3
9．已知 A, B 均为锐角， sin A
5 ， sin B
5
10 ，则 A B 的值为
10
（）
A．
4
B.
4
C．
4
D．
4
10．已知动点 P1(x1,cos x1 ) ， P2 (x2 ,cos x2) ， O 为坐标原点，则当 1 x1 x2 1时，下列

北航大一上工科数分期中考试试卷

北京航空航天大学2011-2012学年第一学期期中考试工科数学分析试卷（2011.12.25）一、计算(5’*8=40’)1) 用Stolz 定理计算极限41233122123lim n n n nn +→∞++++L .2) 设32()(1)x f x x x x =++,求()f x '.3) 求极限10(1)e lim xx x x→+-. 4)求函数2()(4)f x x x =-的拐点。

5) 设(cos sin )()=(sin cos )x a t t f x y a t t t =+⎧⎨=-⎩,求d d y x. 6) 求函数()ln f x x x =在(0,)+∞上的最值.7) 判断函数211()=e x n f x x-⋅间断点的类型. 8) 求函数2()=ln(1)f x x x ++在0x =处直到四阶的Taylor 展开（Peano 余项形式）.二、证明(15’) 1) 3sin (0)6x x x x >-> 2) 设函数1()=ln ()n f x xx n -+∈¢,证明()(1)!n n y x -=. 三、(10’) 设1110,0,(2),1,2,n n n A x x x Ax n A +><<=-=L ,证明不等式11n n x x A+<<对任意n +∈¢成立，并求出极限lim n n x →∞. 四、(10’)用Cauchy 收敛原理证明数列2sin (sin )n n k kx x k k kx ==+∑收敛. 五、(15’)设()f x 在0x 处二次可导，且()0f x ''≠，由Lagrange 中值定理知存在0()1h θ<<,使得式子000(+)()(())f x h f x f x h h h θ'=++成立，计算或者证明下列结论：1) 写出()f x 和()f x '在0x x =处的Taylor 公式；2) 证明01lim ()2h h θ→=. 六、(10’)设()f x '在(0,]a连续，且极限lim()x x →'存在，证明()f x 在(0,]a 上一致连续.[附加题]七、(10’)以下题目任选其一： 1) 设()[01]f x ∈£，，且()0f x >,令0()max (),[0,1]t x M x f t x ≤≤=∈, 证明：函数()()lim ()n n f x Q x M x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦连续的充要条件是()f x 单调递增. 2) 证明开区间套定理1. 设开区间序列(,),n n n I a b n +=∈¥ 满足12121n n n a a a b b b b -<<<<<<<<L L L .2. 区间长度0()n n n I b a n =-→→∞,则存在唯一1(,)n i i i a b ξ==I 满足lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.。

北京航空航天大学高数试卷答案1,07

解 y y xy , y (0) f (0) 1, y(0) f (0) 1. 2 1 ( xy )
y xy y y(1 x 2 y 2 ) y xy 1 ( xy) 2
y(1 x2 y 2 ) y(2xy 2 2x2 yy) y y xy
2
( A) f ( x )dx f ( t )dt ; (C ) f ( x )dx
0 0 1 0 1 0
1
1
( B ) f ( x )dx f ( x 2 )dx 2 ;
0 1 0 0 1 0

1
1
f ( x 2 )dx 2 ; ( D ) f ( x )dx f ( sinx )d sin x .
二、 B D
3. 设 f ( x )在x a处不可导，则下列函数中在处不可导的是 ____ . 1 ( A) sin x f ( x ); ( B ) sin x f ( x ); (C ) f ( x ) ; ( D ) . f ( x) 4. 设f ( x )在区间[0,1]上连续，则下列等式中不正确的是 ___ .
(1) n 2 n 5.幂级数 x 的和函数为 ( n! n 0

)
2 x2 一、 2; ; ( x 2) ln( x 2) x C; ; e 3 (1 x)
二、单项选择（每小题 4 分，共 20 分）（1 x） 1 1. 设 lim 2, 则有 ___ . x 0 x ( A) 1, 1; ( B ) 2, 1;
1
七. (8分）设函数 f ( x ) xe ，填下表并作图 .
x2
单增区间 ( , 2 ), ( 2, )

