浙江省杭州市高考数学仿真试卷(5月份)解析版

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浙江省杭州市学军中学2020年高考数学5月模拟试题(含解析)

2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．已知q是等比数{a n}的公比，则q＜1”是“数列{a n}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥36．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．3307．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为38．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C． D．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A． B．（0，e）C． D．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）= ．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX= ．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin ∠ABD= ，BC= ．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l过定点；当m= 时，以AB为直径的圆与直线相切．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有种不同的考试安排方法．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．22．已知函数f n（x）=x n（1﹣x）2在（，1）上的最大值为a n（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），故选：B．2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．3．已知q是等比数{a n}的公比，则q＜1”是“数列{a n}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q=的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{a n}的公比q＜1，不能得出数列{a n}是递减数列；而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q=，所以，由数列{a n}是递减数列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．故选D．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x ﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=y=3时，z取得最小值为﹣3；当x=4且y=2时，z取得最大值为0，由此可得z的取值范围为[﹣3，0]，再由存在实数m使不等式x﹣2y+m≤0成立，即可算出实数m的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（1，1），C（3，3）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值=F（4，2）=0当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z最小值=F（3，3）=﹣3因此，z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，0]，∵存在实数m，使不等式x﹣2y+m≤0成立，即存在实数m，使x﹣2y≤﹣m成立∴﹣m大于或等于z=x﹣2y的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得m≤3故选：B6．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．330【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．可得展开式中各项系数的最大值是或．【解答】解：由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．则展开式中各项系数的最大值是或，则==462．故选：C．7．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为3【考点】7F：基本不等式．【分析】a2﹣b+4≤0，可得b≥a2+4，a，b＞0．可得﹣≥﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a2﹣b+4≤0，∴b≥a2+4，a，b＞0．∴a+b≥a2+a+4，∴≤，∴﹣≥﹣，∴u==3﹣≥3﹣=3﹣≥3﹣=，当且仅当a=2，b=8时取等号．故选：B．8．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【考点】93：向量的模．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．故选：B．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与PQ所成角的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E（1，），F（0，，），当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G（1，，），此时BG与BD所成角刚好30度，即直线BD与PQ所成角的最小值为，取P（，0，0），Q（0，）时，直线BD于PQ所成角取最大值，∵=（1，1，0），=（﹣，，），∴cos＜＞==0，∴直线BD于PQ所成角最大值为．∴直线BD与PQ所成角的取值范围是[，]．故选：B．10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A． B．（0，e）C． D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算；67：定积分．【分析】根据题意，令g（x）=xf（x），分析可得g′（x）=[xf（x）]′=，对g（x）求积分可得g（x）的解析式，进而可得f（x）的解析式，再令h（x）=f（x）﹣x，对其求导可得h′（x）=f′（x）﹣1＜0，分析可得函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，将不等式变形可得f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=xf（x），则有g′（x）=[xf（x）]′=，则g（x）=（lnx）2+C，即xf（x）=（lnx）2+C，则有f（x）=（lnx）2+，又由，即f（e）=+=，解可得C=，故f（x）=（lnx）2+，令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=＜0，故函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，不等式，即f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，则有0＜x＜e，即不等式的解集为（0，e）；故选：B．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）= 3 ．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX= ．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算不获奖的概率得出获奖的概率，根据二项分布的性质得出数学期望．【解答】解：抽奖1次，不中奖的概率为=，∴抽奖1次能获奖的概率为1﹣=；抽奖1次获一等奖的概率为=，∴随机变量X服从二项分布，即X～B（3，），∴EX=3×=．故答案为：，．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin ∠ABD= ，BC= 6 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，BH= k，在Rt△ABH中，由∠A=，得AH=k，从而AD=3k，AC=6k，由S△ABC==3=3，求出BC=6，再由，能求出sin∠ABD．【解答】解：过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，∴BH==k，在Rt△ABH中，∠A=，∴AH==k，∴AD=3k，AC=6k，又S△ABC=×AC×BH==3=3，解得k=1，∴BC=6，在△ABD中，，∴解得sin∠ABD=．故答案为：，6．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l过定点（0，2）；当m= 时，以AB为直径的圆与直线相切．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程求得直线l过点（0，2）；利用中点坐标公式求得圆M的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：x2﹣kx﹣m=0，则x1+x2=k，x1x2=﹣m，y1y2=（x1x2）2=m2，y1+y2=k（x1+x2）+2m=k2+2m，由，则x1x2+y1y2=m2﹣m=2，即m2﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1或m=2，由m＞0，则m=2，直线l：y=kx+2，∴直线l过点（0，2），设以AB为直径的圆的圆心M（x，y），圆M与相切于P，由x==，则P（，﹣），由题意可知：•=0，即（x1﹣，y1+）•（x2﹣，y2+）=0，整理得：x1x2﹣（x1+x2）++y1y2+（y1+y2）+=0，代入整理得：m2﹣+=0，解得：m=，∴当m=，以AB为直径的圆与直线相切．故答案为：（0，2），．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有114 种不同的考试安排方法．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】依题意，分两大类：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．【解答】解：将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科，第一次有种方法，第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，第三次只能是种方法，根据分布乘法计数原理，共有：••（•）•=24种方法；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，共=6种方法；分别为方案2211，2121，2112，1221，1212，1122．若为2211，第一次有种方法，第二次有两种情况，1°选考过的两科，有种方法，则第三次只考剩下的第三科有1种方法；第四次只有1种方法，故共有••1•1=3种方法；2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，则第三次与第四次共有种方法，故共有•••=12种方法；综上所述，2211方案共有15种方法；若方案为2121，共有（••+••）=15种方法；若方案为2112，共有（••+••）=15种方法；同理可得，另外3种情况，每种各有15种方法，所以，四次考试都选，共有15×6=90种方法．综合①②得：共有24+90=114种方法．故答案为：114．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，这个三棱柱的高h=RM==．底面正三角形PQR的边长为，面积为=．∴这个直三棱柱的体积是．故答案为：．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是{a|a＜﹣或a=0或a} ．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】对a进行分类讨论，得出y=ax2﹣2x与y=x±2的位置关系，根据交点个数判断a 的范围．【解答】解：（1）若a=0，则y=2x与y=x为相交直线，显然y=2x上存在两点到y=x的距离等于，符合题意；（2）若a＞0，则y=ax2﹣2x与直线y=x相交，∴y=ax2﹣2x在直线y=x上方的图象必有2点到直线y=x的距离等于，又直线y=x与y=x﹣2的距离为，∴抛物线y=ax2﹣2x与直线y=x﹣2不相交，联立方程组，消元得ax2﹣3x+2=0，∴△=9﹣8a＜0，解得a．（3）若a＜0，同理可得a＜﹣．故答案为：{a|a＜﹣或a=0或a}．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ，∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z．∴ω=+，又ω∈（，1），令k=1时，ω=符合要求，∴函数f（x）的最小正周期为=；（Ⅱ）∵f（）=0，∴2sin（2××﹣）+λ=0，∴λ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）﹣，∴f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）对a进行分类讨论：当a=0时，f（x）=﹣x+1，m≥1；再对对称轴进行讨论，当＜2时，即a＞；当≥2时，即a≤，分别去求|f（x）|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a=2，b=3时，f（x）=x3﹣x2+x，f′（x）=2x2﹣3x+1=（2x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）极大值=f（）=，f（x）极小值=f（1）=，（Ⅱ）当b=a+1，f（x）=ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，f′（x）恒过点（0，1）；当a=0时，f′（x）=﹣x+1，m≥|f′（x）|恒成立，∴m≥1；0＜a≤1，开口向上，对称轴≥1，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1=a（x﹣）2+1﹣，①当a=1时f′（x）=x2﹣2x+1，|f′（x）|在x∈[0，2]的值域为[0，1]；要m≥|f′（x）|，则m≥1；②当0＜a＜1时，根据对称轴分类：当x=＜2，即＜a＜1，△=（a﹣1）2＞0，f′（）=﹣（a+）∈（﹣，0），又f′（2）=2a﹣1＜1，所以|f′（x）|≤1；当x=≥2，即0＜a≤；f′（x）在x∈[0，2]的最小值为f′（2）=2a﹣1；﹣1＜2a﹣1≤﹣，所以|f′（x）|≤1，综上所述，要对任意x∈[0，2]都有m≥|f′（x）|恒成立，有m≥1，∴m≥1．21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PO丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PO直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣1522．已知函数f n（x）=x n（1﹣x）2在（，1）上的最大值为a n（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由已知得=（n+2）x n﹣1（x﹣1）（x﹣），由此利用导数性质能求出数列{a n}的通项公式．（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，由此能证明当n≥2时，都有成立．（3）S n＜＜，由此能证明任意正整数n，都有成立．【解答】解：（1）∵f n（x）=x n（1﹣x）2，∴=x n﹣1（1﹣x）[n（1﹣x）﹣2x]=（n+2）x n﹣1（x﹣1）（x﹣），…当x∈（，1）时，由，知：x=，…∵n≥1，∴，…∵x∈（，）时，；x∈（）时，（x）＜0；∴f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减∴在x=处取得最大值，即=．…（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，…∵（1+）n=≥1+2+≥1+2+1=4，…∴当n≥2时，都有成立．…（3）S n=a1+a2+…+a n＜＜=＜．∴对任意正整数n，都有成立．…。

