对一道数学竞赛题的探讨

对一道“《数学周报》杯”赛题的探讨

＝，（． √ ：２）＋
由中国教育学会中学数学教学专业委员会所
此解法不需要作任何辅助线，可直接利
提供的该试题的参考答案，抄录如下：
原解如图２，由勾股定理知ＡＤ＝９Ｂ：１，，Ｄ６因此ＡＢ＝Ａ＋ＢＤＤ＝２．由勾股定理逆定理知５故 △ＡＢ为直角三角形，ＬＡＢ＝０．Ｃ且Ｃ９。作ＥＣ。疋为羔ＦＦＬＢ垂．设Ｅ＝ｘＦ，由
ＬＥＣＦ＝１／ＡＣＢ＝４５。得
，
．
用三角形内角平分线的性质和比例的等比性质来
解决问题，避开了用添加辅助线来解决问题的思维
定势，使学生走出添加辅助线这一困境．
Ｃ
Ｃ，Ｆ＝于是
＝２０一
因为Ｅ／Ａ。Ｆ／Ｃ所以
ＥＦ
一
一
ＡＣ —ＢＣ ’
２０年 “ 数学周报》全国初中数学竞赛０９《杯”
试题第９题：题目如图１在ＡＡＣ中，Ｄ是高，Ｅ为，ＢＣＣＬＡＢ的平分线．ＡＣ若Ｃ＝１Ｂ５，Ｃ＝２，Ｄ＝１，０ｃ２则
ＣＥ的长等于．
２试题的解法探讨
通过命题组所提供的参考答案可以看出：
“ＡＡＢ为直角三角形 ” 一隐含条件是解决问题Ｃ这的关键，之给出的Ｃ为ＬＡＢ的平分线，其加ＥＣ使内涵丰富，可用知识点多，法思路广．方下面给出参考答案以外的若干别解．别解ｌ如图ｌ由勾股定理知Ａ，Ｄ＝９Ｂ＝，Ｄ１，６因此ＡＡ＋Ｄ＝２．由勾股定理逆定理Ｂ＝ＤＢ５故

数学竞赛题目分析与解答

数学竞赛题目分析与解答数学竞赛一直以来都是学生们展现才华和智慧的平台。

而在这个竞争激烈的年代，对于数学竞赛题目的深入分析和解答能力显得尤为重要。

本文将从数学竞赛问题的特点、解题思路和典型题目等方面展开探讨。

一、数学竞赛问题的特点数学竞赛题目与学校里的学习课程有所不同，它们更加注重对学生解题能力的考察，往往具有以下几个特点：1. 综合性：数学竞赛题目往往融合了多个知识点，要求学生具备灵活的应用能力，能够将所学的知识进行整合和运用。

