2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章第六节正、余弦定理和应用举例含解析

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2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章第六节正、余弦定理和应用举例

一、填空题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．解析：由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，又a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6. 答案：π62．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为________km.解析：由余弦定理知，AC 2＝102＋202－2×10×20cos 120°＝700.∴AC ＝107 km. 答案：1073.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD 的张角为________．解析：依题意可得AD ＝2010 (m)，AC ＝30 5 (m)，又CD ＝50 (m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案：45°4．锐角△ABC 的三边a ，b ，c 和面积S 满足条件S ＝c 2－(a －b )24k，又角C 既不是△ABC 的最大角也不是△ABC 的最小角，则实数k 的取值范围是________．解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴c 2－a 2－b 2＝－2ab cos C ，由S ＝c 2－(a －b )24k，得4kS ＝c 2－(a －b )2，即4k ·12·ab sin C ＝c 2－a 2－b 2＋2ab ， ∴2kab sin C ＝－2ab cos C ＋2ab ，即k sin C ＝1－cos C ，∴k ＝1－cos C sin C ，∴k ＝tan C 2，又π4<C <π2，∴2－1<k <1.答案：(2－1,1)5．在△ABC 中，cos 2B2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________．解析：∵cos 2B2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ， ∴cos B ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ＝a ＋c ，则角B 的取值范围是________．解析：∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－(a ＋c )242ac＝3(a 2＋c 2)－2ac 8ac＝3(a 2＋c 2)8ac －14≥34－14＝12，即cos B ∈[12，1)，∴B ∈(0，π3]．答案：(0，π3]7．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是________．解析：依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc sin 60°，得bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7.答案：78．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________. 解析：S ＝12bc ·sin A ＝12×1·c ·sin 60°＝3，∴c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A＝1＋42－2×1×4×cos 60°＝1＋16－2×4×12＝13，∴a ＝13.∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案：23939．如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．解析：由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)>n ，所以α与β的关系满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．答案：m cos αcos β>n sin(α－β)二、解答题10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 的面积的最大值．解析：(1)∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或－2(舍去)，又0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理，知b 2＋c 2－a 2＝2bc cosA ．又a 2－c 2＝b 2－mbc ，可得cos A ＝m 2，∴m ＝1.(2)由余弦定理及a ＝3，A ＝π3，可得3＝b 2＋c 2－bc ，再由基本不等式b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝34bc ≤334，故△ABC 的面积的最大值为334.11．设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解析：(1)由a ＝2b sin A 及正弦定理a sin A ＝b sin B ＝2R ，得sin A ·2R ＝2sin B ·2R ·sin A ，即sin B ＝12，∵△ABC 是锐角三角形，∴B ＝π6.(2)由(1)，知C ＝π－A －B ＝5π6－A ，∴cos A ＋sin C＝cos A ＋sin(5π6－A )＝32cos A ＋32sin A ＝3(32cos A ＋12sin A ) ＝3sin(A ＋π3)．∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π2，0<C <π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π2，0<5π6－A <π2，则π3<A <π2.∴2π3<A ＋π3<5π6.则12<sin(A ＋π3)<32.∴32<3sin(A ＋π3)<32.∴cos A ＋sin C 的取值范围为(32，32)．12．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA →成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x＋cos 2θcos x (x ∈R)的值域．解析：(1)连结BC ，在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700，BC ＝107.即处于C 处和乙船和遇险渔船间的距离为107海里．(2)∵sin θ20＝sin 120°107， ∴sin θ＝37，∵θ是锐角，∴cos θ＝47，∴f (x )＝sin 2θsin x ＋cos 2θcos x ＝37sin x ＋47cos x＝57sin(x ＋φ)，∴f (x )的值域为[－57，57]．。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第六章第一节数列的概念及简单表示法含解析

一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝6且a n －a n －1＝a n －1n ＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则这个数列的通项公式a n ＝________.解析：由题意得a n n ＋1＝a n －1n ＋1，故数列{a n n ＋1}是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，故a nn ＋1＝3＋1·(n －1)＝n ＋2，故a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．答案：(n ＋1)(n ＋2)2．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n (n ＝1,2，…)，则a 3等于________．解析：∵a n ＋1＝(2n －λ)a n ，a 2＝3，a 1＝1，∴3＝(2×1－λ)×1，∴λ＝－1，∴a n ＋1＝(2n ＋1)a n ， ∴a 3＝(2×2＋1)×a 2＝5×3＝15. 答案：153．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 17＝________.解析：由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝1，a 11＝12，a 12＝12，即a n 的值以6为周期重复出现，故a 17＝12. 答案：124．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是________．解析：a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2>n 2＋kn ＋2，则k >－(2n ＋1)对所有的n ∈N *都成立，而当n ＝1时－(2n ＋1)取得最大值－3，所以k >－3. 答案：k >－35．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 解析：∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2， a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72. 答案：726．已知数列{a n }满足：a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 014＝________. 解析：a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0. 答案：07．已知数列{a n }的各项均为正数，若对任意的正整数p 、q ，总有a p ＋q ＝a p ·a q ，且a 8＝16，则a 10＝________.解析：由a n >0且a p ＋q ＝a p ·a q 得16＝a 8＝a 24＝a 42＝a 81，a 1＝2，∵a p ＋1＝a p ·a 1＝2a p ，∴a 10＝2a 9＝2a 8＝32. 答案：328．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为5，T n 为数列{a n }前n 项的积，则T 2 015＝________. 解析：T 2 005＝a 1(a 2a 3)·(a 4a 5)…(a 2 014·a 2 015)＝2·51 007. 答案：2·51 0079．如图是一个n 层(n ≥2)的六边形点阵．它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，……，第n 层每边有n 个点，则这个点阵的点数共有________个．解析：每层的点数可构成数列{a n }，结合图形可知a 1＝1，a 2＝6，…，a n ＝a n－1＋6(n ≥3)，那么，前n 层所有点数之和为S n ＝1＋(n －1)[6＋(6n －6)]2＝3n 2－3n ＋1. 答案：3n 2－3n ＋1 二、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，求该数列的通项公式．解析：由S 1＝1得a 1＝1，又由S 2＝2可知a 2＝1. ∵S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)， ∴S n ＋1－S n －2S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，即(S n ＋1－S n )－2(S n －S n －1)＝0(n ∈N 且n ≥2)， ∴a n ＋1＝2a n (n ∈N *且n ≥2)，故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧1， n ＝12n －2， n >1，(n ∈N *)．11．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (x ∈R)同时满足：①不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )． (1)求函数f (x )的表达式； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)∵不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝0或a ＝4.当a ＝0时，函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上递增，不满足条件②；当a ＝4时，函数f (x )＝x 2－4x ＋4在(0,2)上递减，满足条件②. 综上得a ＝4，即f (x )＝x 2－4x ＋4. (2)由(1)知S n ＝n 2－4n ＋4＝(n －2)2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n －2)2－(n －3)2＝2n －5. ∴a n ＝⎩⎨⎧1 (n ＝1)2n －5 (n ≥2).12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求n 为何值时a n 最小．解析：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6得， (a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6， ∴b n ＋1－b n ＝2n －6.当n ≥2时，b n －b n －1＝2(n －1)－6， b n －1－b n －2＝2(n －2)－6， …b 3－b 2＝2×2－6， b 2－b 1＝2×1－6，累加得b n －b 1＝2(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n(n－1)－6n＋6＝n－7n＋6.又b1＝a2－a1＝－14，b n＝n2－7n－8(n≥2)，n＝1时，b1也适合此式，故b n＝n2－7n－8.(2)由b n＝(n－8)(n＋1)，得a n＋1－a n＝(n－8)(n＋1)．<a n，∴当n<8时，a n＋1当n＝8时，a9＝a8，当n>8时，a n>a n，＋1故当n＝8或n＝9时a n的值最小．。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)：第四章第二节三角函数的图象与性质 Word版含解析