2023-2024学年浙江省杭州市高级中学高考数学五模试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．193B ．4C ．254D ．1322．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b3．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（） A ．134-B ．54C ．5D ．1544．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞5．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．48．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2sin 2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 9．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ．D ．10．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．612．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年浙江省高三下学期5月联考数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年浙江省高三下学期5月联考数学模拟试题一、单选题1．若集合{}{22530,A x x x B y y =--≤=∣∣，则A B ⋃=（）A ．{}03x x ≤≤∣B ．12xx ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭∣C ．{}1xx ≥∣D ．{}13xx ≤≤∣【正确答案】B【分析】解不等式求集合A 、由幂函数的性质得集合B ，再求并集即可.【详解】由题意可得()()212532130,32x x x x A ⎡⎤--=+-≤⇒=-⎢⎥⎣⎦，易知y =[)00,y B ≥⇒=+∞，故A B ⋃=12xx ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭∣.故选：B2．若()i 14z -=，则z =（）AB C ．3D ．2【正确答案】A【分析】利用复数的除法运算及求模公式计算即可.【详解】由()4i 14114i iz z z -=⇒=-=+⇒=，故选：A3．已知单位向量,,a b c 满足0a b c ++= ，其中()1,0c = ，则2a b + 在c上的投影向量是（）A ．3,22⎛-- ⎝⎭B ．322⎛ ⎝⎭C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.【详解】因为单位向量,,a b c 满足0a b c ++=，所以()()22221212c a b c a ba ab b a b -=+⇒-=+=+⋅+=⇒⋅=-，由投影向量计算公式可知2a b + 在c 上的投影向量是2cos 2,c a b a b c c+⋅+⋅，即()()222223a b c c a a b b c c+⋅⨯=--⋅-⨯故()223232a a b b c c --⋅-⨯=-，而()1,0c = ，故33,022c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：D4．《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为正方形的阳马中，若1AB PA ==，则（）A ．直线PA 与直线BC 所成角为π3B ．异面直线AD 与直线PCC ．四棱锥P ABCD -的体积为1D ．直线PC 与底面ABCD【正确答案】B【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A ；求出线面距离判断B ；求出四棱锥体积判断C ；求出线面角的余弦判断D 作答.【详解】由PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，而1AB PA ==，则阳马可补形成正方体111ABCD PB C D -，如图，对于A ，由PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，因此直线PA 与BC 所成角为π2，A 错误；对于B ，连接1CD ，11//,AD PD PD ⊂平面1PCD ，AD ⊄平面1PCD ，则有//AD 平面1PCD ，从而异面直线AD 与直线PC 的距离等于直线AD 与平面1PCD 的距离，取1CD 的中点H ，连接DH ，则1DH CD ⊥，而1PD ⊥平面11CDD C ，DH ⊂平面11CDD C ，于是1DH PD ⊥，又11111,,PD CD D PD CD =⊂ 平面1PCD ，因此DH ⊥平面1PCD ，所以直线AD 与平面1PCD 的距离为2DH =，B 正确；对于C ，四棱锥P ABCD -的体积211111333ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=，C 错误；对于D ，连接AC ，则PCA ∠是直线PC 与底面ABCD 所成的角，而AC PC =因此cos3AC PCA PC ∠=，D 错误.故选：B5．临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（）A ．11120B ．1691C ．1176D ．543【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答.【详解】恰有1位同学拿到自己写的祝福卡有111533C C C 53345=⨯⨯=种，恰有2位同学拿到自己写的祝福卡有2152C C 10220=⨯=种，恰有3位同学拿到自己写的祝福卡有35C 10=种，恰有4位（5位）同学拿到自己写的祝福卡有1种，因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为452010176+++=个，至少有3位同学摸到自己写的祝福卡的事件有10111+=个基本事件，所以至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率1176P =.故选：C.6．定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩设函数(){}min sin ,cos (0)f x x xωωω=>，可以使()f x 在5ππ(,)122上单调递减的ω的值为（）A ．23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3C ．3,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]3,4【正确答案】C【分析】分段写出函数()f x 解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】依题意，3π2ππ2πsin ,[,)44(),Z π2π5π2πcos ,[,)44k k x x f x k k k x x ωωωωωωωωωω⎧∈-++⎪⎪=∈⎨⎪∈++⎪⎩，函数()f x 的递减区间是3π2ππ2π[,]42k k ωωωω-+-+，π2ππ2π[,]4k k ωωωω++，Z k ∈，于是5ππ3π2ππ2π(,)[,]12242k k ωωωω⊆-+-+或5πππ2ππ2π(,)[,]1224k k ωωωω⊆++，Z k ∈，即3π2π5π412π2ππ22k k ωωωω⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，Z k ∈，解得2494155k k ω-≤≤-，由0412494155k k k ω<≤-⎧⎪⎨-<-⎪⎩，得114k <<，无解；或π2π5π412π2ππ2k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，Z k ∈，解得2434255k k ω+≤≤+，由0422434255k k k ω<≤+⎧⎪⎨+<+⎪⎩，得1724k -<<，则0k =或1k =，当0k =时，325ω≤≤，当1k =时，2765ω≤≤，选项C 满足，ABD 不满足.故选：C7．已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，()()12,0,,0F c F c -分别是C 的左、右焦点，若12F PF ∠的角平分线与直线x a =交于点I ，且11222IPF IF F IPF S S =+ ，则C 的离心率为（）A ．2BC ．3D【正确答案】B【分析】根据给定条件，结合双曲线定义证明点I 是12F PF △的内心，再借助三角形面积公式求解作答.【详解】作12PF F ∠的平分线交12F PF ∠的平分线于I '，过I '作21,,I M PF I N PF I T x '''⊥⊥⊥轴，垂足分别为,,M N T，如图，则点I '为12PF F △的内心，有1122||||,||||,||||PM PN F N FT F M F T ===，设0(,0)T x ，1212120002||||||||||||()()2a PF PF F N F M FT F T x c c x x =-=-=-=+--=，则0x a =，于是直线I T '与直线x a =重合，而12F PF ∠的角平分线与直线x a =交于点I ，即I '与I 重合，则点I 为12PF F △的内心，因此令||||||IM IN IT r ===，由1122IPF IF F IPF S S =+ ，得1122111||||222||PF r F F PF r r ⋅⋅=+⋅，因此12||||PF PF =+，即有122||||PF PF a =-，即c =，所以双曲线C 的离心率为ce a==故选：B8．已知(),,1,0a b c ∈-，且满足()3ln 21e 11ln 2,ln ,e 134c b a a b c +-++=+==-，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c<<【正确答案】B【分析】变形给定的等式，构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数探讨单调性，借助单调性比较大小作答.【详解】由1ln2ln(1)ln 323a a a a +=+⇔=+-+，得ln(1)2ln 3a a -+=-，由3e (1)ln 3ln(1)ln 44b b b b +=⇔=++-，得ln(1)3ln 4b b -+=-，由ln 21e 1ln(1)ln 21c c c c +-=-⇔+=+-，得ln(1)1ln 2c c -+=-，令函数()ln(1)f x x x =-+，显然()(2),()(3),()(1)f a f f b f f c f ===，求导得1()111x f x x x '=-=++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x ∞∈+时，()0,()'>f x f x 单调递增，于是(1)(2)(3)f f f <<，即有()()()f c f a f b <<，而,,(1,0)a b c ∈-，所以b a c <<.故选：B思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．样本数据5,9,10,13,9,7,3,6的上四分位数为9.5B ．若随机变量ξ服从两点分布，若()103P ξ==，则()23D ξ=C ．若随机变量ξ服从正态分布(),1N u ，且()(2)f x P x x ξ=-<<是偶函数，则1u =-D ．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的值越接近于1【正确答案】AC【分析】求出上四分位数判断A ；求出两点分布的方差判断B ；利用正态分布的对称性求出u 判断C ；利用相关系数与相关性强弱的关系判断D 作答.【详解】对于A ，样本数据3,5,6,7,9,9,10,13，由875%6⨯=，得上四分位数为9109.52+=，A 正确；对于B ，112()(1339D ξ=-⨯=，B 错误；对于C ，由()(2)f x P x x ξ=-<<是偶函数，得(2)(2)P x x P x x ξξ--<<-=-<<，又(),1N u ξ~，因此2()12x x u -+-==-，C 正确；对于D ，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的绝对值越接近于1，D 错误.故选：AC10．直三棱桂111ABC A B C -中，11,,AB BC BB AB BC E ===⊥为棱BC 上的动点，F 为1A E 中点，则（）A ．11A E AB ⊥B ．三棱锥111C A FB -的体积为定值C ．四面体111A AB C -的外接球表面积为4πD ．点F 的轨迹长度为12【正确答案】ABD【分析】由题意补直三棱柱为正方体，结合正方体的特征可判定A ，利用等体积法转化可判断B ，利用正方体的外接球及球的表面积公式可判断C ，利用三角形中位线判断D 即可.【详解】由题意可知：直三棱柱为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一半，如图所示.对于A ，连接AB 1，A 1B ，结合正方体的特征，易知BE ⊥AB 1，AB 1⊥A 1B ，故AB 1⊥面A 1BE ，1A E ⊂面A 1BE ，则11A E AB ⊥，即A 正确；对于B ，由题意可知F 到上下底面的距离均为0.5，故111111C A FB F A B C V V --=是定值，即B 正确；对于C ，四面体111A AB C -24π3πS R ==,即C 错误；对于D ，连接A 1C ，取其中点O ，连接OF ，易知OF 为1A BC 的中位线，故E 从B 运动到C 的过程中F 的运动轨迹长度为BC 一半，即D 正确.综上ABD 三项正确.故选：ABD11．抛物线2:2(0)C x py p =>的准线方程为1y =-，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则（）A ．C 的方程为22x y=B ．2AB BF +的最小值为4+C ．过点(4,2)M 且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条D ．过点,A B 分别作C 的切线，交于点()()000,0P x y x ≠，则直线,,PF PA PB 的斜率满足211PF PA PBk k k =+【正确答案】BD【分析】求出抛物线方程判断A ；设出直线l 的方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义及均值不等式计算判断B ；设出过点M 的直线方程，与抛物线方程联立求解判断C ；求导并结合选项B 的信息求解判断D 作答.【详解】对于A ；依题意，12p-=-，解得2p =，C 的方程为24x y =，A 错误；对于B ，由选项A 知，(0,1)F ，设直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有124x x =-，2212123||2||||3||13(1)44x x AB BF AF BF y y ++=+=+++=+44≥+=+，当且仅当12x =时取等号，B 正确；对于C ，过点(4,2)M 且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于y 轴，设此直线方程为4(2)x t y -=-，由24(2)4x t y x y-=-⎧⎨=⎩消去y 得：22404t x x t --+=，当0=t 时，4x =，直线与抛物线仅只一个交点，当0t ≠时，21(24)2410t t t t ∆=--+=-+=，解得12t =±，即过点(4,2)M 且与抛物线相切的直线有2条，所以过点(4,2)M 且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，C 错误；对于D ，由24x y =求导得2x y '=，由选项B 知，12,22PA PB x x k k ==，121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，1212122(112)22PA PB x x k k k x x x x ++=+==-，由111222()2()2x y x x y x y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩两式相减得：222121211(022)x x x x x y y ---+-=，即2212121(24)x x x x x -=-，则1222x x x k +==，于是02x k =，10111111(21)1(2)x y k x y kx y kx kx =-+=-=-+=-，即点(2,1)P k -，所以21211,22PFPF PA PBk k k k k k k -==-=-=+，D 正确.故选：BD12．已知()(),,e ,x a b f x ax g x ∈=-=R ）A ．对于任意的实数a ，存在b ，使得()f x 与()g x 有互相平行的切线B ．对于给定的实数0x ，存在a b ､，使得()()00g x f x ≥成立C ．()()y f x g x =-在[)0,∞+上的最小值为0，则a的最大值为D ．存在a b ､，使得()()2e 2f xg x -≤+对于任意x ∈R 恒成立【正确答案】ABC【分析】对于A ，对两函数求导，再求出导函数的值域，由两值域的关系分析判断，对于B ，由()()00g x f x ≥可得0x b ，从而可判断，对于C ，令()()()h x f x g x =-，再由102h ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥可得a ≤0x 为()h x 的极小值点，然后列方程表示出,a b ，从而可用0x表示a ，再构造函数，利用导数可证得结论，对于D ，根据函数值的变化情况分析判断.【详解】对于A ，()e xf x a a '=->-，()g x '=当0x ≥时，()(),g x b b b '=-，当0x <时，()(),g x b b '==-=-∈-，综上，()(),g x b b '∈-，所以对于任意的实数a ，存在b ，使(),a -+∞与(),b b -有交集，所以对于任意的实数a ，存在b ，使得()f x 与()g x 有互相平行的切线，所以A 正确，对于B ，由于给定的实数0x ，当a 给定时，则()0f x 为定值，由()()00g x f x ≥，得00e x ax ≥-，0x b ，所以存在b 使上式成立，所以B 正确，对于C ，令()()()e x h x f x g x ax =-=--()12111e 2222h a b a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，当[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥恒成立，所以102h ⎛⎫⎪⎝⎭≥，()102a -≥，即a ≤若()h x 在[)0,∞+上递增，因为()()()h x f x g x =-在[)0,∞+上的最小值为0，所以()010h b =-=，得1b =，所以()e xh x ax =-()e 0xh x a '=-≥在[)0,∞+上恒成立，即e x a ≥在[)0,∞+上恒成立，令()e 0)x t x x =≥，则()2e 10(0)xt x x '=-≥≥，所以()t x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()01t x t ≥=，所以1a≤，所以1a a =++若()h x 在[)0,∞+上不单调，因为()()()h x f x g x =-在[)0,∞+上的最小值为0，所以设0x 为()h x的极小值点，则()()00000e 0e 0x x h x ax h x a ⎧=--=⎪⎨=-='⎪⎩，解得()(002000e 1e 1x x a x x b x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩所以()(00200e 11x x a x x x =-+-02000e 11x x x x ⎡=-++-⎣令()020000e 11x x x x x ϕ⎡=-++-⎣，则()02000000e 11e 21x x x x x x x x ϕ⎡⎤⎡'⎢=-++-+---⎣⎢⎣000e 11x x x x ⎡⎤⎢=+-⎢⎣由()00x ϕ'=，得0000e 110x x x x ⎡⎤⎢+-=⎢⎣，00x =或00110x x +--，解得00x =，或01x =-（舍去），或012x =-（舍去），或012x =，当0102x <<时，()00x ϕ'>，当012x >时，()00x ϕ'<，所以()0x ϕ在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以()120111e 122422x ϕϕ⎛⎛⎫≤=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝综上a ≤C 正确，对于D ，()()e x f x g x ax -=--，当x →+∞时，()()f x g x -→+∞，所以D 错误，故选：ABC关键点点睛：此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，对于选项C 解题的关键是由题意设0x 为()h x 的极小值点，则()()0000h x h x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，求出,a b ，则可表示出a 再构造函数，利用导数可得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.三、填空题13．已知5112a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为120，则=a __________.【正确答案】1-【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于a 的方程，解出即可.【详解】512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为5552155,05,N C (2)C 2k k k k k kk T x xk k x ----+=≤=≤∈，5112a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为()322355C 2C 2120a ⋅+-=,解得1a =-.故答案为.1-14．已知圆221:4C x y +=和圆222:(3)(2)1C x y -+-=，则过点42,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭且与12,C C 都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）【正确答案】2x =或512260x y +-=（写出一条即可）【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.【详解】若过M 的切线斜率不存在，即为2x =，此时显然与两圆都相切；若过M 的切线斜率存在，不妨设为()423y k x -=-，则()()120,0,3,2C C 到()423y k x -=-的距离分别为1252,112d d k ====⇒=-，即()452512260312y x x y -=--⇒+-=.综上过M 与两圆都相切的直线为：2x =或512260x y +-=故2x =或512260x y +-=（写出一个即可）15．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和记为()N n S n *∈，满足233326a a S +=+，若数列{}n S 为单调递增数列，则公差d 的取值范围为__________.【正确答案】03d <<【分析】根据给定条件，确定0(2)n a n ≥≥恒成立，再分析判断0d >，结合已知等式求解作答.【详解】因为数列{}n S 为单调递增数列，则当2n ≥时，10n n n a S S -=->，而等差数列{}n a 的公差0d ≠，若0d <，由1(1)n a a n d =+-知，数列{}n a 单调递减，存在正整数0n ，当0n n >时，0n a <，110n n n n S S a a ++-=<<与数列{}n S 为单调递增数列矛盾，因此0d >，由233326a a S +=+，得22232(6)3a a d a +=++，即230a d =->，解得3d <，则03d <<，所以公差d 的取值范围为03d <<.故03d <<16．若函数2()(,R)f x ax b a b =-∈与函数1()g x x x=+的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则a 的取值范围为__________.【正确答案】((0, 【分析】把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答.【详解】依题意，方程21xax b x -=+，即3210a x x bx --=-有三个不等实根，设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为123,,(0)x m d x m x m d d =-==+≠，于是321[()]()[()]a x x a x m d x m m x b x d --=--+---，整理得32322222113(3)()x x x mx x m d x m m d ab a a --=--+---，因此22131()m a m m d a⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则22111()39d a a a =-，即有221339d a =+>，解得0a <或0a <<，所以a的取值范围是((0, ..故((0, 思路点睛：涉及给定两个函数图象交点横坐标问题，可以等价转化为方程实根问题，再结合方程思想求解即可.四、解答题17．在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且1313,,a a a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和n S 满足22=-n n S b .(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n c b a =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，若不等式()22log 1n T n n a +->-对任意*N n ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)21n a n =-，2nn b =(2)11a -<<【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，根据等比中项的性质得到方程，求出d ，即可求出{}n a 的通项公式，再根据11,1,2n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，即可得解；（2）由（1）可得()221n n c n =--，利用分组求和法求出n T ，令()122n f n n +=--，利用作差法判断()f n 的单调性，即可求出()min f n ，从而得到关于a 的对数不等式，解得即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为10,1d a ≠= ，且1313,,a a a 成等比数列，23113a a a ∴=，即2(12)112d d +=+，解得2d =或0d =（舍去），所以()12121n a n n =+-=-.数列{}n b 的前n 项和22=-n n S b ，当1n =时，1122b b =-，12b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=-，12n n b b -∴=，即数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，2n n b ∴=.（2）由（1）可得()221nn n n c b a n =-=--，()()1221212122122n n n n n T n +-+-∴=-=---2122n n T n n n +∴+-=--.令()122n f n n +=--，()()()2111212210n n n f n f n n n +++∴+-=-+-+=->，()f n ∴单调递增，()min ()11f n f ∴==.()2log 11a ∴-<，012a ∴<-<，11a ∴-<<.18．在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，压力随着现代生活节奏的加快、社会竞争日趋激烈等逐渐增大.某市研究组为了解该市市民压力的情况，随机邀请本市200名市民进行心理压力测试评估，得到一个压力分值，绘制如下样本数据频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计该市市民压力分值位于区间[]70,100的概率；(2)估计该市市民压力分值的平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(3)若市民的压力分值不低于70，则称为“高压市民”.研究组对“高压市民”按年龄段进行研究，发现年龄在30岁到50岁的“高压市民”有35人，年龄在30岁到50岁的“非高压市民”有25人，剩余“高压市民”的年龄分散在其它年龄段.为研究方便，记年龄在30岁到50岁为年龄段A ，其余为年龄段B .根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.压力高压市民非高压市民年龄段A 年龄段B附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中a b c d n +++=.()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【正确答案】(1)0.013a =，0.35；(2)58；(3)列联表见解析，有99.9%的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出a ，再由频率估计概率作答.（2）利用频率分布直方图估计压力分值的平均值作答.（3）由（1）及已知完善22⨯列联表，求出2χ的观测值，与临界值比对作答.【详解】（1）依题意，0.040.020.050.10100.160.150.18100.041a a +++++++++=，解得0.013a =，记“该市市民的压力分值在区间[]70,100”为事件C ，则()()0.0180.0130.004100.35P C =++⨯=.（2）由频率分布直方图及（1）知，压力分值在各分组区间内的频率依次为：0.04,0.02,0.05,0.10,0.13,0.16,0.15,0.18,0.13,0.04，所以50.04150.02250.05350.1450.13550.16650.15x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯750.18850.13950.0458+⨯+⨯+⨯=.（3）由（1）知，高压市民有2000.3570⨯=人，年龄段A 的人数有35人，年龄段B 的人数为35人，所以22⨯列联表为：压力高压市民非高压市民合计年龄段A 352560年龄段B3510514070130200零假设0H ：该市高压市民与其年龄在在30岁到50岁无关，22200(351053525)8002010.828601407013039χ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.19．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，AB AP ⊥，平面PCD ⊥平面,ABCD PD AD =.(1)若H 为AP 的中点，证明：AP ⊥平面HCD ；(2)若1,AB AD PA ==PAB 与平面PCD 所夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析；(2)22.【分析】（1）利用等腰三角形的性质及线面垂直的判定推理作答.（2）根据给定条件，作出平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角，再结合对应三角形计算作答.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，H 为AP 的中点，又PD AD =，则AP HD ⊥，而,//AB AP AB CD ⊥，因此,,,AP CD HD CD D HD CD ⊥⋂=⊂平面HCD ，所以AP ⊥平面HCD .（2）在平面PCD 内过点P 作PO CD ⊥交直线CD 于O ，连接OA ，如图，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，则PO ⊥平面ABCD ，而AO ⊂平面ABCD ，则有PO AO ⊥，又AP CD ⊥，,,AP PO P AP PO =⊂ 平面PAO ，于是CD ⊥平面PAO ，AO ⊂平面PAO ，则AO CD ⊥，有POD AOD ≌，得2PO OA ==，//,AB CD CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，则//AB 平面PCD ，平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，因此////l AB CD ，有,l PA l PO ⊥⊥，从而APO ∠为平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角，显然π4APO ∠=，则cos 2APO ∠=，所以平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值为2.20．记锐角ABC 内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､.已知π2sin cos sin 262C A B B -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若3c =，求a b c ++的取值范围.【正确答案】(1)π3C =(2)(3⎤+⎦【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到tan 2C =（2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由πA B C ++=，故π=--A B C ，故π2sinsin cos cos cos sin sin 22222A B B C C C C B B B ---⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭，12sincos 2sin sin cos sin sin262222C C C CB B B B B π⎫⎛⎫+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，cos cos cos 22C CB B =，因ABC 是锐角三角形，故cos 0B ≠，.故tan2C =π26C =，所以π3C =.（2）由正弦定理可知sin sin sin a b c A B C===故,a A b B ==，()33a b c A B A A C ++=++=+++)3sin cos cos sin A A C A C =+++.π33cos 36sin 6A A A ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭.由ABC 是锐角三角形，可知02,6202A A B ππππ⎧<<⎪⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪<<⎪⎩，故ππ2π,633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故(3a b c ⎤++∈+⎦.21．已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率为2，抛物线22:8C x y =的准线与1C 相交，所得弦长为(1)求1C 的方程；(2)若()()1122,,,A x y B x y 在2C 上，且120x x <<，分别以,A B 为切点，作2C 的切线相交于点P ，点P 恰好在1C 上，直线,AP BP 分别交x 轴于,M N 两点.求四边形ABMN 面积的取值范围.【正确答案】(1)221168y x +=(2)(【分析】（1）根据题意可得曲线过点)2-，然后根据曲线的离心率和,,a b c 之间的关系即可求解；（2）设直线AB 的方程为()()1122(0),,,,y kx m m A x y B x y =+>，与曲线方程联立，用韦达定理，利用切线方程求出,M N 两点的坐标，然后将面积的表达式求出来，再根据函数的性质即可求解.【详解】（1）由题知1C过点)2-，则222222461c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩221:1168y x C ∴+=.（2）设直线AB 的方程为()()1122(0),,,,y kx m m A x y B x y =+>，联立28y kx m x y =+⎧⎨=⎩，得2880x kx m --=，212128,8,Δ64320x x k x x m k m +==-=+>，则12AB x =-，而28x y =，则4x y '=，故以A 为切点的切线为()1114x y y x x -=-，即2111,,0482x x x y x M ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭，同理以B 为切点的切线为2222,,0482x x x y x N ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭，则122x MN x =-，由2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故两式作差得：2212124488x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1242x x x k +==，两式求和得：()22212121212121222248484x x x x x x x x x x x x y x x m +-+++=-=-==-，所以点()4,,P k m -由P 在椭圆上222116m k +=，即(]0,4m ∈.点P 到直线AB的距离d =，所以1212ABPS d AB x ==- ，12122MNP x x S m -= ，1212122ABP MNPx x S S S x m -=-=-- (221232834k m x x k m⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭2344m m ⎛=-++ ⎝2(6)[134m -=-，而2(6)134m y -=-、2(8)108m y -=-在(]0,4m ∈上递增且恒正，则S 在(]0,4m ∈上递增，(S ∈.22．己知函数()e ln xa f x x x x=+-有三个极值点()123123,,x x x x x x <<，其中a ∈R .(1)求a 的取值范围；(2)求证：132x x +>；(3)求证.()()3134132e f x f x x x a +>-【正确答案】(1)10ea <<(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为(0)e x x a x =>有两个不等实根，令()(0)e xxg x x =>，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求解；（2）根据题意，2131,,x x x =是0e xxa -=的两个根，将问题等价转化为证明()()112g x g x <-，令()()()2(01)h x g x g x x =--<<，利用函数的单调性进而求证；（3）根据题意可得()()131ln f x f x a ==+，将要问题等价转化为()1313421ln e ex x x x a a ++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭，令()()11ln ,0,e g a a a a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，利用导数与函数的单调性得到()210e g a -≤<，令()132,x x t ∞+=∈+，()(),2,e tth t t ∞=∈+，根据函数的单调性进而求证.【详解】（1）()()()()22e 1e 111x x a x x a x f x x x x ---=+-='(0)e xx a x ∴=>有两个不等根令()(0)e x x g x x =>，则()101ex x g x x '-=>⇒<()g x ∴在()0,1单调递增，[)1,+∞上单调递减，且()max 11e g g ==10ea ∴<<.（2）由（1）知，2131,,x x x =是0e xx a -=的两个根先证()()()()133131112222x x x x g x g x g x g x +>⇔>-⇔<-⇔<-令()()()2(01)h x g x g x x =--<<，则()()()()()221e 120e x x x h x g x g x -'--=+''-=>()h x ∴在()0,1上单调递增()()10h x h ∴<=()()2(01)g x g x x ∴<-<<又()()111012x g x g x <<∴<-得证（3）因为1212e e x x x x a ==，所以1212e e 1x x x x a==，1122ln ln ln x x x x a -=-=，所以()()131ln f x f x a==+要证()()3134132e f x f x x x a -+>，即证：()13341321ln ex x a x x a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，又因为13213e x x x x a +=，即证.()1313421ln e ex x x x a a ++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭令()()()11ln ,0,,2ln e g a a a a g a a ⎛⎫=+∈=+ ⎝'⎪⎭，所以()210,,e a g a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，()211,,e e a g a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()210e g g a ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，即()210e g a -≤<.令()132,x x t ∞+=∈+，()()()()1,2,,,2,e e t tt t h t t h t t ∞∞'-=∈+=∈+时，()h t 单调递减，所以()02h t <<所以()()42e g a h t ->，即()1313421ln e e x x x x a a ++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()()3134132e f x f x x x a -+>成立.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.。

2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷(5月份) (含答案解析)

2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x|x−1≤0}，Q={x|0<x≤2}，则(∁R P)∩Q=()A. (0,1)B. (0.2]C. [1,2]D. (1,2]2.若双曲线x2a2−y23=1的离心率为2，则此双曲线的顶点到渐近线的距离等于()A. 2B. √32C. 32D. √33.若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是()A. 4B. 4+4√10C. 8D. 4+4√114.设x，y满足{2x−y−2⩽0x−2y+2⩾0x+y+2⩾0，则z=x−3y的最小值是()A. 8B. −2C. −4D. −85.设函数f(x)=(2−t)·2x+t−3，当t∈(1,4)时，f(x0)<0，且x0∈Z，则x0的取值的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 46.“−2<x<1”是“x>1或x<−1”的()A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 既充分也必要条件7.已知随机变量X的分布列如表：X−101P a b c其中a，b，c>0.若X的方差DX≤13对所有a∈(0,1−b)都成立，则()A. b≤13B. b≤23C. b≥13D. b≥238.已知向量a⃗=(λ,2)，b⃗ =(1,−2)，a⃗⊥b⃗ ，则实数λ=()A. 1B. 4C. −1D. −49.已知函数f(x)=12x 4−2x 3+3m，x∈R，若f(x)+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A. m≥32B. m>32C. m≤32D. m<3210.数列{a n}满足a n+1+a n=2n−3，则a8−a4=()A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.已知i是虚数单位，若z(1−i)=2i，则|z|=________．12.已知在(1−2x)n的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n(1−2x2)的展开式中，x4项的系数是__________．13.已知圆O:x2+y2=4.过点Q(2,4)作圆的切线，则切线长为________．14.如图，△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=√3AD，AB=2AD，则sin B等于______．15.从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．(用数字作答) 16.已知集合A={x∈R||x−55|≤112}，则集合A中的最大整数为______．17.椭圆x29+y25=1的离心率为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，φ∈(−π2,π2)的部分图象如图所示．(1)求ω、φ的值；(2)设x∈(−π3,π2)，求函数f(x)的值域．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，AA1=1，AB=2，AC=1，BC=√3．(1)求证：BC⊥平面AA1C1C；((2)求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．20.已知等差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a n+a n+1)=2n(n+1)(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n2n−1}的前n项和S n．21.已知抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M、N两点，且|MN|=4．(Ⅰ)求抛物线Γ的方程；(Ⅱ)若点P是抛物线Γ上的动点，点B、C在y轴上，圆(x−1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC 面积的最小值．22.已知函数g(x)=e x−2−ax(a∈R)(e为自然对数的底数)(1)讨论函数g(x)的单调性；(2)当x>0且x≠1时，f(x)=g(x)−e x−2+x在(1,+∞)上为减函数，求实数a的最小值．lnx-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查集合的运算：交集和补集，考查运算能力，属于基础题．求得P的补集，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合P={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∁R P={x|x>1}，Q={x|0<x≤2}，则(∁R P)∩Q={x|1<x≤2}．故选：D．2.答案：B解析：解：由题意，双曲线x2a2−y23=1的离心率为2，则a=1，∴顶点坐标为(±1,0)，渐近线的方程为y=±√3x∴双曲线的顶点到渐近线的距离为√33+1=√32，故选：B．双曲线x2a2−y23=1的离心率为2，求出a=1，可得双曲线的顶点坐标、渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离．本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查双曲线的几何性质，属于中档题．3.答案：B解析：【分析】本题考查三视图与直观图，考查学生的计算能力，属于基础题．由正四棱锥的正视图和俯视图可知，正四棱锥的底面对角线长为2√2，正四棱锥的高为3，由此可求正四棱锥的表面积．【解答】解：由正四棱锥的正视图和俯视图可知，正四棱锥的底面对角线长为2√2，正四棱锥的高为3 ∴正四棱锥的底面正方形边长为2∵正四棱锥的高为3∴正四棱锥的斜高为√9+1=√10∴正四棱锥的表面积是四个侧面积+一个底面积，即4+4×12×2×√10=4+4√10故选B ．4.答案：C解析：【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，属于基础题．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．【解答】解：作出可行域，当直线z =x −3y 经过点A 时，z =x −3y 有最小值，由{2x −y −2=0x −2y +2=0，解得x =2，y =2，故z min =2−3×2=−4．故选C5.答案：C解析：【分析】本题考查函数的单调性和值域，考查抽象概括能力和应用意识．【解答】解：f(x)=(2−t)·2x +t −3=(1−2x )t +2x+1−3，∴F(t)=(1−2x )t +2x+1−3是关于t 的一次函数，∵当t ∈(1,4)时，f(x 0)<0∴{F(1)⩽0F(4)⩽0即{2x 0−2⩽0−2⋅2x 0+1⩽0解得−1≤x 0≤1，又∵x 0∈Z ，∴x 0=−1，0，1，故选C ．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查了充要条件，必要条件，充分条件的概念．根据题目所给已知条件，结合充要条件，必要条件，充分条件的定义进行判断即可．【解答】解：或x <−1，且x >1或，∴“−2<x <1”是“x >1或x <−1”的既不充分也不必要条件．故答案为C ．7.答案：D解析：解：依题意，a +b +c =1，故c =1−a −b ，当a ∈(0,1−b)时，故E X =−a +c =1−b −2a ，DX =E(X 2)−E 2(X)=a +c −(c −a)2=a +c −[(c −a)2+4ac]+4ac =(a +c)−(a +c)2+4a[1−b −a]=(1−b)−(1−b)2+4a[1−b −a]，令1−b =t ，则t ∈(0,1)DX =t −t 2+4a(t −a)≤13，a ∈(0,t)，故4a 2−4at +t 2−t +13≥0，在a ∈(0,t)时恒成立，当a =t 2时DX 有最小值，故4(t 2)2−4t 2×t +t 2−t +13≥0，故t ≤13，即−1−b ≤13，所以b ≥23，故选：D ．依题意，a +b +c =1，当a ∈(0,1−b)时，可以表示出c ，从而将DX 用含有a ，b 的算式，根据a ∈(0,1−b)时方差DX ≤13都成立，进而推出b 的范围．本题考查频率、平均数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．8.答案：B解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =λ−2×2=0，解得λ=4．故选：B．由a⃗⊥b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =0，即可解得λ．本题查克拉向量垂直与数量积的关系，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查学生找函数恒成立问题时的条件的能力．要找m的取值使f(x)+9≥0恒成立，思路是求出f′(x)并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f(x)的最小值，使最小值大于等于−9即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f(x)=12x4−2x3+3m，所以f′(x)=2x3−6x2，令f′(x)=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)=3m−272，不等式f(x)+9≥0恒成立，即f(x)≥−9恒成立，所以3m−272≥−9，解得m≥32．故选A．10.答案：D解析：【分析】本题考查了学生的化简运算能力及整体思想的应用．由a n+1+a n=2n−3得到a n+2−a n=2，从而求出答案，属基础题．【解答】解：依题意得(a n+2+a n+1)−(a n+1+a n)=[2(n+1)−3]−(2n−3)，。

2020届浙江省杭州市杭州二中学高三5月高考模拟数学试题(解析版)

