任意角的三角函数及同角三角函数的关系
高考数学 三角函数
tan 例、已知 1, 求 tan 1 sin 3 cos 2 （ 1 ） , (2) sin sin cos 2 sin cos
一、概念
1.3、诱导公式
k k sin( ), cos( ) 2 2
奇变偶不变，符号看象限
一、概念
f ( x) f (2a x) : 函数关于直线x a轴对称 f ( x) f (2a x) : 函数关于点（a， 0）中心对称
（2）变形
ab f (a x) f (b x) : 函数关于直线x 轴对称 2 ab f (a x) f (b x) : 函数关于点（ ， 0）中心对称 2
O
M
Ax
正弦线：MP 余弦线：OM 正切线：AT
例、若x (0, ), 求证： sin x x tan x 2
一、概念
1.2、任意角的三角函数——同角三角函数关系
sin tan cos
sin cos 1
2 2
一、概念
1.2、同角三角函数关系——切割化弦
倍
三、图像
1.2、y=Asin(ω x+ψ )——图像变换
三、图像
1.3、y=Asin(ω x+ψ )——图像的向量变化
特别关注：向量
设函数图像按向量
平移后：
m (a, b) 进行平移
x
y
( x a)
( y b)
三、图像
1.3、y=Asin(ω x+ψ )——图像的向量变化
一、概念
1.3、诱导公式
例、y sin(x )( [0,2 ])是偶函数，则 （） 例、y sin(x )( [0,2 ])是奇函数，则 （） 例、y sin(x )是偶函数，则 （） 例、y sin(x )是奇函数，则 （）
专题4.1任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系一、题型全归纳题型一 象限角及终边相同的角【题型要点】(1)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；①按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间； ①起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角； ①转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ①Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【易错提醒】注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ①Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角． 【例1】(2020·辽宁鞍山一中一模)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】 因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ①Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ①Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．【例2】(2020·东北师大附中摸底)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ①Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】当k ＝2n (n ①Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ①Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.题型二 扇形的弧长、面积公式【题型要点】弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 【易错提醒】运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度． 【例1】已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解析】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，0<R <10，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【例2】．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为 ．【解析】：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r32πr ＝518题型三 三角函数的定义命题角度一 利用三角函数定义求值【题型要点】三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P 的坐标，求角α的三角函数值 方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y ＝kx ，k ≠0)，求角α的三角函数值方法：先设出终边上一点P (a ，ka )，a ≠0，求出点P 到原点的距离(注意a 的符号，对a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．【例1】(2020·合肥一检)函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( ) A.75 B.65 C.55D ．355【解析】因为函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4，2)，且角α的终边过点P ，所以x ＝4，y ＝2，r ＝25，所以sin α＝55，cos α＝255，所以sin α＋cos α＝55＋255＝355.故选D. 【例2】已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则tan α＝ ．【解析】因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－x x 2＋36＝－513，即x ＝52.所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以tan α＝125. 【例3】(2020·山西太原三中模拟)若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝ ． 【解析】：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.命题角度二 判断三角函数值的符号【题型要点】三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况． 【例3】若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限、【解析】由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·sin αcos α＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.【例4】(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)题型四 同角三角函数的基本关系式命题角度一 公式的直接应用【题型要点】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝⎛⎭⎫其中x ≠k π＋π2，k ①Z . 2.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．【例1】(2020·北京西城区模拟)已知α①(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43D ．－43【解析】因为cos α＝－35且α①(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.【例2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．【解析】由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，且sin α>0，cos α<0，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.命题角度二 sin α，cos α的齐次式问题【题型要点】关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略 已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的值．【例3】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解析】 由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 命题角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系【题型要点】sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)． (2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二． 【例4】 已知α①(－π，0)，sin α＋cos α＝15.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值．【解析】(1)由sin α＋cos α＝15，平方得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.由α①(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－75.(2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.【例5】．(2020·长春模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D ．34【答案】B.【解析】：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32.故选B.题型五 诱导公式的应用【题型要点】1.三角函数的诱导公式①化负为正，化大为小，化到锐角为止；①角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．3.常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；①常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【例1】．若角A ，B ，C 是①ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C 2＝sin B 2 D ．sin B ＋C 2＝－cos A2【答案】C.【解析】：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2-2B π＝sin B 2，sin B ＋C 2＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛2-2A π＝cos A 2.【例2】已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝a ，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32的值是 ．【解析】：因为cos ⎪⎭⎫⎝⎛+θπ65＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝－a . sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛θπ-6＝a ，所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝0. 二、高效训练突破 一、选择题1.(2019·洛阳一中月考)计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( ) A ．－1B ．1C ．0D ．12－32【解析】：原式＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-2ππ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-3ππ＝－sin π6＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3ππ＝－12－cos π3＝－12－12＝－1. 2．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角； ①4π3是第三象限角； ①－400°是第四象限角； ①－315°是第一象限角． 其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】：.－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，①正确．－400°＝－360°－40°，从而①正确．－315°＝－360°＋45°，从而①正确．3．(2020·镇江期中)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎪⎭⎫⎝⎛απ-2的值为( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22【解析】：因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，cos α＝±223，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2＝cos αsin α＝±2 2.故选D.4．(2019·武汉调研)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6D ．π3【解析】：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ， 所以tan θ＝3，因为|θ|＜π2，所以θ＝π3.5.(2020·江西南昌一模)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】：由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.6．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π4 B.π2 C.22D ．2【解析】：设圆的直径为2r ，则圆内接正方形的边长为2r ，因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，所以圆弧的长度为2r ，所以圆心弧度为2rr＝ 2. 7.(2020·海淀期末)已知f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ，则⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝( ) A.12 B.22 C.32D ．－12【解析】：.f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝cos π3＝12.8．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2 C.12D ．2【解析】：因为sin α＋cos α＝2，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝12.所以tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2.故选D.9.(2020·马鞍山质量检测)若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α 【解析】：如图所示作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4＜α＜－π2，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.10.(2019·大同模拟)1．已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75B.257C.725 D ．2425【解析】：因为－π2＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2， 所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 二、填空题1.(2020·楚雄龙江中学期中)与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是 ．【解析】：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.2.(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝ ． 【解析】：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 3.设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝ ． 【解析】：因为α为第三象限角，tan α＝512，所以cos α＝－1213，所以cos(π－α)＝－cos α＝1213. 4．化简：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝ ． 【解析】：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α. 5.(2020·惠州调研)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos ,32sin ππ，则角α的最小正值为 ． 【解析】：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ①Z )，所以α的最小正值为11π6. 6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1①4，则这两个扇形的周长之比为 ．【解析】：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14， 所以r ①R ＝1①2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr 2R ＋αR＝1①2. 7．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝ ，cos α＝ ．【解析】：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225. 因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45. 8.(2020·福州调研)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝ ． 【解析】：因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1， 5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，所以cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95. 三 解答题1.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解析】：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，此时sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，此时sin θ＋cos θ＝－ 2. 2.已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）. (1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值． 【答案】（1）－cos α；（2）265 【解析】：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）·sin α＝－cos α. (2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.。
人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数第2节任意角的三角函数第3课时同角三角函数的基本关系式