一、填空题1．函数y ＝|sin x |的最小正周期为________．解析：由图象知T ＝π.答案：π2．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________．解析：由已知得sin x －cos x >0，即sin x >cos x .在[0,2π]内满足sin x >cos x 的x 的集合为(π4，54π)．又正弦、余弦函数的周期为2π，∴所求定义域为{x |π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z}．答案：{x |π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z}3．函数y ＝sin x (－π4≤x ≤3π4)的值域是________．答案：[－22，1]4．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是________．解析：f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12， ∵π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤56π. 从而可得f (x )max ＝1＋12＝32. 答案：325．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为________．解析：当|MN |最小时，点M ，N 必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设为M (π4，2π2)，N (5π4，－2π2)，根据两点间距离公式得|MN |＝π2＋(2π)2＝3π.答案：3π6．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．解析：f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.答案：327．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离π则f (x )的单调递增区间是________．解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期， ∴2πω＝π，ω＝2.f (x )＝2sin(2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)．答案：[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z8．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．解析：由3sin(ωx －π6)＝0，得ωx ＝k π＋π6(k ∈Z)， ∴x ＝k πω＋π6ω，即对称中心为(k πω＋π6ω，0)(k ∈Z)．由3cos(2x ＋φ)＝0得2x ＝k π＋π2－φ(k ∈Z)，∴x ＝k π2＋π4－φ2，即对称中心为(k π2＋π4－φ2，0)(k ∈Z)．∴k πω＝k π2得ω＝2，故f (x )＝3sin(2x －π6)，∵x ∈[0，π2]，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，故－32≤f (x )≤3.答案：[－32，3] 9．某学生对函数f (x )＝2x ·cos x 的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数f (x )在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点(π2，0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心；③函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π对称；④存在常数M >0，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立．其中正确的结论是________．(填写所有你认为正确的结论序号)解析：对于①，f (－2π3)＝2π3>－π3＝f (－π3)，不正确；对于②，f (0)＝0，f (π)＝－2π，不正确；对于③，f (0)＝0，f (2π)＝4π，不正确．答案：④二、解答题10．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈R.(1)求f (π12)的值；(2)试写出一个函数g (x )，使得g (x )f (x )＝cos 2x ，并求g (x )的单调区间．解析：(1)因为f (x )＝2sin(x ＋π4)，。

高考数学文优化方案一轮复习课件第第六正弦定理和余弦定理苏教江苏专用

(2)直接利用正弦定理求解．
【解析】 (1)∵sinB＋cosB＝ 2 sinπ4＋B＝ 2 ，
∴sinπ4 ＋B＝1.
又 0<B<π，∴B＝π4.
由正弦定理，得 sin A＝asbinB＝
2× 2
2 2 ＝21.
又 a<b，∴A<B，∴A＝π6.
(2)由正弦定理得sinaA＝sinc C，故sin245°＝sin6C，
b、c，且 S△ABC＝a2＋b42－c2，那么角 C＝________.
解
析
：
由21abs
inC
＝
a2＋
b2－ 4
c2
得
sinC ＝
a2＋ b2－ c2
2ab .
根据余弦定理得 cosC＝a2＋2ba2b－c2，得 sinC
＝cosC，
即 tanC＝1，故 C＝π4.
答案：π 4
3．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acos C＝0 . (1)求角 A 的大小；
例1 (1)(2010 年高考山东卷)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2， sin B＋cos B＝ 2，则角 A 的大小为________．
(2)满足 A＝45°，a＝2，c＝ 6 的△ABC 的个数为
________．
【思路分析】 (1)先求出角B，再利用正弦定理求角A；
由①②得 b＝c＝ 3，∴△ABC 为等边三角形．
本部分内容讲解结束
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预测2012年江苏高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习第六章第四节数列求和 Word版含解析