2. 创新性：数学竞赛题目不限于教科书上的内容，往往要求学生独立思考和探索，运用已有的知识解决未知的问题。

3. 推理性：数学竞赛题目往往需要学生进行推理和证明，要求学生具备良好的逻辑思维和推理能力，能够给出充分的证明过程。

二、解题思路在面对数学竞赛题目时，掌握合理的解题思路是至关重要的。

以下是一些常用的解题思路：1. 画图法：通过画图辅助理解题意，从而找到解题的突破口。

例如，在几何问题中，通过画图可以更加清晰地看到几何形状的性质和特点。

2. 逆向思维法：有时候，我们可以通过反向思考，从题目的结论倒推出问题的条件或者解题思路。

这种思维方式需要我们具备一定的逻辑思维和推理能力。

3. 分类讨论法：对于复杂的问题，我们可以将其进行分类讨论，分析每种情况下的特点和解决方法，再综合得出最终的解答。

4. 等式转换法：有些题目可以通过等式转换来简化问题，或者将原问题转化为与之等价的问题。

这需要我们熟练掌握数学运算的性质和技巧。

三、典型题目分析与解答下面将以几道典型的数学竞赛题目为例，进行分析和解答。

【题目一】已知正整数a、b满足a+b=2021，且a的十进制表示的末两位数字恰为b的十进制表示的前两位数字，求a的最大值。

【解答】设a的十进制表示为100x+y，b的十进制表示为yx，其中x和y为十进制整数。

根据题意，我们可以列出以下等式：10x+y + 10y+x = 2021化简得：11(x+y) = 2021可知x+y=183。

对一道高中数学联赛数列问题的思考

研究发现，数学竞赛中数列问题体现的数学思
想方法常常渗透在高考数学的数列问题中，近年来
很多数学高考题都用到了数学竞赛的解题方法，因
此研究数学联赛数列不等式问题非常重要．构造新
数列，利用放缩法解决数列不等式问题是非常重要
而且有效的解题方法．
下面是 2018 年第 34 届全国高中数学联赛第 10
题的题目以及命题组所提供的参考答案．
n + n −1 n +1+ n
可用构造新数列，借助放缩法进行论证，思路如下：
本题将已知表达式进行恒等变换，易知
{S
2 n
}
为等差数列，因此能求出数列前 n 项和 Sn 的表达
式，接着进行分类，讨论数列通项公式 an 的表达式，
利用放缩法完成此题的证明．
证明（1）由 an (2Sn − an ) = 1 ，
不等式知识交叉考察是一个难点，解决此类问题常
常用到高中生较熟悉的构造新数列，结合放缩法进
2019 年第 5 期
福建中学数学
43
行分析论证．而命题组给出的标准答案解题技巧比
= ( n − n −1)( n +1 − n)
较复杂，学生难以想到．针对此类已知 an 与 Sn 关 =
1
⋅
1
系式，求 an 的表达式以及论证与 an 相关的不等式，
=
A ，因此{an
+ λ}
①当 Sn = n 时，
为公比为 A 的等比数列，于是可求出数列{an + λ}
又因为 an = Sn − Sn−1 = n − n −1 ， n −1 ≥ 0 ，
的通项公式，进而借助相应的方法（如放缩法）对
则 an ≤ n ，即 an < 2 n ．

对一道几何竞赛题解题思路的探求

题呢？可以试一试．
Ａ
所以ＡＡＱａＣＮ，Ｏ￣Ｐ所以Ａ＝Ｏ
．
①
证法３如图５延长线，段ＰＪＤ到点，Ｄ＝Ｄ，使ＭＰ连结线段ＢＱＱ．Ｍ、Ｍ、Ｐ根据 “ ｓ定理，证 ” 易
求证：Ｐ＝ＱＤＤ．
ＡＡ
两个定理，合原图形模式，结从而启发能否利用中点解
决这个问题的思路．
Ｐ）
Hale Waihona Puke 所以Ｄ＝Ｎ，Ｍ＝ＮＭＰＱＤ．
图１图２
ＱＭＤ＝ＱＭｏ＋ＯＭＤ＝／ＢＦ — 、２ＡＯ４－－ＯＢ，
＝
不能仅把“ 作为研究的对象， “ ” 为目标，题” 把解作而要
把“ 解题活动 ” 为研究对象， “ 作把学会数学地思维 ” 、 “ 促进人的全面发展” 为目标．于上面的认识，者作基笔
ＤＰ的问题．如果我们把思维聚焦到两个Ｒ △ＯＱ和ｔＢ
的过程，更是一个理清自己数学思维和在数学活动中所
涉及的知识、方法、策略的“ 科学研究” 过程．
探求１整合信息。发证题思路启
从已知提供的信息看，段Ｄ和Ｄ线ＱＰ相等的关系
是依赖于线段ＢＣ的中点Ｄ以及相似的两个直角三角形 △ＯＱ和 △ＯＰ与其他元素关系不大，ＢＣ，联想到三角形
２０
中。７（０－初版截・２９－６０ｑ期・中）ｇ
解题研究・

