列式计算的方法
行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 00100201000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1. 行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法利用行列式的性质降阶法升阶法（加边法）数学归纳法递推法3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法拆行（列）法构造法特征值法4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法三角形行列式“爪”字型行列式“么”字型行列式“两线”型行列式“三对角”型行列式范德蒙德行列式5. 行列式的计算方法的综合运用降阶法和递推法逐行相加减和套用范德蒙德行列式构造法和套用范德蒙德行列式行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a an2n1n22212n12111nnn2n12n 22211n 1211. 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即nnn2n1in i2i1n11211k k k a a a a a a a a ak nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211.性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.n n nn n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M KK K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n21212111211nnn n in i i ini i na a a a a a a a a a a a21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即nn n n kn k k kn in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k ini i na a a a a a a a a a a a21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nn n n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a21212111211=-nnn n in i i kn k k na a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211 a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244 ！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41 j ，那么011 j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41 j 的项，同理只须考虑1,2,3432 j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而64321 ，所以此项取正号．故004003002001000=241413223144321 a a a a .利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nna a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000 ，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a2211321333231222111000000 . 例2 计算行列式nn nn b a a a a a b a a a a21211211n 111D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的 1 倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的 1 倍分别加到第2,3…（1n ）行上去，可得121n 11210000D 000n n na a ab b b b bKK M M M O M K.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n nn n212121. 解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i2221111mm x x m x n n i i0000121m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式 2122123123122121321D n n n n n n n n n nn. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D nn n 1111120022200021321n n111100011000011132122n n n21211 n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n n a a a a a a a. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321n na a a a nn n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111 .降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a x x x x n n n.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D 12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了 1-n k 1k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A • 0， nn nn nnnnnn B A B C A • 0. 