基于多项式变换的2DDCT快速算法

7 （ ( ) , "） （ *（ ( 1 , "） " & #） （"!,） &$’ " )( （ " $ !， …， …， "， % & "； # $ !， "， ( & "） 定义
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（( ) , "） # （ )） &$’" + #1 )， )(
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（ 1 $ !， …， …， "， % & "； # $ !， "， ( & "） 则 （"!） 式可表示为
% Fra Baidu bibliotek"
) # !* #$% * 0 则 2" $ 2) 0 证明 根据定义显然有 2 ) % 2 " ， 而两个集合中的 元素数也相等， 因此我们只要证明 2 ) 中的元素各不
1 14 相同即可 0 设 （ （ ) ）和 )4 ）分别为 2 ) 中的 #) ， #)4 ，
第,期
殷瑞祥： 基于多项式变换的 #-.-/0 快速算法
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从 （!!） 式的定义可以看出 !（ " # ）$ " !（ " # # % & ）$ % ! （ " &）
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每级运算的中间结果同样具有对称性质， 3) 4 - , 级， 下面我们利用对称性来研究实现多项式变换 （!+） （!$） 式的快速算法 ) 对下标进行一维到多维变换 " $（ " 7 % ! " 7 % # … " " ）$ 7%! 7%# ( "7 % #・ ( … ( "" "7 % !・ （#"） + $（ +7 % ! +7 % # … + " ）$ 7%! 7%# +7 % ! ・ ( +7 % # ・ ( … ( +" 则 （ / ）$ 1（ + / ）$ 1 +7 % ! +7 % # … + " 2 "+ ()* / # # ( ! ) ・/ /） ! … ! 0 " 7 % ! " 7 % #… "（ "
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现在， 我们来考虑第二个部分 （*,）的计算， 定 义#1 （( 1 , "） ) , 1 #$% % 0 ) " 定理 ! 设两个下标集合分别为 （ ’， ， 2" $ ｛ )）! $ ’ 3 %； ! $ ) 3 (｝ ) # !* #$% * ；
1 （ ， 2) $ ｛ )）! $ 1 3 %； ! $ ) 3 (｝ #) ，
收稿日期：!""# $ "! $ !! 作者简介：殷瑞祥 （#%&" $ ） ，男，副教授，主要从事信号 处理、 图像处理、 子波变换和快速算法的研究 ’
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（ / $ , #） （/ % , #） + ! " （!） 789 ! 789 !’ !) （ + & "， …， …， #， ’ ( #； " & "， #， ) ( #） 设 "! 为满足下式且小于 ! 的唯一非负整数： /・ "! , # $ " :8; ! 那么， （!） 式可分解为
" 同的变换算法 & 文献 ［ !］ 采用递归方法将 ! " 0 !（ ! 为素数） （ $$） 、 扭循环卷 ! "#"$% 分解成循环卷积
#
! "#"$% 算法
二维信号 # （ $， （ $ & "， ， …， %） #， ’ ( #； % & …， 的 !+,+-. 定义为 "， #， ) ( #） （ +， * " ）& （! $ , #） （! % , #） + ! " ! （#） 789 !’ !) （ + & "， …， …， #， ’ ( #； " & "， #， ) ( #； / ) & !， ’ & ).!） 其中， 我们假设 ) " ’ ， ! 为奇素数 0 不失一般性， （ $， %） 789 ! !# $&" %&" 即 - 1 "，/ " "， 如果出现 ) # ’ 的情况， 可作类 似的分析 0 对输入信号作奇偶分离排序形成一个新的序列 其前半部分为顺序排列的原信号偶下标系数， 后 2， 半部分 为 逆 序 排 列 的 原 信 号 奇 下 标 0 则 （#）式 的 !+,+-. 转化为
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两个元素， 我们要证明， 如果它们相等， 则#1 )
