计时双基练4
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】双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cmD.50π3cm解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3， ∴l ＝|α|r ＝203π. 答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8π B.74π－8π C.π4－10πD.7π4－10π解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π. 答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( ) A ．－34π B.π4 C.34πD ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π. 又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4. ∴使|θ|最小的θ＝－3π4. 答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr ＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π3 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z .答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________； (3)13π6＝________； (4)－512π＝________. 答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad.解析 利用1°＝π180rad 计算． 答案 (1)π5 (2)－7π12 (3)5π24 (4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________．解析 150°＝150×π180＝5π6， ∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)． 答案 25π3 cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上；(2)终边落在直线OM 上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ， 又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S . 12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长．解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4， 即第一次相遇时所用的时间为4秒． P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx ，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2xx ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1 ＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
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】双基限时练(二十二)1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( ) A.BD →＝CE → B.BD →与CE →共线 C.BE →＝BC →D.DE →与BC →共线解析 由题意知，DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，∴DE →与BC →共线． 答案 D2．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 DB →＋DC →－2DA →＝(DB →＋AD →)＋(DC →＋AD →)＝AB →＋AC →， ∴(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0.即AB →2＝AC →2，∴|AB →|＝|AC →|.故选B.答案 B3．(2009·福建高考)设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为两边的三角形的面积 解析如右图，设b 与c 的夹角为θ，a 与b 的夹角为α， ∵a ⊥c ，∴|cos θ|＝|sin α|. 又|a |＝|c |， ∴|b ·c |＝|b ||c ||cos θ|＝|b ||a ||sin α|，即|b ·c |的值一定等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．答案 A4．已知点A ，B 的坐标分别为A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32，则与直线AB平行的向量的坐标可以是( )①⎝ ⎛⎭⎪⎫143，3；②⎝ ⎛⎭⎪⎫7，92；③⎝ ⎛⎭⎪⎫－143，－3；④(－7,9)． A ．① B ．①② C ．①②③D ．①②③④解析 ∵A (4,6)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，∴AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－7，－92，易知①、②、③与AB →平行，故选C.答案 C5．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →＝λAB →，若OP →·AB →≥P A →·PB →，则实数λ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋22D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22解析 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AB →＝(－1,1)，P A →＝(1－x ，－y )，PB →＝(－x,1－y )，∵AP →＝λAB →，∴(x －1，y )＝(－λ，λ)，∴⎩⎨⎧x －1＝－λ，y ＝λ，∴⎩⎨⎧x ＝1－λ，y ＝λ，①又∵OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,1)＝－x ＋y ，P A →·PB →＝(1－x ，－y )·(－x,1－y )＝－x (1－x )－y (1－y )， ∴－x ＋y ≥－x (1－x )－y (1－y )，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－22≤λ≤1＋22，又P 是线段AB 上的动点，∴λ≤1，∴1－22≤λ≤1，故选B.答案 B6．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10解析 ∵P A →＝CA →－CP →， ∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2.∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2.又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|P A →|2＋|PB →|2＝10CP →2，故所求值为10.答案 D7．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比为________．解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →，∴PC →＝AB →－P A →－PB →＝AP →＋AB →＋BP →＝2AP →，∴A ，P ，C 三点共线，且点P 是靠近点A 的线段AC 的三等分点， 故S △P ABS △ABC ＝13. 答案 138．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.解析 如图，∵AB ＝3，取D 为AB 的中点，又OA ＝1，∴∠AOD ＝π3.∴∠AOB ＝2π3.∴OA →·OB →＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案 －12 9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则由题意知，点B (2，0)，点E (2，1)，设点F (a,2)， 所以AB →＝(2，0)，AF →＝(a,2)． 由条件解得点F (1,2)，所以AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)． 所以AE →·BF →＝ 2. 答案210．如下图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析 如下图，过B 作BD ∥MN ， 易知m ＝AB AM ＝AD AN ，n ＝ACAN ，∴m ＋n ＝AD ＋AC AN .∵BO OC ＝DNNC ＝1， ∴AD ＋AC ＝2AN . ∴m ＋n ＝2. 答案 2 11.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2. 求证：AD ⊥BC .分析 解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d .∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ， ∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0. ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .12．已知点A 、B 的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且OC →＝3OA →，OD →＝3OB →，求证：AB ∥CD .证明 ∵OC →＝3OA →，OD →＝3OB →， ∴C (－12,9)，D (6,15)， ∴AB →＝(6,2)，CD →＝(18,6)．∴CD →＝3AB →，∴AB ∥CD .13．如图所示，以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B ＝90°，求点B 的坐标．解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2.∵B (x ，y )，A (5,2)， ∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2.又|AB →|＝|OB →|， ∴(x －5)2＋(y －2)2＝x 2＋y 2，整理，得10x ＋4y ＝29①∴又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →. ∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2＋y 2－5x －2y ＝0，② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝72，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
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】双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )A ．－32 B ．－12 C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B. 答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( )A ．sin α＝45 B ．cos α＝35 C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43. 答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，2nπ<θ<π2＋2nπ，此时θ在第一象限内．当k＝2n＋1，n∈Z时，π＋2nπ<θ<3π2＋2nπ，n∈Z，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A.答案 A7．角α终边上有一点P(x，x)(x∈R，且x≠0)，则sinα的值为________．解析由题意知，角α终边在直线y＝x上，当点P在第一象限时，x>0，r＝x2＋x2＝2x，∴sinα＝x2x ＝22.当点P在第三象限时，同理，sinα＝－22.答案±2 28．使得lg(cosαtanα)有意义的角α是第________象限角．解析要使原式有意义，必须cosαtanα>0，即需cosα，tanα同号，所以α是第一或第二象限角．答案一或二9．点P(tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限．解析∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P位于第四象限．答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b 2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b9＋b 2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是P A .在△OP A 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴P A ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3.即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值．解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2. 当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
人教新课标A版高中数学必修4双基限时练及答案15.doc