2020届浙江省杭州市杭州二中学高三5月高考模拟数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，{3,4,5}C =，则()()A B B C ⋃⋂⋃=（） A ．{1,2,3} B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{3}【答案】B【解析】先根据两个集合的并集的定义求得A ∪B ，B ∪C ，再根据两个集合的交集的定义求得()()A B B C 即可.【详解】∵集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，{3,4,5}C =，∴A ∪B {1,2,34}=，，B ∪C {2,3,4,5}=， ∴(A ∪B )∩(B ∪C )={2,3,4}. 故选：B . 【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题.2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若前17项和为1734S =，则12a 的值为（） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A【解析】由等差数列{}n a 的前17项和为S 17=34可得()117172a a +=34，再结合a 9为a 1，a 17的等差中项可求出a 9，再根据a 9和a 12的关系即可得解．【详解】∵等差数列{}n a 的前17项和为S 17=34， ∴()117172a a +=34，∴a 1+a 17=4，∵a 1+a 17=2a 9，∴a 9=2，又等差数列{}n a 的公差为2，∴a 12=a 9+(12-9)×2， ∴a 12=8，故选：A . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式及性质，属于基础题. 3．函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是（） A ．1ab = B ．0a b +=C ．a b =D ．220a b +=【答案】D【解析】利用奇函数的定义“函数y =f （x ）的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x ∈D ，且f （-x ）=-f （x ），则这个函数叫做奇函数”建立恒等式，求出a 、b 的值即可．【详解】∵函数()||f x x x a b =++是奇函数， ∴f （-x ）=-f （x ），即||x x a b --++||x x a b =-++， ∵x 不恒为0，∴||x a -+||x a =+，可得a =0，又(0)0f =，可得b =0，∴a =0且b =0，等价于220a b +=，因此，函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是220a b +=. 故选：D . 【点睛】本题考查函数奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于已知函数奇偶性求参数问题，奇函数利用f （-x ）=-f （x ），(0)0f =求解，偶函数利用f （-x ）=f （x ）求解，属于中等题. 4．若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（） A ．-6 B ．6C ．4D ．3【答案】A【解析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值．【详解】∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia i i i i +-++-+==++-为纯虚数， ∴a +6=0且3−2a ≠0，解得：a =−6. 故选：A . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.5．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中一定不成立．．．．．的是（） A ．||||||a b a c b c -≥-+- B ．2211a a a a+<+C ．1||2a b a b-+≥- D ≤【答案】B【解析】本题要找出不等式中一定不成立的选项，需要根据选项找出成立的条件或说明一定不成立的原因，对于选项A 、C 可举例证明存在成立，D 选项可证明一定成立，B 选项可证明一定不成立．【详解】在A 中，令a >0,b <0,c =0,则||||||a b a c b c -≥-+-能成立，故A 排除;在B 中,a 2+()2243222(1)1111a a a a a a a a a a a-++--+--==≥0，故B 一定不成立; 在C 中,当a -b >0,则|a -b |+1a b-≥2恒成立，故排除C ; 对D 项可采取两边有理化得：，<恒成立.答案：B . 【点睛】本题考查不等关系与不等式，是对含有绝对值不等式、基本不等式、无理不等式的综合考查，属于中等题.6．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>上存在一点P ，与坐标原点O ，右焦点2F 构成正三角形，则双曲线的离心率为（） A ．512+ B ．3 C ．31+.D ．2【答案】C【解析】根据正三角形的性质得到三角形F 1PF 2为直角三角形，利用双曲线离心率的定义进行求解即可．【详解】∵P 与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形， ∴连接PF 1,则三角形F 1PF 2为直角三角形，则PF 2=c ,PF 13， ∵PF 1−PF 2=2a ， ∴31)c =2a ，则e =3131c a ==-，故选：C . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的简单性质的灵活应用，属于中等题. 7．设,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则sin sin αβ+的取值范围是（） A ．[2,2]- B ．[2]-C ．2]D ．2]【答案】D【解析】先利用正弦的两角和公式化简已知等式，求得α+β=2π，把sin β转换为cos α，利用两角和公式化简，根据α的范围求得sin α+sin β的范围即可．【详解】∵sin αcos β+sin βcos α=sin (α+β)=1,,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴α+β=2π， ∴−2π≤β=2π−α≤2π，可判断出2π≥α≥0，2222224sin sin sin cos sin cos sin παβααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭+， ∵α∈[0,2π]， ∴3,444πππα⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+， ∴2,142sin πα⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪∈⎝⎭⎣⎦+， ∴21,24sin πα⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∈，故选：D . 【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，掌握并灵活应用公式是解题的关键，属于中等题. 8．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A ．12B 3C ．174D 17 【答案】C【解析】【详解】试题分析：分析三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥P ABC -，其中底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，故球心O 在底面ABC 的投影为ABC ∆的外心，即AC 的中点D ，如图所示，则可知22217(32)(4)4R R R +-=⇒=，故选C.【考点】1.三视图；2、三棱锥的外接球．9．平面向量a ，b 满足：1||2a ≤≤，1||3a b ≤+≤，12a b ≤⋅≤，则||b 的最大值为（） A ．2 B 5C 6 D 7【答案】C【解析】根据已知，可得()[]222=+21,9a ba ab b +⋅+∈，分析可知当22+2=9a a b b ⋅+且||=1a ，=1a b ⋅时，||b 取最大值，求解即可.【详解】由1||2a ≤≤，1||3a b ≤+≤，12a b ≤⋅≤，可得()[]222=+21,9a ba ab b +⋅+∈，所以当22+2=9a a b b ⋅+且||=1a ，=1a b ⋅时，||b 取最大值，此时，22=92=6b a a b --⋅，||=6b ，故选：C . 【点睛】本题平面向量的综合问题，考查向量的模、向量线性运算等知识点，需要较强的数学分析及转化能力，属于中等题. 10．已知不等式1ln ax x a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．B ．e 2- C ．e - D ．2e -【答案】C【解析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解. 【详解】不等式1ln a x x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减因而()()x a g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤⎪⎝⎭令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.二、填空题11．成书于公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，题目是：“今有池方一丈，点生其中央，出水一尺，引葭赶岸，适马岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10尺），有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有1尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸（池塘一边的中点），则水深为__________尺，芦苇长__________尺. 【答案】12 13【解析】把问题转化为如图的数学几何图形，根据题意，可知EB ′的长为10尺，则B ′C =5尺，设出AB =AB ′=x 尺，表示出水深AC ，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】依题意画出图形,设芦苇长AB =AB ′=x 尺,则水深AC =(x −1)尺，∵B ′E =10尺,∴B ′C =5尺，在Rt △AB ′C 中,52+(x −1)2=x 2，解得x =13(尺)，∴水深为12尺，芦苇长为13尺. 故答案为：12，13. 【点睛】本题考查点、线、面间的距离计算，将实际问题转化为几何问题，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.12．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________，二项式系数最大的项的系数为__________. 【答案】15452-【解析】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项为66311=2r rr r T C x +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令630,2r r -==即可得展开式中常数项，其中二项式系数最大的项是3343612x T C -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简即可得出系数．【详解】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中通项为()66316261=212r r r rr r r T x C x x C --+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令630,2r r -==，故常数项为22611524=C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，二项式系数最大的项是3433365212x x T C --⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-，其系数为52-. 故答案为：154，52-. 【点睛】本题考查二项式通项及系数的性质，注意二项式系数最大项的与项数之间的关系，本题考查计算能力，属于基础题.13．已知圆22:()()1C x a y b -+-=，设平面区域70300x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则+2a b 的最小值为__________，22a b +的最大值为__________. 【答案】0 37【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C 与x 轴相切，得到b =1为定值，此时利用数形结合确定a 的取值即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为(a ,b )，半径为1，∵圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切， ∴b =1,a +2b =a +2,由y =1及x −y +3=0解得A (−2,1)，a +2b 的最小值为：0，则a 2+b 2=a 2+1，∴要使a 2+b 2的取得最大值，则只需a 最大即可，由图象可知当圆心C 位于B 点时，a 取值最大，由y =1及x +y −7=0,解得B (6,1)，∴当a =6,b =1时,a 2+b 2=36+1=37，即最大值为37，故答案为：0；37. 【点睛】本题考查简单线性规划及圆的方程及性质，根据数形结合找到取得最值点，代入即可，属于中等题.14．ABC △中，2A B =，1BC =，则AC 的取值范围是__________，BA BC ⋅的取值范围是__________. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据题意利用正弦定理可建立AC 与角B 的关系，求出B 的范围即可得AC 范围，利用向量数量积运算及正弦定理进行边角转化，转化为只与角B 有关的关系式，根据B 的范围即可求解．【详解】在ABC △中，2A B =，1BC =，则sin sin 2A B =，由正弦定理可得：sin sin BC ACA B=， sin sin 1=sin sin 22cos BC B B AC A B B⋅==，由A +B +C =π，可得3B +C =π，即333C B ππ=-<，又角B 为三角形内角，所以1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，11,12cos 2AC B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2B AC=， 1=cosB=12BA BC BA BC BA AC⋅⋅⋅⋅，由正弦定理可得：()sin 3sin sin 3=22sin 2sin 2sin BA B CB ACB B Bπ-==()222sin 2cos 12sin cos 4cos 12sin 2B B B BB B-+-==，所以可得24cos 130,22B -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,2⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查正弦定理的应用，涉及三角形边角转化，和差公式、二倍角公式，向量的数量及运算等知识，属于中等题。

2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷(5月份)

2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1．（4分）设集合2{|4}A x y x ==-，{|(1)}B x y ln x ==+，则(A B =I ) A ．(2,2)-B ．[2-，2]C ．(1-，2]D ．[1-，2]2．（4分）设M 为不等式1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域，则位于M 内的点是( )A ．(0,2)B ．(2,0)-C ．(0,2)-D ．(2,0)3．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．76B ．54C ．43 D ．534．（4分）“3a =”是”函数()|1|||()f x x x a x R =-+-∈的最小值等于2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．（4分）在我国古代数学著作《详解九章算法》中，记载着如图所示的一张数表，表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：633=+．则这个表格中第8行第6个数是( )A ．21B ．28C ．35D ．566．（4分）函数141xy e x =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（4分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷i n 次，设抛掷次数为随机变量i ξ，1i =，2．若13n =，25n =，则( ) A ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< B ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ> C ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ<D ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>8．（4分）已知函数sin()(0)()cos(),(0)x a x f x x b x +⎧=⎨+>⎩„是偶函数，则a ，b 的值可能是( )A ．3a π=，3b π=B ．23a π=，6b π=C ．3a π=，6b π=D ．23a π=，56b π= 9．（4分）设a r ，b r ，c r为非零不共线向量，若|(1)|||()a tc t b a c t R -+--∈r r r r r …，则( ) A ．()()a b a c +⊥-r r r r B ．()()a b b c +⊥+rr r r C ．()()a c a b -⊥+r r r r D ．()()a c b c -⊥+r r rr10．（4分）数列{}n a 满足113(*)44n n a n N a +=-∈．若存在实数c ．使不等式221n n a c a -<<，对任意*n N ∈恒成立，当11a =时，(c = ) A ．16B ．14 C ．13D ．12二、填空题11．（6分）复数z a i =-且1(1zbi a i=++，b R ∈，i 为虚数单位），则ab = ；||z = ． 12．（6分）61()x x+的展开式的所有二项式系数和为，常数项为．13．（6分）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P 为该双曲线上一点且122||3||PF PF =，若1260F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为，渐近线方程为． 14．（6分）在ABC ∆中，若22sin 3sin 2AA ，sin()2cos sinBC B C +=，则A = ，ACAB= ． 15．（4分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若24S …，416S „，则5a 的最大值是． 16．（4分）安排A 、B 、C 、D 、E 、F 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者A 安排照顾老人甲，志愿者B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有种．17．（4分）已知函数3()|||3|(,)f x x a x b a b R =-+-∈．当[0x ∈，2]，()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为．三、解答题18．（14分）已知函数213()sin 322x f x x cos ωω=+-，0ω>．（1）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（2）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的最大值．19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点．（1）求证：平面EAC PBC ⊥；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值为6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}n a 的各项均为正数，114a =，n nb a {}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，2681b S =g ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）12(1)(1)(1)n nc a a a =--⋯-，312123n n na a a a T c c c c =++⋯+，若对任意的正整数n ，都有。

浙江省杭州外国语学校高考数学模拟试卷(5月份)解析版

高考数学模拟试卷（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-3）＜0，x∈}，则A∩B=（）A. {1}B. {1，2}C. {0，1，2，3}D. {-1，0，1，2，3}2.设复数（i是虚数单位），则z的虚部为（）A. iB. -iC. -1D. 13.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A. 2B. 2C. 2D. 44.如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A. i≥10？B. i≥11？C. i≤11？D. i≥12？5.已知，则（）A. 1＜2a-b＜2B. 2＜2a-b＜4C. 4＜2a-b＜5D. 5＜2a-b＜66.已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是（）A. [-2，0]B. [-2，0）C. [0，2]D. （0，2]7.有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（）A. 42B. 48C. 54D. 608.已知正三棱锥S-ABC的底面是面积为的正三角形，高为2，则其内切球的表面积为（）A. B. C. D.9.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°＜∠PF1F2＜120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A. （，1）B. （，）C. （，1）D. （0，）10.函数f（x）的导函数fˈ（x）满足fˈ（x）＞f（x）在R上恒成立，且f（1）=e，则下列判断一定正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.计算：lg25+2lg2+8=______．12.若实数x，y满足则z=-x+5y的最小值为______．13.已知sinα-3cosα=0，则=______．14.设函数f（x）=x2，若函数g（x）=f2（x）+mf（x）+m+3有四个零点，则实数m的取值范围为______．15.已知等差数列{a n}的通项公式为a n=n，前n项和为S n，若不等式恒成立，则M的最小值为______．16.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，且（bc-2）cos A+ac cos B=1-b2，则△ABC面积的最大值为______．17.已知函数y=（e m）x的图象与函数y=x3的图象在（0，27]内有两个公共点，则m的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=2B．（1）求证：b cos A=（2b-a）cos B；（2）若b=5，c=6，求△ABC的面积．19.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，b n+1-b n=a n+1，求数列的前n项和T n．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=AB，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥BD；（2）若AD=PD，∠PDA=120°，且S△PAB=，求四棱锥P-ABCD的体积．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x-y-=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x-1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．22.已知函数f（x）=e kx（k-x）（k≠0）．（1）当k=2时，求y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）对任意x∈R，f（x）≤恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|-1＜x＜3，x∈}={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2.【答案】C【解析】解：依题意，==1-i，所以z的虚部为-1．故选：C．分子分母同乘以分母的共轭复数-1-i，将z化成代数形式，即可得到虚部．本题考查了复数的代数形式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选：C．本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选：B．由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i-2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件．本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结．5.【答案】B【解析】解：由，得a=log0.30.2∈（1，），则2a∈（2，3），（）b=log0.30.2∈（1，2），∴1＜2-b＜2，得0＜-b＜1，则2＜2a-b＜4，故选：B．根据对数和指数幂的运算性质先求出a，b的大体范围，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式的判断，结合指数函数，对数函数的性质对a，b进行估算是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=•，∵A（-1，1），M（x，y），∴z=•=x-y，即y=x-z，平移直线y=x-z，由图象可知当y=x-z，经过点D（0，2）时，直线截距最大，此时z最小为z=0-2=-2．当直线y=x-z，经过点B（1，1）时，直线截距最小，此时z最大为z=1-1=0．故-2≤z＜0，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，设z=•，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了排列组合，以及两个基本原理的应用，属于中档题．所标数字互不相邻的方法有10种，这3种颜色互不相同有A33种，根据分步计数原理，颜色互不相同且所标数字互不相邻的有10×A33种．【解答】解：所标数字互不相邻的方法有：135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种方法．这3种颜色互不相同有A33=3×2×1=6种，∴这3种颜色互不相同且所标数字互不相邻的有10×6=60种．故选D．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查棱锥的内切球半径的求法，注意合理地进行等价转化，是中档题．由已知求得正三棱锥的底面边长及斜高，再由等体积法求得半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：过顶点S作SO⊥平面ABC，则SO=，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则底面积为，即a=2．连接AO并延长，交BC于D，连接SD，则SD为斜高，∴SD==．设正三棱锥S-ABC的内切球的半径为r，则，解得r=．∴内切球的表面积S=4πr2=．故选D.9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的对于标准方程及其性质、余弦定理、不等式的解法、等腰三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，可得|PF1|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得：|PF2|=2a-2c．设∠PF1F2=θ，根据60°＜∠PF1F2＜120°，可得cosθ取值范围．在△PF1F2中，由余弦定理即可得出．【解答】解：△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，∴|PF1|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得：|PF2|=2a-2c．设∠PF1F2=θ，∵60°＜∠PF1F2＜120°，∴cosθ∈．在△PF1F2中，由余弦定理可得：cosθ==∈．解得e∈．故选B．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于中档题.令g（x）=，结合已知及函数的导数可确定g（x）在R上单调性，即可判断．【解答】解：令g（x）=，∵f'（x）＞f（x），则＞0，∵f（1）=e，则g（1）=1，∴g（x）在R上单调递增，∴g（0）＜g（1）即f（0）＜=1，故选A．11.【答案】6【解析】解：原式=lg（25×22）+=2+4=6．故答案为：6．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】12【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=-x+5y得y=x+，平移直线y=x+，由图象知当直线y=x+，经过A点时，直线截距最小此时z最小，由得，得A（3，3），则z的最小值为-3+5×3=12，故答案为：12．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：∵sinα-3cosα=0，∴sinα=3cosα，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=，sin2α=，可得：sinαcosα===，∴=-sin2α=-2sinαcosα=-2×=-．故答案为：-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2α=，sin2α=，可得sinαcosα==，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】（-3，-2）【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2，若函数g（x）=f2（x）+mf（x）+m+3有四个零点，则二次函数y=x2+mx+m+3有2个零点，且这两个两点均为正实数，即二次方程x2+mx+m+3=0必有2个不等正实数根，必有，解可得：-3＜m＜-2，即m的取值范围是（-3，-2）；故答案为：（-3，-2）．根据题意，分析可得二次函数y=x2+mx+m+3有2个零点，且这两个两点均为正实数，结合二次函数的性质分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数零点的判断，涉及方程的根与函数零点的关系，注意结合二次函数的性质分析．15.【答案】【解析】解：等差数列{a n}的通项公式为a n=n，前n项和为S n=n（n+1），不等式，即为（n+2）（n+1）≤M（n+32）（n+2）2，即为M≥=，由n+1=t（t≥2，t为自然数），可得t+≥2，当且仅当t=∈（5，6），当t=5时，t+=；当t=6时，t+=＜，可得t+的最小值为，则的最大值为，即有M≥，可得M的最小值为，故答案为：．运用等差数列的通项公式和求和公式，不等式化为M≥=，再由基本不等式和等号成立的条件，计算可得所求最小值．本题考查等差数列的求和公式和通项公式，考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和等号成立条件，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：∵a=1，且（bc-2）cos A+ac cos B=1-b2，∴（bc-2）•+ac•=1-b2，即-+=1-b2，即-+c2=1-b2，即-+c2+b2-1=0，-+c2+b2-a2=0，即（c2+b2-a2）（1-）=0，∵△ABC是锐角三角形形，∴cos A=＞0，即c2+b2-a2＞0，则1-=0，即bc=1，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A≥2bc-2bc cos A，即1≥2-2cos A，得2cos A≥1，得cos A≥，即0°＜a≤60°，则三角形的面积S=bc sin A≤×=，即三角形面积的最大值为，故答案为：根据余弦定理，结合三角形的面积公式以及基本不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式的性质是解决本题的关键．17.【答案】【解析】解：由题意得，（e m）x=x3，两边取自然对数，解得；x在（0，27]内m′==0解得x=e，故当x=e时m取得最大値m=，当x=27时m取得最小値m=．故m的取值范围是[，）．故答案为：[，）．由（e m）x=x3求得m，求导判断单调性，通过x的取值范围，解得m的取值范围．本题考查了函数与方程的综合运用，属于难题．18.【答案】解（1）证明　在△ABC中，C=π-A-B，C=2B，所以π-A-B=2B，sin（π-A-B）=sin 2B，sin A cos B+cos A sin B=2sin B cos B，由正弦定理=，得a cos B+b cos A=2b cos B，即b cos A=（2b-a）cos B．（2）解　由正弦定理=，得=，所以cos B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得25=a2+36-a，即5a2-36a+55=0，所以a=5或a=．当a=5时，又b=5，所以A=B，又C=2B，A+B+C=π，所以A=B=，C=，明显不符合题意，所以a=，又sin B==，所以△ABC的面积S=ac sin B=××6×=．【解析】（1）利用正弦定理角化边可证；（2）利用正余弦定理和面积公式可得．本题考查了余弦定理，属中档题．19.【答案】解：（1）因为a1=1，且，所以，所以t=5．（2分）所以…①，当n≥2时，有…②，①、②两式作差得，（3分）所以（a n+a n-1）（a n-a n-1-3）=0，因为a n＞0，所以a n-a n-1=3，又因为a1=1，所以a n=3n-2．（6分）（2）因为b n+1-b n=a n+1，b1=1，所以b n-b n-1=a n，（n≥2，n∈N*），所以当n≥2时，b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1，=a n+a n-1+…+a2+b1=．（8分）又b1=1也适合上式，所以．（9分）所以==，（10分）所以T n==，=．（12分）【解析】（1）由a1=1，且，可得，解得t=5．可得，当n≥2时，利用a n=S n-S n-1可得：（a n+a n-1）•（a n-a n-1-3）=0，由a n＞0，可得a n-a n-1=3，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由b n+1-b n=a n+1，b1=1，可得b n-b n-1=a n，（n≥2，n∈N*），当n≥2时，b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1，利用累加求和、裂项求和方法与等差数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加求和与裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】证明：（1）如图，在直角梯形ABCD中，取AB的中点M，连接DM，由条件知四边形BCDM为正方形，∴DM=AM=BM，∴BD⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BD⊥平面PAD．∵PD⊂平面PAD，∴PD⊥BD．解：（2）过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵平面PAD⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD．设BC=CD=a，则AB=2a，AD=PD=BD=a，∴PB==2a．∵∠PDA=120°，∴PE=a，PA=2PD sin 60°=a，∴S△PAB=PA•=a2=，∴a=1，∴V P-ABCD=PE•S梯形ABCD=×××（1+2）×1=．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（1）取AB的中点M，连接DM，推出DM=AM=BM，BD⊥AD．BD⊥平面PAD．由此能证明PD⊥BD．（2）过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE⊥平面ABCD．设BC=CD=a，则AB=2a，AD=PD=BD=a，从而PB==2a．PE=a，PA=2PD sin 60°=a，从而V P-ABCD=PE•S梯形ABCD．21.【答案】解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x-y-=0的距离d==1，∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b．∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，则x1+x2=，x1•x2=．•=（x1-m，y1）•（x2-m，y2）=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-1）（x2-1）=（1+k2）x1•x2-（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）•-（m+k2）+m2+k2=，令2m2-4m+1=2（m2-2），解得m=．因此在x轴上存在定点M（，0），使得•为定值．【解析】（I）求出圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x-y-=0的距离d，利用2=2，解得a2，又=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得•=，令2m2-4m+1=2（m2-2），解得m即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、定值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解　（1）当k=2时，f（x）=e2x（2-x）．∵f′（x）=2e2x（2-x）-e2x=e2x（3-2x），∴f′（1）=e2，又∵f（1）=e2，∴所求的切线方程为y-e2=e2（x-1）．即y=e2x．（2）∵e kx（k-x）≤，∴当x=k时，0≤，即k＞0，∴对任意x∈R，k（k-x）≤e-kx恒成立，设g（x）=e-kx+kx-k2，g′（x）=-ke-kx+k=k（1-e-kx），当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，∴g（x）min=g（0）=1-k2≥0，又k＞0，∴0＜k≤1．综上所述，实数k的取值范围是（0，1]．【解析】（1）利用导数求得切线斜率，即可得到切线方程；（2）首先可得k＞0，再设g（x）=e-kx+kx-k2，利用导数求解．本题考查了导数的几何意义，函数的单调性，属于中档题．。

