沧州一中2020-2021学年度高二年级第一学期第一次月考数学试题及答案

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2020-2021学年河北省沧州市高二上学期联考数学试题(解析版)

2020-2021学年河北省沧州市高二上学期联考数学试题一、单选题1．已知命题3:2,80p x x ∀<-<，那么p ⌝是（） A ．32,80x x ∃≥-≥ B ．32,80x x ∀≤-> C ．32,80x x ∀>-> D ．32,80x x ∃<-≥【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题可求出. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以p ⌝是“32,80x x ∃<-≥”.故选：D.2．设1F ，2F 为椭圆2214x y +=的两焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A ．13B ．15C ．17D ．19【答案】C【分析】根据题意可得2PF x ⊥轴，从而可得2212b PF a ==，再利用椭圆的定义可得122PF a PF =-，即求.【详解】因为线段1PF 的中点在y 轴上，所以2PF x ⊥轴，2212b PF a ==，121242PF a PF =-=-72=，所以2117PF PF =．故选：C3．在平行六面体1111ABCD A B C D －中，AC 与BD 的交点为M ，设AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与1D M 相等的向量是（）A ．1122-++a b c B ．1122a b c -+ C ．1122+-a b c D ．1122--a b c 【答案】D【分析】由11D M AM AD =-，又()12AM AB AD =+,11AD AD AA =+，可得答案. 【详解】()()11112D M AM AD AB AD AD AA =-=+-+ 11122AB AD AA =-- 1122a b c =-- 故选：D4．某校举行2020年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A ．85，0.4B ．85，0.8C ．84，0.6D ．84，1.8【答案】B【分析】根据茎叶图提供的数据计算均值和方差．【详解】由茎叶图知有效的数据有84,85,86,84,86，平均数为8485868486855x ++++==，方差为222222(8485)(8585)(8685)(8485)(8685)0.85S -+-+-+-+-==．故选：B ．5．先后抛掷两枚骰子，骰子朝上的点数分别记为x ，y ，则满足log 1x y =的概率为（）A ．16B ．536C ．19D ．112【答案】B【分析】朝上的点数x ，y 组成的数对(),x y 一共36个，满足所求事件的有5个，即可算出答案.【详解】朝上的点数x ，y 组成的数对(),x y 一共36个，期中满足x y =的数对有6个，但是1x ≠，故满足log 1x y =的数对有5个，因此所求概率为536，故选：B6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合. 【解析】众数、中位数、平均数、方差7．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步abc其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的5.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取( )． A ．36人 B ．60人C ．24人D ．30人【答案】A【解析】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×3235++＝36.8．已知:12p x +≥，:q x a ≥，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >C ．3a ≥-D ．3a >-【答案】A【分析】解出不等式12x +≥，根据已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】解不等式12x +≥，可得12x +≤-或12x +≥，解得3x ≤-或1≥x ，由于p 是q 的必要不充分条件，所以，{}x x a ≥ {3x x ≤-或}1x ≥，所以1a ≥. 故选：A.二、多选题9．下列有关线性回归的说法，正确的有（）A ．相关关系的两个变量不一定是因果关系B ．散点图能直观地反映数据的相关程度C ．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D ．任一组数据都有线性回归方程【答案】ABC【分析】根据相关关系的两个变量的关系以及散点图的作用和线性回归分析的相关概念可判断得出答案.【详解】根据两个变量具有相关关系的概念，可知A 正确，散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以B 、C 正确.只有线性相关的数据才有回归直线方程，所以D 不正确.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的一条切线，与圆相切于点B ，与双曲线的右支交于点C ，且2BC CF =，则有关双曲线的说法正确的有（） A ．双曲线渐近线方程为2y x =±B ．双曲线渐近线方程为12y x =±C ．双曲线的离心率等于5D ．双曲线的方程为2214y x -=【答案】AC【分析】由2BC CF =结合双曲线的定义得12BF a =，利用勾股定理得,a c 的关系可求得离心率，求得渐近线方程，但求不出双曲线方程，从而判断各选项．【详解】∵2BC CF =，∴12112CF CF CF CB F B a -=-==，又1,OB a OB F B =⊥，∴222(2)a a c +=，∴5c e a ==，又2225a a b =+，∴2ba=，渐近线方程为2y x =±，缺少条件求不出双曲线方程．故选：AC ．【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质，解题方法是双曲线的定义求得12F B a =，然后由圆的切线得出,a c 的关系，从而可求得离心率与渐近线方程，本题中双曲线的定义是解题关键．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【分析】根据抛物线的定义进行推理判断．【详解】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确；若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，掌握抛物线的定义是解题基础． 12．下列四个结论正确的是（）A ．任意向量a ，b →，若0a b ⋅=，则0a →→=或0b →→=或,2a b π→→=B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线 C ．空间中任意向量,,a b c →→→都满足a b c a b c →→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．已知向量()1,1,a x →=，()2,,4b x →=-，若25x <，则,a b →→为钝角【答案】AB【分析】由向量的数量积为0即可判断选项A ；由向量共线定理可判断B ；向量的数量积运算不满足结合律判断C ；利用向量求夹角公式判断出当,a b →→为钝角或180︒时，25x <，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：若0a b ⋅=，则0a →→=或0b →→=或0a b ⋅=，即0a →→=或0b →→=或,2a b π→→=，选项A 正确；对于选项B ：由1233OC OA OB =+，因为12133+=，所以A ，B ，C 三点共线，选项B 正确；对于选项C ：向量的数量积运算不满足结合律，选项C 不正确；对于选项D ：cos ,2a b a b a b⋅==+当,a b →→为钝角或180︒时，cos ,02a b a b a b⋅==<+，解得：25x <，故若25x <，则,a b →→为钝角或180︒.选项D 不正确；故选：AB.【点睛】易错点睛：注意0a b ⋅=，向量a ，b →不一定垂直；0a b ⋅<，两向量a ，b →的夹角不一定为钝角.三、填空题13．抛物线y=ax 2(a ≠0)的准线方程为__________________．【答案】14y a=-【解析】抛物线的标准方程为21x y a=,所以其准线方程为14y a =-.14．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为______．【答案】54【分析】根据频率分布直方图先求出两组中的频数，再根据后5组频数和求出前三组频数和，从而求出第三组频数，再由最大频率求出第四组频数，即可求出结果. 【详解】前两组中的频数为()1000.5 1.10.116⨯+⨯=，因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38，第三组频数为381622-=，又最大频率为0.32，所以最大频数即第四组频数为0.3210032⨯=，所以223254=+=a ．故答案为：5415．过双曲线22:1169x y C -=的右焦点F 向C 的两渐近线作垂线，垂足分别为A 、B ，则四边形AOBF （O 为坐标原点）的面积等于______．【答案】12【分析】先由双曲线方程，得到()5,0F ，以及两条渐近线的方程，根据点到直线距离公式，得到FA 和FB 的值，再由勾股定理，求出OA 和OB 的值，进而可求出四边形的面积.【详解】双曲线22:1169x y C -=的右焦点为()5,0F ，渐近线方程为340±=x y ，则由题意，可得22334FA FB ===+，因此22534OA OB ==-=．故四边形AOBF （O 为坐标原点）的面积12234122AOFS S ==⨯⨯⨯=．故答案为：1216．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过原点的直线交椭圆于A 、B 两点，AB 4=，32BF =，30ABF ∠=︒，则椭圆的离心率为______．【答案】31-【分析】先记椭圆的左焦点为1F ，根据题中条件，由对称性，得到123B A F F ==，1BF AF =，结合椭圆定义，得到AF ，利用余弦定理，在三角形ABF ，列出等式求出a ；在三角形OBF 中，利用余弦定理，求出c ，进而可求出离心率.【详解】记椭圆的左焦点为1F ，因为过原点的直线交椭圆于A 、B 两点，AB 4=，32BF = 根据对称性，可得123B A F F ==1BF AF =，由椭圆定义可得122223AF a AF a BF a =-=-=- 在三角形ABF 中，30ABF ∠=︒，所以由余弦定理可得：2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-⋅∠，故((2222343243a -=+-⨯⨯︒，解得31a =，在三角形OBF 中，30ABF ∠=︒，2OB =，由余弦定理可得22232cos 41222234OB BF OB BF F AB O F =+-⋅∠=+-⨯⨯= 所以2c OF ==，因此23131c e a ===-+．故答案为：31-. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于利用椭圆的定义，结合对称性，得到2AF BF a +=，再利用余弦定理，分别求出椭圆的长半轴和半焦距，即可求解离心率.四、解答题17．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D －中，点1E ，1F 分别在11A B ，11C D 上，且11112A E E B =，11112C F F D =，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．【答案】45【分析】设正方体的棱长为3，分别以DA ，DC ，1DD 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，由向量11,BE DF 的夹角得异面直线所成的角．【详解】解：不妨设正方体的棱长为3，分别以DA ，DC ，1DD 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()3,3,0B，()13,2,3E ，()10,1,3F所以()()()10,1,30,0,00,1,3DF =-=， ()()()13,2,33,3,00,1,3BE =-=-，110DF =110BE =11DF BE ⋅()0011338=⨯+-⨯+⨯=，所以1111114cos ,51010BE DF BE DF E B DF ⋅===⋅⋅，因此，1BE 与1DF 所成角的余弦值是45．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角．解题方法是空间向量法．求异面直线所成角的两种方法：（1）定义法（几何法）：作出异面直线所成的角（并证明），然后解三角形得角；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法计算．18．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如图所示：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm 的概率；(3)从样本中身高在180～190cm 的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 的概率．【答案】（Ⅰ）400 （Ⅱ）10.5.p = （Ⅲ）235p =【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图，求出样本中男生人数，再由分层抽样比例，估计全校男生人数；（2）由统计图计算出样本中身高在170～185cm 之间的学生数，根据样本数据计算对应的概率；（3）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率试题解析：（Ⅰ）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm 之间的学生有35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm 之间的频率为350.570=，故可估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率为0.5；（Ⅲ）样本中身高在180~185cm 之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185~190cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180~190cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185~190cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率293155p == 【解析】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式19．已知函数()212f x x x =+，()()ln 1g x x a =++，a R ∈．（1）若对任意1x ，[]20,2x ∈，恒有()()12f x g x >，求实数a 的取值范围；（2）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x ＝，求实数a 的取值范围．【答案】（1）ln3a <-；（2）04ln3a ≤≤-．【分析】利用已知条件易知()f x 和()g x 在[]0,2都是增函数，先求出()f x 的值域A 和()g x 的值域B ；（1）利用已知条件可得()()min max f x g x >，代入求解即可；（2）利用已知条件可得B A ⊆，列出不等式组求解即可. 【详解】易知()f x 和()g x 在[]0,2都是增函数，因此当[]0,2x ∈时()f x 的值域[]0,4A =，()g x 的值域[],ln3B a a =+；（1）因对任意1x ，[]20,2x ∈，恒有()()12f x f x >，则()()min max f x g x >，即ln3a +<0，所以ln3a <-．（2）因对[]20,2x ∀∈，[]10,2x ∃∈，使得()()12f x g x =，故B A ⊆，所以0ln 34a a ≥⎧⎨+≤⎩04ln3a ∴≤≤-．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．20．某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．已知该网络购物平台近5年“双十一”购物当天成交额如下表：（1）求成交额y （百亿元）与时间变量x （记2015年为1x =，2016年为2x =，…以此类推）的线性回归方程；（2）试预测2021年该平台“双十一”购物当天的成交额（百亿元）．参考公式： ()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni ii i x x y y x y nx ybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑．【答案】（1）ˆ 4.5 3.7y x =+；（2）35.2百亿元．【分析】（1）先根据题中条件，求出平均值x ，y ，再利用最小二乘法求出ˆb和ˆa ，进而可得回归方程；（2）由（1）的结果，将7x =代入，即可得出结果. 【详解】（1）由已知得：1234535x ++++==，91217212717.25y ++++==， 5119212317421527303i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，所以515222153035317.24.555535ˆi ii ii x y x ybxx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，则ˆˆ17.2 4.53 3.7ay bx =-=-⨯=，所以ˆˆˆ 4.5 3.7ybx a x =+=+；（2）以题意可知2021年为7x =，当7x =时， 4.57 3.735.2y =⨯+=（百亿元）所以估计2021年该平台“双十一”购物当天的成交额为35.2（百亿元）．【点睛】思路点睛：利用最小二乘法求回归直线方程的一般步骤：先根据题中数据求出两变量的平均值，再由最小二乘法对应的公式求出ˆb和ˆa ，进而可求出直线方程. 21．已知曲线C 上的动点到直线3x =-的距离比它到点()1,0F 的距离大2．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线，分别交曲线C 于点A 、B 和M 、N ，求四边形AMBN 面积的最小值．【答案】（1）24y x =；（2）32．【分析】（1）已知变形为动点到直线1x =-的距离和它到点()1,0F 的距离相等．轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程；（2）显然两直线的斜率都存在且不等于0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程抛物线抛物线方程后应用韦达定理得12x x +，由焦点弦长得12AB x x p =++，同理得MN ，求出面积12S AB MN =⨯⋅，再由基本不等式得最小值．【详解】解：（1）由题意可知曲线C 上的动点到直线1x =-的距离和它到点()1,0F 的距离相等，所以曲线C 是以()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为24y x =．（2）由题意可知两直线的斜率都存在且不等于0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()1y k x =-，代入24y x =，整理得：()2222220k x k x k -++=， ()212222242k x x k k +∴+==+，由抛物线的定义可知12244x x k A p B =++=+．同理可求244MN k =+．AB MN ⊥∵，∴四边形AMBN 面积()22118112S AB MN k k ⎛⎫=⨯⋅=++ ⎪⎝⎭22116832S k k ⎛⎫∴=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当221k k =，即1k =±时取等号，∴四边形AMBN 的面积的最小值是32．【点睛】方法点睛：本题考查求轨迹方程，考查直线与抛物线相交弦长问题．根据曲线的定义求轨迹方程是基本方法．过抛物线22y px =的焦点弦问题：设交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程是()2py k x =-，焦点弦长为12AB x x p =++，而12x x +可由韦达定理求得．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右焦点为(),0F c ．过F 的直线交椭圆于点A 、B 两点，AB 的中垂线交x 轴于点D ．（1）若椭圆过点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且1c =，求DF AB 的值．（2）对于任意给定的满足0a b >>的椭圆，DF AB是否为定值，请说明理由．【答案】（1）14；（2）是定值，理由见解析．【分析】(1)根据条件先求出椭圆方程为22143x y +=，设AB 的方程为：()1y k x =-与椭圆方程联立可得AB 中点22243,3434k k E k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，得出AB 的中垂线的方程，进而求出点D 坐标，得出DF 的长，再由弦长公式得出AB ，从而得出答案.(2) 直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：()y k x c =-，与椭圆方程联立，得出AB 的中垂线的方程，进而求出点D 坐标，当0k ≠时，得出DF 的长，再由弦长公式得出AB ，再讨论0k =的情况，得出答案.【详解】解：（1）由题意知，1c =，所以焦点坐标为()()1,01,0-，由椭圆过点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24a ∴==，2a ∴=，b = ∴椭圆的方程22143x y +=．由题意可知，直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则联立整理得()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()22223484120k x k x k +-+-=， 2122834k x x k ∴+=+，212241234k x x k-=+， AB ∴中点的横坐标为202434k x k =+，则20224313434k k k ky k ⎛⎫== -⎝⎭-++⎪ 所以AB 中点22243,3434k k E k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，当0k ≠时，AB 的中垂线的方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，则2234k x k =+，22,034k D k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭．所以()223134k DF k+=+，又()2212134k AB k +==+．所以||1||4DF AB =．当0k =时，AB 的中垂线为y 轴，D 为原点，此时1DF =，AB 4=，14DF AB =．综上，||||DF AB 的值为14．（2）由题意可知，直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：()y k x c =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则联立()22221x y a by k x c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()2222222222220b a k x a ck x a c k a b +-+-=， 222222212122222222ca k a k c a b x x x x b a k b a k -∴+==++，，则AB 的中点的横坐标为220222ca k x b a k=+ AB 的中点的纵坐标为2222222220ca k ckb b a y a c k b k k ⎛++⎫=-= ⎪⎝⎭AB ∴中点222222222,ca k kcb E b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，当0k ≠时，AB 的中垂线的方程为：2222222221kb c a ck y x b a k k b a k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，23222,0k c D b a k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭．()222221b c k DF b a k+∴=+，又()2222221ab k AB b a k+==+．||||2DF cAB a∴=．当0k =时，AB 的中垂线为y 轴，D 为原点，此时DF c =，2AB a =，2DF cAB a=．综上，||||2DF cAB a=（定值）．【点睛】关键点睛：本题考查椭圆与直线的位置关系，考查弦长公式的应用，解答本题的关键是求出AB中点222222222,a ck kb cEb a k b a k⎛⎫-⎪++⎝⎭，进一步求出()222221b c kDFb a k+=+，然后求出()2222221ab kABb a k+=+，属于难题.。