状元随笔 同角”一词的含义： [提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对 任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的 表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin21π9＋cos21π9＝1等．
[基础自测]
1．已知α是第二象限角，sinα＝153，则cos α＝(
错因分析：忽略利用平方关系开方时符号的选择． 纠错警示：利用平方关系开方时符号的确定，要根据角度的范围选 择，有时要进行讨论．
＝ cos2 θ + sin2 θ
＝.
题型三 三角恒等式的证明 状元随笔 1.证明三角恒等式常用方法 [提示] (1)从右证到左． (2)从左证到右． (3)证明左右归一． (4)变更命题法．如：欲证明MN＝QP，则可证MQ＝NP，或证NQ＝MP 等． 2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见
[易错点] 忽略利用平方关系开方时符号的选择
已知tan α＝43，求sin α，cos α的值．
错解：由tan
α＝csoins
α＝4得
α3
sin α＝43cos α.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得196cos2α＋cos2α＝1. ∴cos2α＝295. ∴cosα＝35. ∴sin α＝43cos α＝45
证明：右边＝11+−ccssooiinnssxxxx＝ccooss
x+sin x−sin
x＝
x
cos
cos x+sin x 2 x−sin x cos x+sin x
＝1c+o2s2sixn−xsicno2sxx＝左边，
∴原等式成立．
数学三角公式大全
三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。
商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）任意角---------⎧⎪⎨⎪⎩正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角.角α（弧度）(,)∈-∞+∞.（2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等） （3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则lrα=（弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{}2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略（5）两制互化：一周角=036022rrππ==（弧度），即0180π=. 1（弧度）00018057.35718π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180π=两个换算单位即可：如：005518015066π=⨯=；036361805ππ=⨯=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈， 扇形面积公式：21122S lr r α==. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有11=22S lr =底高，如图4-1所示.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点O ），则P到原点O的距离0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r xααα===.此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对y ↔，邻x ↔，斜r ↔， 如图4-2所示.2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例.角α的终边交单位圆于P ，PM 垂直x 轴于M ， α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT 于T ，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sin α=MP>0, cos α=OM<0, tan α=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中1r ==，则：（1）sin yy rα==，即α终边与单位圆交点的纵坐标y 即为α的正弦值sin α. 如图4-4（a ）所示，sin α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩上正、下负；上（90），下（270），左、右都为；按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，从增到，向下（二，三象限）为减，从减到 （2）cos xx rα==，即α终边与单位圆交点的横坐标x 即为的余弦值cos α. 如图4-4（b ）所示，cos α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩右正、左负；右（0），左（180），上、下都为；按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，从增到，向左（一，三象限）为减，从减到 （3）tan yxα=.如图4-4（c ）所示，tan α的特征为： 0.⎧⎪⎨⎪⎩一、三正，二、四负；上、下是（即不存在），左、右都是；逆时针方向旋转，各象限全增三、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα=2. 诱导公式（1）sin ()sin()sin ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数cos ()cos()cos ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数tan()tan ()n n απα+=为整数.（2）奇偶性.()()()sin -=-sin cos -=cos tan -=-tan αααααα，，.（3）1sin -=cos cos -=sin tan -=222tan πππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 例如（1）sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭,因为+22ππαπ<<，所以sin +>02πα⎛⎫⎪⎝⎭，即sin +=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭， （2）()sin +πα，因为3+2ππαπ<<，所以()sin +<0πα，即()sin +=-cos παα， 简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.题型归纳及思路提示题型1终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（ ） A. {},k k Zααπ=∈ B. ,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C. ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.,2k k N παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭分析 表示终边相同的角的集合，必有k Z ∈，而不是k N ∈.解析 解法 一：排除法.终边在坐标轴上的角有4种可能，x 轴正、负半轴，y 轴正、负半轴，取1,2,3,4,,k =可知只有选项B占有4条半轴，故选B. 解法二;推演法.终边在坐标轴上的角的集合为3113",2,,,,0,,,,2,",2222ππππππππ----可以看作双向等差数列，公差为2π，取初始角0α=，故0()2k k Z πα=+∈，故0()2k k Z πα=+∈⇒,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭故选B. 评注 终边在x 轴的角的集合，公差为π，取初始角0α=⇒{},k k Z ααπ=∈；终边在y 轴的角的集合，公差为π，取初始角2πα=⇒,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.例4.2 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.分析 本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.解析 （1）如图4-5（a ）所示阴影部分的角的集合表示为22,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）如图4-5（b ）所示阴影部分的角的集合表示为222,63k k k N ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （3）如图4-5（c ）所示阴影部分的角的集合表示为21122,36k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （4）如图4-5（d ）所示阴影部分的角的集合表示为,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 评注 任一角α与其终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2π，即集合的周期概念，是解决本题的关键.变式1设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ⊆N B ． N ⊆M C ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅例4.3 下列命题中正确的是（ ）A. 第一象限角是锐角B. 第二象限角是钝角C.()0,απ∈，是第一、二象限角D. ,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，α是第四象限角，也叫负锐角 解析 第一象限角的集合为022,2k k k Z παπαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，锐角的集合是是其真子集（即当0k =时）故选项A 错；同理选项B 错；选项C 中(0,)2ππ∈，但2π不是象限角，选项C 也错，故选D. 题型2 等分角的象限问题 思路提示先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示. 例4.4 α 是第二象限角，2α是第 象限角解析 解法一：α与终边相同的角的集合公差为2π，该集合中每个月的一半组成的集合公差为π，取第二象限的一个初始集合,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α的初始集合,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，对比集合以π公差旋转得2α的分布，如图4-6所示，得2α是第一、三象限角.解法二：如图4-7所示，α是第二象限角，2α是第一、三象限角，又若α是第四象限角，2α是第二、四象限角.解法三：取α=0120，000012036060,2402α+⇒=，即2α是第一、三象限角.评注 对于2α是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；解法一能准确找出2α的分布. 对于3α是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“nα是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n 部分，并从x 轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（α终边所在象限）所在象限即为nα终边所在象限.例如：3α的象限分布图示如图4-8所示，若α为第一象限角，则3α为第一、二、三象限角.变式1 若α是第二象限角，则3α是第 象限角；若α是第二象限角，则3α的取值范围是 题型3 弧长与扇形面积公式的计算 思路提示（1） 熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2） 掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法例4.5 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小. 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α（弧度），扇形面积S.依题意0024r l r l >⎧⎪>⎨⎪+=⎩，12S lr =，则12S lr =11(42)(42)224r r r r =-=-32π 2π4π O yx 54π 图 4-62 3 1 4 x 4 13 2 y图 4-7O21422()142r r -+≤=，（当且仅当422r r -=时，即1r =时取“=”，此时2l =）故扇形的面积最大值为1，此时lrα==2（弧度）.评注本题亦可解作21112212442l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22l r ==，即2l =，1r =时“=”成立，此时lr α==2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，2C l r =+≥且112lr =得2lr =，故4C ≥（当且仅当22l r ==时“=”成立），扇形周长的最小值为4.变式1 扇形OAB 的圆心角∠OAB=1（弧度），则AB =（） A. 1sin2 B. 6π C. 11sin 2D. 21sin 2变式2 扇形OAB ，其圆心角∠OAB=0120，其面积与其内切圆面积之比为 题型4 三角函数定义题 思路提示（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义； （2） 诱导公式；（3） 理解并掌握同角三角函数基本关系.例4.6 角α终边上一点(2sin 5,2cos5)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ） A. 52π-B. 35π-C. 5D.5+2π 解析 解法一：排队法. 005557.3286.5≈⨯=，是第四象限角，2sin50x =<，2cos50y =-<，2r ==，α是第三象限角.选项C 中，5是第四象限角，选项D 中，5+2π是第一象限角，故排除C 、D ；选项B 中， ()cos cos 35cos5απ=-=-，与cos sin 5xrα==矛盾，排除B ，故选A.解法二：推演法.由解法一，35,2πθαπθ'=+=+，,(0,)2πθθ'∈（这样设的原因是cos sin5α=），cos cos()απθ'=+=cos θ'-，3sin 5sin()cos 2πθθ=+=-⇒cos cos θθ'-=-⇒cos cos θθ'=，,(0,)2πθθ'∈⇒352πθθ'==-， ⇒35522ππαπ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭故选A.变式1 已知角α终边上一点(2sin 2,2cos 2)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ）A.2B.-2C.22π-D. 22π- 变式2 已知角α终边上一点22(2sin ,2cos )77P ππ-，则α=变式3 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A. 45-B. 35-C. 35D. 45题型5 三角函数线及其应用 思路提示正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线 一，利用三角函数线证明三角公式 例4.7 证明（1）()sin -=sin παα， （2）sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3）31tan =-2tan παα⎛⎫+⎪⎝⎭解析 （1）如图4-9所示，角-πα与α的终边关于y 轴对称，MP MP '=⇒()sin -=sin παα. （2）如图4-10所示，角-2πα与α的终边关于直线y x =对称.OM M P ''=⇒sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3） 如图4-11所示，.2311tan =k =--2tan tan OT πααα⎛⎫+=⎪⎝⎭评注 用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在(),,2ππααα±-±.在（1）证明中易得()cos -=-cos παα，，相除得()tan -=-tan παα，，在（2）证明 中易得cos -=sin 2παα⎛⎫⎪⎝⎭，相除得1tan =2tan παα⎛⎫-⎪⎝⎭.角α与-πα的终边关于终边（即y 轴）对称，角-2πα与α的终边关于终边所在的直线y x =轴对称.一般地，角α,β的终边关于终边所在直线2αβ+轴对称二.利用三角函数线比较大小 例4.8 ,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小. 解析 如图4-12所示，,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，在单位圆中作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，显然有OM<MP<A T,故cos sin tan ααα<<.评注 由本例可看出，三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问题变式1 求证：（1）当角α的终边靠近y 轴时，cos sin αα<及tan 1α>； （2）当角α的终边靠近x 轴时，cos sin αα>及tan 1α<；变式2 （1）α为任意角，求证：cos sin 1αα+>； （2）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小 变式3 比较大小 （1）sin 2,sin 4,sin 6 （2）cos 2,cos 4,cos6（3）tan 2,tan 4,tan 6 变式4 1sin tan ()tan 22ππαααα>>-<< ，则α∈（） A. ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、利用三角函数线求解特殊三角方程例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程： （1）1sin 22x =；（2）2cos 22x =；（3）tan 23x =.解析 （1）在单位圆中作为正弦为12的正弦线，如图4-13所示，得正弦为12的两条终边，即16πα=，256πα=，故226x k ππ=+或5226x k ππ=+，k Z ∈. 解得12x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈.（2）如图4-14所示14πα=，24πα=-，故224x k ππ=+或224x k ππ=-+，k Z ∈，解得8x k ππ=+或8x k ππ=-+，k Z ∈.（3）如图4-15所示，得13πα=，243πα=，公差为π，故23x k ππ=+，k Z ∈. 解得6x k ππ=+，k Z ∈.评注（1）sin 1α≤ ，cos 1α≤，tan x R ∈；（2）当1k <时，方程sin ,cos x k x k ==在[0,2)π有两解. 四、利用三角函数线求解特殊三角不等式例4.10利用单位圆，求使下列不等式成立 的角的集合. （1）1sin 2x ≤；（2）2cos 2x ≥；（3）tan 1x ≤.分析 这是一些较简单的三角函数不等式，在单位圆中，利用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此写出不等式的解集.解析 （1）如图4-16所示，作出正弦线等于12的角：5,66ππ，根据正弦上正下负，得在图4-16中的阴影区域内的每一个角均满足1sin 2x ≤，因此所求的角x 的集合为 51322,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-17所示，由余弦左负右正得满足2cos 2x ≥的角的集合为 22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）如图4-18所示，在[0,2]π内，作出正切线等于1的角5,44ππ：则在如图4-18所示的阴影区域内（不含y 轴）的每一个角均满足tan 1x ≤，因此所求的角的集合为,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.