北京航空航天大学-工科数学分析2014-2015(2)期中

北京航空航天大学2014－2015 学年第二学期期中《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩2015年5月16日一、选择题（每题4分，满20分）1. 设)}({x f n 是定义在点集D 上的函数列，与“函数项级数)(1x f n n ∑∞=在点集D上一致收敛”等价的论断是下述的（）A ．,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有.|)()(|ε<-x f x f n mB ． ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有1|()|.=+<∑mk k n f x εC ．函数列)}({x f n 在点集D 上一致收敛于.0D ．对于每一个,D x ∈ ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 1|()|.mk k n f x ε=+<∑2. 幂级数03(2)(1)n nn n x n ∞=+--∑的收敛域为（） A.24(,)33 ； B. 24[,)33； C. (3,3)-； D. (2,4)- ． 3. 函数x ye--的二阶Maclaurin 公式为（）A. 2()1()()2x y x y o x y +-++++； B. 1()()x y o x y -+++； C. 222()1()()2x y x y o x y +-++++； D. 222()1()()2x y x y o x y ++++++．4.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（）A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件． 5. 已知二元函数242(,)x yf x y x y =+，下面命题正确的是（）①0000lim lim(,)lim lim (,)0x y y x f x y f x y →→→→==； ②0000lim lim(,),lim lim (,)x y y x f x y f x y →→→→不存在；③ 0lim (,)0x y f x y →→=；④0lim(,)x y f x y →→不存在.A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、（每题6分，满分30分）1. 设(),z F x z y =+，求方程所确定的隐函数的偏导数.x xy z z ，2. 求函数u xyz =在点(1,1,1)M ，沿方向 (2,1,3)=-rl 的方向导数与梯度。

高等数学期中考试试题 (下)

高等数学期中考试试题 2007.051. 1yx y x y x lim 22222)0,0()y ,x (-=+--→. 2. 曲面z =xy 在点 M ０( 3 ，１， 3 ) 处的法线垂直于平面z =x +3ｙ-２.3. 设x)yz (u =，则dzdy |du )1,1,1(+-=.4. 函数)z y x ln(u 222++=在点)2,1,0(M 0处沿向量}1,1,2{l --= 的方向导数为654- .5．设)y ,x ,u (f z =,其中xxe u =且f 具有二阶偏导数,则''23''13)1x (x 2f f e yx z +=∂∂∂+ 6．曲线⎩⎨⎧=++=++1z y x 0z y x 222, 则在点)21,0,21(-处的切线的方向向量为}21-,22,21{- . 7. 函数z =x-2y -3x ｙ在区域D: 0y ,0x ,2y x ≥≥≤+,上的最大值为 2 , 最小值为419- ．8．⎰⎰--+200y 2y 222x d y x y d 在极坐标系中的二次积分的值为⎰⎰ππθθ22sin 02r d r d ; 经计算该二次积分值为92π.9.设Ω是由曲面4z z y x 222=++所围成的区域，则重积分⎰⎰⎰Ωdvz 化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰π-+--θ20r 42r 42222z d rz dr d ,化为球面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πϕπϕϕϕθ204sin 032r d sin cos r d d , 经计算得值36410. 设曲线0y ,2x y x :L 22≥=+的线密度为x =ρ，则L 的质量M 用线积分表示为⎰L xds , 化为定积分为 ⎰πθθ+0)d cos (1,其值为π .11. 将变力22y xj x - i y f +=沿曲线 12y x :L 22=+逆时针所做的功表示成积分为⎰+L22y x xdy-ydx , 经计算得其值为π-2二、单项选择:(每题1分,共４分）1．设函数22y x )y ,x (f +=, 则在点)0,0(处不正确的结论是(D ）.(A)连续 (Ｂ)方向导数存在 (Ｃ)有极小值 (D ）偏导数存在2. 设函数)y ,x (f ，)y ,x (φ有偏导数，且)y ,x (f z =在点)y ,x (M 000处在条件0)y ,x (=φ下取得极值，则（ D ）正确． A. )y ,x (f 00x , )y ,x (f 00y 都必等于0; B. )y ,x (f 00x 必等于０, )y ,x (f 00y 可能不为0;C. )y ,x (f 00x 可能不为0， )y ,x (f 00y 必等于0；D. )y ,x (f 00x ， )y ,x (f 00y 可能都不等于0;高等数学期中考试试题 2002.０４.２０一、填空:(每空1分，共15分) 1.已知直线L １：3z z 21y 1x 0-=+=-与直线Ｌ２：23z 34y 12x -=--=--相交，则z 0= １５。

高等数学II 期中试卷

高等数学II 期中试卷一、选择题（每小题3分，共计 15 分）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点。

(A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在；(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。

2、二重积分⎰⎰Dxydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为。

(A )．61； (B )．121； (C )．21； (D )．41。

3、设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂yzb x z a 。

(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。

4、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则⎰⎰Dd xy σ= 。

(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24R ； (D )．4R 。

5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为。

(A)．12 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(B )．cos sin 2 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰；(C)．1cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ-⎰⎰；(D )．12cos sin 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰。

二、填空题（每小题4分，共计24 分） 1、设xy xy z )(=，则=z d ，在点)2,1( P 处的梯度=P z g r a d 。

2、设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则=')1,(x f x 。

3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则()Dx y dxdy +=⎰⎰ 。

高等数学期中考试卷

说明：本学期的期中考试内容为第五章、第六章，在题目中题目标号是红色的是第七章的内容，本次不考！高等数学（A ）05-06-3期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设),(y x z z =由方程cos cos cos 2x y y z z x ++=所确定，则d z = ； 2．设1iz i-=，则Im z = ；3．设()f x 为连续函数，1()d ()d t t yF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '= ；4．()21cos d d x y y x y x y +≤+=⎰⎰；5．设S 为平面1432=++z y x 在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ⎛⎫++∧ ⎪⎝⎭⎰⎰= 。

