高考题基本不等式

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考点26 基本不等式

一、选择题

1．（2015·四川高考文科·T9)设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪

+≤⎨⎪+≥⎩

，则xy 的最大值为（ ）

(A)

252 (B) 492

(C) 12 (D)14 【解题指南】利用基本不等式解题

【解析】选A 由条件得：()25y x ≤-。于是，()2

52525222x x xy x x +-⎛⎫≤-≤= ⎪

⎝⎭

。xy 当且仅当5,52x y =

=时取到最大值252。经验证，5

,52

x y ==在可行域内。故选A 。

2．.(2015·四川高考理科·T9)如果函数f(x)=21(m-2)x 2

+(n-8)x+1(m ≥0,n ≥0)在区间[21,2]上单调递减,

那么mn 的最大值为 ( ) A.16

B.18

C.25

D.

2

81

【解析】选 B.)(x f '=(m-2)x +n-8=0得28---=m n x .当m>2时,抛物线的对称轴为2

8

---=m n x ,据题意,2

8

---

m n ≥2,即2m+n ≤12. 因为62

22≤+≤n

m mn ,所以m ·

n ≤18,由2m+n=12且2m=n 得m=3,n=6.当m<2时,抛物线开口向下,根据题意得:-2128≤--m n ,即2n+m ≤18,因为92

22≤+≤m

n mn ,所以m ·n ≤281,由2n+m=18且2n=m 得

m=9(舍).要使得mn 取最大值,应有2n+m=18(m<2,n>8),所以m ·n=(18-2n)·n<(18-2×8)×8=16,所以最大值为18.

3.(2015·福建高考文科·T5)

若直线

+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b 的最小值等 于 ( ) A.2

B.3

C.4

D.5

【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.

【解析】选C.因为直线过点(1,1),所以

11

1=+b

a ，所以b

a

a b b a a b b a b a b a ++=+++=++=+211)11)((,因为0,0>>b a ，所以

4222=⨯+≥++

b

a

a b b a a b ,当且仅当“a=b=2”时等号成立.

4. (2015·陕西高考理科·T9) 设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，(

)2

a b

q f +=，1

(()())2

r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 ( )

A.q=r

B.q=r>p

C.p=r

D.p=r>q

【解题指南】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可.

【解析】选C.由条件可得p f =),ln (ln 2

1

ln 21)ln(2

1b a ab ab +==

= 1

(()())2

r f a f b =+,)ln (ln 21p b a =+=

由不等式的性质在0

a >+2

，且函数f(x)=lnx 是增函数，

所以p f =<()2

a b

q f +=，故选项C 正确.

5. (2015·陕西高考文科·T10)设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，(

)2

a b

q f +=，1

(()())2

r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 ( )

A.q=r

B.q=r>p

C.p=r

D.p=r>q

【解题指南】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可.

【解析】选C.由条件可得p f =),ln (ln 2

1

ln 21)ln(2

1

b a ab ab +==

= 1

(()())2

r f a f b =+,)ln (ln 21p b a =+=

由不等式的性质在0

a >+2

，且函数f(x)=lnx 是增函数，

所以p f =<()2

a b

q f +=，故选项C 正确.

二、填空题

6.(2015·浙江高考文科·T12)已知函数f(x)=2,1,6

6,1,

x x x x x ⎧≤⎪

⎨+->⎪⎩

则f(f(-2))= ,f(x)的最小值是 .

【解题指南】利用分段函数求值,利用基本不等式求最值.

【解析】f(-2)=(-2)2=4,所以

f(f(-2))=f(4)=4+

-6=-.当x ≤1时,f(x)≥0,当x>1时,f(x)≥

2-6,当

x=,即

x=时取到等号,因为

2-6<0,所以函数的最小值为

2-6.

答案: 1

2

-

6 7.(2015·天津高考文科·T12)已知a>0,b>0,ab=8,则当a 的值为 时,log 2a ·log 2(2b)取得最大值.

【解析】()()()()22

222222

log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭

当a=2b 时取等号,结合a>0,b>0,ab=8,可得a=4,b=2. 答案:4

8.(2015·山东高考文科·T14)定义运算“⊗”22

y x y x xy

-⊗=:（ x,y ∈R,xy ≠0),当x>0,y>0

时,x ⊗y+(2y)⊗x 的最小值为 .

【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法.

【解析】x>0,y>0时, 22224(2)2x y y x x y y x xy yx --⊗+⊗=+22

22x y xy

+=

≥

=

所以所求的最小值为.

答案：.

9．（2015·重庆高考文科·Ｔ14）设,0,5,a b a b >+=

则

_________.

【解题指南】因为()()13a b +++

为定值，利用不等式2

x y

+≤

.