一、填空题．若数列{}的前项和＝(－)(＋＋)－(∈*)，且＝(－)，数列{}的前项和为，则等于．解析：由＝(－)(＋＋)－可求得＝(－)· (＋)，所以＝，于是＝(－＋－＋…＋－)＝.答案：．数列{}满足＋＋＝(∈*)，＝－，是{}的前项和，则＝.解析：由题意得数列{}的各项为－，，－，，…，以为周期的周期数列，所以＝×＝).答案：)．在数列{}中，若对任意的均有＋＋＋＋为定值(∈*)，且＝，＝，＝，则此数列{}的前项的和＝.解析：由题设得＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋，∴＝＋，∴＋＝(∈)，＋＝(∈)，＝(∈*)，∴＝×＋×＋×＝.答案：．已知等比数列{}中，＝，＝，若数列{}满足＝，则数列{}的前项和＝.解析：设等比数列{}的公比为，则＝＝，解得＝.所以＝－＝×－＝，故＝＝，所以＝＝－.则数列{}的前项和为－＋－＋…＋－＝－＝.答案：．若数列{}是正项数列，且＋＋…＋＝＋(∈*)，则＋＋…＋＝.解析：令＝得＝，即＝，当≥时，＝(＋)－[(－)＋(－)]＝＋，所以＝(＋)，当＝时，也适合，所以＝(＋)(∈*)．于是＝(＋)，故＋＋…＋＝＋.答案：＋．设，，…，是从－这三个整数中取值的数列，若＋＋…＋＝且(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝，则，，…，当中取零的项共有个．解析：(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＋＋…＋＋(＋＋…＋)＋＝，∴＋＋…＋＝，∴，，…，中取零的项应为－＝个．答案：．设函数()＝＋的导函数′()＝＋，则数列{}(∈*)的前项和是．解析：′()＝－＋＝＋，∴＝，＝，∴()＝(＋)，＝＝－，用裂项法求和得＝.答案：．设关于的不等式－<(∈*)的解集中整数的个数为，数列{}的前项和为，则的值为．解析：由－<(∈*)得<<＋，因此＝，所以数列{}是一个等差数列，所以＝＝ .答案：．已知函数()＝ π，且＝()＋(＋)，则＋＋＋…＋＝.解析：()＝π＝(\\(－(为奇数((为偶数())＝(－)·，由＝()＋(＋)＝(－)·＋(－)＋·(＋)＝(－)[－(＋)]＝(－)＋·(＋)，得＋＋＋…＋＝＋(－)＋＋(－)＋…＋＋(－)＝×(－)＝－.答案：－二、解答题．已知函数()＝－－，点(，)在()的图象上，的前项和为.()求使<的的最大值；()求.解析：()依题意＝－－，∴<即－－<.当＝时，－－＝－<，当＝时，－－＝>，∴－－<中的最大值为.。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章第五节简单的三角变换含解析

sin α
1
2
π
＋cos α＝sin αcos α＝sin 2α(0<α<2)，则线段 AB 长度的最小值为 2. 2sin2α＋sin 2α 11．函数 y＝sin α＋cos α－4sin αcos α＋1，且 (1)把 y 表示成 k 的函数 f(k)； (2)求 f(k)的最大值． 2sin2α＋2sin αcos α 2sin2α＋sin 2α 解析：(1)∵k＝ cos α＋sin α ＝ cos α ＝2sinαcos α， 1＋tan α ＝ 2sin αsin α＋cos α 1＋ sin α cos α 1＋tan α π π ＝k，4<α≤2，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋k. π π ∵4<α≤2， ∴ sin α＋cos α>0. ∴sin α＋cos α＝ 1＋k. ∴y＝ 1＋k－2k＋1. 由于 k＝2sin αcos α＝sin 2α， π π 4<α≤2， ∴0≤k<1. ∴f(k)＝ 1＋k－2k＋1(0≤k<1)． (2)设 1＋k＝t，则 k＝t2－1,1≤t< 2. ∴y＝t－(2t2－2)＋1，即 y＝－2t2＋t＋3(1≤t< 2)． ∵关于 t 的二次函数在区间[1， 2)内是减函数， ∴t＝1 时，y 取最大值 2.
4cos4x－2cos 2x－1 π π tan ＋xsin2 －x 4 4 12．已知函数 f(x)＝ . 17 (1)求 f(－12π)的值； π 1 1＋cos 2x2－2cos 2x－1 解析：(1)f(x)＝ cos22x π π tan ＋xcos2 ＋x 4 4 2cos22x (2)当 x∈[0，2]时，求 g(x)＝2f(x)＋sin 2x 的最大值和最小值．

[推荐学习]2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：选修4-4 第一节坐标系 Word版含解析-

1．求点(1，π2)关于ρcos θ＝12对称的点的极坐标．解析：化点的极坐标(1，π2)为平面直角坐标(0,1)，化ρcos θ＝12为直角坐标方程得x ＝12，所以(0,1)关于直线x ＝12对称的点为(1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝ρcos θ，1＝ρsin θ.可得θ＝π4，ρ＝12＋12＝ 2.所求对称点的极坐标为(2，π4)．2．求以点A (2,0)为圆心，且过点B (23，π6)的圆的极坐标方程．解析：由已知圆的半径为AB ＝ 22＋(23)2－2×2×23cos π6＝2，又圆的圆心坐标为A (2,0)，所以圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ. 3．已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos (θ＋π4).求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．解析：⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即(x －12)2＋(y －12)2＝12.又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.圆心到直线l的距离为22，则⊙C上的点到直线l距离的最小值为22－22＝322.4．已知两点A，B的极坐标分别为(4，π2)，(4，π6)．(1)求A，B两点间的距离；(2)求直线AB的极坐标方程．解析：(1)∠AOB＝π2－π6＝π3，△OAB为正三角形，故AB＝4.(2)设O在直线AB上的射影为H，则H的坐标为(23，π3)．设P(ρ，θ)为直线AB上任一点，则由△OPH为直角三角形得ρcos(θ－π3)＝23即为所求的直线AB的极坐标方程．。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第六章第四节