浙江省杭州市高三5月高考模拟考试理数试题解析 Word版(含解析)

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{|2A x x =<-或1}x >，{|2B x x =>或0}x <，则()R C A B =（）A.(2,0)-B.[2,0)-C.∅D.(2,1)- 【答案】B 【解析】试题分析：{}{}21,()20R R C A x x C A B x x =-≤≤∴=-≤<，故选B.考点：集合的运算.2．已知直线,l m 和平面α，则下列结论正确的是（）A ．若//l m α⊂，则//l αB ．若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥C ．若,l m l α⊥⊥，则m α⊥D ．若//,l m αα⊂，则//l m 【答案】B考点：直线与平面垂直的定义、直线与平面平行的判定定理.3.若“:p x a >”是“:13q x x ><-或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知{}x x a >是{1x x >或}3x <-的真子集，故选A ．考点：充分条件；必要条件.4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.16B.32C.63D.20【答案】B 【解析】试题分析：其几何体如图其表面积为324521452143214321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=S ，故选B.4152.45434考点：空间几何体的表面积. 5.已知函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度【答案】D考点：函数图象的变换.【易错点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换．在进行三角函数图象的左右平移时，应注意以下几点：一要弄清是平移哪个函数图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先用诱导公式化为同名函数；三是由x A y ωcos = 的图象得到)cos(ϕω+=x A y 的图象时，需平移的单位数应为ωϕ． 6. 设关于x, y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≥+-0001m y m x y x 表示的平面区域内存在点P ),(00y x 满足3200>-y x则实数m 的取值范围是（） A. ),(01- B. ),(10C. ),(+∞-1D.),(1--∞【答案】D 【解析】试题分析：如图，只需点),(m m -满足3200>-y x ，得1-<m ，故选D.考点：线性规划.7.如图，在三棱锥P ABD -中，已知⊥PA 面ABD ，AD BD ⊥，点C 在BD 上，1===AD CD BC ，设P D x =，θ=∠BPC ，用x 表示tan θ，记函数tan θ=()f x ，则下列表述正确的是（）A ．()f x 是关于x 的增函数B ．()f x 是关于x 的减函数C ．()f x 关于x 先递增后递减D ．()f x 关于x 先递减后递增【答案】C 【解析】考点：基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了勾股定理，考查了基本不等式，考查了余弦定理等知识．本题的解题关键在于用x 表示tan θ即如何建立x 与θ的等量关系，也就是应该放在BPC ∆去研究，即找到各个边与x 的关系．本题的难点是将三角形的问题与基本不等式产生联系，本题难度中档．8.已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且2||||BC CF =，则双曲线的离心率为（） A. 3B.C.【答案】C 【解析】试题分析：过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点C B ,，且2CF BC =，a BF 21=，设切点为T ，),(y x B ，则利用三角形的相似可得cab xc a y 2=+=，c c ab x 22-=∴，c a y 22=，)2,2(22c a c c ab B -∴，代入双曲线方程，整理可得a b )13(+=，则a b a c 32522+=+=，即有325+==ace .所以C 选项是正确的. 考点：双曲线的性质.【易错点睛】本题考查了双曲线的离心率的求法，同时考查直线和圆相切的性质，考查了学生的计算能力．本题难点在于如何用c b a ,,来表示点B 的坐标，即如何利用三角形相似建立c b a ,,与y x ,的等式关系．而后代入双曲线方程即可．本题也考查了学生的分析能力，本题难度中等．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分．）9.若2sin cos αα-=sin α= ，tan()4πα-= .【答案】552 3 【解析】试题分析：由同角三角函数基本定理得1)5sin 2(sin 22=-+αα解得552sin =α，cos α=，tan 2α∴=-，tan tan4tan()341tan tan4παπαπα-∴-==+．考点：同角三角函数基本关系式；两角差的正切公式.10.已知直线l ：1mx y -=,若直线l 与直线(1)2x m m y +-=垂直，则m 的值为______动直线l ：1mx y -=被圆C ：22280x x y -+-=截得的最短弦长为 .【答案】0=m 或2=m 72考点：两直线垂直；直线与圆的位置关系.11．已知等比数列{}n a 的公比0q >，前n 项和为n S ．若3542,,3a a a 成等差数列，24664a a a =，则q =_______，n S =_______．【答案】2)12(21-n考点：等差中项；等比数列的通项公式；等比数列的求和公式.12.设函数()f x 2221log 11x x x x ⎧-+⎪=⎨<⎪⎩≥(1)(-)()，则((4))f f ＝ .若()f a 1=-,则a = .【答案】5 1=a 或21=a 【解析】试题分析：5)]31(1([log ))4((,31142)4(22=--=∴-=+⨯-=f f f ；当1≥a 时，2211a -+=-，1a ∴=；当1<a 时，2log (1)1a -=-，12a ∴=，故1=a 或21=a ．考点：分段函数.13．如图，在二面角A-CD-B 中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A 在直线AD 上运动，满足AD⊥CD， AB=3.现将平面ADC 沿着CD 进行翻折，在翻折的过程中，线段AD 长的取值范围是_________.【答案】]25,25[+- 【解析】试题分析：添加如图辅助线，取BC DE BC DE =,//,连结AE BE ,,则⊥BE 平面A DE ,AE BE ⊥,设x AD =，则22222,cos 224BE AE AB ADE x x AE +=∠⨯⨯-+=即ADE x x ∠-++=cos 44492,1411]1,1[41cos 22≤-≤-∴-∈-=∠xx x x ADE 解得2525+≤≤-x ．E考点：直线与平面垂直；余弦定理.14．已知实数,a b R ∈，若223,a ab b -+=则222(1)1ab a b +++的值域为．ACDB【答案】[0,16]7考点：基本不等式.【易错点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 15.在OAB ∆中，已知2,1OB AB ==，45AOB ∠=︒，若OB OA OP μλ+=，且22=+μλ，则在上的投影的取值范围是 . 【答案】]1,22(- 【解析】试题分析：由μλ+=得22=+μλ，则⋅=⋅OA OP OA ]21([OB OA λλ-+⋅-+=)21(2λλ，由2,1O B A B ==，45AOB ∠=︒，余弦定理可得1OA =，(1)11222OA OP λλλ∴⋅=+-⨯=+，2+=，故在上的投影42222++⋅=λλOP OP OA ，2-<λ时，上式。

高考数学模拟试卷(5月份)

则展开式中各项系数的最大值是
或，则 =
=462．
故选： C．
7．已知正实数 a， b 满足 a2﹣b+4≤0，则 u=
A．有最大值为
B．有最小值为
（）
C．没有最小值 D．有最大值为 3 【考点】 7F：基本不等式．
【分析】 a2﹣ b+4≤0，可得 b≥ a2+4， a， b＞0．可得﹣
利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵ a2﹣b+4≤0， ∴b≥a2+4， a， b＞0． ∴ a+b≥a2+a+4，
点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是
．
17．函数 y=ax2﹣2x 的图象上有且仅有两个点到直线 y=x 的距离等于
数 a 的取值集合是
．
，则实
三．解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18．设函数 f （x）=sin2ωｘ﹣cos2ωｘ+2 sin ω xcos ω+λｘ的图象关于直线 x=π对称，其中 ω， λ为常数，且 ω∈（， 1）．（ Ⅰ）求函数 f （x）的最小正周期；（ Ⅱ）若 y=f（x）的图象经过点（， 0），求函数 f（ x）在区间 [ 0， ] 上的取值范围． 19．在如图所示的圆台中， AC是下底面圆 O 的直径， EF是上底面圆 O′的直径， FB是圆台的一条母线．（ I）已知 G， H 分别为 EC， FB的中点，求证： GH∥平面 ABC；
A．[ ， ] B．[ ， ] C． [ ， ] D．[ ， ]
10．已知定义在（ 0， +∞）上的函数（f x）的导函数 f（' x）满足

2020届浙江省杭州外国语学校高考数学模拟试卷(5月份)(含解析)

2020届浙江省杭州外国语学校高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）<0}，B={−1,0，1}，则A∩B等于()1.已知集合A={x|x−1x+2A. {x|−1<x<1}B. {−1,0，1}C. {−1,0}D. {0,1}2.若复数z满足(1−i)⋅z=1+3i(i是虚数单位)，则|z|等于()B. √6C. 2D. √5A. √623.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=√2，现有下列结论：2①AC⊥BE；②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；③异面直线AE，BF所成的角为定值；④三棱锥A−BEF的体积为定值，其中错误结论的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.阅读右侧程序框图，输出结果的值为()A.B.C.D.5.执行如图的程序框图，若输出y=3，则输入x的值为()2A. log23−1或√2B. 1−log23或√2C. 1−log23D. √26.设x，y满足约束条件{y≥0x−y+1≥0x+y−3≤0，则z=x−3y的最大值为()A. 3B. −5C. 1D. −17.从6双不同的手套中任取4只，其中恰好有两只是一双的取法有()A. 120种B. 240种C. 255种D. 300种8.甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如下图所示，甲、乙几何体的体积分别为、，则等于()A.B.C.D.9. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的三角形的边长，若4a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则cosB =( )A. −2936B. 2936C. 1124D. −1124 10. 若函数f(x)=kx −lnx 在区间(1,+∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. (−∞,−1]C. [2,+∞)D. [1,+∞)二、单空题（本大题共7小题，共42.0分）11. lg2+2lg √5的值为______．12. 已知函数f(x)=x 3+3mx 2+3nx 的两个极值点为x 1，x 2，若x 1∈[−1,0]，x 2∈[1,2]，点P(m,n)表示的平面区域记为Ω.则区域Ω的面积是．13. 已知x ∈(0,π4)，且sin2x =13，则sinx −cosx =______．14. 若方程√1−x 22=x +m 有实数根，则实数m 的取值范围为______． 15. 如下图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行(n ≥2)第2个数是_______________．16. 如图，在△ABC 中，D 为线段AB 上的点，且AB =3AD ，AC =AD ，CB =3CD ，则sin2B sinA = ______ ．17. 实系数方程x 2+ax +1=0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且满足S =12c 2tanC ．(1)求a 2+b 2c 2的值；(2)若bc =√2，A =45°，求b 、c ．19.已知等差数列{a n}的前n(n∈N∗)项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．(Ⅰ)求数列{a n}及{b n}的通项公式；)c n=1，求T n．(Ⅱ)设数列{c n}的前n(n∈N∗)项和为T n，且(S n+n220.已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同．(1)求此几何体的体积；(2)求几何体的表面积．21.已知椭圆C1：x2+4y2=1，焦点在x轴上的椭圆C2的短轴长与C1的长轴长相等，且其离心率为√3．2(1)求椭圆C 2的方程；(2)若点T 满足：OT ⃗⃗⃗⃗⃗ =MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中M ，N 是C 2上的点，且直线OM ，ON 的斜率之积等于−14，是否存在两定点A ，B ，使|TA|+|TB|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．22. 已知f(x)=x 2−ax +lnx ，a ∈R ．(1)当a =3时，求函数f(x)的极小值；(2)令g(x)=x 2−f(x)，是否存在实数a ，当x ∈[1,e](e 是自然对数的底数)时，函数g(x)取得最小值为1.若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|−2<x<1}，B={−1,0，1}，∴A∩B={−1,0}．故选：C．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，分式不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：由(1−i)⋅z=1+3i，得z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)2=−1+2i，∴|z|=√5．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②平面A1B1C1D1//平面ABCD，设平面AEF∩平面ABCD=l，平面AEF∩A1B1C1D1=EF，故l//EF，此命题正确；③异面直线AE、BF所成的角为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．④三棱锥A−BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A−BEF的体积为定值，此命题正确；综上知③错误，故错误结论的个数是1个，故选：B①AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；②由面面平行的定义可证得平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；③异面直线AE、BF所成的角为定值，可由两个极好位置说明两异面直线所成的角不是定值．④三棱锥A−BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．4.答案：B解析：试题分析：程序执行过程中数据的变化情况如下：，，周期为5，由框图可知当时最后一次计算S的值吗，有周期性可知此时考点：程序框图点评：程序框图题主要是分析清楚循环体执行的次数，本题中由于执行次数较多，因此借助于周期性使求解得到了简化5.答案：A解析：本题考查程序框图中输入值的求法，考查分类讨论思想，以及对数的运算性质，属于基础题．的x值，综合可得答案．根据已知中的程序框图，分类讨论满足y=32解：由程序框图可得，得：x=log23−1，当x≤1时，由y=2x=32得：x=√2，当x>1时，由y=2−log2x=32综上可得：若输出y =32，则输入x 的值为log 23−1或√2，故选：A ． 6.答案：A解析：解：作出约束条件{y ≥0x −y +1≥0x +y −3≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A(3,0)，B(1,2)，C(−1,0)设z =F(x,y)=x −3y ，将直线l ：z =x −3y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值=F(3,0)=3．故选：A ．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =x −3y 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =0时，z 取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z =x −3y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据分步计数原理知先从6双手套中任选一双有C 61种取法，再从其余手套中任选2只有C 102种，其中选到一双同色手套的选法为5种．故总的选法数为C 61(C 102−5)=240种．故选B ．根据分步计数原理知先从6双手套中任选一双，再从其余手套中任选2只，其中包含选到一双同色手套的选法，把不合题意的去掉，得到总的选法数．手套和袜子成对问题是一种比较困难的题目，解决组合问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．8.答案：B解析：本题考查了空间几何体的三视图和空间几何体的体积公式，三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需要从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．解：由三视图可知，甲几何体是一个半径是1的球；乙几何体是一个圆锥，半径是2，高等于3．所以甲几何体体积，乙几何体体积．所以V 1:V 2=1:3．故选B ．9.答案：D解析：本题主要考查了向量减法的四边形法则，平面向量的基本定理及余弦定理的综合应用，解题的关键是把已知变形为(4a −3c)BC⃗⃗⃗⃗⃗ +(2b −3c)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．由已知及向量减法的平行四边形法则可得4a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即(4a −3c)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2b −3c)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，根据向量的基本定理可得a ，b ，c 之间的关系，然后利用余弦定理即可求cos B ．解：∵4a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴(4a −3c)BC⃗⃗⃗⃗⃗ +(2b −3c)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线 ∴{4a −3c =02b −3c =0即a =3c 4，b =3c 2，则cosB =a 2+c 2−b 22ac =9c 216+c 2−9c 242×3c 4×c =−1124；故选D ．10.答案：D解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．求出导函数f′(x)，由于函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，解出即可．，解：f′(x)=k−1x∵函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，∴f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立．∴k≥1在区间(1,+∞)上恒成立，x在区间(1,+∞)上单调递减，而y=1x∴0<1<1，x∴k≥1．∴k的取值范围是：[1,+∞)．故选D．11.答案：1解析：解：原式=lg2+lg5=lg(2×5)=1．故答案为：1．利用对数的运算法则即可得出．本题考查了对数的运算法则，属于基础题．12.答案：1解析：f′(x)=3x2+6mx+3n，极值点x1∈［−1，0］，x2∈［1，2］，约束条件对应的可行域是四边形ABCD及其内部区域(如图所示)，13.答案：−√63解析：解：已知x∈(0,π4)，且sin2x=13，sinx<cosx，则sinx−cosx=2=−√1−sin2x=−√63，故答案为：−√63．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sinx−cosx的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．14.答案：[−√2,√3]解析：解：令f(x)=√1−x22，g(x)=x+m，画出函数的图象，如图示：，∴直线y=x+m过椭圆与x轴的右边的交点时，m取到最小值，令f(x)=0，解得：x=√2，x=−√2(舍)，此时直线过(√2,0)，所以m=−√2，直线y=x+m在左边与椭圆相切时，m取到最大值，f′(x)=2√1−x 22=1，解得；x=−2√33，将x=−2√33代入f(x)=√1−x22，得y=√33，∴切点为(−2√33,√33)，将切点代入y=x+m，得：m=√3，∴m的范围是：[−√2,√3]，故答案为：[−√2,√3]．将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数的图象，求出相应的切点坐标和交点坐标，从而得出m的范围．本题考查了方程的根的情况，考查了转化思想，数形结合思想，是一道中档题．15.答案：解析：试题分析：设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{a n}，则有a3−a2=2，a4−a3=3，a5−a4=4，…，a n−a n−1=n−1，相加得a n.根据题意累加法可知，化简变形可知结论为，故答案为。