例7 解行列式b bbaaa a n D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得00000D n b aa aa00000021n b aa aa n•00021n ba n21n 2 n ab n .2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110. 解：使行列式D 变成1 n 阶行列式，即111010110110101110011111D. 再将第一行的 1 倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111. 从第二列开始，每列乘以 1 加到第一列，得：10010000010000011111)1n D（1n 11n .数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cosn D . 解:用数学归纳法证明. 当1 n 时， cos 1 D . 当2 n 时，2cos 1cos 2cos 211cos 22D .猜想， n D n cos .由上可知，当1 n ，2 n 时，结论成立．假设当k n 时，结论成立．即： k D k cos .现证当1 k n 时，结论也成立．当1 k n 时，cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1k D .将1 k D 按最后一行展开，得cos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k• k k10cos 21001cos 21001cos 11kk1cos 2 k k D D .因为k D k cos ， sin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k ，所以1 k D 1cos2 k k D Dsin sin cos cos cos cos 2k k k sin sin cos cos k k 1cos k .这就证明了当1 k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即： n D n cos . 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021 n n n cD bD aD .则作特征方程02 c bx ax .① 若0 ，则特征方程有两个不等根，则1211 n n n Bx Ax D ． ② 若0 ，则特征方程有重根21x x ，则 11 n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1 n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n.解：按第一列展开，得21209 n n n D D D .即020921 n n n D D D ．作特征方程02092 x x .解得5,421 x x .则1154 • • n n n B A D .当1 n 时，B A 9； 当2 n 时，B A 5461 . 解得25,16 B A ，所以1145 n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 拆行（列）法 3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a110010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a上面第一个行列式的值为1，所以nnn n a a a a a a a 1101000010011D 13321111 n D a .这个式子在对于任何 2 n n 都成立，因此有111 n n D a Dn n n a a a a a a D a a 2112112211111ij j ii a 1n111.构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 .故有ni j j in n x xx x x D 121 .特征值法3.3.1 概念及计算方法设n ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A 21 .故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式． 3.3.2 例题解析例13 若n ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A21 ，则A 可逆 n i i n 2,1000A 21 .即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000 ,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a2211321333231222111000000 . “爪”字型行列式 4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，n nnc a c a c a a b b b2211012，nnn b b b a a c a c a c2101122，121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i 列元素乘以ia 1后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221ni i n aa a a a 21321. “么”字型行列式 4.3.1 概念形如nnn b b b a a c a c a c211122，n nn a b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b2211012，0111222a c b a c b a c b a nn n，1021122c a c a b a b c a b nn n，nnna c a c a cb b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nn n，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1 n a 消去1 n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1 n 阶行列式nn n b b b D 1111111111.