2017-2018年河南省郑州一中网校高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)

2017-2018学年河南省郑州一中网校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135°，B=30°，a=，则b等于（）A．1 B．C．D．22．（5分）{a n}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A．24 B．27 C．30 D．333．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”B．“x=1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要而不充分的条件C．命题“若x2=1则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”D．命题“若x=y则sinx=siny”的逆否命题为真命题5．（5分）在△ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么角A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．647．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．38．（5分）数列1，，，…，的前n项和为（）A． B． C．D．9．（5分）若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）记为f（n）自然数n的个位数字，，则a1+a2+…+a2018的值为（）A．2 B．6 C．8 D．1011．（5分）已知a，b，为正实数，①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，则a﹣b＜1；上述命题中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④12．（5分）如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使=2，=2，=2，以此类推，在正△A2B2C2内作正△A3B3C3，记正△A i B i C i的面积为a i（i=1，2，3，n），则a1+a2+3++a n=（）A． B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）不等式x2﹣2x+ax﹣2a≤0（a＞0）的解集是．14．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．15．（5分）已知条件p：{x|x2+x﹣6=0}，条件q：{x|mx+1=0}，且q是p的充分不必要条件，则m的取值集合是．16．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：﹣x2﹣2x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d＞0，又a2•a3=45，a1+a4=14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列，数列{b n}的前n项和记为S n，求S n．19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，它们的对边分别为a，b，c，且满足a：b=：，c=2．（1）求A，B，C；（2）求△ABC的面积S．20．（12分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值．21．（12分）如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．（Ⅰ）求4小时后甲船到B岛的距离为多少海里？（Ⅱ）若两船能相遇，求m．22．（12分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，整数M≤T2017，求M的最大值．2017-2018学年河南省郑州一中网校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135°，B=30°，a=，则b等于（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵A=135°，B=30°，a=，∴由正弦定理=得：b===1．故选：A．2．（5分）{a n}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A．24 B．27 C．30 D．33【解答】解：设等差数列的公差为d，由a1+a4+a7=45①，a2+a5+a8=39②，②﹣①得：（a2﹣a1）+（a5﹣a4）+（a8﹣a7）=3d=39﹣45=﹣6，则（a3+a6+a9）﹣（a2+a5+a8）=（a3﹣a2）+（a6﹣a5）+（a9﹣a8）=3d=﹣6，所以a3+a6+a9=（a2+a5+a8）+3d=39﹣6=33故选：D．3．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”B．“x=1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要而不充分的条件C．命题“若x2=1则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”D．命题“若x=y则sinx=siny”的逆否命题为真命题【解答】解：A．“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确；B．∴“x=1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，不正确；C．命题“若x2=1则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，不正确；D．命题“若x=y则sinx=siny”正确，其逆否命题为真命题，正确．故选：D．5．（5分）在△ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么角A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∵b2+c2﹣a2=2bccosA，∴2cosA=1，∴cosA=，又A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：B．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3【解答】解：画出可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（0，1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×1=﹣2．故选：C．8．（5分）数列1，，，…，的前n项和为（）A． B． C．D．【解答】解：∵所以数列的前n项和为==故选：B．9．（5分）若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，∴x的取值范围是，故选：D．10．（5分）记为f（n）自然数n的个位数字，，则a1+a2+…+a2018的值为（）A．2 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵a n=f（n2）﹣f（n）．