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】双基限时练(十五)1．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( ) A ．a ∥b B ．a ≠b C ．|a |≠|b |D ．b ＝－a解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |. 答案 C2．给出下列四个结论：①AB →＝AO →＋OB →； ②AB →－AC →＝BC →； ③AB →＋BC →＋CA →＝0; ④|a ＋b |≥|a －b |. 其中错误的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 ①正确，②错误，∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →.③错误，∵AB →＋BC →＋CA →＝0≠0.④错误，当a 与b 方向相反时，有|a ＋b |<|a －b |.综上知，仅①正确，故选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝a ，AC →＝b ，则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．－a －(－b )D ．－a ＋(－b )解析 AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →＝b －a .故选C.答案 C4．如图，P 是△ABC 所在平面内一点，且满足BA →＋BC →＝BP →，则( )A.BA →＝PC →B.BC →＝P A →C.BC →＋CP →＝BP →D.BA →－BP →＝AP →解析 由题意知，BP 是以BA →，BC →为邻边所作平行四边形的对角线，BC →＋CP →＝BC →＋BA →＝BP →.答案 C5．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析 ∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴BE →＝DF →，CF →＝F A →，∴AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0. 答案 A6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，则由加减法的几何意义可知AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|.又四边形ACDB 为平行四边形，所以四边形ACDB 为矩形，故AC ⊥AB ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.答案 C7．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →－DC →|＝________________________________________________________.解析 |AB →－CB →－DC →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案 28．如图，平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是________．解析 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线，∴|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ，故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 平行四边形9．已知a 与b 均为非零向量，若|a －b |＝||a |－|b ||，则a 与b 方向________．解析 当a 与b 不共线时，如图1，a －b ＝BC →，|BC →|>||AC →|－|AB →||可得|a －b |>||a |－|b ||；当a 与b 反向时，如图2，知a －b ＝CB →，|CB →|>||AB →|－|AC →||，∴|a －b |>||a |－|b ||.当a 与b 同向时，如图3，a －b ＝CB →，|CB →|＝||AB →|－|AC →||，∴|a －b |＝||a |－|b ||.答案 相同 10．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →；④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②③④11．如图，解答下列各题： (1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.解 ∵AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ， DE →＝d ，EA →＝e ，∴(1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e .(4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d . 12.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解 以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .13．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 如下图，设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，则AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|， ∴四边形ABCD 是矩形，故AD ⊥AB . 在Rt △ABD 中，高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
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】双基限时练(十四)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析 向量加法满足交换律， 所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案 A2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.CB → B.AB → C.AC →D.AM → 解析 (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →，故选C.答案 C3．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析 向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则a ＋b 应与b 方向相同，因此B 错．答案 B4．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋P A →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0解析 由向量加法的平行四边形法则易知，BA →与BC →的和向量过AC 边的中点，且长度是AC 边中线长的2倍，结合已知条件知，P 为AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.答案 C5．正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( )A ．0 B. 2 C ．3D ．2 2解析 |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.应选D. 答案 D6．在▱ABCD 中，若|BC →＋B A →|＝|B C →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定解析 |BC ＋AB |＝|AB ＋BC |＝|AC |， |BC →＋BA →|＝|BD →|，由|BD →|＝|AC →|知四边形ABCD 为矩形． 答案 B 7.根据图示填空． (1)AB →＋OA →＝________； (2)BO →＋OD →＋DO →＝________； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝________. 解析 由三角形法则知 (1)AB →＋OA →＝OA →＋AB →＝OB →； (2)BO →＋OD →＋DO →＝BO →； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝AD →＋BD →.答案 (1)OB (2)BO (3)AD ＋BD8．在正方形ABCD 中，边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，则|a ＋b |＝________.解析 a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →， ∴|a ＋b |＝|AC →|＝ 2. 答案29．若P 为△ABC 的外心，且P A →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝__________.解析 ∵P A →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心， ∴|P A →|＝|PB →|＝|PC →|. 因此∠ACB ＝120°. 答案 120°10．设a 表示“向东走了2 km ”，b 表示“向南走了2 km ”，c 表示“向西走了2 km ”，d 表示“向北走了2 km ”，则(1)a ＋b ＋c 表示向________走了________km ； (2)b ＋c ＋d 表示向________走了________km ； (3)|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析 (1)如图①所示，a ＋b ＋c表示向南走了2 km.(2)如图②所示，b ＋c ＋d 表示向西走了2 km.(3)如图①所示，|a ＋b |＝22＋22＝22，a ＋b 的方向是东南． 答案 (1)南 2 km (2)西 2 km (3)22 东南 11.如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)因为四边形OABC 是平行四边形，所以OA →＋OC →＝OB →. (2)因为BC ∥AD ∥FE ；BC ＝FE ＝12AD ， 所以BC →＝AO →，FE →＝OD →， 所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →. (3)因为|OA →|＝|FE →|，且OA →与FE →反向． 所以利用三角形法则可知OA →＋FE →＝0. 12．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →； (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.解 (1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →. (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0 13.如右图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →. 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 由图可知AB →＝AP →＋PB →， AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋PB →＋QC →. ∵BP →＝QC →，又PB →与BP →模相等，方向相反， 故PB →＋QC →＝PB →＋BP →＝0.∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
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】双基限时练(二十七)1．sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12×2sin15°cos15°＝12sin30°＝14.答案 B2．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0 B.22 C ．1D ．－22解析 cos 4π8－sin 4π8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8 ＝cos π4＝22. 答案 B3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos2α的值等于( ) A ．－725 B.725 C.325D ．－325解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.答案 A4．化简1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ的结果为( ) A ．2cos2θ B ．－cos2θ C ．sin2θD ．－sin2θ解析 1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝－sin2θ. 答案 D5．若sin x ·tan x <0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cos x B ．－2cos x C.2sin xD ．－2sin x解析 ∵sin x ·tan x <0，∴x 为第二或第三象限的角． ∴cos x <0，∴1＋cos2x ＝2cos 2x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 答案 B6．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析 ∵sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝3. 答案 D7．已知tan2α＝12，则tan α的值为________．解析 由tan2α＝2tan α1－tan 2α＝12，整理可得：tan 2α＋4tan α－1＝0.解得：tan α＝－2±5.答案 －2±58．cos π5cos 2π5＝________. 答案 149．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.∴tan x tan2x ＝tan x2tan x 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝1－192＝49.答案 4910．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝________.解析 方法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，∴22(cos x ＋sin x )＝35，∴12(1＋2sin x cos x )＝925，∴sin2x ＝－725.方法二：sin2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝2×925－1＝－725. 答案 －72511．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ， 所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π， 所以－32≤sin2x ≤1，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.12．已知α为锐角，且tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2.(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值． 解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α ＝sin α(2cos 2α－1)cos2α ＝sin αcos2αcos2α ＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110， 又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010. 13．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α证明 方法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．方法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝ 12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