评注 解简单的三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，先在[0,2]π内找出符合条件的角，再利用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合，借助关于单位圆中的三角函数线，还可以比较三角函数值的大小.例4.11利用单位圆解下列三角不等式： （1）2sin 10α+>； （2）23cos 30α+≤； （3）sin cos αα>；（4）若02απ≤<，sin 3cos αα>，则则α∈（） A. ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析 （1）由题意1sin 2α>-，令1sin 2α=-，如图4-19所示，在单位圆中标出第三、四象限角的两条终边，这两条终边将单位圆分成上、下两部分，根据正弦上正下负，取α终边上面的部分，按逆时针从小到大标出16πα=-，2766ππαπ=+=，故不等式的解集为 722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-20所示，3cos α≤标出3cos α=的角在单位圆中第二、三象限的两条终边，这两条终边将单位圆分成左，右两部分，根据余弦左负右正，取α终边在左侧的部分，按逆时针从小到大标出1566ππαπ=-=，2766ππαπ=+=，.故不等式的解集为 5722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）sin cos αα>y x y x r r ⇒>⇒>.如图4-21所示，在单位圆中作出y x =所对的两个角14πα=，254πα=.这两个角的终边将单位圆分成上、下两部分.在上面的部分取2πα=，sin cos 22ππ>成立 ，故不等式的解集为522,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 注 本题也可通过线性规划的知识直接判断出表示y x >的平面区域为如图4-21所示的阴影部分.（4）sin 3cos αα>，得33y x y x r r>⇒>，如图4-22所示，在单位圆中标出3y x =所对的角13πα=，243πα=.，.这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，因为02απ≤<，在上面的部分取2πα=，sin 3cos αα>成立 ，所以取α终边上面的部分，故不等式的解集为433ππαα⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，故选C.评注 三角函数线的应用(1)证明 三角公式；(2)比较大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式. 变式1 已知函数()3cos ,,()1f x x x x R f x =-∈≥若,则x 的取值范围（） A. ,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C. 5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D. 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭题型6 象限符号与坐标轴角的三角函数值思路提示正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；. 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；. 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.例4.12（1）若()0,2απ∈，sin cos 0αα<，则α的取值范围是 ； （2）3tan 0sincos sincos 222ππππ+---= ； 解析：（1）由sin cos 0αα<得sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩或sin 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，得α为第二象限角或第四象限角⇒α的取值范围是3,,222ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）01(1)(1)12+-----=.变式1 sin 0α>是α为第一、二象限的（ ）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 变式2 ，43sin,cos 2525αα==-,2α是第 象限角，α是第 象限角. 变式3若sin cos 1=-，则α的取值范围是 .变式4 已知tan cos 0αα<，则α是第（ ）象限角.A.一或三B. 二或三C.三或四D.一或四 变式5 若α为第二象限角，则tan2α的符号为变式6 若点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限角变式7 函数cos sin tan sin tan x x xy x cox x=++的值域为 . 题型7 同角求值-----条件中出现的角和结论中出现的角是相同的思路提示（1） 若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值.（2） 若无象限条件，一般“弦化切”. 例4.13 （1）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=-，cos α= , tan α=（2）已知tan α=2， 1. 3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin α= , cos α= 2.2sin cos 3sin 4cos αααα-+= ,3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--= , （3）已知2sin cos αα-= 1. sin cos tan ααα+= ； 2. sin cos αα-= . 解析 （1）因为3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,cos 0,tan 0αα><,故cos α==.sin tan cos ααα==（2）1.因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0αα<<，22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得21cos 5α=.cos 5α=-,sin 5α=-2.无象限条件，弦化切.2sin cos 3sin 4cos αααα-+=2tan 122133tan 432410αα-⨯-==+⨯+3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--=2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα--=+22tan 2tan 3tan 1ααα--=+35- （3）无象限条件，弦化切.，两边平方，得()()2222sin cos 5sin cos αααα-=+222sin 4sin cos 4cos (sin 2cos )0αααααα⇒++⇒+=sin 2cos 0αα⇒+=,tan 20α+=⇒tan 2α=-.1. sin cos tan ααα+=22sin cos tan sin cos ααααα+=+2tan 12tan tan 15ααα+=-+2. 2sin cos αα-=()αϕ+=可知当x α=时，2sin cos x x -取最小值.()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.2sin cos sin 2cos 0αααα⎧-=⎪⎨+=⎪⎩⇒cos 5sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，sin cos αα-=5-. 评注 本题给出同角求值的几种基本题型..（1）及（2）中的1体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系（只多了一个象限符号）；（2）中的2体现了无象限条件弦化切的解题策略.（3）中无象限条件，2sin cos αα-=()αϕ+=表示函数2sin cos y x x =-在处取得极小值，导数0x y α='=，故有更简便做法：()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.如已知sin cos αα-=()0,απ∈，则tan α= .答案为-1，与本题（3）同理可解.变式1 若tan α=2，则2212sin cos cos sin αααα+=-=（ ） A. 13 B.3 C. 13- D.-3变式2 当x θ=时，函数sin 2cos y αα=-取得最大值，则cos θ= ； 例4.14 已知1sin cos 5αα+=-时，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A. 34-B. 43-C. 34D.- 43解析 解法一：已知角的象限条件，将方程两边平方得112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα⇒=-<，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，tan 0α<，排除C 和D.， sin 0,cos 01sin cos 05αααα<>⎧⎪⎨+=-<⎪⎩⇒sin cos ,αα>tan 1α>，故排除A ，故选B. 解法二：将方程两边平方得，()22221sin 2sin cos cos sin cos 25αααααα++=+ 2212sin 25sin cos 12cos 0αααα⇒++=212tan 25tan 120αα⇒++=43tan 34α⇒=--或由解法一知tan 1α>，得4tan 3α=-，故选B. 变式1 已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 变式2 已知3sin cos 8αα=，42ππα<<，则cos sin αα-=（ ）A. 12B. 12-C. 14D. 14-题型8 诱导求值与变形 思路提示（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数. （2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化例4.15 求下列各式的值.（1）0sin(3000)-； （2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭； （3）51tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭解析 （1）0sin(3000)-=0sin(8360120)sin120-⨯+=-000sin(18060)sin 602=--=-=-；（2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭=411cos cos 14cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）5151tan tan tan(13)tan 14444πππππ⎛⎫-=-=--== ⎪⎝⎭. 评注 利用诱导公式化简或求值，可以参照口决“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”.变式1 若()cos 2-3πα=，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()sin -πα= ； 变式2 若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，()3tan 74απ-=，则cos sin αα+=（ ） A. 15± B. 15- C.15 D. 75- 变式3 若cos-80°= k ,则tan 100°的值为（ ）A.B. D.变式4 已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin ()63x x ππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭= ； 最有效训练题A. 15± B. 15- C. 15 D. 75-2.已知点33(sin ,cos )44P ππ落在角θ的终边上，且[]0,2θπ∈，则θ的值为（ ）A. 4πB. 34πC. 54πD. 74π3.若角α的终边落在直线0x y +==（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 0 4.若角A 是第二象限角，那么2A 和2A π-都不是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.已知sin -=cos ,cos -=sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，对于任意角α均成立.若(sin )cos 2f x x =，则(cos )f x =（ ）A. cos2x -B. cos2xC. sin 2x -D. sin 2x6.已知02x π-<<，1cos sin 5αα+=-，则sin cos 1αα-+=（ ） A. 25- B. 25 C. 15 D. 15-7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y = .8.函数2lgsin 29y x x =+-的定义域为 .9.如图4-23所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于1P ，然后以B 为圆心，1BP 长为半径画弧，交CB 的延长线于2P ，再以C 为圆心，2CP 长为半径画弧，交DC 的延长线于3P ，再以D 为圆心，3DP 长为半径画弧，交AD 的延长线于4P ，再以A 为圆心，4AP 长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是 ，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧度之和为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，将点3,1)A 绕点O 逆时针旋转090到点B ，那么点B 的坐标为 ；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 . 11.一条弦的长度等于半径r ，求： （1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所围成的弓形的面积.12.已知001tan(720)3221tan(360)θθ++=+--. 求2221cos ()sin()cos()2sin ()cos (2)πθπθπθπθθπ⎡⎤-++-++⎣⎦--的值.。
15 任意角与同角三角函数的基本关系
第15课时 三角函数的概念与同角三角函数的关系【教学目标】了解任意角的概念、角的弧度制，掌握任意角的三角函数的定义，理解三角函数值的符号与角的象限之间的关系；掌握同角三角函数之间的两种基本关系——-平方关系和商数关系，掌握同角正弦、余弦和正切之间的基本关系，并能在这三者中“知一求二”，掌握同角三角函数基本关系的变形，掌握“弦化切”的基本思想的应用，并能利用相关公式解决同角三角函数的基本问题. 【教学重难点】任意角的三角函数与同角三角函数的基本关系 【考点分析】从近几年的高考题来看，任意角的三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系、切弦互化都是高考中的重点，其中对三角函数基本概念的考查着重于三角函数的概念的理解，注重结合三角函数图象及几何图形的考查，在同角三角函数中，一般是结合二倍角或和差角公式的综合求值以及同角三角函数公式变形的应用，弦化切思想的考查主要是考察由弦如何化成切，主要是注意弦化切的两种基本题型. 【课前热身】1.（山东省广饶一中2012届高三10月月考）若sin 0α<且tan 0α>，则α是（ ） .A 第一象限角 .B 第二象限角 .C 第三象限角 .D 第四象限角2.（山东省广饶一中2012届高三10月月考）若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为 （ ） 21.c o s 1A 21.s i n 1B 22.c o s 1C 22.s i n 1D3.（辽宁省抚顺高中2011-2012学年度高三上学期第一次月考）已知tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为 （ ）.0A 3.4B .1C 5.4D4.（2009年高考辽宁卷文）已知tan 2α=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ） 4.3A -5.4B 3.4C -4.5D5.（山东省广饶一中2012届高三10月月考）已知1sin cos 8αα=，且42ππα<<，则cos sin αα-= .6.（江西省上高二中2012届高三第一次月考）化简()111cos sin tan ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的结果是 .7.（2010年高考全国2卷文）已知α是第二象限的角，1tan 2α=，则cos α= . 8.（2010年高考全国1卷文）已知α为第一象限的角，3sin 5α=，则tan α= .【答案】1.C 2.B 3.B 4.D 5.2-6.sin α7. 5- 8.34【知识点梳理】第一部分：任意角与弧度制1.任意角的概念：按逆时针旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；一条射线没做任何旋转，称它形成了一个零角.2.终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合：{}360,k k Z ββα=+⋅∈或{}2,k k Z ββαπ=+∈.3.象限角与轴线角的表示（1）弧度制的概念及其表示把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记为1rad . （2）弧度与角度的换算关系()3602rad π=，()180rad π=，()()10.01745180rad rad π=≈，()180157.305718rad π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭. 5.与扇形有关的公式：设半径为r 且圆心角为()02ααπ<<所对的弧长为l ，其中扇形的第二部分：任意角的三角函数1.任意角的三角函数的概念：如图1，设角α的终边与单位圆的交点为(),P x y ，那么 （1）y 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin y α=； （2）x 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos x α=； （3）yx 叫做角α的正切，记作tan α，即()ta n 0y x x α=≠定义推广：设α是任意角，α终边上一点P 的坐标为(),x y ，且r =（1）比值y r叫做角α的正弦，记作sin α，即sin y r α=（2）比值x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值yx叫做角α的正切，记作tan α，即()tan 0y x xα=≠.图21.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：22sin cos 1αα+=；（2）商数关系：sin tan ,cos 2k k Z απααπα⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭.推论：222tan sin tan 1ααα=+，221cos tan 1αα=+，()2sin cos 12sin cos αααα±=±，()()22sin cos sin cos 2αααα++-=.【典型例题与变式】题型一：任意角与弧度制【例1】（2005年高考全国3卷）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）.A 第一或第二象限 .B 第二或第三象限 .C 第一或第三象限 .D 第二或第四象限 【解析】D解法一：α 为第三象限角，3222k k πππαπ∴+<<+，k Z ∈，得3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，若k 为偶数，设2k n =，n Z ∈，则322224n n παπππ+<<+，n Z ∈，此时2α为第二象限角；若k 为奇数，设21k n =+，n Z ∈，则3722224n n παπππ+<<+，n Z ∈，此时2α为第四象限角.