河北省沧州市第一中学2020_2021学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

河北省沧州市第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题.（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集{2,1,1,2,3,4}U =--，集合{2,1,2,3}A =-,，集合{1,2,2}B =--，则()U C A B ⋃=（）A. {1,2,2,4}--B. {1,2,3,4}--C. {1,2,3,4}-D.1,1,{}2,4-【答案】A 【解析】【分析】根据定义进行并集和补集的运算即可．【详解】解：{2,1,1,2,3,4}U =--，{2,1,2,3}A =-，{1,2,2}B =--{1UA ∴=-，4}，(){1U A B =-，2-，2，4}．故选：A ．【点睛】本题考查了列举法的定义，补集和并集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2. 设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3. 命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是（） A. 2,10x R x x ∃∈-+> B. 2,10x R x x ∃∉-+> C. 2,10x R x x ∀∈-+> D. 2,10x R x x ∀∉-+>【答案】C 【解析】【分析】由特称命题的否定为一个全称命题且否定原命题的结论，即可知答案.【详解】根据特称命题的否定知：题设中命题的否定为“2,10x R x x ∀∈-+>”，故选：C【点睛】本题考查了特称命题的否定，属于简单题. 4. 已知正数,a b 满足1a b +=，则ab 有（） A. 最小值12B. 最大值12C. 最小值14D. 最大值14【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式即可求ab 的最值.【详解】由基本不等式知：2()144a b ab +≤=当且仅当a b =时等号成立，即ab 有最大值14.故选：D【点睛】本题考查了基本不等式，属于简单题.5. 设集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3，5}，B ={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】C 【解析】【分析】先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：C U （A∩B）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数．【详解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：C U （A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C ．【点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6. 不等式21xx >-的解集为（） A. {1x x <或}2x > B. {}12x x << C. {}1x x < D. {}1x x >【答案】B 【解析】【分析】将原不等式变形为201x x -<-，等价变形为()()120x x --<，利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】由21x x >-可得()21220111x x xx x x x ----==<---，等价于()()120x x --<，解得12x <<. 因此，不等式21xx >-的解集为{}12x x <<.故选：B.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.7. 若实数a b c d e 、、、、，满足0a b <<，0c d <<，则下列不等式一定成立的是（） A. 0a b +<B. ac bd >C. 22ae be <D.11a b a>- 【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质，或是做差法，比较大小，分别判断选项. 【详解】A.0a b <<，所以00b a b a ->⇔+>，所以A 不正确；B.0a b <<，0c d <<，即0,0a b c d ->->->->，两式相乘可得ac bd >，所以B正确；C.当0e =时，22ae be =，所以C 不正确；D.()()()11a a b b a b a a a b a a b ---==---，0a b <<，()0b a a b ∴<- ，即11a b a<- ，故D 不正确. 故选：B【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小，重点考查推理，计算能力，属于基础题型. 8. 若,a b ∈R ,24a -≤≤，13b ≤≤，则2a b -的取值范围是（） A. 422a b -≤-≤B. 321a b -≤-≤C. 822a b -≤-≤D.727a b -≤-≤【答案】C 【解析】【分析】先求2b-范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围.【详解】13b ≤≤，622b ∴-≤-≤-，24a -≤≤，822a b ∴-≤-≤.故选：C【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题型. 9. 已知不等式210ax bx -+>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20bx x a -+<的解集是（）A. {}23x x -<<B. {}32x x -<<C. 322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D. 1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】根据不等式210ax bx -+>的解集求出a 、b 的值，再求不等式20bx x a -+<的解集.【详解】解：不等式210ax bx -+>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以方程210ax bx -+=的根是12-和13，且0a <；由根与系数的关系，知112311123ba a⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得6a =-，1b =；所以不等式20bx x a -+<化为260x x --<，即()()023x x +-<，解得23x -<<. 所以不等式的解集是{}23x x -<<. 故选：A.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，属于基础题. 10. 若正实数,x y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. {|14}a a -≤≤B. {|14}a a -<<C. {|41}a a -≤≤D.{|41}a a -<<【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求4y x +的最小值，根据不等式恒成立有2min ()34y x a a +>-即可，进而求a 的取值范围.【详解】∵由题意知：144()()224444y y y x x x x y x y +=++=++≥+=当且仅当2y x =时等号成立，∴234yx a a +>-恒成立，只需234a a -<即可，解得14x -<<，故选：B【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数范围，运用了基本不等式“1”的代换求最值，属于基础题.11. 已知集合{}240A t t =-，对于任意t A ∈，使不等式221x tx t x -->-恒成立的x 的取值范围为（） A. {1x x <或}3x > B. {1x x <-或}3x > C. {}1x x <- D. {}3x x >【答案】B 【解析】【分析】先由集合240t -，得到22t -，推出113t --，再将“对于任意t A ∈，使不等式221x tx t x -->-恒成立”转化为“不等式()()110x t x +-->对22t -恒成立”，得到“只需11x x t >⎧⎨>-⎩或11x x t<⎧⎨<-⎩对22t -恒成立”，从而可求出结果.【详解】由240t -，得22t -，∴113t --. 不等式221x tx t x +->-对22t -恒成立，即不等式()2210x t x t +-+->对22t -恒成立，即不等式()()110x t x +-->对22t -恒成立，∴只需1010x x t ->⎧⎨+->⎩或1010x x t -<⎧⎨+-<⎩对22t -恒成立，∴只需11x x t >⎧⎨>-⎩或11x x t <⎧⎨<-⎩对22t -恒成立.∵113t --，∴只需3x >或1x <-. 故选B【点睛】本题主要考查由一元二次不等式在给定参数范围内恒成立的问题，熟记一元二次不等式解法即可，属于常考题型. 12. 关于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集中，恰有2个整数，则a 的取值范围是（） A. (2,3]B. (3,4]C. [3,2)(2,3]--D.[3,2)(3,4]--【答案】C 【解析】【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出a 的取值范围.【详解】原不等式可化为110xa x ，①当0a >时，11a +>，则原不等式的解集为：11x a <<+，若解集中恰有两个整数解，则解集中只有2,3两个整数，则23a <≤；②当0a <时，11a +<，则原不等式的解集为：11a x +<<，若解集中恰有两个整数解，则解集中只有1,0-两个整数，则32a -≤<-；综上所述：a 的取值范围是(][)2,33,2--.故选：C.【点睛】本题考查二次不等式的解法及解集中整数解个数的问题，难度一般.当涉及含参数的不等式求解问题时，注意分类讨论思想的应用.二、多选题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）13. 设集合2{|8150},{|10}A x R x x B x R ax =∈-+==∈-=，若满足B A ⊆，则实数a可以是（） A. 0 B.13C.15D. 3【答案】ABC 【解析】【分析】根据B A ⊆，建立条件关系即可求实数m的值．【详解】解：由题意：集合{3A =，5}，{|10}B x ax =-=，B A ⊆当B =∅时，B A ⊆满足题意，此时1ax =无解，可得0a =．当B ≠∅时，则方程1ax =有解，即1x a=，要使B A ⊆，则需要满足：13a=或15a =，解得：13a =或15a =，所以a 的值为：0或13或15．故选：ABC ．【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，解题时要认真审题，注意并集、子集定义的合理运用，属于基础题．14. 下列结论正确的是（） A. ,x R ∀∈ 且0x ≠，使得12x x+≥ B. 0,x R ∃∈使得20012x x +≤C. 若0,0,x y >>2+≥x yD.函数y =的最小值为2 【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合基本不等式及结论分别检验各选项即可判断．【详解】解：当0x <时，10x x+<，A 不对；当1x =时，212x x +=，故B 正确；由2222222()()02244x y x y x y xy x y +++---==可得，2222x y x y++，当且仅当x y =时取等号，C 正确因为222t x =+，所以1y t t=+在[2，)+∞上单调递增，所以52y，故D 错误．故选：BC ．【点睛】本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，属于中档题．15. 已知集合{2M =-，2334x x +-，24}x x +-，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为（） A. 2 B. 2-C. 3-D. 1【答案】AC 【解析】【分析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+-或224x x =+-，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【详解】解：由题意得，22334x x =+-或224x x =+-，若22334x x =+-，即220x x +-=，2x ∴=-或1x =，检验：当2x =-时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去；当1x =时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去．