几何直观与教学启示2014-9)

几何直观思想的力量 （1）帮助刻画问题，描述问题，当能用图形来 描述这个问题时，对这个问题就有了较深的认识。 （2）帮助找到解决问题的思路。 （3）帮助记忆和掌握一些结论。如研究图形 的位置关系和度量关系，其中度量关系主要有距 离、角度等。我们用距离举例：两点有距离，一 点和一直线有距离，一个平面和一点有距离，两 条平行线有距离，一个平面和一条平行直线有距 离，两个平行平面有距离，两条一面直线也有距 离。那么我们怎么来解决这些距离问题呢？ （4）实现各类问题之间的转化。 （5）拓展知识面，养成合理的思维习惯。
几何思维方式
两种基本思维方式 演绎的思维方式 归纳的思维方式
几种基本演绎证明思路
分析 反证
几种个归纳证明思路
数学归纳 归纳 类比
活动一：请你对这个图形说一句话
谢谢大家的 合作与参与！
习题
86后面的 连续五 个数
解答方法
小计
正确解释
说不清
其他错误
87、88、89、90、91√
64% 50.8% 16.9% 数字写错或书写 不规范引起的错误。
85、84、83、82、81×
36%
分析思考，原因，对策
如何培养学生的“几何直观”。
使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题，让 “用图思考问题成为学生的一种习惯”。 可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画 图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。 在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画， 其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”， 尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直 观，直观了就容易展开形象思维，无论计算还 是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维 的基础上产生的。
几何直观思想及其对小学数学教学 的启示
西北师范大学教育学院 张定强
2014年10月21日
分享哲人的思想
如果谁不知道正方形的对角线同边是 不可通约的量，那他就不值得人的称 号。——柏拉图 感觉到数学的美，感觉到数与形的协 调，感觉到几何的优雅，这是所有真正 的数学家都清楚的真实的美的感 觉。 — —庞加莱
二、几何直观思想对小学数学教学的启示 1、教学理念上的启示 （理念的思考）对数学、数学教学中碰到 的问题作直观化处理，充分认识几何直观思想的 教学价值。 2、教学设计上的启示 （设计的名言：把教育学一般理论比喻为建筑 学理论，那么数学教学则是一项建筑工程。一堂 优秀的数学课，正如一座美轮美奂的大厦，即要 符合科学原理，又能赏心悦目。众所周知，工程 需要设计，同样，数学教学也需要设计）。 “数 学是一种别具匠心的艺术”。 把直观思想渗透到教学设计的每一个环节中。 确立目标、分析任务、了解学生、设计活动、 评价结果等五个环节。
摘要 第一部分 第二部分 参与式研讨 总结与提炼：几何直观思想、数学
教学启示
一、几何直观思想的基本含义 二、对小学数学教学的几点启示
第一部分
参与式研讨
活动：探讨几何直观思想的含义及价值 目标：阅读材料，结合小学数学教育现
实分享对几何直观思想的认识；形成对几
何直观思想的共识；总结出几何直观思想 对教学启示。 时间：90分钟
学生的方法有道理吗
学生的方法有道理吗
学生方法2：可以在圆上画方块，如果不足一个方块可以用其他 地方的方块来补，但我们不知道怎样补最合适？
学生的方法有道理吗
价值分析：学生学习经验的积累与后续学习的积淀
4、教学评价上的启示
直观有利于检测思维水平，有利于深化 认识，有利于共同进步。 如：若干个相同的立方体摆在一起， 前、后、左、右的视图都是
过程：
１、阅读所发材料，作为引子（从错误处入手）， 各自独立的在纸上写出对几何直观思想的理解，并
梳理出这种思想对小学数学教学作用与价值。
２、组长负责，在小组内交流各自的看法，相互
探讨，形成小组内的看法（几何直观思想的含义、
对教学的启示），记录员整理，发言人准备发言。 ３、展示汇报小组讨论结果。
第二部分
助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着
重要作用。” “图形表示”和“图形分析” 画图、变换、数形结合
几何直观中，“几何”是指图形；“直观”不仅是指直接 看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现
在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象。
几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它 在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。
认识面积
3、教学实施上的启示 日常的教学工作中高度重视直观化思想
的渗透，降低难度，突破思维的限制，取得
十分显著的效果。
学生的方法有道理吗
学生方法1：把圆的四边去掉变成正方形，但我们不知道这4个
部分怎样求？ 价值分析：
学生没有选择长方形、平
行四边形和梯形，而是选择了 正方形，已经意识到圆应该和 一个边长相等的图形最接近。
