信号与系统第二章(3)卷积积分ppt课件
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信号与系统第二章_线性时不变系统
x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
k
k
n k 1 n1 u(n)
k 0
1
11
例2：
x(n)
1 0
0n4 otherwise
n
h(n) 0
1,0 n 6
otherwise
h(t) h(n)
x(t)
y(t) y(n)
结论：
一个单位冲激响应是 h(t) 的LTI系统对输入 信号 x(t) 所产生的响应，与一个单位冲激响应 是x(t)的LTI系统对输入信号 h(t) 所产生的响应
相同。
25
2. 分配律： x(n) [h1(n) h2 (n)] x(n) h1(n) x(n) h2(n) x(t) [h1(t) h2 (t)] x(t) h1(t) x(t) h2(t)
1
本章主要内容：
• 信号的时域分解——用 (n) 表示离散时间信号； 用 (t) 表示连续时间信号。
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。
• LTI系统的微分方程及差分方程表示。 • LTI系统的框图结构表示。 • 奇异函数。
2
2.0 引言 ( Introduction )
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有 时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的 理论与方法奠定了基础。
缺点：①只适用于两个有限长序列的卷积和； ②一般情况下，无法写出 y(n)的封闭表达式。
15
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）
信号与系统 双语 奥本海姆 第二章PPT课件
10
Chapter 2 §2.3 卷积的计算 1. 由定义计算卷积积分
例2.6 xte au tt,a0htut
2. 图解法 例2.7 求下列两信号的卷积
xt 1 , 0tT ht
0 , 其余t 3. 利用卷积积分的运算性质求解
LTI Systems
yt
t , 0t2T 0 , 其余t
11
Chapter 2
in Terms of impulses
Example 2
3 xn
2
1
1 01 2
n
xknk
x n x 1 n 1 x 0 n x 1 n 1
xnxknk k 4
Chapter 2
LTI Systems
§2.1.2 The Discrete-Time Unit Impulse Responses and the
LTI Systems
§2.3 Properties of LTI Systems
xt ht ytxtht
xn hn ynxnhn
LTI系统的特性可由单位冲激响应完全描述
Example 2.9 ① LTI system
h n
1
0
n0,1 otherwise
② Nonlinear System
③ Time-variant System
a y n x n x n 1 2 aytco s3 txt
b y n m x n ,x a n 1 x b ytetxt 12
Chapter 2
LTI Systems
§2.3.1 Properties of Convolution Integral and Convolution Sum 1. The Commutative Property (交换律）
卷积PPT课件
• 卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶 变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中 的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
•
F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))
• 其中F表示的是傅里叶变换。
• 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变 换、Mellin变换和Hartley变换等各种傅里叶变换的 变体同样成立。
16
• 傅氏变换用算符F表示、含自变量x的复变函数g(x)的傅氏
变换由下式定义
F[g(x)] g(x) exp 2iuxdx
• 由此定义的变换G(u)本身也是自变量u的复变函数。如x有 空间坐标含义，u一般称为空间频率。相仿地，函数G(u)的 逆傅氏变换可用F-1[G(u)]表示
4
• 如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计
算变为
yt
x
pht
pdp
xt
ht
• 其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数 h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
5
• 性质
• 各种卷积算子都满足下列性质： • 交换律 结合律 分配律 数乘结合律
6
卷积定理
外一个或两个条件。例如，经常用函数表示一个理想的物点
。它有一个无穷大的间断点，不满足条件（3）。又如，