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学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】双基限时练(二十)1．已知|a |＝6，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A ．6＋ 3 B ．6－ 3 C ．6D ．7解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝6×2×cos60°＝6. 答案 C2．已知|a |＝2，|b |＝4，a ·b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故选D. 答案 D3．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a ·b ＝( ) A ．3 B.92 C ．2D.12解析 由题意，得|a |cos 〈a ，b 〉＝32， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92. 答案 B4．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0B ．2 2C ．4D ．8解析 |2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8， ∴|2a －b |＝2 2. 答案 B5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析 (a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋2a ·b －a ·b －2b 2 ＝a 2＋a ·b －2b 2＝－32，又a ·b ＝|a ||b |cos 2π3＝|a |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2|a |，∴|a |2－2|a |－2×42＝－32. ∴|a |＝2，或|a |＝0(舍去)． 答案 A6．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析 因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，所以CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D.答案 D7．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________.解析设b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧y ＝－2x ，x 2＋y 2＝45.∴x 2＝9.∴x ＝±3，又a ＝(－1,2)与b 方向相反． ∴b ＝(3，－6)． 答案 (3，－6)8．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b|(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________.解析 由|k a ＋b |＝3|a －k b|，得k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2， 即(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝1×1cos60°＝12， ∴k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案 19．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为________．解析 ∵|a |＝2，a ·(a ＋b )＝1， ∴a 2＋a ·b ＝2＋a ·b ＝1.∴a ·b ＝－1.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12×1＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4. 答案 3π410．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 因为BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝AD →－12AB →， 所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AD →·AB →－12AB →2＝1＋12×1×|AB →|cos60°－12|AB →|2＝1，所以14|AB →|－12|AB →|2＝0，解得|AB →|＝12.答案 1211．在△ABC 中，|BC →|＝4，|CA →|＝9，∠ACB ＝30°， 求BC →·CA →. 解 如图所示，BC →与CA →所成的角为∠ACB 的补角即150°， 又因为|BC →|＝4，|CA →|＝9，所以BC →·CA →＝|BC →|·|CA →|cos150°＝4×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－18 3.12．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴|a |2－|b |2＝12.∵|a |＝1， ∴|b |＝|a |2－12＝22.设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·b|a ||b |＝121·22＝22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12，∴|a －b |＝22.∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝52，∴|a ＋b |＝102.设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则 cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55.13．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时．(1)求t 的值(用a ，b 表示)； (2)求证：b 与a ＋t b 垂直．(1)解 |a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a ·b b 22＋a 2－(a ·b )2b 2.当t ＝－a ·bb2时，|a ＋t b |取最小值． (2)证明 (a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝a ·b －a ·bb2×b 2＝0，所以a ＋t b 与b垂直．高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
人教新课标A版高中数学必修4双基限时练及答案23.doc
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】双基限时练(二十三)1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )A ．(8,2)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)解析 由已知得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． ∴OF →＝OA →＋AF →＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)． 答案 B2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为12v 0，则发射角θ应为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析 炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0⇒cos θ＝12⇒θ＝60°. 答案 D3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某一物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析 由题意知，F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0. 又F 1＋F 2＋F 3＝(－1，－2)，∴F 4＝(1,2)． 答案 D4．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N解析 如下图所示，|F 1|＝|F |cos60°＝10×12＝5 N ，应选B.答案 B5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v 1，水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则( )A ．|v 1|<|v 2|B ．|v 1|>|v 2|C ．|v 1|≤|v 2|D ．|v 1|≥|v 2|解析 船速v 1应大于水速v 2，即|v 1|>|v 2|. 答案 B6．当两人提重为|G |的书包时，夹角为θ，用力为|F |，则当|F |最小时，θ应为( )A ．0 B.π2 C.2π3 D. π答案 A7．河水从东向西流，流速为2 m/s ，一轮船以2 m/s 垂直水流方向向北横渡，则轮船实际航行的方向是________，航速是________．解析 如图所示，记水速|v 1|＝2 m/s ，船速|v 2|＝2 m/s. v 表示船实际航行的速度，则由图知：|v |＝22＋22＝22(m/s)．方向与水流方向成45°. 答案 西北方向 2 2 m/s8．三个力F 1，F 2，F 3同时作用于O 点且处于平衡状态，已知F 1与F 2的夹角为120°，又|F 1|＝|F 2|＝20 N ，则|F 3|＝________.解析 由题意有F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－F 1－F 2，∴|F 3|2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝202＋2|F 1|·|F 2|cos120°＋202＝202，∴|F 3|＝20 N.答案 20 N9．已知速度v 1＝(1，－2)，速度v 2＝(3,4)，则合速度v ＝________. 答案 (4,2)10．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．解析 水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12a t 2＝12F·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×12×42×32＝36(J)．答案 36 J 11.今有一小船位于d ＝60 m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80 m 处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s ，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？解如图，由题设可知，船的实际速度v ＝v 划＋v 水，其方向为临界方向PO →.则最小划速|v |＝|v 水|·sin θ， sin θ＝d d 2＋l 2＝60602＋802＝35，∴θ＝37°，∴最小划速应为|v 划|＝5×sin θ＝5×35＝3(m/s)．12．平面上有两个向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P ，从P 0(－1,2)开始沿着与向量e 1＋e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e 1＋e 2|，另一动点Q ，从点Q 0(－2，－1)出发，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e 1＋2e 2|.设P ，Q 在t ＝0秒时分别在P 0，Q 0处，则当PQ →⊥P 0Q 0→时，t 等于多少秒．解 ∵P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)．又∵e 1＋e 2＝(1,1)，∴|e 1＋e 2|＝ 2. ∵3e 1＋2e 2＝(3,2)，∴|3e 1＋2e 2|＝13.∴当t 时刻时，点P 的位置为(－1＋t,2＋t )，点Q 位置为(－2＋3t ，－1＋2t )．∴PQ →＝(－1＋2t ，－3＋t )． ∵P 0Q 0→⊥PQ →，∴(－1)×(－1＋2t )＋(－3)×(－3＋t )＝0. ∴t ＝2.即当PQ →⊥P 0Q 0→时所需时间为2秒．13．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解如图，由已知条件可知AG与竖直方向成45°角，BG与竖直方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos45°＋|F b|cos60°＝|G|＝100，①且|F a|sin45°＝|F b|sin60°.②由①②解得|F a|＝1502－506，∴A处所受力的大小为(1502－506) N.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
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】双基限时练(二十六)1．已知下列四个等式：①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α； ④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.其中恒成立的等式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．答案 B2.1－tan15°1＋tan15°的值为( ) A. 3 B.33 C ．1 D ．－ 3解析 原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.答案 B3．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1328 B.1322 C.322 D.163．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13B.139C.1315D.59 答案 B4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．4解析 因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12.答案 C5．若0<α<π2，0<β<π2，且tan α＝17，tan β＝34，则α＋β等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 答案 B6．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝b ＋aD ．c ＝ab解析 由韦达定理可知tan α＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 且tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－a ＝c a ，∴tan π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a1－c a ＝1.∴－b a ＝1－c a .∴－b ＝a －c .∴c ＝a ＋b .故选C.答案 C7．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________. 解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 138.tan51°－tan6°1＋tan51°tan6°＝________. 解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1. 答案 19．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝______.解析 ∵π2<α<π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，∴tan α＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17. 答案 1710．