一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1(n ∈N *)，且a n b n ＝(－1)n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于________．解析：由S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1可求得a n ＝(－1)n ·4n (n ＋1)，所以b n ＝14n (n ＋1)，于是T 10＝14(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝522.答案：5222．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.解析：由题意得数列{a n }的各项为－12，1，－12，1，…，以2为周期的周期数列，所以S 2 014＝12×1 007＝1 0072. 答案：1 00723．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值(n ∈N *)，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此数列{a n }的前100项的和S 100＝________. 解析：由题设得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3， ∴a n ＝a n ＋3，∴a 3k ＋1＝2(k ∈N)，a 3k ＋2＝4(k ∈N)，a 3k ＝3(k ∈N *)， ∴S 100＝34×2＋33×4＋33×3＝299. 答案：2994．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：nn ＋15．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________. 解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n . 答案：2n 2＋6n6．设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有________个．解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个．答案：117．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是________．解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，用裂项法求和得S n ＝n n ＋1.答案：nn ＋18．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100.答案：10 1009．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.解析：f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎨⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数)＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2 ＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2] ＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 答案：－100 二、解答题10．已知函数f (x )＝2n －3n －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，a n 的前n 项和为S n . (1)求使a n <0的n 的最大值； (2)求S n .解析：(1)依题意a n ＝2n －3n －1， ∴a n <0即2n －3n －1<0. 当n ＝3时，23－9－1＝－2<0，当n ＝4时，24－12－1＝3>0， ∴2n －3n －1<0中n 的最大值为3. (2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2(1－2n )1－2－3·n (n ＋1)2－n＝2n ＋1－n (3n ＋5)2－2.11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的导函数f ′(x )＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值；(2)令b n ＝2a n ，其中n ∈N *，求数列{nb n }的前n 项和．解析：(1)∵f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，又∵f ′(x )＝－2x ＋7，得a ＝－1，b ＝7， ∴f (x )＝－x 2＋7x .又∵点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，∴有S n ＝－n 2＋7n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8， ∴a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0，得n ≤4，∴当n ＝3或n ＝4时， S n 取得最大值12. (2)由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4.∴b n ＋1b n ＝12，即数列{b n }是首项为8，公比为12的等比数列，故数列{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4，① 12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3，② 由①－②得：12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3， ∴T n ＝16×[1－(12)n ]1－12－n ·24－n ＝32－(2＋n )24－n.12．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和．解析：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知可得⎩⎨⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)，从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n 1－2n .。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：选修4-4 第二节参数方程

1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1t ，y ＝3(t ＋1t )(t 为参数，t >0)．求曲线C 的普通方程．解析：由x ＝t －1t平方得x 2＝t ＋1t －2，又y ＝3(t ＋1t )，则t ＋1t ＝y 3，代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．2．已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧ x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，试判断它们的公共点个数．解析：圆的方程可化为(x ＋1) 2＋(y －2)2＝4，其圆心为C (－1,2)，半径为2.由于圆心到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75<2，所以直线l 与圆C 相交．故直线l 与圆C 的公共点的个数为2.3．已知点P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点．(1)求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)求t ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解析：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则 (1)∵z ＝x 2＋y 2＝4cos 2θ＋sin 2θ＝1＋3cos 2θ，∴当cos θ＝±1，即x ＝±2时，z 的最大值为4；当cos θ＝0，即x ＝0时，z 的最小值为1.(2)∵t ＝2x ＋y ＝4cos θ＋sin θ＝17sin(θ＋φ)，其中tan φ＝4，当sin(θ＋φ)＝1时，t 的最大值为17；当sin(θ＋φ)＝－1时，t 的最小值为－17.4．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)(θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解析：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin(θ＋π4)，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋(－1)2＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含解析

答案：y＝2sin (4x＋ )＋2
8．在矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y＝asinax(a∈R，a≠0)的一个完整周期图象，则当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为________．
解析：根据题意，设矩形ABCD的周长为c，
则c＝2(AB＋AD)＝4|a|＋ ≥8 ，
当且仅当a＝± 时取等号．
答案：8
9．关于函数f(x)＝sin(2x－ )，有下列命题：
①其表达式可写成f(x)＝cos(2x＋ )；
②直线xx)＝sin 2x的图象向右平移个单位得到；
④存在α∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立．
答案：( ，2)
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值为0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ< ，则函数解析式为________．
解析：由题设得，A＝2，n＝2，ω＝4，且当x＝时，
sin ( π＋φ)＝±1，故φ＝ .
所求解析式为y＝2sin (4x＋ )＋2.
∴ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[ ＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
答案：[kπ＋，kπ＋ ](k∈Z)
6．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin(x＋ )＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．
解析：令y1＝2sin(x＋ )，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示，若2sin(x＋ )＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以 <a<2.
解析：(1)因为f(x)＝sin 2xsinφ－2cos2xcos(π－φ)－sin( ＋φ)(0<φ<π)，

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章第四节两角和与差的正弦、余弦、

一、填空题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________. 解析：∵α∈(－π2，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45， ∴cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210. 答案：－2102．已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________. 解析：依题意由1－cos 2αsin αcos α＝1 得2sin 2 αsin αcos α＝1，则tan α＝12，从而tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝－－13－121＋(－13)×12＝－1. 答案：－13．已知tan(α－π6)＝37，tan(π6＋β)＝25，则tan(α＋β)的值为________．解析：tan(α＋β)＝tan [(α－π6)＋(π6＋β)] ＝tan (α－π6)＋tan (π6＋β)1－tan (α－π6)·tan (π6＋β)＝37＋251－37×25＝1.答案：14．在等式cos(*)(1＋3tan 10°)＝1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角的度数是________．解析：1＋3tan 10°＝1＋3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin (30°＋10°)cos 10°＝2sin 40°cos 10°，所以填40°.答案：40°5．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：∵a 2＝1＋2sin 14°cos 14°＝1＋sin 28°∈(1，32)，b 2＝1＋2sin 16°cos 16°＝1＋sin 32°∈(32，2)，c 2＝32，且a >0，b >0，c >0，∴a <c <b . 答案：a <c <b6．已知A 、B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 等于________．解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22，又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4. 答案：7π47．若tan(α＋β)＝25， tan(β－π4)＝14，则tan (α＋π4)＝______. 解析：tan(α＋π4)＝tan [(α＋β)－(β－π4)] ＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝25－141＋25×14＝322.答案：3228．已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4)＝________.解析：由于α，β∈(3π4，π)，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，故cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513，cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝45×(－513)＋(－35)×1213 ＝－5665. 答案：－56659．非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan(θ－π4)＝________. 解析：因为非零向量a ，b 共线，所以a ＝λb ，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1)，所以λ＝2，sin θ＝2cos θ，得tan θ＝2，所以tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝13.答案：13 二、解答题10．已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2. (1)求tan α的值； (2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．解析：(1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2，1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α(2cos 2α－1)cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2 α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解析：由已知条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－(12)2＝43， ∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2， ∴α＋2β＝3π4.12．已知向量OA →＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])．向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n )． (1)求tan α的值；(2)若cos(β－π)＝210，且0<β<π，求cos(2α－β)．解析：(1)∵OA →＝(cos α，sin α)， ∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5)， ∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②联立方程组解得， cos α＝－255，sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝12. (2)∵cos(β－π)＝210，即cos β＝－210，0<β<π， ∴sin β＝7210，π2<β<π，又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×(－210)＋45×7210＝22.。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章第三节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的

