《概率论与数理统计》第2章

x x
(3) 右连左极性： F( x ) 是 x 的右连左极函数， 即对任意的 x0 R ,有 xlim F( x ) F( x0 ) ， x
0
即 F ( x0 0 ) F ( x0 ) ,且 xlim F( x ) F( x0 ) F( x0 ) x

pk
-1 0.5
0
1
1 2q
q2
求：(1)q; （2）的分布函数
，及0 pi 1,可得 解： 由 pi 1
i 1
3
2 1 q 1 2 2 2 1 2q q 1 1 0q 0 1 2q 1 2 q2 1 1 q 1
x 1 0, 0.25, 1 x 2 F( x) 0.75, 2 x 3 1, x3
1 P{ X } P{ X 1} 0.25, 2 3 5 P{ X } P{ X 2} 0.5, 2 2
例9 设 是离散型随机变量，分布列为：
注1、分布与分布函数的区别： 1)分布： 落在某个区间的概率 P ( a b) 2)分布函数： 落在区间(-,a]上的概率
注2、分布函数的实质： 1) 分布函数是一个概率，是随机变量在区 间的概率 2)虽然是一个点函数，实际上是一个区间 的函数
定理 2.1.1 任一分布函数 F ( x ) 都具 3 条基本性质：
( ) 的值域 Rx
[0,) 。
是随机的， ( ) 也是随机的，
随机变量的优点：
可以用数学分析（微积分）的方法来研究随机试验。
随机变量的分类：
1） 离散型随机变量（有限或可列个值）
2) 连续型随机变量（某一区间内）
3) 奇异型随机变量
注1. 随机变量具有两重性（取值，概率 ）
第二章 一维随机变量
1. 随机变量的定义及其分布函数 2. 离散型随机变量及其分布列
3. 连续型随机变量及其密度函数
一、随机变量
随机试验的结果 随机变量。
数量化
目的：从数量的角度全面研究随机试验，揭示客 观存在的统计规律性。
例1 抛一枚硬币，观察出现的正反面
1, 正 0 , 反 即 ( )
定义2.1.2 设 定义在（ ,F ,P )上的r .v ., x R, F ( x ) P{ | ( ) x } P{ x } 称为的分布函数，简记为F ( x )或F ( x ).
注： F ( x ), 但反之不然，即同一分布函数可 对应不同的随机变量 若 r .v .的分布函数为F ( x )，记为 F ( x )
的可能取值为x1 , x2 ,...xn ,..., 对应的概率
P( xi ) pi ( i 1, 2 ,...), pi 1
i 1 n
可用概率分布列或分布律来表示：

pk
x1 p1
x2 p2
„ „
xn pn
„ „
pk 0 , k 1, 2 ,... .
p
P( 2 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 0.53
P( 3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 0.53
； ；
P( a ) P( a ) P( a ) F( a ) F( a 0 )
。
P( a b ) F( b 0 ) F( a 0 )
二、离散型随机变量 及其概率分布列
定义2.1.3 阶梯型的分布函数对应的随机变量
称为离散型随机变量。
, x 1 0 0.5 , x [ 1, 0 ) F( x ) 2 0 .5 , x [ 0 , 1 ) 1 , x [1, )