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若 那么必有 1 $ 14 0 根据定义， 1 （( 14 , "） ) , 1" ) , 14 $ #) $（( 1 , "）
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（( 1 " " （ ( ) , "） ) , "） # （3,） &$’ " # & )% )( …， …， （ " $ !， "， % & "； # $ !， "， ( & "） 1 可以证明 根据#) 的定义，
1 （ ( ) , "） （( 1 , "）#$% ( % ( #) , " " 将上式应用到 （3） 式中， 我们有
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’ (# ) (# ’ (# ) (#
积 （($$） 和矩阵乘法， 与行列法相比， 变换所需的乘 由于算法结构不规范， 而 法运算量大大降低 & 然而， 使这 $$ 和 ($$ 计算又往往需要较多的加法运算， 一算法的实用价值受到影响 & 本文采用多项式变换设计具有一般性的 # " # 0 "! ! "#"$% 算法 & #（ # 为奇素数）
第 !% 卷 第 % 期 !""# 年 % 月
华 南 理 工 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版 ） )*+,-./ *0 (*+12 $23-. 4-356,731 8 *0 %692-*/*:8 ;*/& !% <* & % （ <.1+,./ (936-96 =>313*-） (6 ? 16@A6, !""# % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
用算法中系数的特点， 设计了简化的快速多项式变换算法和 #+,2+-. 递归分解算法， 使 运算复杂性进一步降低 ’ 本算法具有较低的计算复杂性和规则的结构， 并且可以方便地推 广到多维 （ 3 !） ’ 关键词：快速算法；离散余弦变换；快速多项式变换；简化离散余弦变换 中图分类号：. 4 %## ’ 5! 文献标识码：!
二维离散余弦变换 （ ! "#"$%） 广泛应用于图像 和视频压缩编码、 特征提取、 恢复等领域， 虽然目前 计算机的处理速度有了非常大的提高， 但是， 在许多 实际应用中处理多维信号仍然存在困难， 例如， 在基 于 ! "#"$% 的软件视频压缩编码系统中， 接近一半 处理时间被 ! "#"$% 占用 & 因此， 设计高效算法， 降 低 ! "#"$% 的计算复杂性是十分重要的 & 计算 ! "#"$% 最常用的方法是行列法， 行列法 具有简单的算法结构， 但计算效率比较低 & 近年来， 提 出 了 一 些 针 对 ! "#"$% 或 ’"#"$% 的 新 算 ［# 6 #*］ 法 文献 ［ #， 算法降低了实现变换 & 其中， * 6 (］ 所需的计算量， 但仅适用于各维具有相同的大小并 必须是 ! 的幂的情况， 实际应用需要各维大小不相
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( " （ ) $ !， …， & & "； …， "， "， % & "） 1 $ !， ) #$% % ， 则 （""） 式转化为 % & " 个长度 ( 的一维简化 -/0 ） 1 & 14） 则 （( ) , "（ " ! #$% % 0 因为 ) #!* #$% *， （"-.5-/0 ） 所以 ( ) , " 和 % 互素， 这样必有 1 " 14 #$% % ， 即， ( &" （ ) ) , "） # （ ） （"6） : # 9（ &$’ " $ 4 0 1 $ 1 1 1 )） ! )( )$! & " #$% 根据定理 " 和三角函数的性质， （*+）式可进一 )# * ) * 万方数据 步分成两部分： （ # $ !， …， …， "， ( & "； "， % & "） 1 $ !，
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基于多项式变换的 !+,+- . 快速算法
殷瑞祥
（华南理工大学 电子与信息工程学院，广东 广州 (#"&/"）
摘
要：基于二维离散余弦变换 （!+,+-. ） 广泛应用于图像和视频信号处理领域， 文中提
! 出一种基于快速多项式变换的 !+,+-. 快速算法， 将 ! " # 0 ! "（ " #、 " ! 分别为 ! 为奇素数； 两个不同的整数） （ 1. ） 和一维简化余弦变换 （ #+,2+-. ） !+,+-. 转化为多项式变换 ’利