一、填空题1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋)(ω>0)，若f ()＝f ()，且f (x )在区间(，)上有最大π3π6π2π6π2值，无最小值，则ω＝________.解析：由题意f ()＝1，即ω·＋＝＋2k π，k ∈Z ，所以ω＝＋6k ，k ∈Z.π3π3π3π212又<，所以0<ω<6，故ω＝.π32πω12答案：122．函数y ＝sin(＋x )cos(－x )的最大值为________．π2π6解析：y ＝sin(＋x )cos(－x )π2π6＝cos x ·cos(－x )π6＝cos x (cos ·cos x ＋sin ·sin x )π6π6＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos 2x ＋sin x ·cos x32123212＝·＋sin 2x ＝＋cos 2x ＋sin 2x 321＋cos 2x 214343414＝＋(sin 2x ＋cos 2x )34121232＝＋sin(2x ＋)，3412π3∴当sin(2x ＋)＝1时，y max ＝.π32＋34答案：2343．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象如图所示，则f ()＝________.7π12解析：由图象可知，T ＝π，从而T ＝＝，ω＝3，322πω2π3得f (x )＝2sin(3x ＋φ)，又由f ()＝0可取φ＝－，π43π4于是f (x )＝2sin(3x －)，则f ()＝2sin(－)＝0.3π47π127π43π4答案：04．若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点(，0)π4π3对称，则|φ|的最小值是________．解析：将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移个单位后得到y ＝2sin[3(x －)＋φ]π4π4＝2sin(3x －＋φ)的图象．因为该函数的图象关于点(，0)对称，所以2sin(3×3π4π3－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0，故有＋φ＝k π(k ∈Z)，解得φ＝k π－(k ∈Z)．当π33π4π4π4π4k ＝0时，|φ|取得最小值.π4答案：π45．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤|f ()|对x ∈R 恒成立，π6且f ()＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是________．π2解析：由∀x ∈R ，有f (x )≤|f ()|知，当x ＝时f (x )取最值，∴f ()＝sin(＋φ)π6π6π6π3＝±1，∴＋φ＝±＋2k π(k ∈Z)，π3π2∴φ＝＋2k π或φ＝－＋2k π(k ∈Z)．π65π6又∵f ()＞f (π)，∴sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，π2∴－sin φ＞sin φ，∴sin φ＜0.∴φ取－＋2k π(k ∈Z)．5π6不妨取φ＝－，则f (x )＝sin(2x －)．5π65π6令－＋2k π≤2x －≤＋2k π(k ∈Z)，π25π6π2∴＋2k π≤2x ≤＋2k π(k ∈Z)，π34π3∴＋k π≤x ≤＋k π(k ∈Z)．π62π3∴f (x )的单调递增区间为[＋k π，＋k π](k ∈Z)．π62π3答案：[k π＋，k π＋](k ∈Z)π62π36．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin(x ＋)＝a 有两个不同的实数解，则实数π3a 的取值范围为________．解析：令y 1＝2sin(x ＋)，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如π3图所示，若2sin(x ＋)＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则π3y 1与y 2应有两个不同的交点，所以<a <2.3答案：(，2)37．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期是，π2直线x ＝是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<，则函数解析式为π3π2________．解析：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝时，π3sin (π＋φ)＝±1，故φ＝.43π6所求解析式为y ＝2sin (4x ＋)＋2.π6答案：y ＝2sin (4x ＋)＋2π68．在矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y ＝a sin ax (a ∈R ，a ≠0)的一个完整周期图象，则当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为________．解析：根据题意，设矩形ABCD 的周长为c ，则c ＝2(AB ＋AD )＝4|a |＋≥8，4π|a |π当且仅当a ＝±时取等号．π答案：π9．关于函数f (x )＝sin(2x －)，有下列命题：π4①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋)；π4②直线x ＝－是f (x )图象的一条对称轴；π8③f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向右平移个单位得到；π4④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立．则其中真命题的序号为________．解析：对于①，f (x )＝sin(2x －)＝cos[－(2x －)]π4π2π4＝cos(2x －π)，故①错；34对于②，当x ＝－时，f (－)＝sin[2×(－)－]π8π8π8π4＝sin(－)＝－1，故②正确；π2对于③，g (x )＝sin 2x 的图象向右平移个单位得到的图象解析式为y ＝sin 2(x －π4)＝sin(2x －)，故③错；π4π2对于④，因为f (x )的周期为π，故当α＝时，f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，所以④正确．π2答案：②④二、解答题10．已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋)－sin 2x ＋sin x cos x .π33(1)求f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，]时，求f (x )的值域．π4解析：(1)f (x )＝2cos x sin(x ＋)－sin 2x ＋sin x cos xπ33＝2cos x (sin x ＋cos x )－sin 2x ＋sin x cos x12323＝2sin x cos x ＋(cos 2x －sin 2x )3＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋)．3π3由2k π－≤2x ＋≤2k π＋(k ∈Z)，π2π3π2解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z)，5π12π12∴f (x )的单调递增区间为[k π－，k π＋](k ∈Z)．5π12π12(2)∵x ∈[0，]，∴2x ＋∈[，]．π4π3π35π6则sin(2x ＋)∈[，1]，∴f (x )的值域为[1,2]．π21211．已知函数f (x )＝sin 2x sin φ－2cos 2x cos(π－φ)－sin(＋φ)(0<φ<π)在x ＝时取π2π6得最大值．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (α)＝，求sin α的值．13解析：(1)因为f (x )＝sin 2x sin φ－2cos 2x cos(π－φ)－sin(＋φ)(0<φ<π)，π2所以f (x )＝sin 2x sin φ＋2cos 2x cos φ－cos φ＝sin 2x sin φ＋(1＋cos 2x )cos φ－cos φ＝sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ＝cos(2x －φ)，又函数y ＝f (x )在x ＝时取得最大值，π6所以cos(2·－φ)＝cos(－φ)＝1，π6π3因为0<φ<π，所以φ＝.π3(2)由(1)知f (x )＝cos(2x －)，π3所以g (x )＝f (x )＝cos(x －)，12π3于是有g (α)＝cos(α－)＝，π313所以sin(α－)＝±.π3223所以sin α＝sin[(α－)＋]π3π3＝sin(α－)·cos ＋cos(α－)·sin π3π3π3π3＝.3±22612．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下面是某日各时的浪高数据：t (时)03691215182124y (米) 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00至20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解析：(1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝＝＝，2πT 2π12π6由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；①由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，②∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为，12∴y ＝cos t ＋1(0≤t ≤24)．12π6(2)由题知，当y ≥1时才可对冲浪者开放，∴cos t ＋1≥1，12π6∴cos t ≥0，π6∴2k π－≤t ≤2k π＋，k ∈Z ，π2π6π2即12k －3≤t ≤12k ＋3，k ∈Z ，③∵0≤t ≤24，故可令③中的k 分别为0,1,2，得0≤t ≤3，或9≤t ≤15，或21≤t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章第一节任意角的三角函数