解答数学竞赛题的几种常见方法

解答数学竞赛题的几种常见方法黎仕鹏一、循常规思路出奇制胜例1：若1=abc ，则111++++++++c ca cb bc b a ab a =？分析：分式的加减运算的基本方法是通分，找出公分母．循这种常规思路，结合对称式的特点和条件，可以把第二、三个分式的分母变成与第一个分式的分母一样，把第二个分式的分子分母同乘以a ，第三个分式的分子分母同乘以ab ，即可见答案为1．同类题型练习：已知1=ab ，b a m +++=1111， bb a a n +++=11，试讨论m 、n 的大小关系.略解:∵0)1)(1(221111=++-=+-++-=-b a abb b a a n m ， ∴n m =. 例2：已知等腰三角形ABC 中，2==AC AB ，在底边BC 上有100个点i P （1=i ，2、3…100），连结i AP ，记i i i i CP BP AP m ⋅+=2，则=+++10021m m m对于等腰三角形，底边上的高是常见的辅助线，带故作高AD ，则222i i DP AD AP +=， ))((i i i i DP CD DP BD CP BP +-=⋅22iDP CD -=，4222==+=AC CD AD m i ，可见答案为400．例3：如图，点B 、C 是线段AD 的三等分点，点P 是以BC 为直径的圆O 上一点，则DPC APB ∠⋅∠tan tan 的值是分析：在直角三角形中才能求出角的正切值，基于这样的思路，可考虑构筑直角三角形．过点B 作PB 的垂线交PA 于E ,则PB BEAPB =∠tan ，过点C 作PC 的垂线交PD 于F ,则PC CF DPC =∠tan ，于是DPC APB ∠⋅∠tan tan 41=⋅=PB CF PC BE ．例4：如图，延长圆O 的弦AB 和直径DE 交于圆外一点C ，若OA BC =，则AOD ∠∶C ∠=在圆中，半径是最常用是元素，连结OB 就可以搭起AOD ∠到C ∠的桥梁，利用三角形的外角性质，容易得出结果为3∶1．字母代表数是最简单和最有用的数学方法，要在解题练习过程中领会其要领．例5：甲、乙两人到商场购买商品，已知两人购买商品的件数相同，每件商品的单价只有8元和9元两种，若两人购买商品一共用了172元求其中单价为9元的商品有几件？解：设每人都购买了n 件商品，其中单价为8元的有x 件，单价为9元的有y 件，则⎩⎨⎧=+=+172982y x n y x 解得 ⎩⎨⎧-=-=n y n x 1617217218 ∵0,0≥≥y x ∴⎩⎨⎧≥-≥-016172017218n n 解得 4310959≤≤n 从而得121016172=⨯-=y ，故单价为9元的有12件. 例6：一列客车始终作匀速运动, 它通过长为450米的桥时, 从车头上桥到车尾下桥共用33秒; 它穿过长760米隧道时, 整个车身都在隧道里的时间为22秒. 在客车的对面开来一列长度为a 米, 速度为每秒v 米的货车, 两车交错, 从车头相遇到车尾相离共用t 秒. (1) 写出用a 、v 表示t 的函数解析式;(2) 若货车的速度不低于每秒12米, 且不到15米, 其长度为324米, 求两车交错所用时间的取值范围.解：（1）设客车的速度为每秒x 米，客车的长度为y 米，则 ⎩⎨⎧=-=+x y x y 2276033450 解得⎩⎨⎧==27622y x 所以，22276++=v a t （v ＞0，a ＞0）（2）当324=a ，12≤v ≤15时，由（1）得22600+=v t又因为34≤v +22 ≤37 所以，37600＜22600+v ≤17300故t 的取值范围为37600＜22600+v ≤17300．此题有多个未知数,引入多个字母表示,其数量关系就容易显示出来．例7：设1x , 2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，求)2)(21221x x x x --（的最大值.分析：求最大（小）值，按现在我们掌握的方法是根据二次函数式求解，因此，解题的思路是把式子向二次函数形式方向变形．解：由4)2()2(422+-=--=∆a a a ＞0知，a 为任意实数，a x x -=+21，221-=a x x ， )2)(21221x x x x --（212221522x x x x +--=212219)(2x x x x ++-=)2(922-+-=a a 8634922-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a ，当49=a 时，)2)(21221x x x x --（取最大值864-. 二、在等式变形中，特别注意22b a +，b a +和ab 三者之间的关系：ab b a b a 2)(222-+=+，ab b a b a 2)(222+-=+，[])()(412222b a b a ab --+=例1：设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .（1）若62221=+x x , 求m 的值；（2）求22212111x mx x mx -+-的最大值解：)1(4)33(4)2(422--=+---=∆m m m m ＞0，解得m ＜1，又－1≤m ＜1， (1)2122122212)(x x x x x x -+=+101022+-=m m ＝6，解得2175±=m , 由－1≤m ＜1，所以2175-=m , (2) 22212111x mx x mx -+-[])1)(1()1()1(21122221x x x x x x m ---+-=[]1)()(212121212221++-+-+=x x x x x x x x x x m ＝[]1)42()33()42)(33()10102(222+-++--+-++-m m m m m m m m m )13(2)1()13)(1(222+-=-+--=m m m m m m m m ＝252322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ,因为－1≤m ＜1，所以当1-=m 时，22212111x mx x mx -+-有最大值，最大值为10. 三、11=⋅-x x 的神奇功效1、已知51=+-xx ，则=+-22x x ？2、已知012=--x x ，求441xx +的值. 由012=--x x 得，,112=-xx ∴11=-x x ，两边平方得7144=+x x . 3、若712=+-x x x ，求1242++x x x 的值.解法一（倒数法）：由条件知0≠x ，7112=+-x x x ，即781=+x x ， 491511111222224=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++x x x x x x x , 1242++x x x ＝1549.解法二：1242++x x x 15494915111122==++=x x .4、已知11=-a a ，求代数式a a+1值. 解：由a a a a a ,1,,011知＞+= 全是正数, 所以541122=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a故 51=+a a.四、巧妙利用数学概念会出现意想不到的效果例1：满足1-=+ab b a 的非负整数对),(b a 的个数有____对.解：∵01≥-=-ab b a ，1≤ab ，而a 、b 都为非负整数，故a 、b 取值为0和1，经检验知，(0，1)(1，0)，（1，1）共3对满足条件.绝对值是最简单的数学概念，一个数的绝对值是非负数，利用这一概念得到1≤ab 是答题的突破口．例2：若q p ,为质数，且2975=+q p ，求22q p +的值.解：若q p ,都为奇质数，则q p 75+是偶数，若q p ,都为偶质数2，则q p 75+≠29，所以q p ,中必有一个为偶质数2，另一个为奇质数，若2=p ，则q 不是整数，故只有2=q ，此时3=p ，22q p +＝13.例3：实数y x b a ,,,满足5,2=+=+=+by ax y x b a , 求()()2222yx ab xy b a +++的值解：2=+=+y x b a , 4))((=+++=++bx ay by ax y x b a5=+by ax , 1-=+bx ay ，()()=+++2222y x ab xy b a 5))((-=++by ax bx ay条件2=+=+y x b a 是三个等式，这里巧妙地用其两个等量得出4))((=++y x b a ，从而使题目的条件进一步扩大，例4、已知实数b a ≠, 且满足()()()()221313,1331+-=++-=+b b a a ,则baaa b b+值为( ) (A) 23 (B) -23 (C) -2 (D) –13 解：b a ,是关于x 的方程03)1(3)1(2=-+++x x ，即0152=++x x ，1,5=-=+ab b a ，故b a ,均为负数，b a aa b b +ab b a ab a b --=232)(222-=-+-=+-=ababb a ab abb a ．例5、设实数s 、t 分别满足0199192=++s s , 019992=++t t ，并且1≠st ,求ts st 14++的值. 