g(x)=1和g(x)＝cos(2ux)都不满足条件（1）。但对于那些
不严格满足存在条件的函数，往往也能够发现它们有一个有意 义的变换式，只有这些函数可以定义为由可变换函数所组成的 级数的极限。
卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果
信号与系统第二章
2 B2 14 B1 6
解得
B1
21 50
, B2
3 50
u2(t)的特解为： u2 p t 21 cos 2t 3 sin 2t
50 50
全响应u2(t)为
u2 t u 2 h t u 2 p t A1e t A2 e 6t 21 3 cos 2t sin 2t 50 50
微分方程的建立
对于电系统，当结构参数已知时，可通过基尔霍夫电流 定律KCL和基尔霍夫电压定律KVL及元部件的伏安特性VAR 来建立方程。
VAR
电阻
iR (t )
R
uR (t ) RiR (t )
uR (t )
iR (t )
uR (t ) R
电感
iL (t )
L
uL (t )
diL (t ) uL (t ) L dt
对于连续时间系统，最常用的数学模型为高阶微分方程。
连续时间系统
微分方程
如果系统为单输入、单输出LTI系统，则可用下面的高阶常 n m 微分方程来描述 i j
C r t E e t
i 0 i j 0 i
式中，e(t)为输入激励量，又称强迫量；r(t)为输出响应 变量，是待求量；n是系统的阶数。这种描述系统的方法只 关心系统的输入信号和输出信号，而对系统内部的其他信号 的变化不关心，故称为输入－输出法。
特解的形式 系统微分方程的特解rp(t)就是系统的强迫响应，它只与激励 函数的形式有关。 几种典型激励函数e(t)及其所对应的特解rp(t)如表所示。选定 特解后，将其代入原微分方程，求出特解函数式中的待定系 数，就可得出特解rp(t)。 P46 表2-2
解得
B1
21 50
, B2
3 50
u2(t)的特解为： u2 p t 21 cos 2t 3 sin 2t
50 50
全响应u2(t)为
u2 t u 2 h t u 2 p t A1e t A2 e 6t 21 3 cos 2t sin 2t 50 50
微分方程的建立
对于电系统，当结构参数已知时，可通过基尔霍夫电流 定律KCL和基尔霍夫电压定律KVL及元部件的伏安特性VAR 来建立方程。
VAR
电阻
iR (t )
R
uR (t ) RiR (t )
uR (t )
iR (t )
uR (t ) R
电感
iL (t )
L
uL (t )
diL (t ) uL (t ) L dt
对于连续时间系统，最常用的数学模型为高阶微分方程。
连续时间系统
微分方程
如果系统为单输入、单输出LTI系统，则可用下面的高阶常 n m 微分方程来描述 i j
C r t E e t
i 0 i j 0 i
式中，e(t)为输入激励量，又称强迫量；r(t)为输出响应 变量，是待求量；n是系统的阶数。这种描述系统的方法只 关心系统的输入信号和输出信号，而对系统内部的其他信号 的变化不关心，故称为输入－输出法。
特解的形式 系统微分方程的特解rp(t)就是系统的强迫响应，它只与激励 函数的形式有关。 几种典型激励函数e(t)及其所对应的特解rp(t)如表所示。选定 特解后，将其代入原微分方程，求出特解函数式中的待定系 数，就可得出特解rp(t)。 P46 表2-2
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号与系统课件(郑君里版)第二章
e ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= 2 t ，t≥0；y(0)= 1， e
t
-1
y’(0)=0时的全解。
解: (1) 特征方程为
2 + 5λ+ 6 = 0
其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。 齐次解为
yh (t ) C1e2t C2e2t
由表2-2可知，当f(t) = 2 e t
y fh (t ) C f 1e
2t
C f 2e
t
其特解为常数 3 ， 于是有
y f (t ) C f 1e2t C f 2et 3
C1 1 C 2 4
根据初始值求得:
y f (t ) e2t 4et 3，t 0
四．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced) 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state) 零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
零输入响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响 应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表 示。
t
ht
H
[例2.2.1] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其 冲激响应h(t)。
相互关系
零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响 应的一部分和强迫响应构成 。
y (t ) e 2t 3 y x (t ) y f (t ) (2e 2t 4e t ) (e 2t 4e t 3)，t 0
