大学自动控制原理第三章 控制系统的时域分析法

2 1 nt
A3
1 2 2 1( 2 1)
ct 1 A2e
A3e
2 1 nt
当极点s2远离原点，s1靠近原点。 极点s2所对应的分量衰减远快于s1 所对应的分量。 系统的瞬态响应可以用s1所对应的分量近似表示。
n sind t p d cosd t p tan
1 2
系统在第一次出现最大峰值时 d t p t p d

d t p 0, ,2
3、超调量Mp
Mp ct p c c

Mp%
第三节 二阶系统的时域响应
一、传递函数的推导
U e K p r c F f0 Ce C R Su j K K pKA R
二、二阶系统的单位阶跃响应
n C s 2 Rs s 2 n s n 2
2
为系统的阻尼比; n为系统的无阻尼自然频 率
＜ t＜
当H 1时，若 0，则为单位理想脉冲函 数，记为 t 。
五、正弦信号
r t A sin t
第二节 一阶系统的时域响应
一阶系统的方框图如图所示，它的传递函数为
一、单位阶跃响应
1 令r(t) u(t) R s ,则 s
G s C s 1 Rs TS 1
0 r t R0 t ＜0 t 0
二、斜坡信号
v0t r t t 0 ＜ t 0
三、等加速度信号 等加速度信号是一种抛物线函数
1 r t 1 2 a0t 2 t＜0 t 0
四、脉冲信号
r t H t＜0
6、稳态误差ess
ss 2n 1 1 Rs 2 2 2 1 Gs s 2n s n s
ess lim sE s lim s s 0 s 0
ss 2n 1 2 2 2 2 n s 2n s n s
ζ 的增加和ωn的减小虽然对系统的平稳性有利，但使 e lim sE ( s ) 2 ss s 0 n 得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增加。

四、二阶系统阶的动态校正 1、比例微分(PD)校正
Js2 Fs K 0
对应的 n
K F , J 2 KJ
校正后传递函数与特征方程为：
1、欠阻尼 (0 1) 2 2 s 2n s n 0
2
1 s1.2 n jn 1 n jd 令R s ,则 s 2 n s n n 1 C s 2 2 2 2 s n 2 d2 s[s n d ] s s n d
2


0.69
4.55( s)
3 3 0.5 0.8 7.5( s) ( 0.05) n ts 4 4 10( s) ( 0.02) n 0.5 0.8
例3 二阶单位反馈系统单位阶跃响应曲线如图。若 Mp=37%，ts=5s，c(∞)=0.95。求系统的开环传函。 解：设二阶系统传函为
2 1 sin d t arctan
t 0
2、临界阻尼 ( 1)
当 1时,s1.2 n
ct 1 1 nt ent (t 0)
n 2 n 1 1 C s 2 2 ss n s s n s n
ct 1 e
nt
cos t sin d t d 2 1
t 0
或写作 ct 1
1 1
2
e
nt
当 0时,s1.2 jn则 ct 1 cosd t 1 cosnt
当r t时, 系统的稳态输出 F KK h F KK h ct t (t 0) ess K K
例1 如右图所示控制系统框图，当r=t时，试证明 当 K d 2 ，系统跟踪斜坡输入的稳态误差为零。
n
1 K d s n C s 解： 2 Rs s 2n s n 2
n n 2 1 s1 C s Rs s s1 s n n 2 1
C s s s n n
1 Leabharlann BaiduR s ,则 s

n n 2 1
1 1 2 1 s s n n 2 1

ct 1 e
2 1 n t
三、欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标 1、上升时间tr 当c(t)首次由零上升到稳 态值所需的时间
ct r 1
tr d
1 1 2
e ntr sind t r 1

1 2
ct p c c
100%
M p ct p 1 e
4、调整时间ts 阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值±Δ的误差范围， 并且从此不现超越这个范围的时间称为系统调整 时间，用ts表示之，其中Δ 为5%或2%。
令
e n t s 1
2