解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111• ni i nn n b 121111ni i n n b 12311.“两线”型行列式 4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nnn n a b b b a b a00000000D 12211 . 解：按第一列展开，得122111221100010000 n n n nn n b b a b b a b b a a Dn n n b b b a a a 211211 .“三对角”型行列式 4.5.1 概念形如ba ab b a ab b a abb a ab b a 10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab b a ab b a abb a ab b a n100000000000100000100000D. 解：按第一列展开，得ba ab b a b a ab b a abb a ab D b a n n10000010000100000D 121 n n abD D b a . 变形，得211D n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ， 从而利用上述递推公式得211D n n n n aD D b aD n n n n b aD D b aD D b 122322 .故nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D 12211121 n n n n b ab b a a 11 .Vandermonde 行列式 4.6.1 概念形如113121122322213211111 n nn n n n n a a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式． 4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得 11113121122322213211111i j j i n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 ,故有ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用． 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012Dn . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1n阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D n n n D D . 即211D n n n n D D D .∴12312211 D D D D D D n n n n . ∴111111 n n n n D D D121 n n .逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D解：从第一行开始，依次用上一行的 1 倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111D .再由范德蒙德行列式，得4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D .构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 .故有：ni j j in n x xx x x D 121 .。
列式计算的步骤
列式计算是一种解决复杂问题的计算方法，通过将问题分解为多个简单的步骤，并按照顺序进行计算。
以下是列式计算的一般步骤：
1.确定问题：明确需要解决的问题，并理解所给的条件和要求。
2.列出已知量：将问题中已知的数值、数据或信息列在一侧，通常以左侧为例。
这些已知
量可以是数字、符号或字母代表的变量。
3.列出待求量：标识出需要计算或求解的未知量，通常放在已知量的右侧。
4.列出逐步计算的步骤：根据问题的要求和所学的相关知识，将计算过程分解为逐步的步
骤，每个步骤可能包括一系列运算、公式应用或逻辑推理。
5.进行计算：按照列出的计算步骤，逐步进行计算。
确保在每个步骤中使用正确的运算规
则和相应的公式。
6.逐步化简或代入数值：根据实际情况，对中间结果进行化简，简化表达式或代入具体数
值进行计算。
7.检查计算结果：核对计算结果是否与预期答案相符，确认计算过程中是否有错误或遗漏。
8.提供最终答案：将计算得到的最终结果以适当的方式呈现，可能是一个具体数值、代数
表达式或符号等。
需要注意的是，列式计算的步骤可能因问题的复杂性和类型而有所差异。
在实际应用中，灵活运用相关知识和方法，并根据具体问题进行调整和修改，以得到准确的计算结果。
列式计算的方法
列式计算的方法1、一个数比另一个数多多少或少多少都用减法。
①、多多少,用比前面的数—比后面的数=多的数。
例“12的8倍比6的5倍多多少？②、少多少,用比后面的数—比前面的数=少的数。
例:25比30的2倍少多少？2、一个数的几倍就是多少,用这个数×倍数。
例:45的2倍,除以5,商就是多少？几个一个数就是多少,用这个数×个数。
例:14个2、5连加的与就是多少？3、一个数就是另一个数的多少倍(或几分之几)用除法,用“就是”字前面的数÷“就是”字后面的数(就是÷)。
例1: 466就是17的多少倍？4、条件中的积、商、与、差要先算,与与差的那一步要加括号,问题中的积、商、与、差与它对应的符号就是最后一步。
例:48与27的与乘以402,积就是少？5 、题里有“除”(或“去除”), 列式时交换位置用“除”字后面的数÷“除”字前面的数。
例1:用10减去6的差去除244,商就是多少？例2:21除71与13的与,商就是多少？6、题里有“平均”要用除法,带“多少”后面单位的数÷带‘‘每”后面单位的数=平均数。
例:把846平均分成24份,每份就是多少？7、“再”字前面的数要先算,要加括号例:75减去3与15的积,再除以2,商就是多少？8、一个数的一半,用这个数×0、5或÷2。