解：第一个等式可化为 01919912=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛s s , 又019992=++t t ，t s ≠1,∴s 1和t 是一元二次方程019992=++x x 的两个不相同的实数根，于是有， 991-=+t s ，191=⋅t s 即s st 991-=+, s t 19=,∴51949914-=+-=++ss s t s st五、消元法是竞赛题常用的方法例1、放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒子有7个小球，且每四个相邻的盒子里共有30个小球，求最右面的盒子里有多少个小球？解：设从左到右小盒里的球数为7，2a ，3a ，4a ，… 1993a ∵307432=+++a a a ，305432=+++a a a a ，∴75=a 同理得===17139a a a …＝14+k a ＝…＝1993a ＝7例2：实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++52154154354324321321a x x x a xx x a x x x a x x x a x x x 其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是实常数，且54321a a a a a >>>>，试确定1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序．思路：对于方程组怎样消元，可根据题目条件的特点找出方向．解：在给定的方程组中的方程按顺序两两相减得2141a a x x -=-，5252a a x x -=-，4313a a x x -=-，5424a a x x -=-∵54321a a a a a >>>>， ∴ 41x x >，52x x >，13x x >，24x x >， ∴52413x x x x x >>>>消元法在很多方面有重要的作用2、某次竞赛共有15个题，下表是对于做对n 0(=n ，1， 215）个题的人数的统计:若又知其中做对4个题和4个题以上的学生每个人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题，问这个表至少统计了多少人.解：由表中可知，做对0个题到3个题的总人数为7＋8＋10＋21＝46人；做对题目总数为7×0＋8×1＋2×10＋3×21＝91题；做对12个题到15个题的总人数为15＋6＋3＋1＝25人；做对题目总数为15×12＋6×13＋3×14＋1×15＝315题；设做对0个题到15个题的人数分别为15210,,,,x x x x ，则有6155415541554=++++++x x x x x x ， 41020101010210=+++++++x x x x x x x即 )(6155415541554x x x x x x +++=+++)(410010101010x x x x x x +++=+++ 两式相减得 )32()151211(321151211x x x x x x ++-+++ ＝ )(4)(610101554x x x x x x +++-+++＝)(2)(4)(610543210151211x x x x x x x x x x ++++++-+++＝)(2)(4)(415432101511x x x x x x x x ++++++-++ ＝)(2)(6)(415132101511x x x x x x x x ++++++-++ ＝)(2)(6)(441513210151211x x x x x x x x x ++++++-+++＝)(2466254415111x x x +++⨯-⨯+ 又913203210=+++x x x x ， 3151514131215141312=+++x x x x ，故 ∑+-+=-+1511111227610049131511i x x x ，111515.3200x x i +=∑（11x ＞0），当011=x 时，统计的总人数为最少，最少200人．六、数形结合是解决函数问题的有力武器例1：若abc ≠0，且p bac a c b c b a =+=+=+, 则直线p px y +=一定通过（）（A ）第一，二象限（B ）第二，三象限（C ）第三，四象限（D ）第一，四象限解：由pb a c pa c b pc b a =+=+=+,,, 三式相加得)()(2c b a p c b a ++=++，所以2=p , 或0=++c b a ；当2=p 时，直线22+=x y 通过第一，二，三象限；当0=++c b a 时，1-=p , 直线1--=x y 通过第二，三，四象限；可见，直线一定通过二，三象限.例2：一个一次函数的图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A,B ，并且过点），（251--，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？解：设这个一次函数为b x y +=45, 因为直线过点），（251--，所以495-=b , 可求得A （19，0）B （0，495-），由4)19(5-=x y 知，19-x 能被4整除. 又因为x 是整数，且0≤x ≤19，所以取x ＝3，7，11，15，19时，y 是整数．因此在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有5个.例3：若函数kx y =（k ＞0）与函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则ΔABC 的面积为（）(A) 1 (B) 2 (C) k (D) 2k解：设),(y x A ，则1=xy ，ABO ∆的面积为2121=xy ，又CB O ∆与ABO ∆同底等高，故ABC ∆=2ABO ∆=1．例4：一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为(4,-11), 且与X 轴的两个交点的横坐标为一正一负, 则c b a ,,中为正数的( )(A) 只有a (B) 只有b (C) 只有c (D) 只有a 和b解：由于抛物线顶点为(4,-11), 与X 轴有两个交点，知a ＞0，设抛物线与X 轴的两个交点坐标为1x ，2x ，则acx x =⋅21＜0，所以c ＜0，又由对称轴4=x ，得ab2-＞0，知b ＜0，可见只有a ＞0. 七、等底等高的两个三角形面积相等是竞赛题的热点例1：E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，若BEG ∆的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积是略解：由条件得21==AD EB GA EG，∴31=EA EG ， ∴31=∆∆ABE BEG S S ，∴3=∆A B E S ，∴．平行四边形ABCD 的面积124==∆ABE S S例2：如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，1=FC DF ，2=EBCE，若ADF ∆的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (m n >),则四边形ABCD 面积是略解：连AC ，则m S S ADF AFC ==∆∆， m n S ACE -=∆，)(2121m n S S ACE AEB -==∆∆，四边形ABCD 面积是m n m n n m 2123)(21+=-++例3：设H 是等腰三角形ABC 的重心，在底边BC 不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小？变大？还是不变？略解：不妨设A ∠是锐角，连结AH 并延长交BC 于点D ，延长BH 、CH ，分别交AC ，AB 于点E 、F ， ∵AHE BHD ∠=∠，∴HAE HBD ∠=∠， ∴BDH Rt ∆ADC Rt ∆，∴HDDCBD AD =，又BC DC BD 21==，∴241BC DC BD HD AD =⋅=⋅，于是HBC ABC S S ∆∆⋅41612121BC BC HD BC AD =⋅⋅⋅=， ∴当︒≥∠90A 时，上式也成立，故A ∠是不变．例4：（03联赛）设ΔABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且31=AB AD ，若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EACE 的值为（） (A) 21 (B) 31(C) 41 (D) 51AD E BCDF CE解：连结BE ，41431=-=∆ADE S ，设x AC CE =，则x S ABE -=∆1，4131=-=∆x S ADE，41=x ，31=EA CE ，选B ．例5： (99竞赛)在ΔABC 中, D 是边BC 上的一点, 已知5=AC ,6=AD ,10=BD , 5=CD , 求ΔABC 的面积。