信号与系统第二章_连续时间系统时域分析(青岛大学)
n
rzi (t) Azikekt k 1
（b）
r(k zi
)
(0
)
r(k) (0 )
k 0,1,L ,(n 1)
系数Azik可直接由 r(k) (0 ) 来确定。
例：已知描述某二阶LTI连续时间系统的动态方程
d2 dt 2
r(t)
5
d dt
r(t)
6r(t)
e(t)
起始状态 r(0 ) 1,r(0 ) ，2激励信号
(t)
2
p3
5
2p p2
5
p
3
e(t)
2
d3 dt3
vo
(t)
5
d2 dt 2
vo
(t)
5
d dt
vo
(t)
3vo
(t)
2
d dt
e(t)
总结： （1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法；
（2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。
§2.3 微分方程的经典解法 r(t) rh (t) rp (t)
r(0 ) r(0 ) 1
（4）由 0状态确定待定系数
r(t) A1et A2e2t 0.5e3t
rr((00))
A1 A1
A2 0.5 1 2A2 1.5
3
A1 A2
5.5 5
全响应 r(t) 5.5et 5e2t 0.5e3t ,t 0
（一）经典法求解微分方程步骤：
r(t) 0 u(t) r(0 ) r(0 )
代入
d2 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
信号与系统信号的时域分解与卷积积分
28
三、卷积的性质及卷积计算
(2) (t-t0 ) 是卷积的延迟器
y(t) f (t) (t t0 )=f (t t0 )
物理意义
f (t)
有用推论
(t t0 )
f (t t0 )
f (t t1) (t t2 ) f (t t1 t2 )
若：f1(t) f2 (t) y(t) 则： f1(t t1) f2(t t2) y(t t1 t2)
s 平面和z平面的对应关系
×
衰减振荡信号
j
×虚指数信号 ×
增长振荡信号
指数×衰减信号
×
直流信号
×
指数增长信号
jIm[z]
z esT rej r eT , T
× 虚指数信号
衰减振荡信号
×
×
× 指×数增长
指数衰减信号 直流 Re[z]
增长振荡信号
× 2
温故知新，上讲回顾
信号波形的翻转、展缩与平移
)
f3 (t
)]d
f1( )
f2 (t
)d
f1 (
)
f3 (t
)d
f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)
物理意义：两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等
于各个子系统的单位冲激响应之和。也可通过交换律/
线性系统性质证明
f1 (t )
f2 (t) f3 (t)
f1(t) [ f2 (t) f3 (t)]
f1(t) f2 (t ) f3 (t) yzs (t) f1 (t) [ f2 (t) f3 (t)]
表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响 应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
信号第二章3卷积
若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]
e( ) H [ (t )]d
e( )h(t )d
零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
r (t ) e( )h(t )d
1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
16
第2-16页
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2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
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2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
信号与系统第二章(3)卷积积分ppt课件
f2t
2
f
t
t2
2
3 4
d
3 4
3 2
4
t
t-2 0 t
当 t 4 时， ft0
f2t
3
4
0 t-2 t .
f (t) f1(t) f2(t)
0,
3
(t
2 ),
2
3
,
3
(4
t ),
2
0 ,
t 2 -2 t 0 0 t 2 2 t 4 t4
.
例 2.3例32： 设 f1(t)3e2t(t)， f2(t)2(t)，
f3(t)2(t2).
求 求卷积卷 积1） 积 f1(t) 分 f2(t（ )；2） （ f1(t)f3(t)。
解法一：图示法（1）
当 t 0 时 f 1 t f ， 2 t 0
f1
3
当t 0时，f1t f2t
t 3e2 2d
0
6 t e2d 3e2 t
0
0
31e2t
f 1 t f 2 t 3 1 e 2 t t .
显然上式适用于 t 2 的区间。
f 1 t * f 3 t 3 1 e 2 t 2 t 2
.