浙江省高考数学模拟试卷(5月份)解析版

高考数学模拟试卷（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合P={x||x|≤1}，Q={x|（x-2）＜0}，那么P∪Q=（）A.（-1，2）B.[-1，2）C.（0，1）D.（0，1]2.已知i为虚数单位，若复数z满足i•z=1+2i，则复数z的模是（）A. B. C.3 D.53.已知直线l：x+y-a=0和1：（a-2）x-2y+1=0，则“l⊥1”是“a=2”的（）1212A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A.[，3]B.[0，3]C.[0，]D.[，2]5.函数f（x）=的大致图象为（）A. B.C. D.6.双曲线=1（k＞0，m≠0）的离心率（）A. C.与m有关，且与k有关与m无关，但与k有关B.D.与m有关，但与k无关与m无关，且与k无关7.已知函数f（x）=（a，b∈R，a＞0），若f（x）的最小值为-，且f（1）≥，则b的取值范围（）A.[-2，-1]B.[1，2]C.[-4，-1]D.[l，4]8.已知数列{an}满足a=0，且对任意n∈N*，a等概率地取a+1或a-1，设a的值为随机变量ξ，则（）nA.P（ξ=2）=3B.E（ξ）=139.C.P（ξ=0）＜P（ξ=2） D.P（ξ=0）＜P（ξ=0）5553在三棱锥S-ABC中，AB=5，AC=4，BC≥7，SA≤8，SB≤6，SC≤9，则S-ABC体积的最大值是（）2n+1n n n1A.8B. C. D.1210. P 、Q 、R 是等腰直 △角ABC （A 为直角）内的点，且满足∠APB =∠BPC =∠CPA ，∠ACQ =∠CBQ =∠BAQ ，AR 和 BR 分别平分∠A 和∠B ，则（）A.C.＞＞＞B.D.＞＞＞＞二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）11. 设函数 f （x ）=12. 若二项式（ax -数为______．，则 f （f （1））=______，f （x ）的值域为______．）的展开式中各项系数之和为 32，则 a =______；展开中 x 的系 13. 袋中装有编号分别为 1，2，3 的三个黑球和三个白球，从中取出三个球，则取出球的编号互不相同的取法种数为______；取出球的编号恰有两个相同的概率为______ 14. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 c sin C =a sin A +（b -a ）sin B 且c =1，则 C =______ △，ABC 面积的最大值为______． 15. 某三棱台的三视图如图所示，则该几何体的体积是______16. 已知椭圆 C ：=1（a ＞b ＞0），存在过左焦点 F 的直线与椭圆 C 交于 A ，B 两点，满足|AF |=2|BF |，则椭圆 C 离心率的最小值是______17. 已知函数1]，则实数 a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分），若存在实数 t ，使 f （x ）的值域为[-1，18. 已知函数 f （x ）=cos x+cos x sin （x -）（x ∈R ）（Ⅰ）当 x ∈[-， ]时，求 f （x ）的值域；（Ⅱ）求 f （x ）在[0，π]上的增区间5 -1 219. 如图，在△R t ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，D，E分别为BC，AD的中点，延长CE交AB于点F，现△将ACD沿AD折起，使二面角B-AD-C的平面角大小为30°（Ⅰ）求证：AD⊥CF；（Ⅱ）求直线AB与平面ACD所成角的正弦值20. 设等差数列{a}和等比数列{b }中，a=1，b =2，b＞0，且b，a，b成等差数列，nn11n122a+1，b，a+1成等比数列124（Ⅰ）求数列{a }，{b }的通项公式n n（Ⅱ）设c=a，数列{c }的前n项和为S，若＞2a+t n恒成立，求实数t的bn n n n取值范围．221. 如图，已知P（-1，2），Q是抛物线C：y=4x上的动点，设PQ=2QR，过R的直线交抛物线C于A、B两点，且R是AB中点．（Ⅰ）求Q点纵坐标的取值范围；（Ⅱ）△求PAB面积的最大值．22. 设函数f（x）=2x2+a ln x，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x-1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x=5能否有三个不同的实根？证明你的结论答案和解析1.【答案】B【解析】解：已知集合P={x||x|≤1}，解得：P={x|-1≤x≤1}，Q={x|（x-2）＜0}，解得：Q={x|x＜2}，由并集的定义P∪Q={x|-1≤x≤1}∪{x|x＜2}={x|x＜2}即：（-∞，2）故选：B．首先解出P，Q集合中所含的元素，再由集合并集运算的定义求解，此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由i•z=1+2i，得z=，∴|z|=．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：若l⊥112，则a-2+1×（-2）=0，即a-4=0，得a=2或a=-2，则“l ⊥1”是“a=2”的必要不充分条件，12故选：C．根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，O（0，0），A（0，3），z=的几何意义为可行域内动点与定点P（-1，0）连线的斜率，∵k=0，PO．第5 页，共16 页22∴z =的取值范围是[0，3]．故选：B ．由约束条件作出可行域，再由 z =的几何意义，即可行域内动点与定点 P （-1，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 5.【答案】D【解析】解：根据题意，函数 f （x ）=，则 f （-x ）==当 x ＞0 时，f ′（x ）==f （x ），即函数 f （x ）为偶函数，，分析可得 f （x ）在（0，+∞）先减后增，故选：D ．根据题意，分析函数的奇偶性以及在（0，+∞）上的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线=1（k ＞0，m ≠0）当 m ＞0，双曲线=1 的焦点在 x 轴上，此时有 a =km ，b =m ，c =km +m =m （k +1），双曲线的离心率 e = =当 m ＜0 时，双曲线，=1 的焦点在 y 轴上，此时 a =-m ，b =-km ，c =km +m =-m （k +1），双曲线的离心率 e = =，则双曲线=1（k ＞0，m ≠0）的离心率与 k 、m 都有关系，故选：A ．根据题意，由双曲线的方程分 m ＞0 与 m ＜0 两种情况讨论，求出双曲线的离心率，分析其离心率与 k 、m 的关系，综合即可得答案．本题考查双曲线的离心率的计算，涉及双曲线的标准方程，属于基础题， 7.【答案】D【解析】解：由题意，可知：f （1）=≥ ，∵a ＞0，∴a +4＞4，∴b ≥ （a +4）＞＞0．f ′（x ）= =，2 2 2 2 2 2①令 f ′（x ）=0，即-abx +4b =0，解得：x =-，或 x = ；②令 f ′（x ）＞0，即-abx +4b ＞0，解得：＜x ＜；③令 f ′（x ）＜0，即-abx +4b ＜0，解得：x ＜-，或 x ＞；又 f （x ）是一个奇函数，函数 f （x ）的大致图象如下：≥0则由图象可知：f （x ） =f （- min）==- =- ，解得：b =，即：a =b．∴f （1）==≥ ，∴即：- ≥0，≤0，∴b-5b +4≤0，解得：1≤b ≤4．故选：D ．本题可利用 f （1）≥ 先大致判断出 b ＞0，然后对函数 f （x ）求导，判断函数的增减性及最值的取值情况，再根据所得结果并对函数进行进一步分析画出函数的大致图象，这样可发现当 x =- 时 f （x ）取得最小值，可将 x =- 代入可得 a 与 b 的关系式 a =b2 ．代入f （1）≥ 中可得 b 的取值范围．本题主要考查利用求导法对函数进行分析，以及运用数形结合法解决函数问题，在此基础上判断函数的最值点，算出参数的取值范围．本题属中档题．8. 【答案】D【解析】解：依题意 a =1 或 a =-1，且 P （a =1）=P （a =-1）= ，2 2 2 2ξ =a 的可能取值为 a +1=2，a -1=0，a +1=0，a -1=-2，3 3 2 2 2 2P （ξ =2）= × = ，32 2 2 2 2，P（ξ=0）=2×3P（ξ=-2）=3=，=，E（ξ）=2×+0× +（-2）×=0，3由此排除A和B；ξ=a的可能取值为a+1=3，a -1=1，a+1=-1，a-1=-3，443333P（ξ=3）=P（ξ=2）=，43P（ξ=1）=4P（ξ=-1）=4=，=，P（ξ=-3）=P（ξ=-2）=．．43ξ=a的可能取值为4，2，0，-2，-4．55P（ξ=0）=5P（ξ=2）=5=，=，所以P（ξ=0）＞P（ξ=2），排除C．55因为P（ξ=0）=，P（ξ=0）=，所以P（ξ=0）＜P（ξ=0），5353故选：D．根据题意，分别分析出ξ当n分别取2，3，4，5时所对应的值，以及每个ξ的对应的n n概率，即可判断出正确选项．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：∵AB=5，AC=4，BC≥7，∴≤，∴sin∠BAC≤，而点S到底面ABC的距离不大于侧棱长，即高h≤6，∴V==，故选：A．以三角形ABC为底面，由余弦定理入手可得面积的最大值，再利用高不大于测棱长得到高的最大值，从而确定体积的最大值．此题考查了四面体体积的求法和运算求解能力，是中档题．10.【答案】D图所示，①由∠APB =∠BPC =∠ CPA 知，这三个角都是 120°，且 P 在∠BAC 的平分线 AD 上；取 AB =6，则 BD =AD =3 ， ∠PBC =30°，得 PD= =，PB =2，PA =AD -PD =3-，所以 • =（3-）•2 •cos120°=6-6；②由题意知 R △是ABC 的内心，也在 AD 上，内切圆半径 RD =-6，RA=AD -RD =6= =6-3，所以 • =（+ ）• =• +• =-（6-3）•（6 -6）+0=72-54；③由∠ACQ =∠BAQ ，且∠BAQ +∠CAQ=∠BAC =90°，则∠ACQ +∠CAQ=90°，所以∠AQC =90°，即 AQ ⊥CQ ，则 Q 在以 AC 为直径的圆上；由∠CBQ =∠ACQ ，且∠ACQ +∠BCQ =∠ACB =45°，所以∠CBQ +∠BCQ =45°，得∠BQC =135°，∠AQB =135°；由∠BQC =∠AQB ，∠BCQ =∠ABQ ， △得BQC △∽AQB ，所以 = =，设 AQ=x ，BQ =， △在ABQ 中，由余弦定理得 x +2x -6=2•x •x •cos135°，解得 x =；所以 • =x •x •cos135°=-x=-=-7.2；由 • =6-6• =72-54≈6-6×1.732=-19.424，≈-4.356，所以 • ＞ • ＞ • ．故选：D ．根据题意画出图形，结合图形分别计算 • 、 • 和 • 的值，再比较它们的大小．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量的数量积以及推理能力与计算能力，是难题．11. 【答案】-1（-∞，1）2 2 2 2 2推导出 f （1）=-log 1=0，从而 f （f （1））=f （0）=2×0-1=-1，当 x ＜1 时，f （x ）=2x -12＜1，当 x ≥1 时，f （x ）=-log x ＜0，由此能求出 f （x ）的值域．2 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：∵函数 f （x ）=，∴f （1）=-log 21=0，f （f （1））=f （0）=2×0-1=-1，当 x ＜1 时，f （x ）=2x -1＜1，当 x ≥1 时，f （x ）=-log x ＜0， 2 ∴f （x ）的值域为（-∞，1）．故答案为：-1，（-∞，1）． 12.【答案】3 15【解析】解：令 x =1，可得二项式（ax -则 a =3．）的展开式中各项系数之和为（a -1） =32，此时，展开式的通项公式为 T =r +1•（-1） •3 •，令 5- =-1，求得 r =4，故展开中 x 的系数为 •3=15，故答案为：3；15．由题意先求得 a 的值，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于-1，求出 r 的值，即可求得展开中 x 的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．13.【答案】8【解析】解：根据题意，从袋中取出三个球，且取出球的编号互不相同，则取出的三个球的编号为 1、2、3，编号为 1 的取法有 2 种，编号为 2 的取法有 2 种，编号为 3 的取法有 2 种，则取出球的编号互不相同的取法种数为 2×2×2=8 种；从袋中取出三个球，取法有 C =20 种，其中取出球的编号恰有两个相同的取法有 6C C 3 4=12 种，则取出球的编号恰有两个相同的概率 P = = ；故答案为：8，．对于第一空：分析可得取出的三个球的编号为 1、2、3，分析每个编号的取法数目，由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：由组合数公式计算从袋中取出三个球的取法以及取出球的编号恰有两个相同的取法数目，由古典概型的计算公式计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及古典概型的计算，属于基础题．14.【答案】5 5 r 5-r -1 -1 3 1 1【解析】解：∵csin C =a sin A +（b -a ）sin B ， ∴c =a +（b -a ）b ，∴a +b -c =ab ，由余弦定理得，，∵C ∈（0，π），∴C = ，∴sin C =∵c=1，∴c =1=a +b -ab ≥2ab-ab =ab ， ∴ab ≤1，当且仅当 ab=1 时取等号，∴，∴△ABC 的最大值为：．故答案为：，．利用正弦定理将等式的角化为边，然后用余弦定理求出 C ，再利用基本不等式求出 ab 的最大值即可得三角形的最大面积．本题考查了正弦定理余弦定理和面积公式，关键是基本不等式的应用，属中档题． 15.【答案】【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱台，侧棱 AA ⊥底面 ABC △，ABC 为等腰直角三角形，1△A B C 为等腰直角三角形， 1 1 1，S =2，则该几何体的体积是 V =．故答案为：．由三视图还原原几何体，该几何体为直三棱台，侧棱 A A ⊥底面 ABC △，ABC 为等腰直1角三角形 △，A B C 为等腰直角三角形，再由棱台体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 16.【答案】【解析】解：由椭圆性质可知：|AF |≤a +c ，|BF |≥a -c ，∵存在过左焦点 F 的直线与椭圆 C 交于 A ，B 两点，满足 |AF |=2|BF |，2 2 2 2 2 2 2 2 △ABC 1 1 1∴a +c ≥2（a -c ），故 3c ≥a ，于是 e ≥ ．故答案为：．根据椭圆性质可知|AF |，|BF |介于 a -c 和 a +c 之间，从而列出不等式得出 e 的范围．本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．17.【答案】（，2]【解析】解：由已知得 t ≥-1，函数 f （x ）=log （1-x ）在[-1，t ]上为增函数，故其值域为[-1，log （1-t ）]；若存在实数 t 使 f （x ）的值域是[-1，1]，可得 log （1-t ）≤1，解得 t ≥ ；由 y =1-2|x -1|在 x =1 时，y =1；在 x = 时，y =0，x =2 时，y =-1，可得 y =1-2|x-1|在（，1）递增，在（1，2）递减，则＜a ≤2．故答案为：（，2]．分别求出两段函数的值域，结合已知条件可得 a 的范围，求解得答案．本题考查分段函数的值域及其求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=cos x +cos x sin （x -）=cosx +cos x （ sin x - cos x ）= cosx +sin x cosx= sin2x + cos2x += sin （2x + ）+ ，∵x ∈[-， ]∴2x + ∈[-， ]，则即≤sin （2x + ）≤1，≤ sin （2x + ）+ ≤ ，即函数的值域为[， ]．（Ⅱ）∵x ∈[0，π]，∴2x + ∈[ ，]，由 ≤2x + ≤ 得 0≤x ≤ ，此时函数为增函数，由 ≤2x + ≤，得 ≤x ≤π，此时函数为增函数，2 2 2即所求的增区间为[0， ]，[ ，π]．【解析】（Ⅰ）利用辅助角公式结合倍角公式进行化简，求出角的范围结合函数最值关系进行求解即可（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数单调性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数单调性和最值性质进行求解是解决本题的关键．19.【答案】证明：（Ⅰ）由条件可得CA=CD =AD ，∵E 为 AD 的中点，∴CE ⊥AD ，EF ⊥AD ， ∴AD ⊥面 CEF ，∴AD ⊥CF ．（Ⅱ）不妨设 AC =1，则 BC =2，AB = ，由 V =V ，得点 B 到面 ACD 的C -ABD B -ACD距离为 h = ，B∴直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值为：sin θ= = = ．【解析】（Ⅰ）由条件可得 CA =CD =AD ，从而 CE ⊥AD ，EF ⊥AD ，进而 AD ⊥面 CEF ，由此能证明 AD ⊥CF ．（Ⅱ）设 AC =1，则 BC =2，AB =，由 V =V ，得点 B 到面 ACD 的距离为 h = ，C -ABD B -ACD B由此能求出直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为 d ，等比数列{b }的公比为 q （q ＞0）． nn由 b ，a ，b 成等差数列，a +1，b ，a +1 成等比数列1 2 2 1 2 4得 2a =b +b ，b =（1+a ）（1+a ）， 2 1 2 2 1 4即为 2（1+d ）=2+2q ，（2q ） =2（1+1+3d ），解得 d =q =2．∴a n =2n -1，b =2 ． n（Ⅱ）c =a =2b -1=2 -1，nnS =c +c +…+c =（2 n 1 2 n2 +2+…+2 ）-n =-n=2 n +2-n -4，==2 +1，可得 2 +1＞4n -2+t恒成立，即 t ＜（2 -4n +3）．min 令 f （n ）=2 -4n +3，则 f （n +1）-f （n ）=2 -4，所以 f （1）＞f （2）=f （3）＜f （4）＜f （5）＜…，故 t ＜f （2）=-1，即常数 t 的取值范围是（-∞，-1）．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为 d ，等比数列{b }的公比为 q （q ＞0）．分别运n n 用等差数列等比数列中项性质，结合通项公式，解方程可得公差和公比，由此能求出数列{a }、{b }的通项公式；nn（Ⅱ）由 c =a =2b -1=2 -1，由数列的分组求和可得 S =2 +2 +…+2 ）n n n2 2 n n +13n +1nnnnnn +1n +123-n =-n =2 n +2 -n -4，计算可得 2 +1＞4n -2+t 恒成立，即 t ＜（2 n -4n +3）．由数列的 min单调性可得最小值，由此能求出常数 t的取值范围．本题考查数列的通项公式的求法，考查常数 t 的范围的求法，综合性强．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.【答案】解：（I ）设 Q （，y ），则=（，y -2），∵PQ =2QR ，∴ =∴R （，=（），，），设直线 AB 的方程为：x =t （y -）+，代入 y =4x 可得：y-4ty +2t （3y -2）- 0=0，∴y =2t =R，即 t=，∵△=16t -4[2t （3y -2）-]=-3y +12y +4＞0，0 0∴2-＜y 0＜2+．（II ）设 A （x ，y ），B （x ，y ），1 12 2由（I ）可知 y +y =4t =3y -2，y y =2t （3y -2）- 1 2 0 1 2 0=3y -6y ，|AB |==，P 到直线 AB 的距离 d=，∴S△P AB×=，令-3y +12y =m ，则 m ∈（-4，12]，设 f （m ）=（m +4）m ，则 f ′（m ）=3m +8m ，令 f ′（m ）＞0，可得 m ＜-或 m ＞0，∴f （m ）在（-4，-）上单调递增，在（-，0）上单调递减，在（0，12]上单调递增，又 f （-）=，f （12）=16×144，故 f （-）＜f （12），∴S的最大值为 ×△P AB= =6．【解析】（I ）设 Q （，y ），表示出 R 的坐标 R （，），再设直线 AB 方程为 x =t （y -）+，联立方程组消元，根据根与系数关系和中点坐标公式得出 y和 t的关系，令判别式大于零求出 y 的范围；（II ）求出|AB |，和 P 到直线 AB 的距离，得出三角形的面积关于 y 的函数，利用换元法和函数单调性求出面积最大值．n 2 22 2 2 = 2 02 2本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法，考查数学运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（I ）∵f （x ）=2x +aln x ，∴f ′（x ）=4x，由题意可得，f ′（1）=2，f （1）=2 ∴4+a =2，2+m =2 ∴a =-2，m =0，（II ）∵f （2x -1）+2＞2f （x ）对任意 x ∈[2，+∞）恒成立， 2（2x -1） +a ln （2x -1）+2＞2（2x +a ln x ），整理可得，4（x -1） -a [2ln x -ln （2x -1）]＞0 对任意 x ∈[2，+∞）恒成立， ∴4-a （n 4-ln3）＞0 即 a当 a时，4（x-1） -a [2ln x -ln （2x -1）]设 g （x ）=4（x-1） -，则 g ′（x ）=8（x -1）[（2x -x ）-]∵x ≥2，∴x -1＞0，，∴g ′（x ）＞0，即 g （x ）单调递增，g （x ）＞g （2）=0 综上可得，a（III不可能有三个不同的实根，证明如下：令 g ′（x ）=f （x ）+2cos x ，若 g （x ）=5 有三个不同的实数根，则 g （x ）至少要有三个单调区间，则 g ′（x ）=0 至少有两个不等实根，所以只要证明 g ′（x ）=0 在（0，+∞）至多 1 个实根，g ′（x ）=4x，∵∴g ′′ （x ）＞0，，g′′（x ）=4-2cos x -∴g ′（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴g ′（x ）=0 至多 1 个根，当 a ≥0 时，（4x -2sin x ）′=4-2cos x ＞0， ∴y=4x -2sin x 在（0，+∞）上单调递增，∴y=4x -2sin x ＞0，又因为 a ≥0 时，∴＞0，g ′（x ）=0g ′（x ）在（0，+∞）上没有实数根综上可得，g ′（x ）=0（0，+∞）上至多一个实数根，得证【解析】（I ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解（II ）∵f （2x -1）+2＞2f （x ）对任意 x ∈[2，+∞）恒成立，可转化为求解函数的最值问题，结合函数在区间[2，+∞）上单调性即可求解第 15 页，共 16 页2222222（III）结合函数的导数与函数单调性的关系及函数的零点判定定理可证本题主要考查了导数的几何意义的应用及函数单调性与导数关系的综合应用，属于难题。

浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷(5月份)解析版

高考数学模拟试卷（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设命题p：∀x∈R，sin x≤1，则￢p为（）A. ∀x∈R，sin x≥1B. ∃x0∈R，sin x0≤1C. ∀x∉R，sin x＞1D. ∃x0∈R，sin x0＞12.若（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A. 2iB. ﹣2iC. ﹣2D. 23.已知双曲线的虚轴长为4，焦距为10，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.关于函数f（x）=x-sin x，下列说法错误的是（）A. f（x）是奇函数B. f（x）在（-∞，+∞）上单调递增C. x=0是f（x）的唯一零点D. f（x）是周期函数5.设函数，则f（-2）+f（log22019）=（）A. 1011B. 1010C. 1009D. 10126.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=-，且a n+2S n S n-1=0（n≥2，n∈N*），则S n的最小值和最大值分别为（）A. -，B. -，C. -，D. -1，17.已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx-3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是（）A. [-3，3]B. （-∞，]∪[，+∞）C. （-∞，-3]∪[3，+∞）D. []8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若sin2A-sin2B-sin2C=-sin B sin C，，则tan B=（）A. 2B.C.D.9.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为（）A. 3πB. 12πC. 18πD. 27π10.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），且y=f（x+3）为偶函数，若f（x）在（0，3）内单调递减，则下面结构正确的是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.双曲线-y2=1的渐近线方程为______．12.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为______．13.已知，且tan（α+β）=，则tanβ的值为______.14.在△ABC中，，a2+b2-c2=ab，c=3，则∠C=______；a=______．15.执行如图所示的程序框图，输出的结果为______，______．16.已知F1，F2是焦距为2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，过点P作椭圆C的切线l，若F1，F2到切线l的距离之积为4，则椭圆C 的离心率为______．17.若存在无穷数列{a n}，{b n}满足：对于任意n∈N+，a n+1，b n+1是方程x2-（a n+b n）x+=0的两根，且a10=1，b1＞0，则b1=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B-b cos C=c cos B．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若，求f（A）的取值范围．19.已知S n是数列{a n}的前n项之和，a1=1，2S n=na n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（-1）n，数列{b n}的前n项和T n，若|T n+1|＜，求正整数n的最小值．20.如图，在四边形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，AC=BC=CD=2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC 所成的角为45°．（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；（2）求二面角D-PE-B的余弦值．21.椭圆的离心率是，过点P（0，1）作斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M的坐标为，△AMB是以AB为底边的等腰三角形，求k值．22.设函数（其中k∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k＞0时，讨论函数f（x）的零点个数．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，sin x≤1则￢p是∃x0∈R，sin x0＞1．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与汽车媒体的否定关系，基本知识的考查．2.【答案】D【解析】解：∵=，∴复数z的虚部是2．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线的虚轴长为4，焦距为10，即2b=4，2c=10，则b=2，c=5，则a==，又由该双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x；故选：C．根据题意，可得b、c的值，由双曲线的几何性质可得a的值，进而由双曲线的渐近线方程计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：关于函数f（x）=x-sin x，显然它是奇函数，故A正确；由于f′（x）=1-cos x≥0，故f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，故B正确；根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，f（0）=0，可得x=0是f（x）的唯一零点，故C 正确；根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，故它一定不是周期函数，故D错误，故选：D．由题意利用根据正弦函数的性质，得出结论．本题主要考查正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，10=log21024＜log22019＜11=log22048，则f（log22019）==，f（-2）=+log2（2+2）=，则f（-2）+f（log22019）=+=1012，故选：D．根据题意，由函数的解析式求出f（-2）和f（log22019）的值，计算即可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查数列的前n项和的最值求法，注意运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，考查数列的单调性和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．由数列的递推式：n≥2，n∈N*，a n=S n-S n-1，结合等差数列的定义和通项公式可得S n=，讨论n的范围和数列的单调性可得最值．【解答】解：a1=-，且a n+2S n S n-1=0（n≥2，n∈N*），可得a n=S n-S n-1=-2S n S n-1，可得-=2，所以{}是以==-9为首项，2为公差的等差数列，则=+2（n-1）=2n-11，可得S n=，当1≤n≤5时，S n递减，且为负值；当n≥6时，S n递减，且为正值，可得n=5时，S5取得最小值-1；n=6时，S6取得最大值1．故选D．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，y=kx-3过定点D（0，-3），则k AD=，k BD==-3，要使直线y=kx-3与平面区域M有公共点，由图象可知k≥3或k≤-3，故选C8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．由条件利用正弦定理可得a2-b2-c2=-bc，再由余弦定理可得cos A=，可得A=60°，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式从而求得tan B的值．【解答】解：在△ABC中，由sin2A-sin2B-sin2C=-sin B sin C，利用正弦定理可得：a2-b2-c2=-bc，再由余弦定理可得：cos A===，∴A=60°，∵，由正弦定理可得：sin C=（）sin B，可得：sin（-B）=（）sin B，cos B+sin B=sin B+sin B，∴tan B=．故选B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题.几何体为正方体切割而成的三棱锥，故棱锥的外接球也是正方体的外接球，根据正方体的棱长得出球的半径，得出球的面积.【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥C1-ABD，其中ABCD-A1B1C1D1为边长为3的正方体，故棱锥的外接球也是正方体的外接球，设外接球半径为R，则2R==3，∴R=，∴S球=4πR2=27π.故选D.10.【答案】A【解析】解：∵f（x+6）=f（x）；∴f（x）的周期为6；又y=f（x+3）为偶函数；∴f（-x+3）=f（x+3）；∴=；∵；∴；又f（x）在（0，3）内单调递减；∴；∴．故选：A．根据f（x+6）=f（x）以及y=f（x+3）为偶函数即可得出，并且可得出，根据f（x）在（0，3）内单调递减即可得出，从而选A．考查周期函数的定义，偶函数的定义，对数函数的单调性，以及减函数的定义，根据单调性比较函数值大小的方法．11.【答案】【解析】解：双曲线-y2=1的a=2，b=1，可得渐近线方程为y=±x，即有y=±x．故答案为：y=．直接利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】【解析】解：从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，共有=10种不同的取法，从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔，共有=6种不同的取法，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为=，故答案为：．由古典概型及其概率计算公式得：取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为=，得解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属简单题．13.【答案】-1【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变型成正切函数，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．先化弦为切，求得,再考虑正切和差公式及角的代换，求得tanβ的值.解：已知，转换为：，整理得：，解得：tanα=2，由于tan（α+β）=，所以：，解得：tanβ=-1，故答案为：-1．14.【答案】【解析】解：∵a2+b2-c2=ab，∴可得cos C===，∵C∈（0，π），∴C=，∵，c=3，∴由正弦定理，可得：=，解得：a=．故答案为：，．由已知利用余弦定理可求cos C=，结合范围C∈（0，π），可求C的值，进而根据正弦定理可得a的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.【答案】8 13【解析】解：模拟执行如图所示的程序框图，如下；a=0，b=1，i=1，i≥4？，否；i=2，a=1，b=2，i≥4？，否；i=3，a=3，b=5，i≥4？，否；i=4，a=8，b=13，i≥4？，是，输出a=8，b=13．故答案为：8，13．模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的a、b的值．本题考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．16.【答案】【解析】解：F1（-c，0），F2（c，0）．设P（x0，y0），+=1．则经过点P的椭圆的切线方程为：=1，化为：b2x0x+a2y0y-a2b2=0．∵F1，F2到切线l的距离之积为4，∴•=4，∴=4，=，化为：b=2．又c=1，∴a==．∴椭圆C的离心率e==．故答案为：．设P（x0，y0），+=1．可得经过点P的椭圆的切线方程为：=1，化为：b2x0x+a2y0y-a2b2=0．根据F1，F2到切线l的距离之积为4，可得•=4，化简可得b，可得a=，可得椭圆C的离心率e=．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的切线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】512【解析】解：a n+1，b n+1是方程x2-（a n+b n）x+=0的两根，可得a n+1+b n+1=（a n+b n），a n+1b n+1=，即有a n+1+b n+1=（a1+b1），a n+1b n+1=（a1b1），若a1，b1＞0，可得a n，b n＞0，由a n+1+b n+1≥2，可得（a1+b1）≥2（a1b1），对于给定的a1，b1，这显然是不可能的对于任意的n成立；同样可以证明a n＞0，b n＞0，也不可能同时成立，所以a10=1，可得b10=0，倒推可得a1+b1=29（a10+b10），a1b1=（a10b10），所以a1=0，b1=29=512．故答案为：512．运用二次方程的韦达定理和等比数列的通项公式和数列的递推式，对数列{a n}，{b n}的各项符号讨论，即可得到所求值．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.【答案】解：（Ⅰ）因为a sin B-b cos C=c cos B，则sin A sin B-sin B cos C=sin C cos B，所以sin A sin B=sin B cos C+cos B sin C=sin（B+C）=sin A，在△ABC中，sin A0，所以sin B=1，因为B为△ABC内角，所以，则△ABC为直角三角形；（Ⅱ）∵=cos2x-=（cos x-）2-，∴f（A）=（cos A-）2-，因为，所以cos A∈（0，1），则当时，f（A）取得最小值；当cos A=1时，f（A）取得最大值，但cos A＜1，所以f（A）的取值范围为．【解析】本题主要考查三角函数的恒等变形，函数最值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．（Ⅰ）由已知得sin B，可得B，即可；（Ⅱ）化简，由cos A∈（0，1），可得f（A）的取值范围．19.【答案】解：（1）因为2S n=na n+1①，所以n≥2时，2S n-1=（n-1）a n②，②-①得：2a n=na n+1-（n-1）a n，n≥2，所以，则为常数列，又a2=2S1=2，∴，∴（n≥2），当n=1时也满足，所以a n=n，n∈N*；（2），当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上，，则，∴n＞2018，n的最小值为2019．【解析】此题考查了数列的递推关系式知识，还考查了数列求和的知识，对不等式也有涉及，属于中档题．（1）由已知递推关系式和a n=S n-S n-1可推出，则为常数列，继而可算出a n；（2）先把b n表示出来，用裂项法求T n比较容易，然后代入不等式可推出n．20.【答案】证明：（1）∵AB⊥CD，AB⊥BE，∴CD∥EB，∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，且PC∩BC=C，∴EB⊥平面PBC，又∵EB⊂平面DEBC，∴平面PBC⊥平面DEBC；（2）解：由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE与平面PBC所成的角为45°得∠EPB=45°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴PB=EB，∵AB∥DE，结合CD∥EB得BE=CD=2，∴PB=2，故△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连接PO，∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，则B（0，1，0），E（2，1，0），D（2，-1，0），，从而，，，设平面PDE的一个法向量为，平面PEB的一个法向量为，则由得，令z=-2得，由得，令c=1得，设二面角D-PE-B的大小为θ，则，显然二面角为钝角，即二面角D-PE-B的余弦值为．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．（1）推导出CD∥EB，PC⊥CD，EB⊥PC，从而EB⊥平面PBC，由此能证明平面PBC⊥平面DEBC；（2）由EB⊥平面PBC，得EB⊥PB，从而PB=EB，取BC的中点O，连接PO，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-PE-B的余弦值．21.【答案】解：（1）根据题意，椭圆的离心率是，则e==，当直线l垂直于y轴时，则椭圆过点，可得解得a2=9，b2=4，所以椭圆的E方程为，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）由消去y得（4+9k2）x2+18kx-27=0，显然＞0．所以，当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程，将代入得，化简得9k2+12k+4=0，解得，当k=0时，与题意不符．综上所述，所求k的值为．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程以及几何性质，关键是求出椭圆的标准方程，属于中档题题．（1）根据题意，由椭圆的离心率可得e==，进而可得椭圆过点，则有解可得a、b的值，即可得答案；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），联立直线与椭圆的方程，消去y得（4+9k2）x2+18kx-27=0，用k表示过点C且与l垂直的直线，将代入其方程，分析可得答案．22.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=e x+（x-1）e x-kx=xe x-kx=x （e x-k），①当k≤0时，令f'（x）＞0，解得x＞0，所以f（x）的单调递减区间是（-∞，0），单调递增区间是[0，+∞），②当0＜k＜1时，令f'（x）＞0，解得x＜ln k或x＞0，所以f（x）在（-∞，ln k）和（0，+∞）上单调递增，在[ln k，0]上单调递减，③当k=1时，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，∞）上单调递增，④当k＞1时，令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞ln k，所以f（x）在（-∞，0）和（ln k，+∞）上单调递增，在[0，ln k]上单调递减；（2）f（0）=-1，①当0＜k≤1时，由（1）知，当x∈（-∞，0）时，，此时f（x）无零点，当x∈[0，+∞）时，f（2）=e2-2k≥e2-2＞0，又f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f（x）在[0，+∞）上有唯一的零点，故函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有唯一的零点，②当k＞1时，由（1）知，当x∈（-∞，ln k）时，f（x）≤f max（x）=f（0）=-1＜0，此时f（x）无零点；当x∈[ln k，+∞）时，f（ln k）＜f（0）=-1＜0，，令，则g'（t）=e t-t，g''（t）=e t-1，因为t＞2，g''（t）＞0，g'（t）在（2，+∞）上单调递增，g'（t）＞g'（2）=e2-2＞0，所以g（t）在（2，+∞）上单调递增，得g（t）＞g（2）=e2-2＞0，即f（k+1）＞0，所以f（x）在[ln k，+∞）上有唯一的零点，故函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有唯一的零点．综全①②知，当k＞0时函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有且只有一个零点．【解析】（1）求出函数的导数，通过k的范围，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可．（2）f（0）=-1，通过①当0＜k≤1时，由（1）知，当x∈（-∞，0）时，函数的最大值大于0推出函数没有零点，当x∈[0，+∞）时，f（2）=e2-2k≥e2-2＞0，函数有唯一的零点，②当k＞1时，由（1）知，当x∈（-∞，ln k）时，f（x）≤f max（x）＜0，此时f（x）无零点；当x∈[ln k，+∞）时，有唯一的零点．推出当k＞0时函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有且只有一个零点．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点与函数的最值的关系，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．。

浙江省杭州市名校2024届高考数学五模试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（）A ．35B ．45C ．1D ．852．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n3．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-D ．()()1,00,1-4．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（） A ．3-B ．1-C ．1D ．35．已知函数()22018tan 1xx m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（）A ．-3B ．-1C ．3D ．06．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或37．函数f (x )＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%9．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（）A ．2B ．0C ．1-D ．110．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（） A 5B 3C ．2D 211．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省杭州市第二中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

浙江省杭州市第二中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（） A ．400米 B ．480米 C ．520米D ．600米2．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β3．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减4．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（）.A ．B ．C ．D ．5．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（）A ．12B ．32C ．12±D ．32±6．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2597．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．9．若复数()()31z i i =-+，则z =（） A ．22B ．25C ．10D ．2010．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④11．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（）． A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷(5月份)(有答案解析)

2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.设M为不等式所表示的平面区域，则位于M内的点是A. B. C. D.3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.4.“”是”函数的最小值等于2”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5.在我国古代数学著作详解九章算法中，记载着如图所示的一张数表，表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：则这个表格中第8行第6个数是A. 21B. 28C. 35D. 566.函数其中e为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.7.抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，若，，则A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知函数是偶函数，则a，b的值可能是A. ，B. ，C. ，D. ，9.设，，为非零不共线向量，若，则A. B.C. D.10.数列满足若存在实数使不等式，对任意恒成立，当时，A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.复数且i为虚数单位，则______；______．12.的展开式的所有二项式系数和为______，常数项为______．13.设双曲线的左、右焦点为，，P为该双曲线上一点且，若，则该双曲线的离心率为______，渐近线方程为______．14.在中，若，，则______，______．15.已知是等差数列的前n项和，若，，则的最大值是______ ．16.安排A、B、C、D、E、F共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者A安排照顾老人甲，志愿者B不安排照顾老人乙，则安排方法共有______种．17.已知函数当，的最大值为，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数，．若，求的单调递增区间；若，求的最小正周期T的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，E是PB的中点．Ⅰ求证：平面平面PBC；Ⅱ若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.已知数列的各项均为正数，，，是等差数列，其前n项和为，．求数列的通项公式；，，若对任意的正整数n，都有恒成立，求实数a的取值范围．21.如图，已知为抛物线C：上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点B两点异于，记直线AM，BM的料率分别为，．求的值；记，的面积分别为，，当，求的取值范围．22.已知函数，，其中．若，求证：．若不等式对恒成立，试求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：把代入不等式，得，成立，点A不在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，成立但不成立，点B不在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，成立且，点C在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，不成立，点D不在不等式组表示的平面区域内．故选：C．分别把A，B，C，D四个点的坐标代入不等式组进行判断，即能够求出答案．本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱切去一个底面为矩形，高为四棱锥体．如图所示：所以该几何体的体积为：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，割补法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.答案：A解析：解：函数，令，解得，或3．“”是”函数的最小值等于2”的充分不必要条件．故选：A．函数，令，解得a，进而判断出关系．本题考查了绝对值不等式、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：．则第7行的数据为：1，6，15，20，15，6，1，第8行的数据：1，7，21，35，35，21，7，1，则这个表格中第8行第6个数是21，故选：A．通过表格可归纳推理得到第7和第8行的数据从而得到答案，归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想，属于基础题．6.答案：D解析：解：由，故可排除选项A，B；又时，且，故可排除选项C．故选：D．利用特殊点的函数值及函数的趋近性，得出答案．本题考查函数图象的运用，考查由函数解析式确定函数图象，属于基础题．7.答案：A解析：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，，，的分布列为：1 2 3P，．1 2 3 4 5P，，，故选：A．由，求出的分布列，从而求出，；由，求出的分布列，从而求出，进而得到，本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，设，则，则，，又由为偶函数，则，即，变形可得：对于任意x恒成立，则有，分析选项：C满足，故选：C．根据题意，设，则，由函数的解析式可得，，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得，分析选项即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数诱导公式的应用，属于基础题．9.答案：D解析：解：设，，为非零不共线向量，若，则，，化简得，，即，，，故选：D．因为对任意的实数，不等式恒成立，所以把不等式整理成关于t一元二次不等式．本题主要考察了平面向量的数量积以及一元二次不等式的知识．10.答案：B解析：解：，当时，可得：，解得，同理可得：，．若存在实数使不等式，对任意恒成立，则，经过验证只有满足上述不等式．故选：B．，当时，可得：，解得，同理可得：，若存在实数使不等式，对任意恒成立，经过验证即可得出．本题考查了数列递推关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：由，得，则，解得．；，．故答案为：；．把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合复数相等的条件即可求出a，b的值，再由复数模的公式计算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．12.答案：64 20解析：解：由题设知：展开式的所有二次项系数和为；又其通项公式为，令，解得：，．故答案为：64；20．先求出二次项系数和，再利用二项式定理中的通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的内容，属于基础题．13.答案：解析：解：由题意可设P为第一象限内的点，且设，，由双曲线的定义可得，又，可得，，在中，由余弦定理可得，则，即，由，即，则渐近线方程为，故答案为：，由题意可设P为第一象限内的点，且设，，运用双曲线的定义和已知条件求得m，n，三角形的余弦定理可得a，c的关系，再结合a，b，c的关系可得a，b的关系，进而得到心率公式和渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的余弦定理的运用，同时考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.答案： 1解析：解：，，，又，，，，，，，即，又，C均为锐角，，由正弦定理得：，故答案为：，1．先利用二倍角公式化简得，再结合A的范围即可得到A的值，利用两角和与差的三角函数公式化简得，所以，再利用由正弦定理即可算出结果．本题主要考查了利用三角函数公式化简求值，熟练掌握三角函数公式是解题关键，是中档题．15.答案：9解析：解：，，，即，即所以，得到，所以，即的最大值为9．故答案为：9．由，，知，，所以，得到，由此能求出的最大值．本题考查等差数列的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列前n项和公式的合理运用．16.答案：18解析：解：先安排照顾老人乙，有种方法；再考虑照顾老人甲，有种方法；其余去照顾老人丙即可，共有种安排方法．故填：18．利用乘法原理，计算出结果．本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用．17.答案：7解析：解：依题意，，则，，当且仅当且时取等号．取，，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，；取，，则显然函数在上递减，在上递增，；综上所述，的最小值为7．故答案为：7．先根据绝对值值不等式的性质可得，即必要性成立，再取值验证，证明其充分性成立即可得解．本题考查了含绝对值函数的最值求法，涉及了利用绝对值不等式的性质，利用导数研究函数的最值等知识点，考查了推理能力与计算能力，属于较难题目．18.答案：解：当时，函数，令，；解得，；所以的单调递增区间是，；由，若，则，所以，；解得，；又因为函数的最小正周期，且，所以当时，T取得最大值为．解析：化简时函数的解析式，利用正弦函数的单调性求出的单调递增区间；化为正弦型函数，根据求出，再计算函数最小正周期T的最大值．本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：平面ABCD，平面ABCD，，，，，，，又，，，平面PBC，平面EAC，平面PBC，平面平面PBC．Ⅱ如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则0，，1，，，设0，，则，1，，0，，，取，则，为面PAC的法向量．设y，为面EAC的法向量，则，即，取，，，则，依题意，，，则，于是，1，．设直线PA与平面EAC所成角为，则，，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．解析：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．Ⅰ证明平面平面PBC，只需证明平面PBC，即证，；Ⅱ根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角的余弦值为，可求a的值，从而可求，1，，即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.答案：解：设等差数列的公差为，由得，解得：，，，，；，，，对任意的正整数n恒成立恒成立．又在时单调递减，其范围为．故．解析：先设等差数列的公差为，由题设条件求出d，进而求出，；先求，再求出，从而求出，解出a的取值范围．本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求数列的和，还有利用数列的单调性求范围，属于中档题．21.答案：解：由题意将M的坐标代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为；由题意可得直线AB的斜率不为0，所以设直线AB的方程为：，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，，由题意可得，所以．由可得，所以，，又，所以．所以的取值范围．解析：由题意将M的坐标代入抛物线的方程可得p的值，进而求出抛物线的方程，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出直线AM，BM的斜率之积可得为定值，；由可得的表达式，由其服务求出A的纵坐标的范围，两个，的面积以M 为顶点，以AD，BD为为底边，所以面积之比等于AD，BD的长度之比，由可得其取值范围．本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合及面积之比与边长之比的关系，属于中档题．22.答案：解：证明：，，．函数在上单调递增，，．存在，使得，当时，；时，．．由，即，则．．即；由题意可得：对恒成立．必要性：把代入可得：，即，令，可得在上单调递增，且．．下面证明当时．对恒成立．即证明：对恒成立．，．令．．可得：在上单调递减，且．时，函数取得最大值，．．，对恒成立．由可知：．解析：，，函数在上单调递增，，．存在，使得可得即可证明．由题意可得：对恒成立．必要性：把代入可得：，即，令，利用单调性可得．下面证明当时．对恒成立．即证明：对恒成立．由，可得令利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2019届浙江省杭州市第二中学高三下学期5月仿真考试数学试题(解析版)

2019届浙江省杭州市第二中学高三下学期5月仿真考试数学试题一、单选题1．设集合{1,2,5}A =，{2,4}B =，{|15}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=（）A ．{1,2,4,6}B ．{|15}x R x ∈-≤≤C ．{2}D ．{1,2,4}【答案】D【解析】集合A ={1,2,5},B ={2,4}， C ={x ∈R |−1⩽x <5}，则A ∪B ={1,2,4,5}， ∴(A ∪B )∩C ={1,2,4}. 故选D.2．双曲线22134x y -=的焦点坐标为( )A ．(1,0),(1,0)-B ．(C ．(0,D ．(0,1),(0,1)-【答案】B【解析】由双曲线的标准方程可知,双曲线的焦点在x 轴上,且2234a b ==，，可求得27c =,由此得出选项.【详解】因为2234a b ==，，,所以27c =,所以焦点坐标为(，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质,关键在于分清焦点的位置，并且求解时注意不要和椭圆弄混了，属于基础题.3．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )A ．4B ．203C ．263D ．8【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥，则12111202242223323V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B. 【考点】三视图，几何体的体积4．设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是“n S 单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据等差数列的通项公式与前n 项和的关系，以及数列的单调性得+1+11+n n n S S a a nd =-=，可得选项．【详解】充分性：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ,且0d >，则21+22n d d S n a n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，所以+1+110+n n n S nd S a a =-=>不一定成立，即由0d >不能推出数列{}n S 单调递增，所以充分性不成立；必要性：数列{}n S 单调递增，则对任意n *∈N ，+1+110+n n n S nd S a a =-=>，当100a d >=，时，即可满足，∴不能推出0d >，所以必要性不成立.故选：D ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项，前n 项和，数列的单调性，关键在于得出数列的通项与前n 项的和关系，属于基础题。

2020年浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)

2020年浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知命题p ：∀x ∈R ，都有2x ≥0且x 2−2x ≥0，则￢p 为( )A. ∀x ∈R ，都有2x ≤0或x 2−2x ≤0B. ∃x 0∈R ，使得2x 0≥0或x 02−2x 0≥0 C. ∃x 0∈R ，使得2x 0≤0且x 02−2x 0≤0 D. ∃x 0∈R ，使得2x 0<0或x 02−2x 0<02. 复数z =2+i1−2i 的虚部为( )A. −53 B. −53iC. 1D. i3. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为2√3，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±2xC. y =±√22x 或y =±√2x D. y =±12x4. 已知函数f(x)=x −sinx ，若x 1,x 2∈[−π2,π2],且f(x 1)+f(x 2)>0，则下列不等式中正确的是( )A. x 1>x 2B. x 1<x 2C. x 1+x 2>0D. x 1+x 2<05. 设函数则)A. 27B. 17C. 26D. 166. 已知数列{a n }满足a 2=102，a n+1−a n =4n ，(n ∈N ∗)，则数列{a nn }的最小值是( )A. 25B. 26C. 27D. 287. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −2y +1≥ 0x ≤ 3x +y −1≥0，则z =x −y +3的取值范围是( ) A. [83,8)B. [83,8]C. [4,8]D. [43,4]8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2c ，bsin B −asin A =2asin C ，则sin B 为( )A. √74B. 34C. √73D. 139. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A. 8(1+2√2+√3)B. 8(1+√2+2√3)C. 323D. 32910.已知定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x)=f(4−x)，且f(−3)=2，则f(2019)=()A. −2B. 0C. 2D. 4二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.已知双曲线的方程为y29−x225=1，则其渐近线方程为______．12.袋子里装有5个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球(大小、形状、质量完全相同)，某人从袋子中一次性取出2个小球，则取出的2个小球中含有红色小球的概率为______．13.若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=23，则sin(α−β)=_______。