若224x x =+-，即260x x +-=，2x ∴=或3x =-，经验证2x =或3x =-为满足条件的实数x ．故选：AC ．【点睛】本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．16. 已知关于x 的不等式23344a x x b ≤-+≤，下列结论正确的是（） A. 当1a b <<时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅B. 当1,4a b ==时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为{|04}x x ≤≤C. 当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以写为{|}xc xd ≤≤形式D. 不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰为{|}x a x b ≤≤，那么4b a -=【答案】ABD 【解析】【分析】 A.由23344x x b -+≤得23121640x x b -+-≤，根据1b <，利用判别式判断；B. 令a ＝1，b ＝4，利用一元二次不等式的解法判断；C.在同一平面直角坐标系中作出函数()2233342144y x x x =-+=-+的图象及直线y ＝a 和y ＝b 的图象判断；D ．根据23344a x x b ≤-+≤的解集为{|}x a x b ≤≤，则min a y ≤，x a =，x b =时函数值都是b ．然后分别由34b 2－3b ＋4＝b ，34a 2－3a ＋4＝b 求解判断．【详解】由23344x x b -+≤得23121640x x b -+-≤，又1b <，所以()4810b ∆=-<．所以不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅，故A 正确；当a ＝1时，不等式23344a x x ≤-+为2440x x -+≥，解集为R ，当b ＝4时，不等式23344x x b -+≤为240x x -≤，解集为{|04}x x ≤≤，故B 正确；在同一平面直角坐标系中作出函数()2233342144y x x x =-+=-+的图象及直线y ＝a 和y＝b ，如图所示．由图知，当a ＝2时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{|}{|}A C D B x x x x x x x x ≤≤⋃≤≤的形式，故C 错误；由23344a x xb ≤-+≤的解集为{|}x a x b ≤≤，知min a y ≤，即1a ≤，因此当x ＝a ，x ＝b 时函数值都是b ．由当x ＝b 时函数值是b ，得34b 2－3b ＋4＝b ，解得b ＝43或b ＝4．当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4＝b ＝43，解得a ＝43或a ＝83，不满足a ≤1，不符合题意，当4b =时，解得0a =或3a =（舍），所以4b a -=，故D 正确故选：ABD【点睛】本题主要考查一元二次不等式与二次函数，二次方程的关系及应用，属于中档题.三、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）17. 给定集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3,4B =，定义一种新运算：A B *={x x A ∈或},x B x A B ∈∉⋂，试用列举法写出A B *=___________.【答案】{}1,0,3,4-【解析】∵{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3,4B =∴{}1,2A B =又∵{}|,A B x x A x B x A B *=∈∈∉⋂或∴{}1,0,3,4A B *=-18. 命题“∃x 0∈R, 200410-+<x ax ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】[]4,4-【解析】【分析】由题得“∀x 0∈R, 200410x ax -+≥”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于a 的不等式，解不等式即得解.【详解】由题得“∀x 0∈R, 200410x ax -+≥”为真命题,所以2160a -≤，所以44a -≤≤.故答案为[]4,4-【点睛】本题主要考查特称命题的否定，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19. 已知:p 实数x 满足2280x x -->；:q x m <.若p 是q 的必要不充分条件，则m 的最大值为________.【答案】2-【解析】【分析】化简p ，根据p 是q 的必要不充分条件，即可得出m 的最大值．【详解】解：由2280x x -->，解得4x >，或2x <-．p ∴：实数x 满足4x >或2x <-；:q x m <．由p 是q 的必要不充分条件，则2m -．m ∴的最大值为2-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20. 若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，则m 的取值范围是________.【解析】【分析】设()24f x x x =-，函数在[]0,1上单调递减，计算()()min 13f x f ==-，即可得到答案. 【详解】24x x m -≥恒成立，设()()22424f x x x x =--=-，函数在[]0,1上单调递减，故()()min 13f x f ==-，故3m ≤-.故答案为：(],3-∞-.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.21. 已知0x >，0y >，80x y xy ++-=，则xy 的最大值是______.【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式x y +≥将80x y xy ++-=转化为关于xy 的不等式再求解即可.【详解】解：因为80x y xy ++-=,且0x >,0y >,所以808x y xy xy ++-=≥-,所以)420≤, 所以04xy <≤,故答案为：4.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要根据题意利用基本不等式将题中所给的等式转换为关于xy 的不等式再求解.属于中档题.22. 已知0a b >>，则()264a b a b +-的最小值为__________ ；【答案】32【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式求解，即可得出结果.【详解】因为0a b >>，所以()()222226464256322a a a b a b a b a b +≥+=+≥-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当()22256a a b a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即4,2a b ==时，等号成立；故答案为：32.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于常考题型.三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分）23. 已知集合{}|28A x R x =∈≤≤，106x B x R x ⎧⎫-=∈<⎨⎬-⎩⎭. （1）求A B ；（2）求A B ，()U A B ⋂【答案】（1）{}26x x ≤<；（2）{}18A B x x ⋃=<≤，(){}12U A B x x ⋂=<<.【解析】【分析】（1）先解分式不等式，得到{}16B x x =<<，根据交集的概念，即可得出结果；（2）根据并集的概念，求出A B ；再由补集的概念，求出U A ，进而可得出结果.【详解】（1）因为{}10166x B x R x x x ⎧⎫-=∈<=<<⎨⎬-⎩⎭，{}|28A x R x =∈≤≤，所以{}26A B x x ⋂=≤<；（2）由（1）可得，{}18A B x x ⋃=<≤，又{2U A x x =<或}8x >，所以(){|12}U A B x x =<<.【点睛】本题主要考查求集合的交集、并集，以及交集和补集的混合运算，属于基础题型.24. 已知：集合2{|320},M x R x x =∈-+≤集合{|132}N x R m x m =∈+≤≤-（1）若“”x M ∈是“”x N ∈的充分不必要条件，求m 的取值范围.（2）若M N M ⋃=,求m 的取值范围.【答案】（1）{|0}m m ≤；（2）1{|}2m m ≥.【解析】【分析】（1）首先解出集合{|12}M x x =≤≤，由条件可知M N ≠⊂，列不等式求m 的取值范围；（2）由条件可知N M ⊆，再分N =∅和N ≠∅两种情况列式求m 的取值范围.【详解】解：（1）{|12}M x x =≤≤，因为“”x M ∈是“”x N ∈的充分不必要条件，所以M N ≠⊂. 即：01113222m m m m ≤⎧+≤⎧⎪⇒⎨⎨-≥≤⎩⎪⎩，（等号不能同时取）0m ∴≤ 故m 的范围为{|0}m m ≤（2）因为,M N M =所以N M ⊆①当N =∅时：132m m +>-，23m >所以 ②当N ≠∅时： 2132311032212m m m m m m m ⎧≤⎪+≤-⎧⎪⎪+≥⇒≥⎨⎨⎪⎪-≤⎩⎪≥⎩，即1223m ≤≤ 综上可得：m 的范围为1{|}2m m ≥【点睛】本题考查根据充分必要条件，以及集合的包含关系求参数的取值范围，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.25. 已知关于x 的函数2y ax ax =-，则（1）,1x R y ∀∈>-恒成立，求a 的取值范围.（2）求解关于x 的不等式：2121ax ax x -+<-.【答案】（1）{|04}a a ≤<；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由,1x R y ∀∈>-恒成立得210ax ax -+>恒成立，讨论0a =、0a ≠时不等式解集，取并集即可；（2）不等式化为(2)(1)0ax x --<，讨论0a >、0a =、0a <分别求其解集.【详解】（1）由题意：任意的实数x ，210ax ax -+>恒成立①当0a =时：得10>，恒成立，符合题意②当0a ≠时：2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a << 综上可得：04a ≤<，故a 的范围为{|04}a a ≤<.（2）不等式可化为：2(2)20,ax a x -++<即(2)(1)0ax x --<①当0a =时： 220x -+<，即1x >②当0a >时： 2()(1)0x x a --<，此时122,1x x a ==，若21>a时，即02a <<，有21x a <<；若21a 时，即2a =，有2(10)x -<，此时x ∈∅；若21a <时，即2a >，有21x a<<； ③当0a <时：2()(1)0x x a -->，有12201x x a =<<=，此时：2x a <或1x >；综上所述：当0a <时：解集为2{|x x a<或1}x >；当0a =时：解集为{|1}x x >；当02a <<时：解集为2{|1}x x a<<；当2a =时：解集为∅；当2a >时：解集为2{|1}x x a <<；【点睛】本题考查了由含参不等式恒成立求参数范围，应用分类讨论的方法求含参一元二次不等式的解集，属于基础题.26. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m万元（0m ≥）满足41k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816x x+元来计算）（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）()163601y m m m =--≥+；（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【解析】【分析】（1）根据题意0m =时，2x =，求出241x m =-+，进一步求出销售价格8161.5x x +⨯，由利润=销售额-固定成本-再投入成本-促销费，即可求解.（2）由（1）()()161636371011y m m m m m ⎡⎤=--=-++≥⎢⎥++⎣⎦，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件），则24k =-，解得2k =，241x m ∴=-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯（元）， ∴2018年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+. （2）当0m ≥时，10m +>，16(181)m m ∴++≥+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）. 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.。