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.解析 因为tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°) ＝tan45°(1＋tan67°tan22°) ＝1＋tan67°tan22°所以tan67°－tan22°－tan67°tan22° ＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1. 答案 111．求下列各式的值． (1)tan π12；(2)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°.解 (1)tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝tan π4－tan π61＋tan π4·tan π6 ＝1－331＋33＝2－ 3.(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3. 12．(1)已知α＋β＝π4，求(1＋tan α)(1＋tan β)．(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．解 (1)∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝1，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝(tan α＋tan β)＋1＋tan αtan β＝2. (2)由(1)知当α＋β＝45°时， (1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)＝222·2＝223.13．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)． (1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解 (1)tan α＝－13，cos β＝55，β∈(0，π)， ∴sin β＝255，∴tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1. (2)∵tan α＝－13， α∈(0，π)， ∴sin α＝110，cos α＝－310.∴f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β ＝－35sin x －15cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x . ∴f (x )的最大值为 5.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
高中数学人教B版必修4：双基限时练(31份打包)双基限时
双基限时练(一)基础强化1．下列说法正确的是()A．钝角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于90°的角是钝角D．－165°是第二象限角解析钝角的范围为(90°，180°)，故它是第二象限角，∴A正确，C 错误；120°是第二象限角，390°是第一象限角，∴B错误；－165°是第三象限角，∴D错误．答案 A2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝()A．150°B．－150°C．390°D．－390°解析∠AOB＝120°，∠BOC＝－270°，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°－270°＝－150°.答案 B3．与405°终边相同的角为()A．－45°B．45°C．135°D．225°解析405°＝360°＋45°，故与405°的终边相同的角为45°.答案 B4．－1236°角的终边所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析 －1236°＝－3×360°－156°，即－1236°角的终边与－156°角的终边相同，∵－156°是第三象限角，故－1236°是第三象限角．答案 C5．在平面直角坐标系中，若角α与β的终边互相垂直，则角α与β的关系为( )A ．β＝α＋90°B ．β＝α±90°C ．β＝k ·360°＋α＋90°，k ∈ZD ．β＝k ·360°＋α±90°，k ∈Z解析 如图所示，可知β－α＝k ·360°±90°，k ∈Z .答案 D6．若θ是第三象限角，则θ2与90°－θ一定不是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析 ∵θ是第三象限角，∴θ2是第二象限或第四象限角.90°－θ是第三象限角，∴θ2与90°－θ一定不是第一象限角．答案 A7．如图，终边落在阴影部分的角的集合为________．解析该区域的边界分别是k·360°－45°，k∈Z，与k·360°＋120°，k∈Z.故该区域表示的角的集合为{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}．答案{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}8．时间经过2小时20分钟，则分针所转过的角度为________．解析分针走过5分钟，转过的角度为－30°，走过1小时，则转过的角度为－360°，∴时针走过2小时20分，分针转过的角度为2×(－360°)＋(－120°)＝－840°.答案－840°能力提升9．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.解析由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°＜α＜360°，令k＝3，得α＝270°.答案270°10．在0°到360°内找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)－840°；(3)2496°； (4)3401°.解析 (1)－150°＝－360°＋210°，∴0°到360°内，与－150°终边相同的角为210°，它是第三象限角． (2)－840°＝－3×360°＋240°，∴在0°到360°内，与－840°终边相同的角为240°，它是第三象限角． (3)2496°＝6×360°＋336°，∴在0°到360°内，与2496°终边相同的角为336°，它是第四象限角． (4)3401°＝9×360°＋161°，∴在0°到360°内，与3401°终边相同的角为161°，它是第二象限角． 11．若角α的终边与240°的终边相同，求在[0°，360°)内终边与α3的终边相同的角．解析 α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α3＝80°＋k ·120°，k ∈Z .依题意：0°≤80°＋k ·120°<360°，k ∈Z ， ∴k ＝0,1,2.即在[0°，360°)内，终边与α3终边相同的角为80°，200°，320°. 12．如图，分别写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析(1)终边落在射线OM上的角的集合A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，故终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)由(2)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．品味高考13．设集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则必有()A．M＝N B．M NC．M N D．M∩N＝∅解析在集合M中，对k讨论：当k＝4n，n∈Z，x＝n·360°＋45°，n∈Z；当k＝4n＋1，n∈Z时，x＝n·360°＋135°，n∈Z；当k＝4n＋2，n∈Z时，x＝n·360°＋225°，n∈Z；当k＝4n＋3，n∈Z时，x＝n·360°＋315°，n∈Z.故集合M表示终边在四个象限角平分线上的角的集合．同理，对于集合N中的k＝8n,8n＋1，…，8n＋7，n∈Z讨论可知，集合N表示终边在坐轴上或四个象限角平分线上的角的集合，所以M N，故选C.答案 C。
函数的定义域和值域知识点和题型归纳
●高考明方向了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.★备考知考情定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理《名师一号》P13知识点一常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为{|,,}2∈≠+∈x x R x k k Z ππ如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．知识点二 基本初等函数的值域注意：(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a} (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0} (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .（补充）三角函数中正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R《名师一号》P15知识点二 函数的最值注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．1、温故知新P11 知识辨析1（2） 函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题函数(]()1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C (].2,0-D答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析：（一)函数的定义域1．据解析式求定义域例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1(2014·山东) 函数()=f x 为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0， 即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12. 所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1） 函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1） 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．函数的定义域一定要用集合或区间表示例2. (补充)若函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域为R则实数a 的取值范围是 ；答案：()1,+∞变式：2()lg(21)=++f x ax ax ?练习：(补充)若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R 则实数k 的取值范围是 ；答案：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．求复合函数的定义域例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）(2015·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y ＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8]解析：由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]． 则使函数y ＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤2x ≤4，x －1>0，解得1<x ≤2，所以定义域为(1,2]．例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f (f (x ))的定义域是( )A ．{x |x ≠－1}B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2}解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－1，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2） （P13 问题探究 问题1 类型二）已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域， 是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．例4．(补充)已知2(1)f x +的定义域是[]0,1，求()f x 的定义域。
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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作双基限时练(一)1．下列命题中正确的是()A．终边在x轴负半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同解析易知A、B、C均错，D正确．答案 D2．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是()A．第一象限B．第一、二象限C．第一、三象限D．第一、四象限解析取特殊值验证．当k＝0时，知终边在第一象限；当k＝1，α＝30°时，知终边在第三象限．答案 C3．下列各角中，与角330°的终边相同的是()A．150°B．－390°C．510°D．－150°解析330°＝360°－30°，而－390°＝－360°－30°，∴330°与－390°终边相同．答案 B4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析方法一由270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z得：－90°－k·360°>180°－α>－180°－k·360°，终边在(－180°，－90°)之间，即180°－α角的终边在第三象限，故选C.方法二数形结合，先画出α角的终边，由对称得－α角的终边，再把－α角的终边关于原点对称得180°－α角的终边，如图知180°－α角的终边在第三象限，故选C.答案 C5．把－1125°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是() A．－3×360°＋45°B．－3×360°－315°C．－9×180°－45°D．－4×360°＋315°解析－1125°＝－4×360°＋315°.答案 D6．设集合A＝{x|x＝k·180°＋(－1)k·90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}，则集合A，B的关系是()A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅解析集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y轴非负半轴上的角．∴A＝B.答案 C7.如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC的度数为________．解析解法一根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠AOC＝－75°.解法二由角的定义知，∠AOB＝45°，∠BOC＝－120°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°－120°＝－75°.答案－75°8．在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________．解析与100°终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋100°，k ∈Z }令k ＝－2，－1,0,1，得α＝－620°，－260°，100°，460°.答案 {－620°，－260°，100°，460°}9．若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．解析 ∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°.答案 －960°10．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________．解析 2α＝k ·360°＋20°，所以α＝k ·180°＋10°，k ∈Z . 答案 {α|k ·180°＋10°，k ∈Z }11．角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.解 由题意得5α＝k ·360°＋α(k ∈Z )，∴α＝k ·90°(k ∈Z )．∵180°<α<360°，∴180°<k ·90°<360°.∴2<k <4，又k ∈Z ，∴k ＝3.∴α＝3×90°＝270°.12.如图所示，角α的终边在图中阴影部分，试指出角α的范围．解∵与30°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．与180°－65°＝115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝115°＋k·180°，k∈Z}．因此，图中阴影部分的角α的范围为：{α|30°＋k·180°≤α<115°＋k·180°，k∈Z}．13．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角？(3)写出第二象限的角的一般表示法．解(1)在α＝k·90°＋45°中，令k＝0,1,2,3知，α＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．(2)由－180°<k·90°＋45°<180°，得－52<k<32.又k∈Z，故k＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k·360°＋135°，k∈Z.。