例:79的一半就是多少？9、“比”前面没有字,比多用“＋”、比少用“-”。
例1:比30多67的数多少？例2:比15的2倍少6的数就是多少？10、已知两个数的“与”与“倍数”,小的数=与÷(倍数+1) 大的数=小的数×倍数。
例:甲、乙两个数的与就是255,甲数就是乙数的2倍,甲乙两数各就是多少？11、已知两个数的“差”与“倍数”,小的数=差÷(倍数-1) 大的数=小的数×倍数。
例:甲数比乙数多28,甲数就是乙数的3倍,甲乙两数各就是多少？12、与、差问题,大数=(与+差)÷2 小数=(与--差)÷2 、例:甲数与乙数的与就是230,已知乙数比甲数多30,求甲、乙两数各就是多少？只列算式不计算:1、50个16的3倍就是多少？2、从760里面连续减去多少个18后还剩4？3、980比230的5倍少多少？4、185乘97与53的差,积就是多少？5、6加上45乘以13的积,再减去274得多少？6、从4000除以25的商里减去13与12的积,差就是多少?7、25除175的商加上17与13的积,与就是多少？8、784加上128除以8再乘23, 积就是多少?9、1250减5除285的商加95得多少？10、870除以5的商,加上30与23的积, 与就是多少?11、230与90的与,除以130与90的差,商就是多少？12、甲数就是乙数的6倍,乙数就是37,甲数与乙数的与就是多少？13、比230的4倍多180的数就是多少？14、用442除以17的商,去乘48与29的差,积就是多少？15、29减去18的1、5倍,所得的差去除2,商就是多少？16、一个数的5倍比1、2与8的积多16,求这个数。
计算行列式的方法总结
计算行列式的方法总结计算行列式的方法总结行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能写好行列式，下面是计算行列式的方法总结，一起来看看吧！计算行列式的方法总结(一)首先，行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换，行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。
推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。
推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。
性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理：定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。
定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。
(二)几种特殊行列式的值有关行列式的若干个重要公式：为便于考生综合复习及掌握概念间的联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下：2017考研数学：行列式的计算行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面小编为同学们简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清楚这种类型题。
对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。
三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。
二年级上册列式计算
二年级上册列式计算一、加法列式计算。
1. 基本概念。
- 加法是把两个（或几个）数合并成一个数的运算。
在列式计算时，要明确把哪些数相加。
- 例如：小明有3个苹果，小红有2个苹果，他们一共有多少个苹果？- 列式为：3+2 = 5（个）2. 连加问题。
- 当有三个或更多个数相加时，就用到连加。
- 例如：树上有2只小鸟，又飞来了3只，后来又飞来了1只，树上一共有多少只小鸟？- 列式为：2+3+1。
- 先算2+3 = 5，再算5+1 = 6（只）二、减法列式计算。
1. 基本概念。
- 减法是已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
- 例如：篮子里有5个鸡蛋，拿走了2个，还剩几个？- 列式为：5 - 2=3（个）2. 连减问题。
- 从一个数里连续减去两个或更多个数。
- 例如：有8个糖果，小明先吃了3个，又吃了2个，还剩几个？- 列式为：8 - 3 - 2。
- 先算8 - 3 = 5，再算5 - 2 = 3（个）三、乘法列式计算（二年级上册开始初步接触乘法）1. 乘法的意义。
- 乘法是求几个相同加数和的简便运算。
- 例如：每组有3个小朋友，有2组小朋友，一共有多少个小朋友？- 加法列式为：3+3 = 6（个），乘法列式为：3×2 = 6（个），这里3表示相同的加数，2表示相同加数的个数。
2. 乘加、乘减问题。
- 乘加：既有乘法又有加法的式子。
例如：有3组花朵，每组有4朵，另外还有2朵单独的花，一共有多少朵花？- 列式为：3×4+2。
- 先算3×4 = 12，再算12+2 = 14（朵）- 乘减：既有乘法又有减法的式子。
例如：有4组星星，每组有3颗，拿走了1颗，还剩多少颗？- 列式为：4×3 - 1。
- 先算4×3 = 12，再算12 - 1 = 11（颗）。
二年级数学应用题列式计算的格式
二年级数学应用题列式计算的格式1. 引言在二年级数学学习中，应用题是一个非常重要的部分。
通过应用题，学生不仅能够了解到数学在日常生活中的实际运用，还能够提高他们的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
在解决应用题时，列式计算是一个非常有效的方法。
本文将从简单到复杂逐步探讨二年级数学应用题列式计算的格式。
2. 列式计算的基本概念列式计算是指将一个问题中的各种数学运算过程，按照一定的格式逐个列出，从而方便进行计算和解答的方法。
在二年级的数学学习中，列式计算通常包括加法、减法和乘法等运算。
当遇到一道题目，要求计算小明有3本书，小红有5本书，他们一共有多少本书时，我们可以用列式计算的方法，列出3+5的运算，得到答案8。
3. 列式计算的应用在二年级的数学学习中，列式计算不仅仅用于解答简单的加减法问题，还可以应用到更复杂的问题中。