对一道小学数学竞赛题的探究

爬行了３厘米，而橡筋此时的长为（Ｏ）１＋２厘
米，得方程则
３＝ｉＴ０＋２，ＴＴ＝ｉ．０
‘
．
．
蚂蚁爬行了１后到达Ｂ端．Ｏ秒
【评析】以上解法没有考虑蚂蚁在橡筋上爬，
量Ａｔ得处的位置增量Ａｘ＝ｘｔ时，（＋Ａｔ一）ｘｔ（（见图）满足比例式：），１＋２ｔＯ（＋Ａｔｘｔ）（＋Ａｔ）１＋２Ｏｔｘｔ（）ｘｔ＋Ａｘ（）ｘｔ。（）
＇
其中ａ、０、ａ、ａ、… 和ｂ、ｂ、ｂ、… 为ｏ１２３ｌ２３整数．当ｂｌ＝ｂ２＝ｂ３＝ … ＝１可得简单的时，连分数，如形
１
观察这些结果，我们发现第四项与第五项的
关系为
１
一
５８
２２４江苏省连云港市新海实验中学姜洋２００
连分数（ｎｉｅａｔｎ）ｃｔｕｄｆｃｉｓ是以特殊的方ｏｎｒｏ
式将若干分数相结合来表示实数，形如，
＋ｏ２
１＋ —
Ｔ１
—５ ’
Ｈ —－Ｈ＿
１干
０２＋ —— 一
＋— — Ｈ＝
，
得橡筋在ｘ处的位移速度为
＝＝
．
。
由此可知，蚁在处的位移速度为蚂
＝
解法二：虑到蚂蚁在橡筋端起始位置时，考
３＋
． … … … … … … ”①

初一最难数学题竞赛题

初一最难数学题竞赛题数学是一门理论和实践相结合的学科，对于初中学生来说，数学题目是学习的重点之一。

而在初一阶段，最难的数学题目往往是竞赛题。

竞赛题目既考察了学生对知识的理解和掌握程度，又需要学生具备一定的思维能力和解题技巧。

下面就让我们一起来探讨一下初一最难的数学竞赛题目吧。

初一最难的数学竞赛题目往往涉及到一些较为高级的数学知识和解题方法，对学生的思维能力和数学基础有一定的要求。

以下是一道例题，我们一起来解答一下：题目：一个数的百位数和十位数之和等于个位数的数，且这个数的个位数是3。

求满足条件的数的最小值和最大值。

解析：首先，题目中给出了数的个位数是3，我们可以先将这个条件固定下来，即这个数的个位数是3。

题目又告诉我们这个数的百位数和十位数之和等于个位数的数，那么我们可以设这个数的十位数为a，百位数为b，那么根据题意我们可以得到等式：b + a = 3。

题目要求我们求满足条件的数的最小值和最大值，那么我们需要找到满足条件的数。

由等式 b + a = 3 可知，a 和 b 的取值范围都是 0 到 3 之间的整数，且它们的和为3。

我们可以列出如下的可能情况：a = 0，b = 3a = 1，b = 2a = 2，b = 1a = 3，b = 0通过观察这些情况，我们可以发现，当 a 和 b 为 1 时，满足条件的数的个位数为 3，百位数为 1，十位数为 2，所以最小值为 123。

