计算物理CP-4

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m =1：三点平滑 m =2：五点平滑 m =3：七点平滑
7-4
例1
对表中所列数据的单纯线性平滑
三点平滑（m=1） 三点平滑（m=1）
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 100 152 198 249 318 349 403 452 497 550 y ’i 150 200 255 305 357 401 451 500 1 、 平滑后的数据离散 程度变小； 程度变小； 2 、 数据两端各有一个 点未得到修正； 点未得到修正； 3 、 数据平滑后可能会 导致信号的失真。 导致信号的失真。 7-5
续（七点线性平滑） 七点线性平滑）
七点线性平滑公式： 七点线性平滑公式：
1 3 yi′ = ∑ yi + t ( i = 4, 5,L , n − 3) 7 t =−3 1 ′= y1 (13 y1 + 10 y2 + 7 y3 + 4 y4 + y5 − 2 y6 − 5 y7 ) 28 1 ′ = (5 y1 + 4 y2 + 3 y3 + 2 y4 + y5 + 0 y6 − y7 ) y2 14 1 ′= (7 y1 + 6 y2 + 5 y3 + 4 y4 + 3 y5 + 2 y6 + y7 ) y3 28 1 ′ ( yn−6 + 2 yn−5 + 3 yn−4 + 4 yn− 3 + 5 yn− 2 + 6 yn−1 + 7 yn ) yn− 2 = 28 1 ′ yn−1 = ( − yn−6 + 0 yn−5 + yn−4 + 2 yn− 3 + 3 yn− 2 + 4 yn−1 + 5 yn ) 14 1 ′ yn = ( −5 yn−6 − 2 yn−5 + yn−4 + 4 yn− 3 + 7 yn− 2 + 10 yn−1 + 13 yn ) 28
0，得到： 代入直线方程并令t = 0，得到：
1 yi′ = ( yi −1 + yi + yi +1 ) ( i = 2, 3, L , n − 1) 3
7-10
续2（线性平滑原理） 线性平滑原理） 平滑原理
2）在i =1处： =1处 t y1+t 0 1 … n-1 y1 y2 … yn
∑ ( a + bt − y
7-8
观测数据： 观测数据： x x1 x2 yi y1 y2
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三点线性平滑原理
xi yi
¨¨¨ ¨¨¨
xn yn
自变量x 自变量 以步长 ∆x等间距变化 等间距变化
x − xi 引入新的整数型自变量： 引入新的整数型自变量：t = ∆x
t yi+t 1-i 2-i y1 y2
¨¨ ¨¨
时域滤波：直接对时间数字序列的滤波。（平滑是其中一种简单方法） 时域滤波：直接对时间数字序列的滤波。 平滑是其中一种简单方法） 频域滤波： 频域滤波：时域信号
FT
频域信号
滤波后 IFT
时域信号
目的：对观测数据修匀，尽可能消除噪声的影响，使修匀后 目的：对观测数据修匀，尽可能消除噪声的影响， 的数据落在一条光滑曲线上 7-2
t =0 2
2
1+ t
)=0 )t = 0
∑ ( a + bt − y
t =0
1+ t
取出y 临近2个数据： 取出 1及临近2个数据：
t: y1+ t : ′ y1+ t :
令：
0 y1 ′ y1
1 y2 ′ y2
2 y3 ′ y3
解出
原始数据 修正数据
1 a = (5 y1 + 2 y2 − y3 ) 6 1 b = ( − y1 + y3 ) 2
7-14
例子
7-15
7.3 非线性加权移动平滑 线性加权平滑的特点是， 线性加权平滑的特点是 ， 用数据 yk 及邻近的若干个数据做 ′ 落在直线之上。 一条直线， 一条直线，而修正后的数据 yk 落在直线之上。 非线性加权平滑的特点是， 非线性加权平滑的特点是 ， 用数据 yk 及邻近的若干个数据 次曲线，用这条曲线得到数据修正值： ′ 做一条m次曲线，用这条曲线得到数据修正值：yk 曲线可由最小二乘法确定， 即令 ： 曲线可由最小二乘法确定 ， 即令：
原始数据 用直线
续1（线性平滑原理） 线性平滑原理） 平滑原理
yi′+ t = a + bt 修正的数据
