随机过程-1泊松过程PPT课件
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《条件泊松过程》课件
数据适应性问题
研究如何改进条件泊松过程以更好地适应非平 稳数据。
计算效率优化
研究如何提高条件泊松过程的计算效率，特别是在处理大规模数据时。
感谢您的观看
THANKS
与其他过程的区别与联系
总结词
条件泊松过程与其他随机过程在定义、特性和应用场景等方面存在差异，但也有一定的 联系。
详细描述
条件泊松过程与泊松过程、马尔可夫过程等随机过程在定义和应用场景上存在明显的区 别。然而，它们之间也存在一定的联系，例如，条件泊松过程可以看作是在泊松过程中 的事件发生概率上加入条件影响的扩展。此外，条件泊松过程还可以与其他随机过程结
合使用，以更好地描述复杂的随机现象。
02
条件泊松过程的数学模型
参数设定
参数设定
条件泊松过程需要设定一些参数，如 泊松率、时间间隔等，这些参数对过 程的行为和特性产生影响。
参数选择
选择合适的参数值是关键，需要根据 实际问题和数据来确定，通常需要通 过实验和验证来调整和优化。
概率分布
概率分布
条件泊松过程具有特定的概率分布，描 述了在不同条件下事件发生的概率。
规划。
保费计算
总结词
利用条件泊松过程模拟的索赔频率和索赔额分布，可 以更加科学地计算保险产品的保费。
详细描述
保费是保险公司根据风险评估和预期赔付情况制定的 收费标准。通过利用条件泊松过程模拟的索赔频率和 索赔额分布数据，保险公司可以更加科学地计算保险 产品的保费。这有助于确保保费与风险水平相匹配， 同时也能为保险公司提供更加合理的利润空间。此外 ，基于条件泊松过程的保费计算方法还可以为保险公 司提供更加灵活的定价策略，以满足不同客户群体的 需求和偏好。
利用条件泊松过程，可以更准确地为期权定价，考虑了 标的资产价格和波动率的动态变化。
随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记T n 为
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第三章泊松过程PPT课件
பைடு நூலகம்
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
泊松过程课件.ppt
泊松过程的定义和例
稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推 出定义3.3的条件(3).由式 n ( t ) P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. n! 对充分小的h,有 P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)-X(0)=1}(X(h)=X(0+h)) 1 n ( h ) ( h ) =e-λh =λh n0 =λh[1-λh+o(h)] =λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=P{X(h)-X(0)≥2} n ( h ) h = e n 2 n ! =o(h).
个乘客到达的时刻则飞机a在飞机b之后起飞的概率为pt泊松过程xt到达时间的概率密度函数为2中条件即此时由对称性有设乘客按强度为的泊松过程来到某火车站火车在时刻t起程计算在时间0t内到达的乘客候车时间总和的期望值即求ettdtdt设顾客到某商场的过程是泊松过程已知平均每小时有30人到达求所给事件的概率
泊松过程的定义和例
们对过程了解的情况去验证; 然而条件(3)的验证是非 常困难的. 为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义. 定义3.3 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立、平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式: P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). • 定义3.3中的条件(3)要求: 在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生, 而不能有2个或2个以上事件同时发
泊松过程的定义和例
例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程. 例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述. 定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的. 证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平
第一章-马氏过程_泊松过程_讲稿
第一章 随机过程离散时间随机过程连续型随机过程()X t →采样 →(),1,2,n n X X t n ==⋅⋅⋅称为随机变量序列12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅也记作{(),1,2,,}X n n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅或{}n X ，简记为()X n 或n X 。
称()X n 为离散时间随机过程。
()X n 在时刻n 的取值是一个随机变量n X ，其概率分布就是离散时间随机过程的一维分布。
()X n 在时刻n m ,的取值n m X X ,的联合分布，就是离散时间随机过程的二维分布。
以此类推，()X n 在n 个时刻的取值的联合分布，就是离散时间随机过程的n 维分布。
若经过某时间平移k 后，其任意n 维分布保持不变：X k k N k X N F x x x k k N k F x x x N 1212(,,...,;1,2,...,)(,,...,;1,2,...,)++++++=则称该离散时间随机过程为严平稳的。
均值 nX n m E X E X n ()(())==均方值 nX n E X ψ22()=相关函数 X n n R n n E X X 1212(,)()=宽平稳的定义 nX n X m E X m ()==X n n X R n n E X X R m m n n 121221(,)()(),===-nX X R ψ2(0)=<∞遍历性 （对应连续随机过程的时间平均 TTT dt T 1lim 2-→∞⎰g ）时间均值 Nn N n NA X n X n X N 1()()lim 21→∞=-==+∑ 时间相关函数NX n n m N n NR n n m X n X n m X X N 1(,)()()lim 21+→∞=-+=+=+∑ 定义： 若宽平稳随机序列()X n 的时间均值依概率1等于其统计均值X m ，时间相关函数依概率1等于其统计相关函数X R m ()则称其为宽遍历的。
《随机过程》第3章-泊松过程
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43
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
随机过程
第三章 泊松过程
1 齐次Poisson过程 2 非齐次Poisson过程 3 复合Poisson过程 4 年龄与剩余寿命 5 更新过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
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2 非齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
2 非齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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1 齐次Poisson过程
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证明：
1 齐次Poisson过程
1 齐次Poisson过程
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证明：
1 齐次Poisson过程
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证明：
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
泊松分布 ppt课件
1.计数过程:设
为一随机过程,
如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时,
N(s) ≤N(t),则称 XT {N(t),t T [0,)} 为计数过程(counting process).