解法二：象限法.如图3所示，将每个象限角平分为两份，按逆时针方向依次在对应区域内表上数字1至4，由于3所在的区域为第二或第四象限，故2α为第二或第四象限角.【练习】（山东省太原五中2011-2012学年第一学期10月月考）设α是第三象限角，且cos cos 22αα=，则角2α属于 （ ）.A 第一象限角 .B 第二象限角 .C 第三象限角 .D 第四象限角 【解析】D α 是第三象限角，由象限法知，角2α为第二或第四象限角，coscos22αα= ，cos02α∴>，故2α为第四象限角.【例2】（黑龙江省哈三中2011-2012学年高三10月月考）扇形的中心角为120，半径为3，则此扇形的面积为 （ ） .A π 5.4B π.3C2.9D【解析】A 设扇形的圆心角的弧度数为α，则21201803ππα=⨯=，22112223S r παπ∴==⨯⨯=.【练习】若半径为3cm 的扇形面积为218cm ，则扇形中心角θ= 弧度.【解析】4 212S r θ=，22221843S rθ⨯∴===.【例3】已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 【解析】216c设扇形的弧长为l ，则2l R c +=，2l c R ∴=-，则02c R <<，()21112222S lR c R RR cR ==-=-+，故当4c R =时，S 取最大值，2m ax 16cS =.【练习】已知一扇形的周长为()0C C >，当扇形的中心角为多少弧度数时？它有最大面积. 【解析】设扇形的半径为r ，中心角为()0αα>，弧长为l ，面积为S ，则2l r C +=， 2l C r ∴=-，则02C r <<，()2221112222416C C S lr C r r r C r r ⎛⎫∴==-⋅=-+=--+⎪⎝⎭，∴当4Cr =时，扇形有最大面积216C，此时22CCl C =-=，()422lCrad r C α==⋅=.【例4】下列各组角中，终边相同的角是 （ ）.2k A π与()2k k Z ππ+∈ .3B k ππ±与()3kk Z π∈().21C k π+与()()41k k Z π±∈ .6D k ππ+与()6k k Z ππ±∈ 【解析】C ()()1222k k k k Z ππππ+⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭，当k 为偶数时，两角的终边不相同；()()21333k k k k Z ππππ±⎛⎫±-=∈ ⎪⎝⎭，当2k=时，两角的终边不相同；()()()41212k k k k Z πππ+-+=∈，()()()()412121k k k k Z πππ--+=-∈，故()21k π+与()()41k k Z π±∈终边相同；()2663k k k Z πππππ⎛⎫⎛⎫--+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故6k ππ+与()6k k Z ππ±∈终边不相同.【练习】设300α=-，则与α终边相同的角的集合为 （ ）{}.360300,A k k Z αα=⋅+∈{}.36060,B k k Z αα=⋅+∈{}.36030,C k k Z αα=⋅+∈{}.36060,D k k Z αα=⋅-∈【解析】B ()60300360--=，60∴ 与300-的终边相同， 故与300α=-终边相同的角的集合为{}36060,k k Z αα=⋅+∈.【例5】85π化为角度是 （ ）.278A.280B.288C.318D【解析】C8818028855π=⨯=.【练习】6730'化成弧度为 r a d .【解析】38π 3673067.567.51808ππ'==⨯=.【点评】在任意角与弧度制的相关练习中，主要考查角的一些相关概念，如象限角、终边相同的角、角的象限的判断，利用相关方法解决即可，以及弧度制下相关公式的应用，如角度与弧度的互化、扇形的相关公式的应用，所以只需要灵活应用相关公式即可.题型二：任意角的三角函数【例6】（河北省存瑞中学2012届高三第一学期第三次月考）若角α的终边上有一点(4,--，则sin α的值是 （ ）1.2A -.2B -1.2C.D【解析】Bs i n 2α-==-.【练习】（湖北省孝感高中2011届高三测试）角α的终边经过点((),0P x x ≠，且cos 6x α=，则sin α等于 （）.6A x.6B.6C x.6D -【解析】Dc o s 06x xα==⇒=，sin α∴==6=-.【例7】在直角坐标系中，角α的终边经过点()()3,40P a a a -≠，则sin α= 【解析】45±5OP a ==， 当0a >时，5O P a =，444sin 55a a O Paα===；当0a <时，5OP a =-，44sin 55a aα==--.【练习】若角θ的终边过点()3,4P t t -（0t ≠且t R ∈），则2sin cos θθ+的值是（ ） 2.5A -.1B ± 2.5C -2.5D ±【解析】B 5OP t ==，当0t >时，5OP t =，444sin 55t t O P t θ===，33cos 55t tθ-==-，2sin cos 1θθ+=； 当0t <时，5OP t =-，444sin 55t t O Pt θ===--，33cos 55t tθ-==-，2sin cos 1θθ+=-.【点评】利用任意角的三角函数的定义求解三角函数值，直接根据定义求解即可，若对应角的终边上含有参数，需注意对应参数的正负号，进而构造方程求解.题型三：同角三角函数的基本关系【例8】（四川省成都外国语学校2012届高三10月月考）若cos 0θ>，且sin 20θ<，则角θ的终边所在的象限是 （ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【解析】D s i n 22s i nc o s θθθ=< ，且cos 0θ>，故sin 0θ<，θ∴为第四象限角.【练习】（广东省2008届六校第二次联考）已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边在 （ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 【解析】B 点()tan ,cos P αα在第三象限，tan 0α∴<，cos 0α<， α∴是第二象限角.【例9】（山西省太原五中2011-2012学年第一学期10月月考）已知4cos 5α=，α∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则tan α= （ ）3.4A -4.3B - 4.3C 3.4D ±【解析】A 3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，sin 0α∴<，sin α∴==35=-，sin 353tan cos 544ααα∴==-⋅=-. 【练习】（陕西省澄城县2012届高三第二次月考）若4sin 5θ=-，tan 0θ>，则cos θ=__________.【解析】35- 4s i n 05θ=-< ，tan 0θ>，θ∴为第三象限角，cos 0θ∴<，3cos 5θ∴===-.【例10】（2008年东北三校高三第一次联考）α是第一象限角，3tan 4α=，则s i n α=（ ）4.5A 3.5B 4.5C -3.5D -【解析】B α 为第一象限角，sin 0α∴>，222tan 9169sin 1tan 162525ααα==⋅=+ ，3sin 5α∴=.【练习】（广西桂林十八中2012届高三第三次月考）在A B C ∆中,已知5tan 12A =-,则sin A = （ ）12.13A - 12.13B 5.13C - 5.13D【解析】D A 为A B C ∆的内角，0A π∴<<，且5tan 012A =-<，2A ππ∴<<，sin 0A ∴>，且222tan 2514425sin 1tan 144169169AA A ==⋅=+，5sin 13A =. 【点评】利用同角三角函数的基本关系求解“知一求二”相关类型的问题时，一般先是确定角的象限或范围，确定所求三角函数值的正负（一般是确定所求角的正弦值或余弦值的正负），然后再根据三角函数的两种基本关系——平方关系和商数关系求解，最终注意所求三角函数值的符号，即遵循“定位→定号→定值”的步骤进行.题型四：弦化切基本思想的应用【例11】（重庆八中2012届高三上学期第三次月考）已知21tan =α，则3s i n 2c os 5c os 3s i nαααα+=-.【解析】1 3s i n+2c o s1323sin +2cos 3tan 2cos 215cos 3sin 15cos 3sin 53tan 53cos 2αααααααααααα⨯++====----⨯.【练习】已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=- . 【解析】3 s i n c o ss i n c o s t a n 121c o s 3s i n c o s s i n c o s t a n 121c o s αααααααααααα++++====----. 【例12】（安徽省淮南二中2012届高三第三次月考）已知1tan 4α=，则2cos2sinαα+的值为 ． 【解析】161722222222cos cos 2sin cos sin sin cos cos sin ααααααααα+=-+==+2222222cos 1116cos cos sin 1tan 1711cos 4αααααα====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【练习】（1）（山东省博兴二中2012届高三教学质量检测）若1tan 4α=，则αα2sin cos 2的值等于 （ ） .2A .3B - .4C .6D【解析】A22cos cos 1142sin 22sin cos 2tan 2αααααα===⨯=.（2）（四川省金堂中学2012届高三10月月考）若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos 2αα+= .【解析】 2- 点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，sin 2cos αα∴=-，tan 2α∴=-，2222222sin cos 2cos 2sin sin 22cos 22sin cos 2cos 2sin cos sin αααααααααααα+-∴+=+-=+()()()22222222222sin cos 2cos 2sin 222222tan 22tan cos 2cos sin 1tan 12cos ααααααααααα+-⨯-+-⨯-+-====-+++-【点评】当弦和切同时存在时，一般是利用“切化弦”的思想求解，但“弦化切”的解题思想有时也经常利用，“弦化切”的基本思想常利用于下面两种题型： （1）弦的分式齐次式：分式中，分子和分母中的弦（正弦或余弦或正余弦的乘积）均为n 次，在分子和分母中同时除以()cos n n N α*∈，直接将分子和分母化为正切，然后代数求解； （2）弦的二次整式：在整式上除以221cos sin αα=+化为弦的二次分式齐次式，然后在分子和分母上同时除以2cos α化为正切求解.题型五：cos sin θθ+、cos sin θθ-和cos sin θθ三者之间的基本关系【例13】（山东省吕梁市英杰中学2012届高三第二次月考）设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππθ，2sin cos θθ116=，则cos sin θθ-= （ ）.4A.4B -3.4C 3.4D -【解析】B ,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，cos sin θθ∴<，cos sin 0θθ∴-<， ()2115cos sin 12sin cos 11616θθθθ-=-=-=，cos sin 4θθ∴-=-.【练习】（山西省山大附中2012届高三10月月考）已知3sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则x 2si n 的值为 19.25A 16.25B 4.25C 7.25D【解析】D()3sin cos sin 425x x x π⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，cos sin 5x x ∴-=， ()2187cos sin 12sin cos 1sin 2sin 22525x x x x x x ∴-=-=-=⇒=.【例14】（安徽省桐城十中2012届高三第四次月考）已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x 的方程0122=-+px x 的两根，则θ= （ ）.4A π.3B π3.4C π 5.6D π【解析】C θ 为三角形的一个内角，故0θπ<<，则sin 0θ>， sin θ ，cos θ是关于x 的方程0122=-+px x 的两根，由韦达定理得sin cos 2p θθ+=-，1sin cos 2θθ=-，()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+，则211222p ⎛⎫⎛⎫-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0p ∴=，故原方程为2210x -=，解得2x =±，sin 2θ∴=，cos 2θ=-，0θπ<< ，34πθ∴=.【练习】若sin θ、cos θ是方程2420x mx m ++=的两根，则m 的值为 （ ）.1A +.1B -.1C ±.1D --【解析】 由韦达定理得2sin cos 42m m θθ+=-=-，sin cos 4m θθ=，()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+ ，22124022m m m m ⎛⎫∴-=+⇒--= ⎪⎝⎭，1m ∴=±【点评】利用同角三角函数关系求值时，当cos sin θθ+、cos sin θθ-和cos sin θθ同时存在时，可以利用三者之间的相互关系求解，如：()2cos sin 12sin cos θθθθ±=±1sin 2θ=±，以及()()22cos sin cos sin 2θθθθ++-=求解，求解时需根据角的范围确定所求代数式的正负.题型六：三角代数式化简与证明【例15】化简tan tan sin 1sin 1tan sin cos 1sin x x x xx x x x+⎛⎫⋅+⋅⎪++⎝⎭. 【解析】tan tan sin 1sin 1tan sin cos 1sin x x x xx x x x+⎛⎫⋅+⋅= ⎪++⎝⎭()()2cos tan tan sin cos 1sin sin sin cos 1sin cos tan sin cos 1sin sin sin cos cos 1sin x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x++++=⋅⋅=⋅⋅++++ ()()sin 1sin cos 1sin sin tan sin 1cos cos 1sin cos x x x x xx x x x x x++=⋅⋅==++.【练习】已知α-.【解析】α 是第二象限角，cos 0α∴<，0sin 1α<<，01sin 1α∴<-<，，11s i n 2α<+<，∴=1sin 1sin 1sin 1sin cos cos cos cos αααααααα+-+-⎛⎫==-=--- ⎪⎝⎭1sin 1sin 2sin 2tan cos cos cos ααααααα-+=-=-=-. 【例16】求证：2212sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=--.【解析】证明：左边()()()2sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos αααααααααααααααα+++===--+- tan 1tan 1αα+==-右边.【练习】求证：()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++.【解析】证明：左边()()()()cos 1cos sin 1sin cos sin 1sin 1cos 1cos 1sin αααααααααα+-+=-=++++()()2222cos sin cos sin cos cos sin sin 1sin cos sin cos 1sin cos sin cos αααααααααααααααα-+-+--==++++++()()()()()()cos sin cos sin cos sin 2cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos 21sin cos sin cos αααααααααααααααααα-+-+-++==++++++()()()()()()()()22cos sin 1cos sin 2cos sin 1cos sin 12sin cos 2cos sin 1cos sin 2cos sin 1αααααααααααααααα-++-++==++++++++ ()()()()22cos sin 1cos sin 2cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααααα-++-===++++右边. 【点评】在利用同角三角函数的求值化简中，充分利用同角三角函数之间的平方关系和商数关系以及相关推论，综合运用切弦互化、1的代换等基本思想的应用，将问题逐步简化，同时在证明三角恒等式时，可以充分利用直接证明法、比较法、左右归一法、分析法等证明方法证明三角恒等式，同时将同角三角函数的基本关系渗透其中，将所要证明的代数式化繁为简，进而找到问题的解答.【方法技巧总结】本专题主要考查任意角的概念以及弧度制下有关扇形的相关公式的应用、同角三角函数的基本关系，在考查这些问题时，应当充分利用角的一些相关定义、概念与公式，在同角三角函数的基本关系的应用中，注意两种基本关系的使用以及一些公式的变形，以及一些变形的基本思想，如切弦互化、1的代换和一些基本技巧的使用，在问题的求解中遵循先化简的基本原则.【巩固练习】1.{}90A =小于的角，{}B =第一象限角，则A B 等于 （ ）. {}.A 锐角 {}.90B小于的角 {}.C 第一象限角 .D 以上都不对 【解析】D （特殊值法）取330A -∈ ，则{}330-∉ 锐角，排除A 选项；取390B ∈，则{}39090∉ 小于的角；取30A -∈ ，则{}30-∉第一象限角，排除C ，故选D2.集合{}9045,M x x k k Z ==⋅+∈，{}4590,N x x k k Z ==⋅+∈，则有（ ） .A M N = .B M N ⊇ .C M N ⊆ .D M N =∅ 【解析】C 解法一：{}(){}9045,2145,M x x k k Z x x k k Z ==⋅+∈==+⋅∈，{}(){}4590,245,N x x k k Z x x k k Z ==⋅+∈==+⋅∈，当k Z ∈时，21k +是奇数，2k +为整数，故M N ⊆.解法二：（列举法）{},45,135,M = ，{},45,90,135,180,N = ，故M N ⊆.3.若角α是第二象限角，则2α是 （ ）.A 第一象限角或第二象限角 .B 第一象限角或第三象限角.C 第二象限角或第四象限角 .D 第一象限角或第四象限角 【解析】B 解法一：α 为第二象限角，222k k ππαππ∴+<<+，k Z ∈，得422k k παπππ+<<+，k Z ∈，若k 为偶数，设2k n =，n Z ∈，则22422n n παπππ+<<+，n Z ∈，此时2α为第一象限角；若k 为奇数，设21k n =+，n Z ∈，则5322422n n παπππ+<<+，n Z ∈，此时2α为第三象限角.解法二：象限法.如图3所示，将每个象限角平分为两份，按逆时针方向依次在对应区域内表上数字1至4，由于3所在的区域为第一或第三象限，故2α为第一或第三象限角.4.120- 的弧度数为 （ ）5.6A π- 4.3B π2.3C π-3.4D π-【解析】C ()21201201803r a d ππ-=-⨯=-.5.设k Z ∈，下列终边相同的角是 （ ）().21180A k +⋅与()41180k ±⋅.90B k ⋅与18090k ⋅+ .18030C k ⋅+ 与36030k ⋅± .18060D k ⋅+与60k ⋅【解析】A ()411802360180k k ±⋅=⋅±，()21180360180m m +⋅=⋅+，当 k 、m Z ∈时，()()()()41180211802360180360180k m k m +⋅-+⋅=⋅+-⋅+()2360k m =-⋅，()()()()41180211802360180360180k m k m -⋅-+⋅=⋅--⋅+()21360k m =--⋅，故选A .6.