练习：画出下列图形的卷积积分
f1t
f2t
2
1
2 -1 0 t
01 2
t
. 16
f1t
2
练习题答案：f1tf2t 2 -1 0 t
2
f2t
1
-1 0 1 t
01 2 t
思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？ 从非零区间长度及形状考虑。
本节小结1卷积积分的解析法2卷积积分的图解法23卷积积分卷积方法在本书中占有重要地位这里要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多冲激函数之和积分利用冲激响应求解lti系统对任意激励的零状态响应
信号与系统吴大正第四版第二章
在t=0-时，激励尚未接入，因而响应及其各阶导数在该时刻 的值反映了系统的历史情况而与激励无关。 0+状态：t=0-(或t=t0-) 即y(j)(0-)或y(j)(t0-)，与激励有关。
利用冲激函数匹配法求初始条件0+ 状态
第1-17页
■
信号与系统 电子课件
例：描述某LTI系统的微分方程为
y(t ) 2 y(t ) y(t ) f (t ) 2 f (t ) 已知 y(0 ) 1, y(0 ) 1, f (t ) (t ),求y(0 )和y(0 ) 解：将输入f (t ) (t ) 代入微分方程，得： y(t ) 2 y(t ) y(t ) (t ) 2 (t ) 配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数
不同特征根对应的齐次解
特征根λ和齐次解yh(t) 单实 根 r重实根
t
e
(Cr 1t r 1 Cr 2t r 2 C1t C0 )et
一对共轭复根 et [C cos(t ) D sin(t )]或A cos(t ),其中Ae j C jD
应该平衡，令
y(t ) a (t ) b (t ) c (t ) d (t )
y(t ) a (t ) b (t ) c (t )
y(t ) a (t ) b (t )
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■
信号与系统 电子课件
代入微分方程： a 1 b 2a 0
第1-6页
■
信号与系统 电子课件
元件特性约束：
表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电 容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感 的初、次级电压与电流的关系等等。
利用冲激函数匹配法求初始条件0+ 状态
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■
信号与系统 电子课件
例：描述某LTI系统的微分方程为
y(t ) 2 y(t ) y(t ) f (t ) 2 f (t ) 已知 y(0 ) 1, y(0 ) 1, f (t ) (t ),求y(0 )和y(0 ) 解：将输入f (t ) (t ) 代入微分方程，得： y(t ) 2 y(t ) y(t ) (t ) 2 (t ) 配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数
不同特征根对应的齐次解
特征根λ和齐次解yh(t) 单实 根 r重实根
t
e
(Cr 1t r 1 Cr 2t r 2 C1t C0 )et
一对共轭复根 et [C cos(t ) D sin(t )]或A cos(t ),其中Ae j C jD
应该平衡，令
y(t ) a (t ) b (t ) c (t ) d (t )
y(t ) a (t ) b (t ) c (t )
y(t ) a (t ) b (t )
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■
信号与系统 电子课件
代入微分方程： a 1 b 2a 0
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■
信号与系统 电子课件
元件特性约束：
表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电 容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感 的初、次级电压与电流的关系等等。
信号与系统第二章
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.1 微分方程式的建立与求解
1．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
线性常系数微分方程来描述。
2 连续时间信号与系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络
2 连续时间信号与系统的时域分析
2 冲激函数匹配法 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡.
【例】
d y t 3 y t 3 t 已知y0 , 求y0 dt
ut : 表示0 到0 相对单位跳变函数
该过程可借助数学描述
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.2 从 到 状态的转换
2 连续时间信号与系统的时域分析
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得.
在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
a 3 即 b 9 c 9