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】双基限时练(四)1．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有( ) A ．sin1>sin1.2>sin1.5 B ．sin1>sin1.5>sin1.2 C ．sin1.5>sin1.2>sin 1 D ．sin1.2>sin 1>sin 1.5解析 π4<1<1.2<1.5<π2，画图易知． 答案 C2．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( ) A ．sin α＋cos α B ．tan α＋sin α C ．cos α－tan αD ．sin α－tan α解析 由α为第二象限角知，sin α>0，tan α<0，由三角函数线知|tan α|>sin α. ∴－tan α>sin α，即sin α＋tan α<0. 答案 B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4 答案 D4．依据三角函数线，作出如下判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8>tan 3π5；④sin 3π5>sin 4π5.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C5．已知角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．x 轴的非正半轴上C ．x 轴上D ．y 轴上 解析 由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cos α＝±1，故角α的终边在x 轴上．答案 C6．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β解析 方法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝60°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．方法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2.若α，β是第一象限角，又sin α>sin β，则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2.∵y 1>y 2，∴α>β.∴cos α<cos β.∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P ′1(x ′1，y ′1)，P ′2(x ′2，y ′2)，其中sin α＝y ′1，sin β＝y ′2，则tan α－tan β＝y ′1x ′1－y ′2x ′2＝x ′2y ′1－x ′1y ′2x ′1x ′2.而y ′1>y ′2>0，x ′2<x ′1<0， ∴－x ′2>－x ′1>0，∴x ′1x ′2>0，x ′2y ′1－x ′1y ′2<0， 即tan α<tan β.∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D. 答案 D7．若角α的正弦线的长度为34，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案 －348．比较大小：sin1155°________sin(－1654°)(填“<”或“>”)． 答案 >9．已知α∈(0,4π)，且sin α＝12，则α的值为________． 解析 作出满足sin α＝12的角的终边，如图：直线y ＝12交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则终边在OA ，OB 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .又α∈(0,4π)，所以α＝π6或5π6或13π6或17π6 答案 π6或5π6或13π6或17π610．在(0,2π)内，使sin α>cos α成立的α的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π11．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线、正切线． 解 如图：α＝7π6的余弦线、正弦线、正切线分别为OM ，MP ，AT . 12．利用三角函数线比较下列各组数的大小． (1)sin 2π3与sin 4π5； (2)tan 2π3与tan 4π5. 解如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan 2π3＝AT ；角4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin 4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′，由图可见，MP >M ′P ′，AT <AT ′，所以(1)sin 2π3>sin 4π5. (2)tan 2π3<tan 4π5.13．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1；(2)sin α＜－12.解 (1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P ′，则OP 和OP ′就是角α的终边，∴∠xOP ＝3π4＝π－π4，∠xOP ′＝－π4，∴满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－π4＋k π，k ∈Z }．①②(2)如图②所示，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线，交单位圆于点P和P ′，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∴∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， ∴满足条件的所有角α的集合是 {α|7π6＋2k π＜α＜11π6＋2k π，k ∈Z }．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
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】双基限时练(十)1．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．没有对称轴答案 B2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π8，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析 由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 答案 A3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4.则ω的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π4，∴ω＝4. 答案 C4．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )＝sin x ＋tan x .∵y ＝sin x ，y ＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数． 答案 A5．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°，则有( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a ＝log 12tan70°<0.又0<sin25°<sin30°＝12，∴b ＝log 12sin25°>log 1212＝1，而c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°∈(0,1)，∴b >c >a .答案 D6．下列图形分别是①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y＝tan|x |在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )abcdA ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③解析 y ＝tan(－x )＝－tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数，只有图象d符合，即d 对应③.答案 D7．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析 由已知πω＝2π，∴ω＝12，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝tan π4＝1. 答案 18．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________．解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4上都是增函数，∴y ≥tan π4＝1或y ≤tan 3π4＝－1.答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)9．满足tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是________．解析 把x ＋π3看作一个整体，利用正切函数图象可得k π－π3≤x ＋π3<k π＋π2，所以k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z .故满足tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z 10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于38π－18π＝28π＝14π，即周期为12π，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×38π＋φ，即34π＋φ＝k π(k ∈Z )，所以，φ＝k π－34π(k ∈Z )，又|φ|<12π，所以，φ＝14π.再由图象过定点(0,1)，所以，A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋14π.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫124π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×124π＋14π＝tan 13π＝ 3.答案311．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解 ∵1<T <32，∴1<πk <32，即2π3<k <π. ∵k ∈N *，∴k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，由3x －π3≠π2＋k π得x ≠5π18＋k π3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称， ∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3，k ∈Z .∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z . 12．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，其中0<φ<π2，试求函数f (x )的单调区间．解 由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，其中k ∈Z .故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π4. 由于0<φ<π2， 所以当k ＝2时，φ＝π4.故函数解析式为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数．则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2， 解得k π3－π4<x <k π3＋π12，k ∈Z ，故函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3 ＋π12，k ∈Z .13．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的最值及相应的x的值．解 y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. ∵π4≤x ≤π3，∴1≤tan x ≤ 3.∴当tan x ＝3时，y 有最大值103－4，此时x ＝π3. 当tan x ＝1时，y 有最小值8，此时x ＝π4.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
设函数 y＝ f(x)在某区间 D 内可导．如果 f ′x（)>0，则 f (x)在区间 D 内为增函数；如果 f ′x（)<0，则 f(x)在区间 D 内为减函数． 注意： (补充 ) （ 1）若使得 f ′x（)=0 的 x 的值只有有限个，
一、知识梳理 《名师一号》 P15 注意：
研究函数单调性必须 先求函数的定义域， 函数的单调区间是 定义域的子集 单调区间 不能并 ！
知识点一 函数的单调性 1. 单调函数的定义
1
2.单调性、单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数或减函数 ，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f (x)的单 调区间 .
