【全国市级联考】辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试文数(解析版)

辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试
文数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数12z i =+，则z =（ ）
A ． 12i -
B ．54i +
C ． 1
D ．2
【答案】A
【解析】错误！未找到引用源。

,选A.
2.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+<，{|1}B x x =>，则A B =（ ）
A ．{|3}x x >
B ．{|1}x x >
C ．{|13}x x -<<
D ．{|13}x x <<
【答案】D
3. 设,a b 均为实数，则“a b >”是“33a b >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ．充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，即“错误！未找到引用源。

”是“错误！未找到引用源。

”的充要条件，选C.
4.直线430x y -=与圆22
(1)(3)10x y -+-=相交所得弦长为（ ）
A ． 6
B ． 3 C. D ．
【答案】A
【解析】圆心到直线距离为错误！未找到引用源。

，所以弦长为错误！未找到引用源。

，选A.
5.下列命题中错误的是（ ）
A ．如果平面α外的直线a 不平行于平面α内不存在与a 平行的直线
B ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么直线l ⊥平面γ
C.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D ．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交
【答案】C
【解析】由平面错误！未找到引用源。

外的直线错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

内一直线，则错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，所以A 正确；
在平面错误！未找到引用源。

内作两条相交直线错误！未找到引用源。

分别垂直平面错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

交线及平面错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

交线，则由平面错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，平面错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

分别垂直平面错误！未找到引用源。

及平面错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

都垂直于直线错误！未找到引用源。

，因此直线错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，即B 正确；C 错误，显然平面错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

的交线不垂直于平面错误！未找到引用源。

；当一条直线与两个平行平面中的一个平面相交时，若此直线在另一个平面内，则与原平面无交点，矛盾；此直线与另一个平面平行，则可得此直线与原平面平行或在原平面内，矛盾，因此此直线必与另一个平面相交；综上选C.
6. 已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，15a =-，则126||||||a a a ++
+=（ ）
A ． 30
B ． 18 C. 15 D ．9
【答案】
B
7. 在平面内的动点(,)x y 满足不等式30100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值是（ ）
A ． 6
B ．4 C. 2 D ．0
【答案】A
【解析】可行域为一个三角形错误！未找到引用源。

及其内部,其中错误！未找到引用源。

,因此直线错误！未找到引用源。

过点A 时取最大值6,选A.
8.函数
x
e
y
x
的图象大致是（）
A． B． C. D．
【答案】B
点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
9. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A． 4 B．7
3
C.
4
3
D．
8
3
【答案】D
【解析】几何体为一个四棱锥,其中高为2,底面为边长为2的正方形,因此体积为错误！未找到引用源。

,选D.
10. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）
A ．118
B ．54 C. 32 D ．2316
【答案】B
1
1. 若方程2sin(2)6x m π+=在[0,]2x π
∈上有两个不相等实根，则m 的取值范围是（ ）
A ．
B ．[0,2] C. [1,2) D ．
【答案】C
【解析】因为错误！未找到引用源。

,所以错误！未找到引用源。

,即错误！未找到引用源。

时,函数错误！未找到引用源。

单调递增, 且错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

时,函数错误！未找到引用源。

单调递减, 且错误！未找到引用源。

，因此要有两个不相等实根，则错误！未找到引用源。

的取值范围是错误！未找到引用源。

，选C.
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
12. 已知定义在R 上的函数()f x 为增函数，当121x x +=时，不等式12()(0)()(1)f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）
A ．(,0)-∞
B ．1(0,)2 C. 1(,1)2
D ．(1,)+∞
【答案】D
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为 ．
【答案】95
【解析】由题意得错误！未找到引用源。

14. 已知函数()sin x f x e x =，则'
(0)f = ．
【答案】1
【解析】因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
15. 过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】错误！未找到引用源。

【解析】由题意得错误！未找到引用源。

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于错误！未找到引用源。

的方程或不等式，再根据错误！未找到引用源。

的关系消掉错误！未找到引用源。

得到错误！未找到引用源。

的关系式，而建立关于错误！未找到引用源。

的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
16. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数 ．
【答案】128
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知点P ，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =∙.
（1）求函数()f x 的最小值及此时x 的值；
（2）若A 为ABC ∆的内角，()4f A =，3BC =，ABC ∆ABC ∆的周长. 【答案】（I ）错误！未找到引用源。

， 2; (2) 错误！未找到引用源。

.
【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求最值及对应自变量,(2)先根据条件求出角A,再利用余弦定理得错误！未找到引用源。

两边平方和,最后根据基本不等式求错误！未找到引用源。

两边和的最大值,即得错误！未找到引用源。

的周长的最大值. 试题解析：（1）∵错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，
∴当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

取得最小值2．
点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，或转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解.
18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）错误！未找到引用源。