3
1 ln 1 ln 1 ts 2 n 1
三、单位脉冲(冲激)响应
令r t t R (s) 1，则系统的输出
1 1 1 T t 1 C s Gs g t L Gs e T S 1/ T T
（1）一个输入信号导数的时域响应高于该输入信号的时域响应的导数
1
（2）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的时域响应的积分
2 Kn (s) 2 2 s 2n s n
C (t ) C max
C ()
1 C ( ) 2

M p% e 100% 0.37 3 ts 5s ( 0.05)


误差带

1 2
4K 0.3，n 2 (s) 2 s 1.2s 4 1 4K lim c(t ) lim s (s) lim 2 K 0.95 t s 0 s 0 s s 1.2s 4 3.8 (s) 19 (s) 2 G( s) 2 s 1.2s 4 1 (s) 5s 6s 1

0.05时,t s
n
3T
0.02时,t s
4
n
4T
5、振荡次数N 2 T 典型二阶系统的阻尼振荡周期 d
t s (3 4) 1 2 N Td 2
2
d
n 1 2
令r t t , 则 E s
二阶系统性能分析要点：
1）平稳性：Mp、N，主要由ζ 决定。
ζ↑→Mp↓,稳定性好； ζ=0，响应等幅振荡，系统不能 稳定；ζ一定，wn↑→wd↑，平稳性变差。
Mp e tr


1 2
d n 1 2
1 2
2）快速性：tr、tp、ts，由ζ 和wn决定。
可以调节Kp值,使之满足稳态误差ess或ξ 的要求。
2、测速反馈校正
C s K 2 Rs Js F KK h s K J F KK h 2 s sK J J K
n 2 2 2 s 2 n s n
F KK h n K J , 2 KJ
n 0.8 0.5
M p% e


1

1 2
2

0.5 1 0.5
2
0.577
1 2 1.05
100 % 16.3%,
arctan

tr
n 1
2

1.05
0.69
3.03( s) t p
n 1
1 t 1 1 1 1 C s ct (1 e T )u (t ) S 1 Ts S T S 1 T
当T t时，则有 :cT 1- e1 0.63
二、单位斜坡响应
1 1 1 T T2 令r(t) t R s 2 , C s 2 2 s S 1 Ts S S 1 T S 1 t T ct t T 1 e u (t ) 1 t T et r t ct T 1 e et T ess lim t
n
t tr t p
d
ts
第四节
高阶系统的时域响应
2
据此画出系统等效框图
ct c1 t c2 t t 2
n
Kd
当K d
2
n
, ct t r t
ess 0
例2 控制系统如图，求 M p %, tr , t p , t s 。
解：
C ( s) 0.64 2 R( s) s 0.8s 0.64
第三章
第一节 第二节 第三节 第四节 第六节 第七节 第八节
控制系统的时域分析
典型的测试信号 一阶系统的时域响应 二阶系统的时域响应 高阶系统的时域响应 线性定常系统的稳定性 劳斯稳定判据 控制系统的稳态误差
第一节
典型的测试信号
典型的试验信号一般应具备两个条件 （1）信号的数学表达式要简单 （2）信号易于在实验室中获得 一、阶跃输入
K p Kd s C ( s) 2 R(s) Js F K d s K p
具有PD校正的二阶系统
Js2 F Kd s K p 0
校正后系统方程中增加了Kds项，若令中Kp=k，
K 则校正前后n 都为 ，校正后阻尼比为 F K d 。 2 KpJ J
3、过阻尼 ( 1)
s1.2 n n 2 1
n 2 A3 A1 A2 C s 2 s( s 2n s d2 ) s s n n 2 1 s n n 2 1
A1 1 A2
1 2 2 1( 2 1)
1 2
arctan

二阶系统瞬态响应的性能指标
2、峰值时间tp 瞬态响应第一次出现峰值的时间 dct 1 t t [ e sin t e
dt
t t p
n p
n p
1
2
n
d p
d
cosd t p ] 0
arct an
wn一定时，若ζ <0.707，则ζ ↓→ts↑,当ζ >0.707之 t p d n 1 2 后又有ζ ↑→ts↑,即ζ 太小或太大，快速性均变差。 3 综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取ζ = 0.707 3T 0.05 为最佳。 ts n 4 4T 0.02 3）准确性：ess，由ζ 和wn决定。 n