法一：定义法
设－ 1<x1<x2，
ax1 ax2 则 f(x1)－f (x2)＝x1＋ 1－ x2＋1
ax1 x2＋ 1 － ax2 x1＋ 1
＝
x1＋1 x2＋ 1
a x1－x2
＝ x1＋ 1
x2＋ 1
∵－ 1<x1<x2，
∴x1－ x2<0， x1＋1>0，x2＋ 1>0.
6
∴当 a>0 时， f(x1)－ f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递增． 同理当 a<0 时， f (x1)－f (x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递减．
[答案 ] C [解析 ] f ′x（)＝3x2－6a， 若 a≤０，则 f ′x（) ≥０，∴ f(x)单调增，排除 A ； 若 a>0，则由 f ′x（)＝0 得 x＝ ± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a 时，f ′x（)>0，f(x)单调增，当－ 2a<x < 2a时，f (x)单调减， ∴f (x)的单调减区间为 (－ 2a， 2a)，从而 2a＝2， ∴a＝ 2.
人教A版高中数学必修四双基限时练4.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(四)1．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有( ) A ．sin1>sin1.2>sin1.5 B ．sin1>sin1.5>sin1.2 C ．sin1.5>sin1.2>sin 1 D ．sin1.2>sin 1>sin 1.5解析 π4<1<1.2<1.5<π2，画图易知． 答案 C2．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( ) A ．sin α＋cos α B ．tan α＋sin α C ．cos α－tan αD ．sin α－tan α解析 由α为第二象限角知，sin α>0，tan α<0，由三角函数线知|tan α|>sin α. ∴－tan α>sin α，即sin α＋tan α<0. 答案 B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4答案 D4．依据三角函数线，作出如下判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8>tan 3π5；④sin 3π5>sin 4π5.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C5．已知角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．x 轴的非正半轴上C ．x 轴上D ．y 轴上 解析 由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cos α＝±1，故角α的终边在x 轴上．答案 C6．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β解析 方法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝60°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．方法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2.若α，β是第一象限角，又sin α>sin β，则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2.∵y 1>y 2，∴α>β.∴cos α<cos β.∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P ′1(x ′1，y ′1)，P ′2(x ′2，y ′2)，其中sin α＝y ′1，sin β＝y ′2，则tan α－tan β＝y ′1x ′1－y ′2x ′2＝x ′2y ′1－x ′1y ′2x ′1x ′2.而y ′1>y ′2>0，x ′2<x ′1<0， ∴－x ′2>－x ′1>0，∴x ′1x ′2>0，x ′2y ′1－x ′1y ′2<0， 即tan α<tan β.∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D. 答案 D7．若角α的正弦线的长度为34，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案 －348．比较大小：sin1155°________sin(－1654°)(填“<”或“>”)． 答案 >9．已知α∈(0,4π)，且sin α＝12，则α的值为________． 解析 作出满足sin α＝12的角的终边，如图：直线y ＝12交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则终边在OA ，OB 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .又α∈(0,4π)，所以α＝π6或5π6或13π6或17π6 答案 π6或5π6或13π6或17π610．在(0,2π)内，使sin α>cos α成立的α的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π11．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线、正切线． 解 如图：α＝7π6的余弦线、正弦线、正切线分别为OM ，MP ，AT . 12．利用三角函数线比较下列各组数的大小． (1)sin 2π3与sin 4π5； (2)tan 2π3与tan 4π5. 解如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan 2π3＝AT ；角4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin 4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′，由图可见，MP >M ′P ′，AT <AT ′，所以(1)sin 2π3>sin 4π5. (2)tan 2π3<tan 4π5.13．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1；(2)sin α＜－12.解 (1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P 和P ′，则OP 和OP ′就是角α的终边，∴∠xOP ＝3π4＝π－π4，∠xOP ′＝－π4，∴满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－π4＋k π，k ∈Z }．①②(2)如图②所示，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线，交单位圆于点P和P ′，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∴∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， ∴满足条件的所有角α的集合是 {α|7π6＋2k π＜α＜11π6＋2k π，k ∈Z }．。
高中数学 双基限时练4 新人教B版必修4
双基限时练(四)基 础 强 化1．若θ是第二象限角，则( ) A ．sin θ<0 B ．cos θ<0 C ．tan θ>0D ．cot θ>0解析 θ为第二象限角，则sin θ>0，cos θ<0， tan θ<0，cot θ<0. 答案 B2．y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x |tan x |＋|cot x |cot x 的值域是( )A ．{－2,4}B ．{－2,0,4}C ．{－2,0,2,4}D ．{－4，－2,0,4}解析 若x 是第一象限角，则y ＝4； 若x 是第二象限角，则y ＝－2； 若x 是第三象限角，则y ＝0； 若x 是第四象限角，则y ＝－2. 答案 B3．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析 ∵点P 在第三象限，∴tan α<0，cos α<0. ∴α是第二象限角． 答案 B4．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限或x 轴上D ．第一、三象限或x 轴上解析 由题意可知，cos θ≥0，tan θ≤0，∴θ的终边在第四象限或x 轴的正半轴上，即2k π－π2<θ≤2k π，k ∈Z .∴k π－π4<θ2≤k π，k ∈Z ，∴θ2的终边在第二、四象限或x 轴上． 答案 C5．已知tan α>0，且sin α＋cos α>0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析 ∵tan α>0，∴α是第一或第三象限角， ∵sin α＋cos α>0，∴α是第一象限角． 答案 A6．α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( ) A ．sin α2B ．－cos α2C ．－tan α2D ．sin2α解析 ∵α是第四象限角，∴α2是第二象限或第四象限角，∴sin α2与－cos α2的符号不确定，－tan α2>0.2α是第三象限或第四象限或y 轴负半轴上的角，∴sin2α<0.答案 D7．点P (tan2 014°，cos2 014°)位于第________象限． 解析 ∵2 014°＝5×360°×＋214°，214°是第三象限的角， ∴tan2 014°>0，cos2 014°<0， 故点P 位于第四象限． 答案 四8．三角函数式tan53°·sin330°·cos235°的符号是____________． 解析 53°是第一象限角，∴tan53°>0；330°是第四象限角， ∴sin330°<0；235°是第三象限角，∴cos235°<0， ∴tan53°·sin330°·cos235°>0. 答案 正号能 力 提 升9．函数y ＝－cos x ＋sin x 的定义域为________．解析 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ≥0，sin x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π2≤x ≤2k π＋32πk ∈Z ，2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，解之得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z 10．