当遇到一道题目，要求计算小明买了3本数学书，每本书5元，他一共花了多少钱时，我们可以用列式计算的方法，列出3*5的运算，得到答案15。
这种列式计算的方法，不仅能够让学生快速准确地计算出结果，还能够培养他们的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
4. 列式计算的格式在进行列式计算时，格式非常重要。
一个良好的格式可以让计算过程更清晰，结果更准确。
在二年级数学学习中，通常将列式计算分为竖式计算和横式计算两种格式。
竖式计算是指将数字竖着排列，并按位进行计算；横式计算是指将数字横着排列，并按行进行计算。
在实际解答问题时，我们可以根据具体情况选择合适的格式进行计算，以便让计算过程更加简便和高效。
5. 总结与回顾通过本文的探讨，我们了解到了二年级数学应用题列式计算的格式及其应用。
在解决应用题时，列式计算是一个非常有效的方法。
良好的格式可以让计算过程更清晰，结果更准确。
我个人认为，通过列式计算，学生不仅能够提高他们的数学解决问题的能力，还能够培养他们的逻辑思维能力，这对于他们今后的学习和生活都是非常有益的。
四个数列式计算公式
四个数列式计算公式数列是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列，而数列式计算公式则是用来计算数列中各个项的数学公式。
在本文中，我们将介绍四个常见的数列式计算公式，分别是等差数列求和公式、等比数列求和公式、斐波那契数列求和公式和调和级数求和公式。
一、等差数列求和公式。
等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的求和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为末项。
通过这个公式，我们可以很方便地计算出等差数列的前n项和，而不需要一个个相加。
二、等比数列求和公式。
等比数列是指数列中相邻两项之间的比都相等的数列，其通项公式为an=a1r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的求和公式为Sn=a1(1-r^n)/(1-r)，其中Sn为前n项和，a1为首项，r为公比。
通过这个公式，我们可以很方便地计算出等比数列的前n项和，同样不需要一个个相加。
三、斐波那契数列求和公式。
斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的定义是前两项为1，之后的每一项都是前两项的和，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(n)为第n项。
斐波那契数列的求和公式并不是一个简单的公式，但是我们可以通过递推的方式来计算前n项和。
这个数列在自然界和艺术中都有着广泛的应用，如黄金分割比例等。
四、调和级数求和公式。
调和级数是指数列中每一项的倒数构成的数列，即1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，其通项公式为hn=1/n，其中n为项数。
调和级数的求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n=ln(n)+γ，其中Sn为前n项和，ln(n)为自然对数，γ为欧拉常数。
通过这个公式，我们可以计算出调和级数的前n项和，从而了解调和级数的性质和特点。
行列式一般计算方法
行列式一般计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数值，用于描述一个给定矩阵的一些性质。
行列式的计算可以使用一般的方法，如按行或按列展开，也可以使用一些特殊的性质和定理来简化计算过程。
一般方法：考虑一个n阶方阵A，我们可以使用展开法计算其行列式。
展开法的基本思想是按矩阵的一行或一列展开求和，每一项由矩阵元素与其对应的代数余子式的乘积得到。
设矩阵A的第i行（或第j列）为(a1i, a2i, ..., ani)（或(ai1, ai2, ..., ain)），则按第一行（或第一列）展开的行列式可以表示为：det(A) = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1ndet(A) = a21C21 + a22C22 + ... + a2nC2n其中，Cij为元素aij的代数余子式。
代数余子式可以通过去除第i行和第j列所得到的（n-1）阶子阵的行列式来计算。
如果我们对每一个Cij都计算其对应的余子式，那么行列式的计算将会变得非常复杂和繁琐。
为了简化计算，可以使用拉普拉斯展开定理或斯拉夫特定理。
拉普拉斯展开定理：设A为n阶方阵，对于A的任意一列j，我们有：det(A) = ∑(-1)^(i+j) * aij * det(Mij)其中，Mij为去除第i行和第j列后所得到的（n-1）阶子阵。
可以通过将行列式的计算转化为子阵的行列式的计算来简化计算过程。
斯拉夫特定理：斯拉夫特定理可以通过将矩阵的行列式转化为矩阵的积的形式来计算，从而简化计算过程。
设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵（即A的每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置矩阵）det(A) = A * A* = ，A， * I其中，A，表示A的行列式。
这样计算行列式的优势在于，A*的计算比直接按照展开法计算的Cij要简单（只需要计算n次行列式），并且可以使用矩阵的乘法简化计算过程。
总结：行列式的计算可以使用一般的展开法，按照行或列进行展开，逐项计算每个元素与其对应的代数余子式的乘积。
列式计算的5个技巧
列式计算的5个技巧
玉溪聂耳小学 白云波
列式计算是对于文字题或应用题 来说的。 列式计算要先根据文字描述列出 算式，然后再计算。 所以，列式计算是把文字结构转 化成数学运算结构的一个过程。
列式计算的5个技巧
·技巧1：抓关键字，确定运算符号
（1）加法 通常当看到“加”、“加上”、“和”、“增加”······用加法； 例如：15与30的和是多少？ 15＋30＝45 （2）减法 通常当看到“减”、“减去”、“差”、“减少”、“比多（少）”······用减法； 例如：26与6的差是多少？ 26－6＝20 （3）乘法 通常当看到“乘”、“乘以”、“积”、“扩大几倍”、“几个几”······用乘法； 例如：40与3的积是多少？ 40×3＝120 （4）除法 通常当看到“除以”、“除”、“商”、“是几倍”、“缩小几倍”······用除法； 例如：28除以4的商是多少？ 28÷4＝7