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．设()122211d d I x xy f x y y -⎤=++⎣⎦⎰⎰，122200d ()d I f πϕρρρ=⎰⎰，其中()f t 是连续函数，则有 [ ] (A)21I I < (B)21I I > (C) 212I I = (D)21I I =7．曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面 [ ](A)0y = (B)0x = (C)0z = (D)0x y z +-=8．设L 是摆线sin 1cos x t t y tπ=--⎧⎨=-⎩上从0t =到π2=t 的弧段，则曲线积分22()d ()d Lx y x x y yx y -++=+⎰ [ ] (A)π (B)π- (C)0 (D)π29．设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ] （A ）(),f x y 在点(),x y 连续；（B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界；（C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在；（D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，满分35分)10．设sin ,,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2。

北航高等数学期末试卷

t dt 七. ( 8 分) 将函数 f ( x ) 8 t3 展开成 x 的幂级数 . n x n 的收敛区间及和函数八（ 8 分 . ）求 . n1 ( n 1)!
x 0
九.( 8 分) 已知f (0) 0, x f ( x ) 1 0 (e t sin t f ( t ))dt , 求 f ( x ).
四（8 分）设有向曲线L 为圆周 x 2 y 2 ax . 从 A( a, 0)经 M ( a , a ) 至 O ( 0, 0) 的部分.求： 2 2 ( e x cos y my)dx ( e x sin y m )dy． L
m a 2 e a 1. 四. 8
五（8 分）计算 x 2dydz y 2dydx z 2dxdy, . 其中是曲面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z 0 和 z h ( h 0) 之间部分的下侧 .
三（8 分 . ）设 u f ( x , y, z )，其中 z z ( x , y) 由方程 ( x 3 , e y , z ) 0 所确定，而 y sin x . 又设 du . f , 具有一阶连续偏导数且 3' 0. 求 dx 2 y
du f f cos x 3 x e 2 cos x f 1 三. 1 2 3 dx 3
2. 设 D {( x , y) 1 x 2 y 2 4 }. sin( y x 2 y 2 ) 则 dxdy _________ x 2 y2 D A. 4 ; B. 0 ; C. 1; D. 4. 3.部分和数列{sn } 有界是正项级数 un 收敛的___.
5. 微分方程 ( x
2