.
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取错误！未找到引用源。

名用户，评分不低于错误！未找到引用源。

分有错误！未找到引用源。

人，其中评分小于错误！未找到引用源。

分的人数为错误！未找到引用源。

，记为错误！未找到引用源。

，评分不小于错误！未找到引用源。

分的人数为错误！未找到引用源。

，记为错误！未找到引用源。

，从错误！未找到引用源。

人人任取错误！未找到引用源。

人，基本事件空间为错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，共有错误！未找到引用源。

个元素. 其中把“两名用户评分都小于错误！未找到引用源。

分”记作错误！未找到引用源。

，
则错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，共有错误！未找到引用源。

个元素.
所以两名用户评分都小于错误！未找到引用源。

分的概率为错误！未找到引用源。

.
19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AD AP ==，AB =，E 为棱PD 中点.
（1）求证：PD ⊥平面ABE ；
（2）求四棱锥P ABCD -外接球的体积.
【答案】(I) 见解析;(II)错误！未找到引用源。

．
试题解析：(I)证明：∵错误！未找到引用源。

底面错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

底面错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，又∵底面错误！未找到引用源。

为矩形，∴错误！未找到引用源。

，错误！未
找到引用源。

，错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

平面错误！未
找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

为错误！未找到引用源。

中点，∴错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

.
(II)法一：四棱锥错误！未找到引用源。

外接球球心在线段错误！未找到引用源。

和线段错误！未找到引用源。

的垂直平分线交点错误！未找到引用源。

，
由已知错误！未找到引用源。

，
设错误！未找到引用源。

为错误！未找到引用源。

中点，∴错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，
∴四棱锥错误！未找到引用源。

外接球是错误！未找到引用源。

．
法二：四棱锥错误！未找到引用源。

外接球和过错误！未找到引用源。

的长方体外接球相同，
球心在对角线的中点
由已知对角线错误！未找到引用源。

，
∴球的半径为3，
∴四棱锥错误！未找到引用源。

外接球是错误！未找到引用源。

．
20. 已知函数()ln f x ax x =-.
（1）过原点O 作函数()f x 图象的切线，求切点的横坐标；
（2）对[1,)x ∀∈+∞，不等式2()(2)f x a x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）错误！未找到引用源。

.
试题解析：（Ⅰ）设切点为错误！未找到引用源。

，直线的切线方程为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
即直线的切线方程为错误！未找到引用源。

又切线过原点,所以错误！未找到引用源。

，
由错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

，所以切点的横坐标为错误！未找到引用源。

. （Ⅱ）方法一：∵不等式错误！未找到引用源。

对错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

恒成立, ∴错误！未找到引用源。

对错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

恒成立.
设错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

. ①当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

上单调递减，
即错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

不符合题意.
②当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

.设错误！未找到引用源。

，
在错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

上单调递增，即错误！未找到引用源。

.
（Ⅱ）方法二：∵不等式错误！未找到引用源。

对错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

恒成立, ∴错误！未找到引用源。

对错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

恒成立.
当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

；当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

不恒成立；同理错误！未找到引用源。

取其他值不恒成立.
当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

恒成立；
当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，证明错误！未找到引用源。

恒成立.
设错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

.∴错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

为减函数．
错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

.
21. 已知椭圆Q：
2
2
2
1(1)
x
y a
a
+=>，
12
,F F分别是其左、右焦点，以线段
12
F F为直径的圆与椭圆Q有且
仅有两个交点.
（1）求椭圆Q的方程；
（2）设过点
1
F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于,A B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点
P横坐标的取值范围是
1
[,0)
4
-，求||
AB的最小值.
【答案】（Ⅰ）错误！未找到引用源。

;(Ⅱ) 错误！未找到引用源。

．
试题解析：（Ⅰ）由题意可知错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，故椭圆的方程为错误！未找到引用源。

.
(Ⅱ) 设直线错误！未找到引用源。

方程为错误！未找到引用源。

，
代入错误！未找到引用源。

有错误！未找到引用源。

，
设错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

中点错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

.
∴错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

的垂直平分线方程为错误！未找到引用源。

，
令错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

∵错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

．
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

．
点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极
坐标方程为4cos ρθ=，直线l
的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.
（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
（2）若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动
点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值.
【答案】（Ⅰ）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

;（Ⅱ）错误！未找到引用源。

.
试题解析：（Ⅰ）由错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

.
（Ⅱ）错误！未找到引用源。

直角坐标为错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

．
错误！未找到引用源。

到错误！未找到引用源。

的距离错误！未找到引用源。

，
从而最大值为错误！未找到引用源。

.
23.选修4-5：不等式选讲
已知0,0a b >>，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1.
（1）求证：22a b +=；
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.
【答案】（Ⅰ）错误！未找到引用源。

;（Ⅱ）错误！未找到引用源。

.
试题解析：（Ⅰ）法一：错误！未找到引用源。

，
∵错误！未找到引用源。

且错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，当错误！未找到引用源。

时取等号，即错误！未找到引用源。

的最小值为错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
法二：∵错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，
显然错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递减，错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递增，
∴错误！未找到引用源。

的最小值为错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.。