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项， 微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首 先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。 (3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。
《信号与系统》第二章
x[1]
0
n 1 n 1
x[0]
[n]
x[0] 0
n0 n0
x[1]
[n
1]
x[1]
0
n 1 n 1
x[2]
[n
2]
x[2] 0
n2 n2
[n
图2.1 一个离散时间信号分解为一组加 权的移位脉冲之和
因此 x[n] 可表示为
x[n] x[3][n 3] x[2][n 2] x[1][n 1] x[0][n]
若 n 0, 则有
ak x[k]h[n k]
0
0k n 0k
因此,对于 n 0 :
y[n]
n
ak
1 an1
k 0
1 a
对于全部 n :
1 an1
y[n] (
)u[n]
1 a
n0 n
1 1 a
图2.7 例2.3的输出响应
例2.5 一个LTI系统,其输入x[n]和单位脉冲响应h[n]如下:
第二章
线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统:卷积和
2.1.1 用脉冲表示离散时间信号
图2.1(a)是单位脉冲序列,每个脉冲的大小与x[n]所对应的时刻值相等。
图(b)~ (f)分别为 n= -2 、-1、0、1、2时的单个脉冲。即
x[2] [n
2]
x[1]
0
n 2 n 1
x[1]
[n
1]
具体地说,若令
[n k] 系统hk[n]
而输入x[n]的响应为
x[n]
x[k] [n k] 系统 y[n]
x[k]hk [n]
k
k
因为讨论的是线性时不变系统,所以 [n k] 是 [n] 的时移。同样，hk [n]
信号与系统第2章ppt课件
(B) u(t)Limetu(t) 0
假设u(t)的傅立叶变换为：
F ()A ()jB ()
e t u (t ) 的傅立叶变换为 ：
依据傅立叶变换具有唯一性：
F e()A e()jB e()
F()li m0Fe()
所以
A()li m0Ae()精选pBpt()li m0Be()
第二章 傅立叶变换
F ()A ()jB () A()li m0Ae() B()li m0Be()
，这种频谱搬移技术在通信系统中
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)乘以Cs(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
精选ppt
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
信号与系统分析PPT全套课件 (3)可修改全文
f (2t)
倒相
f (t)
f (t)
1.3 信号时域变换
例1-8
1.4 信号时域运算
相加
f1(t)
f2 (t)
fn (t)
相乘 f1(t)
f2 (t)
y(t) f1(t) f2 (t) fn (t) y(t) f1(t) f2 (t)
1.4 信号时域运算
数乘
f (t)
a
y(t) af (t)
y
(
k
)
(0
)
y (k) (0 )
y y
(0
(k)
) (0
)
y zi
(0
y
(k zi
)
) (0
y )
zs (0
y
(k zs
) ) (0
)
在零输入条件下，且系统的内部结构和参数 不发生变化时，有：
y(0 y (k )
) (0
)
yzi (0
y
(k zi
)
) (0
)
3．初始状态和初始值的确定
A1 y1(t) A2 y2 (t)
y(t)
y(t t0 )
1.7 线性时不变系统的性质
微分性
f (t)
df (t) dt
积分性
f (t)
t
f ( )d
系统 系统
y(t)
dy(t) dt
y(t)
t
y( )d
1.8 信号与系统分析概述
1.8.1 基本内容与方法
确定信号和线性时不变系统
建立与求解系统的数学模型
2.2.2 零输入响应与零状态响应
1．零输入响应 2．零状态响应
《信号与系统》第二章讲
第二章 连续时间系统的时域分析2.1 系统模型为便于对系统进行分析，需要建立系统的模型，在模型的基础上可以运用数学工具对系统进行研究。
一. 模型：模型是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。
由电路图可列出方程：dt t de C t i dt t di RC dtt i d LC t e t Ri dt t di L dt t i Ct)()()()()()()()(122=++=++⎰∞-即：这就是系统的数学模型。
二. 系统模型的建立是有一定条件的：1. 对于同一物理系统在不同条件之下，可以得到不同形式的数学模型。
（参考书中P29）2. 对于不同的物理系统，经过抽象和近似有可能得到形式上完全相同的数学模型。
（参考书中P29）建立系统模型只是进行系统分析工作的第一步，为求得给定激励条件下系统的响应，还应当知道激励接入瞬间系统内部的能量储存情况。
如果系统数学模型、起始状态以及输入激励信号都已确定，即可运用数学方法求解其响应。
一般情况下我们对所求得结果可以作出物理解释赋予物理意义。
综上所述，系统分析的过程，是从实际物理问题抽象为数学模型，经过数学解释后再回到物理实际的过程。
也即：建立数学模型解数学模型对解加于物理解释三. 时域分析方法时域分析：在分析过程中，所涉及到的函数都是时间的函数。
（1）经典方法：求解微分方程（2）卷积积分法（重点内容）2.2 线性时不变系统微分方程的建立分析对象：线性的、时不变系统（非时变系统）教学目标：熟练掌握建立线性系统的微分方程的方法。
重点：电路系统建立微分方程的基本依据。
难点：用网孔电流法及节点电位法列状态方程。