判断下列各式的符号：(1)α是第四象限角，sin α·tan α；(2)sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解析 (1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0. ∴sin α·tan α>0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0. ∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0. ∴sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0. 11．若α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，求α2所在象限．解析 ∵α是第三象限角， ∴α2是第二或第四象限角．∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2≤0，∴α2是第二象限角． 12．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ<1且2cos θ<1，则θ是第几象限角．解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ<1且2cos θ<1，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ是第二象限角．品 味 高 考13．cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角解析 cos θ·tan θ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，tan θ>0，或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0.∴θ是第三或第四象限角． 答案 C。
北师大版高中数学必修四双基限时练1.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(一)周期现象一、选择题1．下列变化中不是周期现象的是()A．春去春又回B．太阳东升西落C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天放学回到家的时间解析某同学每天放学回到家的时间受各种因素的影响，一般会有少许差别，故不是周期现象．答案 D2．观察“ABCDABCDAB…”，寻找规律，则第20个字母是() A．A B．BC．C D．D解析周期是4,20＝5×4，所以第20个字母是D.答案 D3．如下图，一个质点在平衡位置O点附近摆动，如果不计阻力，可将此摆动看作周期运动，若质点从O点开始向左摆动时开始计时，且周期为1 s，则质点第5次经过O点所需要的时间为()A ．1.5 sB ．2 sC ．2.5 sD ．3 s解析 若质点从O 点开始向左摆动，则在1个周期内2次经过O 点，所以5次经过O 点需要2.5个周期，又因为周期为1 s ，所以需要2.5 s.答案 C4．假定现在时间是12点整，再过t 小时，分针与时针第一次重合，则t ＝( )A.1211B.1312C.2524D.2724解析 时针1小时转过30°，t 小时转过30t °；分针每分钟转过6°，t 小时转过(60t ×6)°，所以30t ＝60t ×6－360，解得t ＝1211.答案 A5．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2014盆花的颜色是( )A ．红B ．黄C ．紫D ．白解析因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，所以以4为一个周期，而2014÷4＝503……2，为503个周期余2盆，所以第2014盆花为黄花．答案 B6．下图是汽油机的汽缸结构示意图，活塞在燃料的推动下往复运动的过程中，通过连杆带动曲轴做圆周运动．如果活塞每分钟往复运动2400次，则曲轴的运动周期是()A．1分钟B．40秒C．0.05秒D．0.025秒解析活塞往复一次，曲轴转动一圈，则曲轴的运动周期为60秒/2 400＝0.025秒．答案 D7．2011年是兔年，那么1949年是()A．牛年B．虎年C．兔年D．龙年解析∵1949＋60＋2＝2011，∴1949年为牛年．答案 A二、填空题8．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，24节气________周期现象(填“是”或“不是”)．答案是9．下列函数图像中具有周期性的序号是________．解析抓住周期现象的特点：重复性．对于(3)，图像不重复出现，故不合题意．答案(1)(2)(4)10．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水________升．解析水车盛水是一个周期现象，由题意知，周期为5分钟，每一周期最多盛水10升×16＝160升，1小时内有12个周期，因此在1小时内有12个周期，因此在1小时内最多盛水160升×12＝1920升．答案1920三、解答题11．自行车的前轮胎上有一个标记P，则在自行车前进过程中，P点着地是否具有周期性？解当自行车匀速行驶时，就有周期性；若不是匀速行驶，就没有周期性．12．我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增加或减少．下表是某人在1分钟内血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.t/s51015202530 P/mmHg93.35136.6511593.35136.65115t/s354045505560 P/mmHg93.35136.6511593.35136.65115(1)请根据上表提供的数据，在坐标系中作出血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系的散点图；(2)血压的变化是周期性的吗？解(1)作出血压P(mmHg)与时间t(s)的散点图．如下图：(2)由散点图可以看出，每经过15 s，血压就重复出现相同的数值，因此血压是周期性变化的．13．古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯有一次处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标有A，B，C，…，G)，一直到指出第1999个数的柱子的标号是哪一个才能停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？A B C D E F G1 2 3 4 5 6 713 12 11 10 9 814 15 16 17 18 1925 24 23 22 21 20………………………………解“2,3,4…1997,1998,1999”按“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”12个数字循环出现，周期是12.解法一：先去掉第一行的7个数字，由(1999－7)÷12＝166知：刚好是166个周期，所以数到1999的那根柱子的标号是G.解法二：先把1去掉，(1999－1)÷12＝166……6，第1999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，是G.。
高中数学 双基限时练31 新人教B版必修4
高中数学 双基限时练31 新人教B 版必修4基 础 强 化1．cos75°－cos15°的值为( ) A.12 B ．－12C.23D ．－22 解析 cos75°－cos15°＝－2sin45°·sin30°＝－22. 答案 D2．cos37.5°·cos22.5°的值是( ) A.32＋6＋24B.6＋24C.12(32－6＋24)D.12(12＋6＋24) 解析 cos37.5°·cos22.5°＝12(cos60°＋cos15°)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋6＋24. 答案 D 3.sin80°cos85°sin5°－sin15°的值为( )A.12B.22C.32D ．－12解析 原式＝12[]sin165°＋sin －5°sin5°－sin15°＝12·sin15°－s in5°sin5°－sin15°＝－12. 答案 D4．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为( ) A.14 B.32 C.12D.34解析 原式＝12[]sin90°＋sin －50°＋⎝⎛⎭⎪⎫－12[cos60°－cos(－40°)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin50°－12＋cos40° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－sin50°＋sin50°＝14. 答案 A5．cos20°＋cos60°＋cos100°＋cos140°的值为( ) A ．－12B.12C.32D.22解析 原式＝(cos20°＋cos100°)－cos40°＋12＝2cos60°cos40°－cos40°＋12＝cos40°－cos40°＋12＝12.答案 B 6.cos α－cos3αsin3α－sin α的化简结果为( )A ．tan αB ．tan2αC ．cot αD ．cot2α解析cos α－cos3αsin3α－sin α＝－2sin2αsin －α2cos2αsin α＝tan2α.答案 B7．sin10°＋sin50°－sin70°＝________. 解析 原式＝2sin30°cos20°－cos20° ＝cos20°－cos20°＝0. 答案 08．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3·sin x 的最大值为________．解析 y ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14.∴y 的最大值为34.答案 34能 力 提 升9．化简sin 220°＋cos 280°＋3sin20°·cos80°＝________. 解析 原式＝1－cos40°2＋1＋cos160°2＋32(sin100°－sin60°)＝1－12(cos40°＋cos20°)＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫sin100°－32＝1－cos30°cos10°＋32cos10°－34＝1－34＝14.答案 1410．求值cos40°·cos80°＋cos80°·cos160°＋cos40°·cos160°. 解析 原式＝cos80°(cos40°＋cos160°)＋ 12[cos(160°＋40°)＋cos(160°－40°)] ＝2cos80°cos100°·cos60°＋12cos200°－14＝cos80°·cos100°－12cos20°－14＝12(cos180°＋cos20°)－12cos20°－14 ＝－12＋12cos20°－12cos20°－14＝－34.11．已知sin α＋sin β＝sin αsin β， 求证：⎝⎛⎭⎪⎫cosα－β2－sinα＋β22＝1. 证明 ∵sin α＋sin β＝sin αsin β， ∴2sinα＋β2cosα－β2＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．∴－4sinα＋β2cosα－β2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α＋β2－⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α－β2－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－sin 2α＋β2－cos2α－β2. ∴cos2α－β2－2cos α－β2sinα＋β2＋sin2α＋β2＝1.∴⎝⎛⎭⎪⎫cosα－β2－sinα＋β22＝1. 12．求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最小值．解析 f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14.∴函数f (x )的最小正周期为π，f (x )的最大值为34，最小值为－14.能 力 提 升13．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y )＝________.解析 依题意，得cos(x －y )＝12，2sin(x ＋y )cos(x －y )＝23，∴sin(x ＋y )＝23.答案 23。