一、填空题1．若－π2<α<0，则点(tan α，cos α)位于第________象限．解析：∵－π2<α<0，∴α为第四象限角，∴tan α<0，cos α>0，∴点(tan α，cos α)位于第二象限．答案：二2．cos 300°＝________.解析：cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝12. 答案：123．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：根据题意知tan α＝－6x ＝－35，所以x ＝10. 答案：104．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案：－2<a ≤35．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的圆心角α是________rad. 解析：由已知R ＝1，∴sin α2＝AB2R ＝32， ∴α2＝π3， ∴α＝23π.答案：23π6．已知α为第四象限角，且sin(π－α)＝－13，则tan α＝________.解析：∵sin(π－α)＝－13，∴sin α＝－13，又α为第四象限角，∴cos α＝223，∴tan α＝－24. 答案：－24 7．若tan α＝2，则sin α－3cos αsin α＋cos α的值是________．解析：∵tan α＝2，∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13. 答案：－138．sin(π＋π6)sin(2π＋π6)sin(3π＋π6)…sin(2 010π＋π6)的值等于________. 解析：原式＝(－12)×12×(－12)×…×12＝－122 010. 答案：－122 0109．f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a 、b 、α、β均为非零实数)，若f (2 011)＝6，则f (2 012)＝________.解析：f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＋4 ＝－a sin α－b cos β＋4＝6， ∴a sin α＋b cos β＝－2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4 ＝a sin α＋b cos β＋4＝4－2＝2. 答案：2 二、解答题10．已知cos(π2＋α)＝2sin(α－π2)，求sin(α－2π)sin(α－π)－sin(5π2＋α)·sin(3π2－α)的值．解析：∵cos(π2＋α)＝2sin(α－π2)， ∴－sin α＝－2sin(π2－α)， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.∴sin(α－2π)sin(α－π)－sin(5π2＋α)sin(3π2－α) ＝－sin 2α＋cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35. 11．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R)的两个根． (1)求c os 3 (π2－θ)＋sin 3 (π2－θ)的值； (2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．解析：由已知可知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0. 又⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝a sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3 (π2－θ)＋sin 3 (π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(1－2)×[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－(sin θcos θ＋cos θsin θ)＝－1sin θcos θ＝－11－2＝1＋ 2.12．已知sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)(k ∈Z)，求：(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ；(2)14sin 2θ＋25cos 2θ.解析：当k ＝2n (n ∈Z)时，由已知得 sin(θ＋2n π)＝－2cos(θ＋2n π)(n ∈Z)， ∴sin θ＝－2cos θ.当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，由已知得sin[θ＋(2n ＋1)π]＝－2cos[θ＋(2n ＋1)π](n ∈Z)， ∴－sin θ＝2cos θ，∴不论k 为奇数还是偶数，总有sin θ＝－2cos θ， (1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ ＝－8cos θ－2cos θ5cos θ－6cos θ＝10. (2)14sin 2 θ＋25cos 2 θ ＝14·sin 2 θ＋25cos 2 θsin 2 θ＋cos 2 θ＝14×4cos 2 θ＋25cos 2 θ4cos 2 θ＋cos 2 θ＝725.。

近年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测(二十三)正弦定理和余弦定理(2021年整

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课时达标检测（二十三）正弦定理和余弦定理[练基础小题——强化运算能力］1．在△ABC中，若错误!＝错误!，则B的值为________．解析：由正弦定理知,错误!＝错误!,∴sin B＝cos B，∴B＝45°。

答案：45°2．在△ABC中,已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为错误!，则BC＝________。

解析:由S△ABC＝错误!得错误!×3×AC sin 120°＝错误!，所以AC＝5,因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×错误!＝49，解得BC＝7。

答案：73．在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a,b,c，若a sin A＋b sin B＜c sin C,则△ABC 的形状是________．解析:根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.由余弦定理得cos C＝错误!＜0，故C是钝角．即△ABC 是钝角三角形．答案：钝角三角形4．已知在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7,那么这个三角形的最大内角的大小为________．解析：由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7,最大的角为C.由余弦定理得cos C＝－错误!，∴C＝120°。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第四章第五节简单的三角变换