若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到
电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程.
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
P{N(t) - N(s) k} [(t s)]k e(ts) , k 0,1, 2,
k!
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程.
第二章泊松过程随机过程ppt课件
命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}=et P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有
事件}(由独立增量)= et (由平稳增量)
所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2
证明： (1)对 y1 y2 yn，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times)
假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个
2．泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件
(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
泊松过程ppt课件
R X ( s ,t ) E [ X ( s ) X ( t ) ]s (t 1 )
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
随机过程3.3 泊 松 过 程(一)
(1)
平稳 增量
P0(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝
= P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0}
=P0(t)[1－λh+o(h)]
增量 独立
P0
(t
h) h
P0
(t
)
P0
(t
)
o(h) h
电子科技大学
令h 0, 得
§3.3 泊 松 过 程(一)
dP0 (t dt
)
P0 (t )
P0(0) 1, (条件(1) N (0) 0)
解得 p0 (t) et , t 0.
2o 当n≥1, 根据全概率公式有
pn (t h) pn (t) p0 (h) pn1(t) p1(h)
P{N (t ) 2} pk (t ) o(t ),
k2
其中λ＞0.
电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一)
定义3.3.2 设计数过程{N( t ), t≥0} 满足： (1) N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0；
Ti Wi1 Wi
定理3设.3{.2Tn, n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),
t≥0}的时间间隔序列则，{Tn, n≥1}相互独立同服
从指数分布，
且E{T}=1/λ.
证 (1) 因 {T1>t }={(0, t )内事件A不出现}
P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
应用随机过程泊松分布课件-PPT
特点:
1.应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 经济分析、金融工程、通信工程等许多领域
2.数学基础要求较高;
3.建立随机分析的思维较难.
研究动因
什么是随机过程（random variable，r.v. in short）？
研究动因
简单地说，随机过程就是一族随机变量. 随机过程的最早被人们研究的随机过程是随机游动.设一 醉汉在路上行走，以概率p前进一步,以概率1-p后退一步, 以X(t)记他在街上的位置,则X(t)就是直线上的随机游动
注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化 情况.
本学期课程的主要安排
一、预备知识
2. 样本空间、样本点、随机事件 3. 事件的关系和运算
一、预备知识
一、预备知识
一、预备知识
《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 什么是随机过程（random variable，r. 《随机过程》（第二版）方兆本 缪柏其 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 in short）？ 简单地说，随机过程就是一族随机变量. in short）？ 最简单也最早被人们研究的随机过程是随机游动. 及相应的实际背景; 尝试将各类随机过程与实际问题结合; 教材：应用随机过程-概率模型导论，Ross，第10版（影印版） 及相应的实际背景; 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 定量描述，是近代数学的重要组成部分, 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化情况. 应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 及相应的实际背景; 例 随机游动(random walk) 2 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
本课程教学目标:
1.应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 经济分析、金融工程、通信工程等许多领域
2.数学基础要求较高;
3.建立随机分析的思维较难.
研究动因
什么是随机过程（random variable，r.v. in short）？
研究动因
简单地说，随机过程就是一族随机变量. 随机过程的最早被人们研究的随机过程是随机游动.设一 醉汉在路上行走，以概率p前进一步,以概率1-p后退一步, 以X(t)记他在街上的位置,则X(t)就是直线上的随机游动
注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化 情况.
本学期课程的主要安排
一、预备知识
2. 样本空间、样本点、随机事件 3. 事件的关系和运算
一、预备知识
一、预备知识
一、预备知识
《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 什么是随机过程（random variable，r. 《随机过程》（第二版）方兆本 缪柏其 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 in short）？ 简单地说，随机过程就是一族随机变量. in short）？ 最简单也最早被人们研究的随机过程是随机游动. 及相应的实际背景; 尝试将各类随机过程与实际问题结合; 教材：应用随机过程-概率模型导论，Ross，第10版（影印版） 及相应的实际背景; 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 定量描述，是近代数学的重要组成部分, 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化情况. 应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 及相应的实际背景; 例 随机游动(random walk) 2 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
本课程教学目标:
泊松过程、马尔科夫链-PPT精选文档
二、泊松过程
1.计数过程
若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足以下条件：
1N t 0 ; 2 N t 取正整数； N 3 若 s t ，则 N s t; 4 当 s t 时， N t N s 等于区间 s ,t 中发生的“事件 A ”的次数 .