2020-2021学年河北省沧州市第一中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

2020-2021学年河北省沧州市第一中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．命题“0x ∀>，20x >”的否定是（） A ．20,0x x ∀>≤ B ．20,0x x ∃>≤ C ．20,0x x ∀≤≤ D ．20,0x x ∃≤≤【答案】B【解析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可. 【详解】命题“0x ∀>，20x >”的否定是: 20,0x x ∃>≤, 故选B 【点睛】本题考查全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可. 2．“23x <<”是“112x >-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由分式不等式的解法，求得不等式112x >-的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，不等式112x >-可化为131022x x x --=>--，即302x x -<-，解得23x <<，即不等式的解集为{|23}x x <<，所以“23x <<”是“112x >-”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视人数分别为（）A．100，90 B．200，27 C．200，20 D．200，90【答案】B【解析】首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数，接下来结合已知求出样本容量，根据上述所求进一步求出抽取的初中学生人数，然后结合图2进行解答即可.【详解】由图甲可知，学生总数为45003500200010000++=（人），故抽取的样本容量为100002%200⨯=（人），其中抽取的初中学生有45002009010000⨯=（人）；由图乙可知，初中生近视率为30%，∴抽取的初中生近视人数为9030%27⨯=（人）.故选：B.【点睛】本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.4．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线互相垂直，一个焦点坐标为(2,0)，则该双曲线的方程是（）A．22122x y-=B．22122y x-=C．22144x y-=D．22122x y-=或22122y x-=【答案】A【解析】根据两条渐近线垂直可得a b =，再根据c 可求,a b ，从而可得正确的选项. 【详解】因为渐近线互相垂直，故1b b a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故a b =，又2c =，故a b ==22122x y -=. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，此类问题，根据题设条件求出,,a b c 即可，本题属于基础题.5．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为X ，2S ，重算时的平均数和方差分别为1X ，21S ，若此同学的得分恰好为X ，则（） A ．2211,X X S S => B ．2211,X X S S == C ．2211,X X S S =<D ．2121,X X S S ≠≠【答案】A【解析】运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然后进行比较，得到结果. 【详解】设这个班有n 个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是12-1,,...n a a a ，被忘记登分的同学的分数为n a ，则121...1n a a a X n -+++=-所以()121...1n a a a n X -+++=-，()11n X XX X n-+==，方差()()()()22221211...+1n S a X a X a X n -⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦-，()()()()2222121...+1n a XaXa Xn s -∴-+-+-=- ①因为()()()()222212121...++=n n a X a X a X a X S n--+-+-- ②将①代入到②得：2211=S n S n- 故221S S >故选：A 【点睛】本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.6．过点(2,1)，焦点在x 轴上且与椭圆22143x y +=有相同的离心率的椭圆方程为（） A ．2214163x y += B ．221129x y += C ．2211612x y += D ．2211643x y += 【答案】D【解析】设所求椭圆的方程为22(0)43x y λλ+=>，将点(2,1)代入椭圆的方程，求得43λ=，即可求解.【详解】因为所求椭圆与椭圆22143x y +=有相同的离心率，可设所求椭圆的方程为22(0)43x y λλ+=>，又由椭圆过点(2,1)，代入椭圆的方程，可得222143λ+=，解得43λ=，即所求椭圆的方程为224433x y +=，即2211643x y +=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.7．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线y =与双曲线C 交于P 、Q 两点，且11PF QF ⊥，则双曲线的离心率为（）A ．12B ．12C 1D 1【答案】C【解析】本道题先设出P ,Q 坐标,然后利用直角三角形性质,建立等式,计算e ，即可．【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ,结合直角三角形满足的定理可知,12PQ OF =,将PQ 直线方程,代入双曲线方程,得到:()2222230ba x ab --=,PQ ==而221212220,3a b x x x x a b+==-,结合222,c c a b e a =+=代入PQ 中,得到4284e e =-,解得1e =,即可.故选:C 【点睛】本道题考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大．8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其两焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，若12112F C F B F A ==，则椭圆的离心率为（）A ．10B C ．110D ．15【答案】B【解析】根据题中条件，得到21F C F C C A ==，记()210C F C F CA m m ===>，由椭圆定义，得到22F B a m =-，222F A a m =-，结合余弦定理，分别求()222124422cos 222m c a m c AF F m m c+--∠==⋅⋅，()222121242cos cos 22m c a m c BF F AF F m m c+--∠=-∠=-=⋅⋅，即可求出离心率.【详解】因为12112F C F B F A ==，则21F C F C C A ==，记()210C F C F CA m m ===>，由椭圆的定义可得，2122F B a F a B m =-=-，21222A F A a F a m =-=-，又()222222111221211124422cos 2222OF AF F F AF m c a m c AF F FC m AF F F m c+-+--∠====⋅⋅⋅ 2222c a ammc-+=，所以222am a c =+； ()2222221122121211242cos cos 222BF F F BF m c a m cBF F AF F m BF F F m c+-+--∠=-∠=-==⋅⋅⋅，所以222am a c =-，则222224a c a c +=-，即225c a =，所以离心率为225c c e a a ===.故选：B. 【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.二、多选题9．下列命题正确的是（） A ．0ab =是0a =的充分不必要条件 B ．a b >是22ac bc >的充分不必要条件 C ．22a b >是22log log a b >的必要不充分条件D ．在ABC 中，B C >是sin sin B C >的充要条件【答案】CD【解析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断每个选项，即得正确选项. 【详解】对于A ，0ab =当0b =时，不能推出0a =,反之，0a =⇒0ab =，故0ab =是0a =的必要不充分条件，故A 错误；对于B,当0c时，a b >不能推出22ac bc >成立，反之22ac bc >，则20c >，可以推出a b >，则a b >是22ac bc >的必要不充分条件，故B 错误；对于C, 由22a b >可知a b >，当0a b >>时，22log log a b >不成立，反之，22log log a b >，可得0a b >>，则有22a b >，故C 正确；对于D, 在ABC 中，由正弦定理得sinB>sinC b c B C ⇔>⇔>,故D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判定，推理能力与计算能力，属于基础题.10．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个说法中错误的是（）A ．若13t <<，则C 为椭圆B ．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则23t << C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为双曲线，则1t < 【答案】AD【解析】根据题意依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当2t =时，曲线为C 表示圆，故不正确；对于B 选项，当曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆时，则130t t ->->，解得23t <<，故正确；对于C 选项，当2t =时，曲线为C 表示圆的方程，故正确；对于D 选项，当曲线C 为双曲线时，则()()310t t --<，解得1t <或3t >，故错误；综上，错误的是AD. 故选：AD.【点睛】本题考查椭圆，双曲线的方程，考查运算能力，是基础题.11．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否经常吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案.最后统计得出，这1000人中，共有260人回答“是”，则下列表述正确的是（）A．估计被调查者中约有510人吸烟B．估计约有10人对问题2的回答为“是”C．估计该地区约有2%的中学生吸烟D．估计该地区约有1%的中学生吸烟【答案】BC【解析】根据题意知被调查者回答第一个问题的概率为12，其编号为奇数的概率也是12，计算可得出随机抽出的1000名学生中回答第一个问题且为“是”的学生人数，由此可求出回答第二个问题且为“是”的学生人数，由此可估计此地区中学生吸烟人数的百分比，进而可估计出被调查者中吸烟的人数，判断选项即可得出结论.【详解】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是12，其编号是奇数的概率也是12.所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为11 100025022⨯⨯=；回答问题2且回答的“是”的人数为26025010-=.由此可估计该地区中学生吸烟人数的百分比为102%500=，估计被调查者中吸烟的人数为10002%20⨯=.故选：BC.【点睛】本题考查利用样本的数字特征估计总体的数字特征，同时也考查了抽样方法的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知双曲线2214x y -=，()3,0A ，O 为坐标原点，M 为双曲线上任意一点，则OM AM ⋅的值可以是（）A ．145-B ．2- C．D ．145【答案】BCD【解析】设点(),M x y ，可得2x -≤或2x ≥，且有2214x y =-，求得25314x AM OM x ⋅=--，设()25314x f x x =--，利用二次函数的基本性质求得函数()f x 在(][),22,-∞-+∞上的值域，由此可得出合适的选项.【详解】设点(),M x y ，则2x -≤或2x ≥，且有2214x y -=，可得2214x y =-，()3,AM x y =-，(),OM x y =，()222253313144x x AM OM x x y x x x ⋅=-+=-+-=--，令()25314x f x x =--，其中2x -≤或2x ≥，二次函数()f x 的图象开口向上，对称轴为直线365524x ==⨯.①当2x -≤时，函数()f x 单调递减，此时()()210f x f ≥-=； ②当2x ≥时，函数()f x 单调递增，此时()()22f x f ≥=-. 综上所述，函数()f x 在(][),22,-∞-+∞上的值域为[)2,-+∞.因此，OM AM ⋅的值可以是2-、、145. 故选：BCD. 【点睛】本题考查双曲线中向量的数量积，考查了双曲线范围的应用以及二次函数值域的应用，考查计算能力，属于中等题.三、填空题13．从1，2，3，4这四个数字中一次随机地抽取两个数，则所取两个数的乘积是6的倍数的概率为_______. 【答案】13【解析】利用列举法可求基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，从而可求概率. 【详解】从1，2，3，4中一次随机抽取两个数，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，共6个.设A 为：“所取两个数的乘积是6的倍数”，则A 含有的基本事件如下：{}{}2,3,3,4，故()13P A =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，此类问题，可用列举法、树形图法等求出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，本题属于基础题.14．已知直线a ，b 的方向向量分别为(4,,2)m k k =-和(,3,6)n k k =+，若//a b ，则k =________. 【答案】6【解析】先根据两直线平行得到直线的方向向量共线，列出关于k 的方程，由此求解出k 的值即可.【详解】因为//a b ，所以4236k k k k -==+，解得：6k =，故答案为：6. 【点睛】本题考查根据空间向量的共线关系求解参数，难度较易.已知()()()111222121212,,,,,0a x y z b x y z x x y y z z ==≠，若//a b ，则111222x y z x y z ==.15．过椭圆221164x y +=内一点()2,1M 引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程______. 【答案】240x y +-=【解析】设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合()2,1M 为弦的中点，求出弦所在直线的斜率，即可得到直线的方程．【详解】解：设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，()2,1M 为AB 的中点，所以124x x +=，122y y +=，又A 、B 两点在椭圆上，则2211416x y +=，2222416x y +=，两式相减得()()2222121240x x y y -+-=，所以()12121212142y y x x x x y y -+=-=--+，即12AB k =-，故所求直线方程为1(2)12y x =--+，即240x y +-=. 故答案为240x y +-=. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．16．已知12,F F 分别为双曲线22195x y -=的左、右焦点，过2F 且倾斜角为120︒的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点（设点A 在第一象限），记12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，则12r r 的值等于_______________.