而当 a 和 b 为 2 时，满足条件的数的个位数为 3，百位数为 2，十位数为 1，所以最大值为 213。

所以，满足条件的数的最小值为 123，最大值为 213。

这道题目虽然在数学知识上不是很难，但需要学生有一定的逻辑思维和分析问题的能力，通过观察和推理，我们可以得到满足条件的数的最小值和最大值。

总结起来，初一最难的数学竞赛题目往往需要学生综合运用数学知识和解题方法，具备一定的思维能力和解题技巧。

通过多做类似的题目，培养学生的数学思维和解题能力，提高他们在数学竞赛中的表现。

数学竞赛问题与感悟 -回复

数学竞赛问题与感悟 -回复
数学竞赛问题是一种考验学生数学思维能力和解题技巧的方式。

解决一个数学竞赛问题需要具备良好的数学基础知识和理解能力，同时也需要运用灵活的思维方式和解题方法。

在解决过程中，我们经常会遇到一些挑战，需要不断尝试和思考才能找到解决办法。

通过参加数学竞赛，我体会到了以下几点感悟。

首先，数学竞赛培养了我的逻辑思维能力。

在解决数学竞赛问题时，常常需要进行推理和分析，寻找问题的关键信息和规律，并且根据这些信息进行合理的推理和推导。

这样的思维过程对培养逻辑思维和分析问题的能力非常有帮助，对我在其他学科中的思考和解决问题也起到了积极的影响。

其次，数学竞赛提高了我的解题速度和应变能力。

在竞赛中，时间是非常有限的，需要在有限的时间内解决问题。

因此，我学会了快速浏览题目，找出问题的关键点，然后迅速展开解题。

这样的实践让我养成了较快的解题速度和应对竞赛压力的能力。

另外，数学竞赛也激发了我对数学的兴趣和热爱。

通过竞赛的学习和实践，我意识到数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。

数学的美和深度让我深感兴趣，对我在数学学习道路上起到了良好的推动作用。

总的来说，参加数学竞赛不仅是提高数学水平的一种途径，同时也是对培养学生多方面能力和素质有很大帮助的一种途径。

通过竞赛，我们可以培养逻辑思维能力、解题速度和应变能力，并且激发对数学的兴趣和热爱。

因此，我认为数学竞赛问题是一种非常有益于学生全面发展的学习方式。

对一道数学竞赛题的评析及联想

＠
＠
图１
因此当ａ＋１时， ≤ｎ分法是和谐的．综上所述：分法是和谐的充分必要条件是最多一堆石
子的个数不超过ｋ．
由于Ｇ的顶点数有限，有限次交换驾驶后得一轨道，如
图２所示．
Байду номын сангаас
２试题点评此题是以现实生活中的分配问题为载体的猜测、理、说论证题．本题的分法所应满足的条件应该说不是太难想到，可以从最简单的特殊情况开始考虑．事实上，多分一次其每实就是在原有的基础上给５堆石子中的３堆各加一颗石子，每堆加的一颗石子都是占了所加石子的三分之一，因此
）２１，Ｉ口，３４… ，川添加到肘，把Ｕ，４５ … ，２ｌ１３中而２ｖｖ，一 —
从中删除，则扩大了一条边，与之最大性矛盾，如图１
所示．
从而
于是矛盾！
ａ＝ｂ＝＝Ｃｄ＝ｎ＋１，
３ｎ＋１（）＝ａ＋ｂｃ＋＋ｄ＋ｅ４／＋１ｅ＝（，）＋，／
ｍｘａ一１ｂ，一１ｄｅ＝ｍｘａ一１ｄ＞ｎａ｛，一１Ｃ，，｝ａ｛，｝．若ａ一１， ≥ｄ则有ａ一１，＞ｎ这与ａ ≤ｎ＋１矛盾！若ａ一１，＜ｄ则
１＜ｄ≤ｃｂ口≤ １＋１．７， ≤ ≤ １，
点，然会出现乙把车开到。但未被』配，时把不，ｌ许ｆ这
说理能力．３联想一些数学推理问题
１试题解析

对一道数学竞赛题的探讨

２００７年台湾数学能力竞赛决赘（试一）１为：笔第越
试使＋＋求属
试第２题把它改编为：
整的整解ｏ，，数正数．６ｃ为三偶或两奇一偶．
＋＋
文献［］１中的《学奥林匹克高中训练题（０）第二数１９》
（，，）ａｂＣ的所有可能值．
表１ｐ
１
因此式（）有的解为２所
（，，）＝（ｂ，，。，ｃ） … ，，，）ｎｂｃ０，ｃ）（ｂ，，（，
（，，）ａ６ｃ
（，）詈，），，，），｝，，｝，（ ÷．（ … ｝
即
２＝（＋＿一ｔ２ｍｒ５）一ｍ
令Ｍ＝ｍｒｓｔ贝＋ — — ，０
２：Ｍ一２ｍ．
由（及 ≥ ｃ然ｃ＋又 ≥ ，式３。６，有≥ １ ÷ ÷所） ≥显ｐ．以
Ｐ＋１ｃ３． ≤ ≤ ｐ
两边平方得
４ｓｔ＝Ｍ２—４Ｍｍ＋４ｍｒ
数的所有正整数解．解题之前先证一个引理：
２引理
＋
丽 ÷ １，，）（，…３．｜２｝ｊ：ｐ
＋：
若。）式３一解则，，）ｇ（，ｃ（的组，（ ‘ｇ，是）６ａｃ￣ｔ＇ｋ
＋＋ ∈Ｑ，贝，Ｑ．
２００８年第１０期
中学教研（学）数
・４ｌ・
对一道数
●陈昆明
学竞赛题
的探讨