a1=f（12）﹣f（1）=1﹣1=0，a2=f（22）﹣f（2）=4﹣2=2，a3=f（32）﹣f（3）=9﹣3=6，a4=f（42）﹣f（4）=6﹣4=2，a5=f（52）﹣f（5）=5﹣5=0，a6=f（62）﹣f（6）=6﹣6=0，a7=f（72）﹣f（7）=9﹣7=2，a8=f（82）﹣f（8）=4﹣8=﹣4，a9=f（92）﹣f（9）=1﹣9=﹣8，a10=f（102）﹣f（10）=0﹣0=0，…∴a1+a2+a3+…+a10=0，10个为一个周期，经行循环，故2018=201×10+8，前8个的和为，0+2+6+2+0+0+2﹣4=8，故a 1+a2+a3+…+a2018=8．故选：C．11．（5分）已知a，b，为正实数，①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，则a﹣b＜1；上述命题中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：对于①，a2﹣b2=1时，（a﹣b）（a+b）=1，∵a＞0，b＞0，∴0＜a﹣b＜a+b，∴a﹣b=＜1，①正确；对于②，时，不妨取a=3，b=满足条件，则a﹣b=＞1，∴②错误；对于③，，不妨取a=4，b=1满足条件，而|a﹣b|=3＞1，∴③错误；对于④，|a3﹣b3|=1，a＞0，b＞0，∴a≠b，不妨设a＞b＞0；∴a2+ab+b2＞a2﹣2ab+b2＞0，∴（a﹣b）（a2+ab+b2）＞（a﹣b）（a﹣b）2，即a3﹣b3＞（a﹣b）3＞0；∴1=|a3﹣b3|＞（a﹣b）3＞0，∴0＜a﹣b＜1，即|a﹣b|＜1，④正确；综上，正确的命题序号是①④．故选：D．12．（5分）如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使=2，=2，=2，以此类推，在正△A2B2C2内作正△A3B3C3，记正△A i B i C i的面积为a i（i=1，2，3，n），则a1+a2+3++a n=（）A． B．C．D．【解答】解：由=2，=2，=2，可得△A2B1B2为直角三角形，且∠B1A2B2=90°，∴tanB1=，∴A2B2═tanB1•A2B1=A1B1，则△A2B2C2的面积为△A1B1C1的，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：a i+1=a i（i=1，2，…，n），且a1=1，即所作三角形的面积构成以1为首项，以为公比的等比数列，∴a1+a2+…+a n==[1﹣（）n]．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）不等式x2﹣2x+ax﹣2a≤0（a＞0）的解集是[﹣a，2] ．【解答】解：根据题意，x2﹣2x+ax﹣2a≤0⇒（x﹣2）（x+a）≤0，方程（x﹣2）（x+a）=0有2个根，即x=﹣a与x=2，又由a＞0，则﹣a＜0，则不等式x2﹣2x+ax﹣2a≤0的解集为[﹣a，2]；故答案为：[﹣a，2]．14．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4．【解答】解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======故答案为：415．（5分）已知条件p：{x|x2+x﹣6=0}，条件q：{x|mx+1=0}，且q是p的充分不必要条件，则m的取值集合是．【解答】解：条件p：{x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}=A，条件q：{x|mx+1=0}=B，∵q是p的充分不必要条件，∴B⊊A．∴B=∅，或{﹣3}，{2}．a=0时，B=∅满足题意．a≠0时，若B={﹣3}，则﹣3m+1=0，解得m=．若B={2}，则2m+1=0，解得m=﹣．综上可得：m的取值集合是：．故答案为：．16．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是[4，+∞）或（﹣∞，0] ．【解答】解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时，+≥2，故≥4；当x•y＜0时，+≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：﹣x2﹣2x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）p：﹣x2﹣2x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．故p：﹣4≤x≤2，q：1﹣m≤x≤1+m，若p是q的充分条件，则[﹣4，2]⊆[1﹣m，1+m]，故，解得：m≥5；（2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，即q是p的充分条件，则[1﹣m，1+m]⊆[﹣4，2]，∴，解得：0＜m≤1．18．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d＞0，又a2•a3=45，a1+a4=14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列，数列{b n}的前n项和记为S n，求S n．【解答】解：（1）∵a2+a3=a1+a4=14，a2a3=45，且d＞0，∴a2=5，a3=9，∴d=4，a1=1，∴a n=1+（n﹣1）4=4n﹣3；（2）∵，∴b n的前n项和=．19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，它们的对边分别为a，b，c，且满足a：b=：，c=2．（1）求A，B，C；（2）求△ABC的面积S．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴A+C=2B，又A+B+C=180°，∴B=60°，A+C=120°，由正弦定理，可知，，∵a：b=：，c=2，∴，即sinA=，∵0°＜A＜120°，∴A=45°，C=120°﹣A=75°．综上，A=45°，B=60°，C=75°；（2）∵sinC=sin75°=sin（30°+45°）==，c=2，sinA=，sinB=，∴由正弦定理得：=，即，整理得：a=2﹣2，b=3，=acsinB=×2（﹣1）×2×=3﹣．∴S△ABC20．（12分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得xy=72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥2=24，当且仅当x=2y，即x=12，y=6时等号成立．∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．（Ⅱ）由已知得x+2y=30，又∵（+）•（x+2y）=5++≥5+2=9，∴+≥，当且仅当x=y，即x=10，y=10时等号成立．∴+的最小值是．21．（12分）如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．（Ⅰ）求4小时后甲船到B岛的距离为多少海里？（Ⅱ）若两船能相遇，求m．【解答】解：（I）设4小时后甲船航行到C处，，由余弦定理得海里（II）设两船在M处相遇，，由正弦定理，∴，从而有，又时间，∴22．（12分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，整数M≤T2017，求M的最大值．【解答】解：（I）∵S﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0．∴（S n﹣n2﹣n）（S n+1）=0，∵S n＞0．∴S n=n2+n．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．∴a n=2n．（II）b n====1+，∴数列{b n}的前n项和为T n=n++…+=n+1﹣，整数M≤T2017=2018﹣．∴M的最大值是2017．。