【答案】13【解析】先由题意，得)2F ，直线AB的方程为y x =，求出2AF ，2BF 得值，由()()12121212122121221212AF F BF F AF AF F F r S AF SBF BF BF F F r ++⋅==++⋅，化简整理，即可得12r r 的值. 【详解】由题意得：)2F ，由过2F 且倾斜角为120︒的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，设A 点在第一象限，则直线AB的方程为y x =，由22195y x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得2224230x -+=，解得3022x =，则3022A x =或3022B x =，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BH x ⊥轴于点H ，则易得2A EF c x =-=，2B HF x c =-=260AEF BHF ∠=∠=︒，因此222AF EF ==，222BF HF ==，根据双曲线的定义可得，123096261111AF a AF --=+=+=，123096261111BF a BF ++=+=+=，所以121222AF F BF F S AF SBF ==，又12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，则()()1212121211122121221212AF F BF F AF AF F F r S r r Sr r BF BFF F r ++⋅===++⋅，12r r =，所以1266313r r +====.故答案为：13. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查求直线与双曲线交点问题，考查转化思想与应用能力，属于中档题.四、解答题17．已知命:[0,3]p x ∃∈，2230x x a ---≥；:q x R ∀∈，2220x ax a ++≥. （1）若命题p 为真，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 为假且命题q 为真，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0a ≤；（2）02a <≤.【解析】（1）利用参变分离可求实数a 的取值范围；（2）利用判别式为非正可求q 为真时实数a 的取值范围，结合（1）中的结论可求实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由2:[0,3],230p x x x a ∃∈---≥为真，得[0,3]x ∃∈，使得223a x x ≤--，设22()23(1)4f x x x x =--=--，[0,3]x ∈，则max ()(3)0f x f ==，∴0a ≤.（2）由（1）知p 为真时0a ≤，所以若p 为假，则0a > ∵q 为真，∴2480a a ∆=-≤，∴02a ≤≤由002a a >⎧⎨≤≤⎩，得02a <≤.【点睛】本题考查复合命题的真假、一元二次不等式的有解与恒成立问题，后者注意区分是R 上的恒成立问题有解问题还是为非R 上的恒成立有解问题，两者的处理方式是有区别的，本题属于基础题.18．为了解某学校高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生某次考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩（单位：分），按[90,100),[100,110),,[140,150]⋅⋅⋅分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求m 的值并估计这所学校本次考试学生数学成绩的平均数；（2）为调查某项指标，现利用分层抽样从成绩在[130,140),[140,150]两个分数段的学生中抽取5人，再从这5人中随机选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率.【答案】（1）0.008m =，平均数为121.8分；（2）25. 【解析】（1）根据频率之和为1，列出方程求解，即可求出m ；再根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组频率再求和，即可得出平均数；（2）先由频率分布直方图，按分层抽样得出[130,140)分数段内抽三人，[140,150]分数段内抽2人，分布标记这五个人，根据列举法写出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】（1）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯=，解得0.008m =，样本平均数950.004101050.012101150.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1250.04101350.012101450.00810+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 121.8=（分）由此估计这所学校本次考试学生数学成绩的平均数为121.8分；（2）由频率分布直方图可知，成绩在[130,140)的同学有0.01210506⨯⨯=（人），成绩在[140,150]的同学有0.00810504⨯⨯=（人），按分层抽样[130,140)分数段内抽3人记为a ，b ，c ；[140,150]分数段内抽2人记为1，2从这5人中随机选两人2人有{,},{,},{,1},{,2},{,},{,1},{,2},{,1},{,2},{1,2}a b a c a a b c b b c c 共10种选法.两人来自同一分数段有{,},{,},{,},{1,2}a b a c b c 共4种选法. 所以两人来自同一组的概率为42105P ==. 【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求平均数，考查求古典概型的概率，属于常考题型.19．已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：()2,0A 是椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点()1,0G 且斜率为12的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，求AMN 的面积．【答案】（1）2214x y +=；（2【解析】（1）由题意可得a ，c 的值，由a ，b ，c 的关系可得b ，进而点到椭圆方程；（2）过点F 且斜率为1的直线方程设为()112y x =-，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得MN ，再由点到直线的距离公式可得O 到MN 的距离d ，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】（1）由题意知，2a =，c e a ==c ∴=1b ∴== ∴椭圆方程为 2214x y +=；（2）直线l 的方程为：()112y x =-，()11M x y ，，()22.N x y ，联立()2211214y x xy ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得22230x x --=，121231x 2x x x ∴+==-，，12MN x ∴=-=2===， ()20A ，到直线l x 2y 10--=：的距离d ==，1122AMN S MN d ∆∴=⋅==【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 20．为得到某种作物种子的发芽率，立德中学生物兴趣小组的同学进行了如下研究：在不同的昼夜温差下统计每100颗种子的发芽数，得到了以下数据：通过画散点图，同学们认为x 和y 之间存在线性相关关系，经讨论大家制定了如下规则：从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：用求得的线性回归方程分别计算剩余两组数据中昼夜温差数所对应的发芽数y ，再求y 与实际发芽数y 的差值，若差值的绝对值都不超过2，则认为所求方程是“合适的回归方程”.（1）请根据表中的后三组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）按照题目中的检验方法判断（1）中得到的方程是否是“合适的回归方程”；（3）若100颗该作物种子的发芽率为n 颗，则记为%n 的发芽率，当发芽率为%n 时，农户种植该种作物平均每亩地的收益为10n 元，某农户有10亩土地，全部种植这种植物，种植期间昼夜温差大约为9℃，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农户种植此种作物所获得的收益.（参考公式：线性回归方程中ˆb，ˆa 的最小二乘估计分别为：()()()1122211,nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b a y bx xx xnx====---===---∑∑∑∑.）【答案】（1）5572ˆyx =+；（2）是；（3）7950元. 【解析】（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出11ˆ,,,ˆy bx a ，的值，最后求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）根据线回归方程，分别计算当8x =时，当10x =时，它们的估计值，然后判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）当9x =时，根据线性回归方程计算出ˆy的值，然后计算出发芽率以及收益. 【详解】解：（1）111312123x ++==，859086873y ++==∴222(1112)(8587)(1212)(8687)(1312)(9087)5ˆ(1112)(1212)(1312)2b--+--+--==-+-+- ∴5ˆ8712572a=-⨯= ∴线性回归方程为5572ˆyx =+ （2）当8x =时，5ˆ857772y=⨯+=，|5759|22-=≤；当10x =时，5ˆ1057822y =⨯+=，|8182|12-=≤；所以（1）中得到的线性回归方程5572ˆyx =+是“合适的回归方程”. （3）因为5572ˆyx =+，所以当9x =时，5ˆ95779.52y =⨯+=，即每亩地的收益大约为795元，所以该农户此种作物所获得的收益大约为7950元【点睛】本题考查了求线性回归方程，以及用数据检验线性回归方程是否可靠，考查了应用线性回归方程估计收益问题，考查了数学应用能力.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点，PQ ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，M 是棱PC 上一点，且2MC MP =.（1）证明：//PA 平面BMQ ；（2）求二面角C BM Q --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【解析】(1)连接AC ,交BQ 于N ,连接MN ,则AQ ∥BC ,推导出MN ∥P A ,由此能证明P A ∥平面BMQ ．(2)连结BD ,以Q 为坐标原点,以QA 、QB 、QP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角M -BQ -P 的余弦值．【详解】解：（1）证明：连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ，因为底面ABCD 是菱形，∴//AQ BC ，∴ANQ CNB ∽，则12AQ AN BC NC ==，又2MC MP =，∴12MP MC =，∴MP ANMC NC= ∴//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ， ∴//PA 平面BMQ ；（2）连接BD ，∵底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒， ∴BAD 是等边三角形，∴BQ AD ⊥，由于PQ ⊥平面ABCD ， ∴PQ AD ⊥，以Q 为坐标原点，,,QA QB QP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),Q A B D P -，(2,0,0)((AC AD AB =+=-+-=-，所以点((2,0,0),(0,C BC BP -=-= 设平面BMC 的一个法向量(,,)n x y z =，∴00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，200000x y z x -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得到(0,1,1)n =，设平面BMQ 的法向量为(,,)m x y z =，∴00m QB m MN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，注意//MN PA ， ∴00m QB m PA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得(3,0,1)m =是平面BMQ 的一个法向量，设二面角C BM Q --平面角的大小为θ，则2cos ||||m n m n θ⋅==∴sin 4θ==∴二面角C BM Q --的正弦值为4【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22．在平面直角坐标系中，已知两点(M N ，动点Q 到点M 的距离为4，线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点K .设点K 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）点(2,0)P -，A ，B 为曲线C 上的动点，当PA PB ⊥时，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】(1)结合已知条件,以及垂直平分线的性质和椭圆的性质,即可得出曲线C 的方程. (2) 设:AB y kx m =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立方程,结合已知条件,建立关系式,即可求解. 【详解】解:(1)∵线段NQ 的垂直平分线交MQ 于点K ,∴||||KN KQ =,∴||||||||||4||KM KN KM KQ MQ MN +=+==>= ∴点K 的轨迹是中心在原点,以M ,N 为焦点,长轴在x 轴上的椭圆,其中24,a c ==设椭圆方程为22221x y a b+=,则2,1a c b ===∴椭圆的轨迹方程为2214x y += (2)当直线l 不垂直于x 轴时,设:AB y kx m =+,()11,A x y ,()22,B x y ,2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得 ()()222148410k xkmx m +++-=()()()()2212121212221(2)4PA PB x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++()()222224181(2)401414m km k km m k k--=+++++=++, ∴22125160k m km +-=,∴(65)(2)0k m k m --=, ∴65m k =或2m k = 当65m k =时,6:5AB y kx k =+,恒过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当2m k =时,:2AB y kx k =+,恒过定点(2,0)-,不符合题意舍去, 当直线l 垂直于x 轴时,若直线6:5AB x =-,则AB 与椭圆C 相交于64,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,64,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 22444444,,0555555PA PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴PA PB ⊥,满足题意, 综上可知,直线AB 恒过定点,且定点坐标为6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查求轨迹方程,椭圆的性质,及直线与椭圆的位置关系.属于中档题.。