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度.1A .2B .3C .4D 【解析】B 设扇形所对的圆心角的弧度为α，则由212S r α=得()222S rad rα==.7.某扇形的面积为21cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的大小为 （ ） .2A.2B .4C.4D 【解析】B 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则2442l r l r +=⇒=-，其中02r <<，()2211422121022S lr r rr r r r ==-=-+=⇒-+=，1r ∴=，2l =，()2l rad rα==8.点(),4P b -是角α终边上的一点，且3cos 5α=-，则b 的值是 （ ）.3A .3B - .3C ± .5D【解析】A3c o s 05α==-<，00b b ∴-<⇒>，将上式两边平方得，222991625bb b =⇒=+，3b ∴=.9.（贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考）若sin cos 0θθ>且cos tan 0θθ<，则角θ的终边落在 （ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【解析】C c o st a n s i n θθθ=< ，sin cos 0θθ>，cos 0θ∴<，故角θ为第三象限角.10.（福建省2012届高三下学期普通高中毕业班4月质量检查）若α是第四象限角，且3cos 5α=，则sin α等于 （ ）4.5A 4.5B - 3.5C 3.5D -【解析】B α 为第四象限角，sin 0α∴<，sin α∴==45=-.11.（福建省厦门市翔安一中2012届高三上学期11月月考）已知1tan 2α=，且3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则sin α的值为 （） .5A -.5B.5C.5D -【解析】A 3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0α∴<，222221tan 12sin 1tan 5112ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，sin 5α∴=-.12.（广西桂林十八中2012届高三第二次月考）已知tan 2x =-，,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos x= 5A.5B.5C -.5D -【解析】C ,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，cos 0x ∴<，()222111cos 1tan 512x x ===++-， cos 5α∴=-13.若tan 1α=，则2sin 3cos sin cos αααα++的值是 （ ）1.2A 3.2B 5.2C 7.2D【解析】C2s i n 3c o s2s i n 3c o s2t a n 32135c o s s i n c o ss i n c o st a n1112c o s αααααααααααα+++⨯+====++++.14.已知sin 3cos 52sin 5cos αααα-=-+，则t a n α= （ ）.2A - 25.12B 28.11C 22.9D -【解析】As i n 3c o ss i n 3c o st a n 3c o s 52s i n 5c o s 2s i n 5c o s 2t a n 5c o s αααααααααααα---===-+++，tan 3α∴-=10tan 25α--，11tan 22α∴=-，tan 2α∴=-.15.若tan 3θ=，32ππθ<<，则sin cos θθ的值为 （ ）3.10A ± 3.10B.C.D ±【解析】B 22222222sin cos sin cos tan 33cos sin cos cos sin cos sin 1tan 1310cos θθθθθθθθθθθθθθ=====++++. 16.设α是第二象限角，则sin cos αα= （ ）.1A 2.t a n B α 2.t a n C α- .1D -【解析】D α 是第二象限角，tan 0α∴<，sin cos 1tan tan tan tan cos sin tan ααααααααα∴==⋅=⋅=⋅1tan 1tan αα⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭.17.已知1cos sin 8αα=，42ππα<<，则cos sin αα-的值为 （ ）.2A 3.4B.2C -.2D ±【解析】C 42ππα<<，cos sin αα∴<，cos sin 0αα-<，()213cos sin 12cos sin 1284αααα-=-=-⨯=，cos sin 2αα∴-=-.18.（宁夏贺兰一中2011-2012学年高三第一学期第三次月考）设31)4sin(=+θπ，则=θ2s i n 7.9A -1.9B -1.9C 7.9D【解析】A)1sin cos sin 423πθθθ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，cos sin 3θθ∴+=，()222cos sin 12sin cos 1sin 239θθθθθ⎛+=+=+==⎪⎝⎭，7sin 29θ∴=-. 19.（广西桂林中学2012届高三11月月考）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πα，，且412c o s s i n 2=+αα，则αt a n 的值等于 （ ）.2A.3B.C.D【解析】D 222221s i n c o s 2s i n c o ss i nc o s 4αααααα+=+-==，02πα<<，cos 0α∴>，sin 0α>，1cos 2α∴=，sin 2α===，sin 1tan 2cos 222ααα∴==÷=⨯=20.（2008年四川省成都市一诊）若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点()4,3P -为其终边上一点，则cos α的值为 （ ）4.5A 3.5B -4.5C -3.5D ±【解析】C44cos 5α-==-.21.（山东省济宁市邹城二中2012届高三第二次月考）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且54sin =α，则=αtan .【解析】43- ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴<，3cos 5α===-，sin 43454tan cos 55533ααα⎛⎫⎛⎫∴==÷-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22.（福建省泉州市2012届高三3月质量检查）若角α的终边经过点()1,2P ，则sin 2α的值是 .【解析】45t a n2α=，2222222sin cos 2sin cos cos sin 22sin cos cos sin cos sin cos ααααααααααααα===++， 222tan 2241tan 125αα⨯===++.23.（山东省济宁市邹城二中2012届高三第二次月考）已知角θ的终边过点()4,3-，则cos 2θ= .【解析】7253t a n 4θ=-，222222cos sin cos 2cos sin cos sin θθθθθθθ-∴=-=+()()222222222231cos sin cos 1tan 741tan 25cossincos 314θθθθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++⎛⎫+- ⎪⎝⎭.24.（河北省存瑞中学2012届高三第一学期第三次月考）若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα+的值为 .【解析】1033s i n c o s αα+=，11sin cos tan 33ααα∴=-⇒=-， ()()222222222cos sin cos 1cos sin cos sin 2cos 2sin cos cos2sin cos cos αααααααααααααα++∴==+++22111tan 101101033112tan 9393123αα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭===÷=⨯=+⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭. 25.（山西省汾阳中学2012届高三上学期第三次月考）已知7sin cos 13θθ+=，()0,θπ∈，则tan θ=__________．【解析】125- ()0,θπ∈ ，sin 0θ∴>，由227sin cos 13sin cos 1θθθθ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得12sin 135cos 13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， sin 125121312tan cos 13131355θθθ⎛⎫⎛⎫∴==÷-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26.已知1sin cos 2θθ-=，则33sin cos θθ-= .【解析】 ()2211sin cos 12sin cos 24θθθθ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，3sin cos 8θθ∴=，()()3322sin cos sin cos sin sin cos cos θθθθθθθθ∴-=-++()()1311sin cos 1sin cos 12816θθθθ⎛⎫=-+=⨯+=⎪⎝⎭. 27.化简22sin sin cos sin cos tan 1x x x x xx +---.【解析】()()222222cos sin cos sin sin cos sin sin cos tan 1sin cos cos tan 1x x x xx xx x xx x xx x ++-=-----()()()()222222cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x x xx x x x ++=-=-----+2222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x xx xx x-=-==+---.28.求证：2222tan sin tan sin θθθθ-=.【解析】证明：左边()2222222222sin 1cos sin sin cos tan sin cos cos cos θθθθθθθθθθ-=-=-=22222sin sin tan sin cos θθθθθ⋅===右边.29.已知3sin 5α=-，求cos α和tan α的值.【解析】3sin 05α=-< ，α∴为第三或第四象限角，（1）若α为第三象限角，则cos 0α<且4cos 5α===-，sin 34353tan cos 55544ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-÷-=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）若α为第四象限角，则cos 0α>且4cos 5α===，sin 34353tan cos 55544ααα⎛⎫⎛⎫∴==-÷=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 30.已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈，求：（1）sin cos 11tan 1tan θθθθ+--的值；（2）求方程的两根及此时θ的值.【解析】（1）sin θ 、cos θ为关于x的方程)2210x x m -++=的两根，由韦达定理得1sin cos 2θθ++=，sin cos 2m θθ=，sin cos sin cos sin sin cos cos 1cos sin cos sin 1tan 111sin 1cos 1tan sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅⋅+=+=+-⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ-=+=-=-----，1sin cos 2θθ+=+=；（2）由（1）知1sin cos 2θθ+=，sin cos 2m θθ=，()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+ ，故有22111212222mm ⎛⎫⎛⎫=+⨯⇒=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故原方程为)22102x x -+=，解此方程得112x =。
三角函数公式及应用
1. 任意角的三角函数：（1） 弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。
（2） 扇形的面积公式：lR S 21=R 为圆弧的半径，l 为弧长。
（3） 同角三角函数关系式：①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a aa cos sin tan =③平方关系：1cos sin 22=+a a（4） 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）针对角a k ±⋅2π，所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性，象限指的是角a k ±⋅π所在象限。
（三角函数的符号遵循“一全，二正弦，三切，四余弦”）2.（1）两角和与差公式：βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=±注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．可得出，．．．．辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ±+=±b a b a（2）二倍角公式：a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a aaaa 2tan 1tan 22tan -=从二倍角的余弦公式里面可得出，降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 22cos 1sin 2aa -=3、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
同角三角函数的基本关系
x A(1,0)
根据三角函数的定义，当
k
2
(k Z )时， 有
即
y tan x sin tan cos
……商数关系
(3) (4) 擦亮眼睛，找出下列成立的等式________ (5) (6)
(1) sin cos 1
2 2
(2) sin 1 cos 1 1
回顾1：任意角的三角函数的定义
（1）y叫做 的正弦，记作
sin y
sin ，即
α的终边 P(x,y)
y
x叫做 的余弦，记作 （ 2）
cos x
cos ，即
1
M O
A(1,0) x
y （3） 叫做 的正切，记作 tan ，即 y x ( x 0) tan
x
回顾2：函数值在各象限内的符号
y
(+ ) ( ) （+ ） ( )
y
y
(+ ) ( )
-
-
(+ )
-
o
( )
-
x
( )
-Hale Waihona Puke o(+ )
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x
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cos x
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合作探究
sin 30 45 60
1 2
2 2
3 2
cos
3 2
2 2
sin （
想一想
且 为第三象限角 ， 已知 tan 2 ，
求 sin , cos 的值。
作 业
必做题 P21 选做题 P22
【新课标】必修四新教案三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式式
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式●知识梳理1.任意角的三角函数设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =22y x +＞0），则sin α=r y ，cos α=r x，tan α=xy .上述三个比值不随点P 在终边上的位置改变而改变. 2.同角三角函数关系式sin 2α+cos 2α=1（平方关系）； ααcos sin =tan α（商数关系）； tan αcot α=1（倒数关系）. 3.诱导公式α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.另外：sin （2π－α）=cos α，cos （2π－α）=sin α. ●点击双基 1.已知sin2α=53，cos 2α =－54，那么α的终边在A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限解析：sin α=2sin2αcos 2α=－2524＜0， cos α=cos 22α－sin 22α=257＞0，∴α终边在第四象限.答案：D2.设cos α=t ，则tan （π－α）等于 A.tt 21-B.－tt 21-C.±tt 21-D.±21tt -解析：tan （π－α）=－tan α=－ααcos sin . ∵cos α=t ，又∵sin α=±21t -，∴tan （π－α）=±tt 21-.答案：C3.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点且cos α=42x ，则x 的值为 A.3B.±3C.－3D.－2解析：∵cos α=r x =52+x x =42x ，∴x =0（舍去）或x =3（舍去）或x =－3. 答案：C 4.若ααsin sin 1-1+=ααcos sin 1+，则α的取值范围是_______.解析：∵ααsin sin 1-1+=|cos |sin 1αα+=ααcos sin 1+，∴cos α＞0.∴α∈（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ）. 答案：α∈（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ） 5.化简8sin 1-=_________.解析：8sin 1-=24cos 4sin ）（-=|sin4－cos4|=sin4－cos4.答案：sin4－cos4 ●典例剖析【例1】 （1）若θ是第二象限的角，则）（）（θθ2sin cos cos sin 的符号是什么?（2）π＜α+β＜3π4，－π＜α－β＜－3π，求2α－β的范围. 剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.（2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出来即可.解：（1）∵2k π+2π＜θ＜2k π+π（k ∈Z ）， ∴－1＜cos θ＜0，4k π+π＜2θ＜4k π+2π，－1＜sin2θ＜0. ∴sin （cos θ）＜0，cos （sin2θ）＞0. ∴）（）（θθ2sin cos cos sin ＜0.（2）设x =α+β，y =α－β，2α－β=mx +ny ，则2α－β=m α+m β+n α－n β=（m +n ）α+（m －n ）β. ∴⎩⎨⎧-=-=+.12n m n m ，∴m =21，n =23.∴2α－β=21x +23y . ∵π＜x ＜3π4，－π＜y ＜－3π， ∴2π＜21x ＜3π2，－2π3＜23y ＜－2π. ∴－π＜21x +23y ＜6π. 评述：（1）解此题的常见错误是： π＜α+β＜34π， ① －π＜α－β＜－3π， ② ①+②得0＜2α＜π，③ 由②得3π＜β－α＜π，④ ①+④得3π4＜2β＜3π7，∴3π2＜β＜6π7. ⑤ ∴－6π7＜－β＜－3π2.⑥③+⑥得－6π7＜2α－β＜3π. （2）本题可用线性规划求解，读者不妨一试. 【例2】 已知cos α=31，且－2π＜α＜0，求ααααtan cos π2sin πcot ⋅-+⋅--）（）（）（的值.剖析：从cos α=31中可推知sin α、cot α的值，再用诱导公式即可求之.