例10 一汽车沿街道行驶，需经过三个设红 绿灯的道口，若每个道口信号灯显示红绿 灯的时间相等，且各信号灯工作相互独立， 以 记该车首次遇到红灯前已通过的道口 数，求的概率分布。
xi x
图形特点：右连续，台阶形
F (x )
1
p
k 1
i
k
p1 p2 p1 x1 x2
0
x3
xi
xi 1
xn
x
例 8.随机变量 X 的分布律为 X -1 2 pk 0.25 0.5
3 0.25
1 3 5 求 X 的分布函数， 并求 P{ X 2}, P{2 X 2},
解： X 的分布函数为
由r .v .的定义可知，P{ | ( ) x }, x R都存在。 1 又 { | ( ) x } lim{ | ( ) x } n n 1 { |( ) x } F n n 1 P{ | ( ) x },x R也都存在
2 取q 1 ，再利用F ( x ) 2 0 0.5 F( x ) 0.5 1 2q 0.5 1 2q q 2 ,
xi x
P( x
x. 1
i
) ，得
, x [ 1, 0 ) , x [ 1, 0 ) , x [1, )
例3 F1 ( x ), F2 ( x )是两个分布函数，a , b为两个 大于0的常数，a b 1, 试证明 F ( x ) c1 F1 ( x ) c2 F2 ( x )也是分布函数.
F1 ( x ), F2 ( x )分别对应离散型，连续型 随机变量且ab 0时，则F ( x )为非离散 非连续型的分布函数.
1 P( 1 ) P( 1 ) 2 F1 ( x ) F2 ( x )
注1： 与的分布函数虽然相同，但 它们是不同的随机变量。
注 2： 离散型随机变量的分布函数 F ( x ) P{ x )
xi x
P( x
i
)
分布函数可以计算各个区间的概率

3 (3)[0, ] 2
1 例6 P( 1 ) ,求： 2 ( 1 ) 的分布函数F1(x ) (2)若令 ,求的分布函数F2(x )
解：(1)当x 1 , P( x ) P( ) 0 , F1 ( x ) 0 ; 1 ( 2 ) 当x [ 1 ,1 ), P( x )＝P( －1）＝ ， 2 1 F1 ( x ) ； 2 ( 3 ) 当x [ 1 , ), P( x ) P( 1 ) P( 1 ) P( 1 ) P( 1 ) 1 F1 ( x ) 1 0 , x ( , 1 ), 1 F1 ( x ) , x [ 1,1 ), 2 1 , x [ 1, ).
k
k
1.
例 7 设随机变量 的分布函数为
0 0.25 F( x ) 0.75 1 , x 1 , 1 x 2 , 2 x3 , 3 x
试求其分布列。
解：由公式 P{ x) F ( x) F ( x 0) 可知
只有在点 1, 2 , 3处的概率不为0 ,
的分布列为

－1
：2Leabharlann 3P0.25
0.5
0.25
★对离散型随机变量，若已知分布律，就可求出它的 分布函数。 F ( x) P{ X x} P{ X xi }
例如: P{ X xi } pi , i 1,2,, n x x1 0, p, x1 x x2 1 x2 x x3 p1 p2 , F ( x) p1 p2 p3 , x3 x x4 p1 p2 pn 1, x xn
( ) 的所有可能取值为 Rx {0,1} ， Rx 即为 ( )
的值域。
( ) 是随机变量。
由于 为随机的， 所以， ( ) 的取值也是随机的， 即 ( ) 是随机变量。
例 2.测试灯泡的寿命。
样本空间
{ t |t 0}
引 入 变 量 ， 将 随 机 试 验 的 结 果 与 的取值对应起 来， 是定义在样本空间 {} {t|t 0} 上的函数， 即 ( ) t , t
P{ 1 ) F( 1 ) F( 1 0 ) 0.25 0 0.25 P{ 2 ) F( 2 ) F( 2 0 ) 0.75 0.25 0.5
P{ 3 ) F( 3 ) F( 3 0 ) 1 0.75 0.25
P( a b ) F( b ) F( a )
P( b ) F( ) F( b ) 1 F( b ).
1 1 P( a ) lim P( a ) lim F ( a ) F ( a 0 ) n n n n
(1) 非降性： F( x ) 是定义在整个实数轴上的单调 非降函数，即对任意的 x1 x2 ，有 F( x1 ) F( x2 )
(2) 0－1 性：对任意 x R ,有 0 F( x ) 1 ，且
F ( ) = lim F ( x ) =0， F( ) lim F ( x ) =1；
解：的取值范围为{ 0 , 1, 2 , 3 }， Ai “ 在第i个路口遇红灯” 则Ai 相互独立，P( Ai ) P( Ai ) 0.5
，
P( 0 ) P( A1 ) 0.5
P( 1 ) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 ) 0.52
注2. 随机变量的自变量为 ,值域为R的子集