·技巧5：知道结果求条件时，先将文字转化为算式，再倒推还原来列式解题。
（1）、一个数除以12的商，再乘6与13的和，积是95，这个数是多少？
第一步：先将文字形式转化成算式：(□÷12)×（6＋13）＝95
第二步：倒推还原，并确定运算顺序 正确列式为：95÷（6＋13）× 12
（2）、一个数的6倍加上12与5的积，再除以3等于24，求这个数。
列式计算的5个技巧
·技巧3：从问题下手，确定最后一步算什么？
（1）、12加18减去7，差是多少？
12＋18－7
（2）、12加18减去7，和是多少？
12＋（ 18－7 ）
＝12＋11 ＝23
＝30－7 ＝23
26与12的和减去203除以29的商，差是多少？
看问题，确定最后一步应算减法
(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算 n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法好多，除非零元素较少时可利用定义计算（①依据某一列或某一行睁开②完整睁开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特色，灵巧选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不一样的求解方法。
下边介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算0L0100L200例计算行列式 D n M M M Mn 1L0000L00n解D n中不为零的项用一般形式表示为a1n 1a2n 2 L a n 11a nn n!.该项列标摆列的逆序数(n 1)(n2)t（n－1 n－2 1n）等于，2(n 1)( n 2)故 D n( 1)2n!. 2．利用行列式的性质计算例：一个 n 阶行列式D n a ij的元素满足a ij aji,i , j1,2,L , n, 则称D n为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零 .证明：由 a ij aji 知a ii a ii，即 a ii0, i1,2,L ,na12a13La1na120a23La2n故行列式 D n可表示为D n a13a230L a3n，由行列式的性质A A ，L L L L La1 na2na3n L00a12a13La1n0a12a13La1na120a23La2 na120a23L a2n( 1)n D nD n a13a230L a3 n( 1)n a13a230L a3nL L L L L L L L L La1n a2 na3 n L0a1 na2na3 n L0当 n 为奇数时，得 D=－D ，因此得 D= 0.n n n13．化为三角形行列式若能把一个行列式经过合适变换化为三角形， 其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
所以化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
行列式的计算方法代数余子式
行列式的计算方法代数余子式
行列式是线性代数中的一个重要概念，代表了一个矩阵的重要性质。
行列式的计算方法有很多种，其中代数余子式是一种常用的方法。
代数余子式是指将行列式中某个元素所在的行和列去掉后，计算出剩余矩阵的行列式，再乘上这个元素的代数余子式（即该元素对应的代数余子式）所得到的值。
代数余子式通常表示为A[i,j]，其中i 表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
具体来说，对于一个n阶行列式，它的代数余子式的计算方法如下：
1. 找到行列式中任意一个元素，假设它位于第i行第j列。
2. 计算出该元素的代数余子式A[i,j]，公式为(-1)^(i+j)×
M[i,j]，其中M[i,j]表示去掉第i行第j列后剩余矩阵的行列式。
3. 将A[i,j]乘上该元素的值，得到该元素对应的代数余子式乘积，即A[i,j]×a[i,j]，其中a[i,j]表示该元素的值。
4. 将所有元素对应的代数余子式乘积相加，即得到该行列式的值。
通过代数余子式的计算方法，可以将一个n阶行列式的计算转化为计算n个n-1阶行列式的乘积，从而简化了计算。
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行测资料分析技巧：列式的计算方法.doc
行测资料分析技巧：列式的计算方法在考场上人与人拉开差距的除了平常的知识点的积累，还有面对考试题型能够有一个更好的解答思路，下面由我为你精心准备了“行测资料分析技巧：列式的计算方法”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！行测资料分析技巧：列式的计算方法在行测考试中，资料分析题型是必不可少的一部分，，资料分析想要得高分，不仅需要有准确的列式，还需要有精准且快速的计算技巧，;众所周知资料分析的数据较大，计算较复杂，如何又快又对计算才能找到结果呢?今天为大家介绍首数法。
1、概念：简单除法运算中，通过确定计算结果的首n位数字来确定的选项的方法叫做首数法2、应用环境:适用于一步除法，且选项的首位或前2、3为数字各不相同。
3、注意事项:①分子不动，分母取三位有效数字(四舍五入)②观察选项前几位有效数字不同③放缩(针对选项超级接近)A.158352B. 223516C. 394736D.425348【解析】列式为一步除法，且选项第一位有效数字不同，则可以使用首数法来快速计算确定选项;分子不动为36421，分母取三位有效数字即为230，则除完商的第一位有效数字为1，所以答案即为A。
【答案】：AA.13568B.14671C.15765D.16843【解析】列式为一步除法，且选项第二位有效数字不同，则可以使用数字发来快速计算确定选项;分子不动为17882，分母取三位有效数字为132(四舍五入)，则商的前两位有效数字为13，因此答案选择为A.【答案】：A例3：2010年某省的蔬菜产量为1765.7万吨，且2009年该省的蔬菜产量为1268万吨，则2010年的同比增长率为()。