解：∵cos α=31，且－2π＜α＜0，∴sin α=－322，cot α=－42.∴原式=ααααtan cos sin cot ⋅-⋅-）（）（=αααsin sin cot ⋅-=－cot α=42.评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一.【例3】 已知sin β=31，sin （α+β）=1，求sin （2α+β）的值.剖析：由已知sin （α+β）=1，则α+β=2k π+2π，再将2α+β改造成2（α+β）－β即可求之.解：∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+2π. ∴sin （2α+β）=sin ［2（α+β）－β］=sin β=31.评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系.●闯关训练 夯实基础1.角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是 A.21 B.－21 C.－23D.23 解析：P （－8m ，－3），cos α=96482+-m m=－54. ∴m =21或m =－21（舍去）. 答案：A2.设α、β是第二象限的角，且sin α＜sin β，则下列不等式能成立的是 A.cos α＜cos β B.tan α＜tan β C.cot α＞cot β D.sec α＜sec β 解析：A 与D 互斥，B 与C 等价，则只要判断A 与D 对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选A.答案：A3.已知tan110°=a ，则tan50°=_________.解析：tan50°=tan （110°－60°）=︒︒+︒-︒60tan 110tan 160tan 110tan =aa 313+-.答案：aa 313+-4.（2004年北京东城区二模题）已知sin α+cos α=51，那么角α是第_______象限的角. 解析：两边平方得1+2sin αcos α=251， ∴sin αcos α=－2512＜0. ∴α是第二或第四象限角. 答案：第二或第四5.若sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，化简2sin 12sin1αα+-+2sin12sin 1αα-+. 解：由所给条件知α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角. 原式=2sin 12sin12sin12ααα-++-=|2cos |2α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-.22sec 222sec 2是第三象限角）（是第一象限角），（αααα6.化简[][]）（）（）（）（θθθθ+⋅--+⋅++πcos πsin π1cos π1sin k k k k （k ∈Z ）. 解：当k =2n （n ∈Z ）时，原式=）（）（）（）（θθθθ+⋅--+⋅++π2cos π2sin ππ2cos ππ2sin n n n n=θθθθcos sin cos sin ⋅--⋅-）（=－1.当k =2n +1（n ∈Z ）时， 原式=[][]）（）（）（）（θθθθ++⋅-+-+⋅++ππ2cos ππ2sin π22cos π22sin n n n n =）（θθθθcos sin cos sin -⋅⋅=－1.综上结论，原式=－1. 培养能力7.（2005年北京东城区模拟题）已知tan （4π+α）=2，求： （1）tan α的值；（2）sin2α+sin 2α+cos2α的值.（1）解：tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，∴tan α=31.（2）解法一：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α =1+ααα2cos cos sin 2=ααααα222cos sin cos cos sin 2++ =1+1+αα2tan tan 2=23. 解法二：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α.①∵tan α=31，∴α为第一象限或第三象限角. 当α为第一象限角时，sin α=101，cos α=103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23； 当α为第三象限角时，sin α=－101，cos α=－103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23. 综上所述sin2α+sin 2α+cos2α=23. 8.已知sin θ=aa +-11，cos θ=a a +-113，若θ是第二象限角，求实数a 的值.解：依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-++-<+-<-<+-<.11131101131111022）（）（，，a a a a a a a a解得a =91或a =1（舍去）. 故实数a =91. 9.设α∈（0，2π），试证明：sin α＜α＜tan α. 证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x 轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P 点.∵S △OP A ＜S 扇形OP A ＜S △OAT ，∴21|MP |＜21α＜21|A T|. ∴sin α＜α＜tan α. 探究创新 10.是否存在α、β，α∈（－2π，2π），β∈（0，π）使等式sin （3π－α）=2cos （2π－β），3cos （－α）=－2cos （π+β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由.解：由条件得⎪⎩⎪⎨⎧.==②①，βαβαcos 2cos 3sin 2sin①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2，∴cos 2α=21. ∵α∈（－2π，2π）， ∴α=4π或α=－4π. 将α=4π代入②得cos β=23.又β∈（0，π），∴β=6π，代入①可知，符合.将α=－4π代入②得β=6π，代入①可知，不符合. 综上可知α=4π，β=6π. ●思悟小结1.要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念.2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值.3.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.4.注意“1”的灵活代换，如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α－tan 2α=csc 2α－cot 2α=tan α·cot α.5.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.●教师下载中心 教学点睛1.本课时概念多且杂，要求学生在预习的基础上，先准确叙述回忆，复习中注意“三基”的落实.2.利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时，要细心观察题目的特征，注意培养学生观察、分析问题的能力，并注意做题后的总结，引导学生总结一般规律.如：“切割化弦”“1的巧代”，sin α+cos α、sin αcos α、sin α－cos α这三个式子间的关系.拓展题例【例1】 求sin 21°+sin 22°+…+sin 290°. 分析：sin 21°+cos 21°=sin 21°+sin 289°=1. 故可倒序相加求和.解：设S =sin 20°+sin 21°+sin 22°+…+sin 290°，S =sin 290°+sin 289°+sin 288°+…+sin 20°，∴2S =（sin 20°+sin 290°）+…+（sin 290°+sin 20°）=1×91.∴S =45.5.【例2】 已知sin α+cos β=1，求y =sin 2α+cos β的取值范围. 分析：本题易错解为y =sin 2α+1－sin α，sin α∈［－1，1］，然后求y 的取值范围.解：y =sin 2α－sin α+1=（sin α－21）2+43. ∵sin α+cos β=1，∴cos β=1－sin α. ∴⎩⎨⎧1.≤≤1-1≤-≤-ααsin sin 11，∴sin α∈［0，1］. ∴y ∈［43，1］.。
考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式-备战2020年高考数学(理)考点一遍过
考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2απ±，πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=.一、角的有关概念 1．定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ； 终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ； 终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ； 终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ． 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0O P r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是s i n ,c o s ,t a n yxy rrxααα===．注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则ta n AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：4．特殊角的三角函数值α0︒ 30︒45︒60︒90︒120︒135︒150︒ 180︒270︒360︒π6π4π3π22π3 3π4 5π6 π3π22πsin α0 12 223213222121-cos α132 221212-22- 32-1-1tan α3313 不存在3-1- 33-不存在补充：6262sin15cos 75,sin 75cos15,44︒=︒=︒=︒= tan1523,tan 752 3.︒=︒=+四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．五、三角函数的诱导公式公式一 二三四五六角2k π+α（k ∈Z ）π+α −α π−α2π−α 2π+α正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α −cos α cos α −cos α sin α −sin α 正切tan αtan α−tan α−tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变， 符号看象限考向一 三角函数的定义1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.典例1 已知角θ的终边上有一点P （m ），且sin 4θ=m ，求cos θ与tan θ的值.【解析】由已知有4m =m =0，或m =当m =0时，cos 1,tan 0θθ=-=；当5m =615cos ,tan 43θθ=-=-； 当5m =615cos tan θθ==【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．1．已知角8π3=θ的终边经过点(,3)P x ，则x 的值为 A ．±2 B ．2 C ．﹣2D ．﹣4考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.典例2 已知sin325α=,4cos 25α=- ,试确定角α是第几象限的角. 【解析】因为sin325α=>0,4cos 25α=-<0，所以2α是第二象限的角，所以π2π2ππ,22k k k α+<<+∈Z .由32sin5α=<3π2π2ππ,42k k k α+<<+∈Z ,所以3π4π4π2π,2k k k α+<<+∈Z , 故角α是第四象限的角. 【名师点睛】角2α与α所在象限的对应关系： 若角α是第一象限角，则2α是第一象限角或第三象限角； 若角α是第二象限角，则2α是第一象限角或第三象限角； 若角α是第三象限角，则2α是第二象限角或第四象限角； 若角α是第四象限角，则2α是第二象限角或第四象限角．2．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角考向三 同角三角函数基本关系式的应用1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化． 2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.典例3 已知 ， . （1）当 时，求 的值； （2）当时，求 的值. 【解析】（1）由已知得 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴. （2）当时，.① 方法1：，∴，∴， ∵，∴.② 由①②可得，，∴ .方法2：， ∴ ，∴ ， ∴ 或，又，∴，∴ ，∴ .3．已知ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭θ，则2cos 12sin(π)cos --=θθθ A ．sin cos +θθ B ．sin cos -θθ C ．cos sin -θθD ．3cos sin -θθ考向四 诱导公式的应用1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.典例4 已知()2sin π3α-=-,且π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 2πα-= A 25B ．25C ．52D ．52-【答案】A【解析】∵()2sin π3α-=-，∴2sin 3α=-. ∵π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴5cos α=，则25tan α=.∵()tan 2πtan αα-=-，∴()25tan 2πα-=.故选A ． 典例5 （1）化简：()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πtan 4πsin 5πa ααααα------+；（2）化简：()()()()()()sin 540cos 360tan 540tan tan 900sin x x x x x x ︒-︒-⋅︒+⋅-⋅︒--.【解析】（1）()()()()()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πsin cos tan tan tan 4πsin 5πtan sin a ααααααααααα-------=-+--=cos tan sin ααα==.（2）原式()()2sin cos tan tan cos sin tan sin x xx x x x x x =⋅-⋅=-⋅=---.4．已知2019π1cos 22⎛⎫+= ⎪⎝⎭α，π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则cos =αA ．12B ．12-C ．3D 3考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：πA B C +=-,222π2A B C +=-，π2222A B C ++=等，于是可得in i (s s n )A B C =+，cos sin 22A B C +=等．典例6 在ABC △中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ，π3C =，，则 ______， ________.【答案】35， 【解析】由sin 3tan cos 4A A A ==,得22π34sin cos 1,sin cos 255A A A A A <+=∴==，又，， ()3143343sin sin sin cos cos sin 525B A C A C A C +∴=+=+=⨯+=, 由正弦定理sin 34352343sin sin sin 103b a a B b B A A +====+，得5．在△ABC 中，“sin cos A B <”是“△ABC 为钝角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．与2019终边相同的角是 A ．37 B ．37-C ．37-D ．141-2．设集合{|9036,}M k k ==⋅︒-︒∈ααZ ，{|180180}N =-︒<<︒αα，则M N =A ．{36,54}-︒︒B ．{126,144}-︒︒C ．{36,54,126,144}-︒︒-︒︒D ．{54,126}︒-︒3．已知扇形面积为3π8，半径是l ，则扇形的圆心角是 A ．3π16 B ．3π8 C ．3π4D ．3π24．函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域是 A ．{}1,0,1,3- B ．{}1,0,3- C ．{}1,3-D ．{}1,1-5．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>6．若()()sin 3sin παβαβ+=-+，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan tan αβ= A ．2 B ．12 C ．3D ．137．在平面直角坐标系中，若角α，则()sin πα+=A ．2-B ．12-C ．12D 8．已知()()sin π22sin 3cos 5+=-+-ααα ，则tan =αA ．23 B ．23-C ．6D ．6-9．若()0,π∈α，()2sin πcos -+=αα，则sin cos -αα的值为 A 2B ．2C ．43 D ．43-10．已知点()12，P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos +=-αααα______．11．在平面直角坐标系中, 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭, 是第三象限内一点, ,且3π4POQ ∠=,则 点的横坐标为_________. 12．已知π(0)2αα<<的终边与单位圆交于点P ,点P 关于直线y x =对称后的点为M ,点M 关于y 轴对称后的点为N ,设角β的终边为射线ON .（1）β与α的关系为_________;（2）若1sin 3α=,则tan β=________. 13． 在ABC △中，3sin()3sin()2A A π-=π-，且cos A ＝－3 cos （π－B ），则C 等于 ．14．已知角α的终边经过点(P m ，且1cos 3=-α． （1）求m 的值；（2）求22cos sin 2sin cos -+⋅αααα的值．15．已知△ABC 中，7sin cos 5A A -=. （1）试判断三角形的形状； （2）求tan A 的值.16．已知向量2,sin θ=（）a 与1,cos θ=（）b 互相平行，其中θ∈(0,)2π.（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin （θ－φ100<φ<2π，求cos φ的值．1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 5C．3D．52．（2017年高考北京卷理数）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 3．（2018年高考全国Ⅱ理数）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 4．（2018年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．1．【答案】C【解析】∵已知角8π3=θ的终边经过点(,P x ， 变式拓展∴8π2ππtantan tan 333==-==x，则2x =-. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．求解时，直接利用任意角的三角函数的定义求得x 的值． 2．【答案】D【解析】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1， 又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．求解时，根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 3．