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计时双基练四 函数及其表示A 组 基础必做1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2>1，解得x >2或0<x <12，故选C 。
答案 C2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x解析 对于选项A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，选项C 符合，故选C 。
答案 C3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7解析 因为g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，所以g (x )＝2x －1。
答案 B4．(2016·甘肃省张掖市高三第一次诊断考试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥4f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋log 25 C.12D.120解析 ∵2<log 25<3，∴3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋log 25＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 25＝14×15＝120，故选D 。
答案 D5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．3或－3C ．－1D ．1或－1解析 f (－1)＝－(－1)＝1，故由已知可得f (a )＝1。
若a ≥0，则有a ＝1，解得a ＝1；若a <0，则有－a ＝1，解得a ＝－1。
答案 D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x ，x ≤1，1－log 3x ，x >1，则满足f (x )≤3的x 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[－1,3]C ．[0,3]D ．[1，＋∞)解析 依题意，不等式f (x )≤3等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，31－x≤3或②⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 3x ≤3。
解①得0≤x ≤1，解②得x >1。
因此，满足f (x )≤3的x 的取值范围是[0,1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞)。
答案 A7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________。
解析 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，所以f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32。
答案 328．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________。
解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2。
答案 [－2,2]9．函数y ＝kx 2－6kx ＋9的定义域为R ，则k 的取值范围是________。
解析 由题意知kx 2－6kx ＋9≥0恒成立，即k ＝0符合题意；若k ≠0，则k >0且36k 2－4×9k ≤0，即0<k ≤1。
综上，0≤k ≤1。
答案 [0,1]10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0。
(1)求f (g (2))和g (f (2))的值；(2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式。
解 (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0， g (f (2))＝g (3)＝2。
(2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3。
所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0。
当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2。
所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1。
11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1。
(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域。
解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋bx ＋c ＋x ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0。
∴f (x )＝12x 2＋12x 。
(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2) ＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 2－322－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18，故函数值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞。
B 组 培优演练1．设f (x )＝lg2＋x 2－x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)解析 ∵2＋x2－x >0，∴－2<x <2，∴－2<x 2<2且－2<2x <2，则x ＝1，则2x ＝2不合题意(舍去)。
故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C ，D ，故选B 。
答案 B2．(2015·北京卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1。
①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________。
解析 ①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1，当x <1时，2x －1∈(－1,1)；当x ≥1时，4(x －1)(x －2)∈[－1，＋∞)， 故f (x )的最小值为－1。
②若函数f (x )＝2x －a 的图像在x <1时与x 轴有一个交点，则a >0，并且当x ＝1时，f (1)＝2－a >0，所以0<a <2。
同时函数f (x )＝4(x －a )(x －2a )的图像在x ≥1时与x 轴有一个交点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1。
故12≤a <1。
若函数f (x )＝2x －a 的图像在x <1时与x 轴没有交点，则函数f (x )＝4(x －a )(x －2a )的图像在x ≥1时与x 轴有两个不同的交点，当a ≤0时，函数f (x )＝2x －a 的图像与x 轴无交点，函数f (x )＝4(x －a )(x －2a )的图像在x ≥1上与x 轴也无交点，不满足题意。
当21－a ≤0，即a ≥2时，函数f (x )＝4(x －a )(x －2a )的图像与x轴的两个交点x 1＝a ，x 2＝2a 都满足题意。
综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)。
答案 ①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)3．(2015·苏北四市一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________。
解析 不等式f (f (x ))≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0，－[f (x )]2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，[f (x )]2＋2f (x )≤3，解得f (x )≥－3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，－x 2≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋2x ≥－3，解得0≤x ≤3或x <0，所以不等式f (f (x ))≤3的解集为{x |x ≤3}。
答案 {x |x ≤3}4．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图像。
(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示。
你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解 (1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利。
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价。
(3)斜率表示票价。
(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元。