北航数学分析期中考题-答案

北京航空航天大学第一学期期中《工科数学分析(I) 》试卷班号学号姓名成绩一计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1) 计算极限21sin 11x x x x e解：221sin 1sin lim11sin 1x x x x x x x exx x ………….. （3分）=12…………… （2分）2) 求下面无穷小的阶1tan 1sin 0x x x .解：tan sin 1tan1sin 1tan1sin 1sin 1cos 1tan 1sin x xx x x xx x xx………………………（3分）1sin 1cos lim2x x x x 为1阶 (2分)3) 假设cos sin 0xf xx求'f x.解：cos cos ln sin sin xx x fxe ……………….. (2分)2''cos lnsin cosln sin 2cos cos sin lnsin sin cossin sinln sin sinx x x xxx f ee x x xx x x xx……….(3分)4) 假设sin ,cos .x t t y t t 求dy dx.解:dy dy dx dx dtdt(2分)cos sin cos sin t t ttt t(3分)5) 假设223,x f x x xe 求.nfx解:2'10212''22223232323nnx nn xxnnn xnfxx x e C x x e Cxx eCxxe(3分)212221231221112133nx n n xxnxx x en xe n n e ex n xn n(2分)6) 求ln f x x 在2x 的n 阶Taylor 展开,并写出peano 余项.解:2ln ln 22ln 2122ln 2ln 12x f xx x x (2分)1122ln 2ln 1ln 21222knk nk x x o x (3分)7) 假设函数x f xe , 判断函数的凹凸性.解''''x x fx ee (4分)凸函数 (1分)8) 已知1sin ,0,0,0.mx xf xm x x 为正整数.求:m 满足什么条件，函数在0x 连续， m 满足什么条件，函数在0x可导.解:1m ，函数在0x 连续 (2分)2m，函数在0x可导数 (3分)二证明下面问题（10分）假设1110,0,,2nn n x x xx 证明数列nx .证明: 1) 数列单调递减有下界(5分)1111,21110222nn nn nnn nnnnx x x x x x xx x xx2) (5分)11lim 2nnx bb b b,b三. 证明下面问题（10分）假设数列nx 满足112nn n x x , 用Cauchy 收敛定理证明n x 收敛.证明 1) (5分)112112121,.......111........22211111112 (1).1222222nPn n Pn P nP n P nnn P n P npn P P nn pN x x x x x x x x2) 柯西定理写正确5分10,ln /ln 21,,,npnN n N pN x x四. 证明下面不等式 (10 分)2sin 1,0,2xx ex x .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分2'''1sin ,0,2cos ,0,1sin ,0,x x xx F xe x xF x x e x x F xe x x2) (2分)''0,0,,F xx '00F 因此'0,0,F xx3) (2分)00F ,21sin 0,0,2xx F x ex x五. （10分）假设函数f x 和g x 在,a b 存在二阶导数，并且''0g x,且0f af bg a g b ，证明下面问题:1）在,a b 内0g x ；2）在,a b内至少存在一点在,满足''''f f g g .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分用反证法证明,假设,,0a b g. 则''111''222''''''12312331200,,00,,00,g ag g x a g x x a g b g g x b g x x b g x g x g x x x g x x x x矛盾,结论得证. 2) 令''F xf xg x f x g x …….. ( 2分)'''''F xf xg xf xg x………………(2分)0F a F b '''''0F fg f g…………(1分)六 (10分) 假设函数f x在0,1存在二阶导数,00,11,f f 并''010,f f 求解和证明下面问题.1) 写出f x 在0,1x x 的Lagrange 余项的Taylor 公式;2) 证明在0,1至少存在一点0,1满足''4f .证明 1) 下面每个式子2分'''211100,2f x f f xf x 介于0,x 之间.2'''1211111,2f xf f x f x 介于,1x 之间.2)'''2''2112''11100221112fx f f xf x f x f xf x 2分2''2''112''2''112''''2111111221111221max ,12fx fx f x f x f fxx 2分而221xx 在0,1区间上的最大值12, (2分)因此''''11max , 4.f f七（10分）证明下面问题假设f x 定义在,a b 上. 如果对,a b 内任何收敛的点列n x 都有lim n nf x 存在, 则f在,a b上一致连续.证明: 1) 写出不一致连续定义3分如果f在,a b上不一致连续, 则010,,,,,n n n nn ns t a b s t f s f t n2) 写出下面3分(有界数列必存在收敛子列),,,n ns t a b 则存在,,,lim lim k kkkn n n n kks t a b s t3) 下面结论4分构造11,,.......,,..........k k n n n n ns t s t z 数列收敛且极限为, (2分)则有已知条件lim n nf z 存在, 因此lim lim kk n n kkf s f t (2分)与1)矛盾.八（10分）附加题 (下面两个题目任选其一)1) 假设函数11cos nnfx x, 证明下面问题a) 对于任意的自然数n , 方程12nfx在0,2中仅有一根.b) 设0,,2n x 满足12nnfx , 则lim .2nn x证明: 1) 5分01,02nnf f ,由介值定理10,,22nnnx fx . (3分)1'sin 1cos 0,0,2n nfxn x x x(2分)因此根唯一. 2) 5分由于1111arccos11,lim arccos 1,nn n n f f e nn n（2分）由极限的保号性11,,arccos 211arccos2n nnnN nN f nffxn（2分）单调性1arccos 2nx n和夹逼定理lim .2nnx （1分）2) 用有限覆盖定理证明下面问题假设函数f x 定义在,a b , 对于0,x a b , 0lim xx f x 都存在, 则f x 在,a b 上有界.证明： 1）4分lim xx f x 存在，根据函数局部有界性,,,,,,xx xx x a b U x t U x f tM2）3分根据有限覆盖定理,,,xx a bU x a b，存在有限个1,,i kx i i U x a b3）3分取1max i x i kMM ，则,xa b ，1,i kx i i xU x ，则f x M 。

北航工科数分第一学期期中历年试卷讲评

本资料基于以下内容：2009年《工科数学分析》第一学期期中试题2010年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2011年《工科数学分析》第一学期期中试题2012年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2013年《工科数学分析》第一学期期中试题以上均为公开资料，可在课程中心下载或联系任课教师索取。

教师索取一.数列极限的计算二.数列极限的证明与应用数列极限的证明与应用三.函数极限的计算四.函数极限的证明与应用四函数极限的证明与应用五.导数的计算六.导数的证明与应用六导数的证明与应用*七.泰勒公式试卷基本结构第一大题包含8个小题，主要为极限计算、导数计算、导数的简单应用。

每题5分。

第二题至第七题为解答题，每题10分，可能包含1-2个小问。

主要为证明题。

.数列极限的计算一数列极限的计算很少直接考到。

即便考到，难度也很低，均属于中低难度送分题。

启示：不用太关注技巧性过高的数列极限计算，只需要掌握基本类型即可。

求数列极限的主要方法1.利用初等方法（有理化、恒等变形）2.利用重要极限3.利用单调有界定理，两边取极限4.利用夹逼定理5.利用Stolz定理6.转化为函数极限（Heine定理）例1：（2011年）一1注意定理的使用条件最后步的计算注意：Stolz定理的使用条件、最后一步的计算例2：（2013年）一1二.数列极限的证明与应用二数列极限的证明与应用主要考察：单调有界定理、柯西收敛定理单调有界定理主要涉及递推公式题目，柯西收敛定理直接通过其证明即可。