浙江省杭州市西湖区学军中学高考数学模拟试卷(5月份)带答案解析

2021年浙江省杭州市西湖区学军中学高考数学模拟试卷（5月份）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则（∁R A ）∩B ＝（） A ．（﹣2，0） B ．[﹣2，0）C ．∅D ．（﹣2，1）2．（4分）设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（）A ．1B ．√2C ．√3D ．23．（4分）已知q 是等比数{a n }的公比，则q ＜1”是“数列{a n }是递减数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．16B ．26C ．32D ．20+254√35．（4分）若存在实数x ，y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0与不等式x ﹣2y +m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是（） A ．m ≥0 B ．m ≤3C ．m ≥lD ．m ≥36．（4分）(x x)n展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（） A ．790B ．680C ．462D ．3307．（4分）已知正实数a ，b 满足a 2﹣b +4≤0，则u =2a+3ba+b （） A ．有最大值为145B ．有最小值为145C ．没有最小值D ．有最大值为38．（4分）已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →=MC →，则|BM →|2的最大值是（）A ．434B ．494C ．37+6√34D ．37+2√3349．（4分）如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是π4，PQ 是正方形BCEF所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（）A ．[π4，π2]B ．[π6，π2]C ．[π6，π3]D ．[π3，π2]10．（4分）已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数f '（x ）满足xf ′(x)+f(x)=lnxx ，且f(e)=1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f(x)+e ＞x +1e 的解集是（） A ．(0，1e )B ．（0，e ）C ．(1e ，e)D ．(1e ，+∞)二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）若2sin α﹣cos α=√5，则sin α＝，tan （α−π4）＝．12．（6分）商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则EX ＝． 13．（6分）在△ABC 中，D 是AC 边的中点，A =π3，cos ∠BDC =7，△ABC 的面积为3√3，则sin ∠ABD ＝，BC ＝．14．（6分）已知抛物线y ＝x 2和直线l ：y ＝kx +m （m ＞0）交于两点A 、B ，当OA →⋅OB →=2时，直线l 过定点；当m ＝时，以AB 为直径的圆与直线y =−14相切．15．（4分）根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有种不同的考试安排方法．16．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是棱AB ，AD ，AA 1的中点．以△PQR 为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．17．（4分）函数y ＝ax 2﹣2x 的图象上有且仅有两个点到直线y ＝x 的距离等于√2，则实数a 的取值集合是．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）设函数f （x ）＝sin 2ωx ﹣cos 2ωx +2√3sin ωx cos ωx +λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（12，1）．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若y ＝f （x ）的图象经过点（π4，0），求函数f （x ）在区间[0，3π5]上的取值范围．19．（15分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．（I ）已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（Ⅱ）已知EF ＝FB =12AC ＝2√3，AB ＝BC ，求二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值．20．（15分）已知函数f （x ）=13ax 3−12bx 2+x （a ，b ∈R ）．（Ⅰ）当a ＝2，b ＝3时，求函数f （x ）极值；（Ⅱ）设b ＝a +1，当0≤a ≤1时，对任意x ∈[0，2]，都有m ≥|f '（x ）|恒成立，求m 的最小值． 21．（15分）已知椭圆x 2a +y 2＝1（a ＞1），过直线l ：x ＝2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x轴上时，切线P A 的斜率为±√22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值．22．（15分）已知函数f n （x ）＝x n （1﹣x ）2在（14，1）上的最大值为a n （n ＝1，2，3，…）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对任何正整数n （n ≥2），都有a n ≤1(n+2)2成立；（3）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：对任意正整数n ，都有S n ＜1327成立．2021年浙江省杭州市西湖区学军中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）（2021•西湖区校级模拟）已知集合A ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则（∁R A ）∩B ＝（） A ．（﹣2，0）B ．[﹣2，0）C ．∅D ．（﹣2，1）【考点】1H ：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合．【分析】由全集R 及A ，求出A 的补集，找出B 与A 补集的交集即可．【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}， ∴∁R A ＝{x |﹣2≤x ≤1}，集合BB ＝{x |x ＞2或x ＜0}，∴（∁R A ）∩B ＝{x |﹣2≤x ＜0}＝[﹣2，0），故选：B ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．（4分）设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题；5N ：数系的扩充和复数．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z 满足1+z 1−z=i ，∴1+z ＝i ﹣zi ， ∴z （1+i ）＝i ﹣1， ∴z =i−1i+1=i ， ∴|z |＝1，故选：A ．【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）（2014•江西一模）已知q 是等比数{a n }的公比，则q ＜1”是“数列{a n }是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】21：阅读型．【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q=−4−8=12＜1的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{a n}的公比q＜1，不能得出数列{a n}是递减数列；而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q=−2−1＞1，所以，由数列{a n}是递减数列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．故选：D．【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件，解答此类问题时，要说明一个命题不正确可用举反例的方法，此题是基础题．4．（4分）（2021•西湖区校级模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16B．26C．32D．20+254√3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】31：数形结合；4R：转化法；5Q：立体几何．【分析】根据三视图得几何体是三棱锥，且一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为4，如图所示；其中SC⊥平面ABC，SC＝3，AB＝4，BC＝3，AC＝5，SC＝4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB ⊥SB ； S △ABC =12×3×4＝6， S △SBC =12×3×4＝6， S △SAC =12×4×5＝10， S △SAB =12×AB ×SB =12×4×5＝10， ∴该几何体的表面积S ＝6+6+10+10＝32．故选：C ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键． 5．（4分）（2013•杭州二模）若存在实数x ，y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0与不等式x ﹣2y +m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是（） A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥lD ．m ≥3【考点】7C ：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z ＝x ﹣2y 对应的直线进行平移，可得当x ＝y ＝3时，z 取得最小值为﹣3；当x ＝4且y ＝2时，z 取得最大值为0，由此可得z 的取值范围为[﹣3，0]，再由存在实数m 使不等式x ﹣2y +m ≤0成立，即可算出实数m 的取值范围．【解答】解：作出不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （4，2），B （1，1），C （3，3）设z ＝F （x ，y ）＝x ﹣2y ，将直线l ：z ＝x ﹣2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z 最大值＝F （4，2）＝0当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z 最小值＝F （3，3）＝﹣3 因此，z ＝x ﹣2y 的取值范围为[﹣3，0]，∵存在实数m ，使不等式x ﹣2y +m ≤0成立，即存在实数m ，使x ﹣2y ≤﹣m 成立 ∴﹣m 大于或等于z ＝x ﹣2y 的最小值，即﹣3≤﹣m ，解之得m ≤3 故选：B ．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z ＝x ﹣2y 的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、不等式的解集非空和简单的线性规划等知识，属于基础题．6．（4分）（2021•西湖区校级模拟）(x +√x )n 展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（） A ．790B ．680C ．462D ．330【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题；4R ：转化法；5P ：二项式定理．【分析】由题意可得：2n ﹣1＝1024，解得n ＝11．可得展开式中各项系数的最大值是∁115或∁116．【解答】解：由题意可得：2n ﹣1＝1024，解得n ＝11．则展开式中各项系数的最大值是∁115或∁116，则∁115=11×10×9×8×75×4×3×2×1=462．故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（4分）（2021•西湖区校级模拟）已知正实数a ，b 满足a 2﹣b +4≤0，则u =2a+3ba+b（） A ．有最大值为145B ．有最小值为145C ．没有最小值D ．有最大值为3【考点】7F ：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；35：转化思想；5T ：不等式．【分析】a 2﹣b +4≤0，可得b ≥a 2+4，a ，b ＞0．可得−aa+b ≥−aa 2+a+4，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a 2﹣b +4≤0，∴b ≥a 2+4，a ，b ＞0． ∴a +b ≥a 2+a +4， ∴a a+b≤aa 2+a+4，∴−a a+b ≥−a a 2+a+4，∴u =2a+3b a+b =3−a a+b ≥3−a a 2+a+4=3−1a+4a+1≥31√a⋅4a +1=145，当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选：B ．【点评】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（4分）（2016•四川）已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →=MC →，则|BM →|2的最大值是（） A ．434B ．494C ．37+6√34D ．37+2√334【考点】91：向量的概念与向量的模．【专题】31：数形结合；35：转化思想；56：三角函数的求值；5A ：平面向量及应用；5B ：直线与圆．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B （0，0），C (2√3，0)．A (√3，3)．点P 的轨迹方程为：(x −√3)2+(y −3)2=1，令x =√3+cos θ，y ＝3+sin θ，θ∈[0，2π）．又PM →=MC →，可得M (32√3+12cosθ，32+12sinθ)，代入|BM →|2=374+3sin (θ+π3)，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． B （0，0），C (2√3，0)． A (√3，3)． ∵M 满足|AP →|＝1，∴点P 的轨迹方程为：(x −√3)2+(y −3)2=1，令x =√3+cos θ，y ＝3+sin θ，θ∈[0，2π）．又PM →=MC →，则M (32√3+12cosθ，32+12sinθ)，∴|BM →|2=(3√32+12cosθ)2+(32+12sinθ)2=374+3sin (θ+π3)≤494．∴|BM →|2的最大值是494．也可以以点A 为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC 中点N ，MN =12，从而M 轨迹为以N 为圆心，12为半径的圆，B ，N ，M 三点共线时，BM 为最大值．所以BM 最大值为3+12=72．故选：B ．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）（2021•西湖区校级模拟）如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是π4，PQ 是正方形BCEF 所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（）A ．[π4，π2]B ．[π6，π2]C ．[π6，π3]D ．[π3，π2]【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5G ：空间角．【分析】以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD 与PQ 所成角的取值范围．【解答】解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则B （0，0，0），D （1，1，0），C （1，0，0），E （1，√22，√22），F （0，√22，√22），当D 点在正方形BCEF 的投影刚好落在CE 上，记为G 点，其坐标为G （1，12，12），此时BG 与BD 所成角刚好30度，即直线BD 与PQ 所成角的最小值为π6，取P （12，0，0），Q （0，12，12）时，直线BD 于PQ 所成角取最大值，∵BD →=（1，1，0），PQ →=（−12，12，12），∴cos ＜BD →，PQ →＞=BD →⋅PQ→|BD →|⋅|PQ →|=0，∴直线BD 于PQ 所成角最大值为π2．∴直线BD 与PQ 所成角的取值范围是[π6，π2]．故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10．（4分）（2021•西湖区校级模拟）已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数f '（x ）满足xf ′(x)+f(x)=lnx x ，且f(e)=1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f(x)+e ＞x +1e的解集是（） A ．(0，1e )B ．（0，e ）C ．(1e ，e)D ．(1e ，+∞)【考点】63：导数的运算；67：定积分、微积分基本定理；6B ：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；35：转化思想；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，令g （x ）＝xf （x ），分析可得g ′（x ）＝[xf （x ）]′=xf ′(x)+f(x)=lnxx ，对g （x ）求积分可得g （x ）的解析式，进而可得f （x ）的解析式，再令h （x ）＝f （x ）﹣x ，对其求导可得h ′（x ）＝f ′（x ）﹣1＜0，分析可得函数h （x ）＝f （x ）﹣x 在（0，+∞）上递减，将不等式f(x)+e ＞x +1e 变形可得f （x ）﹣x ＞1e −e ＝f （e ）﹣e ，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）＝xf（x），则有g′（x）＝[xf（x）]′=xf′(x)+f(x)=lnx x，则g（x）=12（lnx）2+C，即xf（x）=12（lnx）2+C，则有f（x）=12x（lnx）2+Cx，又由f(e)=1e，即f（e）=12e+C e=1e，解可得C=12，故f（x）=12x（lnx）2+12x，令h（x）＝f（x）﹣x，则h′（x）＝f′（x）﹣1=−(lnx+1)22x2−1＜0，故函数h（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，不等式f(x)+e＞x+1e，即f（x）﹣x＞1e−e＝f（e）﹣e，则有0＜x＜e，即不等式f(x)+e＞x+1e的解集为（0，e）；故选：B．【点评】本题考查抽象函数的单调性，涉及导数的计算以及函数的积分计算，关键是求出函数f（x）的解析式．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）（2021•西湖区校级模拟）若2sinα﹣cosα=√5，则sinα＝2√55，tan（α−π4）＝3．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=√5，∴cosα＝2sinα−√5，∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+（2sinα−√5）2＝1，即5sin2α﹣4√5sinα+4＝0，∴解得：sinα=2√5 5，∴cosα＝2×2√55−√5=−√55，tanα=sinαcosα=−2，∴tan （α−π4）=tanα−11+tanα=−2−11−2=3．故答案为：2√55，3．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据同角的三角函数关系式是解决本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12．（6分）（2021•西湖区校级模拟）商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是 710；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则EX ＝35．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差．【专题】38：对应思想；49：综合法；5I ：概率与统计．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算不获奖的概率得出获奖的概率，根据二项分布的性质得出数学期望．【解答】解：抽奖1次，不中奖的概率为610×510=310，∴抽奖1次能获奖的概率为1−310=710；抽奖1次获一等奖的概率为410×510=15，∴随机变量X 服从二项分布，即X ～B （3，15）， ∴EX ＝3×15=35．故答案为：710，35．【点评】本题考查了相互独立事件的概率的计算，数学期望的计算，属于基础题． 13．（6分）（2021•西湖区校级模拟）在△ABC 中，D 是AC 边的中点，A =π3，cos ∠BDC =7，△ABC 的面积为3√3，则sin ∠ABD ＝3√2114，BC ＝ 6 ．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形．【分析】过B 作BH ⊥AC 于H ，则cos ∠BDH =DH BD =2√77，设DH ＝2k （k ＞0），则BD =√7k ，BH =√3k ，在Rt △ABH 中，由∠A =π3，得AH ＝k ，从而AD ＝3k ，AC ＝6k ，由S △ABC =12×6k ×√3k =3√3k 2=3√3，求出BC ＝2√7，再由BDsinA=AD sin∠ABD，能求出sin ∠ABD ．【解答】解：过B 作BH ⊥AC 于H ，则cos ∠BDH =DH BD =2√77，设DH ＝2k （k ＞0），则BD =√7k ， ∴BH =√BD 2−DH 2=√3k ，在Rt △ABH 中，∠A =π3，∴AH =3=k ， ∴AD ＝3k ，AC ＝6k ，又S △ABC =12×AC ×BH =12×6k ×√3k =3√3k 2=3√3，解得k ＝1，∴BC ＝2√7，在△ABD 中，BDsinA=AD sin∠ABD，∴√7√32=3sin∠ABD解得sin ∠ABD =3√2114．故答案为：3√2114，6．【点评】本题考查三角形的内角的正弦值的求法，考查三角形的边的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．14．（6分）（2021•西湖区校级模拟）已知抛物线y ＝x 2和直线l ：y ＝kx +m （m ＞0）交于两点A 、B ，当OA →⋅OB →=2时，直线l 过定点（0，2）；当m ＝ 14时，以AB 为直径的圆与直线y =−14相切．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；41：向量法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m 的值，求得直线l 的方程求得直线l 过点（0，2）；利用中点坐标公式求得圆M 的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m 的值．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），{y =x 2y =kx +m ，整理得：x 2﹣kx ﹣m ＝0，则x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣m ，y 1y 2＝（x 1x 2）2＝m 2，y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2m ＝k 2+2m ，由OA →⋅OB →=2，则x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣m ＝2，即m 2﹣m ﹣2＝0，解得：m ＝﹣1或m ＝2，由m ＞0，则m ＝2，直线l ：y ＝kx +2， ∴直线l 过点（0，2），设以AB 为直径的圆的圆心M （x ，y ），圆M 与y =−14相切于P ，由x =x 1+x 22=k 2，则P （k 2，−14），由题意可知：PA →•PB →=0，即（x 1−k 2，y 1+14）•（x 2−k 2，y 2+14）＝0，整理得：x 1x 2−k 2（x 1+x 2）+k 24+y 1y 2+14（y 1+y 2）+116=0，代入整理得：m 2−m 2+116=0，解得：m =14， ∴当m =14，以AB 为直径的圆与直线y =−14相切．故答案为：（0，2），14．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．15．（4分）（2021•西湖区校级模拟）根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有 114 种不同的考试安排方法．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；35：转化思想；5O ：排列组合．【分析】依题意，分两大类：①四次考试中选三次（有C 43种方法），每次考两科；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．【解答】解：将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况：①四次考试中选三次（有C43种方法），每次考两科，第一次有C32种方法，第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有C11•C21种方法，第三次只能是C22种方法，根据分布乘法计数原理，共有：C43•C32•（C11•C21）•C22=24种方法；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，共C42=6种方法；分别为方案2211，2121，2112，1221，1212，1122．若为2211，第一次有C32种方法，第二次有两种情况，1°选考过的两科，有C22种方法，则第三次只考剩下的第三科有1种方法；第四次只有1种方法，故共有C32•C22•1•1＝3种方法；2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有C11•C21种方法，则第三次与第四次共有A22种方法，故共有C32•C11•C21•A22=12种方法；综上所述，2211方案共有15种方法；若方案为2121，共有C32（C11•C32•C11+C21•C11•C11）＝15种方法；若方案为2112，共有C32（C11•C31•C22+C21•C11•C11）＝15种方法；同理可得，另外3种情况，每种各有15种方法，所以，四次考试都选，共有15×6＝90种方法．综合①②得：共有24+90＝114种方法．故答案为：114．【点评】本题考查排列组合的实际应用，突出考查分类讨论思想的运用，在第二类四次考试都选中，第二次选考的科目的种类是分析问题的关键，是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．16．（4分）（2021•西湖区校级模拟）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是316．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N 、H ，则三这个棱柱的高h ＝PH ＝RM ＝QN ，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．【解答】解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P ，Q ，R 分别是棱AB ，AD ，AA 1的中点，以△PQR 为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A 1B 1C 1D 1、面DD 1C 1C 、面BB 1C 1C 的中心，记为M 、N 、H ，则三这个棱柱的高h ＝PH ＝RM ＝QN ，这个三棱柱的高h ＝RM =√RA 2+AM 2=(12)2+(22)2=√32．底面正三角形PQR 的边长为√22，面积为12×√22×√(√22)2−(√24)2=√38． ∴这个直三棱柱的体积是√38×√32=316．故答案为：316．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17．（4分）（2021•西湖区校级模拟）函数y ＝ax 2﹣2x 的图象上有且仅有两个点到直线y ＝x 的距离等于√2，则实数a 的取值集合是 {a |a ＜−98或a ＝0或a ＞98} ．【考点】3V ：二次函数的性质与图象．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】对a 进行分类讨论，得出y ＝ax 2﹣2x 与y ＝x ±2的位置关系，根据交点个数判断a 的范围．【解答】解：（1）若a ＝0，则y ＝2x 与y ＝x 为相交直线，显然y ＝2x 上存在两点到y ＝x 的距离等于√2，符合题意；（2）若a ＞0，则y ＝ax 2﹣2x 与直线y ＝x 相交，∴y ＝ax 2﹣2x 在直线y ＝x 上方的图象必有2点到直线y ＝x 的距离等于√2，又直线y ＝x 与y ＝x ﹣2的距离为√2， ∴抛物线y ＝ax 2﹣2x 与直线y ＝x ﹣2不相交，联立方程组{y =ax 2−2x y =x −2，消元得ax 2﹣3x +2＝0，∴△＝9﹣8a ＜0，解得a ＞98．（3）若a ＜0，同理可得a ＜−98．故答案为：{a |a ＜−98或a ＝0或a ＞98}．【点评】本题考查了二次函数的性质，直线与曲线的位置关系，属于中档题．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2021•西湖区校级模拟）设函数f （x ）＝sin 2ωx ﹣cos 2ωx +2√3sin ωx cos ωx +λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（12，1）．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若y ＝f （x ）的图象经过点（π4，0），求函数f （x ）在区间[0，3π5]上的取值范围．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【专题】38：对应思想；4R ：转化法；57：三角函数的图象与性质．【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f （x ）化为y ＝A sin （ωx +φ）+k 型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）＝sin 2ωx +2√3sin ωx •cos ωx ﹣cos 2ωx +λ =√3sin2ωx ﹣cos2ωx +λ ＝2sin （2ωx −π6）+λ，∵图象关于直线x ＝π对称，∴2πω−π6=π2+k π，k ∈z ．∴ω=k 2+13，又ω∈（12，1），令k ＝1时，ω=56符合要求， ∴函数f （x ）的最小正周期为 2π2×56=6π5；（Ⅱ）∵f （π4）＝0，∴2sin （2×56×π4−π6）+λ＝0， ∴λ=−√2，∴f （x ）＝2sin （53x −π6）−√2，∴f （x ）∈[﹣1−√2，2−√2]．【点评】本题主要考查了y ＝A sin （ωx +φ）+k 型函数的图象和性质，复合函数值域的求法，正弦函数的图象和性质，是一道中档题．19．（15分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．（I ）已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（Ⅱ）已知EF ＝FB =12AC ＝2√3，AB ＝BC ，求二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值．【考点】LS ：直线与平面平行；MJ ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；35：转化思想；41：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（Ⅰ）取FC 中点Q ，连结GQ 、QH ，推导出平面GQH ∥平面ABC ，由此能证明GH ∥平面ABC ．（Ⅱ）由AB ＝BC ，知BO ⊥AC ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO ′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC 中点Q ，连结GQ 、QH ， ∵G 、H 为EC 、FB 的中点， ∴GQ ∥=12EF ，QH =∥12BC ，又∵EF ∥BO ，∴GQ ∥BO ， ∵QH ∩GQ ＝Q ，BC ∩BO ＝B ，∴平面GQH ∥平面ABC ，∵GH ⊂面GQH ，∴GH ∥平面ABC ．解：（Ⅱ）∵AB ＝BC ，∴BO ⊥AC ，又∵OO ′⊥面ABC ，∴以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO ′为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （2√3，0，0），C （﹣2√3，0，0），B （0，2√3，0），O ′（0，0，3），F （0，√3，3）， FC →=（﹣2√3，−√3，﹣3），CB →=（2√3，2√3，0），由题意可知面ABC 的法向量为OO ′→=（0，0，3），设n →=（x 0，y 0，z 0）为面FCB 的法向量，则{n →⋅FC →=0n →⋅CB →=0，即{−2√3x 0−√3y 0−3z 0=02√3x 0+2√3y 0=0，取x 0＝1，则n →=（1，﹣1，−√33）， ∴cos ＜OO′→，n →＞=OO′→⋅n→|OO′→|⋅|n →|=−√77．∵二面角F ﹣BC ﹣A 的平面角是锐角， ∴二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值为√77．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（15分）（2021•西湖区校级模拟）已知函数f （x ）=13ax 3−12bx 2+x （a ，b ∈R ）．（Ⅰ）当a ＝2，b ＝3时，求函数f （x ）极值；（Ⅱ）设b ＝a +1，当0≤a ≤1时，对任意x ∈[0，2]，都有m ≥|f '（x ）|恒成立，求m 的最小值．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6E ：利用导数研究函数的最值．【专题】33：函数思想；4R ：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）对a 进行分类讨论：当a ＝0时，f （x ）＝﹣x +1，m ≥1；再对对称轴进行讨论，当 a+12a＜2时，即a ＞13；当a+12a≥2时，即a ≤13，分别去求|f （x ）|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a ＝2，b ＝3时，f （x ）=23x 3−32x 2+x ， f ′（x ）＝2x 2﹣3x +1＝（2x ﹣1）（x ﹣1），令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜12，令f ′（x ）＜0，解得：12＜x ＜1，故f （x ）在（﹣∞，12）递增，在（12，1）递减，在（1，+∞）递增，故f （x ）极大值＝f （12）=524，f （x ）极小值＝f （1）=16，（Ⅱ）当b ＝a +1，f （x ）=13ax 3−12（a +1）x 2+x ， f ′（x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，f ′（x ）恒过点（0，1）；当a ＝0时，f ′（x ）＝﹣x +1， m ≥|f ′（x ）|恒成立， ∴m ≥1；0＜a ≤1，开口向上，对称轴a+12a≥1，f ′（x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1＝a （x −a+12a ）2+1−(a+1)24a，①当a ＝1时f ′（x ）＝x 2﹣2x +1，|f ′（x ）|在x ∈[0，2]的值域为[0，1]；要m ≥|f ′（x ）|，则m ≥1； ②当0＜a ＜1时，根据对称轴分类：当x =a+12a ＜2，即13＜a ＜1， △＝（a ﹣1）2＞0， f ′（a+12a ）=12−14（a +1a ）∈（−13，0），又f ′（2）＝2a ﹣1＜1，所以|f ′（x ）|≤1；当x =a+12a ≥2，即0＜a ≤13；f ′（x ）在x ∈[0，2]的最小值为f ′（2）＝2a ﹣1； ﹣1＜2a ﹣1≤−13，所以|f ′（x ）|≤1，综上所述，要对任意x ∈[0，2]都有m ≥|f ′（x ）|恒成立，有m ≥1， ∴m 的最小值是1．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查了二次函数的性质和对二次函数对称轴的分类讨论求闭区间的最值问题．21．（15分）（2021•西湖区校级模拟）已知椭圆x 2a 2+y 2＝1（a ＞1），过直线l ：x ＝2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x 轴上时，切线P A 的斜率为±√22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由P 在x 轴设出P 点坐标及直线P A 方程，将P A 方程与椭圆方程联立，整理关于x 的一元二次方程，△＝0求得a 2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P 及点A 的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x 的一元二次方程，△＝0，求得A 和P 点的坐标，求得|PO |及A 到直线OP 的距离，根据三角形的面积公式求得S ＝|k +√1+2k 2|，平方整理关于k 的一元二次方程，△≥0，即可求得S 的最小值．【解答】解：（1）当P 点在x 轴上时，P （2，0），P A ：y =±√22(x −2)，{y =±√22(x −2)x 2a2+y 2=1⇒(1a 2+12)x 2−2x +1=0，△＝0⇒a 2＝2，椭圆方程为x 22+y 2=1；…﹣5（2）设切线为y ＝kx +m ，设P （2，y 0），A （x 1，y 1），则{y =kx +m x 2+2y 2−2=0⇒（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0⇒△＝0⇒m 2＝2k 2+1，…7 且x 1=−2km 1+2k2，y 1=m 1+2k2，y 0＝2k +m则|PO|=√y 02+4，PO 直线为y =y 02x ⇒，A 到直线PO 距离d =011√0，…﹣10 则S △POA =12|PO|⋅d =12|y 0x 1−2y 1|=12|(2k +m)−2km 1+2k2−2m 1+2k2|=|1+2k 2+km 1+2k2m|=|k +m|=|k +√1+2k 2|， (13)∴（S ﹣k ）2＝1+2k 2⇒k 2+2Sk ﹣S 2+1＝0，△=8S 2−4≥0⇒S ≥√22，此时k =±√22．…﹣15【点评】本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意推理论证能力的培养，属于中档题．22．（15分）（2014•安徽模拟）已知函数f n （x ）＝x n （1﹣x ）2在（14，1）上的最大值为a n （n ＝1，2，3，…）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对任何正整数n （n ≥2），都有a n ≤1(n+2)2成立；（3）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：对任意正整数n ，都有S n ＜1327成立．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知得f n ′（x ）＝nx n ﹣1（1﹣x ）2﹣2x n （1﹣x ）＝（n +2）x n ﹣1（x ﹣1）（x −nn+2），由此利用导数性质能求出数列{a n }的通项公式．（2）当n ≥2时，欲证4n n (n+2)n+2≤1(n+2)2，只需证明（1+2n）n≥4，由此能证明当n ≥2时，都有a n ≤1(n+2)2成立．（3）S n ＜427+142+152+162+⋯+1(n+2)2＜427+(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯(1n+1−1n+2)，由此能证明任意正整数n ，都有S n ＜1327成立．【解答】解：（1）∵f n （x ）＝x n （1﹣x ）2， ∴f n ′（x ）＝nx n ﹣1（1﹣x ）2﹣2x n （1﹣x ）＝x n ﹣1（1﹣x ）[n （1﹣x ）﹣2x ]＝（n +2）x n ﹣1（x ﹣1）（x −nn+2），…（2分）当x ∈（14，1）时，由f n ′（x ）＝0，知：x =nn+2，…（3分）∵n ≥1，∴n n+2∈(14，1)，…（4分）∵x ∈（14，n n+2）时，f n ′（x ）＞0；x ∈（n n+2，1）时，f n ′（x ）＜0； ∴f （x ）在（14，n n+2）上单调递增，在（nn+2，1）上单调递减∴f n （x ）在x =nn+2处取得最大值，即a n =(n n+2)n (2n+2)2=4n n(n+2)n+2．…（6分）（2）当n ≥2时，欲证4n n (n+2)≤1(n+2)，只需证明（1+2n）n ≥4，…（7分）∵（1+2n ）n =C n 0+C n 1(12)+C n 2(2n )2+⋯+C n n⋅(2n)n≥1+2+n(n−1)2⋅4n2≥1+2+1＝4，…（9分） ∴当n ≥2时，都有a n ≤1(n+2)2成立．…（10分）（3）S n ＝a 1+a 2+…+a n＜427+142+152+162+⋯+1(n+2)2 ＜427+(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯(1n+1−1n+2)=427+13−1n+2＜1327． ∴对任意正整数n ，都有S n ＜1327成立．…（13分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．。

