解析几何最值问题

解析几何最值问题的赏析

丹阳市珥陵高级中学数学组：李维春

教学目标：１．掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择； ２．掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题．

重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理．

问题提出： 已知椭圆方程：14

32

2=+y x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。

问题分析：

1、 图形的处理：

不规则图形转化为规则图形（割补法）

ABF ABE AENF S S S ∆∆+=

BEF AEF AENF S S S ∆∆+=

2、 变量的选择：

（1） 设点：设点),(00y x E 则),(00y x F --，可得到二元表达式；

（2） 设动直线的斜率k （可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率），可得

一元表达式。

3，最值的处理方法：

（1） 一元表达式可用基本不等式或函数法处理；

（2） 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。

X

问题解决：

解法一：

由基本不等式得62

24)34(2322

02000==+≤+=y x y x S 时取“＝”

当且仅当0032

y x =

解法二：

00000

0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ，四边形的面积为S

(0,2),A B 因为,12

y +=

20x

+-=即1d =点E 到直线的距离：00(

,)x y 因为E 在直线AB 的上方，0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离：00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134

x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以

解法三：

)(2222ABE AOB AOBE BOE AOE BEF AEF AENF S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆+==+=+= 因为332-=AB K ，所以设切线方程为：)0(,3

32>+-=m m x y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=143

33222y x m x y 得012334822=-+-m mx x 再由0=∆得22=m 切线的方程为：223

32+-=x y ，点E 到直线03232:=-+y x AB 的最大距离 )

0(EF >=k kx y ：设4312431212

342222222+=+=⎩⎨⎧=+=k k y k x y x kx y E E ，得由4

3134431243122OE 2EF 22222++=+++==k k k k k 1312

22+=

+=→→k k d k d EF B EF A ，又1234313421222++++=k k k k S 43)

23(322++=k k 43)4343(12222

+++=k k k S )43341(122++=k k ""3324324)43341(12===≤++=时取即，当且仅当k k k k k 6

2max =S

73262343262-=+-=

d ，3621)(max -=•=∆d AB S ABE ，3=∆AOB S

变式与推广

①已知圆方程： 2

22r y x =+ ，A ，B 分别为圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和圆交于E 、F 两点，则四边形AEBF 面积的最大值为22r ； ②已知椭圆方程：122

22=+b

y a x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，则有如下结论：

（1）四边形AEBF 面积的最大值ab 2；

（2）AB 的斜率与EF 的斜率互为相反数；

（3）EF 过线段AB 的中点；

③若条件中点E 、F 变成椭圆上且位于AB 两侧任意的两点，则E 、F 关于原点对称时，四边形面积取得最大，上述②的结论不变。

6

2max =S