A 39.3%B 63.6%C 139.2%D 163.6%【解析】根据题干可知所求为增长率=增长量/基期值，则列式为(1765.7-1268)/1268，一步除法，且选项第一位有效数字或第二位不同，则可以使用首数法，商的第一位有效数字为3，则根据选项确定为A 【答案】：A行测资料分析技巧：冷门却又简单的指数你了解吗?指数问题是行测资料分析中比较冷门的一个知识点，近几年无论省考、国考还是各地方事业单位考察的也比较少，不过建议各位考生也需要将这些不常考的知识点全面复习到，以备考试出题措手不及。
行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式nij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
幼儿园列式计算
幼儿园列式计算主要是用于加法和减法的运算，通过竖式的方式进行计算。
1. 同位数相加列式计算：将同位数的数字垂直排列，从个位开始相加，若和小于等于9，直接写在个位上；若和大于9，将个位的数写在个位上，十位的数写在十位上，并将十位的数与下一位相加，依此类推。
例如：23（个位数）+ 18（个位数）— 41（个位数）。
2. 减法的列式计算方法也相似。
例如：7 — 4，将数字7和4竖直排列，然后从个位数开始逐位相减：7 — 4 — 3。
以上就是幼儿园列式计算的方法，对于大一些的孩子，可能还需要学习更复杂的列式计算方法，比如带括号的列式计算等。
列式计算正确格式
列式计算正确格式列式计算是一种数学计算方法，它通常用于解决复杂的数学问题，特别是涉及多个变量和运算的问题。
通过使用列式计算可以将一个问题分解成多个简单的步骤，以便更好地理解和解决。
在列式计算中，我们需要将问题中的各个数据和变量用符号表示，并根据问题的要求进行适当的运算。
下面将以几个具体的例子来说明列式计算的正确格式。
例1：计算矩形的面积。
已知矩形的长为L，宽为W，我们需要计算其面积S。
解答：根据矩形的面积公式：S=L*W所以，矩形的面积可以用列式表示为：S=L*W例2：计算圆的周长和面积。
已知圆的半径为r，我们需要计算它的周长C和面积A。
解答：根据圆的周长公式：C=2*π*r根据圆的面积公式：A=π*r²所以，圆的周长可以用列式表示为：C=2*π*r圆的面积可以用列式表示为：A=π*r²例3：解一元二次方程。
已知一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，我们需要求解它的根。
解答：通过配方法，可以将一元二次方程化简为(ax + b) * (cx + d) = 0的形式。
由此可得解为：x=-b/a或x=-d/c例4：计算等差数列的和。
已知等差数列的首项为a，公差为d，需要计算它的前n项和Sn。
解答：等差数列的前n项和公式为：Sn=(2a+(n-1)d)*n/2所以，等差数列的前n项和可以用列式表示为：Sn=(2a+(n-1)d)*n/2例5：计算等比数列的和。
已知等比数列的首项为a，公比为r，需要计算它的前n项和Sn。
解答：等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)所以，等比数列的前n项和可以用列式表示为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)以上是几个常见问题的列式计算的正确格式。
通过列式计算，我们可以将复杂的问题分解为简单的步骤，以便更好地进行数学推导和解决问题。
但在实际应用中，我们还需要注意输入数据的精度和计算过程中的约束条件，以确保计算结果的准确性。
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列式计算的方法
1、一个数比另一个数多多少或少多少都用减法。
①、多多少,用比前面的数—比后面的数=多的数。
例“12的8倍比6的5倍多多少？
②、少多少,用比后面的数—比前面的数=少的数。
例:25比30的2倍少多少？
2、一个数的几倍就是多少,用这个数×倍数。
例:45的2倍,除以5,商就是多少？几个一个数就是多少,用这个数×个数。
例:14个2、5连加的与就是多少？
3、一个数就是另一个数的多少倍(或几分之几)用除法,用“就是”字前面的数÷“就是”字后面的数(就是÷)。
例1: 466就是17的多少倍？
4、条件中的积、商、与、差要先算,与与差的那一步要加括号,问题中的积、商、与、差与它对应的符号就是最后一步。
例:48与27的与乘以402,积就是少？
5 、题里有“除”(或“去除”), 列式时交换位置用“除”字后面的数÷“除”字前面的数。
例1:用10减去6的差去除244,商就是多少？例2:21除71与13的与,商就是多少？6、题里有“平均”要用除法,带“多少”后面单位的数÷带‘‘每”后面单位的数=平均数。
例:把846平均分成24份,每份就是多少？
7、“再”字前面的数要先算,要加括号例:75减去3与15的积,再除以2,商就是多少？
8、一个数的一半,用这个数×0、5或÷2。
例:79的一半就是多少？
9、“比”前面没有字,比多用“＋”、比少用“-”。
例1:比30多67的数多少？例2:比15的2倍少6的数就是多少？
10、已知两个数的“与”与“倍数”,小的数=与÷(倍数+1) 大的数=小的数×倍数。
例:甲、乙两个数的与就是255,甲数就是乙数的2倍,甲乙两数各就是多少？
11、已知两个数的“差”与“倍数”,小的数=差÷(倍数-1) 大的数=小的数×倍数。
例:甲数比乙数多28,甲数就是乙数的3倍,甲乙两数各就是多少？
12、与、差问题,大数=(与+差)÷2 小数=(与--差)÷2 、例:甲数与乙数的与就是230,已知乙数比甲数多30,求甲、乙两数各就是多少？只列算式不计算:
1、50个16的3倍就是多少？
2、从760里面连续减去多少个18后还剩4？
3、980比230的5倍少多少？
4、185乘97与53的差,积就是多少？
5、6加上45乘以13的积,再减去274得多少？
6、从4000除以25的商里减去13与12的积,差就是多少?
7、25除175的商加上17与13的积,与就是多少？
8、784加上128除以8再乘23, 积就是多少?
9、1250减5除285的商加95得多少？
10、870除以5的商,加上30与23的积, 与就是多少?
11、230与90的与,除以130与90的差,商就是多少？
12、甲数就是乙数的6倍,乙数就是37,甲数与乙数的与就是多少？
13、比230的4倍多180的数就是多少？
14、用442除以17的商,去乘48与29的差,积就是多少？
15、29减去18的1、5倍,所得的差去除2,商就是多少？
16、一个数的5倍比1、2与8的积多16,求这个数。
17、一个数与3、6的与减去2、6,所得的差除以3,商就是6,这个数就是多少？。