例1：（2009年）一1（年）例2：（2009年）一3（年）例3：（2009年）四（例4：（2010年）二（应用均值不等式证有界性。

利用有界性证明单调性。

应用均值不等式证有界性利用有界性证明单调性完全相似题目：（2012年）二例5：（2011年）三（重点讲解例6：（2009年）二（年）例7：（2010年）三（例8：（2012年）三（完全相似题目：（2011年）四仅把分母中的cos改为sin例9：（2013年）三（例10：（2013年）二（重点讲解三.函数极限的计算三函数极限的计算通过等价无穷小、洛必达法则、1的无穷次方方法计算函数极限或确定无穷小的阶。

高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)

卷号：（A ）（年月日）机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ；（B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ；（C ）．10101zy x =-=+；（D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

北航工科数分(2)期中(07-08)

2007－2008学年第二学期期中考试试题数学分析（下） 2008年4月27日一．填空题(每小题4分, 共20分)1. 级数∑∞=+13)23(n nnn x的收敛域是 .2. 设函数222)(π-=xx f 在],[ππ-上的Fourier 级数为：∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa , 则=0a , n a = , nb = .3. 函数y xe z 2=在点)0,1(P 处，沿着从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 方向的方向导数为 .4. 3221)ln(limyx e x yy x ++→→= .5. 曲线⎩⎨⎧=++=++64222z y x z y x 在点)1,2,1(处的法平面为 .二．选择题（每小题4分, 共20分）1. 设 )}({x f n 是定义在区间I 上的函数列，与“函数项级数∑∞=1)(n n x f 在区间I上一致收敛”等价的论断是 ………………………………………………..( ) A ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈,都有 ε<-)()(x f x f n m ;B ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈, 都有 ε<∑=|)(|mnk k x f ;C ．函数列)}({x f n 在I 上一致收敛于0;D ．对每一给定的+∈∃>∀∈N N I x ,0,ε，当N n m >>，都有.|)(|ε<∑=mnk k x f2. 设),(y x f 在),(00y x 的某一个邻域内有定义，则下述论断正确的是……...( ) A ．若),(y x f 在),(00y x 处连续，则),(),(00y 00y x f y x f x ，一定存在; B ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处连续;C ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处沿任意方向的方向导数一定存在;D ．若),(),(y x f y x f y x ，存在且连续, 则),(y x f 在),(00y x 处连续.3. 设n R E ⊂，下列叙述中不正确的是……………………………………...( ) A ．如果E 是一个列紧集，则E 必是一个有界闭集; B ．开集E F ⊆，则有o E F ⊆;C ．若E 是闭集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点;D ．若E 是开集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点.4. 下列广义积分收敛的是 …………………..………………………..…………( )A ．+∞⎰B ．1+∞⎰; C ．1 1.6dx x⎰; D. 221(ln )dx x x ⎰.5. 方程1212=-+y xx dxdy 的通解为…………………………………….………()A. x x e x C e 121)(+; B. x xe x C e121)(+-;C. x xe x C e 121)(+--; D. xx e x C e 121)(-+.三、（10分）求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数并指明其定义域.四、（10分）求方程x xe y y y 322'3''=+-的通解.五、（10分）设广义积分为dx a x x p⎰+∞+0)(cos ，其中0,0>>p a ，试证明（1）当1>p 时，积分绝对收敛，（2）当10≤<p 时, 积分条件收敛.六、（10分）设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，且,22y x u +=yx v =, 求22xz ∂∂.七、（10分）要设计一个容量为4的长方形开口水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？并求出其表面积？八、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f1) 求偏导数),(),,(y x f y x f y x ，并讨论偏导数在)0,0(处的连续性? 2) 讨论函数),(y x f 在)0,0(处的可微性?2007-2008数学分析（下）期中考试参考答案一. 填空1. )3,3[-2. =0a 235π-, 2)1(2na nn -=, n b = 03.22-4. 2ln5. z x =二．选择1．B 2. D 3. C 4. B 5. B三．解：级数∑∞=1n n nx 的收敛半径是1=R ,当1±=x 时级数发散，所以定义域为)1,1(- ………3分设 =)(x s ∑∞=1n nnx ，∑∞=-==11)()(n n nxx x S x f 逐项积分，得到⎰∑⎰∞=--==xn xn xxdx nxdx x f 011,1)(………7分所以2')1(1)(x x x x x x S -=⎪⎭⎫⎝⎛-= ………10分四. 解：特征方程 ,0232=+-r r 的特征根为：，，2121==r r ………3分所以对应齐次方程通解为： ,221x x e c e c Y += ………5分,3=λ不是方程的根，设xeB Ax y 3)(*+=为方程的一个特解，带入方程得x B A Ax 2232=++，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧-==231B A 所以 xe x y 3)23(*-= ………8分所以通解为： .)23(3221x x x e x e c e c y -++= ………10分五、解：（1）当1>p 时，axaxx pp+≤+1c os 而⎰+∞+01dxax p收敛，所以原积分绝对收敛。