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高考数学仿真试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={1，2，5}，B={2，4}，C={x∈R|-1≤x＜5}，则（A∪B）∩C=（）A. [1，2，4，6}B. {x∈R|-1≤x≤5}C. {2}D. {1，2，4}2.双曲线的焦点坐标是（）A. （-1，0），（1，0）B. ，C. ，D. （0，-1），（0，1）3.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. 8 D. 44.设{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和，则“d＞0”是“{S n}为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.现有四个函数：①y=x|sin x|，②y=x cos|x|，③，④y=x ln|x|的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是（）A. ①④②③B. ①④③②C. ③②④①D. ③④②①A. B. C. 或 D. 或7.已知函数，若实数m∈（0，1），则函数g（x）=f（x）-m的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 38.已知甲盒中有2个红球，1个黄球，乙盒中有1个红球，2个黄球．从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为X i（i=1，2，3）（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应i=1，2，3），则（）A. E（X1）＜E（X3）＜E（X2），D（X1）=D（X2）＞D（X3）B. E（X1）＞E（X3）＞E（X2），D（X1）=D（X2）＜D（X3）C. E（X1）＞E（X2）＞E（X3），D（X1）=D（X3）＜D（X2）D. E（X1）＜E（X2）＜E（X3），D（X1）=D（X3）＞D（X2）9.设，为单位向量，向量满足，则的最大值为（）A. 2B. 1C.D.10.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=，Q为PA中点，下列说法中，正确说法的个数为（）（1）∠PBA+∠PCA+∠BPC=π；（2）记二面角P-BC-A，Q-BC-A的平面角分别为θ1，θ2，则θ1＞2θ2；（3）记△ABC，△QBC，△PBC的面积分别为S0，S1，S2，则S02+S22≤4S12；（4）cos∠PBC＜cos∠PBQ•cos∠QBC．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.欧拉公式e ix=cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，对表示的复数z，则|z|=______．12.的展开式共有11项，则n的值为______，其中常数项为______．13.设x，y满足约束条件，则的最小值是______，最大值是______．14.在三角形ABC中，，，AC=5，AB=3．则sin A的值为______，BC的长为______．15.10次投篮中，投中5次，其中恰有1个2连中和1个3连中的情形有______种（用16.存在第一象限的点M（x0，y0）在椭圆=1（a＞b＞0）上，使得过点M且与椭圆在此点的切线=1垂直的直线经过点（，0）（c为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是______．17.函数f（x）=x3-|ax2-b|-1在（0，2）上有2个零点，则的范围是______三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数，且以为最小正周期．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的对称轴方程及单调递增区间．19.如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°，CD=1，BC=2．（1）求证：BE∥平面DCF；（2）当AE的长为何值时，直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．20.已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}满足b n=log2a n，且a4=b5=1．设S n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式及S n；（2）若数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n．21.如图，过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，过AB中点M且与AB垂直的直线与x轴交于点N．（1）求的值；（2）若p=2，求的取值范围．22.已知．（1）若函数y=f（x）有三个零点，求实数a的取值范围；（2）若a=2，设，其中b≤2，c＞0f（x）=g（x）的两根为x1，x2（x1＜x2），求证：x2f（x1）-x1f（x2）＜0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={1，2，5}，B={2，4}，C={x∈R|-1≤x＜5}，则A∪B={1，2，4，5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：D．根据并集与交集的定义，写出运算结果．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：双曲线，可得a=，b=2，则c=，所以双曲线的焦点坐标是：，．故选：B．直接利用双曲线方程求解双曲线的焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基本知识的考查．3.【答案】A【解析】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥组F-ABC成的组合体，四棱锥A-CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F-ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A．由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案．根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n项和公式是解决本题的关键，属于较易题.根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由S n+1＞S n⇔（n+1）a1+d＞na1+ d⇔dn+a1＞0⇔d≥0且d+a1＞0．即数列{S n}为递增数列的充要条件是d≥0且d+a1＞0，则“d＞0”是“{S n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D．5.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析四个函数的图象：①y=x|sin x|是奇函数，图象关于原点对称，当x＞0时，y≥0，对应第4个图象，②y=x cos|x|是奇函数，f（1）=cos1＞0，对应第2个图象，③＞≥0恒成立，对应第1个图象，④y=x ln|x|的定义域是{x|x≠0}，函数为奇函数，由y=x ln|x|=0，得ln|x|=0，得|x|=1，即x=±1，即函数只有两个零点，对应第3个图象，则按照图象从左到右的顺序对应的应该为③②④①；故选：C．根据题意，依次分析四个函数对应的图象，据此分析可得答案．本题考查函数图象的判定分析，注意分析函数的奇偶性．单调性以及值域，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵α为锐角，cosα=＜，∴sinα===，∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（2cosβ+sinβ）=，且＜＜，∴2cosβ+sinβ=①，且＜α+β＜π，∴cos（α+β）=-=-，则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×+×=．故选：B．由α为锐角，根据cosα的值，求出sinα的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin简，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．7.【答案】D【解析】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示；由函数g（x）=f（x）-m=0，得出m=f（x）；又m∈（0，1），则y=m与y=f（x）由3个交点，所以函数g（x）有3个零点．故选：D．画出函数f（x）的图象，结合图象令g（x）=f（x）-m=0，得m=f（x）；看m∈（0，1）时，函数y=m与y=f（x）交点个数即可．本题主要考查了函数零点的判断问题，也考查了分段函数图象的画法与应用问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：依题意，X1的所有取值为0，1．其中P（X1=0）==，P（X1=1）=+=，所以随机变量X的分布列为：X1服从两点分布，所以E（X1）=，D（X1）==，同理，X2的所有取值为0，1．P（X2=1）==，P（X2=0）=×+=，所以随机变量X的分布列为：X2服从两点分布，所以E（X2）=，D（X2）==．X3的所以取值为0，1．P（X3=0）=（+）×+=，P（X3=1）=（）×+=，X3服从两点分布，所以E（X3）=，D（X3）==，所以：E（X1）＞E（X3）＞E（X2），D（X1）=D（X2）＜D（X3）．故选：B．根据题意分别列出X1，X2，X3的分布列，求出它们的期望与方差比较大小即可．本题考查了离散型随机变量的分布列，期望与方差的求法，考查运算能力和逻辑思维能力．属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由|2+|=|•|得|-（-）|=|•|，说明的终点的轨迹是以-的终点为圆心，|•|为半径的圆，|-|的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为|-（-）|+|•|，∵|+|+|•|=+|•|=+|•=+cos≤+=2，（当且精当cos，）=0时取等）．故选：A．由|2+|=|•|得|-（-）|=|•|，说明的终点的轨迹是以-的终点为圆心，|•|为半径的圆，|-|的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为|-（-）|+|•|，再将其化成，的模和夹角可解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题．10.【答案】B【解析】解：（1）∵PA⊥平面ABC，根据最小角定理可得∠PBA＜∠PBC，∠PCA＜PCB，∴∠PBA+∠PCA+∠BPC＜∠PBC+∠PCB+∠BPC=π，故错；（2）如图1，过A作AM⊥BC于M，则θ1=∠PMA，θ2=∠QMA，过M作∠PMA的角平分线交PA于点E，则∴则θ1，＜2θ2故错；（3）如图1，S0=，S1=，S2=，∴，．∵，＞MA2+MP2，∴，故错误；cos∠PBC＜cos∠PBQ•cos∠QBC（4）过Q作QN⊥平面QBC，交PM于N，所以cos∠PBC＜cos∠NBC=cos∠NBQ•cos∠QBC＜cos∠PBC•cos∠PBQ，所以cos∠PBC＜cos∠PBQ•cos∠QBC．故选：B．利用直线与平面所成角以及二面角转化求解判断选项的正误；三角形的面积的求法判断选项的正误即可．本题考查直线与平面所成角以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11.【答案】1【解析】解：由题意，=cos+i sin=cos+i sin=，∴|z|=．故答案为：1．由题意结合三角函数的诱导公式化简z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，考查利用诱导公式求三角函数的值，是基础题．12.【答案】10【解析】解：∵的展开式共有n+1项，依题意得：n+1=11，∴n=10；设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=••x3（10-r）-2r=••x30-5r，由30-5r=0得r=6，∴的展开式中的常数项为T7=•=．故答案为：10，．利用二项式的性质可求得n，利用其通项公式即可求得的展开式中的常数项．本题考查二项式定理的应用，着重考二项式的性质与通项公式，属于中档题．13.【答案】 2【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=-x+y为y=x+z，由解得A（2，3）；由解得B（，）；由图可知，当直线y=x+z过A（2，3）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为-×2+3=2．当直线y=x+z过B（，）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为．z=-x+y的最小值，最大值：2，故答案为：-；2．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】【解析】解：三角形ABC中，，，∴A+∈（0，），cos（A+）==，∴sin A=sin（A+-）=sin（A+）cos-cos（A+）sin=-=，∴cos A==．∵AC=5，AB=3，∴BC===，故答案为：；．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cos（A+）的值，再利用两角和差的三角公式求得sin A=sin（A+-）的值，再利用余弦定理求得BC的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于基础题．15.【答案】30【解析】解：将恰有1个2连中和1个3连中的分别看作2个复合元素，插入到没有投中所排列后所成6个空中，故有A62=30，故答案为：30．利抽空法，将恰有1个2连中和1个3连中的分别看作2个复合元素，插入到没有投中所排列后所成6个空中，问题得以解决．本题考查排列数的应用，解题时要注意插空法的合理运用．16.【答案】（，1）【解析】解：∵过点M且与椭圆在此点的切线=1垂直的直线经过点（，0），∴-=-1⇒⇒x0=，∵点M（x0，y0）在第一象限，∴0＜x0＜a．∴，∴a＜2c，e=．故答案为：（可得=-1⇒⇒x0=，由点M（x0，y0）在第一象限即可求解．本题考查了椭圆的性质，属于中档题．17.【答案】[1，4）【解析】解：设t=x2，t∈（0，4），则问题可转化为在（0，2）上有2个零点，由题意，函数与函数有两个交点，只需考虑函数的零点在每一个变化值，是否存在对应的a，使得两函数图象有两个交点，由图象可知，当或时，显然不存在a使得两个函数有两个交点；当时，显然存在a使得两个函数有两个交点；故答案为：[1，4）．设t=x2，t∈（0，4），则问题可转化为，由题意，函数与函数有两个交点，而绝对值函数的零点恰为，且其图象关于对称，故只需函数的零点在任意一个变化值，存在对应的a使得两函数图象有两个交点即可．本题考查由函数零点个数求参数的取值范围，考查函数图象的运用，培养了学生“化曲为直”的解题思想，锻炼了学生的数形结合能力，本题是难题．18.【答案】解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴=，∴ω=3，f（x）=3sin（3x+）．（2）令3x+=kπ+，求得x=+，故函数的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2kπ-≤3x+≤2kπ+，求得-≤x≤+，可得函数的增区间为[-，+]，k∈Z．【解析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．19.【答案】解：（1）由已知可得⇒面ABE∥面DEC，∵BE⊂面ABE，∴BE∥平面DCF；（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，∵AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°，则△ADB∽△BCD，⇒∴CD=1，BC=2．BD=，∴，AB=5．则D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，，0），C（-，，0），E（2，0，m）．，，设面BCE的法向量为，⇒=（2，-1，-）∵直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．∴||=，⇒m=．∴AE的长为时，直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．【解析】（1）由已知可得面ABE∥面DEC，由面面平行的性质可得BE∥平面DCF；（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．本题考查了空间线面平行，线面角，属于中档题．20.【答案】解：（1）数列{a n}为公比为q的等比数列，数列{b n}满足b n=log2a n，且a4=b5=1．可得a5=2，q==2，a n=a4q n-4=2n-4；b n=log2a n=log22n-4=n-4；（2）S n=n（-3+n-4）=n（n-7），=|n-7|•2n-5，n≤7时，T n=++…+（7-n）•2n-5，2T n=++…+（7-n）•2n-4，相减可得-T n=--…-2n-5-（7-n）•2n-4=--（7-n）•2n-4，化简可得T n=（8-n）•2n-4-；n≥8，前n项和T n=+++++2+0+1•23+2•24+…+（n-7）•2n-5=+1•23+2•24+…+（n-7）•2n-5，2T n=15+1•24+2•25+…+（n-7）•2n-4，相减可得-T n=+24+…+2n-5-（n-7）•2n-4=+-（n-7）•2n-4，化简可得T n=+（n-8）•2n-4，则T n=．【解析】（1）数列{a n}为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和对数的运算性质，可得所求；（2）讨论n≤7，n≥8，结合错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）设直线AB的方程为：x=my+．设A（x1，y1），B（x2，y2），⇒y2-2pmy-p2=0，，x1+x2=2pm2+p，x1x2=，∴|AB|=x1+x2+p=2pm2+2p又M（，pm）直线MN方程：y-pm=-m（x-）令y=0，则x=即N（，0）∴|FN|==pm2+p∴的值为；（2）p=2时，N（2m2+3，0），=（x1-2m2-3）（x2-2m2-3）+y1y2=x1x2-（2m2+3）（x1+x2）+（2m2+3）2+y1y2=-4m4-4m2∵m≠0，令t=m2＞0-4m4-4m2=-4（t2+t）＜0∴的取值范围为（-∞，0）．【解析】（1）设直线AB的方程为：x=my+．A（x1，y1），B（x2，y2），求得|AB|=x1+x2+p=2pm2+2p，直线MN方程：y-pm=-m（x-），令y=0，则x=，可得|FN|==pm2+p，即可求解．（2）=（x1-2m2-3）（x2-2m2-3）+y1y2=x1x2-（2m2+3）（x1+x2）+（2m2+3）2+y1y2=-4m4-4m2即可求解．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．22.【答案】解：（1），当a≥-2时，f′（x）≥0，则函数f（x）单调，不可能有三个零点；当a＜-2时，，设f′（x）=0的两个根为m，n（m＜0＜n），则f（x）在（-1，m），（n，+∞）上单调递增，在（m，n）上单调递减，且f（0）=0，则f（m）＞0＞f（n），，因此根据零点存在性定理可知，函数f（x）有三个零点，即实数a的取值范围为（-∞，-2）；（2）证明：设h（x）=-f（-x），构造F（x）=h（x）-f（x）=-f（-x）-f（x）=-x2-ln（1-x2）≥-x2+x2=0，，则，∴函数G（x）单调递减，∴G（x3）=g（x3）-f（x3）=h（x3）-f（x3）＞0=G（x2），∴x3＜x2，单调递减，∴，∴x2f（x1）-x1f（x2）＜0．【解析】（1）分a≥-2及a＜-2时，验证即可；（2）解题的关键是构造函数，并结合数形结合得证．本题考查导数的综合运用，同时也涉及了零点存在性定理等基础知识点，考查推理论证能力及数形结合思想的运用，属于难题．。

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