一、填空题1．已知cos 2α＝，则sin 2α＝________.14解析：cos 2α＝1－2sin 2α＝，解得sin 2α＝.1438答案：382．函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )(x ∈R)的最小正周期是________．解析：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )＝sin 2x ＋＝sin(2x ＋)＋，所以最121＋cos 2x222π412小正周期为π.答案：π3．已知sin(＋α)＝，则cos(－2α)的值等于________．π6132π3解析：∵＋α＋－α＝，π6π3π2∴sin(＋α)＝cos(－α)＝，π6π313∴cos(－2α)＝cos 2(－α)＝2cos 2 (－α)－12π3π3π3＝2×()2－1＝－.1379答案：－794．若sin(－2x )＝，则tan 2x ＝________.3π235解析：sin(－2x )＝⇒cos 2x ＝－，3π23535tan 2x ＝＝＝＝4.sin2xcos2x 1－cos 2x21＋cos 2x21－cos 2x 1＋cos 2x 答案：45．已知函数f (x )＝＋，则f ()的值为________．12tan x sin x 2cos x 22cos2x2－1π8解析：f (x )＝＋＝＋12tan x sin x2cosx22cos2x2－112tan x sin x 2cos x ＝＋＝，所以f ()＝.cos x 2sin x sin x2cos x 1sin 2x π8226．已知角α在第一象限且cos α＝，则等于________．351＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)解析：原式＝12(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α2cos2 α＋2sin αcos αcos α＝2×(cos α＋sin α)＝2×(＋)＝.3545145答案：1457．已知cos(θ＋)＝，θ∈(0，)，则cos θ＝________.π6513π2解析：因为θ∈(0，)，所以θ＋∈(，)，π2π6π62π3所以sin(θ＋)＝，π61213所以cos θ＝cos[(θ＋)－]＝.π6π653＋1226答案：3＋12268．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.43解析：∵tan(π＋2α)＝－，∴tan 2α＝－＝，43432tan α1－tan2α∴tan α＝－或tan α＝2.12又α在第二象限，∴tan α＝－.12答案：－129．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则的值为________．22cos2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)解析：原式＝＝，cos θ－sin θsin θ＋cos θ1－tan θ1＋tan θ又tan 2θ＝＝－2.2tan θ1－tan2θ2解得tan θ＝－或tan θ＝.122∵π<2θ<2π，∴<θ<π，π2∴tan θ＝－，因此原式＝3＋2.122答案：3＋2二、解答题10．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求线段AB 长度的最小值．解析：如图，设切点为D ，∠OAB ＝α(0<α<)，则连结OD 知π2OD ⊥AB ，从而得到AD ＝＝，BD ＝＝，1tan αcos αsin α1tan (π2－α)sin αcos α所以线段AB ＝＋＝＝(0<α<)，cos αsin αsin αcos α1sin αcos α2sin 2απ2则线段AB 长度的最小值为2.11．函数y ＝sin α＋cos α－4sin αcos α＋1，且＝k ，<α≤，2sin2α＋sin 2α1＋tan απ4π2(1)把y 表示成k 的函数f (k )；(2)求f (k )的最大值．解析：(1)∵k ＝＝2sin2α＋sin 2α1＋tan α2sin2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝＝2sin αcos α，2sin α(sin α＋cos α)cos α＋sin αcos α∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋k .∵<α≤，π4π2∴sin α＋cos α>0.∴sin α＋cos α＝.1＋k ∴y ＝－2k ＋1.1＋k 由于k ＝2sin αcos α＝sin 2α，<α≤，π4π2∴0≤k <1.∴f (k )＝－2k ＋1(0≤k <1)．1＋k(2)设＝t ，则k ＝t 2－1,1≤t <.1＋k 2∴y ＝t －(2t 2－2)＋1，即y ＝－2t 2＋t ＋3(1≤t <)．2∵关于t 的二次函数在区间[1，)内是减函数，2∴t ＝1时，y 取最大值2.12．已知函数f (x )＝.4cos4x －2cos 2x －1tan (π4＋x )sin2 (π4－x )(1)求f (－π)的值；1712(2)当x ∈[0，]时，求g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．π212解析：(1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1tan (π4＋x )cos2 (π4＋x )＝＝cos22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )2cos22x sin (π2＋2x )＝＝2cos 2x .2cos2 2xcos 2x f (－)＝2cos (－)＝2cos ＝2cos 17π1217π617π65π6＝－2cos ＝－.π63(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝sin(2x ＋)，2π4x ∈[0，]⇒2x ＋∈[，]，π2π4π45π4∴x ＝时，g (x )max ＝；x ＝时，g (x )min ＝－1.π82π2。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第四章第五节简单的三角变换

一、填空题1．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________. 解析：cos 2α＝1－2sin 2α＝14，解得sin 2α＝38. 答案：382．函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )(x ∈R)的最小正周期是________．解析：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝22sin(2x ＋π4)＋12，所以最小正周期为π. 答案：π3．已知sin(π6＋α)＝13，则cos(2π3－2α)的值等于________．解析：∵π6＋α＋π3－α＝π2， ∴sin(π6＋α)＝cos(π3－α)＝13，∴cos(2π3－2α)＝cos 2(π3－α)＝2cos 2 (π3－α)－1 ＝2×(13)2－1＝－79. 答案：－794．若sin(3π2－2x )＝35，则tan 2x ＝________. 解析：sin(3π2－2x )＝35⇒cos 2x ＝－35，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝1－cos 2x21＋cos 2x 2＝1－cos 2x 1＋cos 2x＝4.答案：45．已知函数f (x )＝12tan x ＋sin x 2cos x 22cos 2x 2－1，则f (π8)的值为________．解析：f (x )＝12tan x ＋sin x 2cos x 22cos 2x 2－1＝12tan x ＋sin x 2cos x＝cos x 2sin x ＋sin x 2cos x ＝1sin 2x ，所以f (π8)＝ 2. 答案： 26．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)等于________．解析：原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝2cos 2 α＋2sin αcos αcos α＝2×(cos α＋sin α)＝2×(35＋45)＝145. 答案：1457．已知cos(θ＋π6)＝513，θ∈(0，π2)，则cos θ＝________. 解析：因为θ∈(0，π2)，所以θ＋π6∈(π6，2π3)，所以sin(θ＋π6)＝1213，所以cos θ＝cos[(θ＋π6)－π6]＝53＋1226. 答案：53＋12268．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________. 解析：∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan 2α＝－43＝2tan α1－tan 2α，∴tan α＝－12或tan α＝2.又α在第二象限，∴tan α＝－1 2.答案：－1 29．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos2θ2－sin θ－12sin(θ＋π4)的值为________．解析：原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan2θ＝－2 2.解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，∴tan θ＝－12，因此原式＝3＋2 2.答案：3＋2 2二、解答题10．设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，求线段AB长度的最小值．解析：如图，设切点为D，∠OAB＝α(0<α<π2)，则连结OD知OD⊥AB，从而得到AD＝1tan α＝cos αsin α，BD＝1tan(π2－α)＝sin αcos α，所以线段AB＝cos αsin α＋sin αcos α＝1sin αcos α＝2sin 2α(0<α<π2)，则线段AB长度的最小值为2.11．函数y＝sin α＋cos α－4sin αcos α＋1，且2sin2α＋sin 2α1＋tan α＝k，π4<α≤π2，(1)把y表示成k的函数f(k)；(2)求f(k)的最大值．解析：(1)∵k ＝2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin α(sin α＋cos α)cos α＋sin αcos α＝2sin αcos α，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋k . ∵π4<α≤π2， ∴sin α＋cos α>0. ∴sin α＋cos α＝1＋k . ∴y ＝1＋k －2k ＋1. 由于k ＝2sin αcos α＝sin 2α， π4<α≤π2， ∴0≤k <1.∴f (k )＝1＋k －2k ＋1(0≤k <1)． (2)设1＋k ＝t ，则k ＝t 2－1,1≤t < 2. ∴y ＝t －(2t 2－2)＋1，即y ＝－2t 2＋t ＋3(1≤t <2)．∵关于t 的二次函数在区间[1，2)内是减函数， ∴t ＝1时，y 取最大值2.12．已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1tan (π4＋x )sin 2 (π4－x ).(1)求f (－1712π)的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．解析：(1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1tan (π4＋x )cos 2 (π4＋x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 2 2xcos 2x ＝2cos 2x .f (－17π12)＝2cos (－17π6)＝2cos 17π6＝2cos 5π6 ＝－2cos π6＝－ 3.(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)， x ∈[0，π2]⇒2x ＋π4∈[π4，5π4]，∴x ＝π8时，g (x )max ＝2；x ＝π2时，g (x )min ＝－1.。