北航_数分(1)期中考试参考答案(05-10)

北京航空航天大学数学分析(上)期中考试试题2005年11月13日班级学号姓名一、填空题 (每小题4分,共20分)1．设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切，则 n2．limn →∞= 03．设当0→x 时，βα,是等价无穷小，（0αβ>），βααβ+-→1)1(lim 0x = 14． y =则 'y = 1+5．设函数 )(x y y = 由方程 e xy e y =+2确定， 0x dy dx== 2e-二、单项选择(每小题5分,共20分)1．与A a n n =∞→lim 不等价的一个命题是【 C 】.A 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足n N ≥的+∈N n ，都有ε<-||A a n ； .B 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有2||n a A ε-≤；.C 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有εn A a n <-||； .D 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足100n N >+的+∈N n ，都有ε100||<-A a n ．2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 00 1sin )(2x x x x x f , 则在x = 0处【 C 】Ａ．不连续Ｂ. 连续但不可导Ｃ．连续且可导 D . 导函数连续3．设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x ≠。

则【 D 】A ． ()f x 在[,]a b 上恒为正B ． ()f x 在[,]a b 上有正有负C . ()f x 在[,]a b 上恒为负D . ()f x 在[,]a b 上不变号4．设()f x 在[,]a b 不一致连续，则在下列表述中正确的一个是【 B 】.A 00ε∃>，0δ∀>，对[,]a b 中一切满足'''x x δ-<的',''x x ，都有0|(')('')|f x f x ε-≥。

北航工科数分期中复习指导

第一章期中考试复习指导1.要求用极限定义、柯西收敛定理、单调有界定理证明数列极限存在，会用夹逼定理求解极限。

实数系6个定价定理能够准确叙述。

2.典型例题1)用极限定义证明：1lim 1nn n →∞=（要求会用极限定义证明问题）2)证明下面问题（这个公式会用）设lim ,n n a a →∞=则12 (i)nn a a a an→∞+++=若120,(1,2,3,......)lim ......n n n n a n a a a a →∞>=⇒=3)222111........,lim 12n nn a a n n n n→∞=++++++4)计算()112lim .....n n n n mn a a a →∞+++5)证明()cos1cos 2cos ......12231n nx n n =+++⋅⋅⋅+6)用单调有界定理下列数列极限存在，并求极限：2,22,222,.......222.....2,......+++++++7)设数列{}n a 满足21321.......,n n a a a a a a M n N --+-++-≤∀∈，则{}n a 收敛。

8)证明定理：（要求会证明这下面定理）定理1：(canchy)设数列{}n a 收敛的充分必要条件是{}n a 是基本列。

第二章期中考试复习指导一、要求：求函数极限、连续的定义，要求会证明海涅定理和康托定理，会求无穷小的阶，正确叙述函数一致连续和不一致连续的定义，掌握闭区间连续函数的性质。

二、典型例题1.计算下面极限1)4123lim 2x x x →⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭解：()()()()()()()()444123123221234lim lim lim 23222123123x x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++++⎛⎫+- ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪--+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2)011limmn x x xxαβ→+-+解：由于：()()121........kk k k k a b a b aa b b ----=-+++，k mn=设()()111,1mna xb x αβ=+=+()()()()()()()()()()()110011222222101111lim lim 1...........111lim1...........1.. (i)1...........nmmn nm nm x x m n n mnm nm x m n n mnm x m x x x x x x x x x x x x x n m x C x C x x x αβαβαβαβαβαβαβα--→→--→-→+-++-+=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭+-+=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭-++++=++()11nm n x n m mnβαβ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭-=3)()()33222300sin sin limlim 0sin sin x x x x x x x x x →→==4)22222222200022sin sin1cos 1222lim lim lim 221cos 22sin sin 222x x x x x x x x x x x →→→-===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5)31313121333332333lim lim 11131313131x x x x x x x x x x x e ----→+∞→+∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=6)()3301tan 1sin tan sin 1limlim 41tan 1sin x x x xx xx xx x→→+-+-==+++7)211021lim 211()22,()x xxxx x xe x u x ev x x++→+⎛⎫- ⎪⎝⎭+=-=解：设2211001111lim 22lim 221x x x xx x x x x e x x ex x x ++→→+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⎛⎫⎪-== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭又因为2.对定理证明的要求（必须会证明下面两个定理）1)（Heine 定理）函数()0lim x x f x A →=收敛的充分必要条件：{}()00,,1,2,3,.......lim n n n n x x x x n f x A→∞∀→≠==2)有限闭区间上连续函数是一致连续3.求无穷小阶的计算1)()()sin(112)0f x x x =++-→+解：因为()()()()(112)(112)()sin(112)sin(112)111111sinsin (112)(112)11sin(112)11x x f x x x x x x x x x xx x ++-+++=++-=++++-+++-==++++++++=+++++故()()sin(112)11limlimx x xx x f x x x→→+++++=()()()1sin(112)11lim{(112)11}(112)111/42x xx x x x xx x -→+++++=++++++++++=所以为12阶的无穷小。