一.一. 电路系统建立微分方程的基本依据1.元件特性约束（电路元件的伏安特性）（1）电阻器：-R由欧姆定律：)( )()(1)(tiRtutuRtiRRRR⋅==或若电阻特性参数与时间无关，即R与流过电阻器的电流或施加的电压大小无关，则此电阻称为时不变电阻或线性电阻。
信号与系统 第2章(全部)
第2章连续信号与系统的时域分析
第2章 连续信号与系统的 时域分析
信号与系统
第2章连续信号与系统的时域分析
2.0 引言 2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 微分方程的经典解法 2.4 系统的微分算子方程 2.5 连续系统的零输入响应 2.6 连续系统的零状态响应
信号与系统
第2章连续信号与系统的时域分析
f (t ) ∗ δ ′(t ) = f ′(t )
信号与系统
第2章连续信号与系统的时域分析
(3) 信号f (t)与阶跃信号 ε (t ) 的卷积等于信号= f
性质3
( −1)
(t ) = ∫−∞ f (τ )dτ
t
卷积的微分和积分 设
y (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t )
由于 f (t ) ∗ δ (t ) = f (t ) 有：sin ωt ∗ δ (t ) = sin ωt
再利用卷积时移： sin ωt ∗ δ (t + 2) = sin ω (t + 2) 于是：
信号与系统
f1 (t ) * f 2 (t ) = sin ω (t + 2) + sin ω (t − 2)
f (t ) ∗ δ (t ) = f (t )
证明： f (t ) ∗ δ (t ) = ∫−∞ f (τ )δ (t − τ )dτ
=∫
∞ −∞
∞
δ (t ) 是偶函数
f (τ )δ (τ − t )dτ
利用 δ (t ) 的抽样性质
= f (t )
(2) 信号f (t)与冲激偶 δ ′(t ) 的卷积等于f (t)的导函数
t
o (b)
t
信号与系统
第2章 连续信号与系统的 时域分析
信号与系统
第2章连续信号与系统的时域分析
2.0 引言 2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 微分方程的经典解法 2.4 系统的微分算子方程 2.5 连续系统的零输入响应 2.6 连续系统的零状态响应
信号与系统
第2章连续信号与系统的时域分析
f (t ) ∗ δ ′(t ) = f ′(t )
信号与系统
第2章连续信号与系统的时域分析
(3) 信号f (t)与阶跃信号 ε (t ) 的卷积等于信号= f
性质3
( −1)
(t ) = ∫−∞ f (τ )dτ
t
卷积的微分和积分 设
y (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t )
由于 f (t ) ∗ δ (t ) = f (t ) 有：sin ωt ∗ δ (t ) = sin ωt
再利用卷积时移： sin ωt ∗ δ (t + 2) = sin ω (t + 2) 于是：
信号与系统
f1 (t ) * f 2 (t ) = sin ω (t + 2) + sin ω (t − 2)
f (t ) ∗ δ (t ) = f (t )
证明： f (t ) ∗ δ (t ) = ∫−∞ f (τ )δ (t − τ )dτ
=∫
∞ −∞
∞
δ (t ) 是偶函数
f (τ )δ (τ − t )dτ
利用 δ (t ) 的抽样性质
= f (t )
(2) 信号f (t)与冲激偶 δ ′(t ) 的卷积等于f (t)的导函数
t
o (b)
t
信号与系统
信号与系统卷积积分ppt课件
任意信号 f (t) 可表示为冲激信号加权和 f (t) f ( ) (t )d
若把它作用于冲激响应为h(t)的LTI系统，则响应为
r(t) H f (t)
H
f
(
)
(t
)
d
f ( )H (t )d
0
t
2 0 2 t u( 2) u(t ) t 0 t 2
i(t
)
e
t
t
e2
d
u(t
)
et
t
e2d u(t 2)
0
2
2
e
t 2
et
u(t)
e(t )
1
1 0 1 t 2
h(t) 1 t u(t) u(t 2)
2
h(t)
1
0
2t
卷积图解过程
解： 图解法
i)t
e( )
1
1 0 1 2
ii)h( ) h( )
h( )
1
2
0
h( )
1
0
2
iii)h( ) h(t )
h(t )
d
2
t
2
4
t 1
t2 t 1
4 24
卷积图解过程
1 t <2
f2
(t
1
)
f1(
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t2 0
313e12et22t23 1e2t2
所以 f1f (1 t t ) ff 32 ( tt ) 3 1 e 2 t 2 t 2
f3t
f1
2
3
t2 0
.
0
解 (1 法 f 1 ( t) )f 2 ( t) 二 3 e 2 () 2 ( t ) d
在t<0时， 波形往左移；在t>0时，波形
往右移。这样就得到了f2(t ) 的波形。
.
第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中 的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。 第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间 包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。
第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、 四、五步操作，最终得到卷. 积信号f1(t)*f2(t)。
解析法
6 t e2d 0
3(1e2t )
显然上式适用于 t 0 的区间。
f 1 t * f 2 t 3 1 e 2 t t
.