【答案】A 【解析】因为ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭θ，所以()2cos 12sin πcos --θθθ2cos 12sin cos =-θθθ()22cos sin cos =+-θθθ2cos sin cos sin cos =+-=+θθθθθ.故选A.【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可. 4．【答案】C 【解析】因为2019π1cos 22⎛⎫+=⎪⎝⎭α，由诱导公式可得，2019π3π1cos()cos()sin 222+=+==ααα，又因为π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，所以cos ==-α. 故选C.【名师点睛】本题考查了诱导公式，解题的关键是在于诱导公式的掌握，易错点为没有注意角的范围，属于较为基础题.求解时，先由诱导公式对原式进行化简，从而可得sin α，再利用角的平方关系可得结果. 5．【答案】A【解析】由πsin cos cos cos 2A B A B ⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，且B 必为锐角， 可得π2A B ->或π2A B ->，即角A 或角C 为钝角； 反之，当100A =︒，30B =︒时，3cos B =3sin sin120A >︒==cos B ，所以sin cos A B <不成立， 所以“sin cos A B <”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件， 故选A.【名师点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式等，属于综合题．求解时，先由诱导公式将正弦化为余弦，利用余弦的三角函数线比较大小即可得到角A 或角C 为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.1．【答案】D【解析】终边相同的角相差了360︒的整数倍，设与2019︒角的终边相同的角是α，则2019360k =︒+⋅︒α，k ∈Z ， 当6k =-时，141=-︒α． 故选D ．【名师点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．终边相同的角相差了360︒的整数倍，由2019360k =︒+⋅︒α，k ∈Z ，令6k =-，即可得解． 2．【答案】C【解析】∵{|9036,}M k k ==⋅︒-︒∈ααZ ，∴当0k =时36=-︒α，1k =时54=︒α，2k =时144=︒α，1k =-时126=-︒α， 又{|180180}N =-︒<<︒αα，考点冲关∴{}36,54,144,126MN =-︒︒︒-︒．故选C ．【名师点睛】本题考查了交集及其运算，考查了赋值思想，是基础题．求解时，分别取0,1,2,1k =-，得到M 内α的值，与N 取交集得答案． 3．【答案】C【解析】设扇形的圆心角是α，则23π1182α=⨯，解得3π4α=，故选C ． 4．【答案】C【解析】由题意可知：角x 的终边不能落在坐标轴上， 当角x 终边在第一象限时，cos sin tan 1113sin cos tan ；x x x y x x x=++=++= 当角x 终边在第二象限时，cos sin tan 1111sin cos tan ；x x xy x x x=++=--=- 当角x 终边在第三象限时，cos sin tan 1111sin cos tan ；x x xy x x x=++=--+=- 当角x 终边在第四象限时，cos sin tan 1111,sin cos tan x x xy x x x=++=-+-=- 因此函数的值域为{}1,3-，故选C.【名师点睛】本题考查了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算能力.因为角x 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角x 终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域. 5．【答案】C【解析】由tan 0α>得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 22sin cos ααα=知sin 20α>，C 正确；α取π3时，2211cos 22cos 12()1022αα=-=⨯-=-<，D 错． 6．【答案】A【解析】因为()()sin 3sin παβαβ+=-+，所以sin cos 2cos sin ,αβαβ=即tan 2tan αβ=，选A ． 7．【答案】B12=，即12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由三角函数的定义可得：11sin 2α==，则()sin πα+= 1sin 2α-=-.故选B.8．【答案】C【解析】根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式， 可得：()()sin πsin tan 22sin 3cos 2sin 3cos 2tan 35+--===-+-++αααααααα，解得tan 6=α，故选C.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 9．【答案】C【解析】由诱导公式得()2sin πcos sin cos -+=+=αααα 两边平方得()22sin cos 12sin cos 9+=+=αααα，则72sin cos 09=-<αα， 所以()216sin cos 12sin cos 9-=-=αααα， 又因为()0,π∈α，所以sin cos 0->αα， 所以4sin cos 3-=αα，故选C ． 10．【答案】5【解析】∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=， 将原式分子分母同除以cos α，则原式6tan 86282053tan 23224+⨯+====-⨯-αα.故答案为：5．【名师点睛】此题考查了任意角的三角函数定义,同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．求解时，根据P 坐标，利用任意角的三角函数定义求出tan α的值，原式分子分母除以cos α，利用同角三角函数间基本关系化简，把tan α的值代入计算即可求出值．11．【答案】10-【解析】设xOP α∠=,则34cos ,sin 55αα==, Q 点的横坐标为3πcos 410α⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 12．【答案】（1）π2βα=+;（2）22- 【解析】（1）由题意可得点P 为单位圆上的点，并且以射线OP 为终边的角的大小为α， 所以(cos ,sin ),P αα 又因为P M ，两点关于直线y x =对称，所以(sin ,cos )M αα．即ππcos sin 22Mαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（，）．则π2βα=+.（2）ππ1,cos cos sin ,223βαβαα⎛⎫=+∴=+=-=- ⎪⎝⎭ππ220,sin sin cos ,223αβαα⎛⎫<<∴=+== ⎪⎝⎭ 故sin tan 2 2.cos βββ==- 13．【答案】2π33sin()3sin()33sin ,tan 2A ΑA A A π-=π-=，∴∴ 又0A <<π，6A π=∴. 又cos 3),A B =π-即cos 3A B =，1cos ,0623B B π==<<π,∴..32B C ΑΒππ==π-(+)=∴∴ 故填2π. 14．【解析】（1）因为角α的终边经过点(22，P m ，且1cos 3=-α， 2138m =-+，求得1m =-.（2）由（1）可得，tan 22=-α 所以22cos sin 2sin cos -+⋅αααα=2222cos sin 2sin cos cos sin -++αααααα=221tan 2tan 1tan -++ααα=79--． 【名师点睛】本题考查了余弦函数的定义，同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为1的关系和商关系，考查了数学运算能力.15．【解析】（1）将原式平方得1−2sin A cos A =49,25即2sin A cos A =−24025<， 故cos A 0<，则三角形为钝角三角形.（2）由（1）cos A +sin A =112sin cos 5A A ±+=±， 解得4sin 53cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故tan A =34-或43-. 【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查化简求值能力，是中档题.求解时，（1）将原式平方得2sin A cos A <0,得cos A 0<即可判断三角形为钝角三角形；（2）结合（1）求得cos A +sin A =15±，求得sin A 及cos A 即可求解. 16．【解析】（1）∵a 与b 互相平行，∴sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos θ＝5， 又θ∈(0,)2π，∴cos θ5 ∴sin θ25（2）∵0<φ<2π，0<θ<2π，∴－2π<θ－φ<2π， 又sin （θ－φ∴cos （θ－φ10， ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos （θ－φ）＋sin θsin （θ－φ）=2. 1．【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 2．【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1s i n s i n 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z . 3．【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα直通高考所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算. 4．【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.。
任意角的三角函数值、同角三角函数的关系
第1章 三角函数§1.2.1-2任意角的三角函数值、同角三角函数的关系考纲总要求：①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±，απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图像，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π的性质（单调性、最大和最小值与x 轴交点等），理解正切函数在区间,22ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式22sin sin cos 1,tan cos xx x x x+==． ⑤了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图像，了解参数,,A ωϕ对函数图像变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．§1.2.1-2任意角的三角函数值、同角三角函数的关系重难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式；能利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来；掌握同角三角函数的基本关系式，三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用以及对三角式进行化简和证明．经典例题：已知α为第三象限角，问是否存在这样的实数m ，使得αsin 、αcos 是关于x 的方程286210x mx m +++=的两个根，若存在，求出实数m ，若不存在，请说明理由.当堂练习：1．已知)20(παα<<的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么α的值为（ ）A ．ππ434或 B ．ππ4745或C ．ππ454或 D ．ππ474或 2．若θ为第二象限角，那么)2cos(sin )2sin(cos θθ⋅的值为（ ） A ．正值 B ．负值 C ．零D ．为能确定3．已知αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为（ ）A ．－2B ．2C ．1623D ．－1623 4．函数1sec tan sin cos 1sin 1cos )(222---+-=x xx x x xx f 的值域是 （ ）A ．{－1，1，3}B ．{－1，1，－3}C ．{－1，3}D ．{－3，1}5．已知锐角α终边上一点的坐标为（),3cos 2,3sin 2-则α=（ ）A ．3-πB ．3C ．3－2π D ．2π－36．已知角α的终边在函数||x y -=的图象上，则αcos 的值为（ ）A ．22 B ．－22 C ．22或－22D ．21 7．若,cos 3sin 2θθ-=那么2θ的终边所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为 （ ）A ．1tan 1cos 1sin >>B ．1cos 1tan 1sin >>C ．1cos 1sin 1tan >>D ．1sin 1cos 1tan >>9．已知α是三角形的一个内角，且32cos sin =+αα，那么这个三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形10．若α是第一象限角，则ααααα2cos ,2tan ,2cos ,2sin ,2sin 中能确定为正值的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上11．化简1csc 2csc csc 1tan 1sec 22+++++ααααα（α是第三象限角）的值等于（ ）A ．0B ．－1C ．2D ．－212．已知43cos sin =+αα，那么αα33cos sin -的值为（ ） A ．2312825 B ．－2312825C ．2312825或－2312825D ．以上全错 13．已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos .14．函数x x y cos lg 362+-=的定义域是_________. 15．已知21tan -=x ，则1cos sin 3sin 2-+x x x =______.16．化简=⋅++αααα2266cos sin 3cos sin .17．已知.1cos sin ,1sin cos =-=+θθθθbya xb y a x 求证：22222=+b y a x .18．若xx x x x tan 2cos 1cos 1cos 1cos 1-=+---+,求角x 的取值范围.19．角α的终边上的点P 和点A （b a ,）关于x 轴对称（0≠ab ）角β的终边上的点Q 与A关于直线x y =对称. 求βαβαβαcsc sec cot tan sec sin ⋅+⋅+⋅的值.20．已知c b a ++=-+θθθθ2424sin sin 7cos 5cos 2是恒等式. 求a 、b 、c 的值.21．已知αsin 、βsin 是方程012682=++-k kx x 的两根，且α、β终边互相垂直. 求k 的值.§1.2.1-2任意角的三角函数值、同角三角函数的关系经典例题：假设存在这样的实数m ，.则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=⋅-=+≥+-=∆,0812cos sin ,43cos sin ,0)12(32362m m m m αααα 又18122)43(2=+⨯--m m ，解之m=2或m=.910- 而2和910-不满足上式. 故这样的m 不存在.当堂练习：1.C;2.B;3.D;4.D;5.C;6.C;7.C;8.C;9.B; 10.C; 11.A; 12.C; 13. 23-; 14. ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--6,232,223,6ππππ ; 15. 52; 16. 1; 17．由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,cos sin ,cos sin θθθθbx ax故 2)()(22=+bxax . 18．左|sin |cos 2|sin ||cos 1||sin ||cos 1|x x x x x x =--+==右，).(222,0sin ,sin cos 2|sin |cos 2Z k k x k x xx x x ∈+<<+<-=∴ππππ19．由已知P （),(),,a b Q b a -，a ba b b b a b a b=-=+=+-=βαβαcot ,tan ,sec ,sin 2222，a b a a b a 2222csc ,sec +=+=βα , 故原式=－1－022222=++ab a a b ． 20．42242422cos 5cos 724sin 2sin 55sin 72sin 9sin θθθθθθθ+-=-++--=-，故0,9,2=-==c b a ． 21．设,,22Z k k ∈++=ππαβ则αβcos sin =，由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=⋅=⋅=+=+≥+⨯--=∆,1cos sin ,812cos sin ,43cos sin ,0)12(84)6(22222121212ααααααx x k x x k x x k k 解知910-=k ，。
三角函数大全
三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22yx r +=，正弦：r y =αsin 余弦：rx =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：xr =αsec余割：yr =αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。
商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
三角函数的定义及同角基本关系式
sin
, sin2
,
cos
, cos
,
cos2
.
6．已知 2 , cos( 9 ) 3 ，求 tan 的值． 5
两角和、差公式
【考点及要求】
1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．
；
5
若
为第二象限角，则
[sin(180
) cos( tan(180 )
360
)]2
【典型例题讲练】
例：化简下列各式
（1） sin( ) cos( ) =
4
4
（2） sin2(π －x)＋sin2(π ＋x)＝
3
6
sin( 2 ) sin( ) cos( ) （3） cos( 2 ) cos( ) sin( ) ＝
3
3．角 为第一或第四象限角的充分必要条件是 (
)
A.
sin tan
0
B.
sin tan
0
C.
cos tan
0
D.
cos tan
0
4．若 sin 2 （ 是第四象限角），则 cos = 5
, tan =
【典型例题讲练】
例 1：已知角 的终边过点 P(a, 2a)(a 0) ，求 tan ,sin cos ；
（2）角
, 3
的三角函数值与角
三角函数值的关系分别是什么？
22
口诀为：
（3）互余正余换、互补名不换
-2-
【基本训练】
1． tan 600 =
同角三角函数的基本关系
16 4 25＝－5
探要点·究所然
sin α 4 4 解 由 tan α＝cos α＝3，得 sin α＝3cos α.
①
又sin2α＋cos2α＝1，
16 2 9 2 2 由①②得 9 cos α＋cos α＝1，即 cos α＝25.
P(x,y) α
(2)余弦:cosα= x ；
A(1,0) x
0
y ( x 0) (3)正切:tanα= x
2
由三角函数的定义得：
平方关系： sin cos 1
2
商数关系： sin tan cos
同角三角函数的基本关系式:
sin cos 1 , sin tan , cos
1＋sin α cos α ∴ ＝ cos α . 1－sin α
探要点·究所然
跟踪训练 3
2sin xcos x－1 tan x－1 求证： ＝ . 2 2 cos x－sin x tan x＋1
证明
方法一
∵左边＝
2sin xcos x－sin2x＋cos2x cos2x－sin2x
1＋cos θ ＝ sin θ ＝右边.
∴原等式成立.