R s , t s t 1 X
C s , t R t , s t s min s , t X X X X
u E e exp t e 1
i uX t
iu X
(3)泊松过程的一个实例
设N(t)表示某电话交换台在时间[0,t)内接到的呼唤次数。 可以证明，对固定的t，呼唤次数N(t)是服从某参数λ的泊松分 布的随机变量。证明从略。
(4)时间间隔与等待时间的分布
T1
O
W1
T2
W2
T3
W
3
Tn
W n1
W
n
{X(t),t≥0}是泊松过程 X(t)表示t时刻事件A发生 (如:顾客出现)的次数，
则随机过程{N(t),t≥0}为计数过程。
泊松过程→
2.泊松过程
复习：泊松分布
(1)泊松过程的定义
设随机过程{X(t),t≥0}的状态空间为X={0,1,2,…},且 满足下列三个条件：
Xt , t 0 ① 为独立增量过程；
②对任意 0 s t, Xt Xs ~ t s,
X
E X t X s t s ;
t E X t X 0 t 0 t ;
北大随机过程课件泊松过程PPT
互独立的随机变量。求在五周内移民到该地区
的人口数的数学期望及其方差。
2018/11/10
2018/11/10
非齐次泊松过程举例
假设不相交叠的时间间隔内到达商店的 顾客数是相互统计独立的 ，问在上午8:30 －9:30间无顾客到达商店的概率是多少？ 在这段时间内到达商店顾客数学期望是多 少？
2018/11/10
复合泊松过程
定义：
设有泊松过程{ N(t),t ≥0 }和一族独立同分布 随机变量{ Yn }，n=1，2，3，…，且{ N(t) }和{ Yn} 也是相互统计独立的. 设随机过程 X (t ) Yn ,
2018/11/10
基本概念--泊松过程
泊松过程为满足下列假设的计数过程 :
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+ o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
(1). 泊松过程{N(t), t>0}的第一个事 件到达时间t的概率密度分布.
t ~ t t 内有一个到达。 即：0 ~ t 内无到达，
f ( ) e
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泊松分布相关的问题
(2). 泊松过程{N(t), t>0}的各次事件 间的时间间隔分布.
设各次事件间的时间间隔记为Tn , n 1, 2,3, 则
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5).(续)
卢正新《随机过程》第二章 泊松过程
X(t)
该商店在(0,t]时间段内的营业额
2021/8/5
21
定理
设 N(t) X(t) Yk,
t 0是复合泊松过程，则
k1
1. {X(t), t≥0}是独立增量过程；
2. X(t)的特征函数 gX(t)(u)extp [gY {(u)1]}，其中gY (u) 是随机
变量Y1的特征函数，λ是时间的到达率；
对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为
1et, t0
FTn(t)P{Tnt} 0,
t0
概率密度为
fTn
(t)
et
0,
,
t 0 t 0
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等待时间的分布
等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布
n
W n
Ti
i 1
2021/8/5因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。
有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费1元，设签约 客户为参数为λ的泊松过程，求公司在(0，t]时间段内的平均总收入。
2021/8/5
16
非齐次泊松过程
允许时刻t的来到强度是t的函数
定义： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，若 它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立增量过程；
k1
(kt!)kCnn1knk(1)k
-结巴概率：产生另一个需求
(1)-下一个需求发生的概率（经过一个指数时间的逗留）
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23
泊松过程的分解
例题
设到达某商场的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率 为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若{X( t )，t≥0}为购买商品的顾客 数，证明{X( t )，t≥0}是强度为λ p的泊松过程。
第3讲 第三章泊松过程(1)
g N (u ) E e
iuN t
e
t eiu 1
二. 时间间隔的分布与到达时间（等待时间） N(t) T4 一个样本：跃度 T3 为1 的阶梯函数 T2 T1 W1 W2 W3 W4 … t
Wn为第n个事件到达的时间(等待时间). Tn为第n个事件与第n－1个事件出现的时间间隔.