2015/11/7
20
5、教学研究上的启示 如研究作业问题： 人教版第二册，我们在教学“100以内 数的认识”时遇到这样的作业反馈。在人 教版配套作业本及课时特训中出现了这样 的习题。 作业本P24 86后面的连续五个数是： 62前面的连续五个数是： 2 课时特训 P27 100以内数的认识 我的前面是80，我是（ ） 我的后面是69，我是（ ）
问这堆立方体最少有多少？
题目
如果将下图中的绳子拉直，它的长度大约为（
A． 4 B．5 C． 6 D． 7
Biblioteka Baidu
）厘米．
厘米 1
厘米 1
2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
省市3
0.6418
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分率
省市1
0.6349
省市2
0.6481
省市4
0.6791
上海
0.6216
省市5
0.5764
气象组12人, 摄影组是气象组 的1／3，航模是摄影3／4
关于学生自己的图一些分析
•学生的某些图与线段图“结构”是一样的 •学生的图更加直观 •线段图更加简洁 •不同的学生可能会选择不同的图
借助模型辨析错例
利用“矩形模型”将乘法运算可视化
错误 14×12=108
案例2：认识三角形的高（苏教版四下） 设计1： 1.出示一幅三角形“人字梁”的图，向学生介绍它的名称、作用 。 2．提问：你能量出图中“人字梁”的高度吗？学生在作业纸上 测量。汇报测量结果。 3.借助多媒体课件抽取“人字梁”的形状，并在刚才测量高度的 部位画上一条线断。向学生指出：这条线段就是三角形的高。 4．组织学生讨论：怎样的一条线段叫做三角形的高？让学生用 自己的话进行描述。 5．揭示三角形高的定义，并引出相对应的底。 6．完成“试一试”：测量一些三角形的底和高的长度。
设计２： １．出示两个“人字形”屋架图（一个是书上的三角形屋架， 另外补充一个稍微矮一些的）。老师简要介绍名称后，让学生 观察，比一比哪个屋架高一些。 ２．思考：你是怎么比出来的？你能从图上量出这两个屋架的 具体高度吗？让学生汇报测量的结果。 ３．利用课件把上述两个屋架的实物图分别抽象成两个三角形 ，并在刚才测量的部位分别画上一条线段。让学生说一说这条 线段有什么特点，并进一步向学生说明向这样的线段叫作三角 形的高。 ４．改变“屋架”的形状和摆放位置，引出各种不同的三角形 的高。让学生通过观察比较说一说这些“高”具有的共同特点 。 ５．揭示三角形高的定义，并引出相对应的底。 ６．让学生独立完成“试一试”：测量各种不同的三角形中指 定的高和底的长度。说说底和高之间有什么关系。
依据语言的描述画出图形等。
◆几何直观——此次新增的核心概念
希尔伯特（Hilbert）在《直观几何》一书中指出，图形 可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求 解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。 《标准》指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问 题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象， 有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮
总结与提炼：几何直观思想、数学教学启示
一、几何直观思想的基本含义 1、几何学的本质是什么？为什么要学习几何学？ 几何学是研究变换群体图形的不变性质和不变量的一门科 学。
“图形与几何”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何
体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换.教材突出用 观察、操作、想像、思考等多种方式探索图形的性质、图形 的运动、图形的位置、图形的度量等，使学生体验更多的刻 画现实世界和认识图形的角度和工具。
（直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是一眼能看
出不同事物之间的关联。直观是一种感知，一种有洞察力的 定势。 第一，几何直观是一种能力，与“跳得高”“跑得快” 的运动能力一样，是人在数学学习中的一项本领；第二，这 种能力是与空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进 行交流的能力并列存在；可以通过引导学生看一看，剪一剪， 折一折，摆一摆，测一测等来实现）。
理解大千世界、训练推理能力与思维能力、建立普遍联系。
2、空间观念与几何直观
◆空间观念是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置 关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立 空间观念的重要途径。 空间观念也是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和 空间想象力，几乎很难谈发明与创造。 《标准》从四个方面提出了要求： 根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描 述的实际物体； 想象出物体的方位和相互之间的位置关系； 描述图形的运动和变化；