对一道西部数学竞赛试题的深入研究

＝
＋Ｙ＋ｚ系数不是负数．的继续探究，将等号成
立的条件改为＝＝＝。，有
＝
］Ｉ
、１）／（一＋、１）去＋／（一＋￣ｙｉ）／（一 ≤ ／／
＋
＋＝ｘ≤，（ｍ＿ｊＶ＋Ｚ求ｙ最值互３三ｙ即Ｙａ＝等／十－：Ｖ，ｘ的．＝百ｘ＿、＝ｂｚ大 ‘ ｘ１ｙ＝，～＝阳但百－百号成立当且仅当：Ｙ＝ｚ＝．
等式右边的常数之间的联系．
且等号成立的条件是Ｘ＝Ｙ＝言满足已知＝，
等式．但对于问题１显然不能直接利用基本不等
式，因为当＝Ｙ＝＝时不能满足已知等式．２．问题的进一步讨论基于以上问题１２、的研究，我们能否继续改变等号成立的条件，能否将等号成立条件即
７２－０
数学教学
２１年第７０１期
成的件昙上变得立条是＝＝＝，式形将
娑．：／（５Ｖｘ－ｘ —５）３—
两
≤
＝一
求ｘｚｙ的最大值．分析：采用完全类似的方法，首先由于已知
等式的对称性易知当Ｘ＝Ｙ＝Ｚ＝时已知等
然有矛盾，问题出在里堡！不、＿．６￣／・￣－ｆ
、而．／，＋３
・３
≤
≤ 兰
＝
≤
３
，
中等号成立的条件是
问设、、 ∈（１满足、Ｙ＋题１Ｙｚ０），，／Ｖ
ｖＸ１）／（—Ｙ＋、（一）／（一＋ｘＹＩ）／１／

由一道数学竞赛题引发的思考

＋ｐ＋ｑ（ ≠Ｏ，一＋６ｃ —Ｏｍ）则ｍ口＋卫ｃ＋旦一０这说，明同一类型的关系式，存在ｂ的系数为１的关系总式．以我们可以进一步设点数ａ边数ｂ与区域数ｃ所、满足关系式口＋６，＋ｚ ⑤ （ｙ）＋ｊｆ＝Ｏｘ ≠０．设第ｔ图形（正整数）个是中有ｔ个互不重叠的三角形，ａ２＋１ｂｔｃｔ１代入式 ⑤ ，则一ｔ，一３， — ＋．得
童浩军（浙江省慈溪市育才中学初中部）
本校组织的一次八年级数学竞赛选拔性练习中
有这样一个题目：例１很多同学都知道空问多面体有一个欧拉公式：点数＋面数一棱数一２如长方体有８个顶顶，
＋３一ｏ，中实数ｚ，，） ⑥ 其 ≠ｏ一３一普．
易知式① 、、和④ 可以分别变形为一ａ一ｃ ② ③ ＋６
十Ｚ０一２一、口＋６ｃ１０一３＋＋ — 、口＋６３＝０和ａ＋６＋ｃ
—
（）２图１
（）３
较复杂的关系式．面将给出所有这些关系式的通式下（文中仅限于一次式，ａ６ｃ系数不为Ｏ．本且、、的）设点数ｎ边数ｂ区域数ｃ满足关系式ｒａ＋ｎ、与／ｌｂ

直五棱柱直六棱柱
（）上表中，能发现直棱柱的面数、数和顶２从你棱点数之间有什么规律吗？说明：于第（）对２问教参上给出的答案是“ 面数＋

究竟平移几步？——对一道竞赛题的探究

步呢？只要平移到使得另外两条线段中有一
当左上角的最短的线段不动时．可知，条线段不需要向左平移就行，因此下面的最下面的最长的线段向上平移４步，向右平移长的线段应该向右平移１这时左上角的步．
１，右上角的中等长的线段向上平移２最短的线段不需要向左平移了．步右上角的中步，向左平移２步，因此平移其它两条线段等长的线段只要向左平移２步就行．
需要９．步如图所示．结合上面的两点，可以得出通过平移，当右上角的中等长的线段不动时，可知使图中的３条线段首尾相接组成一个三角左上角的最短的线段向下平移２步，向右平形．最少需要移动７步．如图所示．移过程平移２，下面的最长的线段向上平移２步，步向右平移３，步因此平移其它两条线段需要
正掌握解题方法的同学不多．面我们来分析下如何解这道题目．首先，知道这三条线段是如何首尾顺次要相接组成三角形的．这就要有观察、间想象、空当下面的最长的线段不动时，可知左上角动手实践能力．对这三条线段的观察和动的最短的线段向下平移４步，向左平移１，通过步

维普资讯
右上角的中等长的线段向下平移２，步向左１因而会减少１所以应该让下面的最步．步．
平移３，因此平移其它两条线段共需要长的线段向右平移．是，步但应该向右平移几
１０步．如图所示．
维普资讯
穆
的探究
周启东