近年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时训练(十六)任意角、弧度制及任意角的三角函数文(2

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课时跟踪检测（十六）任意角、弧度制及任意角的三角函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若点P(tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第______象限．解析：因为点P在第三象限,所以错误!所以α的终边在第二象限．答案:二2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α（0〈α〈π）的弧度数为________．解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为错误!r，所以错误!r＝αr，所以α＝错误!。

答案：错误!3．已知角α＝2kπ－错误!(k∈Z),若角θ与角α的终边相同，则y＝错误!＋错误!＋错误!的值为________．解析：由α＝2kπ－错误!(k∈Z)及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.答案：－14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点,且sin θ＝－错误!，则y＝________.解析:因为sin θ＝错误!＝－错误!，所以y＜0,且y2＝64,所以y＝－8.答案：－85．已知角α的终边上一点P（－错误!，m)（m≠0），且sin α＝错误!，则m＝________。

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一、填空题
1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．
解析：由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，
又a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，
又0<B <π，∴B ＝π6. 答案：π6
2．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为________km.
解析：由余弦定理知，
AC 2＝102＋202－2×10×20cos 120°＝700.
∴AC ＝107 km. 答案：107
3.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为
20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A
看建筑物CD 的张角为________．
解析：依题意可得AD ＝2010 (m)，AC ＝30 5 (m)，
又CD ＝50 (m)，
所以在△ACD 中，由余弦定理得
cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 2
2AC ·AD
＝(305)2＋(2010)2－502
2×305×2010
＝ 6 0006 0002＝22
，又0°<∠CAD <180°，
所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.
答案：45°
4．锐角△ABC 的三边a ，b ，c 和面积S 满足条件S ＝c 2－(a －b )2
4k
，又角C 既不是△ABC 的最大角也不是△ABC 的最小角，则实数k 的取值范围是________．
解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴c 2－a 2－b 2＝－2ab cos C ，由S ＝c 2－(a －b )2
4k
，得4kS ＝c 2－(a －b )2，即4k ·12
·ab sin C ＝c 2－a 2－b 2＋2ab ， ∴2kab sin C ＝－2ab cos C ＋2ab ，即k sin C ＝1－cos C ，
∴k ＝1－cos C sin C ，∴k ＝tan C 2，又π4<C <π2， ∴2－1<k <1.
答案：(2－1,1)
5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________．
解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ， ∴cos B ＝a c ，
∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，
∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，
∴△ABC 为直角三角形．
答案：直角三角形
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ＝a ＋c ，则角B 的取值范围是________．
解析：∵cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ＝a 2＋c 2－(a ＋c )24
2ac
＝3(a 2＋c 2)－2ac 8ac
＝3(a 2＋c 2)8ac －14≥34－14＝12，即cos B ∈[12，1)，∴B ∈(0，π3]．
答案：(0，π3]
7．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是________．
解析：依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，
得103＝12bc sin 60°，得bc ＝40.
又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，
由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，
故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7.
答案：7
8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C
＝________. 解析：S ＝12bc ·sin A ＝12×1·c ·sin 60°＝3，
∴c ＝4，
∴a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A
＝1＋42－2×1×4×cos 60°
＝1＋16－2×4×12＝13，
∴a ＝13.
∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C
＝a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案：2393
9．如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．
解析：由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得
BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)
>n ，所以α与β的关系满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．
答案：m cos αcos β>n sin(α－β)
二、解答题
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知2sin A ＝3cos A .
(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值；
(2)若a ＝3，求△ABC 的面积的最大值．
解析：(1)∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解
得cos A ＝12或－2(舍去)，又0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理，知b 2＋c 2－a 2＝2bc cos
A ．又a 2－c 2＝b 2－mbc ，可得cos A ＝m 2，∴m ＝1.
(2)由余弦定理及a ＝3，A ＝π3，可得3＝b 2＋c 2－bc ，再由基本不等式b 2＋c 2≥2bc ，
∴bc ≤3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝34bc ≤334，故△ABC 的面积的最大值为334.
11．设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .
(1)求B 的大小；
(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．
解析：(1)由a ＝2b sin A 及正弦定理a sin A ＝b sin B ＝2R ，得
sin A ·2R ＝2sin B ·2R ·sin A ，即sin B ＝12，
∵△ABC 是锐角三角形，∴B ＝π6.
(2)由(1)，知C ＝π－A －B ＝5π6－A ，
∴cos A ＋sin C
＝cos A ＋sin(5π6－A )＝32cos A ＋32sin A ＝3(32cos A ＋12sin A ) ＝3sin(A ＋π3)．
∵△ABC 是锐角三角形，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π2，
0<C <π2，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π2，0<5π6－A <π2，
则π3<A <π2. ∴2π3<A ＋π3<5π6.
则12<sin(A ＋π3)<32. ∴32<3sin(A ＋π3)<32.
∴cos A ＋sin C 的取值范围为(32，32)．
12．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船．
(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；
(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA →成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x
＋cos 2θcos x (x ∈R)的值域．
解析：(1)连结BC ，在△ABC 中，由余弦定理得
BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700，
BC ＝107.
即处于C 处和乙船和遇险渔船间的距离为107海里．
(2)∵sin θ20＝sin 120°107
， ∴sin θ＝3
7，
∵θ是锐角，∴cos θ＝
4
7， ∴f (x )＝sin 2θsin x ＋cos 2θcos x ＝37sin x ＋47cos x
＝57sin(x ＋φ)，
∴f (x )的值域为[－57，57]．。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章 第六节 正、余弦定理和应用举例 含解析