【数学】河北省沧州市第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试题文

【关键字】数学河北省沧州市第一中学2017届高三数学上学期第一次月考试题文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,则（）A．B．C．D．2. 若复数满足,其中为虚数单位, 则（）A．B．C．D．3. 设,则“” 是“” 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件4. 已知命题；命题,则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．5. 函数的定义域为（）A．B．C．D．6. 设向量,若,则实数的值等于（）A．B．C．D．7. 已知数列是公差为的等差数列,为数列的前项和, 若,则（）A．B．C．D．8. 已知函数,且,则（）A．B．C．D．9. 若函数在区间上单调递加, 则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10. 在平面直角坐标系中,为原点,, 动点满足,则的取值范围是（）A．B．C．D．11. 设函数,则使成立的的取值范围是（）A．B．C．D．12. 已知函数,若,则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若函数有两个零点, 则实数的取值范围是． 14. 设数列满足：,且,则数列的前项和等于． 15. 已知曲线在点处的切线与曲线相切, 则的值为． 16. 设时, 函数取得最大值, 则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）在中, 已知. （1）求的长；（2）求的值.18. （本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、,已知. （1）求的值；（2）若 ,求的面积.19. （本小题满分12分）已知是递加的等差数列, 是方程的两个实根. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20. （本小题满分12分）已知数列是等差数列, 满足,数列满足,且数列为等比数列. （1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.21. （本小题满分12分）已知函数,曲线在点处的切线方程为. （1）求的值；（2）讨论函数()f x 的单调性, 并求函数()f x 的极大值. 22.（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2x f x x -=-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：当1x >时,()1f x x <-.河北省沧州市第一中学2017届高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CBABC 6-10.CBADD 11-12.AD 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.()0,2 14.201115.816.5-三、解答题17.解：（1）由余弦定理知，22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-=+-⨯⨯⨯=,所以BC =（2）由正弦定理得,2sin 6021,sin sin ,,sin sin 77ABBC AB C A AB BCC C A BC =∴===<∴ 为锐角,则cos C ===,sin 22sin cos 2777C C C ∴==⨯⨯=. 18. 解：（1）由tan 24A π⎛⎫+=⎪⎝⎭,得221sin 22sin cos 2tan 2tan ,3sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A A =∴===+++. 19. 解：（1）方程2560x x -+=的两个实根为2,3,由题意得232,3a a ==,设数列{}n a 的公差为d ,则3232,1d a a =-=-=,从而11a =,所以数列{}n a 的通项公式n a n =.（2）由（1）知,12322,122232...2n n nn n a n S n =∴=⨯+⨯+⨯++ ①()23121222...122n n n S n n +∴⨯+⨯++-+ ②①-②得，()()2311212222 (22212)n n n n n S n n ++⨯--=++++-=--()111222122n n n n n +++=--=--，()1122n n S n +∴=-+.20. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意得()411233,333n a a d a n n N *--===∴=∈,设等比数列{}n n b a -的公比为q ,由题意得344112012843b a q b a --===--,解得2q =,()()111112,32n n n n n n b a b a q b n n N ---*∴-=-=∴=+∈.（2）由（1）知,()132n n b n n N -*=+∈,()()231369...31222...2n n S n -∴=++++++++++()()()1123331212122nn n n n n ⨯-+=+=++--.21. 解：（1）()()'24xf x eax a b x =++--,由已知得()()04,'04f f ==,即4,44b a b =+-=,解得4,4a b ==.（2）()f x 的定义域为R ,由（1）知,()()2414xf x ex x x =+--,()()()1'4224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭,令()'0f x =,得2x =-或ln 2x =-,令()'0f x >,得2x <-或ln 2x >-,令()'0f x <,得2ln 2x -<<-,所以()f x 在(),2-∞-和()ln 2,-+∞上单调递增, 在()2,ln 2--单调递减, 当2x =-时, 函数()f x 的取得极大值, 函数()f x 的极大值为()()2241f e --=-.22. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞,()211'1,x x f x x x x-++=-+=令()'0f x >, 得210x x x >⎧⎨-++>⎩,解得102x +<<,所以函数()f x的单调递增区间是10,2⎛+ ⎝⎭. （2）令()()()()1,1,g x f x x x =--∈+∞,则()21'0x g x x-=<在()1,+∞上恒成立, 所以()g x 在()1,+∞上单调递减,所以当1x >时,()()10g x g <=, 即当1x >时,()1f x x <-.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

河北省沧州市高二上学期数学第一次月考试卷

河北省沧州市高二上学期数学第一次月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020·滨州模拟) 已知集合，则（）A.B.C. D. 2. （2 分）已知， O 是坐标原点，则等于（）A.B.C.D.3. （2 分） (2017·天津) 有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A.B.C.D.第 1 页共 17 页4. （2 分） (2020·赣县模拟) 已知 “ 为递增数列”的（）是等比数列，，前 n 项和为，则“A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分）已知 a,b 为非零实数，且 a>b，则下列命题成立的是（） A.B. C.”是D.6. （2 分） (2020 高一下·海淀期中) 若实数 a，b 满足 A. B.，则（）C. D.1 7. （2 分） (2016 高二上·曲周期中) 设公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 a4=2（a2+a3），则 =（）A.B.第 2 页共 17 页C.7 D . 14 8. （2 分） (2020 高一下·太原期中) 在锐角三角形中，已知A.，则的范围是（）B.C.D.9. （2 分） (2020·海南模拟) 在等差数列中，，则数列的公差为（）A.B.C.1D.210. （2 分）已知等差数列满足，，则数列的前 10 项的和等于（）A . 23B . 95C . 135D . 13811. （2 分） (2019 高二上·石门月考) 已知分别为内角的对边，且成等比数列，且，则=（）A.第 3 页共 17 页B. C. D.12. （2 分）设 sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2+a5=0 则=（）A . ﹣11B . ﹣8C.5D . 11二、填空题 (共 5 题；共 9 分)13. （1 分） (2018 高二上·南京月考)的内角所对的边为，则“”是“”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）14. （1 分） (2019 高三上·内蒙古月考) 函数，则________.15. （1 分） (2017 高二上·中山月考) 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则________．16. （1 分） (2016·安徽模拟) 已知数列{an}满足 a1=5，a2=13，an+2=5an+1﹣6an ，则使该数列的 n 项和 Sn 不小于 2016 的最小自然数 n 等于________．17. （5 分） (2017·太原模拟) （Ⅰ）求不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0 的解集．（Ⅱ）设 a，b，均为正数，三、解答题 (共 5 题；共 40 分)，证明：h≥2．第 4 页共 17 页18. （10 分） (2018 高二上·南通期中) 设数列的前项和，满足．（1）记，求数列的前项的和；（2）记，求数列的前项和．19. （5 分） (2017 高二上·汕头月考) 如图，在且，.中，，，点在边上，（1）求；（2）求的长.20. （5 分） (2020 高二上·长沙开学考) 在，且.（1）求及的值；中，分别是三个内角的对边，若（2）求的值.21. （10 分） (2016 高二上·上杭期中) 已知等差数列{an}中，a1=1，且 a2+2，a3 ， a4﹣2 成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若 bn=，求数列{bn}的前 n 项和 Sn ．22. （10 分） (2019·河南模拟) 在 .中，内角、、的对边分别为、、，且满足第 5 页共 17 页（1）求的值；（2）若，求的值.第 6 页共 17 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、考点：参考答案解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：第 7 页共 17 页答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、第 8 页共 17 页考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：第 9 页共 17 页解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：第 10 页共 17 页解析：二、填空题 (共5题；共9分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：三、解答题 (共5题；共40分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2020-2021学年河北省沧州市第一中学高二下学期第一次月考数学试题 Word版