当堂测·查疑缺
1， 已知 是三角形的 角，且 sin cos 内 例. 5 求 sin ， cos ， tan 的值 . 1 由 sin cos ① 平方得 1 2sin cos 1 解： 5 25 即 2sin cos 24 0 25 sin 0 ，cos 0. 是三角形的内角 ， ，sin cos 0 ， 2 2 由 (sin cos ) 1 2sin cos 1 24 49 ， 25 25 得 sin cos 7 ， ② 联立①②得： 5 sin 4 ，cos 3 ，tan sin 4 . 5 5 3 cos
三角函数之间的关系公式
三角函数之间的关系公式1. 同角三角函数的基本关系：倒数关系：tanα•cotα＝1 sinα•cscα＝1 cosα•secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝csc α/secα平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式：sin²α+cos²α=1 tan α*cot α=12. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin （a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）3. 锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边4. 二倍角公式正弦sin2A=2sinA•cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）5. 三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)6. n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1）7. 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA )=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2；cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))8. 和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)9. 两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ10. 积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/211. 双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tan αcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tan αcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sin αcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tan αcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tan αcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot （π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan （π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos （3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tan αsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z) A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = √{(A²+B²+2ABcos(θ-φ)} •sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容12. 诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限13. 万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]14. 其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²(3)1+(cotα)²=(cscα)²证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可.(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)15. 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)。
任意角的三角函数、同角三角函数间关系
任意角的三角函数、同角三角函数的关系一、任意角的三角函数：1、角的概念：角的形成，角的始边、顶点、终边．2、角的概念的推广： 正角； 负角； 零角.3、终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为{ββ|＝2k πα+，k ∈Z }．注意：角k πα+（k ∈Z ）表示两条终边，一条是 ，另一条是 ．4、象限角、区间角、区间角的集合 注意：1、各象限角的集合；α为象限角，2α是第几象限角的确定 2、区间角的确定---举例说明5．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ， 终边在坐标轴上的角的集合为 ． 注意：终边关于x 轴、y 轴、坐标原点对称的角之间的关系若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是：α+β= 2k π，k ∈Z ；若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是：α+β= (2k+1)π，k ∈Z若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是：α－β=π+2k π=β+(2k+1)π，k ∈Z ；6、弧度制、弧长公式：r l⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ）7、填表：8、三角函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），P 与原点的距离为r= （r ＞0），则 r y =αsin ； r x =αcos ； x y =αtan ；注意：锐角三角函数：sin αα=的对边斜边cos αα=的邻边斜边tan ααα=的对边的邻边9、已知角α终边上一点P 与原点的距离为r ，则点P 的坐标是 10、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 注意： 终边相同的角的同一三角函数值相等例如 390°和-330°都30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x yO xy O x y O11、三角函数线 （1）.单位圆和有向线段① 单位圆：圆心在坐标原点，半径等于单位长度的圆叫做单位圆. ② 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边与单位圆相交于点P(x,y),过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时） 或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T.规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值；当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则OM=x, MP=y ,（2）.三角函数线：根据正弦、余弦、正切的定义，就有sin ,cos ,11tan .y y x xy MP x OM r r y MP ATAT x OM OA ααα============ 这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT （是指有向线段的数量值：）分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线. 注意：三角函数线是指有向线段的数量值：“符号再加上长度”12、同角三角函数的基本关系式：（1）、平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1 （2）、商数关系：tan α＝ 【()2a k k Z ππ≠+∈】.说明：① 注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.② 2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能写成“2sin α或sin 2α”③. 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：22sin 1cos αα=-，cos α= ()212sin cos sin cos αααα±⋅=± sin cos tan ααα=， s i nc o s t a n ααα=⋅.练习：1、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 、写出终边在直线在y=x 上的角的集合2、若角α和角β的终边关于y 轴对称，则sin α 、sin β的大小关系是 答：sin sin αβ=；3、已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是 答：(2,3]-4、已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝ （答：125-）；5、若α是第二象限的角，试分别确定2α的终边所在位置. 6、函数cos sin tan |sin |cos tan x xx y x x x=++的值域是 7、 设α 是第二象限的角，且|cos |cos ,222ααα=-则的范围是8. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥23; (2)cos α≤21-.9、扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求中心角的弧度数和弦长AB ．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，中心角的弧度数为α则有⎪⎩⎪⎨⎧==+12142lr l r ∴⎩⎨⎧==21l r 由 |α|＝rl 得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )10、若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：扇形周长R R l R C 222+=+= ∴22+=C R ∴22)22(2121+⋅=⋅=C R S αα扇1624241244122222C C C ≤++⋅=++⋅=ααα 当且仅当22＝4，即α＝2时扇形面积最大为162c ．11、利用三角函数线证明：0,sin tan .2x x x x π<<<<若求证：12、若αα2cos 1sin -+ααcos sin 12-=0，判断cos （sin α）•sin （cos α）的符号。
(学生版) 23任意角三角函数同角三角函数基本关系
㈠角的概念及分类1、设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角}，C={θ|θ为第一象限角}，D={θ|θ为小于90°的正角}，则( )A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D 2、判断下列命题是否正确，并说明理由. (1)小于90°的角是锐角；(2)第一象限的角小于第二象限的角； (3)终边相同的角一定相等；(4)相等的角终边一定相同； (5)若α∈［90°， 180°］，则α是第二象限角. 3、.在-720°到720°之间与角-1 000°终边相同的角是____________. 4、已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是( ) A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限5、设α是第三象限角，试讨论3α所在平面区域，并在直角坐标平面上把它们表示出来.6、如右图，写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为__________. ㈡终边相同的角 1、已知角α=45°. (1)在区间［-720°,0°］内找出所有与角α有相同终边的角β； (2)集合M=｛x ｜x=2k ×180°+45°,k ∈Z ｝,N=｛x ｜x=4k×180°+45°,k ∈Z ｝, 那么两集合的关系是什么？2、已知α=1 690°，（1）把α改写成β+k·360°（k ∈Z,0°≤β＜360°）的形式； （2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限. 3、把下列各角写成k·360°+α(0°≤α＜360°)的形式，并指出它们所在象限或终边的位置. (1)-135°,(2)-540°,(3)1 110°,(4)765°.4、写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式-360°≤β≤360°的元素β写出来.5、集合M={x|x=k·90°±45°,k ∈Z}与P={x|x=k·45°，k ∈Z}之间的关系是（ ）A.M PB.P MC.M=PD.M∩P=∅ 6、集合A={α|α=6πk ,k ∈Z}与B={β|β=3πn +6π,n ∈Z}的关系是( ) A.A B B.A B C.A=B D.A ⊆B7、(1)若α与β终边关于x 轴对称,则 ； (2)若α与β终边关于y 轴对称,则 ； (3)若α与β终边关于y=-x 对称,则 ;(4）若α的终边与β的终边关于y=x 对称，则 ； (5)若α与β终边在同一直线上，则 ;(6)若α的终边与β的终边互相垂直，则 ；8、已知角α的终边在如图阴影所示的范围内(不包括边界)，求角α的范围.9、用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.㈢弧度制1、集合A={α|α=kπ+2π,k ∈Z},B={α|α=2kπ±2π,k ∈Z}的关系是( ) A.A=B B.A ⊆B C.A ⊇B D.以上都不对2、一个扇形的面积为1,周长为4,则中心角的弧度数为______________.3、一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少 一扇形周长为20 cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？4、若A={α|2kπ+6π＜α＜2kπ+65π,k ∈Z},B={β|2kπ2π-＜β＜2kπ4π+,k ∈Z},则A ∪B=________，A∩B=________.5、用弧度制表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界).6、用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（如下图），不包括边界.7、用弧度制表示下列终边落在阴影内部分的角的集合(图1-1-3)：图1-1-38、已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k ∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B 为（ ） A.∅ B.{α|-4≤α≤π}C.{α|0≤α≤π}D.{α|-4≤α≤-π}∪{α|0≤α≤π} ㈣任意角的三角函数1、已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.2、若角α的终边与直线y=3x 重合且sinα<0，又P(m ，n)是α终边上一点，且|OP|=10，则m-n 等于( )A.2B.-2C.4D.-43、若角α的终边过点P(3cosθ，-4cosθ)(θ为第二象限角)，则sinα=________.4、确定下列三角函数值的符号. (1)cos250°;(2)sin(-4π);(3)tan(-672°);(4)tan 311π.5、确定下列三角函数值的符号. (1)cos521π;(2)sin(-760°);(3)tan 37π.6、解答下列问题:(1)若θ在第四象限,试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号; (2)若tan(cosθ)·cot(sinθ)＞0,试指出θ所在象限.7、在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合. (1)sinα≥23;(2)cosα≤-21.8、比较下列各组数的大小： (1)sin 1和sin3π； (2)cos 74π和cos 75π；(3)tan 89π和tan 79π；(4)sin 5π和tan 5π.9、根据下列三角函数值，求作角a 的终边，然后求角的取值集合. (1)sin α=21; (2)cos α=21； (3)tan α=－1 (4)sin α＞21. 10、如果4π＜θ＜2π，那么下列各式正确的是( ) A.cosθ＜tanθ＜sinθ B.sinθ＜cosθ＜tanθC.tanθ＜sinθ＜cosθD.cosθ＜sinθ＜tanθ11、若-43π＜α＜-2π,从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是_____________. 12、已知θ为第三象限角，且|cos 2θ|=-cos 2θ,则角2θ属于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限13、已知sinα＞sinβ,那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ ㈤同角三角函数的基本关系 1、已知cosα=178-,求sinα、tanα的值. 2、已知sinα+3cosα=0，求sinα、cosα的值.3、已知cosα=m(|m|≤1),求sinα、tanα的值.4、已知sinαcosα=83,且4π＜α＜2π,则cosα-sinα的值是________________. 5、已知3sinα-2cosα=0,求下列各式的值.(1);sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-(2)sin 2α-2sinαcosα+4cos 2α.6、已知tanα=2,则(1)ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--=____________________；(2)ααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--=_______________________. 7、已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),求值（1）tanθ;（2）s inθ-cosθ;（3）sin 3θ+cos 3θ.8、已知sinα-cosα=21，求sin 3α-cos 3α的值.9、化简：(1)︒︒-40cos 40sin 21；(2)sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β.10、如果sinθ+cosθ=-15(0＜θ＜π),则tanθ的值为（ ）A.-34B.34C.±34D.-34 11、若π43＜α＜π,化简ααααcos sin 21cos sin 21-++=________________.。
高中数学三角函数知识点总结
高考三角函数1.特殊角的三角函数值：2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π=3.弧长及扇形面积公式弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .21α----是圆心角且为弧度制。
r-----是扇形半径4.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +(1)正弦sin α=ry 余弦cos α=rx 正切tan α=xy(2)各象限的符号：sin α cos α tan α5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
（2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2ππα）6.诱导公式：xyOxO—+O—()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质8、三角函数公式：两角和与差的三角函数关系sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβcos(α±β)=cosα·cosβ sinα·倍角公式s in2α=2sinα·cosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1降幂公式： 升幂公式 ： 1+cos α=2cos 22αcos 2α22cos 1α+=1-cos α=2sin 22αsin 2α22cos 1α-=9．正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.三角形面积定理.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
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任意角的三角函数
1. 终边相同角问题：下列各组角中终边相同的是（ ）
A ．π)12+k （与)(,)14(z k k ∈±π B.)(,2
2
z k k k ∈+π
ππ与
C.)(,6
26
z k k k ∈±+ππππ与 D.
)(3
3z k k k ∈±π
ππ与
2. 弧度制与扇形问题：一个扇形AOB 的面积是1，它的周长为4，求中心角的弧度和弦长AB
3. 象限角：已知角α是第二象限角，则角2
α是
4. 三角函数定义：已知角
α
的终边在直线
=-=αcos 2
1
上，则x y ____________
5. 函数线：（1）已知sin )0(0cos <>-αα,画出角α的范围（2）
3tan ≤α，用不等式写出角α的所在范围
6. 正求值：求值cos(π3
11-)=_______________
7. 反求角：写出满足3tan -=α的角的集合________________
8. 知一求五：设 80tan ,100cos 则k =是 9. 加减乘：（1）已知2
5
cos sin -=-αα，则ααcot tan +的值为
（2）已知α是三角形的内角，sin α+cos α=51
，求
sin α－cos
α
（3）已知sin ，8
1cos =αα且的值等于，则〈〈ααπ
απsin cos 2
4
- _
（4）若=+=+αααα33cos sin ,3
1cos sin 则
10. 诱导公式：已知)3
2
sin(,53)6cos(απαπ-=-求的值_____________
11. 综合：
1) 已知集合A ＝{x|x ＝cos n π3，n ∈Z}，B ＝{x|x ＝sin (2n －3)π6，
n ∈Z}，则( )
A ．
B ⊂
≠ A B ．A ⊂
≠ B
C ．A ＝B
D ．A ∩B ＝φ
2) 若α满足sin α－2cos α
sin α＋3cos α
＝2，则sin α·cos α的值等于( )
A ．865
B ．－865
C ．±8
65 D ．以上都不对
3) 已知点P(sin α－cos α,tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是 （）
A.(2
π,43π)∪(π,4
5π) B.(4
π, 2
π)∪(π,45π)
C. (2π,4
3π
)∪(45π,23π) D. (4π,2
π)∪(43π,π
)
4) 在⊿ABC 中，下列等式成立的是 （ ）
A ．sin(A + B) = sinC
B ．cos(B + C)=cosA
C ．tan 2
B A +=
tan 2
C D ．cot 2
C B +=cot 2
A
5) 若f(cos θ)= 2cos2θ－6cos θ，则f(sin θ)的解析式是 ( ) A ．－2cos2θ－6sin θ B ．2cos2θ－6sin θ C ．2sin2θ－6sin θ D ．－2sin θ－6sin θ
6) 设θ是三角形的内角，若函数6sin 4cos )(2+-=θθx x x f 对一切实数
x 都有0)(>x f ，则θ的取值范围是（ ） （A ）)2
,3(ππ （B ）)2
,6(ππ （C ）)6
,0(π
7) 如图，终边落在阴影部分(不包括边界)，
且
在
[0
，
2
π
]内的角的集合
是 .
8) 已知cot θ = 3 ，则cos 2θ+sin θcos θ= .
9) 已知sin α<0，且tan α>0，试确定cos(sin α)·tan(cos α)的符号是 _ 10)
已知
sin cos x m m x m m =
+-=--131
3，，且
x 的终边不在坐标轴上，则
实数m=_ _ __，
x 是第______象限角。
11)
已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的
两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，
求：(1) sin θ1－cot θ＋cos θ
1－tan θ的值；(2)m 的值； (3)方程的两
根及此时θ的值． 12)
已知tan α、cot α是关于x 的方程x 2-kx+k 2-3=0的两个实
根，且
372
3παπ
παπα<<
+++。
求的值。
cos()sin() 解：
tan cot αα、是方程的两个根则x kx k 22
30-+-=tan cot tan cot αααα+=⋅=-⎧⎨⎩k
k 23
又， tan cot αα⋅=1 ∴-==k
k 2
2
314
， 372
παπ
<<
∴>>t a n cot α
α00，， ∴=+>k tan cot αα0， ∴=k 2
当时，（这一步不能丢）k k k ==--24322∆()
=-+≥31202k
∴+tan cot αα=
+
sin cos cos sin ααα
α
（切化弦）
=+==sin cos sin cos sin cos 2212
αααααα
∴⋅=
sin cos αα12
∴+=+=+=(sin cos )sin cos αααa 212112
又 372
παπ
<<
∴<<sin cos αα00， ∴+=-
sin cos αα2
∴+++=--=--
=cos()sin()cos sin ()322παπααα
答案：
1. A
2. 中心角的弧度为2；AB =2 sin1
3. 第一、三象限角 4．5
5
2± 5.略 6.
2
1
7. {α|α＝k л-3π，
k ∈Z} 8. k
k 2
1--
9.（1）-8 （2）57
（3）2
3-
（4）27
13
10. 5
3
11. 1）C 2）B 3）B 4）A 5）A 6） D
7）[0,6
π]∪(3
4π,π2) 8）5
6 9）负 10）
-7 一
11）解：依题得：sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m 2
．
∴(1)原式＝sin 2θ sin θ－cos θ＋cos 2θ
－sin θ＋cos θ＝sin θ＋cos θ
＝3＋12
；
(2)m ＝2 sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2
－1＝3
2
．
(3)∵sin θ＋cos θ＝3＋12．∴| sin θ－cos θ|＝3－1
2
．∴
方程两根分别为32，1
2
．
∴θ＝π6或π
3
．
12）解：
tan cot αα、是方程的两个根则x kx k 22
30-+-=tan cot tan cot αααα+=⋅=-⎧⎨⎩k
k 23
又， tan cot αα⋅=1 ∴-==k
k 2
2
314
， 372
παπ
<<。