( 2 )f 1 ( t) f 3 ( t) 3 e 2 () 2 ( t 2 ) d
解析法
6 t2e2d 0
31 e 2 t 2
积积分。
用 f(t)f (t)f(t). 表示。即
f(t) f1(t)f2(t)
f1()f2(t)d
由前面分析知：
t
y zs (t ) 0 f ( ) h (t ) d
f (t) h(t)
这是求解零状态响
应的另一种方法.
.
二、卷积的图示法
第一步，画出 f1 ( t ) 与 f 2 (t) 波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到 f1()和 f2(的) 波形。 第二步，将 f2()波形以纵轴为中心轴翻转180°， 得到 f2()波形。 第三步，给定一个t值，将 f2() 波形沿τ轴平移|t|。
0
f2t
2
t 0
（2） 当 t 2 时 f f1 1 (t t) f ， 2 f 3t (t )0 0
当t当 2t时 2时 ，ff11(， t当 ft1)ttf2f2t3时 f(2tt)， 0ft12t30te223fe2t22d2d0t23e2 2d
60t62e0t22ed2d630te223ee0t222d0t2 3e2
-2 0
.
（2）
f1
2
（3）讨论 t的取值范围， 并计算积分：
ft f1f2td
2
02
f2t
当 t 2时，
ft0
当 2t0时，
3
t-2 t
4
0
f t
t
2
2
3 4
d
f2t
3 2
t
2
3
4
t-2 t 0
.
f1
2
当 0t2时，
ò f (t)=
t 2´
t- 2
3 4
dt
=3
2 0 2 当 2t4时，
0
3t
τ
. (e ) t＞ 3
f2 ( － ) 1
o
(b )
1 f2 ( t － )
f1 ( )
0
t3
(d ) 0 ＜ t ＜ 3
y (t)
y (3)
0
3
t
(f )
例2 分。
求下图所示函数 f1(t )和 f2(t)的卷积积
f1t
2
f2t
2 0 2
解（1）
f1
2
2 0 2
3 4
t
02Leabharlann tf23 4
显然上式适用于 t 2 的区间。
f 1 t * f 3 t 3 1 e 2 t 2 t 2
.
练习：画出下列图形的卷积积分
f1t
f2t
2
1
2 -1 0 t
01 2
t
. 16
f1t
2
练习题答案：f1tf2t 2 -1 0 t
2
f2t
1
-1 0 1 t
01 2 t
思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？ 从非零区间长度及形状考虑。
f3(t)2(t2).
求 求卷积卷 积1） 积 f1(t) 分 f2(t（ )；2） （ f1(t)f3(t)。
解法一：图示法（1）
当 t 0 时 f 1 t f ， 2 t 0
f1
3
当t 0时，f1t f2t
t 3e2 2d
0
6 t e2d 3e2 t
0
0
31e2t
f 1 t f 2 t 3 1 e 2 t t .
复习
• 1、冲激响应的概念及求解 • 2、阶跃响应的概念及求解
.
2.3 卷积积分
卷积方法在本书中占有重要地位，这里要讨论的 卷积积分是将输入信号分解为众多冲激函数之和 （积分），利用冲激响应，求解LTI系统对任意激 励的零状态响应。
一、卷积积分 一般而言，若两个函数 f(t)、 f(t)，积分
f(t) f1()f2(t)d 称为 f1(t)与f2(t)的卷
. 17
本节小结
• 1、卷积积分的解析法 • 2、卷积积分的图解法
.
例 1 给定信号
f1(t) (t)(t 3)
f2(t) et(t)
求y(t)=f1(t)*f2(t)。
f1(t)
f2(t)
1
1
0 1234 t
o
t
(a)
.
(b)
f1 ( ) 1
0 1234 (a )
f 2 ( t － )
1
f1 ( )
t0 (c ) t＜ 0
3
1
f 1 ( ) f 2 ( t － )
f2t
2
f
t
t2
2
3 4
d
3 4
3 2
4
t
t-2 0 t
当 t 4 时， ft0
f2t
3
4
0 t-2 t .
f (t) f1(t) f2(t)
0,
3
(t
2 ),
2
3
,
3
(4
t ),
2
0 ,
t 2 -2 t 0 0 t 2 2 t 4 t4
.
例 2.3例32： 设 f1(t)3e2t(t)， f2(t)2(t)，