§3.2 泊松过程的性质 一.有限维分布、特征函数、布数字特征 N(t)的有限维分布：
对任意 0<t1 t2 , tn ,
N(t)的有限维分布为：
P X t1 k1 , X t2 k2 , , X t n k n
P X t1 k1 , X t2 X t1 k2 k1 ,, X t n X t n 1 k n k n 1
t1
k1 !
k1
e
t1
k
i i 2
n
t
ti 1
k1 ki 1
1
ki 1 !
e (ti ti 1 )
N(t)的特征函数： N (t ) ~ t
g N (u ) E e
iuN t
e
t eiu 1
0
s
t
显然，计数过程应满足： (1) N( 0)=0; (2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )；
(4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间隔(s, t]内事 件出现的次数.
定义3.2 若计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件： (1) N(0)=0；
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3
泊松过程的定义和例
(1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t的区间中, 事件A发生的次数服从 参数λ＞0的泊松分布,即对任意s,t≥0,有
P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,(n =t ) n0,1,2,…. n!
• 从条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=λt. 由于: λ=E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均 个数,故称λ为泊松过程的速率或强度.
硕士研究生学位课程《应用数学基础》
泊松过程
(Poisson process)
(演示文稿)
主讲教师 段禅伦
2008年秋季学期
CHENLI
1
第三章 泊松过程
• 泊松过程是一类较为简单的时间连续,状态离散的随机
过程.泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天
文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用.
• 如果计数过程N(t)在(t,t+s](s＞0)内,事件A发生的次
数N(t+s)-N(t),仅与时间差s有关,而与时刻t无关, 则
计数过程N(t)是平稳增量过程.
• 泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义是:
定义3.2 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊
松过程,如果{X(t),t≥0}满C足HEN下LI 列条件:
=P{X(t)-X(0)=0}P{X(t+h)-X(t)=0}
=P0(t)[1-λh+o(h)],
所以 P0(t hh)=-Pλ0(Pt)0(t)+ .
o(h) h
令h→0取极限得
P’0(t)=-λP0(t)
或
=P-0λ (.t ) CHENLI P 0 ( t )
9
泊松过程的定义和例
积分得
lnP0(t)=-λt+C 即 P0(t)=ke-λt. 由于P0(0)=P{X(0)}=1, 代入前式得 P0(t)=e-λt. 类似地,对于n≥1,有
• 从定义3.2,我们看到:为了判断一个计数过程是泊松过 程,必须证明它满足条件(1),(2)和(3).条件(1)只是说 明事件A的计数是从t=0时CHE开NLI始的; 条件(2)通常可从我4
泊松过程的定义和例
们对过程了解的情况去验证; 然而条件(3)的验证是非 常困难的. 为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义. 定义3.3 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立、平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式:
P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). • 定义3.3中的条件(3)要求: 在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生, 而不能CH有ENL2I 个或2个以上事件同时发5
泊松过程的定义和例
生. 这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足. 例3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫. 令X(t)
3.1 泊松过程的定义和例 定义3.1 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程, 若N(t)表
示到时刻t为止已发生的事件A的总数,且N(t)满足下列
条件:
(1) N(t)≥0;
(2) N(t)取正整数值; (3) 若s＜t,则N(s)≤N(t); (4) 当s＜t时, N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的事
定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的.
证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3C.H2E的NLI 条件(3)中蕴涵X(t)为平7
泊松过程的定义和例
稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推
出定义3.3的条件(3).由式
P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ( ,tn) n=0,1,2,….
表示电话交换台在(0,t]时间段内收到的呼叫次数, 则 {X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故{X(t),t≥0} 是一个泊松过程. 其实对于任意的0≤t1＜t2＜…＜tn,随机变量X(t2)X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间 段(t1,t2],(t2,t3],…,(tn-1,tn]内,电话交换台接到的 呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过{X(t),t≥0} 是一个独立增量过程. 而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以 认为仅与t-s有关,故{X(t)C,HtE≥NL0I }是平稳独立增量过程. 6
对充分小的h,有
n!
P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)X(0)=1}(X(h)=X(0+h)) ( h ) 1
=e-λh =λh 1!
(h)n
n0 n!
=λh[1-λh+o(h)]
=λh+o(h);
P{X(t+h)-X=(t)≥2}=P{ X(nh2)e-Xh((0)n≥h!)2n }
件A的次数.
CHENLI
2
泊松过程的定义和例
• 如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内, 事件A发
生的次数是相互独立的,即若
t1＜t2≤t3＜t4 则在区间(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1),与在 (t3,t4]内事件A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,那么 此时的计数过程N(t)是独立增量过程.
泊松过程的定义和例
例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程.
例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述.
CHENLI
8
=o(h).
泊松过程的定义和例
以下证明定义3.3蕴涵定义3.2. 经比较,只需证明由
定义3.3中后两式可以推出定义3.2的(3)式.为此令
Pn(t)=P{X(t)=n}=P{X(t)-X(0)=n}. 根据定义3.3的(2)与(3),有
P0(t+h)=P{X(t+h)=0}=P{X(t+h)-X(0)=0} =P{X(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0}