对一道初中数学竞赛试题的变式探究

由：王
。
及ｔｎ／Ｐａ￣Ａ一。Ｂ：
＿
解：如图２，分别过点Ａ、Ｃ作轴
的垂线，垂足分别为点Ｅ、Ｆ
：
Ｂ．
ＡＢ
一２／（ｌ、３，二ｌ－
、，根／
据题意，得
＝
、／
＋
，０．）
．
故（２
图３
—
—
．．＝
＝
、丁，根据题意，得／
Ｘ —２／６３、
托＝、６＋３／．
故Ａ（，０．６）
性质解决问题的能力，是一道优秀的竞赛
试题．
解：如图４，分别过点Ｊ，，一ｐＩ作轴的垂线，垂足分别为点Ｂ，Ｂ，。
Ｉ＝＼．厂故（、，０．２／）
，
一
一
点Ｂ、Ｄ都在
因此，点的坐标为（、，０ ‘ ２／）
二、试题的拓展
Ｘ
轴上，且使得 △Ｏ、ＡＢＤ都是等边ＡＢＣ．
三角形，则点Ｄ的坐标为
姻３ｌ ‰ ｙ… ，ｘＰ（，９，，
（）函数ｙ＝３（在￣３＞０的图／）
— —
ｙ蛩ｎ２＝
Ｘ —２／２、３
２＝
箍＝
丝。＝、丁，根据题意，得／
、丁＋／一．
象上， △尸Ｏ △ ＩＡ，。， △
中国数学教育［＂年第５２２１００期９
３
丁＋３／、ｎ

对一道竞赛题的讨论

Ａ，Ｃ两人合起来出了一半钱，却显然未能得到一半乒乓球；Ｄ两人合起来也只出了一半钱，Ｂ，却得到了多于一半
的乒乓球，又是为何？
原题错误的原因在于：
一
（）４Ｄ比平均数少拿了［０＋Ｃ（）÷２＋］一（３Ｃ＋８）＝
５盒，因此Ｄ应收回７Ｘ（５一）＝７Ｘ（９—５１）＝９８元．
综上所述，比Ｄ多付了１０＋８＝２８元，Ｂ比ＤＢ４９３故
多拿了（４９）÷ １０＋８７＝３４盒乒乓球．
注意到题设Ａ应付给Ｃ的钱为１２元，１Ｂ应付给Ｄ的钱为７２元，入变换可得：代
多的人了解与关心这样一个题，还是很有好处的．又及，如下一题，是原题的一种修改方案（便由此也可反衬出原题的
错误）：
最后按比例，应付给Ｃ１２元，还应付给Ｄ７Ａ还１Ｂ２元．那
的乒乓球盒数之和却不一样．（）２题错，解答当然错了．原来的题解只关注部分关系
的分析，忽视了重要条件“ ４人拿出了同样多的钱 ” 从而忽，略了对整体关系的把握．题解中的比较标准不统一，题过解程中使用了不同标准，从而未能发现原题的错误．
此，盒２４＝７元．每８÷
（）２ａ比平均数多拿了０一［０＋Ｃ２＋］０）÷ （）÷ ３＝（一Ｃ
２—３＝一３盒，里（一Ｃ２＝．样又有（这０）÷ 这一３）Ｘ７＝

抓住“关键” 把握“异同”——对一道国际奥赛题的再探究

线的方向向量和平面的法向量来描述空间线面之间的
步提高，从而使课堂教学效果最大化． ■
高中版十？擞・？黧麓一
教参
解法探究
２０１３年６月
二、不等式的新隔离事实上，对于不等式① ，我们可以得到一个更为完美
注：抓住不等式中等号成立的 “ 关键” 时刻．巧妙地通过分析一般时刻与关键时刻的异同．从而使得待证不等
证明：在ＡＡＢＣ中不妨设０ ≥６ ≥ｃ，如图１，以ＢＣ为边
构造等边 △Ａ日ｃ，记ＡＡ＝ｄ，则ＡＡＡＡＢ中，由余弦定理有
的不等式链：
定理：设ＡＡＢＣ的三边分别为ａ，ｂ，Ｃ，记ＡＡＢＣ的面
ｃ积为Ｓ，ｐ＝ — ａ＋ｂ＋＋２。、／ ≥ ４ｓ（ｔａｎ＋ｔａｎ导＋ｔａｎ导）．
（一２，２，０），：（一２，０，２），
＼ｊ／
或ｃ０ｓＯ＝ｓｉｎ．
所以，，且Ｚ＝３ｘ．令＝１得到ｎ＝（１，１，３）．设ＥＧ与ＤＢ所成的角
总之，在立体几何中巧妙运用空间向量法，能够将复杂的空间问题简单化，这种思维方法的实用性是其他方法无法比拟的．作为一线的高中数学教师，在平时有关立体几何知识的课堂教学中，灵活运用空间向量方法解决问题的意识必须要加强，通过适当的训练来提高向量代数运算的熟练程度和推理能力，在熟练运用空间向量的基本知识和技能的基础上，使得处理复杂立体几何问题的实际能力进