沧州市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题（2021.3.31）命题人：王婷（满分：150分，测试时间：120分钟）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z =（）A.12B.22C.2D. 22. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则(1)P X =等于（）A.815B.715C.1415D. 13. 下表记录了某产品的广告支出费用万元与销售额万元的几组数据：x 235 6yt 40根据上表数据求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ72yx =+，则表中的t 值为（） A. 30 B. C. D. 204. 某校高二年级1600名学生参加期末统考，已知数学成绩()2100,X N σ~ 满分150分统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为（）A. 80B. 100C. 120D. 2005. 安排4名大学生去3所学校支教，每人只能去一个学校，每个学校至少分配一名大学生，则不同的分派方法共有（）A. 36种B. 24种C. 18种D. 12种6. 已知ABC ∆的周长为12，(0,2),(0,2)B C -，则顶点A 的轨迹方程为（）A. 221(0)1216x y y +=≠B. 221(0)1216x y x +=≠C. 221(0)1612x y y +=≠ D. 221(0)1612x y x +=≠7. 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-+与其相交于M ，N两点，若MN 中点的横坐标为3-，则此双曲线的方程是（）A. 22134x y -=B.22143x y -=C.22152x y -=D. 22125x y -=8. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为'()f x ，()0f x >且()1f e =，若'()ln ()0xf x x f x +>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则关于x 的不等式1ln ()x f x >的解集为（）A. (,)e +∞B. (1,)+∞C. (0,)eD. (0,1)二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得５分，有选错的得０分，部分选对的得２分9. 若三个数1,,9a 成等比数列，则圆锥曲线2212x y a +=的离心率可以是（）A.B.C. D.10. 已知3nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为，则该展开式中二项式系数最大的项是（）A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项11. 下列说法正确的是（）A. “A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的必要不充分条件B. 若随机变量X 取可能的值1,2,3,...,n 是等可能的，且()10,E X =则10n =C. .相关指数2R 越大，模型的拟合效果越好D. 若随机变量，且，则12. 定义''()f x 是()y f x =的导函数()'y f x =的导函数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”可以证明，任意三次函数()32(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断，以下命题正确的是（） A. 存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B. 函数()32335f x x x x =--+的对称中心是10,（）C. 存在三次函数()h x ，方程'()0h x =有实数解0x ，且点00(,())x h x 为函数()y h x =的对称中心D. 若函数()321153212g x x x =--，则1232020()()()()10102021202120212021g g g g +++⋅⋅⋅+=-第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分13. 3个班分别从5个景点中选择一处游览，共有_________种不同的选法（填数字）14. 252()x x-的展开式中7x 的系数为___________ （填数字） 15. 已知甲乙两球落入盒子的概率分别为12和13，两个球是否落入盒子互不影响，则甲乙两球至少有一个落入盒子的概率为_____________16. 设抛物线的2:4C y x =焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>，若4||3MF =，则λ的值为___________ 四、解答题：本题共６小题，共７０分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （10分）已知函数2()2ln 3f x x x x =--求函数()f x 在点()1,(1)f 处的切线方程；当[1,3]x ∈时，求函数()f x 的最大值；18. （12分）如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ，，且．求证：平面PAD ；若13BE PA，求直线PD与平面PCE所成角的正弦值19.（12分）某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成．比赛中每人投篮1次，每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．求小组共投中2次的概率；若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分．随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．20.（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据单位：小时．Ⅰ应收集多少位女生的样本数据？Ⅱ根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：，，，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；Ⅲ在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间超过4小时总计300附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++21.（12分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，离心率为12，设过点2F的直线l被椭圆C截得的线段为MN，当l x⊥轴时，||3MN=．求椭圆C的标准方程；在x 轴上是否存在一点P ，使得当l 变化时，总有PM 与PN 所在的直线关于x 轴对称？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由22. （12分）已知函数()(1)ln(1)f x x x =++求的单调区间；若对[0,),()x f x ax ∀∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围．沧州一中高二年级第一次学段检测数学试题（2021.3.31）参考答案：一.单选题1 23 4 5 6 78 C B DDABAC二、多选题9 1011 12 AD BCACBCD三.填空题13. 125 14. -10 15. 2316. 3 四、解答题17.（1）2'()23f x x x=-- '(1)3f ∴=-，(1)2f =-， ∴切线方程为23(1)y x +=--，即310x y +-=………………………4分（2）22232(2)(21)'()23x x x x f x x x x x---+=--==当[1,3]x ∈时，'(),()f x f x 变化如下表：x 1 (1,2) 2 (2,3) 3'()f x- 0 +()f x-2 单调递减 -2-2ln2 单调递增 -2ln322ln3->-，1()x f x ∴=当时，取得最大值2-…………………………10分18.证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以．又，，所以平面PAD．因为，同理，可证平面PAD，又，所以平面平面PAD，又因为，所以平面PAD．…………………………………4分解：分别以AD，AB，AP为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系．因为，所以113BE PA==，则0，，0，，3，，3，，则，，．设平面PCE 的法向量为，则由(,,)(3,33)3330,(,,,)(0,3,2)320,m PC x y z x y z m PE x y z y z ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⎪⋅=⋅-=-=⎩得,32,3z x z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令，得平面PCE 的一个法向量为．设直线PD 与平面PCE 所成角为，则(3,0,3)(1,2,3)7sin 73214||||PD m PD m θ⋅-⋅===⨯⋅．所以直线PD 与平面PCE 所成角的正弦值为77．……………………………………12分 19. 解：一个小组共投中2次的概率122221121291(1)()(1)33333273P C C =⋅-⋅+⋅-==”……………………………3分的可能取值为，10，20，30，()221460113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()212212111241011C 133333279P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()212211219120C 1133333273P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2212303327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，. X 的分布列为X 10 20 30P所以()()44121204060102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==．…………………12分 20. 解：Ⅰ45003009015000⨯=，所以应收集90位女生的样本数据；………………3分Ⅱ由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为；……………6分Ⅲ由知，300位学生中有人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 总计21090300结合列联表可算得22300(456016530)1004.762 3.841210907522521K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． (12)分 21. 解：因为离心率12c e a ==，点2(,)b M c a ，22||3b MN a==，又222a b c =+，所以2,3a b ==，所以椭圆的标准方程为22143x y +=…………4分当直线l 垂直于x 轴时，x 轴上任意一点P 都满足PM 与PN 所在直线关于x 轴对称；当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在满足条件，设l 的方程为(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立22(1),3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=；可得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，与PN 所在的直线关于x 轴对称12120y yx t x t∴+=--，两点在直线上，11(1)y k x ∴=-，22(1)y k x =-代入得，122112(1)()(1)()()()k x x t k x x t x t x t --+----121212[2(1)()2]0()()k x x t x x t x t x t -+++==--，12122(1)()20x x t x x t ∴-+++=，将代入得，22222824(1)82(34)62403434k t k t k t k k--+++-==++，要使上式与k 的取值无关，则，综上所述，存在(4,0)P ，使得当l 变化时，总有PM 与PN 所在直线关于x 轴对称…………………………………………………………………………………12分22. . 解：(1)()f x 的定义域为(1,)-+∞，'()ln(1)1f x x =++令'()0f x =，得11x e=- 令'()0f x <，得111x e -<<-；令'()0f x >，得11x e>-； ()f x ∴的减区间为1(1,1)e --，增区间为1(1,)e-+∞…………………………4分（2）令()(1)ln(1)g x x x ax =++-,则'()ln(1)1g x x a =++-（i ）当1a ≤时，10a -≥，ln(1)0x +≥，'()0g x ∴≥，()g x 在[0,)+∞上单调递增，又(0)0g =，()(0)0g x g ∴≥=，即对[0,)x ∀∈+∞，有()f x ax ≥（ii ）当1a >时，令'()0g x =，得110a x e -=->当1(0,1)a x e-∈-时，'()0g x <，()g x 在1(0,1)a e --上单调递减，又(0)0g =，∴当1(0,1)a x e-∈-时，()(0)0g x g <=，不满足()f x ax ≥恒成立综上，a 的取值范围是(,1]-∞………………………………………………12分。

河北省沧州市泊头市第一中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题

河北省沧州市泊头市第一中学2023-2024学年高二上学期
1月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．已知ABC
V的三个顶点分别是()()()
A a
B C，且BC边上的高所在的直线
3,,6,1,3,4
方程为:3
=+，则以下结论正确的是（）
l y x
A．6
a=±
B．BC边上的中线所在的直线方程为73390
x y
+-=
C．过点A且平行于BC的直线方程为90
x y
+-=
D．ABC
V三边所在的直线中，直线AB的倾斜角最大
四、解答题
17．如图，正方体1111
ABCD A B C D -的棱长为4，点M 为棱1AA 的中点，,P Q 分别为棱
1BB ，1CC 上的点，且11,B P CQ PQ ==交1BC 于点N ．
(1)求证：
//MN 平面ABCD ；
(2)求证：四边形DMPQ 为平行四边形，并计算其面积．
18．已知数列{}n
a 为递增的等比数列，24,a a 为方程220640x x -+=的两个根，数列
答案第11页，共22页
20．(1)7
9
(2)存在，N为PD中点
【分析】（1）由线面垂直的性质可系，利用向量法求解线线角，即可（2）假设线段PD上存在一点N，设。

2020-2021学年沧州市肃宁县第一中学高二上学期第一次月考数学(二)试卷及答案

数学试题
一、单选题（每题5分，共70分）
1．某市有大型、中型与小型商店共1500家,它们的家数之比为1∶5∶9.用分层抽样抽取其中的30家进行调查,则中型商店应抽出( )家.
A．10 B．18 C．2 D．20
2．命题“ ”的否定是()
A． B．
C． D．
3．某产品外甲、乙、丙三级，其中丙级为次品.若生产中出现乙级产品的概率为0.03，出现丙级产品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为（）
C．“ 是实数”的充分不必要条件是“ 是有理数”
D．“ ”是“ ”的充分条件
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
19．某公司个门部接收的快递的数量如茎叶图所示，则这个门部接收的快递的数量的中位数为．
20．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是__________.
【详解】
由茎叶图可知，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别为、，
因此甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是用茎叶图计算样本数据的中位数，考查计算能力，属于基础题.
23．（1）；（2）当销售价格元时，销售总额最大为元.
【详解】
（1）由表知：， .
∴ ，即，
23．某种产品的销售价格元与销售量件之间有如下的对应数据：
（1）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；
（2）试根据（1）所得回归方程估计销售价格为多少时，销售总额最大？（参考公式：，）
24．智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: ， .