北航高等数学期中考试试卷-2014

北航高等数学期中考试试卷 2014年5月14日姓名___________________学号___________________ 成绩____________________一、填空题（每空1分，共18分）1.函数z =的定义域为__________________________________ 2.=+→→x xy y x y x cos )1ln(lim 201 __________________. 3.设(,)xz f xy y =，其中f 具有二阶连续偏导数，则z y∂=∂_________________, 2z x y∂=∂∂____________________________. 4. 曲线2222x y z a x y z a ⎧++=⎨++=⎩在点(0,0,)a 处的切线方程为_________________________. 5. 设(,,),yz u f x y z xe ==则在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为______________________.6.设(,)z z x y =是由方程227e4y z x y z +++=确定的函数，则11(,)22d z = 7. 级数21(1)3n n n n x ∞=+∑的收敛半径是___________，收敛区间是__________________.8. 数项级数∑∞=-1)1(n nn 的和为________________. 9.已知函数220()xt f x t e dt -=⎰，则此函数在零点处的幂级数展开式为 ____________________.10.微分方程122--=-'-''x y y y 的通解为______________________.11.应用全微分计算的近似值得______________. 12.函数22(,)x y f x y xe --=在点(x,y)=____________处取得极大值_____________.13.设函数222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，其中α为常数.则当α满足条件________时，此函数在原点处连续；当α满足条件________时，(0,0)x f 存在.二、单项选择题（每题1分，共6分）1.若二元函数),(y x f 在点),(000y x P 处可微分，则下列结论中不正确的是（）.（A ）),(y x f 在点),(000y x P 处连续；（B ）),(y x f 在点),(000y x P 处有偏导数；（C ）),(y x f 在点),(000y x P 处沿任何方向有方向导数；（D ）),(y x f 在点),(000y x P 处的一阶偏导函数均连续.2.设幂级数()1nn x a n ∞=-∑在点2x =处收敛，则a 的取值范围为（）. （A ）31≤<a ; （B ）31<<a ; （C ）31<≤a ；（D ）31≤≤a .3.方程x e x x y y y 32cos 23-+=+'-''的特解形式为（）．（A ）x c e b ax x cos )(++; （B ）x k x d cxe b ax x sin cos )(++++;（C ）x c e b ax x cos )(++；（D ）x d x c e b ax x sin cos )(+++.4. 设函数)0,0,0(2>>>=z y x xyz u 在条件1=++z y x 下的最大值为 ( ).（A ）21；（B ）41；（C ）161；（D ）641. 5. 设二元可微分函数),(y x f 满足1)0,0(='xf 、3)0,0(-='y f ，则),(y x f 在原点取得的最小方向导数的值和方向分别为（）（A ）2-，)3,1(-；（B ）2， )3,1(-；（C ）2-，)3,1(--；（D ）2，)3,1(. 6. 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20u x y∂≠∂∂及22220u u x y ∂∂+=∂∂. 结论： ①(,)u x y 在 D 的内部有驻点；②(,)u x y 在 D 的内部有极值；③(,)u x y 在 D 的边界上有最大值；④(,)u x y 在 D 的边界上有最小值，则这4个结论中正确的是（）.（A ）①②；（B ）②③；（C ）③④；（D ）④①.答案一、填空题 1. 1<x 2+y 2≤4,x 2+y 2≠2 。