利用最小二乘法可以确定一条最优直线，即令 利用最小二乘法可以确定一条最优直线，
δ ( a, b ) = ∑ [ y( t ) − yi + t ]2 = ∑ ( a + bt − yi + t ) 2 = 最小值
t
( a0 + a1t + a2 t 2 − yi + t ) = 0 ∑
t
( a0 + a1t + a2 t 2 − yi + t )t = 0 ∑
t
常用公式有五点二次平滑和七点二次平滑 7-17
Байду номын сангаас
五点二次平滑公式
1 yi′ = [−3( yi − 2 + yi + 2 ) + 12( yi −1 + yi +1 ) + 17 yi ) 35 ( i = 3, 4, L , n − 2) 1 ′ y1 = (31 y1 + 9 y2 − 3 y3 − 5 y4 + 3 y5 ) 35 1 ′ y2 = (9 y1 + 13 y2 + 12 y3 + 6 y4 − 5 y5 ) 35 1 ′ yn−1 = ( −5 yn−4 + 6 yn− 3 + 12 yn− 2 + 13 yn−1 + 9 yn ) 35 1 ′ yn = (3 yn−4 − 5 yn− 3 − 3 yn− 2 + 9 yn−1 + 31 yn ) 35
0，得到： 代入直线方程并令t = 0，得到：
′ y1+ t = a + bt
1 ′ y1 = (5 y1 + 2 y2 − y3 ) 6
7-11
δ ( a, b ) = ∑ ( a + bt − y1+ t ) 2 = 最小值
t =0
2
续3（线性平滑原理） 线性平滑原理） 平滑原理
2）在i =n 处： t 1-n 2-n … -2 -1 0 y2 … yn-2 yn-1 yn
δ ( a0 L am ) = ∑ ( a0 + a1t + L + am t m − yi + t ) 2 = 最小值
( a0 + a1t + L + am t m − yi + t ) = 0 ∑
t
t
( a0 + a1t + L + am t m − yi + t )t = 0 ∑
t
由此可确定曲线方程的各个系数
yi + t
−1 yi −1
0 yi
1 yi +1
设三个点的修正值落在一条直线上： 设三个点的修正值落在一条直线上： yi′+ t 则对应每个t 有两个对应值： 则对应每个t，有两个对应值：
= a + bt
7-9
t: yi + t : yi′+ t :
−1 yi −1 yi′−1
0 yi yi′
1 yi +1 yi′+1
例2
越大， m越大， 平滑性越 好，但信 号失真度 也越大。 也越大。
7-6
7.3 线性加权移动平滑 单纯移动平滑的缺点是， 单纯移动平滑的缺点是，在消除噪声的同时也抑制了信号的 真实信息，造成信号的失真。为此引入加权平滑。 真实信息，造成信号的失真。为此引入加权平滑。 加权移动平滑的基本思想是： 包括现性和非线性加权） 加权移动平滑的基本思想是：（包括现性和非线性加权） 平均区间
第七章 实验数据的平滑滤波
学习目标
明确数据平滑的功能与目的 掌握加权线性移动平滑方法的原理和算法 了解常用非线性平滑方法的算法
7-1
7.1 数据平滑的基本概念
对象：通过实验或其它方式采集的数据， 对象：通过实验或其它方式采集的数据，数据中包含因外界 干扰或其它因素而导致的数据误差（噪声） 干扰或其它因素而导致的数据误差（噪声） 滤波： 滤波：从实验数据中消除噪声影响的方法称为滤波 模拟滤波： 模拟滤波：用模拟滤波器对模拟信号的滤波 数字滤波：对数字信号的滤波 数字滤波：
举例
a） ） 原始实验曲 线
b） ） 平滑后的 曲线 7-3
7.2 单纯移动平滑
设有一个等间距采集的数据序列： 设有一个等间距采集的数据序列： 一个等间距采集的数据序列
x1 , y1 ,
x2 , L , y2 , L ,
xn yn
xk = x1 + ( k − 1) h ( k = 1, 2,L , n)
∂δ =0 ⇒ ∂a ∂δ =0 ⇒ ∂b
t =−1 t =−1
t =−1 1
1
1
∑ ( a + bt − yi +t ) = 0 ∑ ( a + bt − y
i+t
1
解出
)t = 0
t =−1
1 a = ( yi −1 + yi + yi +1 ) 3 1 b = ( − yi −1 + yi +1 ) 2