2020-2021学年河北省沧州市临河中学高二数学理月考试卷含解析

2020-2021学年河北省沧州市临河中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：A略2. 如图所示的算法流程图中（注：“”也可写成“”或“”, 均表示赋值语句），第3个输出的数是（）A．1 B．C． D．C3. 设满足不等式组，则的最小值为（）A、1B、5C、D、参考答案：D4. 已知集合，那么集合等于 ( )A. B. C. D.参考答案：A5. 已知a，b∈R，i为虚数单位，且a﹣3i=2+bi，则复数z=a+bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵a﹣3i=2+bi，a，b∈R，∴a=2，b=﹣3．则复数z=a+bi=2﹣3i在复平面上对应的点（2，﹣3）在第四象限．故选：D．6. 某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、、，且，则第二车间生产的产品数为（）A．800 B．1000 C．1200 D．1500C7. 六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（）A． B．C． D．参考答案：C8. 如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（）A．11 B．9 C．12 D．10参考答案：C9. 有一个四棱锥,其正视图和侧视图都是直角三角形。

直角边为1和2,俯视图为边长1的正方形,如图所示，求该四棱锥的内接球半径（）A. B. C. D.B10. 极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为（）A、 B、C、 D、参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两个等差数列和,其前项和分别为, 且则= .参考答案：略12. 若∈（0，l）时，不等式恒成立，则实数m的最大值为．参考答案：413. 曲线在点处的切线平行于直线，则点坐标为__________．参考答案：或．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，然后对进行求导，根据曲线在点处的切线平行于直线建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到即可得到答案．【解答】解：设点的坐标为，由，得到，由曲线在点处的切线平行于直线，得到切线方程的斜率为，即，解得或，当时，；当时，，则点的坐标为或．故答案为：或．14. 等差数列中，与的等差中项为5，与的等差中项为7，则参考答案：15. 给出下列四个结论：①“若则”的逆命题为真；②函数（x）有3个零点；③对于任意实数x，有且x>0时,，则x<0时其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）参考答案：③16. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是米．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题．【分析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有，在△BCD中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC，从而可求x即塔高【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有，在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，可得，=则x=10故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．17. 已知圆：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆：x2＋y2－6x＝0相交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程为 .参考答案：3x－y－9＝0三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2024-2025学年河北省沧州市沧县中学高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年河北省沧州市沧县中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的一个方向向量为v =(1,−3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为( )A. 3x−y +2=0B. 3x +y−2=0C. 3x +y +2=0D. 3x−y−2=02.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)直线l 过点P(1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A. (−∞,−4]∪[34,+∞)B. (−∞,−14]∪[34,+∞)C. [−4,34]D. [34,4]3.下列命题中正确的是( )A. 点M(3,2,1)关于平面yoz 对称的点的坐标是(−3,2,−1)B. 若直线l 的方向向量为a =(1,−1,2)，平面α的法向量为m =(6,4,−1)，则l ⊥αC. 若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°，则直线l 与平面α所成的角为30°D. 已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若OP =mOA−12OB +OC ，则m =−124.已知曲线y =1+ 4−x 2与直线y =k(x−2)+4有两个相异的交点，那么实数k 的取值范围是( )A. (512,43] B. (512,34] C. [14,712) D. [16,712)5.已知点A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−3)2+y 2=r 2(r >0)上存在点P(不同于点A ，B)使得PA ⊥PB ，则实数r 的取值范围是( )A. (1,5)B. [1,5]C. (1,3]D. [3,5]6.动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，点M 和定点B(3,0)连线的中点为P ，则点P 的轨迹方程为( )A. x 2+y 2=14B. (x−32)2+y 2=14C. (x−32)2+y 2=1 D. x 2+(y−32)2=147.已知圆M ：(x +4)2+y 2=4直线l ：x +y−2=0，点P 在直线l 上运动，直线PA ，PB 分别与圆M 相切于点A ，B.则下列说法正确的是( )A. 四边形PAMB 的面积最小值为 14B. |PA|最短时，弦AB 长为4 73C. |PA|最短时，弦AB 直线方程为3x +3y−8=0D. 直线AB 过定点(−103,2)8.已知圆C ：x 2+(y−3)2=4过点(0,4)的直线l 与x 轴交于点P ，与圆C 交于A ，B 两点，则CP ⋅(CA +CB )的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2]D. [0,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。

2020-2021学年河北省沧州市肃宁县第一中学高二上学期第一次月考数学(一)

数学试题一．选择题（每题5分，共40分）1．“3x =”是“(1)(3)0x x +-=”的（）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不不要条件2．如图是某学生在高三的五次月考考试成绩的分数茎叶统计图，该组数的平均数为x ，若从中任取2个数，则这2个数都大于x 的概率为（） A ．110B ．15C ．310D ．253．命题“2x ∀>，240x -≥”的否定是（） A ．2x ∀≤，240x B ．2x ∀>，240xC ．02x ∃≤，0240x -<D ．02x ∃>，0240x -<4．已知P 是椭圆22+12516x y =上一点，F 1、F 2是焦点，∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积( )A ．10B ．12C ．14D ．165．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )A ．22110084x y +=B ．221259x y +=C ．22110084x y += 或22184100x y +=D ．221259x y +=或221259y x +=7．“[1,1]x ∀∈-，||x a <恒成立”的充要条件是（） A ．1a >B ．0a >C ．2a >D ．1a =8．已知椭圆2222x y a b+=1（a b 0＞＞）的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 作倾斜角为30︒的直线与椭圆有一个交点P ，且2P x F ⊥轴，则此椭圆的离心率e 为( )A B C D 二．多选题（全对5分，部分对3分，选错0分，共20分） 9．下列说法中正确的是（）A ．若事件A 与事件B 是互斥事件，则()0P AB =B ．若事件A 与事件B 是对立事件：则()1P A B ⋃=C ．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D ．把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件10．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（） A.041,2<+-∈∃x x R x B ．所有的正方形都是矩形 C ．022,2≤++∈∃x x R x D ．至少有一个实数x ，使310x += 11．在统计中，由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y 利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，那么下面说法正确的是（） A ．直线ˆˆˆy bx a =+至少经过点()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y 中的一个点B ．直线ˆˆˆy bx a =+必经过点(),x yC ．直线ˆˆˆy bx a =+表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线D ．||1r ≤，且||r 越接近于1，相关程度越大；||r 越接近于0，相关程度越小12．已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，且短轴长为2，过焦点1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆方程为2213y x +=B ．椭圆方程为2213x y +=C ．PQ =D ．2PF Q ∆的周长为乙甲9 0 9x 2 1 5 y 8 6 0 2 0三．填空题（每题5分，共20分）13．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为8，则该椭圆的短轴长为__________. 14．已知x ，y 的取值如右表：若与线性相关，且，则 .x 0 1 3 4 y2.2a4.86.715．在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6 张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5 的概率为__________．16．已知:40p k -<<，:q 函数21y kx kx =--的值恒为负，则p 是q 的______条件. 四．解答题（17题10分，其他各题12分）17．从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图．已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16．（1）求,x y 的值；（2）试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低；（方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ， ,n x 的平均数．）18．某服装店为庆祝开业“三周年”，举行为期六天的促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，第五天该服装店经理对前五天中参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：x1 2 3 4 5 y46102322（1）若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）预测第六天的参加抽奖活动的人数（按四舍五入取到整数）.参考公式与参考数据：51521()()ˆˆˆ,()i iiiix x y yb a y bxx x==--==--∑∑.19．已知椭圆C的焦点为1(2,0)F-和2(2,0)F，长轴长为4，设直线1y x=+交椭圆C 于A，B两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）求弦AB的中点坐标及弦长．20．已知p：2430x x-+<，q：()()210x m x m m R-++<∈．（1）求不等式2430x x-+<的解集；（2）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围．21．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[]80,100的学生至少有1人被抽到的概率.22．已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭园于，两点，若（为坐标原点）的面积为32，求直线的方程.参考答案1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．D 7．A 8．A 9．ABC 10．AC 11．BCD 12．ACD 13．23 14．15．16．充分不必要17．（1）3x =，8y =；（2）乙班的水平高；试题解析：解：（1）经计算得：甲班数据依次为9,12,10,20,26x +，所以中位数为1013x +=，得3x =；1(915101820)165x y =+++++=乙，得8y =． 5分（2）乙班整体水平高．或解： 1(912132026)165x =++++=甲， 2222221[(916)(1216)(1316)(2016)(2616))]385s =-+-+-+-+-=甲，1(915181820)165x =++++=乙，222222174[(916)(1516)(1816)(1816)(2016))]14.855s =-+-+-+-+-==乙．因为22s s >甲乙，所以乙班的水平高． 10分 18．（1）根据表中的数据，可得1(12345)35x =++++=，1(46102322)135y =++++=，则()()()31521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，22222(13)(413)(23)(613)(33)(1013)(43)(2313)(53)(2213)(13)(23)(33)(43)(53)--+--+--+--+--=-+-+-+-+- 5.3=，又由ˆ13 5.33 2.9a=-⨯=-，故所求回归直线方程为ˆ 5.3 2.9yx =-. （2）将6x =代入ˆ 5.3 2.9yx =-中，求得ˆ 5.36 2.928.929y =⨯-=≈，故预测第六天的参加抽奖活动的人数为29.19．（1）因为椭圆C 的焦点为1(F 和 2F ，长轴长为4，所以椭圆的焦点在x 轴上，2c a ==.所以b =所以椭圆C 的标准方程22142x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 线段的中点为00(,)M x y ，由2224,1,x y y x ⎧+=⎨=+⎩得23420,0x x +-=∆>, 所以121242,33x x x x +=-=-，所以02,3x =-0011,3y x =+=所以弦AB 的中点坐标为21(,)33-，||AB ==20．解：（1）因为2430x x -+<,所以()()130x x --<,所以13x <<, 所求解集为{}|13x x <<.（2）因为q ：()()210x m x m m R -++<∈,则()()10x m x --<当1m 时,不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,因为q 是p 的必要不充分条件,所以2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,所以3m >；当1m <时,不等式()210x m x m -++<的解是1m x <<,因为{}{}||131x x x m x <<⋂<<=∅,不合题意；当1m =时,不等式2430x x -+<的解集为∅,不合题意. 综上,m 的取值范围是()3,+∞．21．（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为：()10.010.030.030.01100.2-+++⨯=0.2100.02x ∴=÷=估计所抽取的50名学生成绩的平均数为：()550.01650.03750.03850.02950.011074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=，前三组的频率之和为0.10.30.30.7++=∴中位数在第3组中设中位数为t ，则有：()700.030.1t -⨯=，解得：2203t =即所求的中位数为2203（2）由（1）知：50名学生中成绩不低于70分的频率为：0.30.20.10.6++= 用样本估计总体，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为：20000.61200⨯=（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5∴这三组中所抽取的人数分别为3，2，1记成绩在[)70,80的3名学生分别为,,a b c ，成绩在[)80,90的2名学生分别为,d e ，成绩在[]90,100的1名学生为f ，则从中随机抽取3人的所有可能结果为：(),,a b c ，(),,a b d ，(),,a b e ，(),,a b f ，(),,a c d ，(),,a c e ，(),,a c f ，(),,a d e ，(),,a d f ，(),,a e f ，(),,b c d ，(),,b c e ，(),,b c f ，(),,b d e ，(),,b d f ，(),,b e f ，(),,c d e ，(),,c d f ，(),,c e f ，(),,d e f ，共20种其中成绩在[]80,100的学生没人被抽到的可能结果为(),,a b c ，只有1种，故成绩在[]80,100的学生至少有1人被抽到的概率：11912020P =-=22．【详解】（1）由题意可知，离心率，所以所以所以椭圆的方程为，（2）由题意可以设直线的方程为，由得，设，所以，，. 所以的面积创因为的面积为，所以.解得.所以直线的方程为或.。