14级高数(下)期中试题及答案

14级高数(下)期中试题及答案D第2页共13页第3页共13页第4页共13页Ｃ．(0,0)f 是极小值，(1,1)f 是极大值Ｄ．(0,0)f 是极大值，(1,1)f 是极小值3．设函数(,)z z x y =由方程()x az y bz ϕ+=+确定，其中()u ϕ为可导函数，,a b 为常数，则z za b x y∂∂+=∂∂（）．Ａ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．a b +4．二次积分221d (,)d x x f x y y-⎰⎰交换积分次序后得（）．A. 221d (,)d yy f x y x -⎰⎰ B. 120d (,)d yy f x y x -⎰⎰C. 1202d (,)d yy f x y x-⎰⎰D.1201d (,)d yy f x y x-⎰⎰5．二次积分23220d ()d x xx f x y y+⎰⎰的极坐标形式为（）．Ａ．π2sec 23π04d ()d f θθρρ⎰⎰Ｂ．π2csc 23π04d ()d f θθρρ⎰⎰Ｃ．π2sec 23π04d ()d f θθρρρ⎰⎰第5页共13页Ｄ．π2csc 23π04d ()d f θθρρρ⎰⎰6．设函数(,)f u v 满足22(,)yf x y xy x +=-，则11u v f u ==∂∂与11u v fv==∂∂依次为（）．Ａ．10,2- Ｂ．10,2 Ｃ．1,02- Ｄ．1,02二、计算题（每小题7分，共70分）7．设220sin d x yz t t=⎰，求zx∂∂，z y ∂∂及d z ．8．设(,)z z x y =是由方程22240x y z z ++-=所确定的函数，求22zx ∂∂．第6页共13页第7页共13页9．设22(,)z f x y xy =+，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．10．求曲线234x t y t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩在点(1,1,1)处的切线方程与法平面方程．11．设函数()232,,z xy xz y x f +-=，求第8页共13页（1）(,,)f x y z 在点()1,1,1A 处沿从该到点(4,5,1)B 的方向的方向导数；（2）(,,)f x y z 在点()1,1,1A 处的方向导数的最大值．12．求二元函数22222f x y x y x y的极值．=--+(,)(1)4第9页共13页13．在曲面1xyz 的第一卦限部分上求一点，使这点到坐标原点的距离最短．第10页共13页14．计算2sin d d ⎰⎰Dy x y ，其中D 为由直线1=-y x ，2=y 及1=x 所围成的闭区域．15．计算()d d Dx y x y +⎰⎰，其中{}22(,)2D x y x y y =+≤．16．计算{}22min ,2d d D xy x y +⎰⎰，其中D 为由直线2x =，2y =及两坐标轴所围成的闭区域．三、证明题（每小题6分，共12分）17．证明：曲面xyz a =(0)a >上任一点处的切平面与三坐标面围成的四面体的体积为一定值．18．设()f u 为连续函数，D 为由曲线3y x =及直线1,1y x ==-所围成的闭区域，证明：2261()d d 7D y x f x y x y ⎡⎤++=⎣⎦⎰⎰．。

北航工科数分(上) 第一学期期中试题

一、填空题 (每小题4分,共20分)1、=--+∞→)11(lim 42n n n n ；2、=⋅-⋅∞→nn n 242)12(31lim；3、=→xx x x sin 1)(cos lim ；4、设x x y cos =，0>x ，则='y ；5、当0→x 时，βαx 与32121x x +-+是等价无穷小,则=α ,=β ．二、选择题(每小题4分,共20分，只有一个正确答案)1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0, 00, 1sin )(x x xx x f n,则能使得)(x f '在0=x 处连续的最小正整数n 为【】（A ）1 ；（B ）2 ；（C ） 3 ；（D ）42．设()f x 在区间),(b a 上连续，则下列结论不正确的是【】（A ）若()f x 在区间),(b a 上导数存在且有界，则()f x 必在),(b a 上一致连续；（B ）()f x 在),(b a 上必能取到最大值和最小值；（C ）若有),(,21b a x x ∈使得,0)()(21<x f x f 则必存在),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ；（D ）若)(),(-+b f a f 存在, 则()f x 在),(b a 上有界.3. 下列说法中正确的是【】（A ）若()f x 在0x 取得极值, 则必有0)('0=x f ；（B ）若可导函数()f x 在),(b a 单调, 则)('x f 在),(b a 上不可能为零；（C ）函数()f x 在),(+∞a 上可导, 若A x f x =+∞→)(lim , 则0)('lim =+∞→x f x ；（D ）若对任何介于)(),(b f a f 之间的数c ,都存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ，则()f x在],[b a 上连续．4. 关于“有界数列}{n a 不收敛到a ”的错误描述是【】（A ）00>∃ε, 对任意大的正整数N ，总存在正整数N m N>，使得 02||ε≥-a x N m ；（B ）00>∃ε，无论正整数N 多么大，总存在正整数N n N>，使得 2||0ε≥-a x Nn ；（C ）00>∃ε，*N ∈∀N ，对于所有满足N n >的*N ∈n ，都有0||ε≥-a x n ；（D ）00>∃ε,存在一个子列}{k n x 收敛到b ，满足0||ε≥-a b ．5．下列命题中正确的是【】（A ）如果数列}{n a 是一个有界数列，则它有且仅有一个收敛子列；（B ）如果单调数列}{n a 有一个收敛子列，则该数列必收敛；（C ）设β是数列}{n a 的上确界，则β是数列}{n a 的极限；（D ）对数列}{n a ，若N n p N >∀∃>∀对和,,0ε,都有ε<-+p n n a a ，则数列收敛.三、（每题５分，共10分）1、求极限)11arctan 11)(arctan1(lim 2+---∞→n n n n . （提示：利用Lagrange 中值定理）解：2、求极限420sin tan lim x xx x x -→解：四、（10分）设,23,111n n x x x +==+求数列n x 的极限。